第五章电磁散射 _简版

第五章 电磁散射 5.1 雷达散射截面
雷达散射截面(Radar Cross section,缩写RCS )是雷达隐身技术中最关键的概念，它表征了目标在雷达波照射下所产生回波强度的一种物理量。

RCS 是一个假想的量，我们将RCS 等效为一个截面，将其放置在一个与电磁波传播方向垂直的平面上，它可以无损耗地把入射功率全部地、均匀地向各个方向传播出去，并且，在接收处的回波功率密度与实际目标产生的功率密度相等。

将RCS 定义为目标在单位立体角内向接收机处散射功率与入射波在目标上的功率密度之比的4π倍。

假设入射波，r k j i i i
e E E ∙-=0，则有i
i i E k H ⨯=η
1
入射波平均功率密度2
1
Re()22i
i i i i E S E H k η
=
⨯= 目标截取的总功率为入射波功率密度与目标“等效面积”σ 的乘积，即：
2
02i i E S P η
σσ==
假设目标功率是各向同性均匀地向四周散射，则在距离目标R 处的目标散射功率密度
为：2
20
284R
E R P
S i s πησπ ==
散射功率密度亦可用散射场强表示：η
22
s s E S
=
由上可得：
22
2
R 4,s i
s c i i
E R E E S E S σπ==
=
∝∝接收天线处目标散射总功率距离目标处散射总功率
目标处入射总功率目标处入射总功率
另外：
1. σ与R 无关；
2. 符合远场条件：R 远大于目标特征尺寸 ；
3. σ与入射波方向，散射波方向，散射体形状，表面粗糙度以及介电特性等相关。

雷达散射系数是指单位照射面积上的雷达散射截面，是归一化处理的结果，它是入射电磁波与地面目标相互作用结果的度量，定义为，
为照射面积
为入射角，或者A A A
i i
o o θθσ
σσ
σ,cos ,=
=
雷达散射的三个特征区域
若目标的特征尺寸为a ，则ka 为其电尺寸。

其中λ
π
2=k 为雷达波数。

目标RCS 随电
尺寸的变化分为三个区域。

以金属球为例，令02=r
σ
σπ，其中r 是金属球的半径，λ 为入射波波长。

0σ
1. 瑞利区：低频区散射(1≤ka ) ，
λ
a
小，入射场区在散射体上无变化，静场问题； 2. 谐振区：）（201≤≤ka ， 特征尺寸与波长同一数量级，呈现出复杂的耦合效应；
3. 光学区：)20(>ka ， 遵循几何光学原理。

目标尺寸相对于波长很小时λπ远小于r 2，将呈现出瑞利区特性 ，4
-λσ∝球，绝大多数雷达目标都不在这一区域内。

处于瑞利区的目标，决定它们RCS 的主要参数不是形状而
是体积。

在实际应用中，气象微粒常用的雷达波长就是其特征尺寸远远小于雷达波长。

通常的雷达目标尺寸较气象微粒来讲要大得多，故降低雷达的工作频率可以降低气象回波（云雾、雨滴等）的影响，并且不会明显减小正常雷达回波的RCS 。

在波长减小到2=r πλ附近，即物体尺寸与雷达波长相比拟时，就进入谐振区。

入射长的相位沿物体长度变化显著，场的耦合现象严重。

实际中大多数雷达的目标都处在光学区（λπ远大于a 2）。

光学区，即当目标尺寸比波长大得多时，如果表面比较光滑，那么就可以利用几何光学原理来确定目标RCS 。

按照几何光学原理，表面反射最强的区域是对电磁波波前镜像反射的点，该区域大小与该点曲率半径成正比。

曲率半径越大反射区就越大，这一反射区在光学中称为“亮斑”。

当物体在“亮斑”附近旋转对称，其截面面积为2πρ，ρ为曲率半径。

故随着频率的提高，渐入光学区的导体球RCS 为2
r πσ=球 ，不再随频率变化。

5.2 随机粗糙面的表达
当电磁波由上向下照射到两个半无限介质的分界面上时，入射能量的一部分散射回来，剩下的一部分透射进下层介质中．特殊情况下，即当下层介质是均勾的或近似可以认为均匀的，这时仅仅在分界面上发生散射现象。

