2018高考复习极坐标与参数方程导学案(教师版)

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【小初高学习】课标通用2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理选修4_4

§选修4－4 坐标系与参数方程考纲展示► 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．考点1 直角坐标方程与极坐标方程的互化1.极坐标系(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．答案：(1)极径(2)ρcos θρsin θx2＋y2y x2．常用简单曲线的极坐标方程(1)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； ②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝________； ②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝________；③当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝________.答案：(2)①r ②2a cos θ ③2a sin θ[典题1] (1)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. ①求圆O 和直线l 的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] ①圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.(2)[2017·河南洛阳统考]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos θ－π4＝2. ①将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解] ①由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. ②将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[点石成金] (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．考点2 参数方程与普通方程的互化1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt并且对于t 的每一个允许值，上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________，其中变量t 称为________．答案：参数方程参数2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝ (θ为参数)．答案：(1)x 0＋t cos α y 0＋t sin α (2)a ＋r cos θ b ＋r sin θ (3)a cos θ b sin θ3．直线参数方程的标准形式的应用(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数，t 可正、可负、可为0)．若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.[典题2] (1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．[解] ①由x ＝1＋12t ，得t ＝2x －2，∴y ＝2＋32(2x －2)，∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． ②由y ＝2＋t ，得t ＝y －2， ∴x ＝1＋(y －2)2，即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线．③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，①y ＝1t －t ，②∴①2－②2，得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线． (2)[2017·重庆巴蜀中学模拟]已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)，①求曲线C 与直线l 的普通方程；②若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，①y －m ＝sin α，②①的平方加②的平方，得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.②圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理，得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.[点石成金] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．考点3 极坐标、参数方程的综合应用[典题3] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [解] (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3 2.[点石成金] 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|P 0P →|，t 可正，可负．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).[2017·黑龙江大庆模拟]在平面直角坐标方程xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2，得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|PA |＋|PB |＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝312.[方法技巧] 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．[易错防范] 1.极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4 ＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.课外拓展阅读直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)①通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”．其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t >0，则M 0M →的方向向上；若t <0，则M 0M →的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合．即当点M在M 0上方时，有t ＝|M 0M →|；当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →|.该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[典例1] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[思路分析] (1)由题意知，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，令Δ>0即可求得结果；(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由参数方程中t 1，t 2的几何意义，可得t 1＋t 2＝2(42＋2a )，t 1t 2＝2(16＋4a )，然后由|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，可得|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，代入求解即可．[解] (1)由题意，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，所以Δ>0，即a >0或a <－4.又a >0，所以a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2.则由(1)知，t 1＋t 2＝2(42＋2a )．t 1t 2＝2(16＋4a )，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)，所以实数a 的值为1.[典例2] 过点M (2,1)作曲线x 2＋4y 2＝16的弦AB ，若M 为线段AB 的三等分点，求线段AB 所在直线的方程．[思路分析][解] 设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入曲线方程，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，令A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4cos α＋8sin αcos 2α＋4sin 2α，① t 1·t 2＝－8cos 2α＋4sin 2α.② 因为点M (2,1)是弦AB 的三等分点，不妨令点M 为靠近点B 的一个三等分点，所以t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－t 2，t 1·t 2＝－2t 22＝－2(t 1＋t 2)2，③将①②代入③，得12tan 2α＋16tan α＋3＝0，可求得tan α＝－4±76，则AB 所在直线的方程为y －1＝－4±76(x －2)．。

(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十四章14_3坐标系与参数方程第2课时参数方程教师用书理苏教版

