高二数学逆矩阵的概念
逆矩阵的性质
逆矩阵的性质
逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它是一个矩阵的反转形式，可以用来解决线性方程组。
它的性质是，如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，那么A-1乘以A等于单位矩阵I，而A乘以A-
1也等于单位矩阵I。
首先，逆矩阵的性质是它可以用来解决线性方程组。
如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，那么A-
1乘以A等于单位矩阵I，而A乘以A-1也等于单位矩阵I。
这意味着，如果一个矩阵A乘以
一个向量b，得到一个结果c，那么A-1乘以c就可以得到b。
这就是逆矩阵的作用，它可以
用来解决线性方程组。
其次，逆矩阵的性质是它可以用来求解矩阵的行列式。
如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，那么
A的行列式的值就等于A-1的行列式的值。
这意味着，如果我们想要求解一个矩阵A的行列式，我们可以先求解A的逆矩阵A-1，然后求解A-1的行列式，就可以得到A的行列式的值。
最后，逆矩阵的性质是它可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。
如果一个矩阵A的逆矩阵是
A-1，那么A的特征值和特征向量就可以用A-1来求解。
这意味着，如果我们想要求解一个矩
阵A的特征值和特征向量，我们可以先求解A的逆矩阵A-1，然后用A-1来求解A的特征值和
特征向量。
总之，逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它的性质是，如果一个矩阵A的逆矩阵是A-1，
那么A-1乘以A等于单位矩阵I，而A乘以A-1也等于单位矩阵I。
它可以用来解决线性方程组，求解矩阵的行列式，以及求解矩阵的特征值和特征向量。
因此，逆矩阵在线性代数中有着
重要的作用，是线性代数研究的基础。
高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
人教B版高中数学选修4-2课件 2.1.1 逆矩阵的定义课件3
且 ( A 2E)1 1 ( A 3E) . 4
16
逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A .
(2) 若A可逆,数 0,则A可逆,且 (A)1 1 A1.
(3) 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
X 1 1 0 0 1 5 1 1 0
3 2 1 2 1 1 3 2 1
1 3 1 4 2 3 1 3 1 13 75 30
1 2 1 0 1 5 1 2 1 9 52 21 .
1
5
2
2
1
1
1
5
2
21
120 47
14
1 2 o
例5 设 A1BA 6A BA , 其中 A 1 4 ，求B .
同理可求得
3 3 1
A 4 0 4
5
1
3
A21 3, A22 0, A23 1, A31 1, A32 4, A33 3.
A1
1 A
A
1 4
3 4 5
3 0 1
1 4 . 3
对于3阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵很
麻烦，以后将给出另一种求法--初等变换法。
10
例2
(3) A A n1
(4) ( A )1 ( A1 ) , ( AT ) ( A )T
(5) ( AB) B A
(6) (kA) k n1 A
其中A,B均为n阶方阵,k为数 23
小结：
1. 逆矩阵的概念及运算性质. 2. 逆矩阵 A1 存在 A 0.
3. 逆矩阵的计算方法：
1待定系数法; 2利用公式A1 A ;
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２Ａｍ）１＝（Ａｍ）１（Ａ２）１（Ａ１）１.2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）=λ；4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）；5、=；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。
例１、求矩阵Ａ＝２２３１１０１２１的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ１存在设Ａ１＝ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３，由定义知Ａ１Ａ＝Ｅ，∴２２３１１０１２１ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３＝由矩阵乘法得２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１ｘ２１ｘ１２ｘ２２ｘ１２ｘ２３ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３＝由矩阵相乘可解得ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝１；ｘ１２＝４ｘ２２＝５ｘ３２＝６；ｘ１３＝３ｘ２３＝３ｘ３３＝４故㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ１＝１ＡＡ，其中Ａ为伴随矩阵。
2.4逆矩阵
0 0 3
− 3 −1 , B2 1
1 0 = 0
B
0 0 1 0 0 0 0
3 = −1
0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0
− 5 2
0 0 0 0 0 3 −1
所以
0 0 0 0 0 − 5 2
* *
n
∴A · A =
*
A
n
A* = A 当A ≠ 0 ， 时
n−1
例2
1 A = 求 ( 2 A)−1 − 5 A* 阶矩阵， 设A为3阶矩阵， 为 阶矩阵 2
这是抽象矩阵求行列式的问题。 分析 这是抽象矩阵求行列式的问题。注意矩阵行列式满足的运算 规律以及矩阵之间的一些关系。 规律以及矩阵之间的一些关系。
1. 重要的结论
A1 A2 (1) O An
−1
=
A1−1
− A2 1
O −1 An
A1 A2 ( 2) N A n
−1
− An 1 N = − A2 1 −1 A 1
−1
=
1
λ
A−1.
