空瓶换酒问题

空瓶换酒问题江苏省盐城市亭湖区永丰中学邵家桢224054商店规定用3个空汽水瓶可换回1瓶汽水小吴在商店购买200瓶汽水并陆续用空汽水瓶不能借去换回汽水问1小吴最后一共能喝上多少瓶汽水2如果小吴最初购买了n瓶汽水呢3若商店规定用r个空汽水瓶可换回1瓶汽水结果又如何nr为自然数解以x表示不超过x的最大整数1设小吴最后一共能喝200663268223224830823241310232002若小吴最初购买n瓶汽水设小吴最后一共能喝13
再换回汽水 ( 1≤S < r ,(r , s) = 1) ．若最初购了 n 瓶汽
水，求最后一共能喝上的汽水的瓶数
f
r
,
s
(n)
．此
题
留给同学们考虑．答案为：(
f ( n) = n r ,s
+[ n r
s ]其中 s
n > s,r > s )．
20
福建中学数学
2008 年第 3 期
空瓶换酒问题
江苏省盐城市亭湖区永丰中学邵家桢(224054)
商店规定：用 3 个空汽水瓶可换回 1 瓶汽水，小吴在商店购买 200 瓶汽水，并陆续用空汽水瓶(不能借)去换回汽水．问
(1)小吴最后一共能喝上多少瓶汽水？ (2)如果小吴最初购买了 n 瓶汽水呢？ (3)若商店规定：用 r 个空汽水瓶可换回 1 瓶汽水．结果又如何？(n、r 为自然数， r > 1 ) 解以[x]表示不超过 x 的最大整数． (1)设小吴最后一共能喝 f (200) 瓶汽水．则有：
200=66×3+ 2；
68=22×3+2； 24=8×3+ 0； 8=2×3+2；
4=1×3+1； 0＜2＜3， ∴ f (200) =200+66+22+8+2+1=299．

空瓶换酒公式空瓶换水公式空瓶换饮料公式行测

空瓶换饮料/酒公式推导（以下推导基于不可拆借）很多公务员考试培训教材提供空瓶换饮料的公式为：当n 个空瓶可以换1瓶饮料，手里有a 个空瓶时，可换饮料数为1-n a ，其实这个公式是错误的，举个简单例子：假设每2个空瓶可换1瓶饮料，当手里有4个空瓶时，则可换124-=4瓶，根据常识即可知结果是错误的。

现在对空瓶换饮料公式进行推导：当拿n 个空瓶换第1瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1=a-(n-1)；再拿n 个空瓶换第2瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1=a-(n-1)*2；再拿n 个空瓶换第3瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1-n+1=a-(n-1)*3 · ·· ·再拿n 个空瓶换第x 瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-(n-1)*x 当a-(n-1)*x<n 时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n>p>=1,→a-p=(n-1)*x→x=1a --n p →x=1a -n -1-n p 当p=n-1时，x=1a -n -1 →a=(x+1)*(n-1)→当a 为n-1倍数时，p=n-1当p<n-1时，0<1-n p <1, 则x=1a -n综上，当a 为n-1的倍数时x=1a -n -1，否则x=1a -n 现在用具体实例进行验证：当每3个空瓶可换1瓶饮料，手里有11个空瓶时：换第1瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为11-3+1=9；换第2瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为9-3+1=7；换第3瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为7-3+1=5；换第4瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为5-3+1=3；换第5瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为3-3+1=1；因为11不能被3-1整除，x=51311=-当每4个空瓶可换1瓶饮料，手里有15个空瓶时：换第1瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为15-4+1=12；换第2瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为12-4+1=9；换第3瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为9-4+1=6；换第4瓶饮料后，则手里剩的空瓶数为6-4+1=3；因为15能被4-1整除, x=411415=--。

瓶子问题

1、5个空瓶子可以换1瓶可乐喝，那么200个空瓶子最多可以喝到多少瓶可乐？卡卡西解析：200÷(5-1)=50公式一：N个换1瓶，总共M个可以换：M÷（N-1）瓶子问题变式：“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。

现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？A.296瓶B.298瓶C. 300瓶 D .302瓶设需要买A瓶啤酒A+A÷(7-1)=347公式二：A+A/(N-1)=M。

（如果出现小数就进1）A至少买水瓶数M喝水瓶数N换一瓶水空瓶数27人到商场买水喝，遇到商场搞促销，三个空瓶子可以换一瓶水，问27个人，一人一瓶最少买多少瓶水？浏览次数：848次悬赏分：10 |解决时间：2009-10-2 16:22 |提问者：和风细雨123主最佳答案今天面试刚刚碰到这个问题了：解答如下：每3个人喝一轮水27/3=9个轮次第1次：必须先买3瓶，然后就可以免费换一瓶，第2-8次：可以拿免费换的1瓶+ 另外买2瓶＝3瓶，如此反复8次；这样所有人就全喝到了。

