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结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十讲-虚功原理与单位载荷法_图文
可能内力满足： 虚位移满足：
（平衡条件） （静力边界条件） （变形连续条件）
（位移边界条件）
外力虚功
内力虚功 比较
证毕！
变形体虚功原理的例证——讨论 讨论： 1）简支梁： 位移边界条件与静力边界条件
变形体虚功原理的例证——讨论 2）悬臂梁： 位移边界条件与静力边界条件
§5 单位载荷法
解： 影响小曲率梁变形的主要内力－弯矩
由虚功原理可得
()
杆微段的虚变形用dd *、df *与dq *表示
4、 虚功（以梁为例）
如温度
结构的外力与内力 变形
任取结构的虚位移与虚变形
如何表示？ 二者的关系？
5、内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力 在虚变形上作之总虚功－内力虚功
外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
变形体虚功原理的例证
第十讲-虚功原理与单位载荷法_图文.ppt
上讲回顾
余功与余能
Complementary Work and Complementary Energy
余功的定义:
弹性体的余能Vc数 值上等于余功：
余能计算 单向应力状态下 的余能密度为
故拉压杆与梁 的余能为
《材料力学（II）》第1版， 单辉祖编著，高教社
变形 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的
内力，称为静力可能内力或可能内力
2）杆的可能内力用FN, T, FS与M表示
）可能内力与外力
结构的静力许可场
几个概念 2、 可能位移与可能变形（运动许可场）
1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位 移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形
单位载荷法的基本公式 单位载荷法的常用公式 例题
变形体的虚功原理
§5-2 变形体的虚功原理
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
22
12
虚: 并不是假的、不存在的，而源自真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wi 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
一、虚功
: 实功
: 实功 : 虚功
虚位移 虚功
P P1 P P2 P P1
11
22
12
虚: 并不是假的、不存在的，而源自真的、 存在的。它只是表示位移 与力 之间不存在因果关系。
二、虚功原理
根据能量守恒原理有：
由于
改写为 外力虚功
，
， 因此
虚功原理 ！
外力虚功在杆件中产生的变形能 ，关键是求
较好求，例如对本例
§5-2 变形体的虚功原理
三、 的求法
力状态（由P1引起） 微段力状态: + +
相对于P1
虚位移状态（由P2引起）
微段虚位移状态:
+
+
各微段力状态在相应微段虚位移状态所作的虚功
各微段中所产生的变形能
：轴向虚应变 ：平均虚剪切角 ：虚曲率 虚功原理
代入虚功方程 We U 得 We ( FN FQ 0 M )ds Wi 外力虚功 内力虚功
当有多根杆件时， We
( FN ds FQ 0 ds M ds )
( F F
N Q
0
M )ds
虚功原理.ppt
源自MM P EIds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
l
k (1)(qx)
dx
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EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
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I Al2
4 5
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5
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1
2
h
2
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E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
结构力学(虚功原理和结构位移计算)ppt课件
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
完整版课件
9
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ1c1ab0
即
完整版课件
Δ
c1
•
b a
B
B' P=1 B
14
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
完整版课件
32
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
完整版课件
33
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截 面上加两个方向相反的单位力偶。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
结构力学虚功原理PPT课件
l FNdu l FQdv l Md Rc
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
例题9-1 用单位位移法求图 a所示多跨静定梁的支座反 力FBy和截面E处的弯矩ME。
解：（1）求支座反力FBy
1
1 2
,2
3 4
虚功方程：X 1+FP11+FP22 =0
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit平L衡oa关d 系Me。thod)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
平衡力状态之间----虚位移原理
