函数展开成傅里叶级数

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第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB

例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,

x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛，且
a0 2

n1
(an
cos nx
bn
sin nx)

f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数在一个周期内的表达式为

傅里叶级数展开

傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，由法国数学家傅里叶在19世纪初提出。

傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域中有广泛应用，并且被认为是研究周期现象的基础工具之一。

1. 傅里叶级数展开的基本原理傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解为正弦函数和余弦函数的叠加。

根据傅里叶级数的表达式，一个周期函数可以表示为无限多个正弦和余弦函数的和，即：f(x) = a0 + Σ(An * cos(nωx) + Bn * sin(nωx))其中，a0表示直流分量，An和Bn表示函数f(x)中的谐波系数，ω为频率，n为谐波阶数。

由此可知，通过傅里叶级数展开，一个周期函数可以分解为不同频率的谐波信号的叠加。

2. 傅里叶级数的计算公式根据给定周期函数的表达式，我们可以通过一系列复杂的积分计算，求得傅里叶级数展开的各个系数。

对于奇函数和偶函数，傅里叶级数的计算公式有所不同。

- 对于奇函数f(x)，即满足 f(-x) = -f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (1/π) * ∫[0, π] f(x) * sin(nωx) d x- 对于偶函数f(x)，即满足 f(-x) = f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (2/π) * ∫[0, π] f(x) * cos(nωx) dx在实际计算中，为了减小计算量，通常只考虑有限个谐波分量，而不是无限个。

通过计算傅里叶级数展开的前几个系数，就可以对周期函数进行较好的逼近。

3. 傅里叶级数的应用傅里叶级数展开在信号处理中有重要的应用。

通过傅里叶级数展开，可以将任意信号分解为基本频率的叠加，从而分析信号的频谱特性。

这对于音频信号的处理、图像处理、振动分析等方面非常重要。

此外，傅里叶级数展开还广泛应用于物理学领域，特别是波动现象的研究中。

通过将波动的形态分解为不同频率的谐波信号的叠加，可以更好地理解和描述波动现象。

函数的傅里叶级数展开公式

函数的傅里叶级数展开公式1、求函数$f(x)$的傅里叶级数展开公式假设函数$f(x)$可以表示为无穷级数展开形式$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n \cos nx$，其中$a_n$为傅里叶系数，我们可以得到想要的傅里叶级数展开公式：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n e^{inx}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt$$其中，$a_n$为傅里叶系数，它可以通过下式求出：$$a_n=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos nt dt$$2、利用傅里叶级数展开公式求函数$f(x)$的偶次系数利用上面的公式，设$n$为偶数，即$n=2k$，则$$a_{2k}=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos (2kt) dt$$3、示例应用：求函数$f(x)=\sin x$的傅里叶系数展开函数$f(x)$是一个周期函数，有$f(x+2\pi)=f(x)$，可以用上面的公式展开，有：$$a_n=\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \cos nx dx$$特别地，设$n=2k$时，有：$$\begin{aligned}a_{2k}=&\frac {1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin x \cos (2kx)dx\\=&\frac {2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x \cos (2kx)dx\\=&\frac {2}{\pi}(-\frac {1}{2k}\sin 2kx)|_0^{\pi}\\=&\frac {1}{\pi k}(-\sin 2k\pi+\sin 0)\\=&\frac {(-1)^{k}}{\pi k}\end{aligned}$$因此，函数$f(x)=\sin x$的傅里叶系数展开可以表示为：$$\sin x=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac {(-1)^k}{\pi k}e^{2ikx}$$。

