晶格的宏观对称性
晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
固体物理学-宏观对称性和晶格分类
ε xy ε yy
ε ε
xz yz
⎤ ⎥ ⎥
⎣⎢ε zx ε zy ε zz ⎥⎦
立方对称晶体：
⎡ε0 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε0
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε0 ⎥⎦
六方对称晶体：
⎡ε ⊥ 0 0 ⎤
ε
=
⎢ ⎢
0
ε⊥
0
⎥ ⎥
⎣⎢ 0 0 ε // ⎥⎦
11
晶体宏观对称性及其分类
• 宏观对称性 • 点群 • 空间群 • 晶体结构分类
群为一组“元素”的集合，G≡（E, A, B, C, …)，且这些“元素”在定义 一定的“乘法法则”下（不等价于数学乘法），满足下列性质： 1. 闭合性--- 集合内任意两元素“乘积”仍为集合元素
A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G 2. 单元性---存在单位元素E，使得所有元素A：
AE= A 3. 可逆性---任意元素A存在逆元素A-1 满足
4
立方对称（sc、bcc、fcc）操作
(a)
(b)
(c)
•沿图（a）立方轴转动π/2、 π、 3π/2，有3个立方轴，共9个对称操作。 •沿图（b）面对角线转动π，有6条面对角线，共6个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。 •以上共24个对称操作，以上操作再加上反演为新的对称操作。 •共48个对称操作。
5
正四面体对称操作
•沿立方轴转动 π，有3个立方轴，共3个对称操作。 •沿图（c）体对角线转动2π/3、 4π/3，有4个体对角线，共8个对称操作。 •不动为一个对称操作。以上共12个对称操作。 •相对立方对称，少去的12个对称操作，即绕立方轴转π/2、3π/2以及绕 面对角线转动π，再加上中心反演为正四面体的对称操作。 •共24个对称操作。
晶体的宏观对称性
5
2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
2017/2/23
立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
2017/2/23
点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
最新第四节 晶体的宏观对称性
证明如下：
一晶面上的晶列
如图所示，设此平面为一晶面，格 点 A、B 是位于同一晶列 O 点上 的 两个最近邻格点。将晶格绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴逆时针方向 旋转θ角度后，B 点转到 B’ 点，如 果这时晶体与自身重合，B’点处原 来必定有一格点。如果再绕 O 点顺 时针方向转轴旋转θ角度，晶格又恢 复到未转动时的状态。但是，顺时 针方向转轴旋转θ角，A点转到A’点， A’点处原来也一定是格点。
Solid state physics
2、中心反演 (centre inverse)
取中心为原点，经过中心反演后，图形中的一点
变成 (x1,x2,x3)
(x1, x2, x3)
变换关系为
x '1 x 1 x '2 x 2 x '3 x 3
变换矩阵
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
（一）对称操作（symmetrical operation）
从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考查这些晶体所具 有的刚性对称操作。这些对称操作包括：
绕某一个轴的转动操作 对某一个面的镜像操作 对某一个点的反演操作以及它们的组合操作 这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作。因为这些操作保持空 间的某一点不动，又称为点对称操作。
x'j ajkx，k
(j,k1,2,3) （1.4.1）
这里
xx1ix2jx3k
x' x'1i x'2j x'3k
