第17章 固定收益证券的久期与凸度计算
《久期与凸度》课件
用风险等。
3
影响因素的分析
我们将分析各个因素对市场利率和债 券价格的影响，以帮助我们更好地理 解债券市场。
Байду номын сангаас
久期概念
基本定义
久期是指债券价格对利率变动的敏感性。
久期的特点
久期越高，债券价格对利率变动的敏感性越大，反之亦然。
关键影响因素
债券期限、票面利率、市场利率和债券价格的关系等因素都会对久期产生影响。
久期的计算方法
公式方法
表格方法
通过数学公式计算债券的久期。
利用Excel等软件进行计算，提 高计算效率。
在线计算器
利用互联网上的在线计算器， 快速准确地计算债券久期。
久期的应用
1
债券投资方面
利用久期来评估债券价格的风险和回报，帮助投资者合理配置投资组合。
2
债务管理方面
使用久期来管理公司负债结构，优化债务组合，降低融资成本。
价值投资
通过寻找久期和凸度不匹 配的债券，并对其进行价 值投资，在波动性较大的 债券市场上实现超额收益。
传统投资组合的风险控制方法
风险多样化
将不同行业、不同股票、不同 债券组合在一起，降低整个投 资组合的风险。
市值平衡
通过平衡不同股票和债券的市 值，降低整个投资组合的波动 性。
目标收益
通过预设目标收益，明确投资 组合的风险收益特征，制定相 应投资策略。
3
情景模拟
利用久期和凸度，对债券价格波动的不同情景进行模拟，制定应变措施，提高投 资组合的回报率。
久期和凸度的投资组合
动态平衡
在投资组合构建中，根据 不同债券的久期和凸度， 动态调整投资组合的持仓 比例，以保持投资组合的 风险回报平衡。
久期凸度的定义、表达式以及背后的数学原理
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：二、债券价格的计算公式：债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动越不敏感。
四、凸性的计算公式：凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
久期与凸度
，为YearConvexity的4倍。
例10：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票 息率都为5.5%，结算日为1999年8月2日，到期日为 2004年6月15日，每年付2次息，应计天数法则为 ACT/ACT。求凸度。 解：
21.1839 PerConvexity = 20.8885 84.7357
例4：一项投资各期现金流如上表，贴现率为 0.025，问该项投资的久期是多少？
解： >> cashflow= [2000 2000 3000 4000 5000]; >> [Durartion,
ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025) Durartion = 3.4533
• 这是重要的风险管理方法。在 同等要素条件下,修正久期小 的债券较修正久期大的债券抗 利率上升风险能力强,但抗利 率下降风险能力较弱。
王鑫
07级王鑫说：利率 上升风险是债券价 格下降的风险，这 时,修正久期小的债 券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为125美元， 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？
>> Yield=[0.05, 0.05, 0.06];>> CouponRate = 0.055;
>> Settle = '02-Aug-1999';>> Maturity='15-Jun-2004';
固定收益证券_久期与凸度的matlab计算
第一讲固定收益证券的matlab计算第一节固定收益基本知识固定收益证券: 一组稳定现金流的证券.广义上还包括了债券市场上的衍生产品及优先股.以债券为主.一. 固定收益的品种国债是固定收益的重要形式,以贴现债券(discount security)与息票债券(coupon bonds)两种形式发行.贴现债券: 发行价低于面值,不支付利息,在到期日获取面值金融的收益.息票:按一定的票息率发行,每隔一段时间支付一次利息,到期按面值金额赎回.美国的固定收益证券可以分为以下几个品种:1. (短期)国库券(Treasury bills, T-bills)期限小于一年,贴现发行,面值usu. 1~10万美元.是流动性最高的债券品种，违约风险小，其利率usu当作无风险利率。
2．政府票据（Treasury notes, T-notes）即美国中期国债，期限1~10年，是coupon.3. 长期国债（Treasury bonds, T-bonds）期限>10年，面值1~10万美元，是coupon.通常每半年付一息，到期偿本息。
4．零息票债券（Zero-coupon bond）零息票债券是指买卖价格相对布什有较大折让的企业或市政债券。
出现大额折让是由于债券并无任何利息，它们在发行时就加入折扣，或由一家银行除去息票，然后包装成为零息票债券发行，投资者在债券到期时以面值赎回。
零息票债券往往由附息债券所”剥离”出来:购买息票国债的经纪人可以要求财政部停止债券的现金支付,使其成为独立证券序列,这时每一证券都具有获得原始债券收益的要求权.如一张10年期国债被剥离成20张半年期债券,每张都可视为零息票,它们到期日从6个月到10年不等,最后本多支付是另一张零息证券,所有的支付都单独计算,并配有自己的CUSIP号码(统一由美国证券鉴定程序委员会颁布). 具有这种标识的证券都可以在联邦银行及其分支机构上进行电子交易,财政部仍旧具有支付责任.由于这种债券息票被“剥离”了,因此被称为本息剥离式国债STRIPS(separate trading of registered interest and principal of securities).1982年麻省海湾运输局发行了免税零息债券,标志着政府开始参与长期零息券的发行.1987年5月起,美国财政部也允许一个被剥离债券的息票重新组合成息票.5. 美国CD存单美国CD存单(certificate deposit): 由银行等金融机构向存款人改选的证券,存单上标有一个到期日和利率,并且以任意面值发行,可以买卖, 偿还期限小于1年.6. 回购协议(repurchase agreement)短期抵押贷款,是指一方向另一方出售证券的同时,承诺在未来的某一天按协定的价格将相同的证券买回,通常由借款方发起并贷出证券,回购中涉及的证券通常具有较高的信用质量.回购协议建立了货币市场和债券市场之间的联系.回购协议的步骤: (1) 以债券作为抵押借入资金; (2) 经过一段时间,按照约定的价格买回抵押债券.7. 可转换债券(convertible security)可转换债券(简称可转债)是一种具有固定收益的证券,其特点是持有者可以转换为普通股股票,在合约的条款中规定了可转换债券转换为普通股的条件,持有者决定何时转换为股票.可转换债券介于普通股和普通债券之间,故又称股票类连接证券. 可转债属于次级债券,如果企业破产,满足要求权的次序是:优先债权→次级债→可转债→优先股→普通股.可见,总体上看,可转债属于权益类证券,其特点是享有先于普通股获得股息偿付的优先权和较高的收益,并且有机会分离公司股份上涨的好处.8. 浮动利率债券(FRN))浮动利率债券(FRN, floating rate notes)是偿还期内利率发生变化的债券.如2010年3月到期,按委付息的浮动利率债券,其基准为3个月libor.浮动利率债券具有以下几个特征:①规定了利率上限与利率下限②基准利率大多为LIBOR，也可为汇率、股票指数、债券指数等；③利率可以正向浮动，也可以反向浮动。
固定收益债券久期和凸度[解说]
