2021年人教版数学八年级下册《矩形的性质与判定综合》随堂练习教师版
矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)
18.2.1矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故选：A．【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46°B．52°C．56°D．62°【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由长方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故选：C．【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC ＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故选：C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD ＝12．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案为．【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）过点F作FG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴．在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，∴．题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6B．6.5C．10D．13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD 的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）证明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH 是矩形．【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB 交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．【变式9-1】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．题型10：矩形的判定综合10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝＝，∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝．word可编辑文档。
人教版八年级数学下册--18_2_1 矩形(第2课时 矩形的判定)练习】
第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：，使四边形DF AE是矩形．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一种情况即可）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习答案一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故②正确；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故④错误；能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，故选：C．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；B．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C．∵AO＝OB＝OC＝OD，∵AC＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；故选：D．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：D．10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：∠A＝90°（答案不唯一），使四边形DF AE是矩形．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝45°时，【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，AE＝DE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．。
矩形的性质与判定练习(含答案)
交于点 G ，四边形 ABGD 的面积是
．
26．如图，在长方形 ABCD 中， AB 4cm ，BC 8cm ．E 、F 分别是 AB 、BC 的中点．则
E 到 DF 的距离是
cm ．
27．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中， A(10, 0) ，C(0, 4) ， D 为
（1） BCD 的形状为
；
（2）随着点 E 位置的变化， DBF 的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点 F 落在边 AC 上时，若 AC 6 ，请直接写出 DE 的长．
43．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC AD ，延长 DA 于点 E ，使得 DA AE ，连接 BE ． （1）求证：四边形 AEBC 是矩形； （2）过点 E 作 AB 的垂线分别交 AB ，AC 于点 F ，G ，连接 CE 交 AB 于点 O ，连接 OG ， 若 AB 6 ， CAB 30 ，求 OGC 的面积．
且 OE 2DE ，则 DE 的长为
．
19．如图， ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC 、 AB 于点 D 、 F ， BE DF 交 DF 延
长线于 E ，已知 A 30 ， BC 2 ， AF BF ，则四边形 BCDE 的面积是
．
20．如图，在 ABC 中， AD BC 于 D ， BE AC 于 E ， M 为 AB 边的中点，连结 ME 、
A． 3 1
B． 3 1
C． 6 1
D． 6 1
15．如图，在矩形 ABCD 中， AB 4 ， BC 6 ，点 E 为 BC 的中点，将 ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF ，则 CF 的长为 ( )
2020--2021学年人教版八年级数学下册 18.2.1《矩形》课时同步练习(无答案)
八年级数学18.2.1《矩形》课时同步练习一、选择题：1、对角线相等且互相平分的四边形是（）A.任意四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形2、如图，在矩形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F，连接DF，则图中面积相等但不全等的三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=（）．A.22.5°B.30°C.45°D.15°4、如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）A.△AFD≌△DCEB.AF=AD/2C.AB=AFD.BE=AD﹣DF5、如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（）A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm26、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2√3）．将矩形OABC 绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（）．A.（-2√3，6）B.（2√3,6）C.（-6，-2√3）D.（6，-2√3）7、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A.1.8B.2.4C.3.2D.3.68、如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°二、填空题：9、已知长和宽分别为a，b的矩形，其面积等于15，周长等于16，则2a2b+2ab2=______.10、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．11、如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,AD=3，则图中阴影部分的周长为。