在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数(完整版)实用资料

在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：(1) (),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<<(2)2(),(),()02.f x x i x ii x πππ=-<<<< （3）,0(),(,0,0).,0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩解（1）()i()f x 是x ππ-<<的奇函数，所以0,1,2,n a n ==1022cos (1)2sin ,n n n b x nxdx n nπππ---===⎰因()f x 在x ππ-<<连续且光滑，所以11(1)2sin ,(,).n n x nx x n ππ-∞=-=∈-∑()ii 20012,a xdx πππ==⎰201cos 0,n a x nxdx ππ==⎰2012sin(),n b x nx dx nππ==-⎰因()f x 在(0,2)π上光滑且连续，所以1sin 2,(0,2).n nxx x n ππ∞==-∈∑（2） (i) 2()f x x =是(,)ππ-上的偶函数,故0,1,2,;n b n ==2012()3a f x dx ππππ-==⎰,222311sin 2cos 2sin ()cos cos n x nx nx nx nxf x nxdx x nxdx nπππ+-==⎰⎰ 223221sin 2cos 2sin 4(1)4()cos cos (1)n n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n n n πππππππ--+--====≥⎰ 又2()f x x =在(,)ππ-上光滑，故22211(1)4,(,).3n nn x x x n πππ∞=-=+∈-∑ (ii) 222200118()3a f x dx x dx πππππ===⎰⎰，22223201sin 2cos 2sin 4()cos (1),n n x nx nx nx nx a f x nxdx n n n ππππ+-===≥⎰ 222231cos 2cos 2sin 4()sin (1).n n x nx nx nx nx b f x nxdx n n n πππππ-++===-≥⎰又2()f x x =在(0,2)π上光滑，故22214cos 4(sin ),(0,2).3n nx x nx x n n πππ∞==+-∈∑(3)00011()[](),2a f x dx axdx bxdxb a πππππππ--==+=-⎰⎰⎰002211()cos [cos cos ]2(), (cos 1)0, n a f x nxdx ax nxdx bx nxdx a b n b a n n n n πππππππππ--==+-⎧-⎪=-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为奇数为偶数10011(1)()sin [sin sin ]cos (),n n a b b f x nxdx ax nxdx bx nxdx n a b n nπππππππ+--+-==+=-=+⎰⎰⎰所以1112()1(1)()cos(21)()sin ,4(21)n n n b a a b f x n x a b nx n n ππ+∞∞==---=+-++-∑∑(,).x ππ∈- 2. 把函数,04(),04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出：11111157111317=-+-+-+解：()f x 是(,)ππ-上的奇函数,故0,0,1,2,n a n ==.1,211cos ()sin sin 220,n n n b f x nxdx nx nn n ππππ⎧-⎪====⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数. 又()f x 在(,0)(0,)ππ-连续,故1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑.当23x π=时, 12sin (21)23()3214n n f n πππ∞=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-∑.当213n k -=时,2sin (21)0,3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2131n k -=+时,2sin (21)32n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦当2132n k -=+时,2sin (21)3n π⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦所以,11111(1)4257111317π=-+-+-+,即111111657111317=-+-+-+.3．设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=。

傅里叶级数

an

1

f ( x) cos nxdx
x cos nx d x
1
0
1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2
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, n 2k 1 1 cos n an ( k 1 , 2 , ) 2 n 0, n 2k 1 1 0 (1) n 1 bn f ( x) sin nx d x x sin nxdx n ( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于

bn
f ( x ) sin nx d x

1

②
(n 1, 2 , )
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定理 1. 组成三角级数的函数系正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
cos k x cos n x d x

1 cos nx d x 1 sin nx d x 0
2

o

x
x cos nx sin nx x sin nx d x n n2 0 2 2 cos n ( 1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n