School of Physics, Northwest University
Solid state physics
用矩阵可以表示，（1.4.1）式可以写成
晶体的宏观对称性
☆对称中心—C 操作为反伸，是位于晶体中心的 一个假想的点。 。只可能在晶体中心，只可能一 个。
对称中心（C）
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两 两反向平行、同形等大。
L22P
L33P L44P L66P
Li2 L2P=L22P
Li3 3L2 3P= L3 3L2 3PC Li4 2L22P
3L2 3PC
L3 3L2 3PC L44L2 5PC
Li6 3L2 3P= L3 3L2 L66L2 7PC 4P
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-1。 这个表非常重要，一定要熟记。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在， 也可以有若干各对称要素组合在一起共同存在。
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对
称要素的组合定律； ◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定理1：如果有（能找到）一个对称面P包含Ln，则必有（必能 找到）n个对称面包含此Ln（Ln即为这n个对称面的交线）， 且任意二相邻P之间的交角δ等于 360 2n 。 简式为：Ln P// LnnP//； 逆定理：两个对称面P以δ相交，其交线必为一Ln，n 360 2
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
1.3 倒格子、晶格的宏观对称性
uu r
ur
b 3 = 2π uu r r r a1 ⋅ ( a 2 × a 3 )
a1 × a 2
称为倒格子基矢量
Primitive vectors of the reciprocal lattice
对于简单立方晶格
r r r 2 a1 × a2 = a k r r r 2 a2 × a3 = a i r r r 2 a3 × a1 = a j
r r a1 = ai r r a2 = a j r r a3 = ak
2π r r b1 = a i r 2π r j b2 = a 2π r r b3 = a k
r r r 3 a1 ⋅ a2 × a3 = a
(
)
简单立方晶格的倒格子仍然是简单立方
以 b1、b2、b3 为基矢可以构成一个倒格子，其中每个 格点的位置为
§1-4 倒格子 Reciprocal lattice
1. 倒格子 由于周期性，晶格中 x 点和 x+l1 a1+l2 a2+l3a3 的情 况完全相同，因为它们表示两个原胞中相对应的点 如V(x) 表示 x点某一物理量 r r r r r V ( x) = V ( x + l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) V(x) 是以 a1、a2、a3 为 周期的三维周期函数
圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才 保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线
分析宏观对称就是考查在一定几何变换下物体的不变性 前面考虑的几何变换都是正交变换(保持两点距离不变) 概括宏观对称性的系统方法就是 考查在正交变换下的不变性 考查在正交变换下的不变性
材料物理课件12晶体的宏观对称性
对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。
晶体的宏观对称性
推论一：两个二次轴相交，交角为α/2，则垂直于这两个 二次轴所定平面，必有一基转角为α的n次轴。 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，，则有n个二 次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基 转角的一半。
二次轴和四次 轴的组合 L44L2
第四节 晶体的三十二点群
晶体点群的推导 晶体的分类 晶体的定向 点群的符号 晶体的晶型