第2课时参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)双曲线 x 2a －y 2b 2＝1 ，(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)抛物线 y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)1．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率．解将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k的值．解直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2. ∵l 1与l 2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k ＝－1. 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，求PF 的值．解将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知PF ＝3－(－1)＝4.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．解直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，－837.故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋8372＝167.题型一参数方程与普通方程的互化例1 (2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，AB ＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.AB ＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由AB ＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．(1)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． (2)直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3. 题型二参数方程的应用例2 (2016·扬州二模)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.思维升华已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．解曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)．曲线C 2的普通方程为x －y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5x ≥0，y ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．(2016·扬州质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．解 (1)由圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，得ρ2＝22(22ρcos θ－22ρsin θ)，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆心坐标为(1，－1)， ∴圆心的极坐标为(2，7π4)．(2)由题意，得直线l 的直角坐标方程为22x －y －1＝0. ∴圆心(1，－1)到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|222＋－12＝223，∴AB ＝2r 2－d 2＝22－89＝2103. 点P 到直线l 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，∴S max ＝12×2103×523＝1059.1．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．解直线方程可化为3x ＋y －3＝0，曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2. 2．(2016·连云港质检)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．解直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝b a ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3.3．(2016·苏州模拟)已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．解 ∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝22＝1.∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．(2015·湖北)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．解直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322. 所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2(t 为参数)，在以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρsin(θ＋π4)＝22，求曲线C 1与曲线C 2的交点个数．解曲线C 1，C 2化为普通方程和直角坐标方程分别为x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，x ＋y －4＝0，消去y 得x 2＋2x －8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C 1与曲线C 2的交点个数为2.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.7．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以PQ 的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 8．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程得⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，(12，－32)．(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcos α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2αy ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．9．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin(θ－π6)的公共点，求3x ＋y 的取值范围．解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)，所以ρ2＝4ρsin(θ－π6)＝4ρ(32sin θ－12cos θ)．又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得 (x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]．所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

专题20 坐标系与参数方程(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．一、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； ②圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； ③圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．三、参数方程 (1)直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆、椭圆的参数方程①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．②椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．考点一坐标系与极坐标例1．【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________.【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1考点二参数方程例2．【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。

2018高三二轮复习极坐标与参数方程专题学案

高三二轮复习选做题极坐标与参数方程1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．2.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．3.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．4.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．5.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB =求l 的斜率．6.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．7.在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积．8.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．9.已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． (Ⅰ) 写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．10.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．11.已知曲线1C 的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为。

(通用)2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程学案理4-4!

§选修4－4 坐标系与参数方程考纲展示► 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．考点1 直角坐标方程与极坐标方程的互化1.极坐标系(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．答案：(1)极径(2)ρcos θρsin θx2＋y2y x2．常用简单曲线的极坐标方程(1)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； ②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；③直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝________； ②当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝________；③当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝________.答案：(2)①r ②2a cos θ ③2a sin θ[典题1] (1)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. ①求圆O 和直线l 的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] ①圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.②由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.(2)[2017·河南洛阳统考]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos θ－π4＝2. ①将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； ②求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解] ①由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. ②将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.[点石成金] (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．考点2 参数方程与普通方程的互化1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t .并且对于t 的每一个允许值，上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________，其中变量t 称为________．答案：参数方程参数 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝ (θ为参数)．答案：(1)x 0＋t cos α y 0＋t sin α (2)a ＋r cos θ b ＋r sin θ (3)a cos θ b sin θ3．直线参数方程的标准形式的应用(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数，t 可正、可负、可为0)．若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)．(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.[典题2] (1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．[解] ①由x ＝1＋12t ，得t ＝2x －2，∴y ＝2＋32(2x －2)，∴3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． ②由y ＝2＋t ，得t ＝y －2， ∴x ＝1＋(y －2)2，即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线．③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，①y ＝1t －t ，②∴①2－②2，得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线． (2)[2017·重庆巴蜀中学模拟]已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)，①求曲线C 与直线l 的普通方程；②若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，①y －m ＝sin α，②①的平方加②的平方，得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.②圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理，得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.[点石成金] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32 ＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．考点3 极坐标、参数方程的综合应用[典题3] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [解] (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(－32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3 2.[点石成金] 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|P 0P →|，t 可正，可负．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).[2017·黑龙江大庆模拟]在平面直角坐标方程xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入(x －1)2＋(y －1)2＝2，得t 2－32t －74＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|PA |＋|PB |＝|t 1－t 2| ＝ t 1＋t 2 2－4t 1t 2＝312.[方法技巧] 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．[易错防范] 1.极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4 ＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.课外拓展阅读直线参数方程中参数t 的几何意义过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)①通常称①为直线l 的参数方程的“标准式”．其中参数t 的几何意义是：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．此时，若t >0，则M 0M →的方向向上；若t <0，则M 0M →的方向向下；若t ＝0，则点M 与点M 0重合．即当点M在M 0上方时，有t ＝|M 0M →|；当点M 在M 0下方时，有t ＝－|M 0M →|.该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[典例1] 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[思路分析] (1)由题意知，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，令Δ>0即可求得结果；(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由参数方程中t 1，t 2的几何意义，可得t 1＋t 2＝2(42＋2a )，t 1t 2＝2(16＋4a )，然后由|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，可得|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，代入求解即可．[解] (1)由题意，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，所以Δ>0，即a >0或a <－4.又a >0，所以a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)设交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2.则由(1)知，t 1＋t 2＝2(42＋2a )．t 1t 2＝2(16＋4a )，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，则|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)，所以实数a 的值为1.[典例2] 过点M (2,1)作曲线x 2＋4y 2＝16的弦AB ，若M 为线段AB 的三等分点，求线段AB 所在直线的方程．[思路分析][解] 设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，代入曲线方程，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0，令A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4cos α＋8sin αcos 2α＋4sin 2α，① t 1·t 2＝－8cos 2α＋4sin 2α.② 因为点M (2,1)是弦AB 的三等分点，不妨令点M 为靠近点B 的一个三等分点，所以t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－t 2，t 1·t 2＝－2t 22＝－2(t 1＋t 2)2，③将①②代入③，得12tan 2α＋16tan α＋3＝0，可求得tan α＝－4±76，则AB 所在直线的方程为y －1＝－4±76(x －2)．。

