2018高考复习极坐标与参数方程 导学案(教师版)

极坐标与参数方程

环节1 明晰高考要求

高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用，突出极坐标以及参数方程的几何用法，考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力，命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。 主要考查四类题型：

① 极坐标系中，极坐标的几何意义的应用

真题示例

题1 (2017年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐

标方程为cos 4ρθ=.

(1) M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2) 设点A 的极坐标为2,

3π⎛

⎫

⎪⎝

⎭

,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值. 【解析】(1)设()00,M ρθ,(),P ρθ,则0OM ρ=,OP ρ=,依题意016ρρ=,00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=,化为直角坐标系方程为()2

224x y -+=()0x ≠.

常规方法:曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ,则4tx y =

16=, 将2

2

4x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2

224x y -+=()0x ≠.

(2)连接2AC ,易知2AOC ∆为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,

如图,过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大

max 12S AO HB =

⋅()1

2

AO HC BC =

+2= 别解:设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,

所以OAB ∆的面积1sin 2S OA AOB ρ=⋅∠4cos sin 3πθθ⎛

⎫=⋅- ⎪⎝

⎭

2sin 223πθ⎛

⎫

=-

≤+ ⎪

⎝

⎭当12

π

θ=-时,S

取得最大值2, 所以OAB ∆

面积的最大值为2+.

题2 (2015年课标Ⅱ文理)选修44-:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos sin x t y t α

α

=⎧⎨

=⎩,(t 是参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为

极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=,3C

:ρθ=. (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；

(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 的最大值.

【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C

的直角坐标方程为22

0x y +-=.

联立2222

20

x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩

或232

x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

, 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0

和322⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=(ρ∈R ,0ρ≠),其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B

的极坐标为()

,αα,

所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫

=-=-

⎪⎝

⎭

,当56

π

α=

时,AB 取得最大值,且最大值为4. ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用

真题示例

题 1 (2017年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为

4,

1,x a t y t =+⎧⎨

=-⎩ (t 为参数).

(1) 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；

(2) 若C 上的点到l

,求a .

【解析】(1)1a =-时,直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2

219

x y +=, 联立方程22

430

1

9x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或2125

2425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ, 则P 到l

距离

d =

=

,其中3

tan 4

ϕ=

. 当40a +≥

即4a ≥-时

,max d ==即917a +=,解得8a =. 当40a +<

即4a <-时,max

d ==解得16a =-. 综上,16a =-或8a =.

题2 (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82

x t t

y =-+⎧⎪

⎨=⎪⎩(

t 为参数),曲线C 的参数方程为2

2x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=

,因为P 在曲线C 上,设(

)

2

2,P s ,