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(12将通))际对虚由常受静位外力取定移X力状结与/ 虚态构实C的功，际平这 力a总/衡里 状b和方实 态代1为程际 无入零用 关得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
04-课件：6.2 虚功原理
原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0
第四章 虚功原理
（1）解除约束代之以约束力，建立静力状态（k）； （2）沿所求约束力的方向给以单位位移，建立协调的位移状态（m）； （3）用“m”状态考察“k”状态的平衡条件，建立虚功方程，求解未知力。
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
dθm
dθm
γmds
ds
εmd s
结构力学
第4章 虚功原理
例题1
A a
试利用单位位移法求FRD 和M E。
q=F/ 2a E a B a F
解： 1、解除D支座约束代之以FRD作用，
W (外力虚功) = U (变形虚功)
虚功方程
1
平面杆系结构 虚功方程
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
s s s
ρm
ds
虚功原理适用范围：刚体体系、弹性、非弹性、线性、非线性 的变形体系均可适用。
结构力学
第4章 虚功原理
虚功原理两种应用形式：
1
s s
ρm
Fk km = ∑ ∫ FNk ε m ds + ∑ ∫ FQk γ m ds + ∑ ∫ M k
ρm
ds
FQk FQm FNk FNm M M = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ k m ds s s s EA GA EI
结构力学
第4章 虚功原理
1、虚功互等定理
Fk km FQk FQm FNk FNm MkMm = ∑∫ ds + ∑ ∫ λ ds + ∑ ∫ ds s s s EA GA EI
Mk Mk
FNk
FNk
FQ k FQ k
FQ k
FQ k
ρm
ρm
dθm
dθm
γmds
ds
εmd s
虚功原理和结构的位移计算61页PPT
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
虚功原理和结构的位移计算
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
虚功原理和结构的位移计算
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
《结构力学虚功原理》课件
结构力学基础知识回顾
基本原理和概念
力学平衡 结构受力 静力学基础
结构材料性质
弹性模量 屈服强度 材料特性影响
重要概念
受力分析方法 结构行为预测 应力分布
应用案例
桥梁设计 建筑结构分析 机械系统
课程教学大纲
本课程将深入探讨结构力学虚功原理的相关概念和应用，通 过理论与实践相结合的教学方式，学生将学习如何应用虚功 原理分析结构系统的受力和稳定性，了解结构材料对结构行 为的影响，并掌握关键应用技能。每个章节都将侧重于实际 案例和工程应用，帮助学生更好地理解虚功原理在工程实践 中的价值。
01 体会和感悟
学生分享在学习虚功原理课程中的感悟和体会，探 讨学习过程中的成长和反思。
02 启示和帮助
虚功原理理论对实际工程实践的启示和帮助，激发 学生对工程领域的热情和探索欲望。
03 提升自己
鼓励学生在未来的学习和工作中持续努力，不断提 升自己的专业能力和素养。
未来发展趋势
发展趋势
展望结构力学虚功原理在未来 的发展趋势和应用前景，探讨 虚功原理理论的创新方向。
创新和应用
虚功原理在工程领域的不断创 新和应用，为工程领域的发展 提供新思路和方法。
实践探索
鼓励学生在未来的研究和实践 中积极探索虚功原理的新应用 领域，为工程领域的创新贡献 力量。
致谢
在此感谢所有支持和帮助过本课程的人，特别感激学生们的努力 和付出。继续学习，不断探索，为工程领域的发展贡献力量。
● 03
第3章 虚功原理理论基础
虚功原理概念
虚功原理是结构力学中重要的理论基础，通过对结构内部受力和 变形的分析，可以利用虚功原理推导出结构的稳定性和安全性。 学生需要深入理解虚功原理的概念，并认识到其在工程实践中的 重要性和应用价值。
虚功原理及其应用ppt课件
5
②虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立;
③理想约束 理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象
出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。 此假设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。
④对于保守力学系统：
V V V
Fi
iV
N
( xi
i
yi
j zi
k)
W Fi ri
o
r
x
(2r cos 2 l cos )
2
y
mg
W Fi ri mg yD 0 i
Q
i
Fi
ri qk
Q mg(2r cos 2 l cos ) 2
2r cos 2 l cos
0
mg yD
mg
[(2r cos l )sin] 2
2
4(c2 2r 2 ) l
2r cos2 l cos 2
p1 A
p22（（xBx23,,yyF2）3）
x2
l1
cos
1 2
l2
cos
y3 l1 sin l2 sin
23
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
广义力Q1
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
cos
Fl2
sin
0
tg P1 2P2
2F
tg P2
b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，
c、并建用立广坐义标坐系标，表分示析力并作图用示点系的统有受用到坐的标所，有即主：动将力r；i 表示为广
义坐标qk (k=1,2,…s) 的函数，并求出：xi , yi , zi
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6-2 变形体虚功原理的应用 讨论
