圆锥曲线二级结论(2)
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论椭圆双曲线标准方程()222210x ya ba b+=>>焦点()()12,0,,0F c F c-()222210,0x ya ba b-=>>焦点()()12,0,,0F c F c-焦半径1020,PF a ex PF a ex=+=-e为离心率，x为点P的横坐标.1020,PF ex a PF ex a=+=-e为离心率，x为点P的横坐标.焦半径范围a c PF a c-≤≤+P为椭圆上一点，F为焦点.PF a c≥-P为双曲线上一点，F为焦点.通径过焦点与长轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba过焦点与实轴垂直的弦称为通径.通径长为22ba如图，直线l过焦点1F与椭圆相交于,A B两点.则2ABF△的周长为4a.（即224F A F B AB a++=）如图，直线l过焦点1F与双曲线相交于,A B两点.则224F A F B AB a+-=.焦点弦倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点.焦点弦长()222222sinabABa b bα=-+.最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.倾斜角为α的直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点.焦点弦长()222222sinabABa b bα=+-.AF与BF 数量关系直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点，则2112aAF BF b+=.直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点，则2112aAF BF b+=.已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，则b PO a≤≤.已知点P是双曲线上一点，O坐标原点，则PO a≥.焦三角形如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知12F PFθ∠=，12PF Fα∠=，21PF Fβ∠=，则（1）122tan2PF FS bθ=△；（2）离心率sinsin sineθαβ=+.如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点，已知12F PFθ∠=，12PF Fα∠=，21PF Fβ∠=，则（1）1222cot2tan2PF FbS bθθ==△；（2）离心率sinsin sineθαβ=-.垂径定理如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OM ABbk ka=-.如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两点，点M为AB的中点，O为原点，则22OM ABbk ka=.（注：直线l与双曲线的渐近线相交于,A B两点，其他条件不变，结论依然成立）周角定理如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端点），P是椭圆上异于,A B的一点，则22PA PBbk ka=-.推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PA PBbk ka=-如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是双曲线上异于,A B的一点，则22PA PBbk ka=.推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不为零，22PA PBbk ka=.直线l过焦点(),0F c与椭圆相交于,A B两点，点2,0aPc⎛⎫⎪⎝⎭，则APF BPF∠=∠（即0PA PBk k+=）.直线l过焦点(),0F c与双曲线相交于,A B两点，点2,0aPc⎛⎫⎪⎝⎭，则APF BPF∠=∠（即0PA PBk k+=）.切线方程已知点()00,P x y是椭圆上一点，则椭圆在点P处的切线方程为00221x x y ya b+=.已知点()00,P x y是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为00221x x y ya b-=.1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：设斜率为k 的直线l 过定点()()0,0P t t ≠，双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，过点P 与双曲线相切时的斜率为0k . （1）当0bk a≤<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当bk a=时，直线l 与双曲线只有一个交点； （3）当0bk k a<<时，直线l 与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当0k k =时，直线l 与双曲线只有一个交点； （5）当0k k >时，直线l 与双曲线没有交点.2．如图，(),0F c 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过点F 作FH 垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为H ，O 为原点，则,OH a FH b ==.3．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，则点P 到双曲线的渐近线的距离之积为定值2222a b a b +.4．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上任意一点，过点P 作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于,M N 两点，O 为原点，则平行四边形OMPN 的面积为定值2ab.如图，抛物线方程为()20y px p =>，准线2p x =-与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为原点，直线l 的倾斜角为α.1．212212,4.p x x y y p ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2．焦半径：12p AF x =+，22pBF x =+，12AB x x p =++. 3．焦点弦：22sin p AB α=. 4．,AF BF 的数量关系：112AF BF p +=，22sin p AF BF α⋅=. 5．三角形AOB 的面积22sin AOBp S α=△. 6．以焦点弦AB 为直径的圆与准线相切；以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切. 7．直线,PA PB 的斜率之和为零（0PA PB k k +=），即APF BPF ∠=∠. 8．点,,A O N 三点共线；点,,B O M 三点共线.9．如图，点,A B 是抛物线()20y px p =>，O 为原点，若90AOB ∠=，则直线AB 过定点()2,0p .。
高中数学圆锥曲线二级结论大全
高中数学圆锥曲线二级结论大全高中数学圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，涵盖了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线的性质和应用。
本文将为大家总结并介绍圆锥曲线的二级结论，包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、特点、性质以及相关的公式和图像。
一、椭圆1. 定义：椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为椭圆的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过椭圆中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为椭圆的长轴。
2. 特点：（1）椭圆的离心率e小于1；（2）对称性：椭圆关于椭圆的长轴、短轴的对称轴对称；（3）椭圆的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）椭圆的直径与长轴和短轴之间满足关系d = √(a² - b²)，其中d为椭圆上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
椭圆的图像为平面上一个闭合的曲线，长轴与x轴平行或与y轴平行，短轴在y轴或x轴上。
椭圆沿长轴上下对称。
二、双曲线1. 定义：双曲线是平面上到两个固定点F1、F2的距离之差为常数2a的点的轨迹。
称F1、F2为双曲线的焦点，连结两焦点的线段称为主轴，垂直于主轴且通过双曲线中心的直线称为次轴，主轴的长度2a称为双曲线的长轴。
2. 特点：（1）双曲线的离心率e大于1；（2）对称性：双曲线关于双曲线的长轴、短轴的对称轴对称；（3）双曲线的焦距等于长轴的一半，即F1F2 = 2ae = 2a；（4）双曲线的直径与长轴和短轴之间满足关系 d = √(a² + b²)，其中d为双曲线上两个焦点的距离。
3. 公式和图像：双曲线的标准方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为双曲线的中心坐标。
圆锥曲线定点定值二级结论
圆锥曲线定点定值二级结论圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，它是平面上所有点到两个定点的距离之比等于常数的点的集合。
圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线的特例。
在研究圆锥曲线时，我们经常需要考虑定点和定值的问题，而圆锥曲线定点定值二级结论就是一个非常有用的定理。
圆锥曲线定点定值二级结论是指，对于一个圆锥曲线上的点P，以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点，并且该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离为定值。
这个定值就是该点到圆锥曲线的直线的距离，也就是该点到该圆锥曲线的切线的距离。
这个定理对于研究圆锥曲线的性质和应用非常重要，下面我们将详细介绍。
首先，我们来证明圆锥曲线定点定值二级结论的第一个部分，即以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点。
我们可以采用反证法，假设存在一个以该点为焦点的圆锥曲线，它不经过该点。
那么，该圆锥曲线上必然存在一个点Q，它到该点的距离不等于该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离。
这与圆锥曲线的定义矛盾，因此假设不成立，即以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点。
接下来，我们来证明圆锥曲线定点定值二级结论的第二个部分，即该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离为定值。
我们可以采用向量法，设圆锥曲线的方程为F(x,y)=0，其中F(x,y)是一个二次函数。
设该点为P(x0,y0)，该圆锥曲线的另一个焦点为F(xf,yf)，则有：F(x0,y0) = c * PF^2其中PF表示点P到焦点F的距离，c为常数。
我们可以将F(x,y)在点P处进行泰勒展开，得到：F(x,y) = F(x0,y0) + Fx(x0,y0) * (x - x0) + Fy(x0,y0) * (y - y0) + ...其中Fx和Fy分别表示F(x,y)对x和y的偏导数。
由于点P在圆锥曲线上，所以F(x0,y0) = 0，且Fx(x0,y0) * (x - x0) + Fy(x0,y0) * (y - y0) = 0。
这意味着点P到圆锥曲线的切线垂直于向量(Fx(x0,y0),Fy(x0,y0))，即该向量是圆锥曲线在点P处的法向量。
关于圆锥曲线的二级结论
关于圆锥曲线的二级结论一、概述圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，由于其广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域，因此对其性质和特征的研究具有重要意义。
本文将介绍圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。
二、焦点定理1.定义焦点定理是描述圆锥曲线与其两个焦点之间距离关系的定理。
对于一个圆锥曲线，它与其两个焦点之间的距离之和等于常数2a，即：PF1 + PF2 = 2a其中PF1和PF2分别表示曲线上任意一点到两个焦点的距离。
2.证明为了证明焦点定理，我们可以使用以下方法：（1）假设一个圆锥曲线C是由一个固定点F1和一个固定直线L（称为直母线）生成的。
将另一个焦点F2定义为C上任意一点P到直母线L垂直平分线与L交点。
（2）根据定义得到PF1 + PF2 = 2a。
（3）利用勾股定理可以得到：PF1^2 = d^2 + (a - x)^2PF2^2 = d^2 + (a + x)^2其中d表示点P到直母线L的距离，x表示点P到直母线L垂直平分线的距离。
（4）将PF1和PF2代入焦点定理公式中，得到：d^2 + (a - x)^2 + d^2 + (a + x)^2 = 4a^2化简可得：x^2 = a^2 - d^2这个结论表明，圆锥曲线上任意一点到其两个焦点的距离之和等于常数，与其到直母线的距离平方成比例。
三、切线方程和法线方程1.定义对于一个圆锥曲线C上任意一点P，我们可以定义它的切线为通过该点且与C相切的直线。
同样地，我们可以定义它的法线为通过该点且垂直于切线的直线。
对于一个二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），其在某个点处的切线和法线可以用以下方式求出：（1）切线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = F’(x0,y0)(x - x0)（2）法线方程：设该曲线的方程为F(x,y) = 0，在点P(x0,y0)处求出F(x,y)在x=x0处的偏导数F’(x0,y0)，则该曲线在点P处的法线方程为：y - y0 = -1/F’(x0,y0)(x - x0)2.举例以椭圆为例，设其方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1则在点P(x0,y0)处，有：F(x,y) = (x^2/a^2) + (y^2/b^2) - 1F’(x,y) = 2x/a^2 + 2y/b^2因此，该椭圆在点P(x0,y0)处的切线方程为：y - y0 = (-x/a^2)/(y/b^2)(x - x0)化简可得：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = -(x - x0)/a^2同样地，它的法线方程可以由切线方程变形得到：(y - y0)/(b^2/a^2)(x - x0) = a^2/(y - y0)四、总结本文介绍了圆锥曲线的二级结论，包括焦点定理、切线方程和法线方程等内容。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
2023年高考数学三轮复习圆锥曲线中的二级结论及应用(解析版)
查补易混易错点07圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。
