结构动力学变分原理

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有限元与变分原理

有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。

本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。

一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。

它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。

有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。

在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。

有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。

二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。

它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。

在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。

这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。

三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。

它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。

在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。

通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。

有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。

四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。

随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。

目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。

弹性膜结构动力学的各类非传统Hamilton型变分原理

用¨ ， ’ 因此，对于几何非线性弹陛膜结构动力学，根据几何非线性薄壳结构的薄膜理论，］并考虑到膜结
构的受力与变形的特性，基本方程和条件如下：其
１１速度位移关系．
Ｖａ＝Ｏ／Ｏｕｔ＝ｉ，＝Ｏ／ｃｔｖ３３Ｖｔ＝ｉ，ｖ
虽然已有一些有关膜结构的专著和论文，引
力学初值一边值问题的全部特征．文中首先给出膜结构动力学的广义虚功原理的表式，然后从该式出，发不仅能得
到膜结构动力学的虚功原理，而且通过所给出的一系列广义ｋｇｎｒ变换，ｅｄｅ还能系统地成对导出弹性膜结构动力
学的５类变量（，，，，ｑ，，，ｑ，，，、，，ＳＢｓＢ“ Ｗ）４类变量（，，，，ｑ，，，ｑ，，，Ｐ，ＳＢｓＢ“ Ｗ、）３类变量（，，ｑ，，，ｑ，，，）２类变量（，，，，，）ＳＢｓＢ“ Ｗ和 “ Ｗ非传统Ｈｍｌｎａｉｏ型变分原理的互补泛ｔ
Ｖｌ５Ｎ．ｏ｜ｏ３Ｓｅ２０ｐ．０７
弹性膜结构动力学的各类非传统Ｈｍｌｎ型变分原理水ａｉｏｔ
李纬华罗恩
（山大学应用力学与工程系，广州中５０７）１２５
摘要根据古典阴阳互补和现代对偶互补的基本思想，通过罗恩早已提出的一条简单而统一的新途径，系统地建立了弹性膜结构动力学的各类非传统Ｈｍｌｎ型变分原理．ａｉｏｔ这种新的非传统Ｈｍｌｎ型变分原理能反映这种动ａｉｏｔ
但是作者至今还没有见到国内外有关论述弹性膜结构动力学变分原理的文献，以弹性膜结构动力学所的基本理论还存在不能令人满意之处．由于弹性膜结构动力学的基本理论中最核心的部分一虚功原理

力学的变分原理

t2
下面具体说明之。先介绍增广位形空间的概念。设一完整系有N个自由度，其广义坐标为q1 , q2 ,, qN ,由这些坐标所确定的空间称为N维位形空间。这个空间中的一个点表示系统在某一时刻的位置，这一点包含N个不同值的广义坐标。为了形象而简洁地表示系统的运动，设想由N个广义坐标和时间t组成N +1维空间，这样，增广位形空间的一个点就表示了系统在任一瞬时的位置。
t2 t1
我们按式（2）将这族函数表示为依赖于参数的函数q ( , t )；
对式（2）积分，因可为不同的值，因此泛函J 也是的函数，
这样，泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。
由函数的极值条件 J 即 J 可得 =0
=0
=0
=0
J =0
说明，泛函的极值条件是泛函的变分等于零。
（2）泛函的概念给定一个由任何对象组成的集合 D ，这里所说的任何对象可以是数、数组、几何图形，也可以是函数或某系统的运动状态等。设集合 D 中的元素用 x 表示，如果对于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y ，则称 y 是 x 的泛函，记作 y F ( x) 。有时泛函可以看做函数，函数也可以看做泛函。函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数的一一对应的关系。函数概念可作为泛函概念的特殊情况。
比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可分为微分形式和积分形式。不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理（如机械能守恒原理）。

变分原理——精选推荐

§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。

能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。

而功能关系是能量原理的基础。

首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。

．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。

9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。

表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。

显然S=S u+Sσ假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。

静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。

．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。

9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。

几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。

结构动力学简答(考试用)