2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.1矩形 同步习题(含解析)
18.2.1矩形同步习题一．选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（）A．5B．C．D．3．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．15cm2D．48cm24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE．求AE的长（）A．B．3C．D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB＝6，∠ACB＝30°则MN的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图所示，矩形ABCD中，BC＝2AB，E为BC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是边BC的中点，AO＝，AD＝4，则OE的长为（）A．1B．C．2D．8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2B．4.5C．5.2D．5.59．如图，长方形ABCD中，F是BC上（不与B、C重合）的任意一点，图中面积相等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为．12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为AB，OA的中点．若MN＝2，CD＝4，则∠ACB的度数为．13．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．14．如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于F，则PE+PF的值为_____．三．解答题16．如图，在矩形ABCD中，点F是BC边上一点，DE⊥AF于E，且DE＝DC，求证：△ABF ≌△DEA．17．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．18．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．（1）求BC的长；（2）求证：CE⊥EF．参考答案一．选择题1．解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．2．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D．3．解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，∴斜边＝2×6＝12（cm），∴面积＝×12×4＝24（cm2）．故选：B．4．解：∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO＝BD＝2BE，∴BE＝EO，又∵AE⊥BO，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝30°，又∵AE⊥BD，∴AE＝AD＝3，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BO＝AB＝6，∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN＝BO＝3，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠ADC＝90°，∵BC＝2AB，AE＝AD，∴AE＝2AB，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，AC＝2AO＝2，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝2，∵E是边BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝CD＝1，故选：A．8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝S矩形ABCD，∴S△ABD＝S△AFD＝S矩形ABCD，S△ABF＝S△BFD，∴S△ADF＝S△BCD，S△ABE＝S△DEF，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，当OP⊥AD时，OP有最小值，∴OP＝OD＝3，故选：A．二．填空题11．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴∠DAB＝90°，DB＝AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝55°，∴∠ODA＝∠OAD＝55°，∴∠OBA＝90°﹣∠ADB＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35°．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵M，N分别为AB，OA的中点，∴BO＝2MN＝4，∴AO＝BO＝AB＝4，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，故答案为：30°．13．解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，∴OE＝BE＝，在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，∴DF＝，在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，∴OF＝，∴点D的坐标为（，﹣），故答案为：（，﹣）．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝7，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，∴S△EAB+S△ECD＝AD•h1+BC•h2＝AD（h1+h2）＝AD•AB＝矩形ABCD的面积＝×7×4＝14；故答案为：14．15．解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝14S矩形ABCD＝14×6×8＝12，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝22226810 AB AD+=+=，∴AO＝OD＝5，∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝24 5，故答案为：24 5．三．解答题16．证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥CF，又∵DE＝DC，DE⊥AF，∴DF平分∠CFE，∴∠CFD＝∠DFE，∵CB∥AD，∴∠CFD＝∠ADF，∠AFB＝∠DAE，∴∠DF A＝∠ADF，∴AF＝AD，在△ABF和△DEA中，，∴△ABF≌△DEA（ASA）．17．解：（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵点F是BC的中点，∴FC＝＝1，Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF＝，∴DE＝DF＝，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．18．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，∵AF＝2，∴BF＝1，∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，∴BC＝＝＝，∴BC的长是；（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，∴根据勾股定理得，EF＝＝，∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，∴根据勾股定理得，EC＝＝，∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，∴CE2+EF2＝CF2，∴△CEF是直角三角形，∴CE⊥EF．。