证
要证矩阵 B为 A 的可逆矩阵 , 由定义只须验证 AB = E . 1 1 −1 (2 ) 因 (λ A )( A ) = (λ ) ( AA − 1 ) = E . λ λ 1 −1 故 ( λ A ) 可逆 , 且 ( λ A ) = A −1 λ
( 3 ) 因 ( AB ) ( B
= A 0 M 0 0 L 0 A L 0 = A I . 同理可得 A * A = A I . M M 0 L A
1.4 逆矩阵
A A21 A31 11 A 1 −1 ∴ A = = A A22 A32 12 A A A A23 A33 13
∗
1 − 3 3 1 4 . = −4 0 4 5 − 1 − 3
2 3 −1 由于 B = −1 3 5 = 0, 1 5 3
又因为
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
故 B不可逆 . 不可逆
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C = 2 0 , 设 A = 2 2 1 , B = 5 3 3 4 3 3 1
求矩阵X使满足 AXB = C .
2 1 = 1 ≠ 0, 解 ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, B = 5 3 3 4 3
例2 下列矩阵 A, B是否可逆 ? 若可逆 , 求出其逆 矩阵 .
1 2 3 A = 2 1 2 , 1 3 3
2 3 −1 B = −1 3 5 . 1 5 3
解
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 2= 0 − 3 −4 1 3 3 0 1 0
由 A 2 − A − 2 E = 0,
A−1
A− E =E 得A( A − E ) = 2 E ⇒ A 2 A− E ⇒ A = 1 ⇒ A ≠ 0, 故 A 可逆 . 2
1 ∴ A = ( A − E ). 2
−1
又由A − A − 2 E = 0
逆 矩 阵
逆矩阵
例1
解
AB
1 2
B1 A.
1
1 1
3 2
3
1
3 1
3
1 0
0 1
E
，所以A与B互为逆矩阵，即A1
B
，
逆矩阵
2 2 3 1 4 3 1 0 0
CD
1
1
0
1
5
3 0
1
0 E ，所以C与D互为可逆矩
1 2 1 1 6 4 0 0 1
阵，即C 1 D ，D1 C.
此例说明A ，C均为可逆矩阵，即
2 2
C
1
1
1 2
3 1 1
0
2
2
1 1 2
0 1 1 3 0 4 1 0 1
0 1 1 3 0 1 1 0 4
0 1 1 0
1
0
1
1
.
3 0 0 1
所以RC 3是满秩的 . 容易看出R A 2也是满秩的，而且它们都是可逆的 .
由此可见，满秩矩阵与可逆矩阵之间有着紧密的联系，即 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是 A
为满秩矩阵，即R A n .
逆矩阵
1 0 若 1 1
3 1
1 1
2
0
2 0
0 1 1
1
1
0
1 1 0
0 1
1
1
，则R
2
3不满秩，故没有逆矩阵
.
0 0
可逆矩阵具有以下性质（证明从略）：
（1）若矩阵A可逆，则A1也可逆，且(A1)1 A .
经济数学
逆矩阵
1.1 逆矩阵的概念
逆矩阵
对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是
唯一的（如果有的话）.
需要解决的问题是： • （1）在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ • （2）如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
二、逆矩阵的性质
性质 1 若方阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵是唯一的.