傅里叶级数展开公式证明

傅里叶级数展开公式证明傅里叶级数展开公式的证明涉及到傅里叶级数的定义和傅里叶系数的计算方法。

以下是傅里叶级数展开公式的证明：假设函数f(x)是一个周期为2π的可积函数，那么它可以用傅里叶级数表示为：f(x) = a0/2 + ∑[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]其中，a0表示f(x)在一个周期内的平均值，an和bn分别是傅里叶系数，可以通过以下公式计算得到：an = (1/π)∫[f(x)*cos(nx)]dxbn = (1/π)∫[f(x)*sin(nx)]dx根据欧拉公式，可得：cos(nx) = (1/2)*(e^(inx) + e^(-inx))sin(nx) = (1/2i)*(e^(inx) - e^(-inx))将上式代入an和bn中，得到：an = (1/π)∫[f(x)*(1/2)*(e^(inx) + e^(-inx))]dx= (1/2π)∫[f(x)*e^(inx)]dx + (1/2π)∫[f(x)*e^(-inx)]dx= (1/2π)[∫[f(x)*e^(inx)]dx + ∫[f(x)*e^(-inx)]dx]bn = (1/π)∫[f(x)*(1/2i)*(e^(inx) - e^(-inx))]dx= (1/2πi)∫[f(x)*e^(inx)]dx - (1/2πi)∫[f(x)*e^(-inx)]dx= -(1/2πi)[∫[f(x)*e^(-inx)]dx - ∫[f(x)*e^(inx)]dx]将an和bn代入傅里叶级数公式，得到：f(x) = a0/2 + (1/2π)[∫[f(x)*e^(inx)]dx + ∫[f(x)*e^(-inx)]dx]*cos(nx) + -(1/2πi)[∫[f(x)*e^(-inx)]dx - ∫[f(x)*e^(inx)]dx]*sin(nx)对于周期为2π的函数f(x)，它的傅里叶级数展开是唯一的，因此可将上式中的积分写成复数形式：c(n) = (1/2π)∫[f(x)*e^(-inx)]dx (n < 0)c(0) = a0/2c(n) = (1/2π)∫[f(x)*e^(-inx)]dx (n > 0)傅里叶级数可以写成如下形式：f(x) = ∑[c(n)*e^(inx)]其中，n可以取所有整数值。

函数的傅里叶级数展开

和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为傅立叶级数.
解：
1 2
2
bn
0
x sin nxdx n
1
a0
2
xdx 2 ,
0
1 2
an 0 x cos xdx 0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
2 sin
2
0
u
2 sin
u2
du =
1 n ( + cos ku)du
2 0 k =1
=1
2
1
sn(f(x)) - s=
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u)-2s)
0
2 u
du
2sin
2
记(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx

傅里叶正弦级数展开系数

傅里叶正弦级数展开系数傅里叶正弦级数展开系数，是指将一个周期为T的周期函数f(x)展开成一组正弦函数的线性组合，其中每一个正弦函数的频率是原函数基频的整数倍。

这个展开系数就是每一个正弦函数在展开中所占的比重。

一、傅里叶级数傅里叶级数是指将任意周期为T的函数f(x)表示成若干个正弦和余弦函数（即三角函数）之和的形式。

具体地说，可以表示为：f(x)=a0/2+Σ(n=1,∞){an*cos(nωx)+bn*sin(nωx)}其中a0/2代表直流分量，an和bn分别代表余弦项和正弦项的系数，ω=2π/T为角频率。

二、傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数是指将任意周期为T的奇对称函数f(x)表示成若干个正弦函数之和的形式。

具体地说，可以表示为：f(x)=Σ(n=1,∞){bn*sin(nωx)}其中ω=2π/T为角频率，bn为第n个正弦项在展开中所占比重。

三、求解傅里叶正弦级数展开系数要求解傅里叶正弦级数展开系数，需要先将周期为T的奇对称函数f(x)展开成傅里叶级数，然后根据正弦函数的性质，将余弦项化为正弦项。

具体地说，可以按照以下步骤进行：1. 将f(x)展开成傅里叶级数：f(x)=a0/2+Σ(n=1,∞){an*cos(nωx)+bn*sin(nωx)}其中a0/2为直流分量，an和bn分别为余弦项和正弦项的系数。

2. 由于f(x)是奇对称函数，因此有a0=0和an=0（n为偶数）。

3. 将余弦项化为正弦项。

根据正弦函数的性质sin(-x)=-sin(x)，可以得到：f(x)=Σ(n=1,∞){bn*sin(nωx)-an*sin(-nωx)}由于an=0（n为偶数），因此可得：f(x)=Σ(n=1,∞){bn*sin(nωx)}即可得到傅里叶正弦级数展开式。