1设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.2设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.3.设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1.4.设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k .（1）圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.（2）圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.（3）圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝p y 0.5.过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.7.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为()A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【答案】B【解析】由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2，即54＝b 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.于A ，B 两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝()A ．1 B.2 C.3D ．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由结论可得，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.4.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A ．5B ．6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.6.已知双曲线C ：()105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF ∠=，则12F PF △的面积为（）．【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>，b =123F PF π∠=，由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－1，则椭圆的离心率为（）【解析】k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.8.在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【答案】(1)33(2)6－22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，即S △PF 1F 2＝33.（2）由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.9.(2022·荆州模拟)已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，则△PF 1F 2的面积为________．【答案】33【解析】由结论可得：S ＝b 2tan θ2，可得S ＝1·tan π6＝33.标原点，则|AB|为【答案】12【解析】易知2p＝3，由结论可得知|AB|＝2psin2α，所以|AB|＝3sin230°＝12.15.设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过F且倾斜角为6π的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为。
圆锥曲线部分二级结论
圆锥曲线部分二级结论一：1：定圆上一动点与圆内一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是椭圆。
2：定圆上一动点与圆外一定点的线段的垂直平分线，与动点和圆心之间的半径交点的轨迹是双曲线。
3：定直线上一动点与直线外一定点的线段垂直平分线，与过动点和定直线垂直的直线的交点的轨迹是抛物线。
二：1：动点到一定点和一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆。
2：动点到一定点和一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线。
3：动点到一定点和一定直线的距离之比等于1，则动点的轨迹是抛物线。
三：圆锥曲线上任一点的切线和过焦点与该点焦半径垂直的直线的交点，轨迹为该圆锥曲线相应之准线。
四：椭圆，双曲线的焦点在切线上的射影的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆。
抛物线的焦点在切线上的射影的轨迹为过抛物线顶点的切线。
五：1：以椭圆焦半径以为直径的圆和以长轴为直径的圆相切。
2：以双曲线焦半径以为直径的圆和以实轴为直径的圆相切。
3：以抛物线焦半径为直径的圆必与过顶点的切线相切。
六：1：椭圆中以焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线相离。
2：双曲线中以焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线相交。
3：抛物线中以焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。
七：1：椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹为以原焦点为顶点的椭圆（不含焦点）。
2：双曲线焦点三角形的内切圆圆心的轨迹是过双曲线实轴顶点的两条开线段。
①都垂直实轴。
②纵坐标范围（-b，b）。
椭圆和双曲线在这里还各有一个重要性质。
八：1：圆锥曲线焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数。
2：圆锥曲线相互垂直的两个焦点弦长度倒数之和为常数。
九：圆锥曲线焦点弦的中垂线与长轴（或实轴或对称轴）的交点到焦点的距离，与焦点弦长度之比为离心率的一半。
十：圆锥曲线的的焦点弦的端点在相应准线上的投影与另一端点的连线必过定点，且平分焦点与准线交轴点之间的线段。
圆锥曲线的常用二级结论
圆锥曲线的常用二级结论圆锥曲线是由平面上一固定点（焦点）和一条固定直线（准线）构成的几何图形。
它们包括椭圆、双曲线和抛物线。
在学习圆锥曲线的过程中，常用的二级结论有以下几个：一、椭圆的性质1. 椭圆的离心率小于1：椭圆是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之和等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是椭圆的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，椭圆的离心率小于1。
2. 椭圆的两个焦点在长轴上：椭圆的两个焦点与长轴垂直，并且它们都在长轴上。
3. 椭圆是对称图形：椭圆具有对称性，即如果将它绕着中心旋转180度，它仍然保持不变。
4. 椭圆的周长公式：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，则椭圆周长公式为C=π(a+b)。
二、双曲线的性质1. 双曲线的离心率大于1：双曲线是由一个固定点（焦点）到平面上所有点到另一个固定点（焦点）的距离之差等于一个常数的所有点构成的集合。
这个常数就是双曲线的长轴长度，而短轴长度等于长轴长度乘以离心率。
因此，双曲线的离心率大于1。
2. 双曲线有两条渐近线：双曲线有两条渐近线，它们与双曲线趋近于无限远时重合。
3. 双曲线不具有对称性：与椭圆不同，双曲线不具有对称性。
4. 双曲线的渐近线方程：设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，则它的两条渐近线方程分别为y=±(b/a)x。
三、抛物线的性质1. 抛物线是对称图形：抛物线具有轴对称性，即如果将它绕着轴旋转180度，它仍然保持不变。
2. 抛物线焦点和准线相等距离：抛物线是由平面上所有点到一条直线（准线）的距离等于这些点到一个固定点（焦点）的距离的所有点构成的集合。
它的焦点和准线相等距离。
3. 抛物线方程：设抛物线方程为y=ax^2+bx+c，则它的焦点坐标为(-b/2a,1/4a)，准线方程为y=-1/4a。
4. 抛物线与直线交点坐标：如果抛物线与直线y=kx+m相交，则交点坐标为(x,y)=(k^2a+bk+c-m,-ka^2-kb+m)。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线是高中数学中的重要内容之一，其二级结论也是备考中不可或缺的一部分。
这些结论可以帮助考生简化解题过程、加快解题速度，从而提高考试成绩。
以下是一些常见的圆锥曲线二级结论:
1. 过曲线上的点 P(x,y) 的切线方程为 y = mx + b，其中 m 为切线与曲线的斜率，b 为切线与曲线的截距。
2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为：|AB| = |AC| ×√
(1-e^2),其中 A、B、C 分别表示直线与曲线相交的三点，e 为直线的倾斜角度。
3. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：设 MP = x，则 MP + PM = 2x，即 x = (MP + PM) / 2。
4. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是本身;曲线关于直线成轴对称的曲线是圆。
这些二级结论在高考圆锥曲线题目中经常会被用到，掌握它们可以帮助考生更好地应对高考考试。
同时，考生也应该注重对这些结论的推导和熟练掌握，以在实际考试中快速、准确地运用它们。
圆锥曲线的二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论及证明圆锥曲线是在平面上由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）所确定的曲线。
它包括椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
首先我们来看椭圆。
椭圆定义为到焦点和准线距离之和为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
（2）椭圆上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设椭圆的焦点为F，准线为L。
取椭圆上一点P，分别连接PF和PL。
根据椭圆的定义，我们知道PF + PL = 定值。
又根据椭圆的特性，PL = 长轴长度的一半。
因此，PF + PL = 定值 = 长轴长度。
所以，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
证明（2）：设椭圆上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
我们需要证明N恰好是焦点F。
首先，由于N位于P处的法线上，所以PN垂直于椭圆的切线。
其次，设椭圆的焦距为2c，P到焦点F的距离为PF = d。
根据椭圆的性质，我们知道PF / c = PL / a，其中a为椭圆的长半轴。
而又由于PL = PN + NL，其中NL为椭圆的短半轴b。
所以，d / c = (d - NL) / a + NL / b。
通过化简，我们得到d = NL，即焦点到椭圆上的点处的法线与准线的交点恰好是焦点F。
接下来我们来看双曲线。
双曲线定义为到焦点和准线距离之差为常数的点的轨迹。
我们可以推导出以下二级结论：（1）焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
（2）双曲线上任意一点处的法线交准线于焦点。
证明（1）：设双曲线的焦点为F，准线为L。
取双曲线上一点P，分别连接PF和PL。
根据双曲线的定义，我们知道PF - PL = 定值。
又根据双曲线的特性，PL = 双曲线的距离差。
因此，PF - PL = 定值= 双曲线的距离差。
所以，焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于双曲线的距离差。
证明（2）：设双曲线上一点为P，连接P与焦点F，以及P处的法线与准线的交点为N。
圆锥曲线常用二级结论汇总
圆锥曲线常用二级结论汇总以下是圆锥曲线常用的二级结论汇总，包括椭圆、双曲线和抛物线的性质和特点。
详细解析如下：1.椭圆（Ellipse）：-定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：椭圆的焦点到任意点的距离之和等于该点到直径的距离之和。
-长轴和短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度之比，介于0和1之间。
-对称性：椭圆具有x轴对称和y轴对称性。
2.双曲线（Hyperbola）：-定义：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：双曲线的焦点到任意点的距离之差等于该点到直径的距离之差。
-长轴和短轴：双曲线的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度之比，大于1。
-渐近线：双曲线有两条渐近线，与曲线趋于无穷远时相交。
3.抛物线（Parabola）：-定义：抛物线是平面上到定点F的距离等于点P到定直线l的距离的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：抛物线的焦点是位于开口方向上的对称点，与焦点距离相等的两条直线互相平行。
-对称性：抛物线具有顶点对称性，焦点、顶点和直线l三者共线。
-方程形式：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a为常数且不为0。
4.曲线参数方程：-椭圆的参数方程：x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-双曲线的参数方程：x=a*coshθ,y=b*sinhθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-抛物线的参数方程：x=at^2,y=2at，其中a为常数，t是参数。
5.曲线图像和方程：-椭圆的标准方程：(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
-双曲线的标准方程：(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
圆锥曲线二级结论大全及证明过程简单
【前言】圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等各个领域。
在学习圆锥曲线的过程中，掌握其二级结论以及相应的证明过程是非常重要的，可以帮助我们深入理解圆锥曲线的性质和特点。
本文将对圆锥曲线的二级结论进行全面总结，并给出简单的证明过程，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
【一、椭圆的二级结论及证明】1. 椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和为常数的轨迹，具有如下的性质：（1）椭圆的离心率小于1；（2）椭圆是凸曲线，任何一条与椭圆相交的直线最多有两个交点；（3）椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 椭圆的二级结论（1）椭圆的焦点到椭圆上任意一点的切线长度之和等于椭圆的长轴长度。
证明：设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为长轴的一半，$b$为短轴的一半。
设椭圆上一点为$P(x_0,y_0)$，过点$P$作椭圆的切线，设切点为$Q(x,y)$，则切线的斜率为$k=\frac{y_0}{x_0}$。
椭圆的斜率为$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{a^2}{b^2}$。
切线的方程为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{a^2}{b^2}(x-x_0)$。
设椭圆的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$，其中$c^2=a^2-b^2$，则焦点$F_1$到点$P$的距离为$d_1=\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}$，焦点$F_2$到点$P$的距离为$d_2=\sqrt{(x_0-c)^2+y_0^2}$。
根据切线的性质，焦点到切点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即$d_1+d_2=2a$。
（2）椭圆上两点到椭圆的两个焦点的距离之和相等。
证明：设椭圆上两点分别为$P_1(x_1,y_1)$和$P_2(x_2,y_2)$，椭圆的焦点为$F_1(-c,0)$和$F_2(c,0)$。
关于圆锥曲线的二级结论
关于圆锥曲线的二级结论一、什么是圆锥曲线？圆锥曲线是平面上一种特殊的曲线，它们可以由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定。
根据焦点和准线的相对位置和形状不同，圆锥曲线可分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
二、椭圆 (Ellipse)2.1 定义椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的焦距，焦点与准线之间的距离称为椭圆的半长轴，准线上的一个固定点称为椭圆的中心。
2.2 二级结论•椭圆具有对称性，关于其中心点对称。
•椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数。
•椭圆的离心率大于0且小于1。
三、双曲线 (Hyperbola)3.1 定义双曲线是平面上到两个固定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。
这个常数称为双曲线的焦距，与准线相交的两条直线称为双曲线的渐近线。
3.2 二级结论•双曲线具有对称性，关于其中心点对称。
•双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于常数。
•双曲线的离心率大于1。
四、抛物线 (Parabola)4.1 定义抛物线是平面上到一个固定点（焦点）的距离等于到一个定直线（准线）的距离的点的集合。
焦点和准线之间的距离称为抛物线的半焦距，与准线平行且与抛物线相切的直线称为抛物线的切线。