人教版八年级数学下册第02课 矩形的性质与判定 同步练习题
初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
2020-2021学年人教版八年级数学下册学案：18.2.1矩形的性质与判定 例题与练习题
矩形的性质与判定知识点1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相等3、矩形的判定：①从定义来判定②有三个角是直角的四边形是矩形③对角线相等的平行四边形是矩形矩形的性质：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=0120，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。
60,AE平分∠BAD，交变式1：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=0BC于点E，则∠COE为多少度？变式2：如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，求证：BE=CF。
矩形的判定：90。
例2：如图，在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分于点O，∠B=0求证：四边形ABCD是矩形90，例3中，以AC为斜边做Rt△AMC,且∠BMD=0求证：四边形ABCD是矩形。
90，E，F，G分别是AC、BC、AB上的点，且变式1：如图在Rt△ABC中，∠C=0EG∥CB，FG∥CA，求证：四边形EGFC是矩形。
变式2：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF。
（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么四边形，并证明你的结论。
例4：如图，GE∥HF，直线AB于GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB 、∠FBA 、∠ABH 、∠GAB 的平分线，求证：四边形是矩形。
变式：如图，BD 、BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，垂足分别为E 、D.求证：四边形AEBD 是矩形。
【基础练习】 一、填空题：1.四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D , 则四边形ABC D是 ；2.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm ，则该矩形的对角线长为 cm ；3.直角三角形两直角边长分别为6cm 和8cm, 则斜边上的中线长为 cm ，斜边上的高为 cm. 二、选择题：1.下列命题是真命题的是（ ）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是矩形2.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm 2, 则其周长为（ ）.A. 15cmB. 30cmC. 45cmD. 90cm三、解答题：1.如图3-12， ABCD 中，∠DAC =∠ADB , 求证：四边形ABCD是矩形.图3-12B A C D O2.如图3-13，P 是 ABCD 的边的中点，且PB = PC . 求证：四边形ABCD 是矩形.【能力提高】 1、如图9所示，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE=DC ，请不添辅助线在图中找出一对全等三角形，并证明之2、如图，ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H. 求证：EG = FH .3、如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E 、F ，连接BE 、CF 。
矩形的性质与判定练习(含答案)
．
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，OA OC ，OB OD ，添加一个条件
使四边形 ABCD 是矩形，那么所添加的条件可以是
（写出一个即可）．
18．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，CE BD ，垂足为点 E ，CE 5 ，
A．5
B． 5 3
C．10
D．10 3
7．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE BD ，连接 AE ，如果 ADB 38 ，则 E 的值是 ( )
A． 19
B． 18
C． 20
D． 21
8．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于 O ， BC 2 ， AE BD ，垂足为 E ，
．
24．如图，已知 BEFG 是长方形， A 为 EB 延长线上一点， AF 交 BG 于点 C ， D 为 AC 上 一点，且 AD BD BF ，若 BFG 60 ，则 AFG 的度数为 ．
B．②③
3．下列对矩形的判定中，正确的个数有 (
C．③④ )
D．②④
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
A． 12 5
B． 24 5
C． 18 5
D．5
11．如图所示，矩形 ABCD 中， AE 平分 BAD 交 BC 于 E ，CAE 15 ，则下面的结论中 正确的有 ( ) ① ODC 是等边三角形； ② BC 2 AB ； ③ AOE 135 ； ④ SAOE SCOE ．
矩形的判定(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)
人教版初中数学八年级下册18.2.2矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（）A ．有三个角是直角B ．对角线互相平分且相等C ．对角线互相垂直且相等D ．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A 、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D 、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A ．=BAD ABCB ．AB BDC ．AC BD D ．=A B BC【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，+=180°ABC BAC ，=ABC BAC ∵，==90°ABC BAC ，平行四边形ABCD 是矩形，故选项A 符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BD ，++=180°BAD ABD DBC ，90ABD ，90°BAD ，选项B 不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B 不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，平行四边形ABCD 是菱形，故选项C 不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，=A B BC ，平行四边形ABCD 是菱形，故选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC 交AD 于E ，若4,8AB BC ，则AE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．