![固定收益债券久期和凸度[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/f6fc4f10773231126edb6f1aff00bed5b9f3731b.png)
固定收益债券久期和凸度久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。
很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。
在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。
久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。
它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。
久期收益率变化1％所引起的债券全价变化的百分比。
久期用来衡量债券价格对利率变化的敏感性。
债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。
在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌的幅度也较大。
因此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。
具体地说,有公式其中,dy表示收益率的变化,dP表示价格的变化,D*表示修正久期,C表示凸性。
修正久期的具体计算公式为修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。
在同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。
凸性利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。
凸性可以衡量这种误差。
凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。
凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。
严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
凸性的具体计算公式为当两个债券的久期相同时，它们的风险不一定相同，因为它们的凸性可能是不同的。
如图所示，两个债券的收益率与价格的关系为红线与绿线，内侧的曲线（绿线）为凸性大的曲线，外侧的曲线为凸性小的曲线(红线)。
在收益率增加相同单位时，凸性大的债券价格减少幅度较小；在收益率减少相同单位时，凸性大的债券价格增加幅度较大。
久期与凸性精品PPT课件
；
dP 3.790786764 1% 3.790786764 % ； P
$2,000,000 1 0.0379078676 4 $1,924.184.27 。
不同的“久期”对贷款价值的影响 (2)
若贷款协议签订后，市场利率从10%上 升到11%，对分期等额偿付法下的贷款 价值的影响为：
MD
330,578.51
$200,000
0.7513 148
$150,262.96
450,788.88
$200,000
0.683013455
$136,602 .69
546,410.76
$2,20 0,000
0.620921 323
$1,366,026 .91
6,830,134.55
$3,000,000
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“久期”的计算公式
对公式的解释
公式中的分母是利息和本金支付流的现值，即 债券的市场价格；而分子则是指：全部利息和 本金的现金流用相同的到期收益率(而不是使 用预期将来每一次支付发生时的即期利率)来 进行折现，然后，将所有经过折现后的现金流 的现值用作权重(weights)对各次支付所需要的 时间进行加权，最后再作加总
“久期”这个概念最早是由弗里德里克•麦考 莱(Frederick R. Macaulay)在1938年发表的一 篇研究文章中提出的，他在现值的基础上，衡 量了与金融工具(如附息债券)有关的现金流的 平均期限(the average of the stream of payment)
“久期”是债券的各期支付(包括息票的支付 与本金的偿还)所需时间长度的加权平均数。
$2,000,000.0.0
8,339,730.88
凸性与债券价格非付息期的计算
一.久期与凸性1、久期（仅针对分次附息债券.一次还本债.贴现债久期=剩余期限）（1） 久期含义：与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数。
可从期限角度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。
简化公式 （2）Macaulay 久期计算 D=1()()=⨯∑Tt PV ct tPD 1=1×[C 1/(1+r)]/p 0+2×[C 2/(1+r)2/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r)n]/p 0当每次现金流相同,公式简化为:D 1=011/(1)()(1)-+--+〈〉⨯nr cn n r p r r每年一次现金流D 1=22011/(1/2)/22()2(1/2)/2-+--+〈〉⨯nr c n n r p r r 半年一次现金流 甲债券,3年为期,年息票80元,面值1000元,到期收益率10%,现市价950.24元.求久期?D 1=1×[80/(1+0.1)]/950.24+2×[80/(1+0.1)2/950.24]+3×[(80+1000)/(1+0.1)3]/950.24 =1×0.0766 +2×0.0696+3×0.8539=2.78年（3）修正久期: D 2 = D 1/1+r(差异在于D 1用连续复利, D 2用离散复利,常用后者) (4) Fisher —w eil 久期:D 3 =1×[C 1/(1+r 1)]/p 0+2×[C 2/(1+r 1)(1+r 2)]/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r 1)(1+r 2)…(1+r n )]/p 0(差异在于r 随时而变) r 1、r 2…r n 用期限结构曲线计算。
组合D=1=∑ni it W D11==∑nit W其它久期计算:永久年金债券D=(1+ r)/ r固定年金债券D=[(1+ r)/r]－T/[(1+ r)T－1]T-年金支付次数 r-年金率带息债D=(1+ r)/r －{(1+ r)＋T(c －r)/c[(1+ r)T－1]＋r}c-每个付息期间息率 T-利息支付次数债券以面值出售时, D=[(1+ r)/r][1－1/(1+ r)T] 2.久期性质1)零息债息债久期=到期期限,有息债久期<到期期限 2)距到期日时间一定时,息票率越低,其久期越长, 3)当息票率一定时, 久期随距到期日时间延长而延长 4)其它因素不变, 到期收益率越低, 其久期越长, 3．久期与债券价格变化关系D 1 =1∆-+r r /∆PP ∆P P =11∆-+r D r ∆P P= —D 2×∆r 例: 乙债券, D 1为10年,到期收益率8%,现市价1000元.如r 由8%上升到9%,市价为多少?∆P P=11∆-+r D r = －10×((0.09－0.08)/1+0.08 = －9.26%∆P = －10×((0.09－0.08)/1+0.08×1000 =－92.6元P ＋∆P =1000－92.6 =907.4元4．债券凸性（1） 凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值收益率图中切线表示为：p(r+∆r )=p(r)+(dp/dr)∆r因dp/dr =—D 2×p(r) 故：p(r+∆r )=p(r)—D 2×p(r)∆r—D 2×p(r)为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。