L6
L33L2
3L24L3、旋转轴型与反映面的组合 1、旋转轴与反映面垂直 L1 + P⊥ = P (Cs) L3 + P⊥ = L3 P (C3h) L6 + P⊥ = L6 PC (C6h) L33L2 + P⊥ = L33L24P (D3h) L66L2 + P⊥ = L66L27PC (D6h) 3L24L3 + P⊥ = 3L24L33PC (Th) 4L33L46L2 + P⊥ = 4L33L46L29PC (Oh) 组合原理：定理三及推论（偶次轴）；定理四或定理二 L2 + P⊥= L2 PC (C2h) L4 + P⊥ = L4 PC (C4h) 3L2 + P⊥ = 3L23PC (D2h) L44L2 + P⊥ = L44L25PC (D4h)
第二节 晶体的宏观对称元素
宏观对称元素(Symmetry element)和对称动作 (symmetry operation)
对称动作类型 对称元素 反映面 对称中心 旋转轴 反轴 对称动作 反映 倒反（反演） 旋转 旋转倒反
简单 复合
反映面：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面 的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到 对应的点。这一平面即为反映面。相应的对称操作为反映。
晶体的宏观对称
第四章晶体的宏观对称在第二章中已经介绍，晶体的生长过程，实质上就是质点按照空间格子规律有规则地进行堆积的过程；所以，只要生长时有足够的自由空间，晶体就必然会长成一定形状的几何多面体。
例如石盐常成立方体，而α-石英经常长成带有尖顶的六方柱体，等等。
在具有几何多面体外形的晶体——结晶多面体上，最突出的一个性质就是它的对称性。
晶体外形上的对称性是由其内部格子构造的对称性所决定的。
所以，一切晶体都是对称的。
不过，不同晶体之间的对称性往往又是有差别的，这表现在它们的对称要素可以有所不同，并且因此构成不同的对称型。
所以，有必要同时也有可能，根据晶体的对称特点来对晶体进行分类，即划分出不同的晶族和晶系。
由于晶体的对称性从本质上来讲取决于其内部的格子构造，因此，晶体的对称性不仅包含几何意义上的对称，而且也包含物理意义上的对称，亦即晶体中凡是具有方向性的物理性质，例如折射率、电导率、弹性模量、硬度等等，它们也都呈现相应的对称关系。
这是因为，晶体的各项物理性质都是取决于其组成质点的种类和它们的排列方式的。
所以，晶体的对称性决定并影响着晶体中涉及到几何及物理两方面的一切性质。
反过来，根据晶体的几何外形以及它们的一系列物理性质，又可以用来正确地确定晶体的对称性。
所以晶体的对称性对于我们认识晶质矿物的一系列特性都具有重要的意义。
另一方面，晶体的对称性对于晶体的利用还具有指导意义。
在本章中我们将依次阐述以上的有关内容，但限于讨论晶体外形上的对称，即晶体的宏观对称。
第一节对称的概念和晶体对称的特点一、对称的概念图形相同部分有规律的重复，称为对称。
具有对称特征的图形，称为对称图形。
对称是自然科学中最普遍的一种基本概念。
自然界许多东西都具有对称特点，如植物枝叶的对生与互生，花瓣、动物形体及器官的对称生长、晶体界限要素的对称分布等；建筑物、交通工具、生活用品等，常具有对称的外形；在装饰、装潢设计、纺织品中也常可见到对称图案。
所有对称物体和对称图案统称为对称图形。
材料设计—8-晶体的宏观对称性
小结
对称操作；变换矩阵：旋转和反演
对称素；
晶体可能具有的旋转对称操作；
晶体中独立的8种对称素；
分析立方体，正四面体的对称素 物理张量与对称性
谢 谢
先绕2转动180°，再绕2’转动180°，则N点 从N’回复到N点，所以NN’所在直线上的点 不动，而其它点只能是绕NN’的转动。 同时两次转动后，2轴变为2’’轴，之间夹 角为2θ。
考虑到NN’轴只能是1,2,3,4,6次轴，所以：
晶体不可能具有多于1条6次轴，也不可能有一条6次轴和 一条4次轴相交。 假设n次轴和m次轴交与O点，取m次轴 上的B点，绕n次轴转n次得到n变形。
取B为顶点的正n变形两条边，绕m次轴 转动，得到正m面顶椎体。这m个内角 之和为：
显然当m=n=6以及m=6,n=4时候不满足上式。
三 实例
立方对称性（sc,bcc,fcc）
三条4次轴<100> （9） 四条3次轴<111> 六条2次轴<110> 一个不动操作 E (8) (6) (1)
