曲线的凹凸性描绘函数图形
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23-曲线的凹凸性、描绘函数图形
趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
曲 线 的 渐 近 线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
x
这里的极限可以是
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b .
x
垂直渐近线
若 lim f ( x) , 则曲线 y f ( x) 有一条垂直渐近线 x a .
x a
这里的极限可以是 xlim f ( x) , a lim lim f ( x) ; f ( x) ,
x a
x a
x a
lim f ( x) ; lim f ( x) .
f ( x) ( x 1) lim lim 1 2 x x x ( x 1) x
b k
现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：
定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、 单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、 拐 点、 渐近线、 零点位置 . 用极限讨论函数的变化趋势 . 用泰勒公式将函数离散化 .
三、函数图形的描绘
作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
经济数学课件 4.3函数的凹凸性
x
《经济数学基础》配套课件
定义4.3.3、4.3.4
若 lim f ( x) b，lim f ( x) b 或 lim f (x) b，
x
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.
若 lim f (x) , lim f ( x) 或 lim f ( x) ，
0
0
f (x)
凹的∪
拐点 (0,1)
凸的∩
拐点 (2 3 ,1127)
凹的∪
凹区间为(,0《],经[2济3数,学基), 础凸》区配套间课为件[0, 2 3]
凹凸区间为(,0], [0, 2 3], [2 3 ,). 《经济数学基础》配套课件
例 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y
1 3
x
3
,
y
2 9
x
3
x ( ,0) 0
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
《经济数学基础》配套课件
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2)
求关键点 y 1
2
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2
2 (1
(0, )
y
不存在
y凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
《经济数学基础》配套课件
练习. 求曲线
的凹凸区间及拐点.
函数曲线的凹凸性与作图
（2）y
8
x3
5
x 3，y
8
5
x3
5
2
x 3，y
40 x
10
.
33
93 x
（3）令y 0，得x 1，又当x 0时，y不存在，故有表3 - 5所示的区间. 4
表3-5
函数曲线的凹凸性与作图
综上所述，判定曲线y f x的凹凸及拐点的步骤归纳如：
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的一阶导数f x和二阶导数f x； （3）求出f x 0和f x不存在的点； （4）对步骤（3）求出的每一个点，检查其左、右邻近的f x的符号，如果异号，则该点为曲
（1）确定函数的定义域和值域； （2）确定曲线关于坐标轴的对称性； （3）求出曲线和坐标轴的交点； （4）判断函数的单调区间并求出极值； （5）判断函数的凹凸区间和拐点； （6）求出曲线的渐近线； （7）列表讨论并描绘函数的图像.
函数曲线的凹凸性与作图
例5
解
（1）定义无对称性.
0
曲线y f x的垂直渐近线(垂直于x轴).
（2）水平渐近线.对于曲线 y f x，若 lim f x A或 lim f x A,则直线y A是曲
x
x
线y f x的水平渐近线（平行于x轴）.
（3）斜渐近线 . 对于曲线y f x，若 lim f x a，lim[ f x ax] b，则直线 y ax b
定义2
若曲线C上的动点P沿曲线无限地远离原点时，动点P到某一固定直线L的距 离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线.
函数曲线的凹凸性与作图
曲线的渐近线有垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线三种.
（1）垂直渐近线.对于曲线y
f
D3.4曲线的凹凸性与拐点 图形的描绘
若
则
是曲线y = f (x)斜渐近线 .
高等数学
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例1 求曲线
的渐近线.
解: lim y , ∴曲线无水平渐近线 .
x
Q y
x3
, lim y , lim y ,
(x 3)(x 1)
x3
x1
x 3及 x 1是曲线的铅直渐近线y 12x3 12x2,令
y
0
得
x1
0
,
x2
2 3
,
对应 y1
1
,
y2
11 27
x
(,0) 0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,
)
y
0 0
y 3x4 4x3 1 凹
1
凸 11
27
凹
故该曲线在
(
,
0]及[
2 3
,
) 上是凹的,
在 [0,
2 3
]
上
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内容小结
曲线凹凸与拐点的判别
f (x) 0, x I
曲线 y f (x) 在I上是凹的
f (x) 0, x I
曲线 y f (x) 在I上是凸的
拐点 — 连续曲线上的凹凸分界点
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9
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2 确定曲线 y = f (x)凹凸性的一般步骤
(1) 确定函数 f (x) 的定义域;
(2) 求出使
的点和 不存在的点, 以这些点
函数的凹凸性,拐点与图形描绘
0
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
11
第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
8
4 是否有拐点？ 例4. 问曲线 y = x 是否有拐点？
解
定义域： 定义域：(− ∞ ,+∞ ),
y' = 4 x 3 ,
y" = 12 x 2 .