久期与凸度-固定收益答案
固定收益证券练习题：久期与凸度1、已知一种息票利率为6%的债券每年付息,如果它离到期还有3年且到期收益率为6%,求该债券的久期.如果到期收益率为10%,久期又为多少？答：题目没说债券面值,则默认为1000.当到期收益率=6%时,计算过程如下：久期=2542.90/900.53=2.824 年.2、把下列两类债券按久期长短排序.a. 债券A：息票利率8%,20年到期,按面值出售；债券B：息票利率8%,20年到期,折价出售.b. 债券A：不可赎回,息票利率8%,20年到期,按面值出售；债券B：可赎回,息票利率9%,20年到期,也按面值出售.答：两者均为A大于B.a.债券B的到期收益率高于债券A,因为它的息票支付额和到期期限等于A,而它的价格却较低,因此,它的久期更短.b. 债券A的收益率更低,息票率也较低,两者都使得它比B的久期更长.而且,A不可赎回,这将使得它的到期期限至少与B一样长,也使得久期随之增加.3、一保险公司必须向其客户付款.第一笔是1年支付1000万元,第二笔是5年后支付400万元.收益率曲线的形状在10%时达到水平.a. 如果公司想通过投资于单一的一种零息债券以豁免对该客户的债务责任,则它购买的债券的期限应为多久？a.零息债券的久期为1.856 年b.零息债券的市场价值应为1157 万元,与债务的市场价值相等,因此,面值:4、a. 对拟定发行的债券附加赎回条款对发行收益有何影响？b.对拟定发行的债券附加赎回条款对其久期和凸度有何影响？a.1〕提供了较高的到期收益率,因为赎回的特性给发行人提供了一个有价期权,因为它可以按既定的赎回价格将债券买回,即使计划中的利息支付的现值比赎回价格要高.投资者因此会要求,而发行人也愿意支付一个较高的收益率作为该特性的补偿.〔2〕减少了债券的预期有效期.利率下降,债券可被赎回；利率上升,债券则必须在到期日被偿付而不能延后,具有不对称性.〔3〕缺点在于有被赎回的风险,也限制了利率下降导致的债券价格上涨的幅度,对价格收益率曲线影响体现在价格压缩.b.附加赎回条款后如果利率下降,则债券不会经历较大的价格上升.而且作为普通债券的特征的曲率也会因赎回特性而减小.使其久期下降,小于其他方面相同的普通债券的久期.可以看成零息债券,久期即为赎回债券时所经历的期限.对其凸度的影响体现在一个负凸性区间的存在.5、长期国债当前的到期收益率接近8%.你预计利率会下降,市场上的其他人则认为利率会在未来保持不变.对以下每种情况,假定你是正确的,选择能提供更高持有期收益的债券并简述理由.a. i. 一种Baa级债券,息票利率8%,到期期限20年；ii. 一种Aaa级债券,息票利率8%,到期期限20年.b. i. 一种A级债券,息票利率4%,到期期限20年,可以按105的价格赎回；ii. 一种A级债券,息票利率8%,到期期限20年,可以按105的价格赎回；c. i. 长期国债,息票利率6%,不可赎回,20年到期,YTM=8%；ii. 长期国债,息票利率9%,不可赎回,20年到期,YTM=8%.答：根据久期判断,选择久期较长的债券,可以在利率下降中获益.a. Aaa级债券的到期收益率较低而久期较长.b. 息票率较低的债券久期较长,具有更多的赎回保护.c. 选择息票率较低的债券,因为它的久期较长.6、以下问题摘自CFA试题：1〕一种债券的息票利率为6%,每年付息,调整的久期为10年,以800元售出,按到期收益率8%定价.如果到期收益率增至9%,利用久期的概念,估计价格会下降为：a. 76.56元b. 76.92元c. 77.67元d. 80.00元2〕一种债券的息票利率为6%,半年付息一次,在几年内的凸性为120,以票面的80%出售,按到期收益率8%定价.如果到期收益率增至9%,估计因凸性而导致的价格变动的百分比为：a. 1.08%b. 1.35%c. 2.48%d. 7.35%3〕有关零息债券的麦考利久期,以下说法正确的是：a. 等于债券的到期期限.b. 等于债券的到期期限的一半.c. 等于债券的到期期限除以其到期收益率d. 因无息票而无法计算.4〕每年付息的债券,息票利率为8％,到期收益率为10％,麦考利久期为9.债券的修正久期为：a. 8.18b. 8.33c. 9.78d. 10.005〕债券的利率风险会：a. 随到期期限的缩短而上升；b. 随久期的延长而下降；c. 随利息的增加而下降；d. 以上都不对.6〕以下哪种债券的久期最长？a. 8年期,息票利率6％；b. 8年期,息票利率11％；c. 15年期,息票利率6％；d. 15年期,息票利率11％.7、当前债券市场期限结构如下：1年期债券收益率7%,2年期债券收益率8%,3年期以上的债券收益率9%.一位投资者从1年、2年、3年期债券中选择,所有债券的息票利率均为8%,每年付息.如果投资者深信在年末收益率曲线的形状会在9%时达到水平,则投资者会购买哪种债券？3年期债券；由于年末收益率变为9%,对3年期债券不受影响,而1,2年期债券影响较大,价格下降,到期收益率低于预期.8、菲力普公司发行一种半年付息的债券,具有如下特性：息票利率8％,收益率8％,期限15年,麦考利久期为10年.a. 计算修正久期；b. 解释为什么修正久期是测度债券利率敏感性的较好方法；c. 确定做以下调整后久期变动的方向：i. 息票利率为4％,而不是8％；ii. 到期期限为7年而不是15年.d. 确定凸度,说明在给定利率变化的情况下,修正久期与凸度是怎样用来估计债券价格变动的.答：a. 调整后久期=麦考利久期/ <1+YTM>如果麦考利久期是10年,到期收益率为8%,则调整后的久期等于10/1.08= 9.26年.b. 对于无期权的息票债券而言,调整后久期是债券对利率变动敏感性的更高的测度标准.到期期限仅考虑了最后的现金流,而调整后的久期还包括了其他的因素,如息票支付的规模,时间以与利率<到期收益率>水平.调整后的久期,不像到期期限,它告诉我们对于给定的到期收益率的变动,债券价格的大致变动比例.c. i. 调整后久期随着息票利率的下降而上升.ii. 调整后久期随期限缩短而减小.d. 凸度测度债券的价格-收益率曲线的曲率.这一曲率表明对于债券价格变动的<仅以最初的收益率曲线的斜率为基础>久期法则仅是估计值.加入一个表示债券的凸度的项目将增加这一估计值的精确度.凸度调整表示下列等式中最后的一项,即平方项的一半.9、在今后的两年内每年年末你将支付10000元的学费开支.债券即期收益率为8%.a. 你的债务的现值与久期各是多少？b. 期限为多久的零息债券将使你的债务完全免疫？c. 假定你购入一零息债券使其价值与久期完全等于你的债务.现在假定利率迅速上升至9%.你的净头寸将会如何变化,即债券价值与你的学费债务的价值之间的差额是多少？答：a. 债务的PV=10000美元×年金系数< 8%,2>= 17832.65美元久期=1.4808年.b. 要使我的债务免疫,我需要一到期期限为1.480 8年的零息债券.因为现在的价值必须为.1或19985.26 美元.17832.65 美元,面值<即未来的赎回价>为17832.65×1.084808c. 如果利率上升到9%,零息债券价值下降为19985.26美元/ 1.0914808=17590.92 美元学费债务的现值下降为17591.11美元.净头寸下降0.19美元.如果利率下跌到7%,零息债券升值19985.26 美元/ 1.014808=18079.99美元,学费债务的现值上升为18080.18美元.净头寸下降0 . 1 9美元.净头寸变化的理由在于随着利率变动,学费支付后现金流的久期也变动.10、对一个持有长期资产却靠浮动利率债券来融资的公司而言,应持有哪种利率互换？