二次函数动点与最值问题

一、二次函数中的最值问题：

例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置，点B、C’的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC，如图所示（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴y=-x2+2x+3

（2）、若点P是第一象限抛物线线上的一动点，问P在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。

（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△A’AN与△A’AP的面积相等?,若存

在,请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。

例2、（2012）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；

OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；

设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：

2×（﹣3）a=4，a=﹣；

∴抛物线：y=﹣x2+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；

由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：

，

解得：，；

由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．

（3）∵S△APE=AE•h，

∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；

若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；

求得：b=，即直线L：y=﹣x+；

可得点P（，）．

由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；

则点F（，0），AF=OA+OF=；

∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．

综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．

针对训练：

1、（2013）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．

（1）请直接写出抛物线y2的解析式；

（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；

（3）在第四象限抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），

所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；

（2）x=0时，y=﹣1，

y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，

所以，点A（1，0），B（0，﹣1），

∴∠OBA=45°，

联立，

解得，

∴点C 的坐标为（2，3），

∵∠CPA=∠OBA，

∴点P 在点A 的左边时，坐标为（﹣1，0），

在点A 的右边时，坐标为（5，0），

所以，点P 的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（3）存在．

∵点C （2，3），

∴直线OC 的解析式为y=x ，

设与OC 平行的直线y=x+b ，

联立，

消掉y 得，2x 2﹣19x+30﹣2b=0，

当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC 中OC 边上的高h 有最大值，

此时x 1=x 2=×（﹣

）=， 此时y=（﹣4）2﹣1=﹣，

∴存在第四象限的点Q （

，﹣），使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值， 此时△=192﹣4×2×（30﹣2b ）=0，

解得b=﹣，

∴过点Q 与OC 平行的直线解析式为y=x ﹣

， 令y=0，则x ﹣=0，解得x=，

设直线与x 轴的交点为E ，则E （

，0）， 过点C 作CD⊥x 轴于D ，根据勾股定理，OC=

=， 则sin∠COD=

=， 解得h 最大=

×=．

2、如图，抛物线)0(22

32≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为()0,4. （1）求抛物线的解析式；

. . .. . .

（2）试探究ABC

∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC

∆的面积的最大值，并类型一、最值问题：

类型一、最值问题：

（2013•）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）

考点：二次函数综合题．

分析：（1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；

（2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；

（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．

解答：

解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣），O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c（a≠0），

A

B

C

M

O

x

y