晶格的宏观对称性

第二种：中心反演
即由x -x的正交矩阵是：
1 0 0 A 0 1 0
0
0 1
A 1
第三种：镜象
如以xy平面为镜面，镜象对称操作是将图形 任何一点(x,y,z)变成(x,y,-z)。
z
(x, y, z)
y
1 0 0
A 0 1 0
0
0
1
( x, y, z)
x
A 1
不同几何图形的对称性分析(1)
立方轴 角度：π/2, π, 3π/2 对称操作个数：
3×3=9
面对角线 角度：π 对称操作个数：
1×6=6
体对角线 角度： 2π/3, 4π/3 对称操作个数：
2×4=8
不动 操作
24个n重旋转轴
24个n重旋转-反演轴
总计：48个对称操作
例二：正四面体对称性
——列举正四面体的全部对称操作
B
立方轴 角度：π，
体对角线（8个） 角度： 2π/3,4π/3 即是3重轴，又是 3重旋转-反演轴
不动 操作
24个n重旋转轴
24个n重旋转-反演轴
总计：48个对称操作
特殊的对称素：2
2 代表先转动π角度后再对原点做中心反演的操作，
称镜面（如图所示），记作m或σ。
若该变换为正交变换，则要求变换后两点距离 保持不变，即：
x2 y2 z2 x2 y2 z2
则，变换矩阵(aij)是正交矩阵(i,j=1,2,3)。
令
正
交
矩
阵
a11 a21
a12 a22
a13 a23
＝A,则 有
A
2
1.
a31
a32
a33
几种简单操作的变换关系
第一种：转动
如绕z轴转θ角的正交矩阵是：
A
B
C
D
圆形
对任何绕中 心的旋转， 图形都不变
正方形
只有在旋转 π/2,π,3π/2的情 况下图形才自
身重合
等腰梯形
只有旋转 2 π角度图 形才能自 身重合
不规则四边形
只有旋转2 π 角度图形才 能自身重合
分析方法：从图形的旋转来分析——显然，可以具体显示 出A、B、C三者的不同程度的对称，但不能区分C和D。
2
n
角度再
加上中心反演的联合操作以及联合操作的倍数能
自身重合时，这个轴称为晶体的n重旋转-反演轴
（有的教材也称象转轴），记作 。n
n只能取1, 2,3, 4, 6.
对称轴举例——立方体
立方轴（9个） 角度：π/2, π, 3π/2 即是4重轴，又是 4重旋转-反演轴
面对角线（6个） 角度：π 即是2重轴，又是 2重旋转-反演轴
A
对称操作个数：3；
D C
体对角线 角度：2π/3，4π/3 对称操作个数：4×2=8
12个纯转 动操作
立方轴
不动百度文库作
转立方轴π/2，3π/2后 再加上中心反演 对称操作 个数：3 ×2=6
绕面对角线转π后再做 中心反演 对称操作个数：6
12个含中 心反演的 操作
2 对称素与对称操作
1、对称素(symmetry elements)
为了简便
列举它所具有 的对称素
n重旋转轴 n重旋转-反演轴
(一) n重旋转轴
定义：一个物体绕某一个转轴转 2 角度以及它 n
的倍数能与自身重合时，这个轴称为物体的n重 旋转轴，记作n。
n只能取1、2、3、4、6
由于晶格周期性的限制，不可能有5度或6度以上的旋 转对称轴。
（二） n重旋转-反演轴
定义：若一个物体绕某一转轴旋转
不同几何图形的对称性分析(2)
A
B
C
D
圆形
对任意直 径作反射， 图形都不 变
正方形
只有对对边 中心的连线 和对角线作 反射，图形 才自身重合
等腰梯形
只有对两 底中心连 线，图形 才能自身 重合
不规则 四边形
不存在 任何左 右对称 的线
分析方法：让图形按一条直线作左右反射——结果表 明完全可以区分出A、B、C和D的不同程度的对称性。
晶体对称操作所依赖的几何要素， 如点、线、面等称为对称素。
n重旋转轴 n重旋转-反演轴
对称面 对称中心反演
n (n=1,2,3,4,6) _ _____
n (n=1,2,3,4,6) _
m或σ(2)
(2π/n)
i
2、对称素与对称操作 (symmetry operation)
描述物理对称性
列举所有的 对称操作
晶体的对称性是指晶体经过某些对称操作后仍 能回复原状的特性。
对称操作是指一定的几何变换。如某物体在某一正 交变换（保持两点距离不变）下不变，则称这个变 换为物体的一个对称操作。
三维情况下，从(x,y,z)到(x’,y’,z’)某变换 可以写成：
x x a11 a12 a13 x y y a21 a22 a23 y z z a31 a32 a33 z
§1-3-1晶格的宏观对称性 (Macroscopic symmetry)
一些晶体在几何外形上表现出明显的对称，如立 方、六角等对称，研究表明：这种对称性不仅表现 在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中， 对于研究晶体的性质有极重要的意义。
因此，研究晶体物理性质时，先从其几何外形的 宏观对称性开始研究。
y ( x, y, z)
(x, y, z)
x
cos sin 0
A sin cos 0
0
0 1
z
x x cos y sin y x sin y cos
z z
A 1
第二种：中心反演
定义：若晶体中存在一个固定点O，以O为坐
标原点，将晶体中任一点(x,y,z)变为(-x,-y,-z) 时，晶体能自身重合，则称点O为该晶体的反 演中心，这个操作称中心反演。反演中心用符 号i表示。
1 晶体的对称性(symmetry)
2 对称素与对称操作(symmetry elements and symmetry operatioon)
3 宏观对称性与物理性质(macroscopic symmetry and physical properties)
（1） 对称操作
1 对称性
在中文中“对称”一词包含了两重意义, 即相对又相 称. “相对”即对应, 相等, 指对称图形中含有等同部 分; “相称”即适合, 相当, 指图形中等同部分要规则 排列.
研究晶体宏观对称性的方法
“旋转和反射等” 是正交变换
即保持两点距离不变。
考查晶体在一定几何变换下的物理不变性。
一个物体在某一正交变换下不变，称这个变换
为物体的一个对称操作。
描述一个物体的对称性可归结为列举其全部对称操作， 一个物体的对称操作愈多，对称性愈高。
例一：立方体的对称性
——列举立方对称结构的全部对称操作