山东省胶州市2018届高考数学一轮复习第1讲极坐标课中学案文

第1讲坐标系学习目标1.能进行极坐标和直角坐标的互化2．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．重点能进行极坐标和直角坐标的互化合作探究课堂设计学生随堂手记【课堂互动探究区】【考点一】平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【我会做】在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．★【我能做对】某一曲线方程，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后变为曲线方程x 2＋y 2＝1.．求原曲线方程。

【规律总结1】：【例2】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsi n ⎝ ⎭⎪θ－4＝2.【规律总结2】： 22ρ⎭⎪⎫－π422ρ⎭⎪⎫－π4(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；【考点三】曲线极坐标方程的应用4=(思考在极坐标系中(1)在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :(x-3)2+y 2=9,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极⎪⎭⎝⎛4,2②设圆C 与圆C 交于A,B 两点,求|AB|.⎭⎪⎫－π4⎭⎪⎫＋π4:(为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ, 曲线C 3:ρ=2cos θ.2．(2016·高考全国卷乙改编)在直角坐标系xOy中，曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;的参数方程是(。

2018高考复习极坐标与参数方程-导学案(教师版).docx

极坐标与参数方程环节1明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法, 考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。

主要考查四类题型：①极坐标系中，极坐标的几何意义的应用真题示例题1 (2017年全国II)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C]的极坐标方程为pcos 0 = 4.(1)M为曲线G上的动点，点P在线段上,且满足\OM\-\OP\^16,求点P的轨迹C?的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为^2,彳｝点B在曲线C?上,求AOAB面积的最大值.【解析】⑴设M^jo0,d0), P(p,0),则|OM|=Q O,\OP\ = 依题意〃o =16, p Q cos 0a =4, O = O o, 解得p = 4cos6,化为直角坐标系方程为(.r-2)2 + y2 =4(x^0).常规方法:曲线q：x = 4,设P(x, y), M(4, t),则tx = 4y 且賦 + 尸• J,+16 =16, 将x? + y2 =4X(XK0),即点P的轨迹C?的直角坐标方程为(x-2)2 + y2 =4(x^0). ⑵连接AC?,易知AAOC2为正三角形，|Q4|为定值.所以当边40上的高最大时，面积最大，如图,过圆心C?作AO垂线，交40于H点，交圆C于B点,此时S“最大Smax =^O\-\HB\ =||AO|(|HC| + |BC|) =A/3+2别解:设(p>0),由题意知|Q4| = 2, Q =4COS&,所以的面积S =||OA|-psinZAOfi =4cos6>- sin” —彳= 2sin〔2&—耳―晅<2 +屈当0—兰时,S取得最大值2 +屈I 3)2 12所以△Q4B面积的最大值为2+ A/3.题2 (2015年课标II文理)选修4-4:坐标系与参数方程[x = tcosa在直角坐标系xOv中，曲线G : <] , (/是参数，7工0),其中0 Sa <兀，在以0为极点，x轴正半轴为[y = /sina极轴的极坐标系中，曲线C2: /? = 2sin0, C3: p = 2羽cosB.(I)求C2与C3的交点的直角坐标；(II)若G与C?相交于点A, G与C3相交于点B,求国的最大值.【解析】(I)曲线C?的直角坐标方程为x2 + y2-2y = 0,曲线C3的直角坐标方程为x2 + y1 - 2届 =0.（II ）曲线G 的极坐标方程为0 = a （pwR, qkO ）,其中OSas.因为A 的极坐标为（2sina,a ）, B 的极坐标为（2j^cosa,a ）,所以网 =〔2 sin a — 2A /5COS 国=4 sin [ a —彳],当a = ? 时，嗣取得最大值，且最大值为4 . ②直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例卄兀= 3cos 〃，题1 （2017年全国I ）在直角坐标系兀0中，曲线C 的参数方程为八（。

【2018年高考一轮课程】文科数学全国通用版第43讲极坐标与参数方程教案

一、自我诊断知己知彼1．点P 的直角坐标为)2,2(-，那么它的极坐标可表示为________．【答案】 )43,2(π【解析】直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==432sin cos πθρθρθρy x 。

2．在极坐标系中，若过点)0,1(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于B A 、两点，则=AB ________.【答案】32【解析】注意到在极坐标系中，过点)0,1(且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是1=x ，曲线θρcos 4=的直角坐标方程是x y x 422=+，即4)2(22=+-y x ，圆心)0,2(到直线1=x 的距离等于1，因此32=AB 。