显然当 x = 0时， y ′′ = 0,
但当 x ≠ 0 时，总有 y" > 0. 因此，（ ，0）不是这曲线的拐点。 因此，（0， ）不是这曲线的拐点。 ，（
2 2
用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
11
第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
8
4 是否有拐点？ 例4. 问曲线 y = x 是否有拐点？
解
定义域： 定义域：(− ∞ ,+∞ ),
y' = 4 x 3 ,
y" = 12 x 2 .
显然当 x = 0时， y ′′ = 0,
但当 x ≠ 0 时，总有 y" > 0. 因此，（ ，0）不是这曲线的拐点。 因此，（0， ）不是这曲线的拐点。 ，（
2 2
用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
凹凸性与函数图形描绘
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x 3
b
lim [
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x x2
2 3x 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
拐点是平面上的一个点，坐标为(x0, f (x0))
(2)求法： f (x)在 x0点二阶可导，
若点(x0, f (x0 ))为拐点，
(3)拐点的求法
问题:如何找拐点? 拐点只可能出现在f ( x) 0 或f ( x)不存在的点.
具体求法: (1) 定义域;
(2) 找出 f ( x) 0 及f ( x)不存在的点; (3) 用这些点将定义区间分成若干小区间,列表;
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差”
CM
P
y kxb
例如, 双曲线
LN
有渐近线 但抛物线
x y0 ab
无渐近线 .
oy
x
ox
(1). 水平与垂直渐近线
若
则曲线
x
1)
e
x2 2
.
2
得驻点 x 0,
令 ( x) 0,
得 x 1, x 1.
§3-4曲线的凹凸性、拐点及函数图形的描绘
备课笔记
x O a c 图 3-11 由图 3-12 可以看出：对于凹的曲线弧，沿 x 轴正向，曲线 y=f(x)的切线斜 率递增；对于凸的曲线弧，沿 x 轴正向，曲线 y=f(x)的切线斜率递减．如果 y=f(x) 在区间(a，b)内可导，则 f(x)的单调性可以由 f(x)的符号确定．因 此可以利用函数 y=f(x)的二阶导数 f(x)的符号来判定曲线的凹凸性． y b
备课笔记
1 O 2 x
图 3-14 三、 函数图形的描绘 借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个 区间上下降，在什么地方有极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数 图形在哪个区间上为凹，在哪个区间上为凸，在什么地方有拐点.知道了函数 图形的升降、凹凸以及极值点和拐点后，也就可以掌握函数的性态，并把函 数的图形画得比较准确. 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：
y 12 x3 12 x 2 ，
2 y 36 x 2 24 x 36 x( x ) . 3
无锡职业技术学院 解方程 y 0 ，得 x1 0, x2
备课笔记
2 . 3
2 把 函 数 的 定 义 域 ( , ) 分 成 三 个 部 分 区 间 ： 3 2 2 (, 0],[0, ],[ ) . 3 3 x1 0, x2
( x0 , f ( x0 )) 是拐点，当两侧的符号相同时，点 ( x0 , f ( x0 )) 不是拐点．
强调 1.列表讨论曲线的凹凸性、拐点； 2.拐点要用坐标形式 ( x0 , f ( x0 )) 表示． 例3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的凹凸区间及拐点．
4 3 4 3
解：函数 y 3 x 4 x 1 的定义域为 ( , ) .
35曲线的凹向及函数图形描绘
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例3 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x 0时,
y
1
2
x 3,
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的•;
因为f ( x) 0，所以f ( x)递增，
因此，不论 （x，c），还是 （c，x）， [ f （c） f （）]与( x c)都为异号，故
返回
g( x) f ( x) 0, 即g( x ) f ( x )
这表明切线y g（x）在曲线 y
y f（x）的下方，因此该曲
y f (x)
线是凹的。
x
x
则直线y b 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
••• 例如，对于曲线y 1 x 1
y
来说，因为lim 1 0. 所以 x x 1
直线y 0是曲线•y 1 的水平 o
x 1 渐近线。
y f (x)
1
x
返回
又如曲线•y arctgx，因为
lim arctgx •••••••• lim arctgx ••.•••
y f ( x )在该区间内的凹凸分界点,叫做该曲线的拐点.