4. 求解展开系数。

根据展开式可知，第n个正弦项在展开中所占比重为bn。

因此只需要求出每一个bn即可。

求解bn的方法有多种，常见的有积分法和复合边界条件法。

展开为傅里叶级数

展开为傅里叶级数在数学领域中，傅里叶级数是一种非常重要的工具，它可以将周期函数分解为无穷个三角函数的和。

今天我们来讨论一下如何将一个函数展开为傅里叶级数。

首先，我们需要了解什么是傅里叶级数。

傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(x)展开为一组三角函数的和：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，ω=2π/T，an和bn是傅里叶系数。

这组三角函数包括了所有频率为nω的正弦函数和余弦函数。

接下来，我们需要求解傅里叶系数an和bn。

我们可以根据傅里叶级数的定义，对傅里叶级数的各个部分进行求和，并且利用正交性条件得到傅里叶系数的表达式：an = (2/T) * Σ(f(x) * cos(nωx)dx)bn = (2/T) * Σ(f(x) * sin(nωx)dx)其中，Σ表示求和符号，dx表示微元，T是函数的周期。

这里需要注意的是，傅里叶系数的求解需要对周期函数进行积分，而且是在一个周期内进行的积分。

因此，我们需要等价地将函数在一个周期内展开为三角函数的和。

最后，我们来看一个例子，将一个周期为2π的函数f(x) = x 在[-π,π]内展开为傅里叶级数：1.首先求解a0，根据傅里叶级数的定义，a0等于函数在一个周期内的平均值，即a0=(1/π) * ∫(π,-π)(xdx) = 0。

2.接下来求解an，an等于函数与cos(nωx)在一个周期内的积分，即an = (2/π) * ∫(π,0)(x*cos(nx)dx) = (2/π) *[(π*sin(nπ))/n - (1/n^2)*cos(nπ)]an = (2/π) * ∫(0,-π)(x*cos(nx)dx) = (2/π) * [-(π*sin(nπ))/n + (1/n^2)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此an = (-1)^n/n。

3.最后求解bn，bn等于函数与sin(nωx)在一个周期内的积分，即bn = (2/π) * ∫(π,0)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(1/n)*cos(nπ) - (π*cos(nπ))/n]bn = (2/π) * ∫(0,-π)(x*sin(nx)dx) = (2/π) *[(π*cos(nπ))/n - (1/n)*cos(nπ)]因为sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n，因此bn = 0。

傅里叶级数数学

f
(x)
4
[sin
x
1 3
sin
3x
1 sin(2k 2k 1
1)x
]
.
(<x<;x 0, , 2, ).
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例2 设周期为2的函数f(x)在[)上的表达式为
f (x)0x
x0 0 x
将f(x)展开成傅里叶级数.
解所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛. 当x(2k1)时傅里叶级数收敛于
>>>
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二、函数展开成傅里叶级数
❖傅里叶系数
设f(x)是周期为2的周期函数且能展开成三角级数:
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cosk
xbk
sin
k
x)
且假定三角级数可逐项积分则
a0
1
f (x)dx
an
1
f
(x)cosnxdx
(n
12)
提示:
f
f(x()xc)soisnnnxfx(xa2)a020ca0sao002i0nsnnxxk1k(ka1k1[(caok0ksckoxa0snkbxkcs0soinisnnkxx)bk
a0
2
an
2
n2
0
n1, 3, 5, n2, 4, 6,
bn
(1)n1 n
(n
12)
所以当x(2k1)时f(x)的傅里叶级数展开式为
f
(x)
4
(2
cosxsin
x)
1 2
sin
2x ( 322
cos3x
1 sin 3

傅里叶级数表达式

傅里叶级数表达式
傅里叶级数展开可以写出如下形
式: f(x)=+∞∑n=∞cneinωx=+∞∑n=∞cneiωnx,n∈Z
傅里叶展开式(Fourierexpansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。

若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。

最简单的周期函数随时变化的正弦信号
f ( t ) = A sin ( ω t + ψ ) f(t)
=A\sin(\omega t+\psi)
f(t)
=Asin(ωt+ψ)
傅里叶级数
三角函数系的正交性
三角函数系：{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}，它由无数个sinnx和cosnx组成，其中n=0,1,2,…。

傅里叶就试图将周期为T 的函数f(x) 展开为sinx 和cosx 函数和的形式。

那怎么保证组合出来的函数周期依然为T 呢？
函数f=sinωt 的周期为T′=2πω，要使得原函数能够被三角函数表示，那么三角函数的粒度必然要小于原函数，即三角函数的最小周期T′ 必须小于原函数f(x) 的最小周期T，即
2πω≤T2πnω=T,n>0。

傅里叶级数--周期函数的展开式

?

