第2章连续控制系统的数学模型
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第2章
2.1
连续系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4
微分方程描述
传递函数 结构图
2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的MATLAB表示
主讲人：肖纯
1
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
主讲人：肖纯
6
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
（2）输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描 述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。 状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间 的关系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述 了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传
（1）静态模型与动态模型
•
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型， 称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示
的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间
的稳态关系。 • 描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。 动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形 式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
主讲人：肖纯
11
2.1.2 建立数学模型的方法 实验法－基于系统辨识的建模方法
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
• • • • •
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、 频域 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模 型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
① 静态模型与动态模型 (静态模型是t→∞时系统的动态模型) 1 0
T duc uc u r dt
② 输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型
③ 连续时间模型与离散时间模型
④ 参数模型与非参数模型
5
主讲人：肖纯
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
i1 C1
R1C1
duc1
duc1
duc C2 dt dt
duc R1C2 uc1 ur dt dt
duc i2 C 2 dt
T1 R1C1 T2 R 2 C 2 T12 R1C 2
duc R2C2 uc uc1 dt
duc R1C1 R2 C 2 ( R1C1 R1C 2 R2 C 2 ) uc u r 2 dt dt d 2uc duc T1T2 ( T T T ) uc ur 1 12 2 2 dt dt d 2uc
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
系统微分方程的形式与系统分类之间的关系:
（1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统;
（3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；
Ea=Ceωm(t)
Ce－反电势系数(v/rad/s)
主讲人：肖纯
②
27
2.2
Cm
微分方程描述
M m (t ) Cmia (t )
电磁转矩方程：
M m (t )
③
：电动机转矩系数 （N· m/A） ：由电枢电流产生的电磁转矩（N· m）
d m (t ) Jm f m m (t ) M m (t ) M c (t ) dt
–电动机轴上的转矩平衡方程
主讲人：肖纯
26
2.2
微分方程描述
＋
电枢回路电压平衡方程：
di (t ) U a (t ) La a Ra ia (t ) E a dt
＋
La ia Ua
if Ra Wm Ea
①
-
SM
负 载
Jm,fm
Ea 是电枢பைடு நூலகம்电势，它是当电枢旋转时产生的反电势， 图2-3 电枢控制直流电动机原理图 其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
思考： 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分别建 立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到 二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？
？
串联
T1T2
d 2uc dt 2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
du T d
i1 串联 i2
u1 u c u r
为RC网络的 微分方程， 它是一阶常 系数线性微 分方程。
例2.2 二阶RC网络系统给定输 入电压 u r 为系统的输入量，电容 C2上的电压 u c为系统的输出量。
i1
i2
i1R1 uc1 ur
i2 R2 uc uc1
i1 i2 C1 duc1 dt
递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态
特性。
主讲人：肖纯
7
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
（3）连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号， 数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模 型和离散模型。 连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。 离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达 式等。
号，记录基本输出响应，并用适当的数学模型去逼近。 （黑箱）
主讲人：肖纯
10
2.1.2 建立数学模型的方法
分析法建立系统数学模型的几个步骤：
• 建立物理模型。
• 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿 定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定 律等） • 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在 建立状态模型时要求），消去中间变量，建立 适当的输入输出模型或状态空间模型。
2
R1 ur C1 隔 离 放 大 器
（ a）
R2 uc
C2
图2-22 带隔离放大器的两级RC网络
主讲人：肖纯
23
思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一 阶RC网络的串联？为什么？
一阶有源网络系统
ur R1
C
i
R2
uc
二阶有源网络系统
2.2
例2-3
微分方程描述
图2-3 所示为电枢控制直流电 动机的微分方程，要求取电枢 ＋ if 电压Ua(t)(v)为输入量，电动机 La Ra 转速ωm(t)(rad/s)为输出量，列 写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H) ＋ ia Wm 负 分别是电枢电路的电阻和电感， Ua Ea Jm,fm SM 载 Mc(N· M)是折合到电动机轴上 的总负载转矩。激磁磁通为常 值。 图2-3 电枢控制直流电动机原理图
f X(t)
ur(t) －
d X (t ) dX (t ) m f kX (t ) F (t ) dt dt 2
2
d 2U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
主讲人：肖纯
4
主讲人：肖纯
9
2.1.2 建立数学模型的方法
建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方 法，或者说有两种不同的途径。 •机理分析建模方法，称为分析法；对系统各部分的运动
机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分 别列写运动方程。（白箱） KCL KVL 牛顿定律 热力学定律等。
实验建模方法，通常称为系统辨识。人为施加某种测试信
主讲人：肖纯
12
2.1.2 建立数学模型的方法 最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨
识方法结合起来。
实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识， 由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出 模型参数，这种方法常称为“灰箱”建模方法，实
践证明这种建模方法是非常有效的。
主讲人：肖纯
13
第2章
主讲人：肖纯
25
2.2
微分方程描述
解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电 能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t) 在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t) 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t)，从而拖 动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由 以下三部分组成。
–电枢回路电压平衡方程 –电磁转矩方程
主讲人：肖纯
8
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