4.2 二级结论•抛物线具有对称性，关于其焦点和准线都对称。
•抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离。
•抛物线的离心率等于1。
五、直线 (Line)5.1 定义直线是平面上任意两点之间的最短路径。
5.2 二级结论•直线可以看作两个无穷远的焦点之间的双曲线。
•直线的离心率为无穷大。
六、总结圆锥曲线是平面几何中非常重要的曲线类型，椭圆、双曲线、抛物线和直线都是常见的圆锥曲线。
每种曲线都有其独特的性质和特点，如对称性、焦点和准线之间的关系等。
了解和理解圆锥曲线的性质和特点，有助于在几何问题中的应用和解题。
在进一步研究和应用圆锥曲线时，可以通过焦点、准线、离心率等概念来深入理解和分析不同曲线的性质和特点。
数学圆锥曲线二级结论汇总
数学圆锥曲线二级结论汇总一、离心率公式离心率 e 是描述圆锥曲线形状的重要参数，对于椭圆，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是椭圆长轴的半径。
对于双曲线，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是双曲线实轴的半径。
二、焦点弦长公式焦点弦长是过圆锥曲线焦点的弦的长度，其公式如下：L = 2b^2/a其中，L 是焦点弦长，b 是半短轴长度，a 是半长轴长度。
三、切线长公式切线长是过圆锥曲线上的点作切线的长度，其公式如下：T = a*sqrt(1-k^2)其中，T 是切线长，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
四、中点弦公式中点弦是过圆锥曲线上的中点的弦，其公式如下：x = (1-k^2)x0^2/[(1+k^2)a^2] - 2x0(y0/a)/[1+k^2] + y0^2/[(1+k^2)*a^2]其中，x0 和 y0 是中点的坐标，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
五、渐近线方程渐近线是描述圆锥曲线接近其极限位置的线，其方程如下：y = ±(b/a)*x其中，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于双曲线，b 和 a 分别是实轴和虚轴长度。
六、焦半径公式焦半径是描述圆锥曲线上任意一点到焦点的距离的公式，其公式如下：|PF1| = a - ex, |PF2| = a + ex, |PF1| = |PF2| - 2*ex其中，P 是圆锥曲线上的任意一点，F1 和 F2 分别是左右焦点，e 是离心率。
对于椭圆和双曲线，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于抛物线，p 是焦点到准线的距离。
圆锥曲线的常用二级结论
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的特性1. 定义和方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹，其标准方程为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
2. 焦点和焦距椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴的两个端点上。
焦距是两个焦点之间的距离，等于2a。
3. 离心率椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度之比，即e = c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
4. 直径和短轴椭圆的直径是通过中心并且垂直于长轴的线段，其长度为2b，其中b为短轴长度。
二、双曲线的特性1. 定义和方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹，其标准方程为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
2. 焦点和焦距双曲线有两个焦点，分别位于双曲线的长轴的两个端点上。
焦距是两个焦点之间的距离，等于2a。
3. 离心率双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度之比，即e = c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。
4. 渐近线双曲线有两条渐近线，分别通过中心并且与双曲线的曲线趋势无限接近。
渐近线的方程为y = ±b/a * x。
5. 银焦点和银直径双曲线的银焦点位于长轴上，两个银焦点与两个实焦点的连线垂直。
银直径是通过中心并且垂直于长轴的线段，其长度为2b，其中b为银直径的长度。
三、抛物线的特性1. 定义和方程抛物线是平面上到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点的轨迹，其标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a为抛物线的开口方向和形状因子，b为抛物线的横移量，c为抛物线的纵移量。
2. 焦点和焦距抛物线有一个焦点，纵坐标与抛物线的方程有关。
二级结论专题11 解析几何2
二级结论专题11解析几何2二级结论1：圆锥曲线中的定值问题【结论阐述】1．在椭圆中：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在椭圆上，设A ，B 是椭圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y ．2．在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>中，定点00(,)P x y （000x y ≠）在双曲线上，设A ，B 是双曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PBk k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y -．3．在抛物线C ：22(0)y px p =>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率0=AB p k y -．【应用场景】在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P （非顶点）与曲线上的两动点A ，B 满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线AB 的斜率为定值．【典例指引1】1．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为1-，则点P 坐标为（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．(2,D ．(2,-【典例指引2】2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点为12,F F ，椭圆的离心率为12，点2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)点T 为椭圆C 上的点，若点T 在第一象限，且2TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C 交于点M ，N ，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．【针对训练】3．已知抛物线2:4C y x =，点Q 在x 轴上，直线:(2)240l m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是_____.（2022·山西晋中·高二期末）4．已知点()2,1P -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的一点，且椭圆C 的离心率2e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)两动点,A B 在椭圆C 上，总满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数，求证：直线AB 的斜率为定值.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率e 为12(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.6．已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1．(1)求动点M 所在的曲线C 的方程；(2)已知点(1,2)P ，A B 、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；7．如图，已知9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且均在M 点的下方．证明：直线AB 的斜率为定值．8．已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数．求直线EF 的斜率．9．已知点)Q，点P 是圆C ：22(x y 12+=上的任意一点，线段PQ 的垂直平分线与直线CP 交于点M ．()1求点M 的轨迹方程；()2过点()A 作直线与点M 的轨迹交于点E ，过点()B 0,1作直线与点M 的轨迹交于点F(E,F 不重合)，且直线AE 和直线BF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF 的斜率；若不是定值，请说明理由．10．已知，椭圆C 过点35A ,22⎛⎫⎪⎝⎭，两个焦点为()0,2，()0,2-，,E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数．()1求椭圆C 的方程；()2求证：直线EF 的斜率为定值．（2022沙坪坝·重庆八中）11．在平面直角坐标系xOy 中，设点()00,M x y 是椭圆22:1205x y C +=上一点，以M 为圆心的一个半径2r =的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q .（1）若点M 在第一象限且直线,OP OQ 互相垂直，求圆M 的方程；（2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，且分别记为12,k k .求证：12k k 为定值；（3）探究22OP OQ +是否为定值，若是，则求出OP OQ ⋅的最大值；若不是，请说明理由.（2022沙坪坝·重庆南开中学）12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点为1F 、2F ，离心率2e =，过圆2221:C x y b +=上一点Q （Q 在y 轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E 于A 、B 两点，交圆2222:C x y a +=于C 、D 两点（如图所示）．当切线AB 与x 轴垂直时，2CDF V 的面积为3．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）（ⅰ）求ABO 的面积的最大值；（ⅱ）求证：2AC AF +为定值，并求出这个定值．13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()3,2A -，且离心率e =(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并求出该定值.（2021全国高考真题）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.二级结论2：圆锥曲线中的定点问题【结论阐述】若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．（1）对于椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222()(+a b aa b -．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(,0)a -时，直线AB l 过定点2222()(+a b a a b --．（2）对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222(+)(,0)a b aa b-．同理，对于左顶点(,0)a -，则定点为2222(+)(,0)a b aa b --．（3）对于抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则弦AB所在直线过点(2,0)p ．同理，抛物线22(0)x py p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=，则直线AB 过定点(0,2)p ．【应用场景】一般情况下，若方程(),0f x y =中含有一个或者多个参数，当x 取某个常数0x 时，求得的y 也是一个与参数无关的常数0y ，这样就可以说方程(),=0f x y 对应的曲线经过定点()00,x y ．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定点，这样可以转化为有方向、有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．【典例指引1】（2022·安徽蚌埠·高二期末）15．已知直线l 与抛物线24y x =交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率之积为1-，则直线l 恒过定点（）A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(0,4)-D ．(4,0)-【典例指引2】16．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【反思】在分析直线方程时，要考虑直线的特殊情况，注意分类讨论．要想整理得出k 和m 的关系，需要借助韦达定理建立关于k 和m 方程，注意化简运算的技巧．【针对训练】17．已知双曲线2212y x -=，点()1,0A -，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 恒过定点__________；（2022·四川巴中·一模）18．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左､右焦点分别为1F ，2F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足122MF MF a +=，且12MF F △的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的上顶点为P ，不过点P 的直线l 交C 于A ，B 两点，若PA PB ⊥，证明直线l 恒过定点.19．已知椭圆22132x y E +=：的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)证明：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值；(2)设()(0Q t t ≠，，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点．问：是否存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过定点B ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期检测）20．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x y -+=的距离点()()000,0N x y y >为此抛物线上的一点，52NF =.直线l 与抛物线交于异于N的两点A ，B ，且2NA NB k k ⋅=-.(1)求抛物线方程和N 点坐标；(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.（2022届河南省焦作市高三上学期开学考试）21．在PAB 中，已知()2,0A -、()2,0B ，直线PA 与PB 的斜率之积为34-，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4，求证：直线PQ 过定点.（2022届陕西省西安市高三上学期模拟）22．已知与圆22:(1)3C x y ++=相切的直线l ，过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F ，且直线l 的倾斜角为23π.(1)求抛物线E 的方程；(2)直线1l 与抛物线E 交于点A ，B 两点，且A ，B 关于直线y x =+对称，在12y x=-上是否存在点N ，使得以AB 为直径的圆恰好过点N ，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.（2022届河南省名校联盟高三上学期阶段性测试）23．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若AM MB =，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率．