【答案】C 【分析】根据矩形ABCD ，得到AD =BC =8，∠ADC =90°，OA =OC ，从而得证△AOE ≌△COE ，AE =CE ，设AE =x ，则EC =x ，DE =8-x ，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC ，∵矩形ABCD ，OE AC ，4,8AB BC ，∴AD =BC =8，AB =CD =4，∠ADC =90°，OA =OC ，∵OE AC ，∴∠AOE =∠COE =90°，∵OE=OE ，∴△AOE ≌△COE ，AE =CE ，设AE =x ，则EC =x ，DE =8-x ，在Rt △DEC 中，222CE DE CD ，∴222(8)4x x ，∴x =5，∴AE =5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）DA．1B C．235．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边AD 、AB 、BC 、CD 的中点．若8AC ，6BD ，则四边形EFGH 的面积为（）A ．48B ．24C ．32D ．12∴EF ∥GH ，FG ∥HE 且EF ⊥FG ．四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积=EF •EH =3×4=12，即四边形EFGH 的面积是12．故选：D ．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，CA 的中点，若四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需满足的条件是（）A ．AB DCB ．AC BD C ．AC BD D ．AB DC∵//EF AB ，//HE CD ，∴AB CD ，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形，再利用 FE HE 推出AB CD ．7．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ，3AC ，4BC ，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC 于点E ，MF BC 于点F ，则EF 的最小值是（）A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.6【答案】B 【分析】根据题意可证四边形ECFM 是矩形，得EF =CM ，再由垂线段最短得CM 最短进而可得EF 最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM ，∵ME AC ，MF BC ，∴ MEC = MFC =90°,当CM AB ，1122ABC S AC BC AB CM △，∴113422CM AB ， ABC 中，二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，AC 与BD 应满足的的条件是___________．,,,E F G H ∵分别为,,CD AD AB 1,2EF AC GH EF GH AC 四边形EFGH 为平行四边形，要使平行四边形EFGH 为矩形，则AC BD，．故答案为：AC BD【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．AB CD，PM、PN、QM、QN分别为角平分线，则四边形PMQN是__________．11．如图，//∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23°，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44°．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中APD CED ADP CDE AD DC＝＝＝，∴△ADP ≌△CDE ，∴DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，∴四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，∴DP 2=36，∴DP =6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC 交BC 于点D ，分别过点A 、D 作AE BC ∥、DE AB ∥，AE 与DE 相交于点E ，连接CE ．(1)求证：AE BD ；(2)求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据AE BC ∥、DE AB ∥证明四边形ABDE 为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出BD CD ，AD BC ，得出AE CD ，90ADC ，先证出四边形ADCE 是平行四边形．再证明四边形ADCE 是矩形即可．【详解】（1）证明：∵AE BC ∥、DE AB ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE BD ；（2）证明：∵AB AC ，AD 平分BAC ，∴BD CD ，AD BC ，∵AE BD ，∴AE CD ，∵AE CD ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AD BC ，∴90ADC∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD CD ，AD BC ，是解决问题的关键．15．如图，四边形ABCD 是平行四边形，过点D 作DE AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF AE ，连接AF ，BF ．(1)求证：四边形BFDE 是矩形．(2)若AF 是DAB 的平分线．若6CF ，8BF ，求DC 的长．DAF DFA ，10AD FD ，10616DC DF FC ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，90ABC BCD ．对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC 交BC 于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若2CD ，DBC =30 ，求△BED 的面积．17．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE BD 于点E ，DF AC 于点F ，且AE DF ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)若:4:5BAE EAD ，求EAO 的度数．∴904050OBA OAB ，∴504010EAO OAB BAE ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 是Rt ABC 中斜边(AC 不与A ，C 重合)上一动点，分别作PM AB 于点M ，作PN BC 于点N ，点O 是MN 的中点，若9AB ，12BC ，当点P 在AC 上运动时，则BO 的最小值是（）A ．3B ．3.6C ．3.75D ．4【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在Rt ABC △中，90A ，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG AB ∥，交HM 的延长线于点G ，若10AC ，8AB ，则四边形ACGH 周长的最小值是（）A ．28B ．26C ．22D ．