圆锥曲线二级结论(2)
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四、焦点弦
【知识讲解】
1.1椭圆焦半径公式（2）
已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径
αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1b
a BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α
2222
cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
2.1双曲线焦半径公式（2）
已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径
αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1b
a BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α
2222
cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理
已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|1
1|
|cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13
42
2=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和
D C ,，则||||CD AB +的值为（）。
2.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。若FB AF 3=，则k 的值为（
）。
【变式训练】1.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（）。
2.设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。
（1）求椭圆的离心率；
（2）如果4
15||=AB ，求椭圆的方程。五、椭圆的第三定义
【知识讲解】
1.B A ,为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上关于原点对称的两点，椭圆上任意一点P （不同于B A ,两点）与椭圆上B A ,两点连线的斜率之积为定值：22
a
b -。
2.B A ,为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的上关于原点对称的两点，双曲线上任意一点P （不同于B A ,两点）与双曲线上B A ,两点连线的斜率之积为定值：22
a
b 。【典型例题】
1.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上关于原点对称的两点N M ,，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠⋅k k ，||||21k k +的最小值为1，则椭圆的离心率为（）。
2.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的两个顶点分别为B A ,，P 是双曲线上除B A ,外的任意一点，且点P 与点B A ,连线的斜率分别为21,k k ，若321=⋅k k ，则双曲线的渐近线方程为（
）。
【变式训练】1.设椭圆12
42
2=+y x 与函数3x y =的图象交于B A ,两点，点P 是椭圆上异于B A ,两点的动点，若直线PA 的斜率取值范围是]1,3[--，则直线PB 的斜率的取值范围是（）。
2.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上关于原点对称的两点为B A ,，P 是双曲线上除B A ,外的任意一点，
且点P 与点B A ,连线的斜率分别为21,k k ，若||||21k k +的最小值为1，则双曲线的离心率为（）。