以上操作与反演操作的组合操作 (24)
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
(3)面对角线C2： 6个2度轴；
3个立方轴； 4个3度轴；
四面体对称性
三条4次旋转反演轴 <100> 四条3次轴<111> （9） （8） （6）
六条2次旋转反演轴<110>，即对称晶面 不动操作 E (1)
三、晶体的宏观对称性和宏观物理量
介电函数张量
由此得到：
绕着x轴旋转180度：
由此得到：
所以所有非对角元都是0
再次考虑沿着（111）方向转动2π/3：
晶体宏观对称性
a=b=c
四
a = =
方
3
120 90
菱面体晶胞
a=bc
中
三 方
a = = 90 = 120
六方晶胞
点
序 熊夫里 号 斯记号
c4v
D2d
D4h
c3
13
c 14
3i
15 D3
c 16
3v
17
D3d
18
群
4mm
国4际2记m号 422 mmm
3 3 32 3m
3m2
对称元素
4,4m 4,22,2m 4,42,5m, i
a==180° cos(/2)=-cos cos(/2)=cos(180+) =2 cosu=cos=0 u= =90 ° OC垂直两二次反轴，即OC垂直两对称 面旳法线OC平行于两对称面，OC是两对称面旳交线
定理四：经过二次旋转轴与对称面之交点并垂直 于该二次旋转轴旳对称面上旳直线恒为一倒转轴， 后者之基转角等于该二次旋转轴与对称面交角之 余角旳两倍。
总体来说，对称操作（涉及宏观和微观在 内），经研究得知，总共只有七种独立旳形式。
一、宏观对称元素
1）反演中心或对称中心（国际符号i）：为一假想 旳几何点，相应旳对称变换是对于这个点旳反演 （倒反，反伸）。
F1 1
C
2
F2
2）反应面或对称面（国际符号m）：为一假想旳 平面，相应旳对称操作为对此平面旳反应。
对称轴旳种类
名称
国际 符号
一次对称 1
二次对称 2
三次对称 3
四次对称 4
六次对称 6
基 转 角（） 轴 次（n）作图符号
360 °
1
180 °
晶体的宏观对称操作(3篇)
第1篇一、引言晶体是自然界中普遍存在的物质形态，它们在微观结构上具有高度的有序性。
晶体的这种有序性可以通过宏观对称操作来描述，这些操作能够保持晶体的几何形态和物理性质。
宏观对称操作是晶体学中一个重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构特征和性质。
本文将详细探讨晶体的宏观对称操作，包括其定义、分类、性质以及在实际中的应用。
二、定义宏观对称操作是指对晶体进行一系列的几何变换，这些变换能够保持晶体的几何形态和物理性质不变。
这些操作包括旋转、反射、平移和螺旋等。
在晶体学中，这些操作被统称为点群对称操作。
三、分类1. 旋转操作旋转操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
旋转操作的轴线称为旋转轴，旋转角度称为旋转角。
根据旋转角的不同，旋转操作可以分为以下几种：（1）一级旋转：旋转角为360°，即整个晶体绕旋转轴旋转一周。
（2）二级旋转：旋转角为180°，即晶体绕旋转轴旋转半周。
（3）三级旋转：旋转角为120°，即晶体绕旋转轴旋转1/3周。
（4）n级旋转：旋转角为360°/n，即晶体绕旋转轴旋转1/n周。
2. 反射操作反射操作是指将晶体相对于某一平面进行镜像变换，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
这个平面称为反射面。
根据反射面的不同，反射操作可以分为以下几种：（1）镜面反射：反射面为晶体的一个平面。
（2）轴面反射：反射面为晶体的一个轴面。
（3）体对角面反射：反射面为晶体的一个体对角面。
3. 平移操作平移操作是指将晶体沿某一方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
平移操作可以看作是无限多个平移操作叠加的结果。
4. 螺旋操作螺旋操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，同时沿轴线方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
螺旋操作的轴线称为螺旋轴，旋转角称为螺旋角。