因而所讨论的这问题就变为一个表面散射问题，由图可见，当表面愈来愈粗糙时，后向散射幅度增大，镜向散射分量变小。

1. 镜面情况
在s i θθ=时，有反射，其余情况无散射场，散射方向图为δ函数。

2. 微粗糙面
在s i θθ=时，有相干分量；而且有漫反射（各方向的散射）。

相干分量（镜像分量）和非相干分量（漫反射分量）。

3. 极度粗糙面
造成较强的后向散射。

0(,)cos cos i s i s k k γσθθ= 210(,)cos i s i i k k k γσθ=-=
表面参数的表达
表面高度标淮离差(σ)和表面相关长度(l )是描述随机表面高度的两个统计变量，它是相对于一种基准表面而言的．基准表面可以是周期性结构的平静表面(例如成列的垄沟耕田表面)，也可以是平均常值表面。

1. 表面高度标准离差(σ)
假设有一表面处于x-y 平面内，在x-y 平面之上某一点(x ，y)的高度为z(x ，y)，在表面上取统计意义上有代表性的一块，尺寸分别为Lx 和Ly ，并假设这块表面的中心处于原点．则表面的平均高度为
/2
/2
/2/2
1(,)--=
⎰
⎰
x y x y L L L L x y
z z x y dxdy L L
其二阶矩为 /2
/2
2
2/2/2
1
(,)--=
⎰
⎰
x y x y L L L L x y
z z x y dxdy L L
表面高度的标准离差为 2
21/2()σ=-z z 对于一维离散数据，标准离差可按下式求出
()()1/2
221
11σ=⎡⎤⎫⎛=-⎢⎥⎪ -⎝⎭⎣⎦∑N i
i z N z N ，11=⎫
⎛=⎪ ⎝⎭
∑N i i z z N ，N 为取样数目, 0.1λ∆≤z
2. 表面相关长度
归一化的自相关函数定义为：
/2
/2
/2
2
/2
()()()()ρ--'+'=
⎰⎰
x x x x L L L L z x z x x dx
x z x dx
对于离散数据
11
1
2
1
()ρ+-+-=='=
∑∑N i
i
j i i N
i
i z z
x z
当相关系数等于1/e 时的间隔'x 被定义为表面相关长度l ，()1/ρ=l e 。

如果两点在水平距离上的相隔距离大于l ，那么该两点的高度值，从统计意
义上说是近似独立的，极限情况下，即当为平面表面时候，面上每一点与其他各点都是相关的，相关系数为1，ρ=∞。

5.3基尔霍夫近似
若随机粗糙面是大尺度起伏,其平均曲率半径远大于波长,在粗糙面上局部的曲面可用该点处的局部切平面近似,则该处的表面场就用该切平面上的切向场近似。

这一切平面近似,称为基尔霍夫近似。

基尔霍夫近似解的条件为，粗糙面相关长度、起伏方差、平均曲面半径大于波长,即有
116,(cos cos ),i s c k k R σθθλ
>>->，其中1k 是自由空间波数,l 为相关长度,σ为起
伏方差,c R 为曲率半径,λ为波长。

由矢量格林第二定理：
[][
]{
}
r r e k I r r G r E n r r G r H n
r r G j dA r E r r jk A S '
-∇∇+=''⨯'⨯∇+'⨯∙'-='
--⎰⎰
πωμ41),()(ˆ),()(ˆ),()(211
）（
i dA 是粗糙面表面上的面元，1A 是被电磁波照射的区域；,
r 是粗糙面上一点，r 是观察点或者场点。

