虚功原理.ppt
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杆端力做的虚功
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
分布力做的虚功
截面内力 做的虚功
虚功原理
变形体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的 虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。
6-1 虚功原理
推广
FP2 FP1
FP3 FP4 FP5
B
B
A [ pu q(w1 w2 )]d x A FQ d x 0
(d)
6-1 虚功原理
将式（d）第一项积分号去掉，得
BB
[uFN (w1 w2 )FQ M] A A [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]d x
B
B
A [ pu q(w1 w2 )]d x A FQ d x 0
6-1 虚功原理
根据公式
d(uw)=udw+wdu
得
d[uFN (w1 w2 )FQ M]
[ud FN (w1 w2 )d FQ d M] [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]
（c）式积分号中第一项 代入式（c），得
B
B
A d[uFN (w1 w2 )FQ M ] A [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]d x
6-1 虚功原理 dx
u u+du
du dx
wq
0 wq+dwq
d w1 0 d x
w1：由剪切变形引起
的竖向位移
wM
d w2 d x
d wM+dwM w2：由弯曲变形引起
的竖向位移
6-1 虚功原理
6-1-2 变形体虚功原理的证明
由力的平衡方程：
d FN p d x 0
d FQ q d x 0
将式（f）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其 它项对各杆件求和，得
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN d u FQ d w1 M d )
杆系结构的虚功方程
6-1 虚功原理
若考虑
d u d x d w1 0 d x d k d x
6-1 虚功原理
6-1-2虚功原理适用条件 1 力系平衡条件
Fx 0 Fy 0
d FN d FQ
pd x 0 qdx 0
(1)
M 0
d M FQ d x 0
分布荷载与截面内力之间的关系
6-1 虚功原理
2变形协调条件
u
A
uA
uB
B
wA w wB
变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。 位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
则
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN FQ 0 M )d x
6-2 变形体虚功原理的应用
6-2-1 荷载作用时的位移计算 虚功原理的一般公式
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN FQ 0 M )d x
第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述 6-1 变形体虚功原理 6-2 变形体虚功原理的应用 6-3 刚体虚功原理的应用 6-4 互等定理
6-1 虚功原理
6-1-1 虚位移 虚力 虚功
△ 状态1
FP
状态2
虚位移：与对应的力无关的位移，△→ FP
虚 力：与对应的位移无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △
6-2 变形体虚功原理的应用 讨论
对于矩形截面（b×h）
k 1.2
A
12I h2
let G 0.4E then
BV
FPr 3
4EI
1
1 h 2
3
r
与弯曲变形相比，剪切和轴向变 形对位移的影响,可以忽略不计
6-2 变形体虚功原理的应用
各类结构的计算公式简化
■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移
各杆端力做 的虚功之和
FR1 FP2 FP3
FP1
FR1
FR3
FP4 FP5
FP6
FR2
结点集中力 做的虚功
支座反力做 的虚功
FR3
FP6
FR2
6-1 虚功原理
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
(e)
将式（e）第一项上下限代入，并考虑 w w1 w2，
d w2 d x ，得
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
(f)
6-1 虚功原理
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
1 位移计算公式的推导 位移状态
△
虚设单位力状态
1
du FNP
外力虚功
d w1 d
FQP MP
W 1
FN FQ M
内力虚功 Wi l FN d u FQ d w1 M d
得
l
FN
d
u
FQ
d
w1
M
d
单位荷载法求位移
6-2 变形体虚功原理的应用
对于线弹性材料
d u FNP d x EA
(a)
得
d M FQ d x 0
B
A [(d FN pd x)u (d FQ qd x)(w1 w2 ) (d M FQ d x) ] 0 (b)
将含有“dx”的项合并，得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)
r
FNP MP θ
FNP FP sin FN sin
解
BV
s ( FPr 2 sin2 kFP cos2 FP sin2 )d s
0
EI
GA
EA
2
( FPr 2
sin2
kFP
cos2
FP
sin2
)r d
0
EI
GA
EA
4
FPr 3 EI
k
FP r GA
FP r EA
d w1
FQ P GA
d
x
d MP d x
EI
位移公式变成：
( FNFNP kFQFQP MM P ) d x
Hale Waihona Puke Baidu
l EA
GA
EI