所以具体表达式为：（1*3）+（2*8）＝19瓶15个人只有10元，水是一元一瓶，现在三个空瓶子能换瓶水，这样才能每人都喝到一瓶水？浏览次数：1232次悬赏分：0 |解决时间：2008-5-1 12:43 |提问者：huyong2004981最佳答案 15买10瓶，换三瓶，借2个空瓶子（换四）三瓶子换一再把空瓶子还给别人．一块钱买一瓶啤酒，两支空瓶子可以换一瓶啤酒。

问20快钱你最多能喝到几瓶啤酒？浏览次数：1454次悬赏分：0 |解决时间：2008-6-2 19:46 |提问者：bigshowzs最好补充算法最佳答案答案：39瓶20元买20瓶酒20个空瓶换10瓶酒10个空瓶换5瓶酒5个空瓶换2瓶酒（余1个空瓶）2个空瓶换1瓶酒1个空瓶加上前面余下的1个空瓶换1瓶酒，，，又有个空瓶再借一瓶又可喝一瓶，计40所以：20+10+5+2+1+1=39一个人拿十块钱买矿泉水，一块钱一瓶，三个空瓶子可以再换一瓶。

公务员行测：空瓶换酒问题

公务员行测：“空瓶换酒”问题“空瓶换酒”又称“空瓶换水”问题是数学运算中的一类趣味问题，来源于商家为了充分回收啤酒瓶的一种促销活动，频繁地出现在国家公务员和省市公务员考试中。

这类问题整体难度不大，是考生易得分的一种题型，华图公务员考试研究中心为考生介绍一种易于操作的解题技巧希望为考生2014年的备考提供一个参考。

这类问题在题干中往往会有一句话说m个空瓶换n瓶水，我们一般转化成1个瓶换多少个水来操作会方便解题。

比如4个空瓶换1瓶水，则有4瓶=1瓶+1水（不含瓶的水），推出1瓶=1/3水，如果某人有15个空瓶则他可以喝15×1/3=5瓶水，如果有11个空瓶则他可以喝11×1/3≈3.7瓶水，空瓶换水的原则是出现小数要舍去，也就是商家不吃亏原则。

【例1】超市规定每3个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小李有11个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水？A.6瓶B.5瓶C.4瓶D.3瓶【答案及解析】B。

3P=1P+1水，推出1P=1/2水，则11P换11×1/2=5.5水，出现小数去掉，喝5瓶。

（P表示瓶，下同）【例2】“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。

现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？A.296瓶B.297瓶C.298瓶D.300瓶【答案及解析】C。

设用钱买了x瓶，7P=1P+1水，则1P=1/6水，最终喝的水由花钱买的和换的两部分构成的。

最终喝了347瓶，则算出来的一定大于等于347（商家不吃亏原则）。

根据题意得方程：x+x/6≥347，求得x≥297.4，取一个最小的整数为298，选C。

本题在不等式符合的判定上可以用一个结论：题干问最大一定是小于等于取最大，题干问最小一定是大于等于取最小。

【例3】20只鸡和16只兔分放两堆，共重88kg，如果将两堆中的4只鸡和4只兔相交换，那么两堆重量一样，请问鸡、兔每只分别多少kg？A.2和3B.4和6C.3和2D.6和4【答案及解析】A。

空瓶换酒悖论

§空瓶换酒悖论空瓶换酒是厂家为促销而采用的一种销售策略,它被抽象为数学题, 常在竞赛题中出现.如果我买了n瓶啤酒, 商家规定, n 个空瓶又可以换得一瓶啤酒,问我最多可以喝到多少瓶啤酒?这是空瓶换酒类问题中最简单的一种先看, n=10 , m=3 的特殊情况. 10瓶啤酒喝光后可得到10个空酒瓶, 用它们可换取3瓶酒,还剩了1个空瓶. 把酒喝完后又得到4个空瓶, 再换一瓶酒, 还剩余1个空瓶, 喝完酒后总共有2个空瓶. 实际上我已喝了10 + 3 + 1 =14瓶啤酒. 这就是最多的啤酒数吗? 不是的, 我还可以用最后剩下的那两个空瓶再换一瓶酒喝. 我先向别人,如老板, 借一个空瓶, 凑足 3 个空瓶后按规定就能换到一瓶酒了, 把换得的酒喝光后, 我把空瓶还给那人即可. 因此我最多可喝到15瓶酒再看一般的解答. 由已知, 若设一瓶酒的价格为x元, 则一个空瓶的价格应为xm元, 瓶内纯酒的价格应为(x - xm)元, n瓶酒的总价格为nx元可喝到的纯酒瓶数为若(m-l) 整除n , 则瓶数为n+nm-1; 若(m-l)不能整n, 则瓶数为n+[nm-1]可以合写为n +[nm-1]当n== 10 , m= 3 时代人这个公式,算出结果为10+[103-1]=15，与我们的分析是一致的。