y y f (x)
M ( x , f ( x ))
0
0
o
x
定理2（拐点的必要条件）若函数f（x）在x0
处的二阶导数f ( x)存在，且点( x0，f ( x0 ))为曲线 y f（x）的拐点。则f ( x) 0。
注意： f ( x) 0所确定的点( x0，f ( x0 ))不一定是 拐点，即f （x0） 0是点（x0，f （x0）为拐点的必要 而非充分条件。
高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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结束
备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
机动
x1x x1 x1x2x2x2 xx x2 x 1 2 2
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定义2 . 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称f(x)图形是凹的; (2) 若曲线弧位于其上每一点处切线的下方， y y 则称f(x)图形是凸的 . y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27
曲线的凹凸性与函数图象描绘省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
f
(2 )( x2
x0 )2 ]
由 f ( x) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 ),
即
f
( x1
2
x2
)
1[ 2
f
( x1 )
f
( x2 )]
结论（2）可类似得证. 教材上用langrange定理证明!
例7 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2 , y 6x, 当x 0时， y 0,
定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
分析
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
不妨设x1
x2 ,令x0
x1
2
x2
,
分别在[ x1 , x0 ]与[ x2 , x0 ]上
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f ( )( x x0 )2
(在x, x0之间)
定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
凸旳 (2 3 ,1127)
凹旳
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
凹凸性图形描绘
f ( x) 凹的
拐点
拐点
(0,1)
凸的 (2 3 ,1127)
凹的
函数y 3x 4 4x 3 1 的图形
(0,1)
(2 3 ,1127)
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
例3 求曲线 y 3 x 的拐点.
4 2.154
2
解
当x
0时,
y
1
x
3.2.2 曲线的凹凸与拐点
复习:
y
B
y f (x)
A
oa
bx
f ( x) 0
yA
B
oa
bx
f ( x) 0
1. 曲线的凹凸性
(一)定义 凹:曲线位于其每一点处切线的上方 凸:曲线位于其每一点处切线的下方
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
(凹)
bx
A
oa
bx
(凸)
例 求曲线y ( x 3)2 的渐近线
4( x 1)
解 函数的定义域为 (,1) (1,)
由于l
( im
x
3)2
,
故x
1是曲线的一条垂直渐近线
x1 4( x 1)
a lim f ( x) lim ( x 3)2 1 x x x 4x( x 1) 4
小结
曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定；通过二阶导数的符号判别 改变弯曲方向的点——拐点。
3.2.3 曲线的渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点P 沿着曲线
移向无穷远时, 如果点P 到某定直线L 的距离
曲线的凹向及函数图形描绘
x1
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0，此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
第四模块 微积分学的应用
第六节 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
二、函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点
y
y
B
D
A C
A
C
B
D
O x1 x2
x3 x4
xO
x1 x2
x3 x4
x
(a)
(b)
如图所示，凡呈凸形的弧段，当自变量 x 由 x1
增大到 x2 时， 其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，
x x0
x x0
或 lim x x0
f (x) ,
则称直线
x = x0 为曲线 y = f (x) 的
垂直渐近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
lim ln x ，
y
x0
所以直线 x = 0+ 即 y
轴为 y = ln x 曲线的
O
垂直渐近线.
y = ln x x
又如, 对于曲线 y 1 来说, 因为lim 1 ,
二、函数图形的描绘
1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线
定义 3 若曲线 y = f (x) 上 的 动 点 y
M(x, y) 沿着曲线无限
3.4曲线的凹凸性与函数图形的描绘
课堂练习
2.a, b为何值，点（ 1 ， 3 ）是曲线y ax3 bx2的拐点？ 解 y 3ax2 2bx, y 6ax 2b
6a 2b 0 由(1,3)为拐点得 ; ab 3 3 9 解得a , b . 2 2
课堂练习
3.作出函数y x ln(1 x)的图形。
例如： (0,0)就不是y x 4的拐点.
