平方根-知识讲解
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解平方根、算术平方根、立方根，这三个概念听起来好像很高大上，但其实它们都是我们日常生活中经常用到的数学知识。
今天，我就来给大家讲解一下这三个概念，让你在生活中轻松运用数学。
我们来说说平方根。
平方根就是一个数的正平方根，也就是一个数的平方等于这个数本身的那个数。
比如说，4的平方根是2,因为2乘以2等于4;9的平方根是3,因为3乘以3等于9。
平方根在我们生活中有很多应用，比如说计算土地面积、测量身高等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的平方根是多少呢？”这就需要用到计算器或者手算的方法了。
如果你不会手算，也没关系，我可以教你一个简单的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到它的边长，边长的平方就是那个数的平方根。
我们来说说算术平方根。
算术平方根就是一个数的正平方根，但是它只考虑奇数的情况。
比如说，5的算术平方根是无理数，因为5不能表示成两个整数相乘的形式；而4的算术平方根是2,因为2乘以2等于4。
算术平方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算房间面积、测量长度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的算术平方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到最短的那条边，这条边的长度就是那个数的算术平方根。
我们来说说立方根。
立方根就是一个数的三次方根，也就是一个数的三次方等于这个数本身的那个数。
比如说，8的立方根是2,因为2乘以2乘以2等于8;27的立方根是3,因为3乘以3乘以3等于27。
立方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算体积、计算速度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的立方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方体，然后找到最短的那条棱，这条棱的长度就是那个数的立方根。
平方根、算术平方根、立方根这三个概念虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了它们的规律和方法，就可以在生活中轻松运用数学了。
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项：a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab •=()0,0>>b a , ab b a =•()0,0>>b a②b a b a =)0,0(>≥b a , b aba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()ba b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式： ③ 333b a ab •=, 333ab b a =•333b a b a = )0(≠b , 333b a ba = )0(≠b④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
湘教版八年级数学 3.1 平方根(学习、上课课件)
知1－练
感悟新知
例2 求下列各式中的 x 的值：
知1－练
(1)
x2=16；(2)9x2
－
49
＝
0；(3)
1 2
(
x
－
5)
2
＝
8．
解题秘方：若 x2=a( a ≥ 0)，则 x=± a . 先把各题 化为x2=a 的形式，再求 x 的值 .
感悟新知
(1) x2=16；
知1－练
解： x2=16，开平方，得 x=± 16 =± 4. (2)9x2 － 49 ＝ 0；
知1－练
感悟新知
方法点拨：求一个正数的平方根的方法：先找出 知1－练 平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们 互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方 根 . 如果一个数为带分数，一般先将其转化为假 分数，再求平方根；如果有乘方运算，那么先求 出乘方运算的结果，针对结果再求平方根；如果 一个正数 a 不能写成有理数的平方的形式，那么 可以将 a 的平方根表示成 ± a.
第三章 实 数
3.1 平方根
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
平方根及其性质 算术平方根及其性质 无理数 算术平方根的估算
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 平方根及其性质
知1－讲
1. 定义 : 如果有一个数 r，使得 r2=a，那么我们把 r 叫作 a 的 一个平方根，也叫作二次方根 . 这就是说，若 r2=a，则 r 是 a 的一个平方根 . 表示方法：非负数 a 的平方根记作± a ，读作“正、负根 号 a”
因为 9x2 － 49 ＝ 0，所以 x2 ＝ 499，开平方，
得 x ＝±
初二上册数学平方根讲解
初二上册数学平方根讲解一、平方根的定义在数学中，平方根是指一个数的平方等于被开方数的运算。
用符号√来表示平方根，被开方数称为被开方数或被开方数。
例如，√9 = 3，表示9的平方根是3，因为3²=9。
二、平方根的性质1. 正数的非负平方根对于一个正数a，它的非负平方根是有两个数，一个为正数，一个为负数。
通常我们所指的平方根是指非负平方根，也就是正数平方根。
2. 零的平方根零的平方根是零本身，即√0 = 0。
3. 负数的平方根一个负数不具有实数域内的平方根。
在复数域内，虚数单位 i 表示一个负数的平方根，即√-1 = i。
如果需要计算负数的平方根，需要在复数域内。
4. 平方根的运算性质•乘法简便法则：√(a b) = √a √b•除法简便法则：√(a/b) = √a / √b（其中b ≠ 0）•乘方转换：√(a^b) = (√a) ^ b三、平方根的求解方法1. 直接求解法对于一个平方数，我们可以直接求解其平方根。
例如，√25 = 5，√100 = 10。
2. 利用分解法求解如果一个数字不是一个完全平方数，可以通过因式分解的方法来求解其非精确平方根。
例如，我们可以将√8分解为√(4 * 2)，即√4 * √2 = 2√2。
3. 近似求解法对于无理数或者无法被整数除尽的有理数，我们可以采用近似求解的方法。
例如，√2约等于1.414，√3约等于1.732。
四、平方根的应用1. 几何应用平方根在几何中有着广泛的应用，例如计算三角形的斜边长度、正方形的对角线长度等。