3．若直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221(t 为实数)与直线14=+ky x 垂直，则常数=k ________.【答案】6-【解析】参数方程⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221，所表示的直线方程为723=+y x ，由此直线与直线14=+ky x 垂直可得1)4()23(-=-⨯-k，解得6-=k 。

4．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB(其中O 为极点)的面积．【答案】3【解析】由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA·OB·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x ，(θ是参数)的左焦点的坐标是________．【答案】)0,4(-【解析】题中曲线的直角坐标系的方程为192522=+y x ，其中4,3,5===c b a ，及左焦点为)0,4(-。

二、温故知新夯实基础1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或()⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0tan 222x x y y x θρ. 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三、典例剖析思维拓展考点一极坐标与直角坐标的互化例 1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段()101≤≤-=x x y 的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为θθρcos sin2=和1sin =θρ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．【答案】(1)θθρsin cos 1+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ. (2)(1,1)【解析】(1)⎩⎨⎧==θρθρsin cos y xx y -=∴1化成极坐标方程为1sin cos =+θρθρ即θθρsin cos 1+=.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， ∴20πθ≤≤(2)因为θρθρsin ,cos ==y x ，由θθρcos sin 2=，得θρθρcos sin 22=，所以曲线C1的直角坐标方程为y 2＝x .由1sin =θρ，得曲线C2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎨⎧==12y xy 得⎩⎨⎧==11y x ，故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．【易错点】容易忽略参数范围【方法点拨】 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式θρθρsin ,cos ==y x 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换．考点二伸缩变换及求曲线的极坐标方程例1 将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：022=-+y x 与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【答案】(1)曲线C 的方程为1422=+y x .(2)θθρcos 2sin 43-=.【解析】 (1)设()11,y x 为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点()y x ,，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，由12121=+y x 得1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即曲线C 的方程为1422=+y x . (2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0221422y x y x 解得⎩⎨⎧==01y x 或⎩⎨⎧==20y x 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,21，所求直线斜率为21=k ，于是所求直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21211x y ，化为极坐标方程，并整理得3sin 4cos 2-=-θρθρ，即θθρcos 2sin 43-=.【易错点】伸缩变换易变错【方法点拨】求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设()θρ，P 是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．考点三参数方程与普通方程的互化例1已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 241(参数R t ∈)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 22cos 2y x (参数]2,0[πθ∈)，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【答案】558 【解析】由⎩⎨⎧-=+=t y t x 241，消参数后得普通方程为062=-+y x ，由⎩⎨⎧=+=θθs in 22cos 2y x ，消参数后得普通方程为4)2(22=+-y x ，显然圆心坐标为)0,2(，半径为2.由于圆心到直线062=-+y x 的距离为552=d ，根据勾股定理，所求弦长为558。

