高三数学专题01-二次函数综合问题例谈
二次函数综合压轴题型
二次函数综合压轴题型
二次函数综合压轴题型是一种难度较大的数学题目，通常涉及到二次函数的性质、图像、最值以及与其他数学知识的综合应用。
以下是一些常见的二次函数综合压轴题型的例子：
1. 二次函数与几何的综合：这类题目通常会涉及到二次函数图像与几何图形（如三角形、矩形、圆等）的结合，需要利用几何知识解决二次函数问题。
2. 二次函数与一次函数的综合：这类题目通常会涉及到两个函数图像的交点、性质以及与不等式相关的知识点，需要综合考虑一次函数和二次函数的性质。
3. 二次函数与方程根的综合：这类题目通常会涉及到求二次方程的根、判断根的情况以及与二次函数图像的关系，需要利用二次函数的性质和判别式的知识。
4. 二次函数的最值问题：这类题目通常会涉及到求二次函数的最值，需要利用配方法、顶点式等二次函数的性质和公式。
5. 二次函数的实际应用题：这类题目通常会涉及到生活中的问题，如抛物线的运动、物体下落等，需要将实际问题转化为数学问题，利用二次函数的知识求解。
解二次函数综合压轴题型需要熟练掌握二次函数的性质、图像和公式，同时还需要具备一定的数学思维和推理能力。
在解题过程中，要注意灵活运用所学知识，多角度思考问题，寻找最佳的解题方法。
（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc
（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。
（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。
二次函数的综合运用
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
高三数学专题01-二次函数综合问题例谈
二次函数综合问题例谈=二次函数是中学代数的基本内容之一；它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数；可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质；还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线；可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系；使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时；有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系；是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此；从这个意义上说；有关二次函数的问题在高考中频繁出现；也就不足为奇了. 学习二次函数；可以从两个方面入手：一是解析式；二是图像特征. 从解析式出发；可以进行纯粹的代数推理；这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发；可以实现数与形的自然结合；这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了；易于变形（一般式、顶点式、零点式等）；所以；在解决二次函数的问题时；常常借助其解析式；通过纯代数推理；进而导出二次函数的有关性质.1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1 已知f x ax bx ()=+2；满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()；求f ()-2的取值范围.分析：本题中；所给条件并不足以确定参数b a ,的值；但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值；而是与条件相对应的“取值范围”；因此；我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件；先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1；()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2；并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f ,∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()；2)1(1≤-≤f ,∴ ()1025≤≤f .例2 设()()f x ax bx c a =++≠20；若()f 01≤；()f 11≤；()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ；有()f x ≤54. 分析：同上题；可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.∴ 当01≤≤-x 时；()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f当10-≤≤x 时； ()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上；问题获证.1.2 利用函数与方程根的关系；写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=例３ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20；方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时；证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下；根据函数与方程根的关系；可以写出函数()x x f -的表达式；从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.a x x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时；x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知；所给问题获证. 1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力例4 已知函数xz a x f 22)(-=。
高中数学二次函数分类讨论经典例题
高中数学二次函数分类讨论经典例题一、二次函数的定义和基本性质二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
下面将讨论二次函数的分类及其相关的经典例题。
二、二次函数的分类讨论1. a>0的情况：抛物线开口向上当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线。
此时，函数的最值为最小值，且最小值点的横坐标为-b/2b。
例如，考虑函数y=x²+2x+1，其图像为一条开口向上的抛物线，最小值点为(-1,0)。
2. a<0的情况：抛物线开口向下当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线。
此时，函数的最值为最大值，且最大值点的横坐标为-b/2b。
例如，考虑函数y=-x²+2x+1，其图像为一条开口向下的抛物线，最大值点为(1,0)。
3. a=0的情况：一次函数当a=0时，二次函数变为一次函数，即y=bx+c。
此时，函数的图像是一条直线，且不会有最值点。
例如，考虑函数y=2x+1，其图像为一条斜率为2的直线。
三、经典例题1. 求解二次函数的最值例如，求解函数y=x²-4x+3的最值。
首先，可以将该二次函数写成标准形式y=(x-2)²-1，从中可以得知最小值点为(2,-1)。
2. 求解二次函数与坐标轴的交点例如，求解函数y=2x²-5x+2与x轴和y轴的交点。
首先，将y=0代入函数方程得到2x²-5x+2=0，然后可以通过因式分解或者求解一元二次方程的方法求解得到x的值。