是,
r
的局部法向矢量，^^^
^
n =
其中(x,y)x αξ∂
=
∂，(x,y)y
βξ∂=∂ 当观察点位于远区，s k j r r
r r r
-ˆ=∇'∙-≈'-，
r
r '
故有，
ˆ()
2
ˆ221ˆ4()1()()414ˆˆ4s s jk r r r jkr jkr r s s jk r jkr s s
jk r jkr s s
e k r r r e e jk jk k r e e k k k r
e e k k r
ππππ'--∙'
-∙'∙-'
∙-∇∇'-∙=--=-=-
ˆˆ(,)4s jk r jkr s s
e e G r r I k k r π'∙-'=-（）
得
{}
11ˆˆˆˆˆ()()()()4s jkr jk r s s s s A jke E r I k k dA k n E r n H r e r
ηπ-'∙⎡⎤⎡⎤''=--⋅⨯⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎰⎰
粗糙面r '
处法向矢量为n ˆ，建立其局部正交系）（i i i k q p ˆ,ˆ,ˆ，空间的基底定义为：
ˆ
ˆˆˆˆ/,ˆˆˆ,ˆˆˆi i i i i
i i
i
i
q k n k n p k q k
q p =⨯⨯=⨯=⨯水平极化波（垂直极化波）铅垂极化波（平行极化波）
ˆsin cos sin sin cos i i i i i i
k x y z θφθφθ=+-
q
在此坐标上有，r k j i i i i
v i i v r k j i i i i v r k j i i i i
h i i h r k j i i i i h i i i i e E q p e
E k r H e E p p e r E e E p q e
E k r H e E q q e r E '
∙-'∙-'
∙-'
∙-∙-=⨯='∙='∙=
⨯='∙='
0000ˆ)ˆˆ(1
ˆ1ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(1
ˆ1ˆ)ˆˆ(η
η
η
η
）
（）（）
（）（
利用基尔霍夫近似，局部切平面的水平极化表面场则为：
{}
0000ˆˆˆ()()ˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆˆ()()(1)ˆˆ()()
1
ˆˆˆ()1
ˆˆˆˆ()()i i i i r h h h
jk r jk r i i i hl i i i jk r i i i hl i
r h h h i s i h s h
j i i i i n E r n E E n e
q q E e R e q q E e n
q e q R E e n H r n H H n k E k E n e q k q E e ηη
''-∙-∙'-∙-'⨯=⨯+=⨯∙+∙=⨯∙+'⨯=⨯+=⨯⨯+⨯=
⨯∙⨯{}
{}
ˆˆˆˆ()()1ˆˆˆˆˆ-()(1)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(()()(),i i i k r jk r hl i i s i jk r i i hl i i i i i i i i i
R e q k q E e e q n k R q E e n k q k n q q n k q n k η
''∙-∙'-∙+∙⨯=∙∙-⨯⨯=∙-∙=-∙（）其中用到，）
类似的可得局部切平面的铅垂极化表面场：
00ˆˆ()(1)1ˆˆˆˆ(())(1)1
ˆˆˆˆ()()(1)i i i v v vl jk r i i i vl jk r i i i vl n
H r n H R n
e p q E e R e
p n q R E e η
η
'-∙'-∙'⨯=⨯+=⨯∙+=
∙⨯+
000
ˆˆˆˆ()()11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(()()())ˆˆˆˆˆˆˆˆ(()())()ˆˆˆˆˆ(1)()()i i i i r v v i vl v
r jk r i i i vl
i i i r jk r i
r vl i i jk r vl
i
i
i
n E r n H k R H n n e p q k R e p q n E e q n k q n n R e p E e R n
k e p qE e ηηηη
'-∙'-∙'-∙'⨯=⨯⨯+⨯=⨯∙⨯+∙⨯=∙+∙∙=-∙∙
{}
{}
00ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()(1)+()()(1)1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()-()()(1)()()(1)i i jk r i i i hl i i i vl
i jk r i i i hl i i i i vl n E r e q n q R e p n k R q E e n
H r e q n k R q e p n q R E e η
'-∙'-∙'⨯=∙⨯+∙∙-'⨯=∙∙-+∙⨯+ 其中
i
il il
il il il vl il
il il il hl k n k k k k k k R k k k k k k R ˆˆcos sin cos sin cos sin cos sin cos 2
21
0122101221221⨯-=-+--=
-+--=θθεθεθεθεθθθθ局部入射角
{}
11ˆˆˆˆˆ()()()()4s jkr
jk r s s s s A jke E r I k k dA k n E r n H r e r
ηπ-'∙⎡⎤⎡⎤''=--⋅⨯⨯+⨯⎣⎦⎣⎦⎰⎰1,k k 分别为粗糙面上下空间的波数，1A 是照射区域，即进行表面积分的粗糙表面，1dA 是
粗糙面元，2
2
1ˆˆˆ)(ˆβ
αβα+++--='z y x r n
是r '处的局部法向量，βα，分别是x , y 方向的r '处的
局部坡度。

令：
z k y k x
k k k k dz dy dx s i d ˆˆˆ++=-=
y d x d d y y x x ''=''+'='ρρ
,ˆˆ
z n
d dA ˆˆ1∙'
=
ρ
，ˆ()r z
ρξρ'''=+ 故r k j A s s jkr s d e F d k k I E r jke r E '∙--⎰⎰'
--=),()ˆ
ˆ(4)(10βαρπ
其中
222(,)(1){()()(1)()()(1)()[()](1)()()(1)()}
i i i hl i i i i vl i i s i hl i i i vl s i F e q n k R q e p n q R e q k n q R e p n k R k q αβαβ-=++-⋅⋅-+⋅⨯++⋅⨯⨯++⋅⋅-⨯
n
ˆ
5.4 驻留相位法（稳相法）
假设沿k s 方向传播的散射场的主要贡献来自于将k i 方向的入射波镜像反射到k s 方向的那些点。