(2)若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．24．过点(0,2)D 的任一直线l 与抛物线220C :x py(p )=＞交于两点,A B ，且4OA OB =-．(1)求p 的值．(2)已知,M N 为抛物线C 上的两点，分别过,M N 作抛物线C 的切线12l l 和，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点．（2022届上海市进才中学高三上学期12月联考）25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.二级结论3：圆锥曲线中的定直线问题【结论阐述】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 必在定直线00221x x y ya b+=上；3．已知抛物线22y px =(>0)p ，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB则点Q 在定直线00()y y p x x =+上．【应用场景】定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．证明动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，解决这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：（1）设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．【典例指引1】27．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:30l x -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．【反思】解决直线与圆锥曲线相交的相关问题时，关键在于将目标条件转化为交点的坐标间的关系，交点坐标的韦达定理上去可得以解决．【典例指引2】（2022江苏南通·高二开学考试）28．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【针对训练】29．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点)，且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知()3,0D ，过M 且与y 轴垂直的直线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.30．已知点P 是离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线by x a=-于Q ，R 两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为1S ，2S ，且12S S +=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的上、下顶点分别为1B ，2B ，过点()0,1D 的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．【反思】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．31．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点1F 与抛物线24y x =的焦点重合，原点到过点()(),0,0,A a B b -的直线距离是7（1）求椭圆C 的方程（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过1F 作1PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()0,1．如图所示，斜率为()0k k >且过点()1,0-的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且2OG OE OF =⋅．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：点F 在定直线上．【反思】求定线问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．33．已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅ ，证明：点Q 总在某定直线上．【反思】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解．参考答案：1．A【分析】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，求得直线AB 的斜率为1241AB k y y ==-+，可得124y y +=-，再由直线PA 和PB 的斜率互为相反数可求得0y 的值，进而可求得0x 的值，由此可求得点P 的坐标.【详解】设点()00,P x y 、()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的斜率为12221212414AB y y k y y y y -===--+，可得124y y +=-，同理可得直线PA 的斜率为014PA k y y =+，直线PB 的斜率为024PB k y y =+，PAPB k k =- ，所以，()()01020y y y y +++=，则12022y y y +=-=，20014y x ∴==，因此，点P 的坐标为()1,2.故选：A.【点睛】本题考查利用抛物线中直线的斜率关系求点的坐标，考查点差法的应用，属于中等题.2．(1)22143x y +=；(2)直线MN 的斜率为定值，且定值为12.【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a 、b ，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设TM 为3(1)2y k x -=-，联立椭圆方程应用韦达定理求M的坐标，根据TM 与TN 斜率关系求N 的坐标，应用两点式求斜率；法二：设MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于参数m 、k 的方程，即可判断是否为定值.（1）由题意，12c a =则2a c =，又===b ，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c +=，代入⎛ ⎝⎭有22331412+=c c ，解得1c =，所以2b a ==，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题设易知：31,2T ⎛⎫⎪⎝⎭，法一：设直线TM 为3(1)2y k x -=-，由221433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去y ，整理得()2223348412302k x k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭，因为方程有一个根为1x =，所以M 的横坐标为22412334M k k x k --=+，纵坐标()223121291286M M k k y k x k --+=-+=+，故M 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭，用k -代替k ，得N 为2222412312129,3486k k k k k k ⎛⎫+--++ ⎪++⎝⎭，所以12M N MN M N y y k x x -==-，故直线MN 的斜率为定值12．法二：由已知直线MN 的斜率存在，可设直线MN 为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，而12123322011TM TN y y k k x x --+=+=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，代入整理得()()1212123322022kx x m x x k x x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()24832(21)0-++-=k k m k ，即(21)(232)0--+=k k m ，若2320k m -+=，则直线MN 过点T ，不合题意，所以210k -=．即12k =，故直线MN 的斜率为定值12.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及0TM TN k k +=得到关于直线斜率的方M 、N 程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.3．(2,0)-【分析】将直线l 方程代入抛物线C 中，得到关于y 的一元二次方程，设出M ，N 两点坐标，利用韦达定理写出12y y +，12y y 的关系，利用斜率坐标公式结合已知条件，得到 0+=QM QN k k ，即可求解Q 的坐标.【详解】易知2m ≠，由(2)240m x y m ---+=得22y x m =+-，代入抛物线方程得24802y y m --=-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1242y y m +=-①，128y y =-②.设(,0)Q a ，则11QM y k x a =-，22QN y k x a=-，依题意有1 1QM QN yk k x a +=+-220yx a =-，所以()()12210y x a y x a -+-=，即211222022y y y a y a m m ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理并把①②代入可得2a =-，故Q 点的坐标为(2,0)-.故答案为：(2,0)-.4．(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得22,a b ，从而求得椭圆C 的标准方程.（2）设出直线PA 的方程并与椭圆方程联立，由此求得A x ，同理求得B x ，从而化简求得直线AB 的斜率A BAB A By y k x x -=-为定值.（1）由题可知22222411c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，从而粚圆方程为22182x y +=.（2）证明设直线PA 的斜率为k ，则():12PA y k x +=-，21y kx k =--，联立直线与椭圆的方程，得()221248y k x x y ⎧+=-⎨+=⎩，整理得()(2221416k x k +-+()28)161640k x k k ++-=，从而2216164214A k k x k +-=+，于是2288214A k k x k+-=+，由题意得直线PB 的斜率为k -，则():12PB y k x +=--，21y kx k =-+-，同理可求得2288214B k k x k --=+，于是A BAB A B y y k x x -=-()2121A B A Bkx k kx k x x ----+-=-()4A B A Bk x x kx x +-=-2221644114.16214k k k k k k-⋅-+==-+即直线AB 的斜率为定值.5．(1)22143x y +=；(2)证明见解析，12.【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出E 、F 两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可.（1）根据题意，22222914112a bc e a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）证明：设直线AE 的方程为：()312y k x -=-，由()22312143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()2223442341230k x k k x k k +--+--=，显然1是该方程的根，因此有22224123412313434x x k k k k E E k k ----⋅=⇒=++，()2222412312129,34234k k k k E k k ⎛⎫----+ ⎪∴ ⎪++⎝⎭，由题可知直线AF 的方程为()312y k x -=--，同理可得()2222412312129,34234k k k k F k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭，()()222222221212912129234234121412341232423434EF k k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++∴===+----++，∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为12.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求出两点坐标是解题的关键.6．(1)24y x =(2)证明见解析，1-.【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）分别设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出点A B 、坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】（1）已知动点M 到直线+2=0x 的距离比到点(1,0)F 的距离大1，等价于动点M 到直线1x =-的距离和到点(1,0)F 的距离相等，由抛物线的定义可得：动点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，可得=2p ，抛物线开口向右，∴曲线C 的方程为24y x =．（2）设直线PA 的斜率为k ，∵直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，∴直线PB 的斜率为k -，则:2(1)PA l y k x -=-，:2(1)PB l y k x -=--，联立方程组22=(1)=4y k x y x--⎧⎨⎩，整理得2-4-4+8=0ky y k ，即[](24)(2)0ky k y +--=，42ky k-=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kA k k--联立方程组22=(1)=4y k x y x---⎧⎨⎩，整理得24480ky y k +--=，即[](24)(2)0ky k y ++-=，42ky k--=或=2y （舍）可得22(2)42(,)k kB k k+--则222242421(2)(2)ABk kk k k k k k k ----==-+--即直线AB 的斜率为定值1-．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．7．证明见解析.【分析】设出直线MA 和MB 的方程，与抛物线方程联立求出点A B ，的坐标，再求直线AB 的斜率即可.【详解】证明：∵9(,3)4M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，∴9924p =⨯，得=2p ，∴抛物线方程为24y x =，设直线MA 的方程为93()4y k x -=-，由293=()4=4y k x y x--⎧⎪⎨⎪⎩，得241290y y k k -+-=，即4[(3)](3)0y y k +--=，解得43A y k=-或3A y =(舍)∵直线AM ，BM 的斜率互为相反数，∴直线BM 的方程为93(4y k x -=--，同理可得43B y k=--，∴224424433344B A B A AB B A B A B A y y y y k y y x x y y k k =====------+--+，∴直线AB 的斜率为定值23-，8．1-【分析】先利用已知条件求出抛物线得方程，然后利用直线斜率公式求直线,AE AF 的斜率，在由直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，求出124y y +=-，在根据2121214==+EF y y k x x y y --即可求出答案.【详解】设()11,E x y ，()22,F x y ，∵点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点，∴42p =，解得=2p ，∴24y x =，同时，有211=4y x ，222=4y x ，()()()()()()11111111112+22444====11+21+2+2AE y y y x k x x y x y y ------，同理，22224==1+2AF y k x y --，∵直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数，∴1244=+2+2y y -，即124y y +=-，()22222121212121212144===44=1+EF y y y y y y k x x y y y y y y ------∴=-，故直线EF 的斜率为1-.9．