2018届一轮复习人教A版参数方程学案

专题61 参数方程1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |. 三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一参数方程与普通方程的互化【例1】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值. 解直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过(3，0)，则3－a ＝0，∴a ＝3. 高频考点二参数方程及应用【例2】已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋2或m ＝1－ 2. 高频考点三参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.又曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.解 (1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程222)1(a y x =-+.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .2.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos,tan 8αα==，所以l 3.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）31(,)22．【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. (5)分（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()|sin()2|3d παα==+-.………………8分当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167.所以线段AB 的长为167.1.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A B 两点，则||AB = . 【答案】52【解析】因为(sin 3cos )0ρθθ-=，所以θρθρcos 3sin -，所以03=-x y ，即x y 3=；由1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得422=-x y ．联立方程组⎩⎨⎧=-=4322x y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22322y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22322y x ，即)223,22(A ，)223,22(--B ，由两点间的距离公式得52)223223()2222(||22=+++=AB . 2．【2015高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为 74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 . 【解析】解：直线l 的极坐标方程为2ρsin （θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y ﹣x=1，点A 的极坐标为A （2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A 到直线l 的距离为：=．故答案为：．4.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0．【解析】（I）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22+x y =，所以(22+3x y =.(II)设1(32P +，又，则|PC |==，故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0. 1．（2014·福建卷） (Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． (Ⅱ)解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝≤4，解得－25≤a ≤2 5.2．（2014·重庆卷）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________．【答案】5 【解析】由题意，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2＝4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝（1－0）2＋（2－0）2＝ 5. 3．（2014·辽宁卷）选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.1.在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m . (1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆；直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，所以直线l 与圆C 相切.(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322，解得－1≤m ≤5. 所以实数m 的取值范围为[－1，5].2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1，2)，且倾斜角α＝π6.所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11.由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.3.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0＜α＜π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值. 解 (1)由ρsin 2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝4x 得到t 2sin 2α－4t cos α－4＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4sin 2α. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin α≥4，当α＝π2时取到等号. ∴|AB |min ＝4，即|AB |的最小值为4.4.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1). 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π). (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1，0)为圆心， 1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。

2018届高考数学二轮复习极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化课件(全国通用)

【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将
代入方程
x2+y2-4x=0,化简得ρ =4cosθ .所以,曲线C的极坐标方程为ρ =4cosθ .
(2)∵直线l 的直角坐标方程为x+y-4=0,由坐标为(2,2),(4,0),所以直线l被曲线C截得的弦长为得直线l与曲线C的交点
.
【答案】
(θ 为参数) 【解析】曲线C的直角坐标方程是 (θ 为参数).
(x-1)2+y2=1,其参数方程为
10.已知曲线C1的参数方程为 ( ρ =2cosθ +6sinθ .
θ 为参数),曲线C2的极坐标方程为
将曲线C1的参数方程化为普通方程,将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程.
【解析】由 (
θ 为参数),得(x+2)2+y2=10.∴曲线C1的普通方程为
(x+2)2+y2=10.∵ρ =2cosθ +6sinθ ,∴ρ 2=2ρ cosθ +6ρ sinθ .∴x2+y2=2x+6y,即(x1)2+(y-3)2=10.∴曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
7.参数方程(Βιβλιοθήκη 为参数)所表示的曲线的普通方程为
.
【答案】
y=-2x2+1(-1≤x≤1) 【解析】由于cos2θ =1-2sin2θ ,故y=1-2x2,即
y=-2x2+1(-1≤x≤1).
9.(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ =2cosθ .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为

