1999-2001年高考理科数学试题

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M ，P ，S 是I 的3 个子集，则阴影部 分所表示的集合是 A .（M ∩P ）∩S B .（M ∩P ）∪SC ．（M ∩P ）∩SD ．（M ∩P ）∪S2.已知映射B A f →:，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是A .4B .5C .6D .73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于A .aB .1-a C .b D .1-b4.函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M a f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上 A .是增函数 B .是减函数 C .可以取得最大值M D .可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是A .x sinB .x cosC .x 2sinD .x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 A .直线3πθ=轴对称B .直线πθ65=轴对称 C .点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称D .极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 A .cm 36 B .cm 6 C .cm 3182 D .cm 3123 8．若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为 A .1 B .－1 C .0 D .2 9.直线323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为A .6π B .4π C .3π D .2π 10.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为3 的正方形，EF ∥AB ， EF 23=，EF 与面 AC 的距离为2，则该多面体的体积为A .29 B .5 C .6 D .215 11．若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈αA .⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππB .⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π C .⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π D .⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ 12．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么=R A .10 B .15 C .20 D .25D 1D C 1B 1A 1EC B A 13．已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足||||NP MP =的所有曲线方程是A .①③B .④C .①②③D .②③④ 14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A .5种B .6种C .7种D .8种第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15．设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____．16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）． 17．若正数a ，b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________．18．α，β 是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断： ①n m ⊥ ②βα⊥③β⊥n ④α⊥m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：___________．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分10分）解不等式()1,01log 22log 3≠>-<-a a x x a a ．20．（本小题满分12分）设复数.sin 2cos 3θθ⋅+=i z 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=20arg πθθz y 的最大值以及对应的θ值．21．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面 ABCD 所成的角为45,AB a =． (Ⅰ)求截面EAC 的面积；(Ⅱ)求异面直线 11B A 与AC 之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥EAC B -1的体积． 22．（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．(Ⅰ)输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r ．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ （一对轧辊减薄率 输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=） (Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ．若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）． 23．（本小题满分14分）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤n n y n 时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()n f x n =(1,2,)n =定义．(Ⅰ)求1x ，2x 和n x 的表达式；(Ⅱ)求()x f 的表达式，并写出其定义域；(Ⅲ)证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点．24．（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．23B ．i 32-C ．i 33-D ．3i 3+3．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是A ．23B ．32C ．6D ．6 4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若α，β是第一象限角，则βαcos cos > B ．若α，β是第二象限角，则βαtg tg > C ．若α，β是第三象限角，则βαcos cos > D ．若α，β是第四象限角，则βαtg tg > 5．函数x x y cos -=的部分图象是A ．B ．C ．D ． 6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分5% 超过500元至2000元的部分10% 超过2000元至5000元的部分15% … … 的当月工资、薪金所得介于A.800~900元 B ．900~1200元 C ．1200~1500元 D ．1500~2800元 7．若1>>b a ，lg lg P a b ⋅，()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q 8．以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρC ．()1cos 2-=θρD ．()1sin 2-=θρ 9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+10．过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x 33 D ．x 33- 11．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段,PF FQ 的长分别是p ，q ，则qp 11+等于A ．a 2B ．a 21C ．a 4D ．a4O AF A D D E C B 1A 1CB A D D 1C 1A 1CB B 112．如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为A ．321arccosB ．21arccosC ．21arccosD ．421arccos第II 卷（非选择题 90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． 13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．14．椭圆14922=+y x 的焦点为1F ，2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a na na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________． 16．如图，,E F 分别为 正方体的面11A ADD 、 面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正 方体的面上的射影可能 是_______．（要求：把三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R x ∈．（I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由()R x x y ∈=sin 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 18．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒．（I ）证明：BD C C ⊥1； （II ）假定2=CD ，C C 1=23，记面BD C 1为α．面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；（III ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．19．（本小题满分12分）设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．（I ）解不等式()1≤x f ； （II ）求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．20．（本小题满分12分）（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ． （II ）设{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列． 21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()t f P =；（I ）写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()t g Q =；（II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天） 22．（本小题满分14分） 如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.,0cos sin >θθ则θ在A .第一、二象限B .第一、三象限C .第一、四象限D .第二、四象限 2.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是 A .4)1()3(22=++-y x B .4)1()3(22=-++y x C .4)1()1(22=-+-y xD .4)1()1(22=+++y x3.设{a n }逆增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A .1 B .2 C .4 D .64.若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是 A .)21,0( B .]21,0( C .),21(+∞D .),0(+∞5.极坐极方程)4sin(2πθρ+=的图形是A .B .C .D . 6.函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是A .)20)(1arccos(≤≤--=x x y B .)20)(1arccos(≤≤--=x x y π C .)20)(1arccos(≤≤-=x x y D .)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 7.若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为 A .43 B .32 C .21 D 418.若0,sin cos 4a παβαα<<<+=,sin cos b ββ+=,则A .b a <B .b a >C .1<abD .2>ab 9.在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB ，则1AB 与1C B 所成的角的大小为A .60°B .90°C .105°D .75°10.设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若()f x 单调递增，()g x 单调递增，则()()f x g x -单调递增②若()f x 单调递增，()g x 单调递减，则()()f x g x -单调递增③若()f x 单调递减，()g x 单调递增，则()()f x g x -单调递减④若()f x 单调递减，()g x 单调递减，则()()f x g x -单调递减其中,正确的命题是A .①③B .①④C .②③D .②④11.一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则A .P 3＞P 2＞P 1B .P 3＞P 2＝P 1C .P 3＝P 2＞P 1D .P 3＝P 2＝P 1 12.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网 线相联，连线标注的数 字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信 息量.现从结点A 向结 点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为A .26B .24C .20D .19D CB A S 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.若一个园锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 .14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥,则点P 到x 轴的距离为 .15.设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .16.圆周上有2n 个等分点（1n >）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ，1SA AB BC ===，1.2AD =（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD S ABCD -； （Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.18.（本小题满分12分） 已知复数.)1(31i i z -= （Ⅰ）求1arg z 及|z 1|；（Ⅱ）当复数z 满足|z|=1，求||1z z -的最大值.19.（本小题满分12分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC //x 轴.证明直线AC 经过原点O .20.（本小题满分12分）已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（Ⅰ）证明;in i i m i P m P n <（Ⅱ）证明.)1()1(mn n m +>+21.（本小题满分12分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.41（Ⅰ）设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元.写出n a ，n b 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22.（本小题满分14分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且(1)0f a =>.（Ⅰ）);41(),21(f f 求（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→。