《定积分的概念》第2课时课件
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《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
1.5定积分的概念第2课时
得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位：km）的近似值，最 后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单位：km）的精确值．
思想：用化 归为各个小 区间上匀速 直线运动路 程和无限逼 近的思想方 法求出匀变 速直线运动 的路程
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S 与由直线
，…，
n
, b
i 1b i b
分 记第 i 个区间为
n
,
n
(i 1, 2 ,L
, n) ，其长度为
析
x i b i 1b b
n nn
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1b
n
,
b
上所作的功分别记作：
W1
，
W2 ，…， Wn
2．近似代替
有条件知： Wi
F
Wi
lim
n
kb2 2
1
1 n
kb2 2
kb2 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为：
2
变式例 题，可以提 高学生对定 积分思想的 认识。
五、
课
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的速度为
堂 v t t2 5 （单位 km / h ），试计算这辆车在 0 t 2 （单位： h ）这段时间内
练
习 汽车行驶的路程 S （单位： km ）
学以致 用，让学生 运用已学知 识解决问题。
六、 总
求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征，概括出基本步 结
骤 回 顾
总结好 这两节的内 容，为下节 讲解定积分 的概念大好 基础。
思想：用化 归为各个小 区间上匀速 直线运动路 程和无限逼 近的思想方 法求出匀变 速直线运动 的路程
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S 与由直线
，…，
n
, b
i 1b i b
分 记第 i 个区间为
n
,
n
(i 1, 2 ,L
, n) ，其长度为
析
x i b i 1b b
n nn
把在分段
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1b
n
,
b
上所作的功分别记作：
W1
，
W2 ，…， Wn
2．近似代替
有条件知： Wi
F
Wi
lim
n
kb2 2
1
1 n
kb2 2
kb2 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为：
2
变式例 题，可以提 高学生对定 积分思想的 认识。
五、
课
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 t 的速度为
堂 v t t2 5 （单位 km / h ），试计算这辆车在 0 t 2 （单位： h ）这段时间内
练
习 汽车行驶的路程 S （单位： km ）
学以致 用，让学生 运用已学知 识解决问题。
六、 总
求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征，概括出基本步 结
骤 回 顾
总结好 这两节的内 容，为下节 讲解定积分 的概念大好 基础。
数学：15定积分的概念-PPT课件新人教A版-选修2-2
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
积分、定积分的几何意义．
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
a
f (x规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.5《定积分的概念》
教学目标
• ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，
了解定积分的背景；
• ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积
分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
• 3．理解掌握定积分的几何意义； • 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定
是一个确定的常数
n
2
.当
i 1
f
( )x i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du
定积分的概念201901-PPT精选文档
n n
x
（4）取极限
1 i 1 S lim S lim f n n n i 1n n
n
引入2：汽车行驶的路程
问题：汽车以速度 v 匀速直线运动时， 经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果 汽车作变速直线运动，在时刻 t 的速度 2 为 v t t 2 （单位： km/h） ，那么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位： km）是多少？
b
积 分 f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 yf (x)
a
y
上述曲边梯形面积的负值。
S [f(x)] dx
a
b
S[ f(x )] dx
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S f f ( x ) d x ( x ) d x f ( x ) d x 。 y f ( x)
练习：
i 1 i 2 , f ( x ) x n 1、当n很大时，函数 在区间 n
上的值，可以用( C )近似代替 1 2 ) ) A. f ( B. f ( n n C. f ( i ) D. f 0
x 2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 i,x i 1 上的 C 近似值等于（ ） A.只能是左端点的函数值 f ( xi ) B.只能是右端点的函数值 f ( xi1 ) C.可以是该区间内任一点的函数值 f ( )( x , x ) i i i i 1 D.以上答案均不正确
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间 v v (t ) [a, b]内运动的距离s为 v
b a