进而可以求得函数与x轴的交点。
类似地，可以将x=0代入函数方程得到y的值，从而求得函数与y轴的交点。
3. 求解二次函数的对称轴例如，求解函数y=-x²+4x-3的对称轴。
对称轴是过抛物线最高点（或最低点）的一条直线，其方程可以通过x=-b/2b得到。
对于该函数，对称轴方程为x=-2。
高考数学专题讲座 第2讲 二次函数的综合应用问题
高考数学专题讲座 第二讲二次函数的综合应用问题一、考纲要求1．理解二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法； 2．以二次函数为背景的不等式问题作为代数推理题在高考中频繁出现，二次函数和绝对值不等式相结合的题目也在高考中出现多次；3．二次函数是简单的非线性函数之一，有着丰富的内涵，成为高考的一个热点．二、基础过关1．若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 恒成立，则a 的取值X 围是( B )．A ．53-<a 或1>a B ．a <-53≤1C ．53≤a ≤1或1-=a D ．以上均不对 2．函数54)(2+-=mx x x f 在区间2[-，)∞+上是增函数，则)1(f 的取值X 围是( A )．A ．)1(f ≥25B ．25)1(=fC ．)1(f ≤25D ．25)1(>f3．若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在3(-，)1上是( B )．A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增4．已知a ，∈b N *，方程022=++b ax x 和方程022=++a bx x 都有实根，则b a +的最小值是( D )．A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数32)(2+-=x x x f 在区间0[，]a )0(>a 上的最大值为3，最小值为2，那么 实数a 的取值X 围是 1≤a ≤2 ．6．已知函数a b b ax x x f (1)(22+-++-=，∈b R )对任意实数x 都有)1()1(x f x f -=+成 立，若当1[-∈x ，]1时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值X 围是 b<-1或b>2 ．三、典型例题例1 已知函数22)(2++=ax x x f ，5[-∈x ，]5．（1）当1-=a 时，求函数)(x f 的最大值与最小值；（2）某某数a 的取值X 围，使)(x f y =在区间5[-，]5上是单调函数． 解：（1）当a =-1时, f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1, x ∈ [-5,5] ∴x =1时,f (x )的最小值为1,x =-5时,f (x )的最大值为37.（2）函数f (x )=(x +a )2+2-a 2图象的对称轴为x =-a ∵f (x )在区间[-5,5]上是单调函数 ∴-a ≤-5或-a ≥5 即a ≥5或a ≤-5 故a 的取值X 围为 a ≤-5或 a ≥5.例2 （1）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为π+44. （2）已知函数∈+-=x b ax x x f (|2|)(2R )，给出下列命题：①()f x 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图象必关于直线1=x 对称； ③ 若b a -2≤0，则)(x f 在区面a [，)∞+上是增函数； ④)(x f 有最大值||2b a -． 其中正确命题的序号是③．例3 已知函数∈++-=x m x m x x f ()1()(2R )．（1）设A 、B 是ABC ∆的两个锐角，且A tan ，B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根， 求证：m ≥5；（2）当m ≥3时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值． 解:(1) 方程f (x )+4=0 即x 2-(m +1)x +m +4=0依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧->->≥-≤4153m m m m 或∴m ≥5(2)f (sin α)=sin 2α-(m +1)sin α+m =(sin α2)21+-m +m 4)1(2+-m ∵m ≥3 ∴221≥+m ∴ 当sin α=-1时,f (sin α)取得最大值2m +2由题意得 2m +2=8 ∴m =3例4 已知函数x x x f (1)(2-=≥1)的图象为1C ，曲线2C 与1C 关于直线x y =对称． （1）求曲线2C 的方程)(x g y =；（2）设函数)(x g y =的定义域为M ，1x ，M x ∈2，且21x x ≠．求证：|||)()(|2121x x x g x g -<-；（3）设A 、B 为曲线2C 上任意两个不同点，证明直线AB 与直线x y =必相交． 解(1) ∵ C 1,C 2关于直线y =x 对称, ∴g (x )为f (x )的反函数. ∵y =x 2-1, 即 x 2=y +1, 又 x ≥1 ∴x =1+y∴ 曲线C 的方程为 g (x )=1+x (x ≥0)(2)设x 1,x 2∈M, 且x 1≠x 2, 则 x 1-x 2≠0 又 x 1≥0, x 2≥0∴|g (x 1)-g (x 2)|=|||2||11|||112121212121x x x x x x x x x x -<-≤+++-=+-+ (3)设A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2)为曲线C 2上任意两个不同的点, x 1,x 2∈M, 且 x 1≠x 2 由(2)知|k AB |1|||)()(|||21212121<--=--=x x x g x g x x y y∴直线AB 的斜率|k AB |≠1 又直线y =x 的斜率为1 ∴直线AB 与直线y =x 必相交.四、热身演练1．函数x x y (321--=≥)2的反函数是( B )．A ．∈+-=x x x y (2212R )B ．x x x y (2212+-=≤)0 C ．∈-+=x x x y (2212 R ) D ．x x x y (2212-+=≤)0 2．设函数()(2c bx ax x f ++=)0a <，满足)1()1(x f x f +=-，则)2(x f 与)3(x f 的大小关系是（ C ）．A ．)2()3(x x f f >B ．)2()3(x x f f <C ．)3(x f ≥)2(x fD ．)3(x f ≤)2(x f3．若a ，b ，c 成等差数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴的交点个数是（ D ）．A ．0B ．1C ．2D ．不确定4．已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间1(-，)1内至少存在一个 实数c ，使0)(>c f ，则实数p 的取值X 围是（ C ）．A ．21(-，)1 B ．3(-，)21- C ．3(-，0)23 D ．21(-，)235．一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运年数∈x x (N )的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为( B )时，该客车的年平均利润最大．A ．4B ．5C ．6D ．76．已知函数422)(2++-=a ax x x f 的定义域为R ，值域为1[，)∞+，则a 的取值X 围 为 [-1,3] ．7．如果函数)(x f 对于任意∈x R ，存在M 使不等式|)(|x f ≤||x M 恒成立(其中M 是与x 无关的正常数)，则称函数)(x f 为有界泛函，给出下列函数： ①1)(1=x f ；②22)(x x f =；③)cos (sin )(3x x x x f +=；④1)(24++=x x xx f ． 