1.结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定虑重力的影响。应用叠加原理将动静问题分开计算，将结果相加即得到结构的真实反应，结构的动力特性。这样做的前提条件是结构是线弹性的且处于小变形范围之内。重力问题的分析和动力问 2.动力荷载的类型：是否随时间变化：静荷载、动荷载；是否已预先确定：确定性荷载题的分析可以分别讨论。在研究结构的动力反应时，可以完全不考虑重力的影响，建立（非随机）、非确定性荷载（随机）；随时间的变化规律：周期荷载：简谐荷载、非简谐体系的运动方程，直接求解动力荷载作用下的运动方程即可得到结构体系的动力解。周期荷载；非周期荷载：冲击荷载、一般任意荷载。结构动力特性：自振频率、振型、当考虑重力影响时，结构的总位移等于静力解加动力解，即叠加原理成立。阻尼 3.结构动力计算的特点（与静力计算的差异）： 2）考虑惯性力的影响，是结构动力学和静力学的一个本质的，重要的区别。 4.结构离散化方法实质：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程种类：集中质量法、广义坐标法、有限元法 15.临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需要的最小阻尼值。阻尼比：阻尼系数和临界阻尼的比值的物理意义：结构体系位移相应于动力荷载的反应滞后时间。相角：反应体系振动位移与简谐荷载的相位关系。 17.Duhamel 积分的物理意义：把荷载分解成一个个脉冲，获得每一个脉冲作用下结构的
1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间 16.振幅的物理意义：体系运动速度为 0，弹性恢复力最大。（曲线达到的最大值）相位角
5.有限元法与广义坐标法相似，有限元法采用了型函数的概念，但不同于广义坐标法在反应，最后叠加每一个脉冲作用下的反应得到总反应，给出了计算线性单自由度体系在全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此型函数表达式形状可相对简单。与集中任意荷载作用下的动力反应的一般解，一般适用于线弹性体系（此法将外荷载离散成一质量法相比，有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这系列脉冲荷载）。缺点：效率不高，需要由 0 积分到 t。适用范围：线弹性体系在任意何与集中质量法相同。使解题方便。在作用下体系动力反应的理论研究，当外荷载为解析函数时，采用 Duhamel 积分更容易 18.结构地震反应分析的反应谱法的基本原理是：对于一个给定的地震动 6.广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；选择原则：获得解析解。t 为结构体系动力反应的时间，则表示单位脉冲作用的时刻。

计算结构力学基础理论_变分原理

泛函一个函数y(x)，某个确定的量与之对应，记为F[y(x)]，
则称F [y(x)]是定义于这个函数类上的一个泛函。
计算结构力学基础
能够满足边界条件（x=0）和w’(0)=0的函数w(x)可以有无穷多个，但同时满足使泛函Π取最小值的w(x)却只有一个，记作w*(x) 。设w*(x)的附近有另一条曲线w(x)，并令：
计算结构力学基础
系统的总势能是上列三者之和，因此总势能为
∫ Π = Πb + Π f + Πq =
L 0
1 2
d 2w EJ ( dx2
)2
+
1 2
k
[w(
x)]2
−
q(
x)w(
x)dx
另外，系统需要满足边界条件：
= w(0) 0= ，w′(0) 0
力学问题
数学问题
在0≤x ≤ L 区间内，寻找一个函数：满足边界条件
δ2∏>0
极小值
δ2∏<0
极大值
δ2∏≥0
δ2∏≤0
δ 2 ∏ > or < 0
非极大的驻值非极小的驻值非极值的驻值
计算结构力学基础
泛函的极值问题
考虑多个自变函数及一阶导数情况，取t为自变量，待求的独
在边界上 δ= y( x1 ) δ= y( x2 ) 0 则泛函的增量为：
∫ ∫ ∆ ∏=
x2 x1
F
(
x,
y1
,
y1′
)dx
−
x2 F ( x, y, y′)dx=
x1
δ ∏+ 1 δ2∏+
2!
计算结构力学基础
泛函的极值问题
∫ ∫ 其中= δ ∏