性质 2 若方阵 AB E, 则 A, B 的均可逆，且
证明： A2 3 A 5E 0 ( A E )( A 4E ) 9E 所以A + E 可逆，且
1 ( A E ) 1 ( A 4 E ) 9
又因为
A2 3 A 5E 0 ( A E )( A 2E ) 3E
1 ( A E ) ( A 2E ) 3
1 5 的逆矩阵. 3 M12 6, M13 3,
M 21 4, M 22 3, M 23 2, M 31 9, M 32 7, M 33 4,
则
A11 1 * 1 A A A* A12 | A| A 13 M 11 M 12 M 13 M 21 M 22 M 23
A11 A12 * A A1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
定理1 若 | A | 0，则方阵A可逆，而且
1 * A A. | A| 1 1 推论1 若 | A | 0，则 | A | . | A|
1
元素 aij 的代数 余子式 Aij 位于 第 j 行第 i 列
1 n 而 B ，所以有 0 1 1 2 2 1 n 1 1 2n n A 2 0 1 0 1 0 1 0 1
2-5逆矩阵PPT课件
可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
逆矩阵概念
工程施工安全生产专项储备一、引言工程施工安全生产是保障施工现场各种人员生命财产安全的基本要求，也是保障工程进度和质量的关键之一。
近年来，我国工程建设日益活跃，各类工程项目如雨后春笋般涌现，施工规模和难度不断提高，安全生产形势愈加严峻。
同时，工程施工安全生产事故频发，造成了不可估量的人员伤亡和财产损失，严重影响了社会稳定和经济发展。
因此，储备工程施工安全生产专项方案具有重要的现实意义和深远意义，能够有效提高工程施工安全生产水平，减少事故发生，促进施工项目的顺利进行。
二、安全生产专项储备的必要性1.当前安全生产形势严峻。
随着我国工程建设规模的扩大和工程技术的不断提升，工程施工安全生产面临着越来越多的挑战。
事故频发的现象时有发生，这不仅给项目进度和质量带来影响，也给施工现场的人员和周边环境造成极大的危害。
2.国家对安全生产的要求越来越高。
我国正不断完善安全生产法规政策，加强对施工单位和相关人员的安全教育培训，提高安全生产管理水平。
同时，国家也加大了对安全生产方面的监督检查力度，对违规行为严厉打击，并提出了更为严格的安全生产要求。
3.企业社会责任意识不断增强。
越来越多的企业意识到安全生产对于企业发展的重要性，主动承担起了社会责任，加强了对安全生产的重视和投入。
同时，企业也逐渐认识到，安全生产不仅是一项法律规定，更是一种企业文化，是企业可持续发展的基础。
4.安全生产专项储备可以有效减少事故发生。
通过事前系统的预防措施、事中的应急处理和事后的总结反思，能够有效降低施工安全事故的发生概率，最大程度地保障施工现场的人员生命财产安全。
三、安全生产专项储备的内容1.安全生产预防措施（1）建立全面的安全管理体系。
明确施工安全管理机构和人员职责，建立完善的安全管理制度和流程，制定相关安全规章制度和操作规范，确保施工安全工作有序进行。
（2）加强安全生产教育培训。
定期组织施工人员进行安全教育和培训，提高他们的安全意识和防范能力，培养应急处理能力，掌握必要的应急知识和技能。
高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4
2．4.1 逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A 、B ，假设有AB ＝BA ＝E ，那么称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1.2．逆矩阵的性质(1)假设二阶矩阵A 、B 均可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，假设A 存在逆矩阵，那么B ＝C . 3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，假设ad －bc ≠0，那么A 必可逆，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)待定系数法． (3)逆变换法．[对应学生用书P30]逆矩阵的求法[例1] 求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 22 1的逆矩阵．[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.即⎣⎡⎦⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤－122－3.法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－122－3.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.1．(某某高考)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 2．矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：由M ＝⎣⎡⎦⎤21 －3－1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32.从而由⎣⎡⎦⎤21 －3－1⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤135得⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤－1－1 32⎣⎡⎦⎤13 5＝⎣⎡⎦⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎡⎦⎤ 2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．[例2] 用几何变换的观点求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析](1)矩阵A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换T A －1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.(2)矩阵B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°.它存在逆变换T B －1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来〞，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1232－32 －12，求A －1.解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －240° －sin －240°sin －240° cos －240°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 －32 32 －12. 4．矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 5，求A －1. 解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 15.逆矩阵的概念与性质的应用[例3] 假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 005，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式(AB )－1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解． [精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015. 而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －30 1，∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－301⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120015＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－350 15.(1)要避免犯如下错误(AB )－1＝A －1B －1. (2)此题也可以先求出AB 再求其逆．