其中属于有界泛函的是③④(填上正确序号)．8．若方程02=++b ax x 有不小于2的实根，则22b a +的最小值为516. 9．已知不等式032<+-t x x 的解集为m x x <<1|{，∈x R }．（1）求t ，m 的值；（2）若函数4)(2++-=ax x x f 在区面-∞(，]1上递增，求关于x 的不等式0)23(log 2<-++-t x mx a 的解集．解：（1）依题意 ⎩⎨⎧==+t m m 31∴⎩⎨⎧==22t m（2）∵f (x )=-(x -44)222a a ++在]1,(-∞上递增∴12≥a即 2≥a 又 )32(log )23(log 22x x t x mx a a +-=-++-<0∴13202<+-<x x 解之得 210<<x 或1<x <23 故 不等式的解集为 {x |0<x <21或1<x <23}.10．定义在R 上的函数)(x f 满足:如果对任意1x ，∈2x R ，都有)2(21x x f +≤)]()([2121x f x f +， 则称函数)(x f 是R 上的凹函数．已知二次函数∈+=a x ax x f ()(2 R ）． （1）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（2）如果0[∈x ，]1时，|)(|x f ≤1，试某某数a 的取值X 围． 解：（1）对任意x 1,x 2∈R ,a >0,都有[f (x 1)+f (x 2)]-2f (221x x +)=a 21x +x 1+ax 22+x 2-2[a (2)221221x x x x +++] =ax 21+ax 22-21a (x 1+x 2+2x 1x 2) =21a (x 1-x 2)2≥0∴f ()]()([21)22121x f x f x x +≤+故函数f (x )是凹函数.（2）由|f (x )|≤1知: -1≤f (x )≤1 即 -1≤ax 2+x ≤1当 x =0时, a ∈R当x ∈(0,1)时, ⎩⎨⎧+-≤--≥1122x ax x ax 恒成立即 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-≤++-=--≥41)211(1141)211(112222x x x a x x x a 恒成立 ∵x ∈(0,1) ∴11≥x当x 1=1 即x =1时, 41)211(2++-x 取最大值-2, 41)211(2--x 取最小值0 ∴ -2≤a ≤0, 而 a ≠0 ∴-2≤a <0 即 为所求. 11．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．（1）若a c b >>且0)1(=f ，是否存在实数m ，使得当a m f -=)(成立时，)3(+m f 为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由．（2）若+∞<<<∞-21x x ，)()(21x f x f ≠且方程)]()([21)(21x f x f x f +=有两个不相等的实数根，求证:必有一实数根存1x 与2x 之间．证：（1）由f (1)=a +b +c 及a >b >c 得a >0,c <0,ac0< ∵ 1是0)(=x f 的一个根，记另一根为α，则ac=α0<又,,c a b c b a --=>>∴a >-a -c >c ∴-2a <c 即 -2<ac<0假设存在实数m ,使f (m )=-a 成立则由a c ,1是f (x )=0的两根知: f (x )=a (x -ac)(x -1) 从而 f (m )=0)1)((<-=--a m a c m a ∴1<<m ac进而33+<+m ac∴m +3>1 又f (x )在[1,)∞+上单调递增 ∴f (m +3)>f (1)=0 故满足条件的实数m 存在.（2）令g (x )=f (x )-)]()([2121x f x f +, 则g (x )为二次函数∴g (x 1)=f (x 1)-)]()([2121x f x f +∴g (x 2)=f (x 2)-)]()([2121x f x f +∴g (x 1)·g (x 2)=-0)]()([41221<-x f x f又x 1<x 2∴g (x )=0必有一根在x 1,x 2之间 故f (x )=)]()([2121x f x f +必有一根在x 1,x 2之间12．已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为1[，]3． （1）某某数b ，c 的值；（2）判断函数)(lg )(x f x F =在1[-，]1上的单调性；（3）若∈t R ，求证：57lg≤|)61||61(|+--t t F ≤513lg ．解：（1）由∆法得 b =-2 c =2（2） 由（1）f (x )=1221222222+-=++-x xx x x 用定义判断f (x )在[-1,1]上单调递减. ∴F(x )在[-1,1]上单调递减. （3）∵||t -61|-|t +61||≤|t -6161--t |=31∴31|61||61|31≤+--≤-t t∵F(x )在[-1,1]上为减函数∴)31(|)61||61(|)31(F t t F F ≤+--≤-即 513lg |)61||61(|57lg ≤+--≤t t F。
高考二次函数及其综合问题
高考中二次函数及其综合问题 知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 1二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()(（顶点式） 3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f 4 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响 1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；② 2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置 5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞题型讲解例1函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是（ ） A 0b ≥ B 0b ≤ C 0b > D 0<例2 已知二次函数的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式例3 已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值例4 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围例5对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.例6 设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知不论α，β为何实数，恒有.0)cos 2(0)(sin ≤+≥βαf f 和（1）求证：;1-=+c b（2）求证：;3≥c（3）若函数)(sin αf 的最大值为8，求b ，c 的值例7 是否存在实数a,b,c 使函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件“对一切实数x ，都有x ≤f(x) ≤212x +”例8 设f (x )=ax 2+bx +c (a ＞b ＞c ),f (1)=0,g (x )=ax +b（1）求证：函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点；（2）设f (x )与g (x )的图象交点A 、B 在x 轴上的射影为A 1、B 1，求｜A 1B 1｜的取值范围；例9 设f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x =1对称，而当).(4)(,]3,2[2为常数时c c x x x g x ++-=∈（1）求f (x )的表达式（2）对于任意.