（1）22x y 13+=；（2）定值【分析】（1）根据中垂线的性质得出MQ MP =，然后计算出MC MQ +=，结合椭圆的定义得知点M 的轨迹为椭圆，可得出a 和c 的值，进而求得b 的值，于是可得出点M 的轨迹方程；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，将直线AE 、BF 的方程分别与曲线E 的方程联立，利用韦达定理求出的点,E F 的坐标，然后利用两点间的斜率公式求出直线EF 的斜率，从而证明结论．【详解】（1）如下图所示，连接MQ，则MC MQ MC MP CP +=+==又CQ =M 的轨迹是以,C Q 为焦点的椭圆，因为22a c ==1a c b ===．故点M 的轨迹方程是2213x y +=；（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x()1111x y k x ==+=．由22133y kx x y =-+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=，则222222613,11313k k x y kx k k-==-+=++．所以，1212EFy y k x x -===-故直线EF的斜率为定值，其斜率为3-．【点睛】（1）求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.（2）当直线与椭圆的两个交点中有一个是定点时，我们常用动直线的斜率表示另一个动交点的坐标，进而讨论与动交点相关的数学问题（常称为知点求点法）.10．（1）22y x 1106+=；（2）见解析【分析】()1由焦点坐标求得2c =，可设椭圆方程为22221y xa b +=，可得22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解方程即可；()2设()11,E x y ，()22,F x y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=，求出点E 的坐标，再将k 换为k -，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率，再化简即可得结果.【详解】()1由题意c 2=，可设椭圆方程为22221y x a b +=，22222591444a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得210a =，26b =，∴椭圆的方程为221106y x +=.()2设()11E x ,y ，()22F x ,y ，设直线AE 的方程为3522y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入221106y x +=得()()22233353533()30022k x k k x k ++-+-+-=，()123353352k k x k -∴=-+，113522y kx k ∴=-+，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以k -代k ，可得()223353352k k x k ---=-+，2235y kx k 22∴=-++，∴直线EF 的斜率()()()()()2212212121223353353333523523133533533352352k k k k k k k k k x x k y y k k k k k x x x x k k ----⎛⎫-+-+ ⎪++-++-⎝⎭====--------+++.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，考查了运算求解能力，化归与转化思想的应用，属于难题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.11．（1）()()22224x y -+-=；（2）证明见解析；（3）是，252.【分析】（1）由切线性质得OM =，由此可求得M 点坐标，从而得圆方程．（2）设切线方程为y kx =，由直线与圆相切得出k 的方程，结合韦达定理得12k k ，并结合M 在椭圆上可得．（3）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，利用1214k k =-可得22221212116y y x x =，利用,P Q 在椭圆上可求得2212x x +及2212y y +，从而得22OP OQ +，当直线OP OQ ，有一条落在坐标轴上求出22OP OQ +，从而得定值，再由基本不等式得最大值．【详解】（1）OM ==则22008x y +=，又2200220012058x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，又000,0x y >>，故解得0022x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2M ，所以圆M 的方程为()()22224x y -+-=（2）因为直线12::OP y k x OQ y k x ==，与圆M 相切，所以直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0，可得12k k ，是方程()2220004240xk x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-因为点00(,)M x y 在椭圆C 上，所以220054x y =-，所以1214k k =-；（3）（i ）当直线OP OQ ，不落在坐标轴上时，设()()1122,,P x y Q x y ，，因为12410k k +=，所以22221212116y y x x =，因为()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上.所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得221220x x +=，所以22125y y +=所以2225OP OQ +=.（ii ）当直线落在坐标轴上时，圆M 方程为22(2)(2)4x y -+-=，易求得2225OP OQ +=，综上：2225OP OQ +=，所以|()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=所以OP OQ ⋅的最大值为252．【点睛】本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题，考查学生的运算求解能力，逻辑思维能力，对斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程y kx =，利用直线与圆相切得出关于k 的二次方程，由韦达定理得出结论；设()()1122,,P x y Q x y ，，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点M 在椭圆上求得22OP OQ +的值，注意分类讨论．12．（1）2214x y +=；（2）（ⅰ）1；（ⅱ2.【分析】（1）由三角形面积得()3c b c +=+222a c b -=求得,,a b c 后得椭圆方程；（2）（ⅰ）直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线与圆相切求得,t m 的关系，设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元后求出判别式的值（利用,t m 关系），应用韦达定理，得弦长AB ，计算OAB 面积，应用基本不等式得最大值；（ⅱ）CQ c ==，AC CQ AQ AQ =-=，用A 点坐标表示出2,AQ AF ，计算可得．【详解】（1）2CD c ==，于是有2()3CDF S c b c =+=+ 又222,2c a b c a =-=，解得2,1c a b ===，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）（ⅰ）因Q 在y 轴左侧，故直线AB 的斜率不会为零，设其方程为x ty m =+，由直线AB 与圆1C 2211m t =⇒=+，由2244x ty m x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()2224240t y tmy m +++-=，()()()222222444416448t m t m t m ∆=-+-=+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12||AB y y =-=所以()2231212||124OABt S AB b t ++⋅=⋅⋅=≤=+ ，当且仅当213t+=，即t =时取等号．故ABO 的面积的最大值为1．（ⅱ）因点()11,A x y 在椭圆E 上，且在y 轴左侧，故10x <，221114x y +=，由（1）CQ c ==故12AC CQ AQ x =-====，2122AF x ====-，故2112222AC AF x +=+-=为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c ，直线与椭圆相交一般是设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，由韦达定理的结果求弦长等等．13．(1)221832x y -=(2)证明见解析，6【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点A 可得方程；（2）设点B 与点C 的坐标，根据直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，可得直线BC 的斜率.【详解】（1）由题意22941a b c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得28a =，232b =，故双曲线方程为221832x y -=（2）设点()11,B x y ，()22,C x y ，设直线AB 的方程为()23y k x -=+，代入双曲线方程，得()()()222423232320kxk k x k --+-+-=，2126434k k x k +∴-+=-，21234124k k x k ++=-，21222484k k y k ++=-，222234122248,44k k k k B k k ⎛⎫++++∴ ⎪--⎝⎭同理222234122248,44k k k k C k k ⎛⎫-+-+ ⎪--⎝⎭，4868BC kk k∴==.14．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值.【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB =-=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21(2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-．因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二]：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=，故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=．又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.15．A【分析】设出直线方程x my t =+，联立抛物线方程，得到12124,4y y m y y t +==-，进而得到。
圆锥曲线中二级结论的应用 解析版
圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．知识导图考点分类讲解 焦点弦问题1.已知F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与椭圆(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为椭圆的离心率，p 为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p =a 2c -c =b 2c.(1)椭圆焦半径公式：|AF 1|=ep 1-e ·cos α，|BF 1|=ep 1+e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.(3)焦点三角形的面积公式：P 为椭圆上异于长轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2·tan θ2.2.已知F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，直线l 过左焦点F 1与双曲线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AF 1F 2=α，e 为双曲线离心率，p 为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p =c -a 2c =b 2c.图1 图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF 1|=ep 1+e ·cos α，|BF 1|=ep 1-e ·cos α，1|AF 1|+1|BF 1|=2ep .若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF 1|=ep e ·cos α+1，|BF 1|=ep e ·cos α-1，1|AF 1|-1|BF 1|=2ep.(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB |=|AF 1|+|BF 1|=2ep1-e 2·cos 2α.若直线与双曲线交于两支，则|AB |=||AF 1|-|BF 1||=2epe 2·cos 2α-1.(3)焦点三角形的面积公式：P 为双曲线上异于实轴端点的一点，F 1，F 2为其左、右焦点且∠F 1PF 2=θ，则S △PF 1F 2=b 2tan θ2.3.已知直线l 过焦点F 与抛物线(焦点在x 轴上)交于A ，B 两点，设∠AFx =α，e 为抛物线离心率，p 为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF |=ep 1-e ·cos α=p 1-cos α，|BF |=ep 1+e ·cos α=p 1+cos α，1|AF |+1|BF |=2ep =2p.(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB |=|AF |+|BF |=2ep 1-e 2·cos 2α=2psin 2α.4.焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于A ，B 两点，直线AB 的倾斜角为α，AF =λFB ，则曲线的离心率满足等式|e cos α|=λ-1λ+1 .易错提醒 (1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．1(23-24高三上·北京海淀·阶段练习)已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，A ，B 两点在C 上，AF =2，BF =5，则直线AB 斜率的最小值和最大值分别是()A.-23，23B.-23，2 C.-2，23D.-2，2【答案】D【分析】利用焦半径公式求得A ，B 两点坐标，从而得到直线AB 斜率的情况，由此得解.【详解】由题意知F 1,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则由AF =2，得x 1+1=2，得x 1=1，代入C ：y 2=4x ，得y 1=±2，所以A 1,2 或A 1,-2 ；由BF =5，得x 2+1=5，得x 2=4，代入C ：y 2=4x ，得y 2=±4，所以B 4,4 或B 4,-4 ；所以直线AB 斜率有4-24-1=23,4+24-1=2,-4-24-1=-2,-4+24-1=-23四种情况，则直线AB 斜率的最小值为-2，最大值为2.故选：D .2(22-23高三上·四川广安·阶段练习)双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为y =-3x ，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F 2的距离最小值为3，则双曲线方程为()A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.x 29-y 23=1D.x 23-y 29=1【答案】B【分析】求出双曲线左支上的点到F 2的距离最小值，可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出该双曲线的方程.