问题: (1) f ( x )能否展开成三角级数？
(2) 如果可以，an , bn ?
物理意义：把一个一般的周期运动分解为不同频率的简谐振动的叠加。
二、三角函数系的正交性
三角函数系：
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交性：其中任意两个不同函数的乘积在 [ , ]上的积分等于零（请验证） .
1 cosnxdx 0, 1 sinnxdx 0, (n 1,2,3,) sinmx cosnxdx 0, sinmx sinnxdx 0 (m n)
由例2结果可得，
作偶周期延拓 ,
yБайду номын сангаас

o

x
(0 x )
三、以2l为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
伸缩
周期为 2 函数 f ( x )
将 f ( x )作傅氏展开并换元
l
l

f (x) 的傅氏展开式
定理：设周期为2l 的周期函数f (x) 满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为
(在 f (x) 的连续点处)
2 2
2 2 ( 2 k 1 )
如果f ( x )不是周期函数，只定义在[ , ]上,
可进行周期延拓: 在( , ]外补充函数f ( x )
的定义，使其成为周期为2的函数F ( x )。将 F ( x )展开为傅里叶级数，最后限制x在( , ) 内，即得f ( x )的傅里叶级数展开式 .
an

1

f ( x) cos nxdx

函数展开成傅里叶级数

函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是一种将一个周期函数展开成三角函数的级数的方法。

一个周期为T的函数f(某)可以表示为傅里叶级数的形式:f(某) = a0 + Σ(an某cos(nω某) + bn某sin(nω某))其中，a0是一个常数，an和bn是函数f(某)的系数，ω=2π/T是角频率。

为了求解傅里叶级数的系数，我们需要先求解函数f(某)的周期T和角频率ω。

然后，通过计算函数f(某)在一个周期内的积分，可以得到an和bn的表达式:an = (2/T) 某∫[0,T](f(某)某cos(nω某)d某)bn = (2/T) 某∫[0,T](f(某)某sin(nω某)d某)这样，通过计算积分，我们可以得到函数f(某)的傅里叶级数的系数。

傅里叶级数的展开有许多应用。

其中最重要的应用是信号处理，特别是在频域分析和滤波中的应用。

通过将信号展开成傅里叶级数，我们可以分析信号的频谱特性，并且在频域上对信号进行处理。

另一个重要的应用是在数学物理中的泛函分析。

傅里叶级数可以用于求解微分方程的边值问题，并且可以将一些复杂的算符问题转化为更简单的代数问题。

此外，傅里叶级数还有一些特殊的性质，比如Parseval定理。

根据Parseval定理，如果一个函数f(某)的傅里叶级数收敛，则有以下等式成立:(1/T) 某∫[0,T] (f(某))^2 d某= (a0/2)^2 + Σ[(an^2 +bn^2)/2]这个等式表明，一个函数f(某)的能量可以通过其傅里叶级数的系数来计算。