5．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，求A －1.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，那么A ＝MN . ∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，同理N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12.由逆矩阵的性质，得A －1＝(MN )－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1232－3212⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121＋32－321－32. 6．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，求曲线x 2＋y 2＝1在矩阵(AB )－1变换下的曲线方程．解：(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－201.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，P 点在(AB )－1对应变换下变成Q (x ′，y ′) 那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y .′∴P (x ′＋2y ′，y ′)．又P 点在圆上，∴(x ′＋2y ′)2＋(y ′)2＝1. 展开整理为(x ′)2＋4x ′y ′＋5(y ′)2＝1. 故所求曲线方程为x 2＋4xy ＋5y 2＝1.[例4] 矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X .[思路点拨] 由AXB ＝C 得X ＝A －1CB －1，从而求解． [精解详析] ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2，∴X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，假设位置错误，那么得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7.假设矩阵X 满足AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试求矩阵X .解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －7⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2zy －2w 3x －7z 3y －7w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝1，y －2w ＝0，3x －7z ＝0，3y －7w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－2，z ＝3，w ＝－1.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1.因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以A －1AX ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， 所以X ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －23 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤19 8. 8．假设点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：因为M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110.法一：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90°－sin 90°sin 90°cos 90°，知M 是绕原点O 逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －90°－sin －90°sin －90°cos －90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.法二：由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，那么ad －bc ＝1≠0.∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01－10.[对应学生用书P32]1．求以下矩阵的逆矩阵．(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1123；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2345.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且 A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31－11－2111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1－21. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B 存在逆矩阵B －1，且 B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－2 －3－2－4－2 2－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.法二：利用待定系数法． (1)设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 123⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋cb ＋d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，2a ＋3c ＝0，b ＋d ＝0，2b ＋3d ＝1.解得a ＝3，c ＝－2，b ＝－1，d ＝1. 从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 1.(2)设矩阵B 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 4x ＋5z 4y ＋5w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.故⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，4x ＋5z ＝0，2y ＋3w ＝0，4y ＋5w ＝1.解得x ＝－52，z ＝2，y ＝32，w ＝－1.从而B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 322 －1.2．可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7 a ，求a ，b 的值． 解：根据题意，得AA －1＝E ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a27 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ b －2－7 a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －2×7 －2a ＋2a 7b －21 －2×7＋3a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，－14＋3a ＝1，解得a ＝5，b ＝3.3．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵． 证明：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001， 所以B 是A 的逆矩阵．4．求矩阵乘积AB 的逆矩阵． (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 004；(2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.