2. 物理应用平方根在物理学中也有重要的应用，例如用于计算物体的速度、加速度、功率等。
3. 工程应用在工程学中，平方根常被用于计算路程、距离、能量等，并且可以通过平方根的相关运算性质简化计算过程。
五、补充说明本文主要讲解了初二上册数学中关于平方根的定义、性质、求解方法以及应用。
通过学习平方根的知识，我们可以更好地理解数学中的运算规律，并且能够将其应用到实际问题中。
平方根知识点讲解
负数 ｎ的算术平方根 ； ＼ （ ０ 表 示非 负数 ｎ的负的平方根 （ 一 ／ ｎ≥ ） 或算术平
方根 的相反数 ）± ／ （ ； 、 一 ｎ≥ Ｏ 表 示 非 负 数 ｎ的平 方 根 ． 、 ） 像 ／ 这 样 的
数 ， 定要先算被开方数 ， 一 然后 再 开 平 方．
Ｌ册●
穆营：
。
知 识 点 讲 解 臻 曩
●
锐、 柬１ ６馘平ｕ掇 ． 方
－ 南 拣
如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 ｎ ， 那 么 这 个 数 叫做 。的平 方根 ．
解 ． 。 ６ （ ４ ６ ’ ＝１ ， 一 ） ＝１ ， ４
１被开方 数的非 负性 ． ｎ ． 即
≥ ０．
＝０ ．
２ 算术 平方 根本 身 的非 负 ．
性 ，即 ｘ ／０ ≥ ０ ．
， ）
ｂ：２．
点 拨 若干个非负数的和为零 ， 则它们 同时为零
Ｌ ｆ ｃ ｎ ｉｔ ｏ ｏｄ ｎ ｏ ｄ ｃ ｒ ｓ ｂ ｔ ｎｐ ａ ｉ ｇｗｅｌ ｈ ｓ ｏ ｏｄ ｉ ｏ ｓｓｓ ｔ ｎ ｈ ｌ ｉ ｇｇ ｏ ａ ｄ ｅ ｎ ｉ ｕ ｌｙ ｎ ｌ ｔ ｏ ｅｙ ｕｈ ｌ ． ｉ
例 ５ 用计算器求下列各数的算术平方根 ．
（ ） ０ ５ １ ２２ ； （ ） ７６ （ ２ ３ ． 精确 到 ０Ｏ ） ６ ．１ ．
解
（） １ 在计 算 器上 依次 键人
］ 图 回 固 固 曰
显示 结果 为 ４ ． ５
・
．
．
、 呖
＝４ ． ５
（） ２ 在计 算 器上 依次 键人
＝ 固 团 口 固 固 日 ＝ ］
显 示结 果为 ６１６ ７ ３ ７ ． ７ ４ ９ … ３
平方根和开平方知识讲解
平方根和开平方（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）是25的算术平方根是l的一个平方根C.的平方根是－4 的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．2、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根．② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】（2015•凉山州）的平方根是．【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.3、使代数式有意义的的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.举一反三：【变式】代数式＝有意义，则的取值范围是．【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米【答案与解析】解：设宽为，长为3，由题意得，·3＝13233＝1323＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讲解平方根和立方根的概念、运算规则以及需要注意的事项，以解答学生们提出的疑问。
一、平方根的概念和运算规则平方根是指一个数的平方等于该数的非负根。
即，对于任意非负数x和非负数a，若a的平方等于x，那么我们称a是x的平方根。
用符号表示，可以写作√x=a。
平方根的运算规则如下：1. 非负数的平方根是唯一的。
即，一个非负数x只有一个非负平方根。
2. 负数没有实数平方根。
平方根的定义要求平方根是非负的，因此负数没有实数平方根。
3. 平方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意非负数x和y，有√(x*y)=√x*√y和√(x/y)=√x/√y。
4. 平方根运算满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，平方根运算和幂运算可以互相转换，即√(x^n)=(√x)^n。
二、立方根的概念和运算规则立方根是指一个数的立方等于该数的非负根。
即，对于任意数值x 和非负数a，若a的立方等于x，那么我们称a是x的立方根。
用符号表示，可以写作³√x=a。
立方根的运算规则如下：1. 实数的立方根是唯一的。
即，一个实数x只有一个实立方根。
2. 负数的立方根是存在的。
与平方根不同，负数是存在实数立方根的，例如-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
3. 立方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意数值x和y，有³√(x*y)=³√x*³√y和³√(x/y)=³√x/³√y。
4. 立方根运算也满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，立方根运算和幂运算可以互相转换，即³√(x^n)=(³√x)^n。
三、注意事项在计算平方根和立方根时，需要注意以下几点：1. 平方根和立方根的符号。
平方根是指非负根，因此其结果为正数或零。
人教版七年级数学下册平方根(基础)知识讲解
人教版七年级数学下册平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】【高清课堂：389316 平方根，知识要点】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；aa的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a0，a≥0.2.平方根的定义如果2x a=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a≥是a的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ．（4）若3x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅ 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根． 【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0，∴， 解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。
平方根
知2－练
（来自教材）
2 下列说法正确的有（ A ）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知2－练
知2－练