18【答案】A 【分析】通过证明BMH CMG △≌△可得BH CG ，可得四边形ACGH 的周长即为AB AC GH ，进而可确定当MH AB 时，四边形ACGH 的周长有最小值，通过证明四边形ACGH 为矩形可得H G 的长，进而可求解．【详解】解：CG AB ∥∵，B MCG ，M ∵是BC 的中点，BM CM ，在BMH V 和CMG V 中，B MCG BM CM BMH CMG，()BMH CMG ASA △≌△，HM GM ，BH CG ，10AC ∵，8AB ，四边形ACGH 的周长18AC CG AH GH AB AC GH GH ，当GH 最小时，即MH AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，90A ∵，MH AB ，GH AC ∥，四边形ACGH 为矩形，10GH ，四边形ACGH 的周长最小值为181028 ，故选：A ．【点睛】本题主要考查轴对称 最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定GH 的值是解题的关键．3．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，15CAE ．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB ；④150 AOE ；⑤AOE COE S S ，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：4．如图，在平行四边形ABCD 中，90A ，10AD ，=8AB ，点P 在边AD 上，且BP BC ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且=PM CN ，连接MN 交CP 于点F ，过点M 作ME CP 于E ，则=EF ___________.，根据等角对等边可得5．如图，在矩形ABCD 中，4AB cm ，12AD cm ，点P 从点A 向点D 以每秒1cm 的速度运动，Q 以每秒4cm 的速度从点C 出发，在B 、C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点P 到达点D 为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形．【答案】2.4s 或4s 或7.2s【分析】根据已知可知：点Q 将由,C B C B C 根据矩形的性质得到AD ∥BC ，设过了t 秒，当AP=BQ 时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形，在点Q 由C B 的过程中，则PA=t ，BQ=12-4t ，求得t=2.4（s ），在点Q 由B C 的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s ），在点Q 再由C B 中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s ），在点Q 再由B C 的过程中，t=4（t-9），t=13（s ），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q 由,C B C B C在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．若AP BQ设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），的过程中，在点Q由B C设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由C B过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），的过程中，在点Q再由B C设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF AE ，连接AF BF ，．(1)求证：四边形BFDE 是矩形．(2)已知60DAB AF ，是DAB 的平分线，若6AD ，则□ABCD 的面积为______．7．如图，在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ，D 是AC 的中点，CE AB ∥，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点B 出发向点A 移动，连接PD 并延长交CE 于点F ，设点P 移动的时间为t 秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当4PF 时，求t的值．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。
人教版数学八年级下册：《18.2.2矩形的判定》练习含答案
《矩形的判定》练习题一、选择——基础知识运用1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD2．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．如果再增加条件AC=BD，此四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能4．有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．其中，正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对）二、解答——知识提高运用6．已知，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=12，BD=13．求证：平行四边形ABCD是矩形。
7．如图所示，在□ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形，求证：□ABCD是矩形。
8．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点，求证：四边形PQMN是矩形。
9．如图，□ABCD与□ABEF中，BC=BE，∠ABC=∠ABE，求证：四边形EFDC是矩形。
2020—2021年人教版初中数学八年级下册矩形的性质与判定例题+同步练习及答案(精品试题).docx
第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC 上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN 交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90° D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10c m3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC 于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S△ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE ＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
矩形的性质(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)