||2|)()(:|,]1,0[,12122121x x x f x f x x x x -<-≠∈求证且例10 设函数f (x )=|x －a |－ax ，其中0<a <1为常数（1）解不等式f (x )<0;（2）试推断函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由例11 对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； 练习 1设x,y 是关于m 的方程m 2-2am+a+6=0的两个实根，则(x -1)2+(y -1)2的最小值是（ ）(A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值2函数f(x)=2x 2-mx+3,当x ∈(-∞,-1]时是减函数，当x ∈[-1,+∞)时是增函数，则f(2)=3方程x 2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ；有一正根，一负根的充要条件是 ___ ；至少有一根为零的充要条件____4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a5设方程x2-mx+1=0的两个根为α,β,且0<α<1,1<β<2,则实数m的取值范围是____6直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交，则k的取值范围是7已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是(-∞,-3)⋃(2,+∞),则关于x的不等式bx2+ax+c>0的解集是8方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内有一根，则m∈;或m=6-27)在(0,1)内至少有一根，则m∈9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a 的取值范围10已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x对任意实数x 都成立，试求f(1-2)的值12已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围13已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围14若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c¸使f(c)>0,求实数p的取值范围15已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= -bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证：两函数的图象相交于不同两点A，B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围16设2sin2x+acosx–1≤3a对x∈R 恒成立，求实数a的取值范围17已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3 (a≠0)在区间[-3/2,2]上的最大值为1，求实数a的值18已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β证明：(Ⅰ)如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│a│＜4+b且│b│＜4；(Ⅱ)如果2│a│＜4+b且│b│＜4，那么│α│＜2，│β│＜219已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1(Ⅰ)证明:│b│≤l;(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;20已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(-1)=0,对于任意实数x，都有f(x)-x≥0,并且x∈(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1); (2)求f(x)21若对任意实数x，sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的取值范围22AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a 的取值范围。
高三数学总复习教学案例------二次函数综合问题
高三数学总复习教学案例------二次函数综合问题一、内容分析：二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.二、教学过程1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1设，若，，, 试证明：对于任意，有. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f当10-≤≤x 时，()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.(2)紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力 例2 已知函数xz a x f 22)(-=。
二次函数综合问题(存在性)
（2）点 P 是线段 AB 上的一点，过点 P 作 PQ∥AC，交 BC 于点 Q，连接 CP.当△CPQ 的面积 最大时，求点 P 的坐标；
（3）若点 M 是抛物线上一点，且横坐标为3，点 N 是 y 轴上一点，在（2）的条件下，是否
存在这样的点 N，使得△MPN 是直角三角形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说 明理由.
2 -(
1 2
m
2 )= 2m 2
9m
2
2m2
9m
2
3m 2
m 1
0 (舍去)， m 2
3 2
E（ 3 2
， 1）…………………………………………12
分
解：⑴AD： y x 1
⑵过点 F 作 x 轴的垂线，交直线 AD 于点 M，易证△FGH≌△FGM
故 C△FGH C△FGM 设 F(m,m2 2m 3)
F m,1 2 m
2,
C 0， -2 ,
N m,2
5．
F N = 1 m ， CN=m
2
∴在 Rt△ CNF 中，CF=
△ FCN ∽△ FEM
CF
CN
EF EM ,
FN 2 CN 2
5 2m
5m
2 EF
5 3
3 EF= 2
m
m m EF=
225
2 -(
1 2
m
2 )= 2m 2
9m
2
2m2
9m
2
3m 2
m 1
完整版)二次函数含参综合专题
完整版)二次函数含参综合专题轴平移3个单位，得到抛物线y=x-2ax+(b+3)，求新抛物线的表达式；2）若a=2，b=3，求点P、Q的坐标和抛物线的对称轴；3）将抛物线在x轴上方的部分沿y轴平移2个单位，得到抛物线G，求G与x轴交点的横坐标。
综合专题：二次函数二次函数的特征很多时候是隐藏在式子中的，需要找到关键点才能解决问题。
下面分别对不等关系类、翻折类、平移类的例题进行分析。
例1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。
1) 当抛物线过原点时，a的值为0；2) ①对称轴为x=0，顶点纵坐标为0；②顶点为原点，纵坐标为0；3) 当AB≤4时，a∈[-2,2]。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a(a＞0)与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）。
1) 对称轴为x=2，A(-a,0)，B(3a,0)；2) 点C(t,3)在抛物线上，过C作x轴的垂线交x轴于D，①CD=AD时，a=t²-4t+3；②CD>AD时，t∈(-∞,0)∪(1,∞)。
