曲线的凹凸性描绘函数图形

例3
研究 y x 在 (1, 1)内的凹凸性.
4 3 y 4x , 2 y 12 x ,
解
x (1, 1) 时, y 0 ,
且仅在 x 0 时 , y 0 ,
故 y x 4 在 (1, 1)内是凹的.
y
yx
4
x 0 只是使
y 0 的孤立点, 不是曲线凹凸性
点 x 的坐标:
曲线位于弦线下方 :
x Baidu Nhomakorabea1 (1 ) x2 , (0, 1)
f ( x) y弦
即
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f ( x) C( I ) , (0, 1) .
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
若 f ( x0 ) 0 , 且 f ( x0 ) 0 , 则点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
求拐点一般步骤
求曲线 y f ( x) 拐点的一般步骤 :
的分界点.
O
x
2. 曲线拐点的定义及判别法
连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点.
y
y f ( x)
y
y g ( x)




O
x
O
x
定理
( 判别拐点的必要条件 )
设 f ( x) 在区间 I 上二阶可导 . 若 ( x0 , y0 ) 为曲线 y f ( x) 的拐点 ( x0 I ) , 则 f ( x0 ) 0 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
0
空心邻域
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 N ( x0 ) ( x0 I ) 内二阶可导 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
2 y 3a1 x 2a2 x a3 ,
y 6a1 x 2a2 ,
a2 故 x 时 , y 0 , 3a1 a2 x 时 , y 0 , 3a1 a2 x 时 , y 0 , 3a1
a2 曲线在 ( , ) 中是凹的; 3a1 a2 曲线在 ( , ) 中是凸的; 3a1 a2 x 是曲线凹凸性的分界点 . 3a1
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的 ;
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?
y
?!
.
A
B
.
x
O
y
y f ( x)
Q
凸
P
a x1
O
x
x2
b
x
弦线 PQ 的方程 :
f ( x2 ) f ( x1 ) y弦 f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1
点 x 的坐标:
曲线位于弦线上方 :
1 所以 x ( , 0) 时 , y 0 , y 为凸的, x 1 x (0, ) 时 , y 0 , y 为凹的. x
该函数的图形 请自己绘出.
例2 解
研究 y a1 x a2 x a3 x a4 (a1 0) 的凹凸性.
3 2
函数的定义域为 ( , ) .
x x1 (1 ) x2 , (0, 1)
f ( x) y弦
即
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
y
y f ( x)
Q
凹
P
O
a
x1
x
x2 b
x
弦线 PQ 的方程 :
f ( x2 ) f ( x1 ) y弦 f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1
例4 解
x
讨论曲线 y e
x2 2
的凹凸性, 并求拐点. y xe
x 2
2
定义域为 : ( , )
,
y ( x 2 1)e
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
( , 1)
1
0
(1, 1)
在运用该定理时要注意：
如果 f ( x) 0 ( 0) , x (a, b) ,
但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .
例1
解
1 判别曲线 y 的凹凸性. x 函数的定义域为 ( , 0) (0, ) .
1 因为 y 2 , x 2 y 3 , x
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凹的 ;
定理
设 f ( x) C ( [a, b] ) , 在 (a, b) 内有二阶导数 .
若 f ( x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f ( x) 在 [a, b] 上是凹的 . 若 f ( x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f ( x) 在 [a, b] 上是凸的 .
1
(1, )
y
y
x2 2


0


拐点

拐点

曲线 y e 在 : ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 . 点 (1, e ) 及 ( 1, e ) 为其拐点.
( 1 ) 求 f ( x) 的定义域 (或确定讨论区间 ) ; (2) 计算 f ( x) , f ( x) , (如需要可求出 f ( x)) ;
(3) 求拐点可疑点 :使 f ( x) 0 的点和 f ( x) 不存在的点 ; ( 4) 根据定理判别可疑点是 否确为拐点 .