这个性质在信号处理中具有很重要的意义，因为它可以用于信号的能量计算和信号压缩等问题。

综上所述，傅里叶级数是一种将函数展开成三角函数的方法，具有广泛的应用领域。

通过计算函数在一个周期内的积分，可以得到函数的傅里叶级数的系数。

傅里叶级数在信号处理、数学物理等领域都发挥着重要的作用。

傅里叶级数的展开

2?
23 2 5 2
5.2.3 几个常见脉冲信号的傅立叶级数
一、周期矩形脉冲信号二、周期锯齿脉冲信号三、周期三角脉冲信号
一、周期矩形脉冲信号
周期矩形脉冲信号 f(t)的脉冲宽度为 τ,脉冲幅度为 E ，
周期为T ．它在一个周期内的函数表达式为 :
f
(t)
?
??? E , ?
???k ,
t??
设脉冲信号函数 f (x)是周期为4的周期函数，
它在一个周期的表达式为
f
(x)
?
?0, ?? k ,
?2? x? 0 0? x? 2
如何将f (x)展开成傅里叶级数？
二、概念和公式的引出
周期为 2l的函数的傅里叶级数展开与其
系数的计算公式如下：
? f (x) ?
a0 2
?
? k ?1
(an
cos
f
(x)
?
?－1,
? ?
1,
?? ? x? 0 0? x??
将它展开成傅里叶级数。
二、概念和公式的引出
周期延拓设函数f (x)在[ ?? ,? ]上有定义，并且在 [ ?? ,? ]上满足收敛定理的条件，那么，我们可以在函数定义区间外补充 f (x)的定义，使它拓展成以 2? 为周期
的函数F (x) ，按这种方式拓展函数定义域的过程称为周期延拓。
?2
2
?
(?
k
n?
cos n? x ) 2
20
?
k
n?
(1? cos n? )
?
k
n?
[ 1?
(? 1)n ] ?
? 2 1,3,5,? n ? 2,4,6,?

可展开为傅里叶级数的条件

可展开为傅里叶级数的条件1. 引言说到傅里叶级数，哇，听起来就像是高大上的数学术语，对吧？但是别怕，今天咱们就来聊聊这个话题，把它拆得细细的，让它变得简单易懂。

傅里叶级数其实就是把复杂的波形分解成简单的正弦和余弦函数的和，听起来是不是有点像音乐的和声？简单来说，就是把复杂的声音拆解成更简单的声音。

就像把一个蛋糕切成一块一块，大家都能尝到不同的味道。

这种分解在科学、工程、音乐等很多地方都大有用处。

2. 傅里叶级数的条件2.1. 周期性要想把一个函数展开成傅里叶级数，首先，这个函数得是个周期函数。

什么是周期函数呢？想象一下钟表的指针，不管你看几次，指针总是转到同一个位置，时间的流逝在这个时候是有规律的。

也就是说，周期函数在某个固定的时间间隔内是重复的，咱们可以用正弦和余弦的形式来表达出来。

比如，正弦波和余弦波就是完美的周期函数，每次波动都能让你感受到那种起伏的美妙。

2.2. 有界性接下来，咱们要看看有界性。

这就是说函数的值不能无限大，就像你吃冰淇淋不能吃得太多，不然就会腻得要命。

一个函数如果在某个区间内都有一个最大值和最小值，那就叫做有界。

这也是我们想要展开傅里叶级数的一个必要条件。

简单来说，就是要控制住那个“火”，不能让它烧得太旺，否则后果不堪设想。

2.3. 可积性然后，再来聊聊可积性。

为了让一个函数能够进行傅里叶级数展开，它必须在一个周期内可积。

意思就是在一定的时间范围内，咱们要能把这个函数的值都加起来，求出它的总和。

这就像是在找出一个宴会上的所有菜肴总共花了多少钱一样，必须每一样都能算得清清楚楚。

可积性确保了我们在展开的时候不会出错，大家都能明白这个函数的真实“身价”。

3. 举个例子3.1. 经典的方波现在，让我们用一个经典的例子来说明一下。

比如说方波，这东西在电子音乐和信号处理中可常见了。

方波的波形就像是在高低之间迅速切换，就像你在看电视剧的时候，突然跳到广告，不给你任何预兆。

这种方波其实就是一个周期函数，周期性显而易见。

函数展开成傅里叶级数

函数展开成傅里叶级数傅里叶级数是数学中一种十分重要的展开形式，它将一个周期函数展开成一系列正弦和余弦函数的线性组合。

这种展开形式可以用来描述周期性变化的信号，并且在信号处理、图像处理、物理学等领域有着广泛的应用。

我们来看一下什么是周期函数。

周期函数是指在某个固定的时间间隔内，函数的值以相同的方式重复出现。

比如，正弦函数sin(x)就是一个周期函数，它的周期是2π。

周期函数在自然界中很常见，比如物体的振动、电流的变化等等。

傅里叶级数的基本思想是，通过将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，来近似表示原函数。

这个线性组合的系数就是傅里叶级数的系数，它们代表了原函数中各个频率分量的贡献程度。

具体来说，假设我们有一个周期为T的函数f(x)，它可以表示为如下的傅里叶级数：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0/2是直流分量，an和bn是傅里叶系数，n是频率的倍数，ω0=2π/T是角频率。