我在讲解这个问题时发现一些同学的回答相当不可思议, 他认为我可以喝到1000瓶酒. 原因很简单, 从上面的讨论中我们发现: (l) 当m个空瓶可以换( A ) 得一瓶酒, 则( m-1)个空瓶照样可以换(B) 取一瓶啤酒. 即空瓶的数目能减少一个. 因为向他人借一个空瓶后可得到m瓶, 把这个空瓶还给那人就行了.(2) 既然(m -1)个空瓶能换(C)一瓶啤酒,同理, ( m-2)个空瓶也能换(D)取一瓶酒.(3)以此类推, 空瓶数目逐次少一个，最终一个空瓶也能换一瓶酒, 进而不要空瓶也可以换啤酒. 因此啤酒是可以白喝的. 如果商店足够大. 啤酒足够多, 就能喝到1000瓶啤酒.这个结论显然是极其荒谬的, 但要将其中的道理解释清楚却并不容易.我发现这个悖论后, 经过了仔细分析, 认为产生错误的原因如下.我们已将错误的论述分为了三个部分, 给它们加上了编号, 下面逐一分析.(l) 是完全正确的, 从刚才那个一般的结论中也可以看出,仅用空瓶换得的啤酒为[nm-1]分母m-1 . 其中最关键的一个字为“ 换” , 我们也给它编了号.在(A)中的“换” 意为: 用m个空瓶交换一瓶啤酒, 是直接交换.在(B)中的“换”意思就不一样了, 是间接的交换, 因为直接用(m-1)个空瓶是换不到啤酒的. 我就先去借一个, 凑足了数目以后再给店老板m个空瓶, 换得一瓶酒. 但借了要还呀, 因此就把换来的酒喝光了, 将空瓶还给人家. 我只能借一个, 否则还不了.我在换酒时给老板的仍是m个空瓶, 而不是(m-1)个. 这个“换”字与上一个相比多了两个步骤, 即借空瓶与还空瓶.(2) 是错误产生的根源. ( 2)中也有两个“换”字, (C)中的“换”本来与(B)中的“换” 含义完全相同, 但是他却将其等于(A)中的“换” . 他在悄悄的偷换概念, 因此就产生了悖论. (3) 以(2) 为前提也就跟着错了.数学中由于偷换概念产生的语义悖论是很多的, 在高中数学的简易逻辑部分体现得尤其明显. 在哲学领域也有大量这样的悖论. 如汉代公孙弘的“白马非马” 论. 他使用了反证法来证明自己的观点. 思路如下若白马是马, 则黑马也是马, 由“ A是 C , B 是C=>A是B” 可知白马是黑马. 这是一个矛盾, 产生矛盾的根源在于开始的假设, 因为推理过程并无错误, 所以白马不是马. 这个著名的悖论就是语义悖论.“是” 有多种含义.( 1) 等于, 如高一( 3) 班的班长是王小刚.(2) 属于, 如杨振宁是科学家. 指的是元素与集合的关系.(3) 包含于, 如男人是人. 指的是集合与集合的关系.公孙弘推理的依据是“A是C , B是C => A是B ” , 这个依据中的“是” 含义显然为( l) 中所说的“ 等同于” , 而在“若白马是马, 则黑马也是马” 中的“是” 含义为(3) , 即“包含于” , 意思完全不同,不可以使用那个依据. 因此公孙弘的推理过程是错误的.我们在学习数学时, 要养成严密的思维习惯, 避免掉进语义悖论的旋涡之中。