答：不好说,视公司所持有的长期资产的本质特性而定.如果这些资产的收益率随着短期利率变动而变动,则采取利率互换是不适当的.但是,如果长期资产是诸如固定利率抵押贷款之类的固定利率的金融资产,则利率互换可能会减少风险.在这种情况下,公司将把它的浮动利率债券债务换成一固定利率的长期债务. 11、一公司发行了1000万元面值的浮动利率债券,其利率是LIBOR 加1%,该债券以面值出售.企业担心利率会上升,因此想将其贷款锁定在某一固定利率上.公司知道在互换市场上交易商提供LIBOR 和7%固定利率的互换,什么样的利率互换可以使该公司的利息债务转换成类似综合型固定利率贷款的债务？对该债务支付的利率是多少？ 答：选择利率互换协议；支付7％的固定利率即可.协议中同时收回LIBOR 利率,名义本金为1000 万元,总支付额为：10008%=80 万元万元组合时采用积极的策略.经济周期看来正进入成熟期,通胀率预计会上升,为了抑制通胀,中央银行开始采取紧缩的政策.在以下各种情况下,说明你会选择两种债券中的哪一种.a. 加拿大政府债券〔加元支付〕,息票利率10%,2007年到期,价格为98.75元,到期收益率为10.5%；加拿大政府债券〔加元支付〕,息票利率10%,2015年到期,价格为91.75元,到期收益率为11.19%.b. 得克萨斯电力公司债券,息票利率7.5%,2008年到期,AAA 级,价格为85元,到期收益率为10.02%；亚利桑那公共服务公司债券,息票利率7.45%,2008年到期,A －级,价格为75元,到期收益率为12.05%c. 爱迪生联合公司债券,息票利率2.75%,2006年到期,Baa 级,价格为61元,到期收益率为12.2%；爱迪生联合公司债券,息票利率15.37%,2006年到期,Baa 级,价格为114.4元,到期收益率为12.2%.d. 壳牌石油公司,息票利率8.5%的偿债基金债券,2024年到期,AAA 级〔偿债基金于2008年9月按面值开始〕,定价为68元,到期收益率为12.91%；华纳-蓝伯特公司,息票利率8.87%的偿债基金债券,2024年到期,AAA 级〔偿债基金于2013年4月按面值开始〕,定价为74元,到期收益率为12.31%.e. 蒙特利尔银行〔加元支付〕的利率8%的定期存单,2007年到期,AAA 级,定价100元,到期收益率为8%； 蒙特利尔银行〔加元支付〕的浮动利率债券,2012年到期,AAA 级,当前息票利率为7.1%,定价100元〔利率每半年根据加拿大政府3个月国库券利率加0.5%进行调整〕. 13、新发行的10年期债券,息票利率为7%,每年付息,按面值出售. a. 该债券的凸性和久期是多少？b. 假定其到期收益率由7%升至8%〔期限仍为10年〕,求债券的实际价格.c. 根据久期法则估算的价格是多少？这一方法的误差百分比是多少？d. 根据久期－凸性法则估算的价格是多少？这一方法的误差百分比是多少？答：a.凸性：63.736；久期：101.07/0.07[1(1/1.07)]7.515D =-=年；b.如果到期收益率上升到8%,债券价格下跌到面值的93.29%,下降百分比为6.71%14、长期债券价格波动性大于短期债券,但是短期债券的到期收益率的变动要大于长期债券.你怎样说明这两个经验观察是一致的？答：利率变动对长期债券影响大,因为长期债券的久期大于短期债券的久期.而且短期债券对利率不是很敏感,所以价格不会大幅波动.如果利率上升10基点,长期债券的价格下降幅度要大于短期债券的幅度.从另一角度讲,两者都有利息回报,可以进行再投资收益.但短期债券的价格受资金的影响更大.15、固定收益型资产组合经理要求现值100万元的投资经过5年的投资年收益率不得低于3％.3年后,利率为8％,则届时投资的临界点是多少？即经理将不得不进行免疫以确保获得最低可能的收益之前,资产组合价值会跌至多少？基金经理愿意接受的最小终值由初始投资的每年3%的收益率决定.因此,下限等于5100(1.03)116D =⨯=万美元.初始投资3年后,只剩下2年,此时基金经理需要价值2116/1.0899.4=万美元的资产组合以确保其目标价值可以实现,此为临界点.16、30年期债券,息票利率为7％,每年付息,现价为867.42元.20年期债券,息票利率为6.5％,每年付息,现价为879.50元.债券市场分析家预测5年后,25年期的债券将以到期收益率8％的价格出售,而15年期债券将以7.5％到期收益率的价格卖出.5年内哪种债券的预期收益率更高？答：30年期债券,从第6年末到30年末支付的现值〔在第5年年初〕为： 从开始到第5年的5次支付在第5年年初的终值512170 1.06394.60t A t P -==⨯=∑因此总收入：12893.25394.601287.85A A A P P P =+=+= 5年的收益为1/51287.85/867.62 1.485, 1.48518.23%=-=年均；20年期债券：911.73366.411278.14,1278.14/879.50 1.453,7.76%B P =+==收益为年均17、你的公司DNC,将接受一家大型捐赠基金的投资委员会的面试,看是否有能力管理价值1亿元的指数化的固定收益型资产组合.因为该委员会尚未决定使用三种指数中的哪一种作为他们的投资基准,此次面谈的重点即在于此.有关三种指数的信息如下表,另外,DNC 公司知道委员会已经采纳了一项长期的且具有高出平均风险承受力的积极的总体投资政策.在过去的几年中,利率水平与其波动性不断下降.委员会相信这一趋势仍会持续,并且正在深入考察关于指数化资产组合在各种不同的利率条件下的可能业绩. 名称 各部门综合信息 指数1 指数2 指数3 美国财政部 50 50 80 美国公司代理机构 10 10 10 投资级1010 5低于投资级 5 5 0住房抵押20 25 5扬基债券 5 0 0总计100 100 100修正久期指标 5.0 8.0 8.0到期收益率指标7.50 8.05 8.00两种情景是：i. 利率普遍降低,但同时伴随着不断上升的风险.ii. 利率自始至终一直不变,但风险一直很高.a. 根据表中数据,将三种指数按在两种情景下相对的吸引力程度排序,并说明你的理由.b. 推荐一种指数作为委员会使用的基准资产组合并说明理由,考虑你对a的答案与你从委员会的投资策略中所获得的信息.c. 假定委员会已经选定了一种指数作为基准,DNC公司被任命构建和管理该指数化资产组合.试说明构建指数化固定收益型资产组合有关的实际问题.试找出两种构建资产组合的方法并简述之,并讨论每种方法的优劣.a.第一种情况：1>3>2;第二种情况：2>3>1b.选1c.可能存在种类的变化；包括的种类过多,按市值比重购买难度大,耗时耗力；流动性问题,可能有些不易买卖.18、作为你对W公司发行的债券分析的一部分,需要对下表所示的两种特定债券作出评估.项目W公司的债券信息债券A〔可回购〕债券B〔不可回购〕到期期限2014 2014息票利率〔%〕11.50 7.25当期价格/元125.75 100.00到期收益率〔%〕7.70 7.25修正久期/年 6.20 6.80回购日2008 －回购价格/元105 －回购收益〔%〕 5.10 －修正回购久期/年 3.10 －a. 根据表中的久期与收益情况,比较两种债券在以下两种情况下的价格和收益情况：i. 强有力的经济复苏同时伴随着高通胀预期；ii. 经济衰退与低通胀预期.b. 根据表中的信息,如果债券B到期收益率下跌75个基点,计算它预期的价格变动.c. 试论述在分析债券A时严格限定为持有到回购日或到期日的缺陷.答：a.i.债券收益率与利率很可能上升,债券价格将下降,可赎回债券被赎回的概率下降,更类似与不可赎回债券.它们在按到期期限定价时久期相同,可赎回债券稍低久期的特性使其在高利率下表现更好；ii.债券收益率与利率很可能下降,而债券价格将上升,可赎回债券可能被赎回,相应久期计算调整回赎回时.稍低的久期表明,价格的增值是有限的.但不可赎回债券调整后的久期相同,具有更高的价值增值.-⨯（-0.75）5.1,因此价格将上升到105.1元b. 6.80%=%c.对于可赎回债券来说,债券有效期与现金流不确定.如果忽略赎回,在到期期限上分析,所有关于久期和收益率计算将不可靠.因为久期偏高,所以收益率也偏高.另外,如果从看涨期权出发,债券超过赎回价格的溢价使得久期偏短,从而导致收益率下降.使用期权定价方法,可赎回债券分解成两种独立债券,一个不可赎回债券和一份期权.可赎回债券价格=不可赎回债券价格—期权的价格,由于赎回债券期权有正的价值,因此可赎回债券价格小于不可赎回债券.。