3 下列关于“0”的说法中，正确的是（ C ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
2 计算下列各式的值： (1) 9 ； (2) 0.49 ；
(3) 64 . 81
知3－练
解：(1) 9 3 ;
(2) 0.49 0.7 ;
(3)因为
8 2 9
64 81
，所以
64 81
8 9
.
（来自教材）
3 81 的平方根是（ C ） 16
A．± 9
B. 9
4
4
C．± 3 2
D. 3 2
2 易错小结
下列说法不正确的是（ D ） A．21的平方根是± 21 B． 21 是21的一个平方根 C． 21 是21的算术平方根 D．21的平方根是 21
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
(2)因为0.92=0.81，所以 0.81 0.9 ；
(3)因为 ( 7 )2 49 ，所以 49 7 .
39
93
（来自教材）
总结
知2－讲
求一个式子的值，先分析式子的意义，特别是看 清它表示的是算术平方根还是平方根，就是看清符号， 最后的结果不改变它的正负性．
平方根课程讲解
平方根课程讲解平方根是数学中非常重要的概念之一，它广泛应用于各个领域。
本文将详细讲解平方根的概念、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解并掌握平方根的知识。
一、平方根的概念平方根是一个数的非负实数解，使得它的平方等于给定的数。
例如，数a的平方根表示为√a，满足√a × √a = a。
对于非负实数a，平方根可以是正数或零。
二、平方根的性质1. 非负实数的平方根是非负实数。
2. 非负实数的平方根存在唯一性，即每个非负实数都有唯一的平方根。
3. 如果一个数的平方根为正数，那么它的相反数也有平方根，且与正数的平方根模值相等，但符号相反。
三、平方根的计算方法平方根的计算可以通过近似方法和精确方法两种方式进行。
1. 近似方法近似方法主要有试探法和牛顿迭代法。
- 试探法是通过试探不同的数来逼近给定数的平方根，通过逐步调整试探数的大小来逼近平方根的值。
- 牛顿迭代法是利用函数的局部线性近似与零点的不动点迭代逼近的方法，通过不断迭代来逼近平方根的值。
2. 精确方法精确方法主要有化简法和公式法。
- 化简法是通过对给定数的因式分解，将平方根转化为不含平方根的表达式，从而得到精确的平方根值。
- 公式法是利用已知的特殊平方根公式，如勾股定理、三角函数等，通过运用相应的公式计算平方根的值。
综上所述，平方根是一个数学中重要且实用的概念。
它的概念、性质和计算方法是我们学习和应用平方根知识的基础。
通过掌握平方根的概念和相关计算方法，我们可以更好地解决实际问题，并在数学领域中有更深入的认识和应用。
在实际应用中，平方根广泛用于几何学、物理学、工程学等领域。
例如，在几何学中，平方根可以用于计算图形的边长、面积和体积；在物理学中，平方根可以用于计算速度、加速度等物理量。
因此，掌握平方根的概念和计算方法对我们的学习和应用具有重要意义。
总之，平方根是数学中的一个重要概念，它具有丰富的性质和多种计算方法。
通过本文的讲解，希望读者能够更好地理解和掌握平方根的知识，从而提升数学素养和解决实际问题的能力。
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。
它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。
本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。
一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。
给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。
计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。
1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。
那么b就是a的平方根。
例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。
对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。
然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。
最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。
例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。
这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。
二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。
给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。
计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。
2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。
那么b就是a的立方根。
例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
初中数学《平方根》知识全解
《平方根》知识全解课标要求1．了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质。
2．会求一个非负数的平方根和算术平方根。
3．会用计算器求一个非负数的算术平方根。
知识结构内容解析本节先研究算术平方根，再研究平方根。
教科书首先创设一个问题情景，从中抽象出的数学问题为：已知正方形的面积求其边长。
这是一个典型的求算术平方根的问题，它与学生熟悉的已知正方形的边长求其面积是一个互逆的过程。
通过对这类问题的探讨，引出算术平方根的概念，给出其符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数本质上都是完全平方数．接着，教科书设置一个“探究”栏目，让学生尝试能否将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，进而求出这个大正方形的边长。
这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数．另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数．出现后，一个很自然的问题是，到底多大。
教科书采用用有理数夹逼的方法，利用不足近似值和过剩近似值来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，并进一步指出，，等也是无限不循环小数，这就为后面认识无理数打下基础。