例2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx²-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C、D（C在D的左侧），与y轴交于点A。
1) 顶点坐标为(M,n-1)，其中M=n；2) A(0,n-1)，B(3-n,n-1)；3) 翻折后的图象记为G，直线y=n-1与G有一个交点时，m∈(-∞,n-1)。
巩固练：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+3a的最高点纵坐标为2.1) 对称轴为x=1，表达式为y=(a-1)²-1；2) 图象G1在x∈[1,4]上，将G1沿直线x=1翻折得到G2，图象G由G1和G2组成，直线y=b与G只有两个公共点时，b∈(-∞,-1)∪(3,∞)，x1+x2=2.例3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x-2ax+b 的顶点在x轴上，P(x1,m)、Q(x2,m)（x1<x2）是此抛物线上的两点。
高中数学中的二次函数应用案例分析
高中数学中的二次函数应用案例分析二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是数学中的一种基本函数类型。
它在实际生活中有着广泛的应用，可以用来描述许多自然现象和经济问题。
本文将通过几个案例分析，展示二次函数在实际问题中的应用。
案例一：抛物线的轨迹假设有一位运动员在训练中进行跳远，他的跳远轨迹可以用一个抛物线来描述。
我们知道，抛物线的方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
通过观察运动员的跳远过程，我们可以得到一些数据点，例如跳远的起点、最高点和落地点。
根据这些数据点，我们可以建立一个二次函数模型，进而预测运动员在不同距离上的跳远成绩。
案例二：物体的自由落体在物理学中，自由落体是一个常见的现象。
当一个物体从高处自由下落时，它的运动轨迹可以用一个抛物线来描述。
假设有一个小球从高楼上自由落下，我们可以通过观察小球在不同时间点的位置，建立一个二次函数模型来描述小球的运动。
通过这个模型，我们可以计算小球在不同时间点的位置和速度，进而研究物体的自由落体规律。
案例三：经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是一个重要的概念。
假设有一个公司生产某种产品，它的生产成本可以用一个二次函数来表示。
这个二次函数的自变量可以是产品的产量，因变量可以是生产成本。
通过分析这个二次函数，我们可以研究不同产量下的生产成本变化规律，进而优化生产过程，提高经济效益。
案例四：建筑物的抗震设计在建筑工程中，抗震设计是非常重要的。
为了保证建筑物在地震中的稳定性，工程师需要通过数学模型来分析建筑物的抗震性能。
其中，二次函数可以用来描述建筑物受力分布的曲线。
通过分析这个二次函数，工程师可以确定建筑物的结构参数，进而设计出更加安全可靠的建筑物。
通过以上几个案例的分析，我们可以看到二次函数在实际问题中的广泛应用。
它不仅可以用来描述物体的运动轨迹，还可以用来分析经济问题、优化生产过程和设计建筑物等。
在高中数学教学中，教师可以通过这些案例，引导学生理解二次函数的概念和性质，培养学生的实际问题解决能力。
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析
高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知lgx＋lgy＝2 lg(2x－3y)，求的值．【答案】2【解析】解：依题意可得：lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝(2x－3y)2，整理得：4()2－13()＋9＝0，解得：＝1或＝，∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴＝，∴＝2.2.设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6,2]，则m＋n的取值所组成的集合为()A．[0,3]B．[0,4]C．[－1,3]D．[1,4]【答案】B【解析】由题意可得，函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.所以－1≤m≤1,1≤n≤3，所以0≤m＋n≤4.故选B.3.已知a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，比较大小：f(m＋2)________1(用“<”“＝”或“>”连接)．【答案】>【解析】由f(x)＝ax2＋2ax＋1(a>0)知f(x)过定点(0,1)．又f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2－a＋1(a>0)，设f(x)＝0的两个实数根为x1，x2，且x1<x2，如图所示．所以x1＋x2＝－2，x1x2＝，由Δ>0得a>1，所以x2－x1＝＝∈(0,2)．又因为对称轴为直线x＝－1，f(0)＝1，所以x2∈(－1,0)．由f(m)<0，得x1<m<x2，所以m＋2>0，所以f(m＋2)>1.4.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图像过点C(t,2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a的值为________．【答案】－【解析】设点A(x1,0)，B(x2,0)，则＝(x1－t，－2)，＝(x2－t，－2)，所以·＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋4＝0.又x1x2＝，x1＋x2＝－，所以t2＋＋＋4＝0.又点C(t,2)在抛物线上，所以at2＋bt＋c＝2，所以t2＋＋＝，即－4＝，解得a＝－.5.“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．【答案】充分不必要【解析】函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．6.（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选A．7.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.8.若关于的不等式的解集中有且仅有4个整数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，不等式的解集中有无数个整数解，因此设因为假若a＞1，则f（1）=1-a＜0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f（-2）=4a-2-2a=2a-2＞0，矛盾，所以假设错误，故0＜a≤1所以4个整数解应为0，-1，-2，-3．所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式的整数解9.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值10.若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数为.【解析】由于b2=ac>0,∴Δ=b2-4ac=ac-4ac=-3ac<0,故函数f(x)的图象与x轴交点个数为0.11.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.12.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．13.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.14.如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的面积和最大？【答案】小长方形的长和宽分别是，2.5时，三个长方形的面积最大为25.【解析】通过假设小长方形的一边再根据周长为20m，即可表示出小长方形的另一边.