对空瓶换酒问题的探究

第（）考查抛物线顶点坐标的求法，１题很基础；第
段的数学核心内容．试题起点低，度分布合理科学，难呈现方式丰富多彩，既注重基础知识的考查，又能改陈出新考能力；既关注学生学习数学的活动过程、动经验活的考查，又关注学生在学习过程中的变化和发展；关注学生的心理特点，现人文精神．体因此，０１年的天津卷２１是一套优秀的中考数学试卷，值得广大数学教师在教学中认真开展教学研究和中考命题人借鉴使用．
天津卷近五年第２６题题型：０７年，０８年，０９２０２０２０
年都是一元二次方程与二次函数的综合；００年，０１２１２１
年，都是抛物线的平移及相关知识的整合．近五年来，第
２６题的难度基本平衡，没有明显的起伏．
６８
１２
综合起来看２１年天津卷：０１２１年的天津卷植根《学课程标准》源于数学０１数、教科书，全面考查了《数学课程标准》规定的义务教育阶
÷ （一），＜ ≤ 若２ｍ时， ≤ 恒成立，ｍ的最大值求
二
瓶啤酒，只需买
ｇ瓶啤酒．
酒，还有２个空瓶怎么办？那不浪费了吗？能有更好的办法吗？先借后还，充分利用空瓶．接思路１可喝到１，４法４（等比数列法）看买１先Ｏ瓶碑酒的情况：设顾客第一次喝完１０瓶啤酒，留下ｌ０个空瓶；
（收稿日期：０１７５２１０１）

换啤酒问题

换啤酒问题：小明的父亲从商店买回10瓶啤酒，商店规定3个空瓶可换回一瓶啤酒，若小明的父亲不再给钱，他一共可喝上多少瓶啤酒？其解法是：10瓶喝完，可换回三瓶；再喝完，则剩余4个空瓶，又换回一瓶，喝后剩下2个空瓶，此时借进1空瓶，则又可换回1瓶，喝完后还所借1空瓶．总计可喝15瓶．此过程中“一借”可谓巧．数学来自于生活，又必须回归于生活．数学只有在生活中才能赋予活力和灵性．数学学习内容远离生活无疑是导致学生对数学无兴趣的根本原因，它使本该生动活泼的数学学习活动变得死气沉沉．有鉴
活中学数学。

名仕论题对于瓶盖换酒问题，体会专家的思路

名仕论题对于瓶盖换酒问题，体会专家的思路啤酒2元一瓶,四个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒,10元最多可以喝多少瓶啤酒？吴康老师析题本题条件不确切，结果不统一。

如划定条件，则可得到唯一结果。

条件一、4个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒,但不足4个瓶盖不能换啤酒，不足2个空瓶不能换啤酒，1个空瓶加3个瓶盖不能换啤酒；另外，不能向他人或老板赊瓶盖或酒瓶。

在条件一的前提下，10元只能喝上15瓶啤酒，还剩下1个空瓶和3个瓶盖。

可以给出2n元最后能喝上的啤酒的瓶数x的计算公式。

条件二、4个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒；不足4个瓶盖不能换啤酒，不足2个空瓶不能换啤酒；1个空瓶加2个瓶盖可以换1瓶啤酒；另外，不能向他人或老板赊瓶盖或酒瓶。

在条件二的前提下，10元可以喝上17瓶啤酒，还剩下1个空瓶和1个瓶盖。

可以给出2n元最后能喝上的啤酒的瓶数y的计算公式。

条件三、4个瓶盖可换一瓶啤酒,2个空瓶也可换一瓶啤酒；不足4个瓶盖不能换啤酒，不足2个空瓶不能换啤酒；1个空瓶加2个瓶盖可以换1瓶啤酒；另外，允许向他人或老板一次过赊不超过3个瓶盖和不超过1个酒瓶，规定随后归还。

在条件三的前提下，10元可以喝上20瓶啤酒，最后什么也没有剩下。

可以给出2n元最后能喝上的啤酒的瓶数z的计算公式。

就条件三、普通思路10/2=5瓶。

喝5瓶，得到5空+5盖=3瓶+1空+1盖。

喝3瓶，得到4空+4盖=3瓶。

喝3瓶，得到3空+3盖=1瓶+1空+3盖。

喝1瓶，得到2空+4盖=2瓶。

喝2瓶，得到2空+2盖=1瓶+2盖。

喝1瓶，得到1空+3盖（借老板1空+1盖）=2空+4盖=2瓶。

喝2瓶，得到2空+2盖= 1瓶+2盖。

喝1瓶，得到1空+3盖（再借老板1空+1盖）=2空+4盖=2瓶。

喝2瓶，得到2空+2盖，还老板的2空+2盖。

总共喝了20瓶。

就条件三，罗增儒教授思路一个空瓶值1元、一个瓶盖值5毛、从而一瓶里的水值5毛，所以后10元除以0.5元得20。

数量关系：空瓶换酒的问题总结

空瓶换酒的问题这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。

意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。

即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。

给出以下两种换法：举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒?第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。