人教版初中数学八年级下册18.2.1矩形的性质同步练习夯实基础篇一、单选题：1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等【答案】C【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；它们的对边都具有平行且相等的性质，∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是本题的关键．2．如图，在ABC 中，13,AB CB BD AC 于点D 且12,BD AE BC 于点E ，连接DE ，则DE 的长为（）A ．52B ．72C ．5D ．6【答案】C是直角三角形，3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AE BC ，则图中阴影部分图形的面积和为（）B C．D．A．【答案】C【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．的中点，4．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE AC 于点E ，124AOD ，则CDE 的度数为（）A ．62B ．56C ．28D ．30【答案】C 【分析】由矩形的性质得出OC OD ，得出62ODC OCD ，由直角三角形的性质求出28CDE 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ，AC BD ，OA OC ，OB OD ，∴OC OD ，∴ODC OCD ，∵124AOD ODC OCD ，5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF＝6cm，则AC的长是()A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm故选：C ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．6．如图，在长方形ABCD 中，10cm AD ，6cm AB ．将C 沿BE 折叠，使点C 的对应点C 落在AD 上，则DE 的长度为（）A ．2cmB ．2.5cmC ．4cm 3D ．8cm 3【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于E ，若30DAO ，则BEO 的度数为()A ．45B ．60C ．65D ．75二、填空题：8．如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE BD ，若34ADB ，则E ________．【答案】17 ##17度【分析】连接AC ，交BD 于点O ，先根据矩形的性质可得,,AC BD OA OD AD BC ，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得34CAD ADB ACB ，又根据等腰三角形的性质可得CAE E ，从而可得17DAE CAE ，由此即可得出答案．【详解】解：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是矩形，,,AC BD OA OD AD BC ，34CAD ADB ACB ，CE BD ∵，9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等．10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．∴45MN ；故答案为：45MN ．【点睛】本题考查三角形中位线，解题的关键是确定动点P 的两个边界点．11．如图，在ABC 中，AD 是高，E ，F 分别是AB AC ，的中点．若四边形AEDF 的周长为24，15AB ＝，则AC _____．∴24AB AC ，∵15AB ，∴24159AC ，故答案为：9．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 为边AB 上任意一点，过点P 作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则PE ＋PF ＝________．∵矩形ABCD 的两边AB =3，BC =4∴S ABCD =AB •BC =12，OA =OC13．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ，则BCG 的度数是_________．14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，△CEF沿EF折叠C落在C 处，当AEC为等腰三角形时，BC=________．【答案】18或15或21.9时，即可求解．AF综上所述，BC=18或15或21.9．故答案为：18或15或21.9【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．三、解答题：BC ．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、15．已知：如图，在矩形ABCD中，4AB ，2F．求线段CF的长．∵四边形ABCD是矩形，16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．∴OB=OD，OA=OC，AC=BD∴OA=OB，17．已知：如图，90ACB ADB M N ，、分别是、AB CD 的中点，求证：MD MC MN CD ，．【答案】见解析【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明DM CM ，再利用等腰三角形的性质可证明MN CD ；【详解】证明：如图所示，连接MC MD ，，，18．如图，矩形ABCD 中，BAD 的平分线交BC 于点E ，O 为对角线AC 和BD 交点，且15CAE ．（1）证明AOB 为等边三角形；（2）求AOE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）135°．【分析】（1）先根据矩形的性质得到AO BO 、90BAD ，再证明60BAO 即可证明结论；（2）先说明BO BE ，再求得75BOE ，最后根据角的和差解答即可．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAD∴∠BAE =45°∵∠CAE =15°∴∠BAC =60°∵AO =BO∴△AOB 是等边三角形（2）解：∵△AOB 是等边三角形∴AB =BO∵AB =BE∴BE =BO∴∠BOE =∠BEO∵∠OBE =90°－60°=30°∴∠BOE =∠BEO =（180°－30°）÷2=75°∴∠AOE =∠AOB +∠BOE =60°+75°=135°【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处．若点D 的坐标为 10,8，则点E 的坐标为（）A ．10,3B ． 10,5C ． 6,3D ．4,32．如图，在矩形ABCD 中，3AB ，4BC ，过对角线交点O 作EF AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是（）A ．78B ．65C ．1D ．12【答案】A【分析】首先连接CE ，根据矩形的性质，得出90ADC ，3CD AB ，4AD BC ，OA OC ，再根据EF AC ，得出线段EF 是线段AC 的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线定理，可得AE CE ，然后设DE x ，则4CE AE x ，根据勾股定理，得出 2294x x ，解出即可得出DE 的长．【详解】解：如图，连接CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ，3CD AB ，4AD BC ，OA OC ，又∵EF AC ，∴线段EF 是线段AC 的垂直平分线，∴AE CE ，设DE x ，则4CE AE x ，3．如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点1O ，以1AB AO 、为两邻边作平行四边形11ABC O ，平行四边形11ABC O 的对角线交于点2O ，同样以2AB AO 、为两邻边作平行四边形22ABC O ，…，依此类推，则平行四边形n n ABC O 的面积为（）A ．152nB ．52n C ．152n D ．252n二、填空题：4．如图，在ABC 中，3AB ，4AC ，5BC ，P 为边BC 上一动点，PE AB 于E ，PF AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5，0)，(0，3)，点P在BC边上运动，当 OAP是等腰三角形时，点P的坐标为_____．6．如图，在矩形ABCD 中，AD ，BAD 的平分线交BC 于点E ，DH AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED CED ；②OE OD =；③BH HF ；④AB HF ；其中正确结论的序号是______．