因为这三个长方形是大小相等长方形，所以可以表示出三个长方形的面积和并求出面积的最大值.本小题主要是以二次函数的最值为知识点形成一个简单的应用题.试题解析：设长方形长为x m，则宽为 m，所以，总面积= =．所以，当时，总面积最大，为25，此时，长方形长为 2.5 m，宽为 m．【考点】1.二次函数的应用.2.二次最的求法.15.若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式在区间内有解等价于，令，，所以，所以.【考点】1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法.16.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时，恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是，选B.【考点】1.对数函数的定义域；2.二次函数的图像与性质17.函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函数在区间上是增函数，所以实数a应满足：或.由此得，所以选D.【考点】1、二次函数的单调性；2、解不等式.18.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.19.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.20.（本小题满分12分）定义域为的函数满足,当∈时，(1）当∈时，求的解析式；(2）当x∈时，≥恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知条件可求出f（x+4）=9f（x），设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2],由已知可得f（x+4）的解析式，即可得解.（2）首先求出，x∈时的值域，由已知可得，解不等式即可.试题解析：（1）由f（x+2）=3f（x）,得f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）,设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2],∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）=x2+6x+8,因为f（x+4）=9f（x）.（2）因为x∈时，≥恒成立，所以x∈时，恒成立.而x∈时，，所以，即，解得【考点】1.分段函数；2.二次函数的性质；3.分式不等式的解法.21.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．22.已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】（1）；（2）①当，即时，；②当时，；③当，即时，．【解析】（1）由题意先设函数的解析式，再由条件解其中的未知数，可得二次函数解析式；（2）由（1）知函数的解析式，可得函数的对称轴为，再讨论对称轴是在区间上，还是在区间外，分别得的表达式．试题解析：（1）是二次函数，且的解集是可设 2分在区间上的最大值是由已知，得 5分． 6分（2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 8分①当，即时，在上是单调递减，所以； 10分②当时，在上是单调递减，所以； 12分③当，即时，在对称轴处取得最小值，所以． 14分【考点】1、二次函数的解析式的求法；2、二次函数的性质．23.若f(x)的定义域为[a,b]，值域为[a,b]（a<b），则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.①设g(x)＝x2－x+是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值;②问是否存在常数a，b（a>－2），使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a,b的值，否则，请说明理由.【答案】①; ②不存在，详见解析【解析】①根据信息找到b所满足的等式即可求出b的值，一定要先判断函数在闭区间上的单调性；②先假设存在题目要求的常数，根据“四维光军”函数的特性去找到此常数能得到的结论，推出矛盾即可说明这样的常数是不存在的，这是一种逆向思维的题目，首先假设存在，由存在得出矛盾，则可知存在不成立.试题解析：①由已知得，其对称轴为，区间在对称轴的右边,所以函数在区间上是单调递增的, 3分由“四维光军”函数的定义可知,，即，又因为，解得； 6分②假如函数在区间上是“四维光军”函数, 7分因为在区间是单调递减函数，则有, 10分即，解得，这与已知矛盾. 12分【考点】函数单调性的应用，函数的图形和性质的应用.24.为常数，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】①当时符合条件, ②当时,,所以,综上 .【考点】分类讨论,二次函数的性质.25.分解因式的结果是．【答案】【解析】根据完全平方公式可得【考点】本小题主要考查因式分解.点评：解决因式分解问题，主要是根据完全平方公式、平方和和平方差公式等.26.已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，∴，∴即实数的取值范围是，故选A【考点】本题考查了一元二次方程根的分布点评：熟练掌握常见的一元二次方程根的分布规律是解决此类问题的关键，属基础题27.已知二次函数且关于的方程在上有两个不相等的实数根.⑴求的解析式.⑵若总有成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）当总有成立，。
二次函数综合动点及三角形问题方法及解析
二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。
（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．（2013•地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x 轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x ﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．（2013•州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y 轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考二次函数综合题．点：分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： 解：（1）∵直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （﹣1，0），B （0，3）；∵把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，∴C （1，0）．设直线BD 的解析式为：y=kx+b ，∵点B （0，3），D （3，0）在直线BD 上，∴，解得k=﹣1，b=3，∴直线BD 的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）（x ﹣3），∵点B （0，3）在抛物线上，∴3=a ×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x+3．（2）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M （2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N 1（0，0）；（II ）若BD 为直角边，B 为直角顶点，则点N 在x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 2=3，∴N 2（﹣3，0）；（III ）若BD 为直角边，D 为直角顶点，则点N 在y 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．三、形成训练1．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形△ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论．2 ：已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在， 求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、（09年）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝31010。
