复合关系、逆关系课件PPT

三角形的全等：{<A,B>|A≌B}、相似 • 数理逻辑：
、：{<P,Q>|PQ} 、{<P,Q>|P↔Q是重言式} • 集合论：
＝ ：{<A,B>|A B}
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
[反自反性irreflexivity]：设RAA, 如果对于 每一个xA，有<x,x>R，则称二元关系R是反 自反的。
R在A上是自反的 (x)( xA xRx) R在A上是非自反的 (x)( xA <x,x>R)。 定理： R是自反的 IA R MR主对角线上的元素全为1 GR的每个顶点处均有自环。
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
自反性(举例)： 恒等关系、全域关系 • 实数：
= ≥ ≤：{<x,y>|x,y都是实数且x≤y} • 几何图形：
R是反对称的 (x)(y)(xAyA xRy yRx x=y ) (x)(y)(xAyA x≠y xRy yRx ). R非反对称 (x)(y)(xA yA xRy yRx xy) 定理：R是反对称的
在MR中, xixj(ij rij=1rji=0) 在GR中, xixj(ij), 若有有向边 <xi,xj>, 则必没有 <xj,xi>。
R在A上是反自反的 (x)(xA <x,x>R )。 R在A上是非反自反的 (x)( xA xRx) 定理： R是反自反的 IAR= MR主对角线上的元素全为0 GR的每个顶点处均无自回路（无环）。
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
反自反性(举例)： 空关系 • 实数：
• 关系：序偶的集合
• 定义域、值域、域
3-5. 2 一些特殊关系
• 空关系、恒等关系、全域关系
• 关系的交并补差还是关系
3-5. 3 关系的表示
• 序偶集合形式
• 关系矩阵MR
• 关系图GR
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第二部分 集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-10 等价关系与等价类
3-2 集合的运算
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
反对称性(举例)：空关系 ，恒等关系 • 实数：>、< 、≥、≤、= • 数理逻辑： {<P,Q>|PcQ是重言式} • 集合论： ：{<A,B>|A B} 、 、= • 人之间的关系：父与子关系 • 整数：整除关系：{<x,y>|x,y都是整数且x|y} 注意：非对称不一定反对称；可能有某种关系即是对称的又是
第二部分 集合论
主要内容
集合
3-1 集合的概念和表示法 3-2 集合的运算 3-4 序偶与笛卡尔积 3-5 关系及其表示
3-10 等价关系与等价类 3-11 相容关系 3-12 序关系
3-6 关系的性质 3-7 复合关系和逆关系 3-8 关系的闭包运算 3-9 集合的划分与覆盖
函数
4.1 函数的基本概念 4.2 复合函数与逆函数
自反性(reflexivity) 反自反性( irreflexivity) 对称性(symmetry) 反对称性( antisymmetry) 传递性(transitivity)
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
需要指出：
从X到Y的关系R是XY 的子集，即RXY， 而XY （XY）（XY） 所以R （XY）（XY） 令Z= XY，则RZZ 因此，我们今后通常限于讨论同一集合上的关系。
反对称的。例如：A={1,2,3}, S={<1,1>,<2,2>,<3,3>} S在A上即是对称的又是反对称的。 N={<1,2>,<1,3>,<3,1>} N在A上即不是对称的又不是反对称的。
R在A上对称 (x)(y)(xAyAxRyyRx). R非对称 (x)(y)(xAyAxRyyRx) 定理： R是对称的 MR是对称的 GR的任何两个顶点之间若有边, 则必有两条方向相反的 有向边.
自反性 反自反性第二对部称分性 集反合对论称性 传递性
对称性(举例)： 空关系、恒等关系、全域关系 • 实数：≠、= ：{<x,y>|x,y都是实数且x=y} • 几何图形：三角形的全等：{<A,B>|A≌B}、相似 • 数理逻辑：
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第一部分 数理逻辑
上节内容回顾
3-4 序偶和笛卡尔积
• 序偶的概念和表示 <x, y> <x,y,z>=<<x,y>,z> <<x,y>,z> ≠ <x,<y,z>>
• 笛卡尔积 • AB={<x,y>|xAyB} • 不满足交换律、结合律 • 与、 满足分配率
3-5 关系及其表示
3-5. 1 关系
{<P,Q>|P□Q是重言式} 中“□”取 ↔、∧、∨、↑、↓ 、时 • 集合论：＝、不相交 ：{<A,B>|A∩B=∅} • 整数：同余 • 人之间的关系：同学关系、朋友关系、邻居关系
自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
[反对称性antisymmetry]：设RAA,如果对于 每个x,yA,每当 xRy和yRx，必有x=y，则称集 合A上的关系R是反对称的。
≠、>、<：{<x,y>|x,y都是实数且x<y} • 数理逻辑：
{<P,Q>|P□Q是重言式} 中“□”取 ↑、↓、、c 时 • 集合论：
、 ：{<A,B>|A B}
注意：非自反不一定是反自反的。
即存在有关系既不是自反的也不是反自反的。
自反性 反自反性第二对部称分性 集反合对论称性 传递性
[对称性symmetry]：设RAA, 如果对于每个 x,yA，每当 xRy，就有 yRx，则称集合A上的 关系R是对称的。
3-11 相容关系
3-4 序偶与笛卡尔积
3-12 序关系
3-5 关系及其表示
3-6 关系的性质
函数
3-7 复合关系和逆关系 4.1 函数的基本概念
3-8 关系的闭包运算
4.2 复合函数与逆函数
3-9 集合的划分与覆盖
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自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
3-6 关系的性质
（1） （2） （3） （4） （5）
需要注意：关系和运算
关系：= > < 不相交 朋友 同学 父子
运算：＋－×÷ ∧ ∨→↔ ∪ ∩ ~
Hale Waihona Puke 自反性 反自反性第二对部称性分 集反合对论称性 传递性
[自反性reflexivity]：设R为定义在A上的二元关 系 ， 即 RAA, 如 果 对 于 每 一 个 xA ， 有 xRx (<x,x>R)，则称二元关系R是自反的。