对于矩形截面（b×h）
k 1.2
A
12I h2
let G 0.4E then
BV
FPr 3
4EI
1
1 h 2
3
r
与弯曲变形相比，剪切和轴向变 形对位移的影响,可以忽略不计
6-2 变形体虚功原理的应用
各类结构的计算公式简化
■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移
第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述 6-1 变形体虚功原理 6-2 变形体虚功原理的应用 6-3 刚体虚功原理的应用 6-4 互等定理
6-1 虚功原理
6-1-1 虚位移 虚力 虚功
△ 状态1
FP
状态2
虚位移：与对应的力无关的位移，△→ FP
虚 力：与对应的位移无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △
B
B
A [ pu q(w1 w2 )]d x A FQ d x 0
(d)
6-1 虚功原理
将式（d）第一项积分号去掉，得
BB
[uFN (w1 w2 )FQ M] A A [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]d x
B
B
A [ pu q(w1 w2 )]d x A FQ d x 0
将式（f）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其 它项对各杆件求和，得
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN d u FQ d w1 M d )
杆系结构的虚功方程
6-1 虚功原理
若考虑
d u d x d w1 0 d x d k d x
6-1 虚功原理
6-1-2虚功原理适用条件 1 力系平衡条件
Fx 0 Fy 0
d FN d FQ
pd x 0 qdx 0
(1)
M 0
d M FQ d x 0
分布荷载与截面内力之间的关系
6-1 虚功原理
2变形协调条件
u
A
uA
uB
B
wA w wB
变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。 位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
(e)
将式（e）第一项上下限代入，并考虑 w w1 w2，
d w2 d x ，得
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )Fra bibliotek(f)
6-1 虚功原理
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
6-1 虚功原理
根据公式
d(uw)=udw+wdu
得
d[uFN (w1 w2 )FQ M]
[ud FN (w1 w2 )d FQ d M] [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]
（c）式积分号中第一项 代入式（c），得
B
B
A d[uFN (w1 w2 )FQ M ] A [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]d x
则
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN FQ 0 M )d x
6-2 变形体虚功原理的应用
6-2-1 荷载作用时的位移计算 虚功原理的一般公式
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN FQ 0 M )d x
各杆端力做 的虚功之和
FR1 FP2 FP3
FP1
FR1
FR3
FP4 FP5
FP6
FR2
结点集中力 做的虚功
支座反力做 的虚功
FR3
FP6
FR2
6-1 虚功原理
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
1 位移计算公式的推导 位移状态
△
虚设单位力状态
1
du FNP
外力虚功
d w1 d
FQP MP
W 1
FN FQ M
内力虚功 Wi l FN d u FQ d w1 M d
得
l
FN
d
u
FQ
d
w1
M
d
单位荷载法求位移
6-2 变形体虚功原理的应用
对于线弹性材料
d u FNP d x EA
6-1 虚功原理 dx
u u+du
du dx
wq
0 wq+dwq
d w1 0 d x
w1：由剪切变形引起
的竖向位移
wM
d w2 d x
d wM+dwM w2：由弯曲变形引起
的竖向位移
6-1 虚功原理
6-1-2 变形体虚功原理的证明
由力的平衡方程：
d FN p d x 0
d FQ q d x 0
杆端力做的虚功
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
分布力做的虚功
截面内力 做的虚功
虚功原理
变形体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的 虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。
6-1 虚功原理
推广
FP2 FP1
FP3 FP4 FP5
(a)
得
d M FQ d x 0
B
A [(d FN pd x)u (d FQ qd x)(w1 w2 ) (d M FQ d x) ] 0 (b)
将含有“dx”的项合并，得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)
r
FNP MP θ
FNP FP sin FN sin
解
BV
s ( FPr 2 sin2 kFP cos2 FP sin2 )d s
0
EI
GA
EA
2
( FPr 2
sin2
kFP
cos2
FP
sin2
)r d
0
EI
GA
EA
4
FPr 3 EI
k
FP r GA
FP r EA
d w1
FQ P GA
d
x
d MP d x
EI
位移公式变成：
( FNFNP kFQFQP MM P ) d x
l EA
GA
EI
△的物理意义： 单位力在位移△上所做的虚功， 在数值上等于位移。
6-2 变形体虚功原理的应用
例
FP
FP
B
FQP
MP FPr sin MP r sin
r
r FQP FP cos FQ cos