根据第一种换法，画个示意图：思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。

如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。

这样显然也就达不到假设的最大值。

所以这个答案就不是最多可能的数。

再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。

(即：喝完后不带走酒瓶)根据第二种换法，再画个示意图：思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。

所以没有剩下空瓶。

刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。

只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。

所以这个答案才是最多可能的数。

即：8÷(3-1)=4。

通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。

A代表多少个空瓶可以换一瓶酒，B代表有多少个空瓶，C代表最多能换多少瓶酒。

公式为：B÷(A-1)=C。

给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。

例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( )A. 4瓶B. 5瓶C. 6瓶D. 7瓶【解析】C 本题空瓶换酒问题。

根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。

故选C。

例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( )A. 30瓶B. 32瓶C. 34瓶D. 35瓶【解析】B 本题空瓶换酒问题。

古代空瓶换酒原题目

古代空瓶换酒原题目
（中英文实用版）
古代空瓶换酒，这一独特的交换方式在我国历史上有着悠久的历史。

在古代，由于商品经济的不发达，货币交换并不普及，人们便采用了这种独特的交换方式来满足生活中的需求。

古代空瓶换酒的具体操作方式是这样的：当一个人需要酒时，他可以拿着空瓶子去酒铺，用空瓶子换取一定数量的酒。

然后，当他喝完酒后再拿着空瓶子去酒铺换取更多的酒。

这种交换方式背后的经济学原理是，酒铺老板相信这个人会用空瓶子再次换取酒，因此愿意将酒给他。

在我国的历史上，空瓶换酒的现象历经了多个阶段。

最初，这种交换方式只存在于酒铺与顾客之间。

随着商品经济的发展，空瓶换酒逐渐演变为一种更为普遍的交换方式，不仅用于酒，还用于其他商品。

在这个过程中，人们逐渐意识到，空瓶换酒不仅方便实用，而且可以促进商品的流通，推动经济的发展。

与现代交换方式相比，古代空瓶换酒有着明显的优势。

首先，它不需要货币，方便了交换过程中的结算。

其次，它鼓励人们节约资源，重复利用物品，有利于环境保护。

最后，它增强了人际间的信任，促进了社会的和谐。

尽管现代社会已经拥有了货币等更为先进的交换方式，但古代空瓶换酒的现象仍值得我们深思。

在资源日益紧张、环境问题严重的今天，如何借鉴古代空瓶换酒的方式，实现资源的合理利用和循环，是一个值得探讨的问题。

此外，如何在现代社会建立起基于信任和互助的交换方式，也是我们应该思考的问题。

总之，古代空瓶换酒现象是我国历史上一种独特的交换方式，它体现了古人智慧与创造力。

从空瓶换酒的现象中，我们可以学到许多有益的东西，如资源利用、人际信任等。

空瓶换饮料

我们按照实际换酒过程分析：喝掉80瓶啤酒，用80个空瓶换回16瓶啤酒；喝掉16瓶啤酒，用16个空瓶换回3瓶啤酒余1个空瓶；喝掉3瓶啤酒，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶。此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶啤酒，喝完后将空瓶还了。所以，他们家前后共喝到啤酒 80+16+3+1=100（瓶）。
2、一块铝锭可铸成20个机器零件毛坯，每4个毛坯车成零件后的铝屑又能铸成一个毛坯。那么7块这样的铝锭最多能车成多少个机器零件？
也可直接运用换就公式：A÷（B－1）=C
一共就喝了（C＋A）瓶酒。 A：买的饮料数； B：每次兑换饮料的空瓶数； C:兑换空瓶的总数。
本题中代入数据，为：
80÷（5-1）=20（瓶）则：一共喝了：80+20=100（瓶）。
练一练：
一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯，每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭 10块，最多可以加工多少个机器零件？
我们可以直接运用公式老进行计算，则可以得到：一共有机器零件的毛坯数：25×10=250（个）剩下的角料可以铸造：250÷（5-1）=62.5≈62（个）所以，一共可以铸造：250+62=312（个）
做一做：
1 、某校开运动会，学校给同学们买来 50 箱汽水，每箱 24 瓶。由于商店规定每 6个空瓶可换到一瓶汽水，所以同学们每喝完 6 瓶汽水就去换一瓶，这样他们共能多喝多少瓶汽水？
空瓶换饮料问题
趣题巧解：
某商店出售啤酒，规定每 5个空啤酒瓶能换1瓶啤酒。张叔叔家买了 8பைடு நூலகம்瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒？