在△BEH 和△HDF 中，EBH OHD BE DH AEB HDF，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH ＝HF ，故③正确；∵AB ＝AH ，∠BAE ＝45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴AB ≠HF ，故④错误．∴其中正确的有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．三、解答题：7．如图，折叠矩形ABCD 的顶点D 所在角，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ．(1)若∠DAE ＝26°，求∠EFC 的大小；(2)若AB ＝8，BC ＝10，求EC 的长．8．如图，等腰RtΔEOF 的直角顶点O 是矩形ABCD 对角线的交点，OF 与BC 边交于点M ．(1)如图1，当OE 与AC 在同一条直线上时，求证：222CM CD BM ．(2)如图2，当OE 与BD 在同一条直线上时，若=3AB ，=5BC ，求BM 的长．.【答案】(1)见解析；(2)3.4【分析】（1）连接AM ，根据矩形的性质可知=AO CO ，=AB CD ，90ABC ，因为EOF 是直角三角形，所以OF 是AC 的垂直平分线，故AM CM ，在RtΔABM 中，222AB BM AM ，定理代换即可证得结论；（2）连接DM ，由（1）可知，=DM BM ，设BM x =，则=5CM x ，利用勾股定理求出x 的值即可．【详解】（1）证明：连接AM ，∵四边形ABCD 是矩形，AO CO ，=AB CD ，90ABC ，ΔEOF ∵是直角三角形，MO AC ，OF 是AC 的垂直平分线，=AM CM ，在RtΔABM 中，222AB BM AM ，222=+CM CD BM ；（2）解：连接DM ，由（1）可知，=DM BM ，设==BM DM x ，则=5CM x ，在菱形ABCD 中，90BCD ，3AB CD ，在RtΔMCD 中，根据勾股定理得，222+=CM CD DM ，即222(5)+3=x x ，解得=3.4x ，=3.4BM ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．。
人教版八年级数学下册18.2.1第2课时矩形的判定3同步练习题及答案.doc
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】18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时矩形的判定1、下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？4、如图，□ABCD各角的角平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：•四边形EFGH 是矩形．5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN. 求证：四边形NDMB是矩形.6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形7、在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，且AB＝CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.9、如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点. 求证：四边形AECF是矩形.D ACF PE B10、如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11、【提高题】如图，在△AB C 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，P •为BC 上的任意一点，过P 点分别作PE ⊥AB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则有PE ＋PF ＝CD ，你能说明为什么吗？矩形的判定 答案1、【答案】 C2、【答案】 C3、【答案】是矩形，【提示】OE＝OF＝OG＝OH4、【答案】用判定定理“三个角都是直角的四边形是矩形”来证明。
人教版数学八年级下册 18.2.1节 矩形 同步练习(无答案)
第18.2.1节矩形矩形的性质题型一：矩形的定义及性质定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质1：矩形的四个角都是直角；、性质2：矩形的对角线长度相等。
1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等2.矩形ABCD 对角线AC、BD交于点O，以下结论不一定成立的是（）A.∠BCD=90°B. AC=BDC. OA=OBD.OC=CD3.若矩形对角线的长是10cm，一边长是6cm，则其周长是，面积是。
4.如下图，矩形ABCD的对角线交于点O，AC=10，P、Q分别是AO、AD的中点，则PQ的长度是5.如下图，在矩形ABCD中，AB=2，∠AOB=60°，则OB的长为6.如下图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的平分线交BC于点F，若AB=6，BC=16，则FC长为7.如下图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为第4题图第5题图第6题图第7题图8.如图，矩形ABCD，对角线交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E，求证：AC=CE。
9.如图，矩形ABCD，延长AB至F，连接CF，且CF=AF，过点A作AE⊥FC于点E。
（1）求证：AD=AE；（2）连接CA，若∠DCA=70°，求∠CAE的度数。
题型二：直角三角形斜边上的中线直角三角形的一个性质：在Rt△中，斜边上的中线等于斜边的一半。
变形1：如下图，已知∠ACB=90°，CD=BD，求证：CD=AD；变形2：如下图，已知AD=CD=BD，求证：∠ACB=90°。
1.若直角三角形两条直角边的长分别为18,24，则斜边上的中线长为2.如下图，在△ABC中，AB=10，BC=8，AD垂直平分BC，垂足为D，点E是AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为3.如下图，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=4.如下图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有条。
人教版八年级数学下册矩形练习及详解_
人教版八年级数学下册矩形练习及详解题一：题二：题三：题四：且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB 有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一：B．详解：A．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B．题二：B．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B．题三：B．详解：A．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．题四：C．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C．题五：30°．详解：∵∠DAE：∠BAE=1：2，∠DAB=90°，∴∠DAE=30°，∠BAE=60°，∴∠DBA=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠CAE=∠BAE-∠OAB=60°-30°=30°．题六：75°．