二次函数综合问题(高考专题,含答案)
二次函数综合问题一、转化为最值问题（值域）1、设m 是实数，记M={m |m >1}，f(x)=log 3(x 2－4mx+4m 2+m+11-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则m ∈M ； (2)当m ∈M 时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m ∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 解：(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log 3［(x －2m)2+m+11-m ］, 当m ∈M 时，m>1,∴(x －m)2+m+11-m >0恒成立，故f(x)的定义域为R 。
反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx+4m 2+m+11-m >0。
令Δ＜0，即16m 2－4(4m 2+m+11-m )＜0，解得m>1，故m ∈M 。
(2)解析：设u=x 2－4mx+4m 2+m+11-m ，∵y=log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f(x)最小。
而u=(x －2m)2+m+11-m ，显然，当x=m 时，u 取最小值为m+11-m ，此时f(2m)=log 3(m+11-m )为最小值。
(3)证明：当m ∈M 时，m+11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3，当且仅当m=2时等号成立。
∴log 3(m+11-m )≥log 33=1。
2、x x f f bx ax x f a b a ==+=≠)(0)2()(02，并使方程，且，为常数，，已知有等根 （1）求()x f 的解析式；（2）是否存在实数()n m n m <,，使f(x)的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2。
解：0)2()(12=+=f bx ax x f ，且）（ ∴+=420a b又方程，即f x x ax bx x ()=+=2即有等根ax b x 210+-=()211004)1(2-===⨯⨯--=∆∴a b a b ，从而，即 x x x f +-=∴221)( 2121)1(2121)(222≤+--=+-=x x x x f ）（ 41212≤≤n n ，则有又f(x)在［m ，n ］上是增函数（或对称轴x ＝1≥n ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤<∴n n f m m f n m 2)(2)(41 解得，m n =-=20∴存在m ＝-2，n ＝0使f(x)的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］。
二次函数例题分析与解读
二次函数例题分析与解读在数学学科中，二次函数是一种非常重要且常见的函数形式。
它的一般表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
本文将从实际例题出发，分析并解读二次函数的特点、图像、性质以及应用。
例题一：设二次函数f(x)=2x^2+3x-2，求该函数的图像和顶点坐标。
解析：首先，我们可以通过绘制图像来直观理解函数的特性。
为此，我们可以利用平方完成的方法，将f(x)转化为标准形式。
根据平方完成的原则，我们将要计算的式子化简为f(x)=2(x^2+3/2x)-2。
接下来，我们需要利用平方完成的方法，将二次项的系数一半的平方加到式子中。
具体操作如下：f(x)=2[(x+3/4)^2-(3/4)^2]-2=2(x+3/4)^2-2(9/16)-2=2(x+3/4)^2-35/8现在我们可以看出函数f(x)的标准形式为f(x)=2(x+3/4)^2-35/8。
由标准形式可以得知，该二次函数的抛物线图像开口向上（因为a=2>0），顶点坐标为(-3/4, -35/8)。
例题二：已知函数f(x)的图像经过点(1,1)和(-2,8)，求该函数的表达式。
解析：我们可以借助已知的两个点来构建方程，以求得函数f(x)的表达式。
由于已知点(1,1)在f(x)上，可知f(1) = 1。
同样地，已知点(-2,8)在f(x)上，可知f(-2) = 8。
将x分别代入方程，我们可以得到两个方程：f(1) = a(1)^2+b(1)+c = a+b+c = 1f(-2) = a(-2)^2+b(-2)+c = 4a-2b+c = 8进一步整理以上两个方程，我们可以得到一个由a、b、c构成的线性方程组：a+b+c = 14a-2b+c = 8通过解该线性方程组，我们可以得到相应的a、b、c的值，进而确定函数f(x)的表达式。
综上所述，本文通过两个实际例题分析和解读了二次函数的特点、图像、性质以及应用。
通过这些例题的解析，我们可以更好地理解和掌握二次函数的相关知识，进一步提升数学解题能力。
高中二次函数综合问题解析
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解 析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯 粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出 一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实 现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常 重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二 次函数的一些综合问题.
二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性 质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像 特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.， 形象直观.
方法:
1．二次函数的图像关于直线对称轴对称， 特别关系—两根之和的 关系也反映了二次函数的一种对称性.
2. 二次函数的图像具有连续性。 3． 因为二次函数在各自区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最 大值、最小值必在区间端点或顶点处取得。
代理推理
数形结合
Hale Waihona Puke 深入研究由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、 顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时， 常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数 的有关性质.
方法:
1． 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独 立条件“确定”这三个参数.