债券到期收益率久期凸性公式
债券到期收益率久期凸性公式债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。
凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。
债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。
这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。
久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算公式如下：久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY）其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。
然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。
凸性的引入填补了这一缺陷。
凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。
凸性的计算公式如下：凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为：P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0)其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。
通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。
将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式：久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP其中，ΔP是债券价格的变化。
债券凸性的计算公式
债券凸性的计算公式：
对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y ，如果第t 年所得的现金流为C ，它的现值为，那么债
券的理论价格就是各期现金流的现值和
下面我们来求
的泰勒级数前三项展开式．
的一阶导数为
111(1)
T t
t
t t CF y y =⨯=-++∑ 的二阶导数为
2
1
(1)1
(1)(1)T
t
t
t t t CF y y =+=
++∑
根据泰勒级数公式,债券价格的近似计算公式为
将一阶导数和二阶导数代入上式，有：
或者
令
令1111
(1)(1)(1)
T T
t t t t
t t t CF CF dP D P dy y y y ==⨯=-=÷+++∑∑ 是债券现金流的加权平均期限，被称为久期,表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间所支付的现金流的现
值占整个现金流的百分比,修正值D*=D ＊
，经济含义是债
券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标．
令22211(1)11
(1)(1)(1)
T
T t t t t
t t t t CF CF d P C P dy y y y ==+==÷+++∑∑ 被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积的加权修正
值,权数是现金流的现值占整个现金流的百分比，不同于久期的
是，其修正值为
．
因此，债券价格的近似公式简化为: =。
《金融数量分析 》第17章 固定收益证券的久期与凸度计算
份。0代表债券的红利发放日总是固定的一天，默认1代表是在实际的每个月末。
➢ IssueDate ：（可选项）债券发行日期。 ➢ FirstCouponDate： （可选项）第一次分红日。当FirstCouponDate和
17.2 价格与收益率的计算
17.2.1 计算公式
1． 一次还本付息债券的定价公式 债券的价格等于来自债券的预期货币收入按某个利率贴现的现值。在确定债
券价格时，需要估计预期货币收入和投资者要求的适当收益率（称必要收益率）。 对于一次还本付息的债券来说，其预期货币收入是期末一次性支付的利息和本金， 必要收益率可参照可比债券得出。如果一次还本付息债券按复利计息、按复利贴 现，其价格决定公式为
Duryk为第k个债券的久期;Wk为第k个债券市值占比权重。 债券组合凸度的计算公式
Convpk为第k个债券的凸度；Wk为第k个债券市值占比权重。
时出现时，FirstCouponDate优先决定红利发放结构。 ➢ LastCouponDate: (可选项)到期日的最后一次红利发放日。当FirstCouponDate没标
明时，LastCouponDate决定红利发放结构。红利发放结构无论LastCouponDate是 何时，都以其为准，并且紧接着债权到期日。 ➢ StartDate: (可选项)债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时，用 它标明未来的日期，如果没有特别说明StartDate，起始日是settlement date。 ➢ Face: (面值)默认值是100元。 输出参数： ➢ Price：价格（净价），全价=净价+结算日利息。 ➢ AccruedInt：结算日的利息。
久期和凸性分析范文
久期和凸性分析范文久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。
它表示债券的平均回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。
久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。
久期的计算方法有两种：修正久期和加权久期。
修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的影响。
加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。
久期计算公式如下：修正久期=Σ(CFt*t)/P加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。
凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。
它表示债券价格变动与利率变动之间的关系。
凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅度大于利率下降时债券价格上升的幅度。
凸性为负则相反。
凸性的计算方法如下：C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2)其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。