会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法。
用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子（例3）介绍了用有理数估计无理数的常用方法．至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。
接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论。
平方根和开平方(基础)知识讲解学习资料
平方根和开平方（基础）知识讲解平方根和开平方（基础）【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果X2 a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2.算术平方根的定义正数a的两个平方根可以用“,a”表示，其中,a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；.a表示a的负平方根，读作“负根号a ” .要点诠释：当式子,a有意义时，a 一定表示一个非负数，即,.a > 0，a > 0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：■•一a和' a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•要点三、平方根的性质a a 0a2 | a | 0 a 0a a 0、a a a 0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位•例如：62500 250，. 625 25，一625 2.5，.0.0625 0.25 .【典型例题】【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为'、25 = 5，所以本说法正确；B.因为±"二±1,所以I是I的一个平方根说法正确;C.因为±..4 2=±、、16 = ±4，所以本说法错误；D.因为'一0 = 0，■ 0 = 0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题.举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正:(1)9没有平方根•()A.5是25的算术平方根B.I2C. 4的平方根是一 4D.0是I的一个平方根的平方根与算术平方根都是类型一、平方根和算术平方根的概念(2).16 4 .( )1 1(3)( —)2的平方根是一.( )1010(4)| 2是暮的算术平方根.( )【答案】V ；x； V； x,提示：(2)皿4;(4)§是善的算术平方根. 仇、填空：(1)_________ 4是的负平方根.(2)_____________ 16表示 __________________ 的算术平方根，、.16 -(3)______________________ ；的算术平方根为 .(4)___________________ 若3，则x ____________ ，若7 3，则x .【思路点拨】(3) 1就是丄的算术平方根二-，此题求的是-的算术平方V81 81 9 9根•1 1 1【答案与解析】(1)16 ;⑵ 一；—(3)-⑷9 ; ±316 4 3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:【变式1】下列说法中正确的有( )：①3是9的平方根. ②9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④8是64的负的平方根.A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【答案】B;提示：①④是正确的•【变式2】(2015?凉山州)材苟的平方根是_____________ .【答案】土 3.解：因为 -=9, 9的平方根是土3,所以答案为土 3.03、使代数式屮灯〒有意义的x的取值范围是 __________________ .【答案】x > 1 ;【解析】x + 1>0,解得x > 1.【总结升华】当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 a >0, a >0.举一反三:【变式】代数式y二x 3有意义，则x的取值范围是______________________ 【答案】x 3.类型二、利用平方根解方程(2015春?鄂州校级期中)求下列各式中的x值,2(1)169x =1442(2)( x - 2) - 36=0 .【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解;(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】2解:( 1) 169x =144,2 144x =169x= 144 ■169，12x= 一13 .2(2)( x - 2) - 36=0,2(x - 2) =36,x - 2= 36 ,x - 2=±6,••• x=8 或x= - 4.【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用C5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米•求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x・3 X = 13233 x =1323x 21x = - 21（舍去）答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数。
平方根知识点讲解(含例题)