2．利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式 3． 紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力
进入二次函数世界
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简 单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函 数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、 最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间 的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线 讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次 函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展 紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基 础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题 在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
《二次函数》的应用（附例题分析）
《二次函数》的应用（附例题分析）典型例题分析1：某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x=30时，w有最大值，此时wA=2000；B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，∴当x=35时，w有最大值，此时wB=1250，∵wA＞wB，∴A方案利润更高．考点分析：二次函数的应用；一元二次方程的应用．题干分析：（1）根据利润=（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B 方案的最大利润，然后进行比较。
这是一道与二次函数有关的实际应用问题，贴近生活，考生能学习生活知识，同时更帮助学生理解数学知识和生活之间的关系。
研究题目，吃透题型是数学学习最有效，最实际的学习探究行为。
重点高中数学专题二次函数综合问题
重点高中数学专题二次函数综合问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二次函数综合问题例谈1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1 已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f ,∴ ()1025≤≤f .例2 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=,∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. ∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f当10-≤≤x 时， ()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --= 例３ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<Θ, ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力例4 已知函数x z a x f 22)(-=。
二次函数综合(定值)问题与解析
成都市中考压轴题（二次函数）精选【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m 2+1，∵直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴， ∴点M 的纵坐标为﹣2，∴AM=m 2﹣1﹣（﹣2）=m 2+1，∴AO=AM ；（3）解：①k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，点A 、B 在x 轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴+=+=1；②k 取任何值时，设点A （x 1，x 12﹣1），B （x 2，x 22﹣1），则+=+==，联立，消掉y 得，x 2﹣4kx ﹣4=0，由根与系数的关系得，x 1+x 2=4k ，x 1•x 2=﹣4， 所以，x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=16k 2+8， x 12•x 22=16， ∴+===1，∴无论k 取何值，+的值都等于同一个常数1．点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A 、B 的坐标，然后用含有k 的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB 5，sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ，△QNR的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，35AB =5sin OAB ∠=5sin 3535BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得2222(35)36AD AB BD =-=-=．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ··················································· 2分 设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ····························· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形．①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．y F P 3BEC D A P 2P 1O则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，．而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······································································· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =． 将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=．∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，；而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点． ······································································ 1分③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，． 而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ········································································ 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ······················································· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················································· 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ································································· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例三】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
二次函数中常见的几种综合题型(含解析) ——适合中上
二次函数中常见的几类综合题型一求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．二求三角形周长及面积的最值问题3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．4. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．三为等腰或直角三角形是求点坐标问题5.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．6.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN•OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣ 1）或（0，﹣3）．四四边形与二次函数问题8、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．9.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直线的解析式是 y=x﹣，（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24，∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣x+，l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∵﹣＜0，∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15．10.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．。
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二次函数综合问题1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1 已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f ,∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f ,∴ ()1025≤≤f .例 2 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.∴ 当01≤≤-x 时，()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f当10-≤≤x 时，()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=例３ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.a x x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力 例4 已知函数x z a x f 22)(-=。
（1）将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求函数)(x g y =的解析式；（2）函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式；（3）设)()(1)(x h x f ax F +=，已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ，求实数a 的取值范围。
解：(1)()();22222---=-=x x a x f x g (2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,，由点Q 在()x g y =的图像上，所以 y ax x -=---22222， 于是 ,22222--+-=x x a y 即 ();22222--+-=x x a x h （3）22)14(2411)()(1)(+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=x x a a x h x f a x F . 设x t 2=，则21444)(+-+-=ta t a a x F . 问题转化为：7221444+>+-+-ta t a a 对0>t 恒成立. 即 ()0147442>-+--a t t aa 对0>t 恒成立. （*） 故必有044>-a a .（否则，若044<-a a ，则关于t 的二次函数()14744)(2-+--=a t t aa t u 开口向下，当t 充分大时，必有()0<t u ；而当044=-a a 时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数()14744)(2-+--=a t t aa t u 的对称轴0847>-=aa t ，所以，问题等价于0<∆t ，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-⋅-⋅->-0144447044a a a a a ， 解之得：221<<a . 此时，014,044>->-a a a ，故21444)(+-+-=t a t a a x F 在aa a t --=4)14(4取得最小值()214442+-⋅-=a aa m 满足条件. 2. 数形结合二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观. 2.1 二次函数的图像关于直线a b x 2-=对称， 特别关系a b x x -=+21也反映了二次函数的一种对称性.例 5 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a . 且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：x x 012<. 解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.由方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a, 可得 ,121021a x a b x <<--<<且ab x x a b 212121---=---, ∴ a b a a b x x a b 211212121---<---=---， 即 1x a b <-，故 x x 012<. 2.2 二次函数)(x f 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(<n f m f ⇔在区间()n m ,上，必存在0)(=x f 的唯一的实数根.例 6 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.分析：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .（1）由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b 两式相加得12<ab ，所以，10->x ; （2）由aa b x x 4)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又0121>=a x x ，所以21,x x 同号. ∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得 41<b 或47>b . 2.3 因为二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab 上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.例7 已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ().分析：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值.解：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(，∴ )0()),1()1((21)),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+=， ∴ f x ax bx c ()=++2()2221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 由-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，可得 ,1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f .∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f .（1）若[]2,22-∉-ab ，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -=∴ 此时问题获证.（2）若[]2,22-∈-a b ，则当[]2,2-∈x 时，)2,)2(,)2(max()(max ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a b f f f x f 又()72411214)1()1(2022422<=+⋅+≤--⋅+=⋅+≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f a b f b a b c a b c a b f ， ∴ 此时问题获证.综上可知：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ().。