四、性质1. 对称性晶体的宏观对称操作具有以下性质：（1）自反性：晶体经过对称操作后，其几何形态和物理性质与原始状态相同。
晶体学：第三章 晶体的宏观对称性
复习：1.正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系同种正应阵基去如倒易点阵基去的栋量叙为1,系 同种正点阵基央如倒易点阵基水的标■叙为零 2、晶带定律[uvw]的方向：r uvw = u a + V b + w c(hkl)面的法线方向:r*hki = h a* + k b* + 1 c* (h a* + kb* + 1 c*)・ (ua + vb + wc) = Ohu+kv+lw=OUVW 加 k] " h, k, h 2 k 2 12 h 2 k 212 两个晶面同属于一个晶带[uvw](112), (232)一个晶面同属于两个晶带[uvw][321], [111]晶面间距通用公式:h hakcosy cos/Jkh ./1cosy//ak1akcosp——1cosa+ —cos/—cosa+ _ c osy1—a bc cosa1bcos ftb4c1c c os。
cosa b /c11 cosy cos/i cosy 1cos a cosp cos a 1简立方：(cP): a=4 A,面间距：(111)体心立方：: a= 4 A,面间距：(111)立方晶系:简立方1 _ /?2+k2 +/2“ =2cr体心立方/面心立方晶面间距：d简立方/ 2§3-1对称性与对称操作对称元素；对称操作；晶体的对称性晶体外部形态的对称性，通常称为宏观对称性, 点对称性。
晶体内部原子排列的对称性，称为微观对称，1生§3.2晶体的宏观对称元素惯用记号:C; 国1 ＞对称中心际符号:i；熊夫利符号:G2、旋转轴旋转操作;旋转反演、倒反对称轴（旋转轴）基转角:a旋转轴的轴次:n = 3607a旋转矩阵:X2cos a-sin。
0「力= sin a cos a0.0 0 I .Z|.cos a -sin。
0/?；(©)= sin a cos 67 00 0 IN只能是1, 2, 3, 4, 6没有5或者7等更高次c AB 一AC, AD/ AD = AC = ABA -------- •* E AE = m-AB AE = 2-AC-cosaXy Bm = |2-cosa| （m整数，晶体的平移周期D 性）-2 < m < 2m：・2、・1、0^ 1、2,a： 180, 120, 90, 60和360。
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2
n
角度再
加上中心反演的联合操作以及联合操作的倍数能
自身重合时，这个轴称为晶体的n重旋转-反演轴
（有的教材也称象转轴），记作 。n
n只能取1, 2,3, 4, 6.
对称轴举例——立方体
立方轴（9个） 角度：π/2, π, 3π/2 即是4重轴，又是 4重旋转-反演轴
面对角线（6个） 角度：π 即是2重轴，又是 2重旋转-反演轴
不同几何图形的对称性分析(2)
A
B
C
D
圆形
对任意直 径作反射， 图形都不 变
正方形
只有对对边 中心的连线 和对角线作 反射，图形 才自身重合
等腰梯形
只有对两 底中心连 线，图形 才能自身 重合
不规则 四边形
不存在 任何左 右对称 的线
分析方法：让图形按一条直线作左右反射——结果表 明完全可以区分出A、B、C和D的不同程度的对称性。
y ( x, y, z)
(x, y, z)
x
cos sin 0
A sin cos 0
0
0 1
z
x x cos y sin y x sin y cos
z z
A 1
第二种：中心反演
定义：若晶体中存在一个固定点O，以O为坐
标原点，将晶体中任一点(x,y,z)变为(-x,-y,-z) 时，晶体能自身重合，则称点O为该晶体的反 演中心，这个操作称中心反演。反演中心用符 号i表示。
1 晶体的对称性(symmetry)
2 对称素与对称操作(symmetry elements and symmetry operatioon)
3 宏观对称性与物理性质(macroscopic symmetry and physical properties)
（1） 对称操作
1 对称性
在中文中“对称”一词包含了两重意义, 即相对又相 称. “相对”即对应, 相等, 指对称图形中含有等同部 分; “相称”即适合, 相当, 指图形中等同部分要规则 排列.
第二种：中心反演
即由x -x的正交矩阵是：
1 0 0 A 0 1 0
0
0 1
A 1
第三种：镜象
如以xy平面为镜面，镜象对称操作是将图形 任何一点(x,y,z)变成(x,y,-z)。
z
(x, y, z)
y
1 0 0
A 0 1 0
0
0
1
( x, y, z)
x
A 1
不同几何图形的对称性分析(1)
立方轴 角度：π/2, π, 3π/2 对称操作个数：
3×3=9
面对角线 角度：π 对称操作个数：
1×6=6
体对角线 角度： 2π/3, 4π/3 对称操作个数：
2×4=8
不动 操作
24个n重旋转轴
24个n重旋转-反演轴
总计：48个对称操作
例二：正四面体对称性
——列举正四面体的全部对称操作
B
立方轴 角度：π，
A
BCDFra bibliotek圆形对任何绕中 心的旋转， 图形都不变
正方形
只有在旋转 π/2,π,3π/2的情 况下图形才自
身重合
等腰梯形
只有旋转 2 π角度图 形才能自 身重合
不规则四边形
只有旋转2 π 角度图形才 能自身重合
分析方法：从图形的旋转来分析——显然，可以具体显示 出A、B、C三者的不同程度的对称，但不能区分C和D。
晶体对称操作所依赖的几何要素， 如点、线、面等称为对称素。
n重旋转轴 n重旋转-反演轴
对称面 对称中心反演
n (n=1,2,3,4,6) _ _____
n (n=1,2,3,4,6) _
m或σ(2)
(2π/n)
i
2、对称素与对称操作 (symmetry operation)
描述物理对称性
列举所有的 对称操作
晶体的对称性是指晶体经过某些对称操作后仍 能回复原状的特性。
对称操作是指一定的几何变换。如某物体在某一正 交变换（保持两点距离不变）下不变，则称这个变 换为物体的一个对称操作。
三维情况下，从(x,y,z)到(x’,y’,z’)某变换 可以写成：
x x a11 a12 a13 x y y a21 a22 a23 y z z a31 a32 a33 z
§1-3-1晶格的宏观对称性 (Macroscopic symmetry)
一些晶体在几何外形上表现出明显的对称，如立 方、六角等对称，研究表明：这种对称性不仅表现 在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中， 对于研究晶体的性质有极重要的意义。
因此，研究晶体物理性质时，先从其几何外形的 宏观对称性开始研究。
为了简便
列举它所具有 的对称素
n重旋转轴 n重旋转-反演轴
(一) n重旋转轴
定义：一个物体绕某一个转轴转 2 角度以及它 n
的倍数能与自身重合时，这个轴称为物体的n重 旋转轴，记作n。
n只能取1、2、3、4、6
由于晶格周期性的限制，不可能有5度或6度以上的旋 转对称轴。
（二） n重旋转-反演轴
定义：若一个物体绕某一转轴旋转
体对角线（8个） 角度： 2π/3,4π/3 即是3重轴，又是 3重旋转-反演轴
不动 操作
24个n重旋转轴
24个n重旋转-反演轴
总计：48个对称操作
特殊的对称素：2
2 代表先转动π角度后再对原点做中心反演的操作，
称镜面（如图所示），记作m或σ。
研究晶体宏观对称性的方法
“旋转和反射等” 是正交变换
即保持两点距离不变。
考查晶体在一定几何变换下的物理不变性。
一个物体在某一正交变换下不变，称这个变换
为物体的一个对称操作。
描述一个物体的对称性可归结为列举其全部对称操作， 一个物体的对称操作愈多，对称性愈高。
例一：立方体的对称性
——列举立方对称结构的全部对称操作
A
对称操作个数：3；
D C
体对角线 角度：2π/3，4π/3 对称操作个数：4×2=8
12个纯转 动操作
立方轴
不动操作
转立方轴π/2，3π/2后 再加上中心反演 对称操作 个数：3 ×2=6
绕面对角线转π后再做 中心反演 对称操作个数：6
12个含中 心反演的 操作
2 对称素与对称操作
1、对称素(symmetry elements)
若该变换为正交变换，则要求变换后两点距离 保持不变，即：
x2 y2 z2 x2 y2 z2
则，变换矩阵(aij)是正交矩阵(i,j=1,2,3)。
令
正
交
矩
阵
a11 a21
a12 a22
a13 a23
＝A,则 有
A
2
1.
a31
a32
a33
几种简单操作的变换关系
第一种：转动
如绕z轴转θ角的正交矩阵是：