这些点的斜率为：
x
0α=-
d dz
k k ，0kdy kdz β=-
若不从物理意义去求这些点的斜率，可通过稳相法求， 在高频条件下（k →∞）的积分
'(,)e d jk r A
dAF αβ-⋅⎰
，其中，
i k =k k d s dx dy dz k x k y k z -=++，r '(x',y',z)=，()z ',y'x ζ=为粗糙面随机起伏高度。

令=k 'k 'k 'k (x',y')φζ⋅=++d dx dy dz r x y
可知相位越大，振荡越剧烈，因而积分为0。

在稳态值附近，相位几乎不变，此时对积
分的作用最大。

由稳相条件：
0x'φ∂=∂，0y'
φ∂=∂可知此处为镜像点，可求得α0，β0。

因此可得()00F αβ，在α0，β0处的展开：
()()()()00000000 +
...=F F
F F αβαβαβαβααββαβ
∂∂-+-+∂∂，，，，，， 若保留第一项，则已知：
()
()
()s 000ˆˆ4jkr
s s jke E r E I k k F I r
αβπ--=-⋅，
''e d jk r A
I d ρ-⋅=⎰
现针对入射波方向ˆk i ，散射波方向ˆk s 分别建立两个正交坐标系(i ˆv ，ˆh i ,ˆk i ) ,(s ˆv ，ˆh s ,ˆk s )。

令i ˆv 和ˆh i 分别为入射垂直极化波和水平单位极化矢量。

令s ˆv ，ˆh s 分别为散射波的相应单位极化矢量，并选择 s ˆˆv ,s h 使之与标准球坐标系中的ˆs θ，ˆs
φ一致。

直角坐标系与球坐标系的对应关系：
ˆˆˆˆcos cos cos sin sin x y z θ
θφθφθ=+- ˆˆˆsin cos x y φ
φφ=-+
sin cos sin sin cos s s s s s s k x y z θφθφθ=++，由于入射波方向ˆk i
具有负的z 分量，按照标准惯例，入射角θ是从负z 轴算起,因而定义：sin cos sin sin cos i k x y z θφθφθ=+-
因此： s ˆˆˆˆ==sin cos s
s s h x y φφφ-+ s s ˆˆˆˆˆˆˆv cos cos cos sin sin s s s s s s s h k x y z θθφθφθ==⨯=+- i
ˆˆˆˆ=sin cos i i i h x y φφφ=-+ ()ˆˆˆˆˆˆˆv cos cos cos sin sin i i i i
i i i i i h k x y z θθϕθϕθ==⨯=-++ 散射场可分解成统计平均场和波动场：
s sm E E ε=+， r ε（
）=0 ()
()()
()()
()()()()()
2
2
2
=+++sr sm sm sm sm sm E r
E r r
E r E r E r r r E r r
εεεε*
*
*
=+⋅⋅⋅
因而总的散射场强度为()
()
()
2
2
2
s sm E r
E r
r
ε=+，等式右边第一项为相干散
射强度，第二项为非相干散射强度。

˂˃表示集平均，表示期望。

()
()
()2
2
2
000jk ˆˆ=()4jkr
sm s s s e E r
E r
E I k k
F I r
αβπ-=-
-⋅，
其中:
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()==(h +v v )(h +v v )s s s s s s s s s s s s s s I k k F I F k k I F h F k k h F
-⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅
()()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆs s s s s
s
s s
h h F k k F
v v F k k F =⋅-⋅+⋅-⋅
而s ˆˆˆv ,,s s
h k 两两正交。

所以可化简()(
)
ˆˆˆˆˆˆ()=s s s s s s I k k F h h F v v F F -=⋅+⋅
相干散射强度：
()
22
2
2
2
22
k =
16sm E r
E F
I
r π
(
2222
2
022
k ˆˆ=h 16π⎫⋅+⋅⎪⎭
s s E F v F I r
又因为总的散射强度：
因而非相干散射强度为：
（1）求.s a b F 计算公式
对于特定的散射极化方向，即散射波的单位方向极化矢量s b ，s b 为s h 或s v ；又由
(,)F αβ的表达式可知，其只与入射波的极化方向有关，写作(,)a F αβ，a 为i v 或i h 。