变分原理

dx x0 x
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 δy (x)
引起泛函的增量
y ( x ) y ( x ) y ( x )
可以展开为线性项和非线性项
L y ( x ) ,y ( x ) y ( x ) ,y ( x ) y m a x
就是求解最速降线问题——求出的曲线就是最速降线。
A（0，0）
y
O
P（x，y）
B(x1 ，x2)
X
v
速度
利用能量守恒定律写出该问题的数学形式：位能= 动能
mgy= 1 mv 2 2
v= 2gy
从A点沿曲线到任一点p走过的弧长来看
速度又可表示为： v= ds = 2gy dt
ds=
1+

③ 变分研究函数的极值的方法就是微分法研究泛函极值的方法就是变分法
而我们过去是利用微分学来研究函数的极值问题的。
举例：最速降线问题
平面两点： A、B，不在同一个水平面上，也不
在同一铅垂线上
一重物沿曲线受重力作用从A点向B点自由下滑，不计重物与曲面之间的摩擦力，从A 到B自由下滑所需时间随该曲线的形状不同而不同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？
记作：
L y( x )
x2

1 y'( x )2dx
x1
显然：当取不同函数Y对应有不同的泛函值
举例2：弹性基础梁
x l y
x0, xl: v(0)v(l)0 v"(0)v"(l)0
位能： Π =梁的变形能+弹性基础的变形能-力函数
梁的变形能
V1

分析力学5动力学变分原理

分析力学5动力学变分原理（5）西安电子科技大学郭空明qq:717004648Email：kmguo@4.1泛函与变分原理（1）4.2哈密顿原理（2）4.3连续系统的微振动（1）4.4欧拉-拉格朗日方程（1）力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动（满足动力学方程）从所有可能的运动中甄别出来。

具有更高的概括性和普适性。

4.1泛函和变分原理弹簧的应变能（势能）21U x k x=数值数值()2弹簧的应变能只依赖于一点的位移x ，是自变量为x 的函数。

y =f(x)当自变量x 有一增量：函数y 也有一增量：10Δy =y -y 10Δx =x -x 函数的微分Differential of a function10=f(x )-f(x )Δy =f (x)Δx'dy 与dx ，分别称为自变量x 与函数y 的微分。

dy =f (x)dx'——微分问题泛函的变分variation of functional()U U y x 函数y 有一微小变化：1y y y 泛函U 也有一增量：y1()()U U y x U y x U函数的增量δy 、泛函的增量δU 等称为变分。

研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题。

变分问题例子：最速下降问题质点受重力作用从A 到B 沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦力，求质点下降最快的路径。

1'201()2x y T y dx gy +=⎰用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。

普通的动力学原理直接研究真实的状态，然后得到状态所应满足的方程。

而变分原理则不然，它不是专注于实际的状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实状态所满足的变分条件（如：真实位移使势能取极值，势能变分为零），进而得到真实状态所应满足的方程。

{F}真实变形曲线4.2哈密顿原理：a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。

变分原理及其应用

变分原理及其应用在物理学和工程学中，变分原理被广泛应用于探究自然界和工程问题中涉及的基本定律和最优解。

变分法是一种将问题转化为“寻找使某个变量极小或极大”的数学方法，通过求解变分以获得问题的解决方案。

变分原理基础变分原理最早由伯努利家族的哥哥丹尼尔·伯努利在18世纪提出，也是最早应用变分法的学者之一。

变分原理的基本思想是将一个问题的求解转化为求解特定的函数。

例如，对于固体力学问题，我们希望求解固体的应力分布，也就是求解固体中任意两点间的内应力。

这种情况下，通过变分法，我们可以将问题简化为求解某个应变能的变分，从而推导出最小能量原理。

变分的意义在于确定使所求函数取得最值的“变量”，通过对变量的操作来得到一组动态的函数。

变分也可以被看作一种一阶微分运算。

具有不同但至关重要的现实意义的两个经典例子是勒让德原理和哈密顿-雅可比原理。

勒让德原理勒让德原理是力学的一个基本原理。

勒让德原理的本质是最小化能量的原理（最小作用量原理），它体现了自然界中存在的最小基本作用量。

对于力学问题，勒让德原理是在保证物理系统动力学表现为微扰线性的情况下，以引入变分运算来表述一个完整的力学原理。

在使用勒让德原理进行力学系统建模时，我们需要：首先确定系统的能量，系统数学表示为拉格朗日量；其次，使用变分法求解系统拉格朗日量的变分，从而确定系统遵循的运动方程；最后，利用运动方程分析系统的行为。