行政能力测试空瓶换饮料空瓶换水空瓶换酒题型总结及公式推导

空瓶换空瓶换水水/饮料饮料//酒题型总结及题型总结及公式推导公式推导公务员行政能力测试中关于空瓶换水/饮料/酒的题型中常见的考点一是已知空瓶数、置换比例求最多可换瓶数；二是已知总瓶数、置换比例求最少需买瓶数。

一、假设现有空瓶数为a ，每n 个空瓶可以换1瓶饮料瓶饮料//…………，求最多，求最多可换瓶数当拿n 个空瓶换第1瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1=a-(n-1)；再拿n 个空瓶换第2瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1=a-(n-1)*2；再拿n 个空瓶换第3瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1-n+1=a-(n-1)*3····再拿n 个空瓶换第x 瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-(n-1)*x空瓶换饮料/……，最重要的一点是是否可拆借，目前有人认为，已知空瓶数求最多可换饮料数/已知总瓶数求最少需买瓶数意味着可拆借，我也认为，如果题目没有明确指出是否可拆借，有以上字眼即可理解为可拆借。

①当不可拆借时当a-(n-1)*x<n 时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n>p>=1,即a-p=(n-1)*x即x=1a −−n p即x=1a −n -1−n p当p=n-1时，时，x=x=1a −n -1即x+1=1a−n →a=(x+1)*(n-1)可知当a 为n-1倍数时，p=n-1，可换饮料数为x=1a −n -1当p<n-1时，时，0<0<1−n p <1,则x=1a −n 综上，当a 为n-1的倍数时x=1a −n -1-1，否则，否则x=1a −n ②当可拆借时当a-(n-1)*x<n a-(n-1)*x<n-1-1时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n-1>p>=1,即a-p=(n-1)*x即x=1a −−n p即x=1a −n -1−n p因p<n-1p<n-1，，0<1−n p <1,则x=1a −n 当a-(n-1)*x a-(n-1)*x==n -1时,可借1空瓶换一瓶饮料，喝完后空瓶归还，则可换饮料数为x+1,手里剩的空瓶数为a-(n-1)*（x+1）=0，即x+1=1a−n 因此可换饮料数为1a−n 综上，可拆借时可换饮料数x=1a−n 二、假设现有瓶数为b （含已换饮料数（含已换饮料数）），每n 个空瓶可以换1瓶饮料/…………，求最少要买多少瓶，求最少要买多少瓶不可拆借时，且当a 为n-1倍数时b=a+1a −n -1→求出a 后需进行验证），当a 不为n-1倍数时a=b 1-n n综上，当可拆借时，综上，当可拆借时，a=a=b 1-n n ；当不可拆借且a 为n-1倍数时a=b 1-n n否则a=b 1-n n。

空瓶盖子换酒题目解法

空瓶盖子换酒题目算法：
酒吧啤酒卖2元1瓶，另外约定2个空瓶（不含盖子）再换1瓶啤酒，4个酒瓶盖子再换1瓶啤酒。

问10元可以喝多少瓶？
解法一：分步借还，买5瓶，借5瓶还10空瓶余10盖，借10瓶还10空瓶还20个盖（当然也还可以空瓶和盖子多次交替进行了，培养小孩分步推算能力）。

解法二：一步借还，向老板要20瓶酒，喝完后结账。

空瓶20/2=结去10瓶，盖子20/4=结去5瓶， 10元买5瓶。

解法三：价值法，2个空瓶=1瓶酒=2元，1个空瓶=1元，4个瓶盖=1瓶酒=2元，1个瓶盖=0.5元，1瓶酒价值=2元-空瓶盖子1.5元=0.5元，10元买得20瓶。

解法四：简易方程，购买10/2=5瓶，假设空瓶换的酒+盖子换的酒= x瓶，可以喝5+x瓶。

（5+x）/2+（5+x）/4=x，解得x=15，可以喝5+15=20瓶。

本题目为2016年新出现的题目类型，同鸡兔同笼、100个和尚吃100个馒头、牛吃草等历史经典名题一样，具有较好数学思维训练价值，竞赛可能会出这类题目的变种题型。

解法一训练分步推算能力；解法二结论完美却要事先猜对或算出总数，有难度；解法三计算原理简单却让小朋友难理解怎么置换得；解法四容易理解要求会解简易方程，让小孩体念简练准确的数学魅力。