下面求解2
00.(,)s a b F αβ。

得到最终的表达式：22
004
2
2(,)d
s a ba i s dz
k b F f k k k k
αβ=
⨯
可得：
2
(.)(.)R (.)(.)R hh s i i s hl s i i s vl f v k v k h k h k =+
同理对于另外三种极化：
2
(.)(.)R (.)(.)R vv s i i s hl s i i s vl f h k h k v k v k =+，2
(.)(.)R (.)(.)R vh s i i s hl s i i s vl f v k h k h k v k =- 2
(.)(.)R (.)(.)R
hv s i i s hl s i i s vl f h k v k v k h k =-
其中局部的水平和铅垂极化反射系数为
hl
il i il R =vl R = 注：此处的水平和铅直概念与本科所学电磁波中水平和垂直极化波的概念相反。

此处的说水
平代表的是与分界面平行的分量。

局部入射角 cos il i
n k θ=-⋅，负号表示由-n 和i k 的夹角，x dy dx
k k y z n ++=
（2）求相干电场强度
假定粗糙面高度起伏是稳态高斯分布，概率密度函数为2/2()p ξσξ-=，两点高度的概率密度函数为：
()
(
)
22
22
2
2
022
ˆˆ16s s s k E r
E h
F v F I
r
π=⋅+⋅()
(
)(
)22
22
2
2
2
022
ˆˆ=-16s s k r
E h
F v F I
I
r
επ⋅+⋅
22
1122
122
2
(,)]
2(1c)
c
p
ξξξξ
ξξ
σ
-+
=-
-
其中
111
()
p
ξξ
=，
221
()
p
ξξ
=
12
()
cρρ
-为相关函数，则22
112212
()()()()
p p c c
ξξσρρσρ
=-=为归一化的相关函数。

其中
111
x
x y y
ρ=+，
222
x x y y
ρ=+，
12
ρρρ
=-=
又可证明
22
1
2
()dz
dz
dz
k
jk jk
e d e eσ
ξξ
ξρξ
+∞
--
-∞
==
⎰（相当于求随机变量的期望值）1212
()()22
1212
(,)exp{k(1c())}
dz dz
jk jk
dz
e d d e
ξξξξ
ξξρξξσρ
+∞+∞
----
-∞-∞
==--
⎰⎰
又有,
1
d
jk r
A
I dA e-
=⎰，d dl dz
k k zk
=+，,()
r z
ρξρ
=+
如下图：
得到
122
,2
()
1
4sin(k L)sin(k L)
k dz
dl dz
jk jk
x y dx x dy y
A
I dAe e L L e c c
σ
ρξρ-
--
==
⎰
其中
sin
sin
x
c
x
=，2
X
L，2
y
L为粗糙面在x,y方向上被照明的长度
有4
X y
A L L
=（在被照明的面积上才有散射场和入射场）
当,
X y
L L→∞时，据2
,
lim sin(k L)(k)
x y
y
dx x dx
L L
L
cδ
π
→∞
=
2
,
lim sin(k L)(k)
x y
x
dy y dy
L L
L
cδ
π
→∞
=
可得22
22
4(k)(k)
dz
k
dx dy
I Aeσ
πδδ
-
=
由
d i s
k k k
=-展开可得：
(sin cos sin cos)(sin sin sin sin)(
cos cos)
d i i s s i i s s i s
k x y z
θφθφθφθφθφ=-+-+--当且仅当
0dx k =且0dy k =时2
I
有值，也即此时满足i s θθ=，i s φφ=
得到相干场的公式为：22
2222
202
()[]e (k )(k )4dz k sm s s dx dy
Ak E r E v F h F r σδδ-=
+
即相干散射场2
()sm E r 仅在镜面反射方向上存在。

12121
12122
2
*
-j ()-()*112-j ()-()
11222121*
223==d =e e e e u ,=u d d dz x y
x
y
d dz x
y
x
y
x
y
x
y
x jk r k k A L L L L k k L L L L L L L L L I I
II I A e II d d dx dy dx dy x x v y y II dx dy d ρρξξρρξξρρ⊥⊥------------==-=-⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
、求总散射已知则令则222
21
1
2
1
2
1
-j(k u+k v)-(1c)
2-j(k u)-j(k u)222-j(k v)
-j(k v)
22e
e
ue (u,v)(2)e (u,v)
e
(u,v)(2)e
(u,v)
=(2x y dx dy dz y x x x
dx dx x x x
y
y y
dy dy y
y y
L x L y k x L y L L x L x L L x L L L y L y L L y L x dv dx d f L u du f dy dv f L v dv f L σ----------------=-=-⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
又原式2222-j(k u+k v)-(1c)
22)(2)e
e
x
y dx dy dz x
y
L L k y L L u du L v dv
σ-----⎰
⎰
2
2
2
2
2222x -(1c)
-(1c)
2
2
2
2
(1)c c u,v e c 1,(1c)0,(1c)e
u,c()0,1c 1,(1dz dz l y
x
y x
y
k dz k dz dz L L k v k ρσ
σρρρρρρσρσ-
--→-→-→-→若假设相关函数是高斯分布且是各向同性的粗糙面，那么()=e 若是各向异性的粗糙面，那么(，)=exp(-()-(
))
(2)假设k 很大使都为小，才不会太小
这时()较小，不会衰减太快。