【详解】双曲线左支上一点为P x 0,y 0 ，则x 0≤-a ，且y 20=b 2x 20a2-b 2，则PF 2 =x 0-c2+y 20=x 20-2cx 0+c 2+b 2x 20a2-b 2=c 2x 20a2-2cx 0+a 2=a -ca x 0≥a +c ，则a +c =3，由已知可得b a =3a +c =3b 2=c 2-a 2，解得a =1b =3c =2，因此，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：B .3(2024·江苏·一模)已知抛物线E ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 1交E 于点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，E 在B 处的切线为l 2，过A 作与l 2平行的直线l 3，交E 于另一点C x 3,y 3 ，记l 3与y 轴的交点为D ，则()A.y 1y 2=1B.x 1+x 3=3x 2C.AF =DFD.△ABC 面积的最小值为16【答案】ACD【分析】A 选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线l 1的方程为y =kx +1，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出y 1y 2=1；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到x 1+x 3=2x 2；C 选项，求出D 0,y 1+2 ，DF =y 1+1，结合焦半径公式求出AF =y 1+1，C 正确；D 选项，作出辅助线，结合B 选项，得到S △ABC =2S △ABM ，表达出S △ABM ，利用基本不等式求出最小值，从而得到△ABC 面积最小值.【详解】A 选项，由题意得F 0,1 ，准线方程为y =-1，直线l 1的斜率存在，故设直线l 1的方程为y =kx +1，联立x 2=4y ，得x 2-4k -4=0，x 1x 2=-4，故y 1y 2=116x 21x 22=1，A 正确；B 选项，y =12x ，直线l 2的斜率为12x 2，故直线l 3的方程为y -y 1=x 22x -x 1 ，即y =x 22x +y 1+2，联立x 2=4y ，得x 2-2x 2x -2y 1+2 =0，故x 1+x 3=2x 2，所以B 错误；C 选项，由直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，令x =0得y =x22-x 1 +y 1，又x 1x 2=-4，所以y =y 1+2，故D 0,y 1+2 ，故DF =y 1+1，又由焦半径公式得AF =y 1+1，所以C 正确；D 选项，不妨设x 1<x 2，过B 向l 3作垂线交l 3于M ，根据B 选项知，x 1+x 3=2x 2，故S △ABC =2S △ABM ，根据直线l 3的方程y -y 1=x 22x -x 1 ，当x =x 2时，y =x 22x 2-x 1 +y 1=x 222+y 1-x 1x 22=x 222+y 1+2，故M x 2,x 222+y 1+2，故BM =x 222+y 1+2-y 2=x 222+x 214-x 224=x 214+164x 21+2=14x 1+4x 12，故S △ABM =12x 1-x 2 ⋅14⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 1⋅x 1+4x 12=18x 1+4x 13≥182x 1⋅4x 13=8，当且仅当x 1=4x 1，即x 1=2时，等号成立，故△ABC 的面积最小值为16，D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．4已知双曲线x 2-y 2=2，点F 1，F 2为其左、右焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为()A.2B.22C.3D.23【答案】 D【解析】方法一 设θ=∠F 1PF 2=60°，则S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin θ，而cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1||PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，且||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，所以|PF 1||PF 2|=2b 21-cos θ，故S △F 1PF 2=b 2sin θ1-cos θ=2 3.方法二 双曲线焦点三角形的面积S △F 1PF 2=b 2tan θ2=2 3.考点二等角的性质1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，过长轴上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应的点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA =∠OGB (如图1)．图1 图2 图32.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，过实轴所在直线上任意一点N (t ,0)的弦的端点A ，B 与对应点G a 2t ，0 的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA =∠NGB (如图2)．3.已知抛物线y 2=2px (p >0)，过抛物线对称轴上任意一点N (a ,0)的一条弦的端点A ，B 与对应点G (-a ,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA =∠OGB (如图3)．规律方法 根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．1(23-24高三上·天津南开·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，若椭圆的焦距为4且经过点-2,2，过点T-6,0的直线交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆方程；(2)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(3)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S s,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x28+y24=1(2)面积最大值为22，直线PQ:x+y+6=0或x-y+6=0(3)存在，S-463,0【分析】(1)由焦距是4求出c，将-2,2代入椭圆方程求出a,b，得到答案；(2)根据题意设直线PQ:x=my-6，与椭圆方程联立可得y1+y2,y1y2，由S△OPQ=12×OT×y1-y2，代入运算化简，利用不等式求出△OPQ面积的最大值；(3)根据题意有k PS+k QS=0，转化为2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二问代入运算得解.【详解】(1)由题意，c=2，将点-2,2代入椭圆方程得a2-b2=44a2+2b2=1 ，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)根据题意知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ:x=my-6，P x1,y1，Q x2,y2，联立x=my-6x28+y24=1，消去x整理得m2+2y2-26my-2=0，∴y1+y2=26mm2+2，y1y2=-2m2+2，且Δ=32m2+16>0，∴S△OPQ=S△OTP+S△OTQ=12×OT×y1-y2=62×y1+y22-4y1y2=26×2m2+1m2+2，令t=2m2+1，t≥1，∴S△OPQ=46tt2+3=46t+3t≤4623=22，当且仅当t=3t，即t=3，即m=±1时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为22，此时直线PQ的方程为x+y+6=0或x-y+6=0.(3)在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST ，理由如下：因为∠PST =∠QST ，所以k PS +k QS =0，即y 1x 1-s +y 2x 2-s=0，整理得y 1x 2-s +y 2x 1-s =0，即y 1my 2-6-s +y 2my 1-6-s =0，即2my 1y 2-6+s y 1+y 2 =0，则2m ×-2m 2+2-6+s×26m m 2+2=0，又m ≠0，解得s =-463，所以在x 轴上存在点S -463,0 使得∠PST =∠QST .2(2024·云南昆明·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a2-y 23=1a >0 的右焦点为F 2c ,0 ，一条渐近线方程为y =23cx ．(1)求双曲线E 的方程；(2)是否存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在，15x ±5y -215=0．【分析】(1)根据渐近线方程和c 2=a 2+b 2求a ,c 的值，即可得到双曲线E 的方程；(2)假设存在直线l ，由∠F 1AB =∠F 1BA 得F 1A =F 1B ，取AB 的中点M ，则k F 1M ⋅k MF 2=-1，进而得x 20+y 20=4；又利用x 21-y 213=1x 22-y 223=1得y 20=3x 20-6x 0，于是联立方程组可得M 的坐标，从而得到直线l 的斜率并得出直线l 的方程.【详解】(1)因为双曲线E 的一条渐近线方程为y =23c x ，所以b a =23c，又b 2=3，因此c =2a ，又a 2+b 2=c 2，a =1，c =2；则E 的方程为x 2-y 23=1．(2)假设存在过点F 2的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得∠F 1AB =∠F 1BA ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB 中点为M x 0,y 0 ，又F 1-2,0 ,F 22,0 ，由∠F 1AB =∠F 1BA 可知△F 1AB 为等腰三角形，F 1A =F 1B ，且直线l 不与x 轴重合，于是F 1M ⊥AB ，即F 1M ⊥MF 2，因此k F 1M ⋅k MF 2=-1，y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=-1，x 20+y 20=4(Ⅰ)点A ,B 在双曲线E 上，所以x 21-y 213=1①x 22-y 223=1②，①-②化简整理得：y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，y 0x 0⋅y 1-y 2x 1-x 2=3，即k OM ⋅k AB =3，可得y 0x 0⋅y 0x 0-2=3，y 20=3x 20-6x 0(Ⅱ)联立(Ⅰ)(Ⅱ)得：x 20+y 20=4y 20=3x 20-6x 0 ，2x 20-3x 0-2=0，x 0-2 2x 0+1 =0，解得x 0=2y 0=0 (舍去)，x 0=-12y 0=±152适合题意，则M -12,±152 ；由k OM ⋅k AB =3得k AB =3×±115=±155，所以直线l 的方程为：y =±155x -2 ，即15x ±5y -215=0．3(23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试)已知抛物线D 的顶点是椭圆x 24+y 23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点P 4,0 ，交抛物线D 于A 、B 两点，坐标原点O 为PQ 中点，求证：∠AQP =∠BQP ；(3)是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析(3)存在，x =3【分析】(1)由题意，设抛物线方程y 2=2px (p >0),由a 2-b 2=4-3=1，得c =1.由此能求出抛物线D 的方程；(2)设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ,故当l ⊥x 轴时由抛物线的对称性知∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，由此能够证明∠AQP =∠BQP .(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，故|EG |2=|MG |2-|ME |2，由此能够推出存在直线m ：x =3满足题意．【详解】(1)由题意，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)．由a 2-b 2=4-3=1，得c =1．∴抛物线的焦点为1,0 ，∴p =2．∴抛物线D 的方程为y 2=4x (2)证明：设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由于O 为PQ 中点，则Q -4,0 ，故当l ⊥x 轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP =∠BQP ，当l 不垂直x 轴时，设l :y =k x -4 ，由y =k x -4y 2=4x，得k 2x 2-42k 2+1 x +16k 2=0，则x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2x 1x 2=16则k AQ =y 1x 1+4=k x 1-4 x 1+4，k BQ =y 2x 2+4=k x 2-4 x 2+4k AQ +k BQ =k x 1-4 x 1+4+k x 2-4 x 2+4=2k x 1x 2-16x 1+4 x 2+4=0则∠AQP =∠BQP ，综上证知，∠AQP =∠BQP ，(3)设存在直线m :x =t 满足题意，则圆心M x 1+42,y 12，过M 作直线x =t 的垂线，垂足为E ，∴|EG |2=|MG |2-|ME |2，即EG 2=MA 2-ME 2=x 1-42+y 214-x 1+42-t2 =14y 21+x 1-4 2+x 1+4 24+t x 1+4 -t 2=x 1-4x 1+t (x 1+4)-t 2=t -3 x 1+4t -t 2，当t =3时，|EG |2=3，此时直线m 被以AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值2 3.因此存在直线m ：x =3满足题意.4椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为26.(1)求椭圆C 的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解 (1)∵e=2 2，e2=c2a2=12，∴a2=2c2=b2+c2，∴b2=c2，a2=2b2，椭圆方程化为x22b2+y2b2=1，由题意知，椭圆过点6，1，∴6 2b2+1b2=1，解得b2=4，a2=8，∴椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，由x2+2y2=8，y=kx+1，得(2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ=16k2+24(2k2+1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-62k2+1，假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA=∠PQB，∴k QA=-k QB，∴k QA+k QB=y1-tx1+y2-tx2=x2y1+x1y2-t(x1+x2)x1x2=x2(kx1+1)+x1(kx2+1)-t(x1+x2)x1x2=2kx1x2+(1-t)(x1+x2)x1x2=2k+(1-t)-4k-6=2k(4-t)3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q (0,4)，当直线l 的斜率不存在时，A ，B (不妨设点A 在x 轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，-2)，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q (0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程1.已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2+y 0yb 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0yb 2=1.2.若点P (x 0，y 0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P (x 0，y 0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程是椭圆中x 0x a 2+y 0y b 2=1，双曲线中x 0xa 2-y 0y b2=1.规律方法 运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．