解：(1)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 014. (2)(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32 12. 5．变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如果不可逆，请说明理由．解：(1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.(2)变换矩阵A 是可逆的，理由如下：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，那么由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．解：M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，∴M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝2y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.代入y ＝cos x 得12y ′＝cos 2x ′故曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 对应的变换作用下解析式为y ＝2cos 2x . 7．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(1)求矩阵A 的逆矩阵B ；(2)假设直线l 经过矩阵B 变换后的方程为y ＝x ，求直线l 的方程． 解：(1)设矩阵A 的逆矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12. (2)设直线l 上任一点P (x ，y )经过B 对应变换变为点P (x ′，y ′)，那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x ＋y ，y ′＝32x －12y ，又y ′＝x ′，所以－2x ＋y ＝32x －12y ，即直线l 的方程为7x －3y ＝0.8．曲线C 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下的象为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解：矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换为：平面内点的纵坐标沿y 轴方向缩短为原来的12，横坐标沿x 轴方向缩短为原来的13，其逆变换为：将平面内点的纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来的2倍，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来的3倍，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002.设圆x 2＋y 2＝1上任一点P (x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002对应的伸缩变换作用下的象为P ′(x ′，y ′)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′2，代入x 2＋y 2＝1，得x ′29＋y ′24＝1.故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.。
逆矩阵知识点总结
逆矩阵知识点总结1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个给定的n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A是可逆的或非奇异的；如果矩阵A不存在逆矩阵，则称矩阵A是奇异的或不可逆的。
2. 逆矩阵的性质（1）若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
证明：设B1和B2均为矩阵A的逆矩阵，则AB1=BA=B2。
因此，AB1=AB2，由矩阵乘法的消去律可知B1=B2。
（2）若矩阵A和矩阵B均为可逆矩阵，则矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。
证明：首先，计算(AB)(B^-1A^-1)和(B^-1A^-1)(AB)，得到(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AIA^-1=AA^-1=In和(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(AA^-1)B=B^-1IB=B^-1B=In。
因此，矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。
（3）若矩阵A可逆，则矩阵A^-1也是可逆矩阵，并且(A^-1)^-1=A。
证明：由矩阵A的定义可知，存在矩阵A^-1使得AA^-1=In。
因此，(A^-1)^-1A^-1A=(A^-1)^-1=InA^-1=A^-1。
由此可知，矩阵A^-1的逆矩阵是矩阵A本身。
（4）对角矩阵D的逆矩阵是其对角线上每个非零元素的倒数构成的对角矩阵。
证明：设D是一个n阶对角矩阵，其对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，且di≠0(i=1,2,...,n)。
那么D的逆矩阵为D^-1=diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)。
因为DD^-1=diag(d1, d2, ...,dn)×diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)=diag(d1×1/d1, d2×1/d2, ..., dn×1/dn)=diag(1, 1, ..., 1)=In。
逆矩阵三个公式
逆矩阵三个公式逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的行列式、求解线性变换等问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍逆矩阵的三个公式，并通过实例展示其应用。
一、逆矩阵的定义逆矩阵是指对于一个给定的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，则称之为可逆矩阵或非奇异矩阵，反之则称为奇异矩阵。
二、逆矩阵的计算公式1. 克拉默法则克拉默法则是求解线性方程组的一种方法，它可以通过逆矩阵的概念来推导。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·adj(A)，其中det(A)为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
2. 初等变换法通过初等变换法，我们可以将方阵A通过一系列初等行变换或初等列变换转化为单位矩阵I，此时我们所做的变换操作在另一个矩阵上执行，得到的矩阵即为A的逆矩阵。
具体而言，设A经过一系列初等行变换得到I，则对应的初等行变换矩阵记为E1，同理，设A经过一系列初等列变换得到I，则对应的初等列变换矩阵记为E2，则A的逆矩阵为A^-1=E1·E2。
3. 公式法对于一个2阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[d -b;-c a]，其中a、b、c、d分别为A的元素。
对于一个3阶方阵A，如果det(A)≠0，则A可逆，且其逆矩阵为A^-1=1/det(A)·[A11 A12 A13;A21 A22 A23;A31 A32 A33]的转置矩阵，其中Aij为A的代数余子式。
三、逆矩阵的应用实例为了更好地理解逆矩阵的应用，我们以线性方程组的求解为例进行说明。
考虑一个线性方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 2我们可以将其表示为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
我们可以通过求解逆矩阵来解得未知数向量x。
逆矩阵
1
1
A .
1
E.
3 若 A , B 为同阶方阵 , 且均可逆 , 则 AB 亦可逆 , 且
( AB )
1
B A .