哈密顿-雅可比原理哈密顿-雅可比原理是关于机械运动理论的一个基本原理。

该原理强调机械作用与物质粒子的动力学特性和几何特性之间的紧密联系。

在哈密顿-雅可比原理之中，能量被视为基本概念，被公认为是一个机械运动的根本特性，机械运动使能量的变化具有一个特定的意义，这一变化往往是非线性的。

应用实例通过变分原理的应用，人们已经在许多物理学和工程学的领域中发现了许多有趣的现象。

以下是一些具体细节：建筑工程建筑工程中可以使用变分方法来寻求最小表面积问题的解决方案。

结构动力学变分原理

由梁的基本假定，梁的w及w’连续，二阶导数的连续性未知。
板的固有振动问题
各向同性简支板
板的振动
固有频率的变分式
ΔV的一阶小量部分叫做V的一阶变分，记为 δV。 ΔV的二阶小量部分叫做V的二阶变分，记为δ2V，算是为：
高阶导数积分的驻立值问题
例题
梁的固有振动问题（关于固有频率问题）
• 变截面梁的横向振动问题：梁单位长度的质量为m，
参数变化对固有频率的影响
更为复杂的一些固有振动问题
结构动力学变分原理
弹性地基上的梁：
梁的弯曲刚度EJ，弯曲应变能为：
地基刚度弹性系数k,能量为：
荷载势能：
三者之和：
提出问题时假定在x=0时固定端：
以上问题就是变分问题。
变分与微分的关系：
相应这两条曲线的泛函值：
上式中：ΔV代表泛函的增量。自变量不变（x不变），仅仅函数的无穷小变化而引起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记为δy，其余按高等数学中的定义。
Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标值为：
变分与微分可y(x)能使V取得极值得必要条件为：（欧拉方程）
（4.11）未必能使V取得极值，但总能使V在解得
无穷小领域内取得驻立值， δV=0，(4.11)变为充分必要条件
自然边界条件：根据取驻立值得要求推导出来，不必事先制定的边界条件。泛函的二阶变分：

经典板理论及其变分原理

经典板理论是一种用于研究在弯曲加载下的薄板结构行为的力学理论。

它基于弹性理论和平面假设，适用于较小弯曲和较小挠度的情况。

变分原理是经典板理论的基础，用于推导出平衡方程和位移方程。

以下是关于经典板理论及其变分原理的简要介绍：
1. 经典板理论的基本假设：
-平面应力假设：假定薄板中应力沿板厚方向变化忽略不计。

-线性弹性假设：假定材料服从胡克定律，即应力与应变成线性关系。

-小挠度假设：假定板的挠度较小，即小于板的厚度。

2. 变分原理：
经典板理论中的变分原理是通过最小化势能或最小作用量来推导出平衡方程和位移方程。

其基本思想是，真实的应变状态应该使得系统的势能达到极小值。

3. 平衡方程：
通过应用变分原理，可以得到平衡方程，即拉普拉斯方程。

对于均匀静态情况下的板结构，平衡方程可
以表示为拉普拉斯-贝尔特拉米方程。

4. 位移方程：
利用变分原理，经典板理论可以推导出位移方程，即柯西-里奇扎蒂方程。

该方程描述了板的弯曲变形和剪切变形之间的关系。

5. 应力和应变分布：
经典板理论可以由位移方程得到应力和应变的解析表达式。

这些表达式可用于计算板的内部应力和变形。

经典板理论在设计和分析薄板结构时具有重要的应用价值。

然而，它也有一定的局限性，对于大挠度和非线性材料行为的情况不适用。

因此，在实际应用中需要综合考虑结构的特点和条件，并可能需要使用更高级的理论或数值模拟方法进行分析。

变分原理

第二章变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。

变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。

关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。

1872年Betti 提出了功的互等定理。

1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。

德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。

我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。

我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。

1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。

1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义分原理的方法。

1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。

1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。

§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。

这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。

1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。

如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。

设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1) 用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为：图2-1 最速降线图gy dtdsv 2==(2-2) 曲线弧长为：dx dx dy dy dx ds 2221⎪⎭⎫⎝⎛+=+= (2-3)于是，时间为：()dx gyy v ds dt 212'+== (2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'21x Tdx gyy dt T (2-5) 经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=Cy Cx (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。