2021山西公务员考试行测技巧：数量关系之空酒瓶换酒问题

在这里就由中公教育资深专家为大家的数量关系学习提供一些指导。

对于数量关系的学习，最好是先把一个知识点吃透，再吃透下一个知识点，久而久之，我们就能把考试的知识点逐一吃透，然后在考试的过程中就会游刃有余。

接下来，就为大家介绍一种在许多省份出现的一种题型——空酒瓶换酒问题。

先让大家了解下这类题目。

【例1】12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒为多少？【2021-联考】A．10瓶 B. 11瓶 C. 8瓶 D. 9瓶【解析】此类题目就是空酒瓶换酒的典型代表。

如果我们直接去一个一个的凑就麻烦了。

那么怎样才能快速解决此类题目呢？通过读题，我们会发现，拿12个空瓶子换酒的过程中，不但喝到了一瓶啤酒，还收获了一个空瓶子，即11个空酒瓶就可以喝一瓶酒，所以一共可以换101/11=9……2。

也就是可以换九瓶啤酒喝，即答案选D。

【知识点拨】这类题目可以用式子表示：12空瓶=1瓶酒（含瓶）=1瓶酒（不带瓶）+1空瓶，通过换算即可得到：11空瓶=1瓶酒（不带瓶），然后根据空瓶的数量进行换算。

【例2】某商店规定每4个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他家前后最多能喝到多少瓶啤酒？【2008-陕西-55】A.30B.31C.32D.33【解析】题目很明显是空酒瓶换酒的问题。

题目给出的是买了24瓶酒，然后再去换，显然先喝到了24瓶酒，剩下24空酒瓶，对后面的24空酒瓶，利用上面的方法：4空酒瓶=1瓶酒（不带瓶）+1空酒瓶，即：3空酒瓶=1瓶酒（不带瓶），所以又可以换到24/3=8瓶酒，所以共可以喝到24+8=32瓶酒，答案选C。

公务员考试行测：解决空瓶换酒问题

中公教育2014年公务员考试2014公务员考试行测：解决"空瓶换酒"问题在日常生活中，我们经常会遇到碰到某些小店为了回收空瓶，而搞诸如“5个空汽水瓶换一瓶汽水”，“6个空啤酒瓶换一瓶啤酒”一类的活动。

同样地，公务员考试中的数量关系模块出题人也经常将这种现象编为考题，考察考生对于资源利用最大化的能力。

那么我们首先来看一道真题：(国家2006)如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水()。

A. 3瓶B. 4瓶C. 5瓶D. 6瓶大多数考生拿到题目后的正常、正向解题思路应该是：15个空瓶可换成3瓶矿泉水和3个空瓶，喝完后共有6个空瓶，又可换成1瓶矿泉水和2个空瓶，最后剩下3个空瓶，借一瓶矿泉水，喝完后剩下4个空瓶，正好还给商家。

因此，本题答案选择C选项。

然而，这种思路解题要分为多步求解，较为复杂且可能有所遗漏。

特别是当空瓶数较多时，很容易做错，也会花费大量时间。

那么如何快速地解决此类的“空瓶换酒”问题呢?我们还是用这道国考题来举例。

注意：在“空瓶换酒”类问题中，“借一瓶酒”这样的方法是默认允许并且几乎必须使用的，这样才能实现资源的最大利用。

我们知道，4个空瓶可以换一瓶矿泉水，喝掉这瓶矿泉水后又出现一个空瓶，也就是说免费喝一瓶水实际需要消耗3个空瓶。

那我们不妨将这15个空瓶分成3瓶一份，共5份。

此时每一份都差一个空瓶就能换到一瓶水，那么我们不妨为每一份都借一瓶水，那么喝完借来的这些水后，每一份都有4个空瓶，正好用这4个空瓶还上这借来的一瓶水。

如此操作后，既没有欠账也没有空瓶剩余，充分利用了所有的空瓶，免费喝到了5瓶矿泉水，答案选C。

由以上的方法推而广之，假设共有X个空瓶，每M个空瓶可以换一瓶水，那么我们就将这X个空瓶按照每份M-1个分成X/(M-1)份，每份借一瓶水，喝完后每份都有M个空瓶，正好还上这借的一瓶水。

