结构动力学变分原理
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ΔV的一阶小量部分叫做V的一阶变分，记为 δV。 ΔV的二阶小量部分叫做V的二阶变分， 记为δ2V，算是为：
高阶导数积分的驻立值问题
例题
梁的固有振动问题（关于固有频率问题）
• 变截面梁的横向振动问题：梁单位长度的质 量为m，
参数变化对固有频率的影响
更为复杂的一些固有振动问题
Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标值为：
变分与微分可以互换。
wk.baidu.com
上式中的δV称为V的一阶变分。 y(x)能使V取得极值得必要条件为：（欧拉方程）
（4.11）未必能使V取得极值，但总能使V在解得
无穷小领域内取得驻立值， δV=0，(4.11)变为充 分必要条件
自然边界条件：根据取驻立值得要求推导出来，不 必事先制定的边界条件。 泛函的二阶变分：
由梁的基本假定，梁的w及w’连续，二阶导数的连续 性未知。
板的固有振动问题
各向同性简支板
板的振动
固有频率的变分式
结构动力学变分原理
弹性地基上的梁：
梁的弯曲刚度EJ，弯曲应变能为：
地基刚度弹性系数k,能量为：
荷载势能：
三者之和：
提出问题时假定在x=0时固定端：
以上问题就是变分问题。
变分与微分的关系：
相应这两条曲线的泛函值：
上式中：ΔV代表泛函的增量。 自变量不变（x不变），仅仅函数的无穷小变化而引 起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记为δy， 其余按高等数学中的定义。
高阶导数积分的驻立值问题
例题
梁的固有振动问题（关于固有频率问题）
• 变截面梁的横向振动问题：梁单位长度的质 量为m，
参数变化对固有频率的影响
更为复杂的一些固有振动问题
Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标值为：
变分与微分可以互换。
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上式中的δV称为V的一阶变分。 y(x)能使V取得极值得必要条件为：（欧拉方程）
（4.11）未必能使V取得极值，但总能使V在解得
无穷小领域内取得驻立值， δV=0，(4.11)变为充 分必要条件
自然边界条件：根据取驻立值得要求推导出来，不 必事先制定的边界条件。 泛函的二阶变分：
由梁的基本假定，梁的w及w’连续，二阶导数的连续 性未知。
板的固有振动问题
各向同性简支板
板的振动
固有频率的变分式
结构动力学变分原理
弹性地基上的梁：
梁的弯曲刚度EJ，弯曲应变能为：
地基刚度弹性系数k,能量为：
荷载势能：
三者之和：
提出问题时假定在x=0时固定端：
以上问题就是变分问题。
变分与微分的关系：
相应这两条曲线的泛函值：
上式中：ΔV代表泛函的增量。 自变量不变（x不变），仅仅函数的无穷小变化而引 起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记为δy， 其余按高等数学中的定义。