若较大时，22-(1c)
c)e
dz k σ--较大，会衰减快。

22
'22
00121212x c 11
c (0)c |c |1c 22
c (x x )x+(y )x u,v ,u cos ,sin u,v 2L u 2L v,
l y c y y u v y v ρρρρρρρρρρρρρρρφρφρφ-
==≈+⋅+⋅=+=-=--=+=为了计算解析式，将()=e
在原点附近展开有：
()()()"(0)"()故将换成极坐标得到：
=，又小量时远大于，远大于
22222
2222-j(k u+k v)-(1c)
*
22x -j(k u+k v)
-j(k cos +k sin )
1
-c -(1c)
2
2
=(2)(2)e
e (2)=2,(2)2e e 2e
e
,c(0)x
y
dx dy dz x
y
dx dy dx dy dz dz L L k x y L L x y y
k k II L u du L v dv L u L L v L l δρφρφσρσ--------==''==-
⎰⎰
(0)"中
222
12-c -j(k cos +k sin )*
20
22e
e
dz dx dy l
k x y II
L L d d π
δρ
ρφρφπ
ρρφ
-=⋅⎰⎰(0)"222
222
2
22
2
2
-j(k cos +k sin )
01
2-c *
2
00
(t)421
02/l
22
400222*
2222
e
=2(k )
2(k )e
(bt)e (2)
(k )e =k 2exp()4dx dy dz d d l
k d b v
v a t a v v k l m m d dz d dz dz d J II
A J d b
dtt J e a l d J e m m
A l k l II k k π
ρφρφπ
σρρφπρπρρρ
ρρρσπσσ⊥⊥-⊥-
∞
-+∞
--⊥⊥==
==-⎰⎰⎰
⎰(0)"利用其中2
2*ba 2*
02
2222
2
022222*
2222
2
2
0004Re{/}ˆˆ(,)A Re{/}ˆˆ16exp()4ˆˆˆ=(,)s ba i s s ba
s s d dz dz s s s R E k k E k E E v F h F I r A l k l II k k v F h F b F πηγηππσσ
αβ⊥=⎡⎤=⋅+⋅⎢⎥⎣
⎦=-⎡⎤⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦4、用稳相法求反射系数（1）双站反射系数
（归一化的双站散射系数）将总场集平均以及4
2
422ba 2
2*ba 2
*04
222
2
4
2
2
2
4
ˆˆˆˆ(,)4Re{/}ˆˆ(,)A Re{/}
()=
exp[]
4ˆˆ4d
ba i s dz i s s ba i s
dx dy d ba dz i s dz
k f k k k k k k R E k k E k k l k l f k k k k γπηγησ
σ=⨯=+⋅-
⨯代入得到
k (sin cos sin cos )k (sin cos sin sin )k k(cos cos )
ˆsin cos sin sin cos ˆsin cos sin sin cos d dx dy dz dx i i s s dy i i s s dz i s i i i i i i s
s
s
s
s
s
k k x k y k z k k k x y z k
x y z θφθφθφθφθθθφθφθθφθφθ=++=-=-=--=+-=++其中
s y 222i
2
222
i ba 42
242222i 24224
==+k k k ()
2,k 2cos ,
tan tan ˆˆ(,)=exp[]4ˆˆ4cos (0)tan =exp[]4cos 4(0)=cos s i i dx d dz dx dy d dz i dz i s ba i s i
i i
k k k k k l l k k f k k R l l R pdf pdf θθφπφθθθγσσθθσθσπθ+==-=⋅-⨯-2,对于后向散射系数(单站散射系数)由于，代入，，得到化简得到：
是2i 221tan PDF exp[],22pdf v v v v l
θπ=-=
斜率，在各向同性高斯表面，是斜率方差，。