那么分了多少份就喝了多少瓶水。

即有空瓶换酒公式：若有X个空瓶，M个空瓶换一瓶酒，则最多能免费喝X/(M-1)瓶酒。

思维策略中的空瓶换酒问题

7个空瓶换1瓶啤酒可转化为： 6个空瓶=1个啤酒(一个啤酒指只是一瓶啤酒二不包括酒瓶)先带入A选项：296÷6=49……2，用296+49=345，不符合题意。再代入选项B：298÷6=49……4，用298+49=347(瓶)，符合题意。此题选B。
解法二.张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶可以看成是张先生花钱买的。347瓶啤酒喝完后还剩下347个空瓶，347÷7=49……4，也就是说此时张先生可以换得49瓶啤酒，为了保证张先生只喝了347瓶，把换来的49 瓶啤酒退给卖方，张先生实际买的啤酒瓶数为：347-49=298(瓶)，答案选B。
思维策略中的空瓶换酒问题
空瓶换水问题在江苏农商行考试EPI中属于思维策略中的统筹问题。统筹问题必然是通用就业能力测试的重要内容，测试考生系统全面地筹划安排能力。空瓶换水问题是这样一类问题，说几个空瓶子可以换一瓶水，告诉同学们有几个空瓶子，问可以喝到几瓶水，很多同学拿到这类问题，往往就是一步一步去换，按部就班地来做这种题，可是这样往往需要很多时间才能够把题目解出来，而且最后还会遇到一个小问题。空水瓶换水问题的解法又是复杂而又多样的。下面就带领大家用几种简便的方法来做一下这类题：
【例2】.“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒?
A.296瓶 B.298瓶 C.300瓶 D.302瓶
【解析】：解法一.张先生在活动促销期间共喝掉的347瓶“红星”啤酒中，有一部分是张先生自己花钱买的，还有另一部分是张先生用空瓶换的。则正面对347这个数据的处理显出其难度，在行测考题中正面解决比较麻烦的试题可以用代入法来解决。
解法三.设未知数列方程：设买了X瓶啤酒，根据6个空瓶=1个啤酒得：

啤酒瓶换啤酒问题

啤酒瓶换啤酒问题青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩一.问题的提出在日常生活中,我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题;喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝,那么你研究过到底你能换多少啤酒吗怎么合算呢如果你没有经历过这种事情,下面这道数学题应该见到过吧：现有10瓶啤酒,每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒;问总共能喝到多少瓶啤酒呢就这个问题,大部分人给的答案通常都是14瓶先喝10瓶,用9空瓶换来3整瓶,喝3瓶,还有3+1=4个空瓶;然后用3个空瓶再换一整瓶,喝掉;最后剩下2个空瓶;共10+3+1=14瓶;然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15瓶;他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用,先借来一瓶啤酒,喝完后,连同剩下的两个空瓶一起还给人家,这样就可以喝15瓶了;我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案;最近老师布置了作业,我突然又想到了这个问题,它能不能被深入地推广到一般情况呢下面就是我对这个问题的思考与研究;二.数学模型建立下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：通过观察,我把上表整理如下,大家能发现什么规律吗根据归纳总结,我发现有这样一条规律：①当原有啤酒瓶数X为偶数时,则实际能喝到原来1.5倍瓶数的啤酒;②当原有啤酒瓶数X为奇数时, 则实际喝到原来1.5倍瓶数取整数的啤酒;这是简单的一般归纳得出的结论,但能普遍用于一般情况吗那就要通过下面的分析来解决;三.数学模型分析与问题的解决经过仔细分析,我发现：只要是每有两个空瓶,都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝一瓶啤酒;我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空瓶分为两个两个一组,每一组等于一瓶“没有空瓶”的啤酒只可以喝,但不能得到空瓶;这样把问题简化了,就可描述如下：当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶,然后把空瓶分为2个组,每组0.5X个正好分完;每组又是一瓶;共喝掉X+0.5X=1.5X瓶;当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶,然后把空瓶分为2个组,每组0.5X-1个,还剩一个空瓶,浪费掉;共喝X +0.5X—1= 1.5X-0.5瓶;通过这两个式子,算出来的结果与上面整理过的表格完全一一对应;这也进一步验证了我们不完全归纳得出的结论;通过这种思想,我们能不能进一步再推广呢如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶啤酒,又会怎么样呢四.数学模型的进一步推广现有X瓶啤酒,每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒;问总共能喝到多少瓶啤酒呢由上面的推导过程来看,如果是Y个空瓶可以换一瓶啤酒,那么每拥有Y—1个空瓶,就可以用“借瓶子”法得到一瓶啤酒;所以当喝完X瓶啤酒得到X个空瓶之后,又能喝到X/Y—1瓶啤酒;总共就是X+X/Y—1瓶啤酒若除不尽时则向下取整数.整理该式子,就得到了最后的结论：可以喝到XY/Y—1瓶啤酒若除不尽则向下取整数;五.论文总结：问题：现有X瓶啤酒,每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒;问总共能喝到多少瓶啤酒呢通过上面的分析,那么我们可知总共可以喝到XY/Y—1瓶啤酒若除不尽则向下取整数;。