久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。
首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。
当投资者预计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。
其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。
当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的回报。
此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。
投资者可以通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。
例如，投资者可以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。
同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变动的曲线形状的平衡。
综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。
久期帮助投资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对利率变动的曲线形状。
通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。
固定收益证券_久期与凸度地matlab计算
第一讲固定收益证券的matlab计算第一节固定收益基本知识固定收益证券：一组稳定现金流的证券.广义上还包括了债券市场上的衍生产品及优先股.以债券为主.一.固定收益的品种国债是固定收益的重要形式,以贴现债券(discount security) 与息票债券(coupon bon ds)两种形式发行.贴现债券：发行价低于面值，不支付利息，在到期日获取面值金融的收益. 息票:按一定的票息率发行，每隔一段时间支付一次利息，到期按面值金额赎回.美国的固定收益证券可以分为以下几个品种：1.(短期)国库券(Treasury bills, T-bills)期限小于一年,贴现发行,面值usu. 1~10万美元.是流动性最高的债券品种，违约风险小，其利率usu当作无风险利率。
2.政府票据(Treasury notes, T-notes )即美国中期国债，期限1~10年，是coupon.3.长期国债(Treasury bon ds, T-bonds )期限＞10年，面值1~10万美元，是coupon.通常每半年付一息，到期偿本息。
4.零息票债券(Zero-coup on bond )零息票债券是指买卖价格相对布什有较大折让的企业或市政债券。
出现大额折让是由于债券并无任何利息，它们在发行时就加入折扣，或由一家银行除去息票，然后包装成为零息票债券发行，投资者在债券到期时以面值赎回。
零息票债券往往由附息债券所”剥离”出来：购买息票国债的经纪人可以要求财政部停止债券的现金支付，使其成为独立证券序列，这时每一证券都具有获得原始债券收益的要求权.如一张10年期国债被剥离成20张半年期债券，每张都可视为零息票，它们到期日从6个月到10年不等，最后本多支付是另一张零息证券,所有的支付都单独计算,并配有自己的CUSIP号码(统一由美国证券鉴定程序委员会颁布).具有这种标识的证券都可以在联邦银行及其分支机构上进行电子交易，财政部仍旧具有支付责任•由于这种债券息票被“剥离” 了,因此被称为本息剥离式国债STRIPS(separate trading of registered interest and prin cipal of securities).1982年麻省海湾运输局发行了免税零息债券，标志着政府开始参与长期零息券的发行•1987年5月起,美国财政部也允许一个被剥离债券的息票重新组合成息票.5.美国CD存单美国CD存单(certificate deposit): 由银行等金融机构向存款人改选的证券，存单上标有一个到期日和利率，并且以任意面值发行,可以买卖，偿还期限小于1年.6.回购协议(repurchase agreement)短期抵押贷款，是指一方向另一方出售证券的同时，承诺在未来的某一天按协定的价格将相同的证券买回，通常由借款方发起并贷出证券，回购中涉及的证券通常具有较高的信用质量.回购协议建立了货币市场和债券市场之间的联系.回购协议的步骤：(1)以债券作为抵押借入资金；(2)经过一段时间,按照约定的价格买回抵押债券.7.可转换债券(convertible security)可转换债券(简称可转债)是一种具有固定收益的证券，其特点是持有者可以转换为普通股股票，在合约的条款中规定了可转换债券转换为普通股的条件，持有者决定何时转换为股票•可转换债券介于普通股和普通债券之间，故又称股票类连接证券•可转债属于次级债券，如果企业破产，满足要求权的次序是：优先债权次级债可转债优先股普通股•可见，总体上看，可转债属于权益类证券，其特点是享有先于普通股获得股息偿付的优先权和较高的收益，并且有机会分离公司股份上涨的好处•8•浮动利率债券（FRN））浮动利率债券（FRN, floating rate notes）是偿还期内利率发生变化的债券•如2010年3月到期,按委付息的浮动利率债券,其基准为3个月libor.浮动利率债券具有以下几个特征：①规定了利率上限与利率下限②基准利率大多为LIBOR也可为汇率、股票指数、债券指数等；③利率可以正向浮动，也可以反向浮动。
久期及凸度讲解
A、久期公式及其推导
P0 1 2CF3 TCFT 1 1 1CF1 2 y P0 1 y (1 y) (1 y) (1 y)T P0
1CF1 2CF3 TCFT 1 1 T CFt 令 D 2 T t (1 y ) (1 y ) (1 y ) P P (1 y ) 0 0 t 1 我们称之为Macualay久期。从而我们有， P0 1 1 D y P0 1 y
A、久期公式及其推导
CFt t T 1 (1 y )t D P P t 1 0 0 CFt t t (1 y ) t 1
T
t:债券产生现金流的各个时期； T：债券到期期限； y:债券的到期收益率，也即利率； CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
P0 V
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2CF3 TCFT 1 1CF1 2 T 1 y (1 y) (1 y) (1 y)
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标
金融学笔记久期与凸性衡量债券价格风险的常用指标关于久期，一篇科普性质的文章可见：本文将稍显晦涩。
关于债券价格，首先明确，债券的价格是其产生的未来现金流按到期收益率贴现的现值。
我们认为市场中有利率期限结构（Term Structure of Interest Rates），它实际上是即期利率（Spot Rate）曲线，精确地说，是各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。
用C表示现金额，y表示利率期限结构中的到期收益率，则：到期收益率曲线非水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}}特殊地，到期收益率曲线水平时：P=\sum_{t=1}^{n} \frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}久期在讨论久期和凸性时，我们始终关心的是利率变动和价格之间的关系。