专题15 坐标系与参数方程教学案-2018年高考数学理考纲

专题15 坐标系与参数方程【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有： (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化，本内容的考查要求为B 级. 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一极坐标方程和参数方程【例1】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______.【答案】2【解析】直线10x --=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB =【变式探究】(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．【变式探究】(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析在平面直角坐标系下，点⎝⎛⎭⎫2，π3化为(1，3)，直线方程为：x ＋3y ＝6，∴点(1，3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1. 答案 1【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．解析由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x －y ＝0，∴圆心(0，4)到直线y ＝3x 的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6. 答案 6【变式探究】(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程．(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．题型二极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【例2】【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的的距离d当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩错误！未找到引用源。

山东省滨州市2018届高考数学一轮复习77坐标系与参数方程探究提升学案

77 坐标系与参数方程. 2.限时30分钟独立、规范完成基础知识梳理部分，并总结规律方法．探究主题：极坐标与参数方程探究一极坐标的概念【例1】⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；【拓展1】1.极坐标方程2cos21ρθ=所表示的曲线是（） A ．两条相交直线 BC ．椭圆D2. 在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2，6π)到直线l 的距离为．3.已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .极坐标与直角坐标互化：探究二参数方程的应用【例2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为 .【拓展2]求直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。

规律方法总结：【高考在线】1.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.2. 【2015高考陕西】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=. (I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.。

极坐标与参数方程带答案(教师版)

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2．极坐标的概念 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。

(2)极坐标：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)。

当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。

(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。

3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。

(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ4．常见曲线的极坐标方程1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程。

2018年高中数学高考一轮复习：坐标系与参数方程

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考点自测
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. (× ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程. (× ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 �� = -1-��, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( √ ) �� = 2 + �� (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. (× ) (4)参数方程 2, 4 .
�� = ��cos��, + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 (θ 为参 �� = �� sin ��
2
数).
�� = 2�� 2 , (4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). �� = 2��
1
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考点自测
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为参数).
��2 (3)椭圆方程 2 �� 2
�� = �� + ��cos��, (θ 为 �� = �� + ��sin��.
2
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考点自测
6.曲线的参数方程定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y �� = ��(��), 都是某个变量 t 的函数并且对于 t 的每一个允许值,上式所 �� = ��(��), 确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的参数方程 , 其中变量 t 称为参数 . (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 �� = ��0 + ��cos��, �� = ��0 + ��sin�� (t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|��0 ��|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).

极坐标及参数方程导学案

第一部分坐标系导学案一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系： 2．空间直角坐标系：3．极坐标系：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和一个角度单位及其正方向（通常取方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为，射线OX 称为）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρ称为，θ称为 .二、极坐标方程与直角坐标互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x = 2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：()5,π= ； 34,2π⎛⎫-⎪⎝⎭= ； 342,4π⎛⎫-⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标： ()0,5= ； ()4,43-= ； ()3,1-= .三、简单曲线的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且直线与极轴所成的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点方程：（2）直线过点M （a ,0）（a>0）,且垂直于极轴方程：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程：练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：π②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程：若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：注：几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点（2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ① 以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ② 以()5,C π为圆心，且过极点的圆； ④以2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆. 考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为___ (0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）A(5,35)，B(12,215) （2）A(3,)12π，5B(8,)12π练习3 （1）在极坐标中，点P(,)ρθ关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点M(5,)6π关于直线4πθ=的对称点的坐标为 .考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的方程是40x y --=，点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求PQ 的最小值．练习1 在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 ___ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是练习 4 设过原点O 的直线与圆C ：22(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点. ⑴求圆C 的极坐标方程；⑵求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．第二部分参数方程1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：①cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；②00(x x att y y bt=+⎧⎨=+⎩为参数）；③2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2)θπ∈； ④1()21()2a x t t b y t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）； ⑤cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.注：参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程①经过点P 00()x y α，倾斜角为的参数方程；②圆222()()x a y b r -+-=的参数方程；③椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程；④抛物线22(0)y px p =>的参数方程.注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。