△的物理意义： 单位力在位移△上所做的虚功， 在数值上等于位移。
6-2 变形体虚功原理的应用
例
FP
FP
B
FQP
MP FPr sin MP r sin
r
r FQP FP cos FQ cos
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
分布力做的虚功
截面内力 做的虚功
虚功原理
变形体的一组平衡外力在其协调的微小虚位移上做的 虚功等于这组外力产生的内力在虚变形上做的虚功。
6-1 虚功原理
推广
FP2 FP1
FP3 FP4 FP5
B
B
A [ pu q(w1 w2 )]d x A FQ d x 0
(d)
6-1 虚功原理
将式（d）第一项积分号去掉，得
BB
[uFN (w1 w2 )FQ M] A A [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]d x
B
B
A [ pu q(w1 w2 )]d x A FQ d x 0
6-1 虚功原理
根据公式
d(uw)=udw+wdu
得
d[uFN (w1 w2 )FQ M]
[ud FN (w1 w2 )d FQ d M] [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]
（c）式积分号中第一项 代入式（c），得
B
B
A d[uFN (w1 w2 )FQ M ] A [FN d u FQ d(w1 w2 ) M d ]d x
6-1 虚功原理 dx
u u+du
du dx
wq
0 wq+dwq
d w1 0 d x
w1：由剪切变形引起
的竖向位移
wM
d w2 d x
d wM+dwM w2：由弯曲变形引起
的竖向位移
6-1 虚功原理
6-1-2 变形体虚功原理的证明
由力的平衡方程：
d FN p d x 0
d FQ q d x 0
将式（f）中的杆端力用结点集中力和支座反力代替，将其 它项对各杆件求和，得
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN d u FQ d w1 M d )
杆系结构的虚功方程
6-1 虚功原理
若考虑
d u d x d w1 0 d x d k d x
6-1 虚功原理
6-1-2虚功原理适用条件 1 力系平衡条件
Fx 0 Fy 0
d FN d FQ
pd x 0 qdx 0
(1)
M 0
d M FQ d x 0
分布荷载与截面内力之间的关系
6-1 虚功原理
2变形协调条件
u
A
uA
uB
B
wA w wB
变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。 位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
则
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN FQ 0 M )d x
6-2 变形体虚功原理的应用
6-2-1 荷载作用时的位移计算 虚功原理的一般公式
FPii FRkck
( p d x)u (q d x)w
l
l (FN FQ 0 M )d x
第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述 6-1 变形体虚功原理 6-2 变形体虚功原理的应用 6-3 刚体虚功原理的应用 6-4 互等定理
6-1 虚功原理
6-1-1 虚位移 虚力 虚功
△ 状态1
FP
状态2
虚位移：与对应的力无关的位移，△→ FP
虚 力：与对应的位移无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △
6-2 变形体虚功原理的应用 讨论
对于矩形截面（b×h）
k 1.2
A
12I h2
let G 0.4E then
BV
FPr 3
4EI
1
1 h 2
3
r
与弯曲变形相比，剪切和轴向变 形对位移的影响,可以忽略不计
6-2 变形体虚功原理的应用
各类结构的计算公式简化
■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移
各杆端力做 的虚功之和
FR1 FP2 FP3
FP1
FR1
FR3
FP4 FP5
FP6
FR2
结点集中力 做的虚功
支座反力做 的虚功
FR3
FP6
FR2
6-1 虚功原理
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
(e)
将式（e）第一项上下限代入，并考虑 w w1 w2，
d w2 d x ，得
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
B
B
( pd x)u (qd x)w
A
A (FN d u FQ d w1 M d )
(f)
6-1 虚功原理
[FNBuB FQBwB MBB ] [FN AuA FQ AwA M A A ]
1 位移计算公式的推导 位移状态
△
虚设单位力状态
1
du FNP
外力虚功
d w1 d
FQP MP
W 1
FN FQ M
内力虚功 Wi l FN d u FQ d w1 M d
得
l
FN
d
u
FQ
d
w1
M
d
单位荷载法求位移
6-2 变形体虚功原理的应用
对于线弹性材料
d u FNP d x EA
(a)
得
d M FQ d x 0
B
A [(d FN pd x)u (d FQ qd x)(w1 w2 ) (d M FQ d x) ] 0 (b)
将含有“dx”的项合并，得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)
r
FNP MP θ
FNP FP sin FN sin
解
BV
s ( FPr 2 sin2 kFP cos2 FP sin2 )d s
0
EI
GA
EA
2
( FPr 2
sin2
kFP
cos2
FP
sin2
)r d
0
EI
GA
EA
4
FPr 3 EI
k
FP r GA
FP r EA
d w1
FQ P GA
d
x
d MP d x
EI
位移公式变成：
( FNFNP kFQFQP MM P ) d x
Hale Waihona Puke Baidu
l EA
GA
EI
△的物理意义： 单位力在位移△上所做的虚功， 在数值上等于位移。
6-2 变形体虚功原理的应用
例
FP
FP
B
FQP
MP FPr sin MP r sin
r
r FQP FP cos FQ cos