如果到期收益率有一个微小的变化，债券价格的变化应该是债券价格的全导数：\operatorname d P=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname d y_{t}旨在建立实用的久期概念，我们不做严格的数学推导，而因此做一系列近似。
我们假设到期收益率曲线在变化时平行移动，并且提出一个近似的共同因子，便有：\begin{aligned} \operatorname d P&=\sum_{t=1}^{n} \frac{-t \cdot C_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t+1}}\; \operatorname dy_{t}\\&\appro-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} \frac{t \cdotC_{t}}{\left(1+y_{t}\right)^{t}} \; \operatorname d y\end{aligned}有时我们用V(C_t)表示一笔现金的现值，用d_t表示折现因子，上式也可以写成：\begin{aligned} \operatorname d P&=-\frac{1}{1+y}\sum_{t=1}^{n} t \cdot V(C_t) \; \operatorname d y\\ &=-\frac{1}{1+y} \sum_{t=1}^{n} t \cdot d_tC_t \; \operatorname d y \end{aligned}出于我们的目的，自然是要考察 {\operatorname dP/P\over\operatorname dy} ，这刻画了市场利率变化时债券价格的变化程度。
固定收益证券久期和凸性
简介
• 债券的价格风险（或者等价的称为利率风 险）指的是由于市场中利率的变化所引起 的价格的变化。
PVBP or DV01
• DV01 (PVBP)测量的是当收益率变化一个基 点（0.01%）时债券价格的变化。
• 假设P为债券的价格，y为债券的收益率， 一阶导数dP/dy测量了当收益率变化时价格 的变化。
久期和凸性
上次内容
• 债券定价
剩余息票支付次数为整数 剩余息票支付次数不为整数 应付利息 零息债券
• 收益率的测量 • 价格和收益率的关系
本次主要内容
• 债券价格风险的测量 • 一个基点的价格值（price value of a basis
point or PVBP） • 久期（Macaulay duration） • 修正久期(modified duration) • 凸性
组合风险管理
• 解此方程组可得： n2 46.8, n10 30.4 x2 63%, x10 37%
久期的局限性
• 例子： • 考虑一个债券，其息票利率为7.25%，到期
日为2022年2月15日，交割日为1992年9月 10日，报价为100.40695，如果收益率增加 200个基点，则其价格变动多少？（该债券 的修正久期为12.12）
• 修正久期是指收益率的变化引起的价格的百分
比变化。
MD dP / P dy
• 经过这样的修正，人们可将债券收益率的变动 直接与修正久期相乘，从而得到债券价格百分 率的变动：
dP MD dy P
久期（Duration）
• 修正久期比麦考利久期小 MD D • 修正久期越长，债券风险越大 1 y
P
4
104 101.903764
债券“价格-收益率”关系图的“曲线美”品职CFA学霸笔记Vol.17
债券“价格-收益率”关系图的“曲线美”品职CFA学霸笔记Vol.17固定收益这一块，很多人都认为很难，但实际如何呢？据统计，得分率却相对不低。
因为它属于非常有逻辑和章法的内容，只要足够花心思去理解，尤其是掌握好几大难点，还是很容易在考场上拿分的。
上周，我们也是开启了固收这门课的学霸笔记，不知道小伙伴们有没有每周跟着我们学习一个知识点呢？错过的可以戳下面的文章链接跳转哦八一八“久期”有多讨厌！|品职CFA学霸笔记Vol.16今天小妞就接着聊聊久期的好伙伴——凸性（Convexity）。
本来简简单单一条直线为啥非得掰弯？话说凸性这个概念出现之前，评判某支债券的利率风险，也就是债券价格随着收益率变化的关系，是用久期这个概念来衡量的。
人们在麦考林久期的基础上得到了修正久期，作为斜率因子来反映“价格-收益率”这条直线的陡峭程度，也就反映出价格随利率变化的快还是慢。
但这个久期有个缺点是只适用于普通债券，对含权债券比如可赎回债券（callable bond）等等就会明显出错。
人们很奇怪，干脆通过已有数据来观察利率变动对价格的影响，反推出久期的大小（也就是有效久期），结果发现，很多债券在不同的价格/利率变动区间有不同的久期结果；也就是说债券价格与收益率确实呈现反向关系（久期为负），但是这个关系往往不是斜率恒定的简单直线，而是一条曲线！这就非常头痛了，因为久期本身会随着利率的变化而变动，这就意味着仅用久期无法作为一个恒定的属性来描述债券本身的利率风险！当然，如果利率只是小幅波动，那么久期还是可以较好地衡量价格变动；如果利率大幅变动，那么仅仅用直线无法准确抓住利率改变对价格造成的变动。
我们需要使用真正的曲线、需要考虑斜率本身的变化。
这个时候，曲线的曲度（curvature）——斜率的变化率（一阶导）就被引入了。
微积分不好，我是不是就得讨厌凸性？说到这里，大家应该会有个“不祥的预感”：这个“曲度”，就是咱们债券世界的凸性吧……是滴！凸性本尊，说白了就是久期对利率的敏感程度，即有效久期的一阶导。
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对于一年付息一次的债券来说，按复利贴现的价格决定公式为
式中：P为债券的价格；C为每年支付的利息；M为票面价值；n为所余年数；r为 必要收益率；t为第t次。
17.2.1
计算公式
3. 到期收益率 一般地讲，债券收益率有多种形式，以下仅简要介绍债券的内部到期收益率
的计算。内部到期收益率在投资学中被定义为把未来的投资收益折算成现值使之
17.2.2
债券定价计算
2. prdisc函数 MATLAB的Financial Toolbox提供计算折价债券价格的prdisc函数。 函数语法： Price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis) 输入参数 Settle：作为序列时间号或日期串进入，必须早于或等于到期日； Maturity：作为日期串进入； Face：票面价值； Discount：债券的银行折现率，是分数； Basis：计算日期的基础。 输出参数： Price：价格（净价）。
《金融数量分析——基于MATLAB编程 》
17.1 基本概念
固定收益证券也称为债务证券，是指持券人可以在特定的时间内取得固定的收 益并预先知道取得收益的数量和时间，如固定利率债券、优先股股票等。
固定收益证券能提供固定数额或根据固定公式计算出的现金流。
按照我国现在已有的固定收益证券的品种，可以把他们简单地分为4 类： ① 信用风险可以忽略的债券，包括国债、央行票据、金融债和有担保企业债；
StartDate: (可选项)债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时，用
它标明未来的日期，如果没有特别说明StartDate，起始日是settlement date。 Face: (面值)默认值是100元。 输出参数：
Price：价格（净价），全价=净价+结算日利息。
AccruedInt：结算日的利息。
式中：P为债券的价格；M为票面价值；i为每期利率； n为剩余时期数；r为
必要收益率。
17.2.1
计算公式