1．算术平方根（1）定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．（2）表示方法a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．（3）算术平方根的性质①正数a；②0的算术平方根是0=__________；③负数__________算术平方根．被开方数a是非负数，即a≥0；0．2．平方根（1）平方根的概念一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．（2）平方根的性质①一个正数a有__________”，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．（3）开平方的概念求一个数a的平方根的运算，叫做__________．（4）利用平方根的定义解方程将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=或ax+b=，进而得到原方程的解．3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a；（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．K知识参考答案：1．（1）算术平方根（23）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【例2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【例3】25的平方根是A ．5B ．-5C ．D ．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D ． 【例4】设a -3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3 【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a 0≥．【例5】下列说法正确的是①–是2的一个平方根 ②–4的算术平方根是2③的平方根是±2④0没有平方根A ．①②③B ．①④C ．①③D ．②③④ 【答案】C【解析】①–是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； ③的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ．【例6】求下列各式的值：（1；（2）；（3）4．【解析】（1=12．（2）=-0.9．（3）1114±．（4=56．二、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例7】的值取最小值时，a 的取值为A ．0B ．−12C ．–1D ．1 【答案】B【解析】∵2a +1≥0的值取最小值时，2a +1=0，∴a 的取值为–12．故选B ． 【例8】若实数x ，y20（y +-=，则xy 的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：200x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=故答案为：． 【例9】x 、y0，则xy =__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x +2=0，y –3=0，∴x =–2，y =3，∴xy =–6，故答案为：–6． 三、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．【例10】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0． 【解析】（1）因为2(17=，所以x=．（2）2121049x -=， 212149x =，x =117±． 【例11】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0；（2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0，4（x -1）2=16，（x -1）2=4，x -1=±2，x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0，8（2x +1）2=1，（2x +1）2=18，2x ，2x =-，x =-12-x =-12． 四、平方根和算术平方根定义和性质的综合运用若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．【例12】若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是A B ． C ．D ．【答案】C【解析】根据一个正数的算术平方根是a ，则这个正数为2a ，则比这个数大3的正数的平方根是C ．【例13】已知2a-1的平方根是±3b．【解析】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，b，即16的算术平方根是b，∴b=4=3．【名师点睛】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，由平方根和算术平方根的定义得到2a-1=9，b=4是解题的关键．【例14】已知9的算术平方根是a，b的平方是25，求ab的值．【名师点睛】本题目是一道考查平方根和算术平方根的问题，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数．。
初一下册数学第一讲：平方根与算术平方根知识讲解
• 平方根的举例
示例包括：(±5)²=25，则±5 是25的平方根；25的平方根为 ±5；-4的平方根不存在（因为 负数没有平方根）；0的平方 根是0。
03
算术平方根与平方根的区别
• 性质对比
首先，平方根和算术平方根的主要区别在于，平方根可以是正数也可 以是负数，而算术平方根只能是正数。其次，正数的平方根有两个， 它们互为相反数，而正数的算术平方根只有一个。最后，负数没有算 术平方根和平方根，而0的算术平方根和平方根都是0。
• 算术平方根的性质
关于算术平方根的性质有三点需要关注。首先，一个正数 有一个正的算术平方根。这是因为任何正数的平方都能得 到一个正数。其次，负数没有算术平方根。这是因为任何 数的平方都是正数或零，不存在平方后得到负数的情况。 最后，0的算术平方根为0，因为0的平方就是0。
• 算术平方根的举例
示例包括：5²=25，则5是25的算术平方根；25的算术平方 根为5；-4的算术平方根不存在（因为负数没有算术平方根 ）；0的算术平方根是0。
初一下册数学第一讲： 平方根与算术平方根知识讲解
算
• 算术平方根的概念
术
算术平方根是一个数学概念，它的定义是，如果一个正数x
平
的平方等于α，即x²=α，那么这个正数x叫做α的算术平方 根。换句话说，算术平方根是通过求平方数的方式得到的
方
正数。这是一个基本的数学概念，对于理解和学习后续的
根
数学知识具有重要的基础性作用。
• 应用对比
在实际应用中，平方根和算术平方根也有所不同。比如在解决实际问 题时，如果需要求解平方根，需要考虑结果可能是正数也可能是负数 的情况。而如果需要求解算术平方根，结果只能是正数，这样可以简 化求解的复杂度。在进行数学计算或解决实际问题时，需要根据实际 情况选择使用平方根还是算术平方根。
《平方根》PPT教学课件(第1课时)
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wen/ 数学 课件 /kejia
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/ 英语 课件
分析：要求出护栏的长，需要知道 正方形的边长，即找到一个平方等 于100的数.