1
1
1
证明 ( AB )( B 1 A 1 ) A ( BB 1 ) A 1 AEA
( AB )
推广
1
AA
1
E,
2 例如 1 4
1
1 1
1
2
1 n
1 3 5
1 2
3 1 5
4
设A n
1 2
则A
1
1 2 n 0
例如 2 1 4
1
1 1
1
2
1 n
5 1 3
4
1
BA
1 0 2 1
1 . 2
1 2 2 1
1 1 0 0
0 , 1
所以 A
0 1
1 设A
2
n
则A
1
1 2 n 0
1 求方阵 A 2 3
A11 A21 A An1 A11 2 , A12 3 , A13 2 , 6 31 4 A11 A21 2 A An2 * 12 A22 *A 5 22 A A A12 3 A 6 A32 , A 21 6 , A 22 6 , A 23 2 , 2 2 2 A13 A23 A33 A 31 4 , A 32 5 , A 33 2 , A1n A2 n Ann
归纳逆矩阵知识点
归纳逆矩阵知识点在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，逆矩阵更是辅助解决线性方程组和矩阵方程的关键。
逆矩阵的概念和计算方法是线性代数中的重要知识点之一。
本文将通过逐步思考的方式，来归纳逆矩阵的相关知识点。
一、什么是逆矩阵？逆矩阵是指一个方阵与它的逆矩阵相乘后得到单位矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵，那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
二、逆矩阵的存在条件对于一个n阶方阵A，如果它的行列式det(A)不等于0，则A存在逆矩阵。
这是逆矩阵存在的充分条件，也是常用的判断方法。
三、逆矩阵的计算方法要计算一个矩阵的逆矩阵，常用的方法有伴随矩阵法和初等变换法。
下面我们将逐步介绍这两种计算方法。
1.伴随矩阵法对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵是指将A的每个元素的代数余子式按位放置在一个新的矩阵中，并且将该矩阵转置得到的矩阵。
记作Adj(A)或A*。
计算逆矩阵的步骤如下： Step 1：计算A的行列式det(A)，如果det(A)=0，则A没有逆矩阵。
Step 2：计算A的伴随矩阵Adj(A)。
Step 3：计算A的逆矩阵A-1，公式为A-1 = (1/det(A)) * Adj(A)。
2.初等变换法初等变换法是一种通过一系列的基本行变换或列变换来得到逆矩阵的方法，常用的有行初等变换法和列初等变换法。
这里以行初等变换法为例介绍计算逆矩阵的步骤。
Step 1：将n阶方阵A和n阶单位矩阵I横向拼接得到增广矩阵[A, I]。
Step 2：通过一系列的行初等变换将增广矩阵[A, I]变换为[I, B]，其中B为A的逆矩阵。
Step 3：如果无法将增广矩阵[A, I]变换为[I, B]，则A没有逆矩阵。
四、逆矩阵的性质逆矩阵具有一些特殊的性质，包括： 1. 若A有逆矩阵，则A的逆矩阵唯一。
2. 若A，B都有逆矩阵，则AB也有逆矩阵，并且(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
高等数学：2-3 逆矩阵
则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为A的逆矩阵.
命题 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明 若设B和C是A的逆矩阵， 则有
AB பைடு நூலகம் BA E , AC CA E ,
可得 B EB CAB C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的。 因此将A的逆矩阵记作 A
求矩阵X使满足 AXB C .
解 若 A1 , B 1 存在，则用 A 1左乘上式，
B 1 右乘上式， 有 A1 AXBB 1 A1CB 1
即 X A1CB 1
1 2 3
1 0, A 2 2 1 2 0, B 5 3 3 4 3 A1 , B1都存在.
同理可得
A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
A11 A A12 A 13
A21 A22 A23
A31 2 6 4 A32 3 6 5 , 2 A33 2 2
AB E 或BA E
4. 逆矩阵的计算方法
2 初等变换法下一章介绍.