高等结构动力学4_连续体2_固有频率的变分式

EJY ¢¢d (Y ¢¢ ) = -( EJY ¢¢ )¢ dY ¢ + ( EJY ¢¢dY ¢ )¢ é ù¢ ¢¢ ¢ = ( EJY ¢¢ ) dY - ê ( EJY ¢¢ ) dY ú + ( EJY ¢¢dY ¢ )¢ êë úû
l l ö 2 1 æ ÷ ç EJ (Y ¢¢ ) dx ÷ = ( EJY ¢¢ )¢¢ dYdx - ( EJY ¢¢ )¢ dY dç ÷ è ò0 ø ò0 2 ç l 0
固有频率的变分式
证明等价性
æ l ö æ l ö 2 2 2 ÷ ÷ ç ç =0 dç EJ (Y ¢¢ ) dx ÷ r AY d x ÷ - w dç ÷ ç ò ò ÷ ç è 0 ø è 0 ø d EJ (Y ¢¢ )
(
2
) = 2EJY ¢¢d (Y ¢¢ )
d ( rAY 2 ) = 2rAY dY
EI 1 5.6825 Sl 4
EI 2 39.4784 Sl 4 EI 3 68.9944 Sl 4
正则化特征向量：
ψ (1) 0.5742 2 0 Sl 0.0048 ψ ( 2) 0 2 1 Sl 0 ψ ( 3) 0.5199 2 0 Sl 0.7746
= ååkijaia j = a Ka
T i =1 j =1 l l n n
kij = ò EJ fi¢¢(x )fj¢¢ (x )dx
0
l
n æ n öæ ö ÷ ÷ ç ç 2 ÷ ÷ ç ç = r AY d x r A a f ( x ) a f ( x ) dx ÷ ÷ å å ç i i j j ò0 ò0 ç ÷ ÷ ç ç j =1 ÷ ÷ è i =1 øè ø

变分原理-第1章

y = y ( x) > 0 ，使之绕横轴旋转，求所得旋转面面积最小的那个函数 y = y ( x) 。
即在满足 y ( x1 ) = y1 ， y ( x 2 ) = y 2 的端点条件下，求函数 y = y ( x) 使以下泛函
S = ∫ 2πyds = ∫ 2πy 1 + y ' dx
x1 x2 2
L=
x1
∫
0
dy 1 + dx dx
2
(1-9)
悬索重心高度为
1 1 1 dy y c = ∫ yds = ∫ y 1 + dx L0 L0 dx
L x 2
(1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求使泛函式(1-10)取极小值的函数 y (x ) 。
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P 点的速度 v 可由能量守恒原理求得：
1 2 mv = mgy 2 ⇒ v = 2 gy
令 ds 为曲线的弧长的微分，则
ds = v = 2 gy dt
⇒
dt =
ds 2 gy
=
1 + y ' dx 2 gy
2
式中 y ′ =
dy dx
因此，重物从 A 滑到 B 所需时间 T 为：
若干“子域” （即单元），然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发展。

结构力学的特征

结构力学的特征1 结构力学简介结构力学是一门研究物体静力学和动力学性质的科学，属于工程力学的范畴。

它主要研究物体在外力作用下的形变、变形能、应力、应变等物理量的关系，并通过计算力学方法获得相应的解析结果。

结构力学的应用非常广泛，例如建筑物、桥梁、轮船、飞机等结构物都需要进行结构力学的计算和分析。

在现代化的工业化进程中，结构力学也成为了极其重要的一门学科。

2 结构力学的基本概念结构力学的基本概念包括以下几个方面：2.1 应力和应变应力和应变是两个非常基本的物理量，它们分别对应了物体受到力的作用下而产生的应力和应变情况。