2． 附息债券的定价公式 对于按期付息的债券来说，其预期货币收入有两个来源：到期日前定期支付 的息票利息和票面额。其必要收益率也可参照可比债券确定。为清楚起见，下面 分别以一年付息一次和半年付息一次的附息债券为例，说明附息债券的定价公式。
到期日（maturity）指固定收益证券债务合约终止的日期。
4． 本金 本金（principal）有时称面值（par value），是指固定收益票面金额。 一般情况下，债券的面值为100元。 5． 票面利率 票面利率（Coupon rate）即发行人支付给持有人的利息，有时也称名 义利率（nominal rate）。
17.2.3
债券收益率计算
IssueDate ：（可选项）债券发行日期。
FirstCouponDate： （可选项）第一次分红日。当FirstCouponDate和
LastCouponDate同时出现时，FirstCouponDate优先决定红利发放结构。 LastCouponDate：（可选项）到期日的最后一次红利发放日。当FirstCouponDate
17.1 基本概念
6． 月末法则
月末法则（end of month ruler）指当债券到期日在某月的最后一天，如果该月天 数小于30天，这时有两种情况： ① 到期日在每月固定日期支付； ② 票息在每月的最后一天支付。 MATLAB默认的是第②种情况。
7． 起息日到交割日的天数 起息日到交割日的天数(Days from Coupon to Settlement,DCS）是指从计息日 （含）到交割日（不含）之间的天数。 注意：付息日作为下一个利息期限的第一天而不计入DCS。 8． 交割日距离到期日的天数 交割日距离到期日的天数(Days from Settlement to Maturity,DSM）:其一般规则是 包括交割日而不包括到期日。这样买方有动力尽早交易，获得当天收益；卖方在交 割当天就获得资金的使用权。
17.2.2
债券定价计算
例17.2 固定收益证券,折现率为8.7%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002 年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计息方式为实际值/实际值,计算证券的价格。 代码如下:
%交割日为1997-1-20 Settle='20-Jan-1997'; %到期日为2002-6-15 Maturity='15-Jun-2002'; %利息分配为一年两次 Period=2; %计息方式为(实际值/实际值) Basis=0; %票面价格 Face=100; %折价率 Discount=8.7/100; %调用prdics函数 price=prdisc(Settle,Maturity,Face,Discount,Basis); 输出结果为： 52.9962
%表面利率都为5% CouponRate=0.05; %交割日为1997-1-20 Settle='20-Jan-1997' %到期日为2002-6-15 Maturity='15-Jun-2002' %利息分配为一年两次 Period=2; %计息方式为(实际值/实际值) Basis=0; %债券价格为(列向量) Price=[104.8106;99.9951;95.4384] %调用bndyield函数 Yield=bndyield(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period ,Basis)
17.2.2
债券定价计算
例17.1 三种固定收益证券,到期利率分别为4%、5%、6%,票面利率为5%,结算日(或 交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次(6月底与12月底),计 息方式为实际值/实际值,分别计算三种证券的价格及结算日的利息。 代码如下:
%三种债券的到期收益率 Yield=[0.04;0.05;0.06]; CouponRate=0.05; %交割日为1997-1-20 Settle='20-Jan-1997'; %到期日为2002-6-15 Maturity='15-Jun-2002'; %利息分配为1年两次 Period=2; %计息方式为（实际值/实际值） Basis=0; [Price,AccruedInt]=bndprice(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis) 输出结果为 Price = 104.8106 99.9951 95.4384
17.2.3
债券收益率计算
例17.3 三种固定收益证券,净价分别为104.8106元、99.9951元、95.4384元,票面利 率为5%,结算日(或交割日)为1997年1月20日,到期日为2002年6月15日,每年付息2次 (6月底与12月底),计息方式为实际值/实际值,分别计算三种证券的到期收益率。
17.2.2
债券定价计算
EndMonthRule: (可选项)月末规则，应用在到期日是在小于等于30天的月份。0代 表债券的红利发放日总是固定的一天，默认1代表是在实际的每个月末。 IssueDate: (可选项)发行日期。 FirstCouponDate: (可选项)第一次分红日。当FirstCouponDate和LastCouponDate同 时出现时，FirstCouponDate优先决定红利发放结构。 LastCouponDate: (可选项)到期日的最后一次红利发放日。当FirstCouponDate没标 明时，LastCouponDate决定红利发放结构。红利发放结构无论LastCouponDate是 何时，都以其为准，并且紧接着债权到期日。
17.2 价格与收益率的计算
17.2.1 计算公式
1． 一次还本付息债券的定价公式
债券的价格等于来自债券的预期货币收入按某个利率贴现的现值。在确定债 券价格时，需要估计预期货币收入和投资者要求的适当收益率（称必要收益率）。 对于一次还本付息的债券来说，其预期货币收入是期末一次性支付的利息和本金， 必要收益率可参照可比债券得出。如果一次还本付息债券按复利计息、按复利贴 现，其价格决定公式为
没标明时，LastCuponDate决定红利发放结构。红利发放结构无论LastCouponDate
是何时，都以其为准，并且紧接着债权到期日。 StartDate：（可选项）债权实际起始日（现金流起始日）。当预计未来的工具时， 用它标明是个未来的日期，如果没有特别说明StarDate,起始日是settlement date。 Face：（可选项）面值。默认值是100元。 输出参数： Yield：到期收益率。
成为购买价格或初始投资额的贴现率。对于一年付息一次的债券来说，可用下列 公式得出到期收益率。
式中：P为债券价格；C为每年利息收益；F为到期价值； n为时期数（年数）； Y为到期收益率。
17.2.2
债券定价计算
1． bndprice函数 MATLAB的Financial Toolbox 提供计算债券价格的bndprice函数。 函数语法： ［Price,AccruedInt］=bndprice(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis, EndMonthRule,IssueDate,FirstCouponDate, LastCouponDate,StartDate,Face) 输入参数： Yield:半年为基础的到期收益。 CouponRate:分红利率。 Settle: 结算日期，时间向量或字符串，必须小于等于到期日。 Maturity:到期日,日期向量。 Period: (选择项)，年分红次数，默认值2，可为0、1、2、3、4、6、12。 Basis: (选择项)，债券的天数计算法。 默认值为0（实际值／实际值），可为1 （30/360）、2（实际值/360）、3（实际值/365）