详解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠CED= 45°，∴EC=DC，又∵∠BDE=15°，∴∠CDO=60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠DCO=60°，∠OCB=90°-∠DCO=30°，∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED= 45°，∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；∴∠COE=(180°-30°)÷2=75°．题七：65．详解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为Rt△ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65．题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求， ∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线， ∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13， ∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九： 见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ， 在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ， ∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形．题十： 见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，∴D、A、E三点共线，即边DA、AE在一条直线上，∴当∠BAC=60°时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．题十一：见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠EDO=∠BCO，∠DEO=∠CBO，∵DE=AD，∴DE=BC，在△BOC和△EOD中，∠OBC=∠OED，BC=DE，∠OCB=∠ODE，∴△BOC≌△EOD(ASA)；(2)∵DE=BC，DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠A=∠ODE，∵∠A=12∠EOC，∴∠ODE=12∠EOC，∵∠ODE+∠OED=∠EOC，∴∠ODE=∠OED，∴OE=OD，∵平行四边形BCED中，CD=2OD，B E=2OE，∴CD=BE，∴平行四边形BCED为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。
人教版八年级下册数学 182矩形菱形的性质定理和判定定理及证明 习题精选含答案
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S、S，则二者的大小关21系是：S____S。
213．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。
4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。
7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。
．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
B．C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。
10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。
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2021年人教版数学八年级下册《矩形的性质与判定综合》
随堂练习
一、选择题
1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中全等三角形有（）
A.2对
B. 3对
C. 4对
D.5对
【答案解析】C
2.Rt△ABC中，∠C=90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（）
A.5cm
B.15cm
C.10cm
D.2.5cm
【答案解析】A
3.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则
AD等于（）
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案解析】C
4.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案解析】C
5.如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是（）
A.△EBD是等腰三角形，EB=ED
B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C.折叠后得到的图形是轴对称图形
D.△EBA和△EDC一定是全等三角形
【答案解析】B
6.如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）
A.△AFD≌△DCE
B.AF=AD
C.AB=AF
D.BE=AD﹣DF
【答案解析】B
7.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形周长为16，则AE长是( )
A.3
B.4
C.5
D.7
【答案解析】A
8.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE
的面积为（）
A.6cm2
B.8cm2
C.10cm2
D.12cm2
【答案解析】A
二、填空题
9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，
BC=8cm，则EF= cm.
【答案解析】答案为：2.5.
10.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= °．
【答案解析】答案为：45°
11.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E,∠DAE=3∠EAB，则∠ACD的度数为．
【答案解析】答案为：67.5°，
12.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是_____
【答案解析】答案为：∠2=∠3
13.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC=56°，则∠1= °.
【答案解析】答案为：62
14.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB
边上的F处，则CE的长为．
【答案解析】答案为：．
三、解答题
15.如图，已知在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．
求证：AE平分∠BAD．
【答案解析】提示：证明△BFE≌△CED，从而BE=DC=AB，∴∠BAE=45°，可得AE平分∠BAD
16.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，
交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.
（3）在（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，求△ABC的面积.
【答案解析】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；
理由如下：由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴AC===5，△ACE的面积=AE×EC=×3×4=6，
∵122+52=132，即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的面积=AB•AC=×12×5=30.。