1(2024·湖北·二模)如图，O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=2x 的焦点，过F 的直线交抛物线于A ,B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE =EF ；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：|AD |2=AO ⋅AG ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线和抛物线方程求得D -12,y 2 ，E 0,y 22，即可得DE =EF ，得证；(2)写出过点B 的l 的垂线方程，解得交点G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2 ，再由相似比即可得y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 ，即证得|AD |2=AO ⋅AG .【详解】(1)易知抛物线焦点F 12,0，准线方程为x =-12；设直线AB 的方程为x =my +12,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x =my +12y 2=2x得y 2-2my -1=0，可得Δ=4m 2+4>0y 1+y 2=2m y 1y 2=-1，所以y 1=-1y 2；不妨设A 在第一象限，B 在第四象限，对于y =-2x ,y =-12x；可得l 的斜率为-12x 2-1y 22=1y 2所以l 的方程为y -y 2=1y 2x -x 2 ，即为y =1y 2x +y 22.令x =0得E 0,y 22直线OA 的方程为y =y 1x 1x =2y 1x =-2y 2x ，令x =-12得D -12,y 2 ．又F 12,0 ，所以DE =EF即DE =EF 得证．(2)方法1：由(1)中l 的斜率为1y 2可得过点B 的l 的垂线斜率为-y 2，所以过点B 的l 的垂线的方程为y -y 2=-y 2x -x 2 ，即y =-y 2x +y 21+y 222，如下图所示：联立y =-y 2x +y 21+y 222y =-2y 2x，解得G 的纵坐标为y G =y 2y 22+2要证明|AD |2=AO ⋅AG ，因为A ,O ,D ,G 四点共线，只需证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 (*)．∵y 2-y 1 2=y 2+1y 22=1+y 222y 22，y 1 ⋅y G -y 1 =-1y 2y 2y 22+2 -y 1 =1+y 22 2y 22．所以(*)成立，|AD |2=AO ⋅AG 得证.方法2：由D -12,y 2 ,B x 2,y 2 知DB 与x 轴平行，∴AF AB=AO AD①又DF 的斜率为-y 2,BG 的斜率也为-y 2，所以DF 与BG 平行，∴AF AB=AD AG②，由①②得∴AO AD=AD AG，即|AD |2=AO ⋅AG 得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到y =-y 2x +y 21+y 222 y =-2y 2x，解出点G 的坐标，从而转化为证明y 2-y 1 2=y 1 ⋅y G -y 1 即可.2(2024高三·全国·专题练习)已知点P 是抛物线x 2=4y 上一个动点，过点作圆x 2+(y -4)2=1的两条切线，切点分别为M 、N ，则线段MN 长度的最小值为．【答案】333/1333【分析】设P x 0,x 204 ，由圆的切线方程可得MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，结合点到直线的距离公式以及二次函数的性质可求得MN 的最小值.【详解】圆x 2+(y -4)2=1的圆心C 0,4 ，半径r =1．设P x 0,x 204 ，故MN 方程为xx 0+y -4 x 204-4=1，弦心距d =1x 20+x 204-42=1x 4016-x 20+16，当x 20=8时，d 取得最大值为36，则MN 取得最小值12-362=333．故答案为：333.3(2023·锦州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点0，2 ，且离心率为63.F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：x =3上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF .(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM ，△BFM 的面积分别为S 1和S 2，当|S 1-S 2|取最大值时，求直线AB 的方程．【解析】(1)证明 如图，由题意可得b =2，c a =63，又因为a2=b2+c2，所以a2=6，b2=2，椭圆E的方程为x26+y22=1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为x1x6+y1y2=1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为x2x6+y2y2=1.因为点P在直线P A，PB上，所以x12+y1y02=1，x22+y2y02=1，所以直线AB的方程为x2+y0y2=1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解 设直线AB的方程为x=ty+2，联立方程x=ty+2，x26+y22=1，得(t2+3)y2+4ty-2=0，故y1+y2=-4tt2+3，y1y2=-2t2+3，|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=8|t| t2+3=8 |t|+3|t|≤823=433，当且仅当|t|=3|t|，即t=±3时取等号，此时直线AB的方程为x=±3y+2.4过点Q(-1，-1)作已知直线l：y=14x+1的平行线，交双曲线x24-y2=1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线P A，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．【解析】证明 (1)直线MN的方程为y=14(x-3)．代入双曲线方程x24-y2=1，得3x2+6x-25=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1+x2=-2.于是，y1+y2=14(x1+x2-6)=-2.故Q(-1，-1)是线段MN的中点．(2)双曲线x24-y2=1过点M，N的切线方程分别为l1：x14x-y1y=1，l2：x24x-y2y=1.两式相加并将x1+x2=-2，y1+y2=-2代入得y=14x+1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y=14x+1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则P A，PB的方程分别为x3 4x-y3y=1和x44x-y4y=1.因为点P在两条直线上，所以x34x0-y3y0=1，x44x0-y4y0=1.这表明，点A，B都在直线x04x-y0y=1上，即直线AB的方程为x04x-y0y=1.又y0=x04+1，代入整理得x04(x-y)-(y+1)=0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(-1，-1)都在直线AB上．强化训练一、单选题1(2024·山东济南·一模)与抛物线x2=2y和圆x2+(y+1)2=1都相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程，再由圆的切线性质列式计算即得.【详解】设直线与抛物线x2=2y相切的切点坐标为t,1 2 t2，由y=12x2，求导得y =x，因此抛物线x2=2y在点t,1 2 t2处的切线方程为y-12t2=t(x-t)，即tx-y-12t2=0，依题意，此切线与圆x 2+(y +1)2=1相切，于是1-12t 2t 2+1=1，解得t =0或t =±22，所以所求切线条数为3.故选：D2(2024·广东·模拟预测)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则AF +4BF 的最小值为()A.6 B.7C.8D.9【答案】D【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知F 1,0 ，设l AB :x =ky +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立直线AB 与抛物线方程y 2=4x x =ky +1 ⇒y 2-4ky -4=0⇒y 1y 2=-4，所以x 1x 2=y 214⋅y 224=1，而AF +4BF =x 1+1+4x 2+1 =x 1+4x 2+5≥2x 1⋅4x 2+5=9.当且仅当x 1=2,x 2=12时取得等号.故选：D3(2022·河南·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y =2x ，过双曲线C 的右焦点F 2作倾斜角为π3的直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为36，则双曲线C 的标准方程为()A.x 22-y 24=1B.x 24-y 22=1C.x 2-y 22=1 D.x 22-y 2=1【答案】C【分析】由题意可得b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，可得直线l 为y =3(x -3a )，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出AB ，再由双曲线的定义和△AF 1B 的周长为36，可求出a ，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，所以b =2a ，则双曲线方程为x 2a 2-y 22a 2=1(a >0)，F 1(-3a ,0)，F 2(3a ,0)，所以直线l 为y =tanπ3(x -3a )=3(x -3a )，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由x 2a 2-y 22a2=1y =3(x -3a )，得x 2-63ax +11a 2=0，则x 1+x 2=63a ,x 1x 2=11a 2，所以AB =1+3⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2108a 2-44a 2=16a ，因为AF 1 =AF 2 +2a ，BF 1 =BF 2 +2a ，所以AF 1 +BF 1 =AF 2 +BF 2 +4a =AB +4a =20a ，因为△AF 1B 的周长为36，所以AF 1 +BF 1 +AB =36，所以20a +16a =36，得a =1，所以双曲线方程为x 2-y 22=1，故选：C4(2023·河南·二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2-y 23=1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，则下列结论：①C 的离心率为2；②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P 在双曲线C 的左支上时，PF 1 PF 2 2的最大值为14．其中正确的个数是()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得e =41=2，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2<6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为y =±3x ，设点P x 0,y 0 ，则3x 02-y 02=3，且到两条双曲线的距离之积为3x 0-y 02⋅3x 0+y 0 2=3x 02-y 024=34是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线x 2a 2-y 2b 2=1上任意一点P x 0,y 0 及双曲线的左右焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，则PF 1 =x 0+c2+y 02=x 0+c2+b2x 02a 2-1=c 2a 2x 02+2cx 0+a 2=a +ex 0，同理PF 2 =a -ex 0 ，所以PF 1 =a +ex 0 ,PF 2 =a -ex 0 ，此即为双曲线的焦半径公式.设点P x 0,y 0 x 0≤-1 ，由双曲线的焦半径公式可得PF 1 =1+2x 0 =-1-2x 0,PF 2 =1-2x 0，故PF 1 PF 22=-1+2x 01-2x 02=11-2x 0 -211-2x 02，其中1-2x 0≥3，则11-2x 0∈0,13，由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当11-2x 0=14，即x 0=-1.5时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B5(2024·全国·一模)新材料是现代高新技术的基础和先导，亦是提升传统产业技术能级的关键．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气-液两相界面的切线与液-固两相交线所成的角)，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液-固两相交线)的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2，则()附：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点(x 0,y 0)处的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．A.θ1<θ2B.θ1=θ2C.θ1>θ2D.θ1和θ2的大小关系无法确定【答案】A【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法,以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分．设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ2；由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R ，如图1，则有R 2=(R -1)2+4,解得R =52，所以tan θ1=2R -1=43；若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2，切点坐标为-2,b -1 ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 上一点-2,b -1 处的切线方程为-2x a 2+b -1 y b 2=1 ，此时椭圆的切线方程的斜率设为k 2，则k 2=tan θ2=2b 2a 2b -1；将切点坐标为-2,b -1 代入切线方程-2x a 2+b -1 y b 2=1 可得4a 2+b -1 2b 2=1 ，解得4b 2a2=2b -1，所以tan θ2=2b 2a 2b -1=122b -1b -1=122+1b -1 ；因为短半轴b <R =52,所以tan θ2=122+1b -1>43=tan θ1即tan θ2>tan θ1，所以θ1<θ2.故选：A .6(23-24高二上·北京东城·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.13,23B.12,1C.13,23∪23,1 D.13,12∪12,1 【答案】D【分析】分等腰三角形PF 1F 2以F 1F 2为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点P 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P ，使得PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，设点P x ,y 在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于a 、c 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：(1)当点P 与椭圆短轴的顶点重合时，△PF 1F 2是以F 1F 2为底边的等腰三角形，此时，有2个满足条件的等腰△PF 1F 2；(2)当△PF 1F 2构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F2P 为底边为例，则PF 1 =F 1F 2 或PF 2 =F 1F 2 ，此时点P 在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P ，使得△PF 1F 2是以F 1F 2为一腰的等腰三角形，不妨设点P x ,y 在第一象限，则y 2=b 2-b 2a2x 2，其中0<x <a ，则PF 1 =x +c2+y 2=x 2+2cx +c 2+b 2-b 2a 2x 2=c 2a 2x 2+2cx +a 2=c a x +a =2c ，或PF 2 =x -c 2+y 2=x 2-2cx +c 2+b 2-b 2a2x 2=c 2a 2x 2-2cx +a 2=a -c a x =2c ，由c a x +a =2c 可得x =2ac -a 2c ，所以，0<2ac -a 2c <a ，解得12<e =c a <1，由a -c a x =2c 可得x =a 2-2ac c ，所以，0<a 2-2ac c <a ，解得13<e =c a <12，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是13,12 ∪12,1 .