其中，应力指的是物体内部的力分布情况，而应变指的则是物体在受力情况下的形变情况。

2.2 弹性模量弹性模量是一个非常重要的物理量，它可以衡量材料在受到应力情况下的弹性变形情况。

弹性模量通常是通过材料的荷载-变形关系进行计算的，不同材料的弹性模量会存在差异。

2.3 建构和载荷建构指的是所要计算的结构物，它包括了建筑物、桥梁、管道等，而载荷则是指施加到这些结构物上的力、压力等荷载情况。

在结构力学的计算过程中，建构和载荷都是非常重要的输入参数。

3 结构力学的分析方法结构力学的分析方法主要包括了以下几种：3.1 变分原理变分原理是对结构力学计算的基本原理之一，它通过变分法求解运动方程和边界条件，获得结构物的弯曲、剪切、伸缩等变形情况。

3.2 有限元法有限元法是一种数值计算方法，它将结构物划分成若干个小元素，并通过求解其受载变形情况和应力情况，得到结构物的全局性能参数。

3.3 矩阵分析法矩阵分析法是一种数学分析方法，它将结构物划分成若干个节点，分析节点的受力情况和位移情况，进而求解全局性能参数。

4 结构力学在工业领域的应用结构力学在工业领域的应用非常广泛。

例如，在建筑物建设过程中，通过进行结构力学计算，可以预测房屋的抗风、抗震、抗压等情况，从而保证建筑物的安全性；在机械制造行业中，通过结构力学计算，可以预测机器的静、动态特性，维护机器的正常运行。

清华大学结构动力学2-1

对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式（有时称动力方程）运动方程是进行结构动力分析的基础运动方程的建立是结构动力学的重点和难点

第五次作业-结构-变分原理

变分原理在结构分析中的应用摘要：变分法是研究力学、物理学和其他各种技术科学的强有力的工具，本文从变分原理的基本理论出发，讲解变分法及其相关理论在结构分析中的应用。

长期研究表明，变分原理是研究很多复杂结构的基础。

关键词：变分原理；结构分析；应用1 引言现代结构大多是由多个不同维数和不同性能的结构构件耦合或杂交而成的组合结构体系。

例如: 框剪、框筒、筒中筒、巨型框架等高层结构; 网架、网壳、索穹顶、索承穹顶、张弦梁、索桁架等大跨度结构。

这些结构由于其复杂性，不能通过常规的方法得到其精确的解[1]。

现代结构的分析方法，基本上可以分为两大类: 一类是有限元法，即将所分析的结构采用离散化的数学模型[2-4]；另一类是连续化法，即将所分析的结构采用连续化的数学模型[5-7]。

但是这两类方法的数学理论基础都是一样的，均可归结为求泛函的极值或驻值的变分问题[8, 9]。

国内外学者都十分重视变分原理的研究与应用，因为它是现代结构理论分析与简化计算的出发点[10]。

2 变分原理在结构工程中的应用2.1 薄板弯曲问题中的变分原理在结构分析力学中，有位移法和力法，在能量变分直接法中，与之对应的有势能原理与余能原理，前者以位移为未知数，后者以内力为未知数。

故用势能原理分析时，选用位移函数，用余能原理分析时，选用内力函数。

从理论上讲，欲求结构的位移可以采用势能原理，欲求结构的内力可以采用余能原理[2, 3]。

2.1.1 势能原理解法：薄板在均布荷载q 作用下的总势能为：222222222200002(1)2a b a b D w w w w w U dxdy qwdxdy x y x y x y μ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎪⎪=+--⨯⋅--⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰⎰⎰（1）式中：w 为薄板的挠度；μ为泊松比；a 与b 为矩形薄板的边长。

选择位移函数：1(,)ni i i w A x y φ==∑ （2）式中：i A 为待定常数；(,)i x y φ为位移函数基，(,)i x y φ应尽可能满足边界上的位移条件，而且还必须满足连续条件。