知识讲解
做一做
问题1.1
3 和－ 3 的平方等于多少？ 10和－10的平方等于多少？
5
5
问题1.2 平方等于 9 的数有哪些？平方等于100的数呢？
解： (1)因为(±9)2 = 81，所以81的平方根为±9，即± 81=±9.
(2)因为
6 11
2
36，所以
121
36 121
的平方根为
6 11
，即
36 6 .
121 11
(3)因为(±0.2)2 = 0. 0.2.
★ 练一练
81
1、 16 的平方根是( C )
√
②.9的平方根是3. ×
③.-9的平方根是-3. ×
④.(3)2 的平方根是-3.×
2、已知正数x的两个平方根分别为a＋2和2a－8，求x的值．
解：根据题意，得a＋2＋2a－8＝0，解得a＝2. 所以x＝(a＋2)2＝(2＋2)2＝42＝16.
★求平方根
问题1 观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方 根运算具有怎样的关系.
(3) 64 . 81
解： (1) 9 3 ;
(2) 0.49 0.7 ;
(3)因为
8 2 9
64 81
，所以
64 81
8 9
.
课堂小结
平方根
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么 这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
平方根知识讲解
平方根【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的含义；2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根.【要点梳理】【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】知识点一、算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a，读作“根号a”.a叫做被开方数.要点诠释：①算术平方根一定是正数.②负数没有算术平方根.③0的算术平方根是0.知识点二、算术平方根的性质特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.知识点三、平方根的定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数.② 0的平方根是0.③负数没有平方根【典型例题】类型一、算术平方根的概念1、求下列各数的算术平方根（1）100 （2）4964（3） 2. 计算下列各式的值（1）√1（2）√925（3）−√0.493. 判断下列各式是否有意义？为什么？（1）-√3（2）√−3（3）√（−3）2（4）√0练 1、求下列各数的算术平方根（1）（2）81（3）322.计算下列各式的值（1）√9（2）√22（3）±√64 813.求下列x的取值范围，使得式子有意义. （1）√x（2）√x−1（3）√x2类型二、算术平方根的比较大小1、比较下列各组数的大小：（1）与 （2）与8类型三、平方根的概念1、 求下列各数的平方根．（1）100 （2）4964 （3） (4)32 2.判断下列说法是否正确（1）0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是-1；（4）是的一个平方根.练 1. 求下列各数的平方根．（1）49 （2）425 （3） (4)0 2. 判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根；（2）56是2536的一个平方根； （3）(−4)2的平方根是-4；（4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程（1）x 2=25；（2）x 2−81=0；（3）25x 2=36．。
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平方根
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．
2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.
要点诠释：一个正数a
a的负平方根用“
”表示；因
此，一个正数a
”表示，其中a叫做被开方数.
2.算术平方根的定义
正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）的
.
要点诠释：
a
0，a≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2
）结果不同：
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
(0)
||0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
()
2
a a
=≥
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
250
=
25
=
2.5
=
0.25
=. 【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是（ ）
A.5是25的算术平方根
B.l 是l 的一个平方根
C.()24-的平方根是－4
D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C ；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为25＝5，所以本说法正确；
B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；
D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）9-没有平方根．（ ）
（2）164=±．（ ）
（3）21()10-的平方根是110
±．（ ） （4）25--
是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，
提示：（2）164=；（4）25是425
的算术平方根． 2、（2015•前郭县二模）观察下列各式：
=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n≥1）个等式写出来______________________________.
【思路点拨】根据所给式子，找规律．
【答案】
．
【解析】
解：=（1+1）
=2， =（2+1）
=3， =（3+1）=4，
…
， 故答案为：．
【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．
举一反三：
【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是．
【答案】7．
类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值． 2222252434-+g 111200.36900435
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：2222252434-+g 49257535=
=⨯=g ； 1118111200.369000.630435435=⨯-⨯90.26 1.72
=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根2(0)a a a =>来解．
举一反三：
【变式】求下列各式的值：
（1）25 （28136（30.040.25（440.36121
【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
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类型三、平方根的应用
4、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求
长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为x，长为3x，
由题意得，x·3x＝1323
32x＝1323
x=±
21
x＝－21(舍去)
答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.。