求曲线凹凸区间及拐点 的步骤 : (1)求出f ( x)的定义域； (2)求出f ( x) 0和f ( x) 不存在的点; (3)列表考察上述各点相邻 两侧f ( x)符号.( 异号拐点 )
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
例3.4.2 求曲线y
y
y f1 ( x)
B
A
O
y f 2 ( x)
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
等价描述：
设f ( x)在区间I上连续 , 如果对I上任意两点x1 , x2 , 恒有 x1 x2 y f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 2 那么称f ( x)在I上的图像是向上凹的； 如果恒有
作图的一般步骤如下： （ 1 ）确定函数的定义区间 ； （ 2 ）考查函数的奇偶性、 周 期性与有界性； （ 3 ）确定函数的单调区间 和 极值点，凹凸区间与拐 点； （ 4 ）求曲线的渐进线； （ 5 ）借助辅助点，描出函 数的图像.
x 1 y x2
y
3
水平渐进线
垂 直 渐 近 线
2 1 1 1 2 3
x1 x2 2
x2
x
O
x1
x2
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
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1 所以 x ( , 0) 时 , y 0 , y 为凸的, x 1 x (0, ) 时 , y 0 , y 为凹的. x
该函数的图形 请自己绘出.
例2 解
研究 y a1 x a2 x a3 x a4 (a1 0) 的凹凸性.
3 2
函数的定义域为 ( , ) .
1
(1, )
y
y
x2 2
0
拐点
拐点
曲线 y e 在 : ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 . 点 (1, e ) 及 ( 1, e ) 为其拐点.
点 x 的坐标:
曲线位于弦线下方 :
x x1 (1 ) x2 , (0, 1)
f ( x) y弦
即
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f ( x) C( I ) , (0, 1) .
例3
研究 y x 在 (1, 1)内的凹凸性.
4 3 y 4x , 2 y 12 x ,
解
x (1, 1) 时, y 0 ,
且仅在 x 0 时 , y 0 ,
故 y x 4 在 (1, 1)内是凹的.
y
yx
4
x 0 只是使
y 0 的孤立点, 不是曲线凹凸性
( 1 ) 求 f ( x) 的定义域 (或确定讨论区间 ) ; (2) 计算 f ( x) , f ( x) , (如需要可求出 f ( x)) ;
(3) 求拐点可疑点 :使 f ( x) 0 的点和 f ( x) 不存在的点 ; ( 4) 根据定理判别可疑点是 否确为拐点 .
例4 解
x
讨论曲线 y e
x2 2
的凹凸性, 并求拐点. y xe
x 2
2
定义域为 : ( , )
,
y ( x 2 1)e
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
( , 1)
1
0
(1, 1)
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的 ;
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
在运用该定理时要注意：
如果 f ( x) 0 ( 0) , x (a, b) ,
但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .
例1
解
1 判别曲线 y 的凹凸性. x 函数的定义域为 ( , 0) (0, ) .
1 因为 y 2 , x 2 y 3 , x
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凹的 ;
定理
设 f ( x) C ( [a, b] ) , 在 (a, b) 内有二阶导数 .
若 f ( x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f ( x) 在 [a, b] 上是凹的 . 若 f ( x) 0 , x (a, b) , 则曲线 y f ( x) 在 [a, b] 上是凸的 .
一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗?
y
?!
.
A
B
.
x
O
y
y f ( x)
Q
凸
P
a x1
O
x
x2
b
x
弦线 PQ 的方程 :
f ( x2 ) f ( x1 ) y弦 f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1
点 x 的坐标:
曲线位于弦线上方 :
的分界点.
O
x
2. 曲线拐点的定义及判别法
连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点.
y
y f ( x)
y
y g ( x)
OxO来自x定理( 判别拐点的必要条件 )
设 f ( x) 在区间 I 上二阶可导 . 若 ( x0 , y0 ) 为曲线 y f ( x) 的拐点 ( x0 I ) , 则 f ( x0 ) 0 .
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
若 f ( x0 ) 0 , 且 f ( x0 ) 0 , 则点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
求拐点一般步骤
求曲线 y f ( x) 拐点的一般步骤 :
2 y 3a1 x 2a2 x a3 ,
y 6a1 x 2a2 ,
a2 故 x 时 , y 0 , 3a1 a2 x 时 , y 0 , 3a1 a2 x 时 , y 0 , 3a1
a2 曲线在 ( , ) 中是凹的; 3a1 a2 曲线在 ( , ) 中是凸的; 3a1 a2 x 是曲线凹凸性的分界点 . 3a1
x x1 (1 ) x2 , (0, 1)
f ( x) y弦
即
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
y
y f ( x)
Q
凹
P
O
a
x1
x
x2 b
x
弦线 PQ 的方程 :
f ( x2 ) f ( x1 ) y弦 f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1
定理
( 判别拐点的充分条件 )
0
空心邻域
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 N ( x0 ) ( x0 I ) 内二阶可导 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )