第1章 1.4 计数应用题

1.4计数应用题

1．利用两个基本计数原理、排列与组合，解决较为复杂的计数问题．(重点) 2．掌握解决有限制条件的排列组合问题的思想、策略和方法．(难点)

[小组合作型]

(1)有五张卡片的正、反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任三张并排放在一起组成三位数，共可以组成________个不同的三位数．

(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的

演出顺序，则同类节目不相邻的排法有________种．

(3)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中A，B，C，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．【精彩点拨】(1)法一(直接法)，分有“0,1”卡和无“0,1”卡两类；法二(排除法)，去掉0在百位上的所有情形．

(2)“插空法”分类求解．

(3)C＝0，从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素给A，B便可．

【自主解答】(1)法一(直接法)：

依“元素”分类，满足条件的三位数有以下三类：①不要0与1的有C34A33·23个；②要1不要0的有C24A33·22个；③要0不要1的有2C24·22·A22个．故共可组成不同的三位数：

C34A33·23＋C24A33·22＋2C24·22·A22＝432(个)．

法二(间接法)：

把百位、十位、个位看作三个位置，从5张卡片中任选3张分别放到这三个位置上有C35·A33种，再正反面交换，有23种，故总数为C35A33·23，其中0在百位上时不符合要求，有C24A22·22，故可得到不同的三位数C35A33·23－C24A22·22＝432(个)．

(2)分两类：(1)先排歌舞类有A33＝6种排法，再将其余的三个节目插空．如图所示，或者，此时有2A33A33＝72种；(2)先排歌舞类有A33＝6种排法，其余的两个小品与相声排法如图△，或者△，有4A33C12＝48，所以共有72＋48＝120种不同的排法．

(3)因为直线过原点，所以C＝0，因此只需从{1,2,3,5,7,11}中任取两个元素分别作为A，B便可，共有A26种不同取法，对应A26＝30条不同直线．【答案】(1)432 (2)120 (3)30

1．本例(2)在求解时，常因注意不到“同类节目不相邻”导致错解或思维不全面．

2．实际问题中某些安排、选派、选举等问题，可以转化为排队问题求解，但要搞清特殊元素(或位置)选择恰当的方法计数．

[再练一题]

1．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________. 【导学号：29440018】

【解析】 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A 25＝20

种排法，因为31＝93，13＝39

，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数

分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.

【答案】18

有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法：

(1)将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；

(2)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；

(3)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；

(4)将6本书平均分给三个人，每人两本．

【精彩点拨】

【自主解答】(1)不平均分组问题．先在6本书中任取一本，作为一堆，有C16种取法，再从余下的5本书中任取两本，作为一堆，有C25种取法，最后从余下的三本中取三本作为一堆，有C33种取法，故一共有C16C25C33＝60种不同的分法．

(2)不平均定向分配问题．由(1)知，分成三堆的方法有C16C25C33种，而每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是C16C25 C33＝60种．

(3)不平均不定向分配问题．由(1)知，分为三堆的方法有C16C25C33种，但每种分组方法又有A33种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有C16C25C33A33＝360种．

(4)平均分配问题．将6本书平均分给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有C26种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有C24种方法，甲、乙不论用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有C22种方法，所以一共有C26C24C22＝90种方法．

1．本题属于典型分配问题，(1)(2)属于逐个分配，直接应用分步计数原理．(3)采用先分组再分配的方法．

2．解决此类问题要注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题，可以按要求逐个分配，也可先分组再分配．

[再练一题]

2．(1)在本例中，将6本书分给甲、乙、丙三个人，甲得四本，乙、丙两人各一本，有多少种不同的分法？

(2)在本例中，若6本书完全相同，分给甲、乙、丙三位同学，每人至少有一本，有多少种不同的分法？

【解】(1)甲从6本书中任取4本的方法有C46种，甲不论用哪一种方法取得4本书后，乙再从余下的2本书中取1本，有C12种方法，甲、乙不论用哪种方法取书后，丙从余下的1本书中取出1本，有C11种方法，所以一共有C46C12C11＝30种方法．

(2)(隔板法)：把6本书排成一排摆好如图“○○○○○○”，因为书都相同，所以从中间的5个位置中隔上两块板，甲、乙、丙只要按从左到右的顺序依次拿取相应的书即可．所以共有C25＝10种方法．

[探究共研型]

探究

【提示】在相邻区域涂色不相同问题中，相邻区域涂色时采用分步计数原理进行，但不相邻区域颜色可相同，因此又要用到分类计数原理．