（4）参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两
大类。
参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、 差分方程、状态方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的 响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率 特性曲线等。
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而 ⑤可简化为 d m (t ) Tm m (t ) K1U a (t ) K 2 M c (t ) ⑥ dt
主讲人：肖纯
2
2.1
系统数学模型的概念
• 自动控制理论方法是先将系统抽象成数学模型， 然后用数学的方法处理。 • 数学模型：是根据系统运动过程的物理、化学等 规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与
输入关系的数学表达式。
主讲人：肖纯
3
2.1
系统数学模型的概念
＋
F(t)
＋ i uc(t) －
m
电动机轴上的转矩平衡方程： ④
Jm：转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg· m·
fm：电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数
Mc(N· M)是折合到电动机轴上的总负载转矩。
主讲人：肖纯
28
（N· m/rad/s）
2.2
微分方程描述
③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：
d 2 m (t ) d (t ) La J m ( La f m Ra J m ) m ( Ra f m C m C e ) m (t ) dt dt ⑤ dM c (t ) C mU a (t ) La Ra M c (t ) dt
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
主讲人：肖纯
14
第2章
2.2
连续控制系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型
主讲人：肖纯
15
2.2
二阶RC网络虽然是两个一阶RC网络的 串联，但应该注意到前面一个RC网 络不是开路，后面一个RC网络是前 面一个RC网络的负载，T12系数项就 反映了这一负载效应。
？
串联
T1T2
d 2uc dt 2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
d uc duc duc T1T2 T1 T2 uc u r 2 dt dt dt
duc1 R1C1 uc1 ur dt duc R2C2 uc uc1 dt uc1 i2 R2 uc duc i2 C2 dt duc d ( R2C2 uc ) duc dt R1C1 ( R2C2 uc ) u r dt dt d 2uc duc duc R1C1 R2C2 R1C1 R2C2 uc u r 2 dt dt dt T12=0 d 2uc duc duc T1T2 T1 T2 uc u r 2 dt dt dt
（4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
主讲人：肖纯
16
2.2
微分方程描述
根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为 （1） 确定系统的输入、输出变量； （2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所 遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出 有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将 系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。 注意：由于实际系统的结构一般比较复杂，甚至不清楚内部 机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。
主讲人：肖纯
17
例2.1 一阶RC网络系统 列写如图所示 RC 网络的微分方程。给定输入电压 u r 为系统的 输入量，电容上的电压 u c 为系统的输出量。 解 设回路电流为 i ，由电路理 论可知，电阻上的电压为：
u1 iR
电容上的电压与电流的关系为：
duc iC dt
由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式 消去中间变量u1、i得 令 为电路时间常数，则
2.1
连续系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4
微分方程描述
传递函数 结构图
2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的MATLAB表示
主讲人：肖纯
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
主讲人：肖纯
6
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
（2）输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描 述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。 状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间 的关系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述 了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传
（1）静态模型与动态模型
•
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型， 称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示
的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间
的稳态关系。 • 描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。 动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形 式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
主讲人：肖纯
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2.1.2 建立数学模型的方法 实验法－基于系统辨识的建模方法
输入（已知） 黑匣子 输出（已知）
• • • • •
已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、 频域 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模 型需保证两个输出之间在选定意义上的接近
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
① 静态模型与动态模型 (静态模型是t→∞时系统的动态模型) 1 0
T duc uc u r dt
② 输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型
③ 连续时间模型与离散时间模型
④ 参数模型与非参数模型
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主讲人：肖纯
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
i1 C1
R1C1
duc1
duc1
duc C2 dt dt
duc R1C2 uc1 ur dt dt
duc i2 C 2 dt
T1 R1C1 T2 R 2 C 2 T12 R1C 2
duc R2C2 uc uc1 dt
duc R1C1 R2 C 2 ( R1C1 R1C 2 R2 C 2 ) uc u r 2 dt dt d 2uc duc T1T2 ( T T T ) uc ur 1 12 2 2 dt dt d 2uc
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
系统微分方程的形式与系统分类之间的关系:
（1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统;
（3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；
Ea=Ceωm(t)
Ce－反电势系数(v/rad/s)
主讲人：肖纯
②
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2.2
Cm
微分方程描述
M m (t ) Cmia (t )
电磁转矩方程：
M m (t )
③
：电动机转矩系数 （N· m/A） ：由电枢电流产生的电磁转矩（N· m）
d m (t ) Jm f m m (t ) M m (t ) M c (t ) dt
–电动机轴上的转矩平衡方程
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2.2
微分方程描述
＋
电枢回路电压平衡方程：
di (t ) U a (t ) La a Ra ia (t ) E a dt
＋
La ia Ua
if Ra Wm Ea
①
-
SM
负 载
Jm,fm
Ea 是电枢பைடு நூலகம்电势，它是当电枢旋转时产生的反电势， 图2-3 电枢控制直流电动机原理图 其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
思考： 能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分别建 立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到 二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？
？
串联
T1T2
d 2uc dt 2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
du T d
i1 串联 i2
u1 u c u r
为RC网络的 微分方程， 它是一阶常 系数线性微 分方程。
例2.2 二阶RC网络系统给定输 入电压 u r 为系统的输入量，电容 C2上的电压 u c为系统的输出量。
i1
i2
i1R1 uc1 ur
i2 R2 uc uc1
i1 i2 C1 duc1 dt
递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态
特性。
主讲人：肖纯
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2.1.1 数学模型的定义与主要类型
（3）连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号， 数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模 型和离散模型。 连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。 离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达 式等。
号，记录基本输出响应，并用适当的数学模型去逼近。 （黑箱）
主讲人：肖纯
10
2.1.2 建立数学模型的方法
分析法建立系统数学模型的几个步骤：
• 建立物理模型。
• 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿 定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定 律等） • 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在 建立状态模型时要求），消去中间变量，建立 适当的输入输出模型或状态空间模型。
2
R1 ur C1 隔 离 放 大 器
（ a）
R2 uc
C2
图2-22 带隔离放大器的两级RC网络
主讲人：肖纯
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思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一 阶RC网络的串联？为什么？
一阶有源网络系统
ur R1
C
i
R2
uc
二阶有源网络系统
2.2
例2-3
微分方程描述
图2-3 所示为电枢控制直流电 动机的微分方程，要求取电枢 ＋ if 电压Ua(t)(v)为输入量，电动机 La Ra 转速ωm(t)(rad/s)为输出量，列 写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H) ＋ ia Wm 负 分别是电枢电路的电阻和电感， Ua Ea Jm,fm SM 载 Mc(N· M)是折合到电动机轴上 的总负载转矩。激磁磁通为常 值。 图2-3 电枢控制直流电动机原理图
f X(t)
ur(t) －
d X (t ) dX (t ) m f kX (t ) F (t ) dt dt 2
2
d 2U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
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2.1.2 建立数学模型的方法
建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方 法，或者说有两种不同的途径。 •机理分析建模方法，称为分析法；对系统各部分的运动
机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分 别列写运动方程。（白箱） KCL KVL 牛顿定律 热力学定律等。
实验建模方法，通常称为系统辨识。人为施加某种测试信
主讲人：肖纯
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2.1.2 建立数学模型的方法 最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨
识方法结合起来。
实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识， 由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出 模型参数，这种方法常称为“灰箱”建模方法，实
践证明这种建模方法是非常有效的。
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2.2
微分方程描述
解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电 能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t) 在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t) 与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t)，从而拖 动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由 以下三部分组成。
–电枢回路电压平衡方程 –电磁转矩方程
主讲人：肖纯
8
2.1.1 数学模型的定义与主要类型
（4）参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两
大类。
参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、 差分方程、状态方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的 响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率 特性曲线等。
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而 ⑤可简化为 d m (t ) Tm m (t ) K1U a (t ) K 2 M c (t ) ⑥ dt
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2.1
系统数学模型的概念
• 自动控制理论方法是先将系统抽象成数学模型， 然后用数学的方法处理。 • 数学模型：是根据系统运动过程的物理、化学等 规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与
输入关系的数学表达式。
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2.1
系统数学模型的概念
＋
F(t)
＋ i uc(t) －
m
电动机轴上的转矩平衡方程： ④
Jm：转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg· m·
fm：电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数
Mc(N· M)是折合到电动机轴上的总负载转矩。
主讲人：肖纯
28
（N· m/rad/s）
2.2
微分方程描述
③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：
d 2 m (t ) d (t ) La J m ( La f m Ra J m ) m ( Ra f m C m C e ) m (t ) dt dt ⑤ dM c (t ) C mU a (t ) La Ra M c (t ) dt
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
主讲人：肖纯
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第2章
2.2
连续控制系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型
主讲人：肖纯
15
2.2
二阶RC网络虽然是两个一阶RC网络的 串联，但应该注意到前面一个RC网 络不是开路，后面一个RC网络是前 面一个RC网络的负载，T12系数项就 反映了这一负载效应。
？
串联
T1T2
d 2uc dt 2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
d uc duc duc T1T2 T1 T2 uc u r 2 dt dt dt
duc1 R1C1 uc1 ur dt duc R2C2 uc uc1 dt uc1 i2 R2 uc duc i2 C2 dt duc d ( R2C2 uc ) duc dt R1C1 ( R2C2 uc ) u r dt dt d 2uc duc duc R1C1 R2C2 R1C1 R2C2 uc u r 2 dt dt dt T12=0 d 2uc duc duc T1T2 T1 T2 uc u r 2 dt dt dt
（4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
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2.2
微分方程描述
根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为 （1） 确定系统的输入、输出变量； （2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所 遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出 有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将 系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。 注意：由于实际系统的结构一般比较复杂，甚至不清楚内部 机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。
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例2.1 一阶RC网络系统 列写如图所示 RC 网络的微分方程。给定输入电压 u r 为系统的 输入量，电容上的电压 u c 为系统的输出量。 解 设回路电流为 i ，由电路理 论可知，电阻上的电压为：
u1 iR
电容上的电压与电流的关系为：
duc iC dt
由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式 消去中间变量u1、i得 令 为电路时间常数，则