故选：D .【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.7(23-24高三下·重庆·开学考试)设F 为抛物线C :x 2=2y 的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠FPT =30°，则直线NF 的斜率为()A.-2 B.-3C.-12D.-33【答案】D【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知F 0,12 ,y =x 22⇒y=x ，设P a ,a 22，则C 在点P 处的切线方程为y =a x -a +a 22⇒y =ax -a 22，所以N a 2,0 ,T 0,-a 22 ，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知PF =a 22+12=FT ，即△FPT 为以F 为顶点的等腰三角形，所以FN ⊥PT ，即∠FNO =∠FPT =30°，所以直线NF 的斜率为tan 180°-30° =-33.故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.8(2024·四川南充·二模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2．过点F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A 在x 轴的上方)，则下列说法中正确的有( )个．①AF 1 =32+cos θ②1AF 1 +1BF 1=43③若点M 与点B 关于x 轴对称，则△AMF 1的面积为9sin2θ7-cos2θ④当θ=π3时，△ABF 2内切圆的面积为12π25A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，求出y A +y B ，y A y B ，设△ABF 2内切圆的半径为r ，由S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 求出r ，即可判断④.【详解】在△AF 1F 2中，由余弦定理AF 1 2+F 1F 2 2-2AF 1 ⋅F 1F 2 ⋅cos θ=AF 2 2，即AF 1 2+4c 2-4c AF 1 ⋅cos θ=2a -AF 1 2，整理得AF 1 =b 2a -c ⋅cos θ，同理可得BF 1 =b 2a +c ⋅cos θ，所以AB =AF 1 +BF 1 =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ，1AF 1 +1BF 1 =a -c ⋅cos θb 2+a +c ⋅cos θb 2=2ab 2，对于椭圆C :x 24+y 23=1，则a =2、b =3、c =1，所以AF 1 =32-cos θ，BF 1 =32+cos θ，故①错误；1AF 1 +1BF 1 =2a b 2=43，故②正确；所以AB =2ab 2a 2-c 2⋅cos 2θ=124-cos 2θ，S △AMF 1=AF 1 ABS △ABM ，又S △ABM =12BM x A -x B =BF 1 sin θ⋅AB ⋅cos θ=32+cos θ⋅sin θ⋅12cos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅12sin θcos θ4-cos 2θ=32+cos θ⋅6sin2θ4-1+cos2θ2=32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ，又AF 1 AB=32-cos θ124-cos 2θ=2+cos θ4，所以S △AMF 1=2+cos θ4×32+cos θ⋅12sin2θ7-cos2θ =9sin2θ7-cos2θ，故③错误；当θ=π3时直线l 的方程为x =33y -1，由x =33y -1x 24+y23=1，消去x 整理得5y 2-23y -9=0，显然Δ>0，所以y A +y B =235，y A y B =-95，又AF 1 =2，BF 1 =65，则AF 2 =2a -AF 1 =2，BF 2 =2a -BF 1 =145，设△ABF 2内切圆的半径为r ，则S △ABF 2=12F 1F 2 y A -y B =12r AB +AF 2 +BF 2 ，所以22352+4×95=r 2+65+2+145 ，解得r =235，所以△ABF 2内切圆的面积S =πr 2=π×2352=12π25，故④正确；故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式(倾斜角形式)，利用结论直接解决问题.二、多选题9(2024·河南·一模)已知双曲线E :x 2a2-y 224=1a >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 1F 2 =10，过F 1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2=π2，则()A.E的渐近线方程为y=±26xB.3PF1=4PF2C.直线l的斜率为±43D.P的坐标为75,245或75,-245【答案】ABD【分析】利用双曲线的焦距求出a的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出PF1、PF2的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点P的坐标，可判断D选项.【详解】对于A选项，F1F2=2a2+24=10，且a>0，解得a=1，又因为b=26，故双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±26x，A对；对于B选项，因为点P在右支上，则PF1-PF2=2a=2，①又因为∠F1PF2=π2，则PF12+PF22=F1F22=100，②联立①②可得PF1=8，PF2=6，所以，3PF1=4PF2，B对；对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为k PF1=tan∠PF1F2=PF2PF1=68=34，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为k PF1=-34.综上所述，直线l的斜率为±34，C错；对于D选项，设点P x,y，则x≥1，且x2-y224=1，可得y2=24x2-24，所以，PF1=x+52+y2=x2+10x+25+24x2-24=25x2+10x+1=5x+1=8，解得x=75，则y2=24×752-24=24225，可得y=±245，即点P75,±245，D对.故选：ABD.10(23-24高三上·福建泉州·阶段练习)已知椭圆x29+y2=1与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点F1,F2，设它们在第一象限的交点为P ，且PF 1 ⋅PF 2=0，则()A.双曲线的实轴长为27B.双曲线的离心率为2147C.双曲线的渐近线方程为y =±73x D.双曲线在P 点处切线的斜率为377【答案】ABD【分析】A 选项，求出椭圆的焦点坐标，设左焦点为F 1，故PF 1 +PF 2 =6，由向量数量积为0得到向量垂直，进而由勾股定理求出PF 1 ⋅PF 2 =2，求出PF 1 -PF 2 =27，得到A 正确；B 选项，由离心率公式直接求解；C 选项，求出b =1，由双曲线渐近线公式进行求解；D 选项，设出P 点处切线方程，联立双曲线方程，由根的判别式等于0求出切线斜率.【详解】A 选项，由题意得椭圆x 29+y 2=1的焦点坐标为±22,0 ，设左焦点为F 1，则F 1-22,0 ，PF 1 +PF 2 =6，因为PF 1 ⋅PF 2 =0，所以PF 1 ⊥PF 2 ，由勾股定理得PF 1 2+PF 2 2=F 1F 2 2=32，PF 1 +PF 2 =6两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =36，故PF 1 ⋅PF 2 =2，则PF 1 -PF 2 =PF 12+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 =27，故2a =27，解得a =7，双曲线的实轴长为27，A 正确；B 选项，因为c =22，所以双曲线的离心率为c a =227=2147，B 正确；C 选项，因为b =c 2-a 2=8-7=1，故双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±77x ，C 错误；D 选项，联立x 29+y 2=1与x 27-y 2=1，可得x =±3144，y =±24，故P 3144,24，当过P 点的直线斜率不存在时，不是双曲线的切线，舍去，设在P 点处切线方程为y -24=k x -3144，联立x 27-y 2=1得x 2-724+k x -31442=7，化简得1-7k 2 x 2-72k 2-21142k 2 x -4418k 2+217k 4-638=0，由Δ=0得72k 2-21142k 2 2-41-7k 2 -4418k 2+217k 4-638=0，解得k =377，故双曲线在P 点处切线的斜率为377，D 正确.故选：ABD11(23-24高三上·湖北武汉·期末)已知P x P ,y P ，Q x Q ,y Q 是曲线C :6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0上不同的两点，O 为坐标原点，则()A.x 2Q +y 2Q 的最小值为1B.4≤x P -12+y 2P +x P +12+y 2P ≤6C.若直线y =k x -3 与曲线C 有公共点，则k ∈-33,33D.对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直【答案】AD【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据几何意义判断A ，举出反例判断B ，数形结合判断C ，根据图形特征以及切线概念判断D .【详解】当y 2+6x -3≥0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21+y 2+6x -3 =0，化简为x 24+y 23=1，轨迹为椭圆.将y 2=3-34x 2代入y 2+6x -3≥0，则0≤x ≤8，则此时0≤x ≤2，即此部分为椭圆的一半.同理当y 2+6x -3<0时，原方程即6x 2-6x +7y 2-21-y 2+6x -3 =0，化简为x -1 2+y 2=4.将y 2=4-x -1 2代入y 2+6x -3<0，则x <0或x >8，则此时-1≤x <0，即此部分为圆的一部分.作出曲线的图形如下：对于A ，x 2Q +y 2Q 最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方，当x ≥0时，x 2Q +y 2Q 最小值为3，当y =±3时取得，当x <0时，x 2Q +y 2Q 最小值为1，当y =0时取得，则x 2Q +y 2Q 最小值为1，故A 正确；对于B ，当x P =-1,y P =0时，x P -1 2+y 2P +x P +12+y 2P =2，显然B 选项错误；对于C ，直线y =k x -3 经过定点3,0 ，当k =33时，直线经过椭圆下顶点，如图，显然，存在k >33，使得直线与曲线有两个公共点，故C 错误；对于D ，如图，对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，则曲线C 在P 点处的切线斜率可以取任何非零实数，曲线C 在椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零实数，使得两切线斜率为负倒数，所以对任意位于y 轴左侧且不在x 轴上的点P ，都存在点Q ，使得曲线C 在P ，Q 两点处的切线垂直，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：(1)几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；(2)坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.三、填空题12(23-24高二上·福建泉州·期中)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)焦距为10，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上且AF 2⊥x 轴，△AF 1F 2的面积为454，点P 为双曲线右支上的任意一点，则1PF 1 -1PF 2的取值范围是【答案】-89,0 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知F1-5,0 ,F 25,0 ,A 5,y A ，。
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四、焦点弦
【知识讲解】
1.1椭圆焦半径公式（2）
已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径
αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1b
a BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α
2222
cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
2.1双曲线焦半径公式（2）
已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径
αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1b
a BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α
2222
cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理
已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|1
1|
|cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13
42
2=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和
D C ,，则||||CD AB +的值为（）。
2.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。
若FB AF 3=，则k 的值为（
）。
【变式训练】1.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（）。
2.设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。
（1）求椭圆的离心率；
（2）如果4
15||=AB ，求椭圆的方程。
五、椭圆的第三定义
【知识讲解】
1.B A ,为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点P （不同于B A ,两点）与椭圆上B A ,两点连线的斜率之积为定值：22
a
b -。
2.B A ,为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的上关于原点对称的两点，双曲线上任意一点P （不同于B A ,两点）与双曲线上B A ,两点连线的斜率之积为定值：22
a
b 。
【典型例题】
1.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上关于原点对称的两点N M ,，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠⋅k k ，||||21k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为（）。
2.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的两个顶点分别为B A ,，P 是双曲线上除B A ,外的任意一点，且点P 与点B A ,连线的斜率分别为21,k k ，若321=⋅k k ，则双曲线的渐近线方程为（
）。
【变式训练】1.设椭圆12
42
2=+y x 与函数3x y =的图象交于B A ,两点，点P 是椭圆上异于B A ,两点的动点，若直线PA 的斜率取值范围是]1,3[--，则直线PB 的斜率的取值范围是（）。
2.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上关于原点对称的两点为B A ,，P 是双曲线上除B A ,外的任意一点，
且点P 与点B A ,连线的斜率分别为21,k k ，若||||21k k +的最小值为1，则双曲线的离心率为（）。