s v ( t ) d t 。
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
《定积分的概念》课件
定积分的微元法
微元法原理
微元法是将被积函数分成若干个微小的元素， 每个元素的贡献可以表示为微小面积与微元函 数值的乘积。
微元法应用
微元法可以用于计算定积分的瑕积分、曲线积 分、曲面积分等，是微积分中的常见方法。
定积分的瑕积分
1
定义
瑕积分是所要求解的曲边梯形面积存在间断点、奇点或无穷处时的积分。
2
定积分的数值解法
1
梯形法
将区间分成多个小区间，每个小区间按照梯形形状进行大概估算。可以用于求解较为 简单的问题。 Nhomakorabea2
辛普森法
将区间分成多个小区间，每个小区间按照二次曲线形状进行更加精确的估算，具有高 精度和较高的运算成本。
3
数值微积分
通过使用数值微积分方法，如泰勒展开、拉格朗日、牛顿-科茨等方法，求解定积分的 数值解。
定积分的概念
欢迎来到本课程！本节课将介绍定积分的概念和相关知识点。
什么是定积分
数学定义
定积分是求曲边梯形面积的极限值，也是区间上的面积和，是微积分的重要概念。
直观理解
定积分描述了一个函数在区间上的累积变化，可以用于求面积、体积、平均数等问题。
定积分的意义和应用
意义
定积分是微积分的基础，让我们可以精确求解 函数的变化量。
矢量场定义
路径无关性可以通过矢量场的定义进行证明，该 定义称为黎曼条件。
保守场定义
保守场是指通量积分对于路径没有依赖性，可以 用来描述物理中的力场、磁场等。
定积分的曲面积分
定义
曲面积分是对曲面上的函数进行积分，通常应 用于流量、面积、压力等问题。
算法
可使用高斯公式、斯托克斯公式等方法求解。
定积分的环量积分
( 人教A版)高中数学选修22：1.5.3定积分的概念课件 (共35张PPT)
)dx＝1，
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
a
a
所以c2f(x)dx＋b2f(x)dx
a
c
＝2(cf(x)dx＋bf(x)dx)
a
c
＝2bf(x)dx＝4. a
答案：4
3．计算定积分3(2x＋1)dx＝________. 0
解析：3(2x＋1)dx 表示直线 f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3 围成的直角梯形 OABC 的 0
a
＝b，y＝0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求 曲边梯形的面积 S 而得到定积分的值： 当 f(x)≥0 时，bf(x)dx＝S；
a
当 f(x)<0 时，bf(x)dx＝－S. a
2．利用定积分的几何意义，求：
3
9－x2dx.
－3
解析：(1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆如
2
3552－x2dx＝21×2×1＝1，
∴5f(x)dx＝2xdx＋3(4－x)dx＋
0
0
2
3552－x2dx＝2＋23＋1＝29.
利用定积分的性质计算定积分的步骤： (1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，可以利用定积分的线性性质计 算，可以简化计算． (2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连 续可加性质计算．
dx
1
1
＝32.
(3)
1
1－x2dx 表示的是图(3)中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为π2，
-1
所以1
1－x2dx＝π2.
-1
由定积分的几何意义求定积分的步骤： (1)当 f(x)≥0 时，bf(x)dx 等于由直线 x＝a，x＝b，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 成曲边
大学课件 定积分概念-PPT精品文档
图 4-1 PPT课件 大学各学科
迎收藏
x
持续更新 欢 3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ，把底边 [a, b] 分成 n 个 小区间
f ( x ) dx
a
b
积分下限
被 积 函 数
被 积 [a,b] 积分区间 积 分 表 变 达 量 式 大学各学科PPT课件 持续更新 欢迎收
藏 12
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示 为： 曲边梯形面积 A a f ( x)dx 变速直线运动的路程 S T V (t )dt
23
例4
解
2 1
1 1 x 1 2 x 1 设 f ( x) ，求 1 f ( x)dx 1 x 2 x2
因为 f ( x) 在[1,2]上分段连续 1 所以 f ( x)dx = ( x 1)dx dx x x x 1 3 = 2 2 x
1 2 1 1 2
2 1 2 1 1
练习 习 题4-2 （1）-（4）
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24
二、定积分的计算
1．定积分的换元积分法
例5 计算 sin 2 xdx
1 0
解 解法一 求 sin 2 x 的原函数。 1 1 1 sin 2 xdx= sin 2 xd 2 x u 2 x sin udu = cos u C 2 2 2
迎收藏
x
持续更新 欢 3
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ，把底边 [a, b] 分成 n 个 小区间
f ( x ) dx
a
b
积分下限
被 积 函 数
被 积 [a,b] 积分区间 积 分 表 变 达 量 式 大学各学科PPT课件 持续更新 欢迎收
藏 12
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示 为： 曲边梯形面积 A a f ( x)dx 变速直线运动的路程 S T V (t )dt
23
例4
解
2 1
1 1 x 1 2 x 1 设 f ( x) ，求 1 f ( x)dx 1 x 2 x2
因为 f ( x) 在[1,2]上分段连续 1 所以 f ( x)dx = ( x 1)dx dx x x x 1 3 = 2 2 x
1 2 1 1 2
2 1 2 1 1
练习 习 题4-2 （1）-（4）
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24
二、定积分的计算
1．定积分的换元积分法
例5 计算 sin 2 xdx
1 0
解 解法一 求 sin 2 x 的原函数。 1 1 1 sin 2 xdx= sin 2 xd 2 x u 2 x sin udu = cos u C 2 2 2
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