1 (1) 利用公式 A A ; A
1
五、作业
P.55. 10，11 (1)，22，23，24
2 2 2 1 2 1 2, 3, A13 2, A12 A11 3 4 3 3 4 3
同理可得
A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2,
得
故
A11 A A12 A 13
A21 A22 A23
逆矩阵概念
逆矩阵概念引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
矩阵的逆矩阵是一个特殊的矩阵，具有重要的数学性质和应用价值。
本文将全面、详细、完整地探讨逆矩阵的概念、定义、性质以及计算方法，并介绍逆矩阵在解线性方程组、求解线性变换、计算矩阵的幂等等方面的应用。
逆矩阵的定义逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，同时B与A的乘积也等于单位矩阵。
用数学符号表示为：A * B = B * A = I，其中I表示单位矩阵。
逆矩阵的存在性一个矩阵A存在逆矩阵的条件是A是一个可逆矩阵。
可逆矩阵是指行列式值不为0的矩阵。
如果一个矩阵A的行列式值为0，则称该矩阵为奇异矩阵，不具有逆矩阵。
对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质逆矩阵具有以下重要的性质：1.若A是一个可逆矩阵，则A的逆矩阵也是可逆矩阵。
2.若A和B都是可逆矩阵，则A * B的逆矩阵等于B的逆矩阵与A的逆矩阵的乘积，即(A * B)的逆矩阵 = B的逆矩阵 * A的逆矩阵。
3.若A是一个可逆矩阵，则(A的逆矩阵)的逆矩阵等于A本身，即(A的逆矩阵)的逆矩阵 = A。
4.若A是一个可逆矩阵，则(A的转置矩阵)的逆矩阵等于(A的逆矩阵)的转置矩阵，即(A的转置矩阵)的逆矩阵 = (A的逆矩阵)的转置矩阵。
逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法有多种，下面介绍两种常用的方法：伴随矩阵法和初等行变换法。
伴随矩阵法对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵可以通过伴随矩阵法计算得到。
伴随矩阵的定义是：将A的每个元素的代数余子式按原矩阵的行列位置交换得到的矩阵的转置矩阵。
然后，将伴随矩阵的每个元素除以矩阵A的行列式值，即可得到逆矩阵。
初等行变换法对于一个n阶可逆矩阵A，可以通过初等行变换将A转化为单位矩阵I。
在进行初等行变换的同时对单位矩阵I进行相同的变换，最终得到的矩阵就是A的逆矩阵。
逆矩阵的应用逆矩阵在数学、物理、计算机科学等领域有广泛的应用。
逆矩阵
a11
a12 L a1 n
| A |=
a21
a22 L a2 n LLL an 2 L ann
, Aij 为aij的代数余子式 ,
an1
A11 A21 L An1 A12 A22 L An 2 ∗ A = LLL A A2 n L Ann 1n
A的伴随矩阵 的
A
−1
A11 1 ∗ 1 A= = A12 | A | | A| A13
A21 A22 A23
A31 A32 = A33
2 − 1 − 5 1 2 10 − 2 2 7 −2 1
练习 ： 解：
再解P64例10的矩阵方程 例 的矩阵方程 再解
1 1 − 1 1 1 3 BA = = 1 0 3 0 0 3
0 1
定理 (P.78)
是可逆矩阵， 设A是可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。 是可逆矩阵 则它的逆矩阵是唯一的。
证明:(同一法 证明 同一法 ) 有两个逆矩阵B和 设A有两个逆矩阵 和B1，即 有两个逆矩阵
2 1 A[ ( 3 I − A)] = I 思路: 思路 2 2 解 Q B = B, A = I + B
2 2
∴ A = ( I + B) = I + 2 B + B = I + 3 B 1 1 2 A[ ( 3 I − A)] = ( 3 A − A ) 2 2 1 = [ 3( I + B ) − ( I + 3 B )] = I 2
2 ⇒| A |≠ 0, Th→ A可逆 . .1 ⇒ 有 A−1 , 使得
A−1 A = AA−1 = I
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