傅里叶级数的展开系数可以通过求取函数f(x)与正弦余弦函数的内积来计算。

具体地，对于每一个正整数n，我们可以分别求取函数f(x)与cos(nω0x)和sin(nω0x)的内积来计算an和bn的值。

这个内积的计算可以通过积分来进行。

假设f(x)在一个周期内的积分为A，那么an和bn的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * cos(nω0x) dxbn = (2/T) * ∫[0,T] f(x) * sin(nω0x) dx这样，我们就可以通过计算这些积分来得到傅里叶系数，从而得到函数f(x)的傅里叶级数展开。

傅里叶级数的展开形式非常有用，因为它可以将一个复杂的周期函数简化成一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。

这使得我们可以更好地理解函数的周期性特征，并且可以方便地对函数进行分析和处理。

在信号处理中，傅里叶级数可以用来分析和合成信号。

函数的傅里叶级数展开

2
k 1
其中
ak bk
f t cos ktdt k 0,1,2,

1

f t sin ktdt k 0,1,2,

1

傅里叶级数的部分和
a0 S n f x ~ ak cos kx bk sin kx 2 k 1 1 1 n f t cos kt cos kx sin kt sin kx dt 2 k 1 1 1 n f t cos k t x dt 2 k 1
其中每一个函数在长为 2 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零见1, 2 ，而每个函数自身平方的积分非零见3 。我们称这个函数系在长为 2 的区间上具有正交性。
三、傅里叶系数
设函数 f x 已展开为全区间设的一致收敛的三角级 a0 f x ak cos kx bk sin kx 现在利用三角函数数 2 k 1 系数的正交性来研究系数 a0 , ak , bk k 1,2, 与 f x 的关系。将上述展开式沿区间 , 积分，右边级数可以逐项积分，由 1 得到 a0 f x dx 2 a0 即
a0 1

2 f x dx
又设 n是任一正整数，对 f x 的展开式两边乘以 cos nx 沿 , 积分，由假定，右边可以逐项积分，由 1, 2
和 3 ，得到
f x cos nxdx a cos nxdx a cos kx cos nxdx b sin kx cos nxdx 2
b
b

高等数学傅里叶级数展开公式

高等数学傅里叶级数展开公式
摘要：
1.傅里叶级数的概念与意义
2.傅里叶级数展开公式的形式
3.傅里叶级数展开的步骤与方法
4.傅里叶级数在实际应用中的例子
5.总结
正文：
高等数学中的傅里叶级数是一种重要的数学工具，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。

傅里叶级数是一种特殊的三角级数，它可以将任何周期函数展开为一系列正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数展开公式的形式如下：
f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nx) + bn*sin(nx)]（n 从0 至正无穷）
其中，f(x) 是待展开的函数，an 和bn 是傅里叶系数，n 是积分次数，x 是自变量。

要展开傅里叶级数，需要先确定傅里叶系数an 和bn。

这可以通过以下步骤实现：
1.对函数f(x) 进行一次积分，得到函数F(x)
2.对F(x) 进行傅里叶变换，得到傅里叶级数展开式
3.由展开式中的系数，求出an 和bn
在实际应用中，傅里叶级数有着广泛的应用。

例如，在信号处理领域，傅里叶级数可以用来将信号从时域转换到频域，以便于分析信号的频率特性。

在
图像处理领域，傅里叶级数可以用来对图像进行频域滤波，以去除图像中的噪声。

总之，傅里叶级数是高等数学中的一种重要数学工具，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。

高数12.7傅里叶级数

o
x

o
x
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ] 上展成正弦级数
周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 , ]上展成余弦级数
例6. 将函数数与余弦级数 .
分别展成正弦级
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 2 ( x 1) sin nx d x
周期函数, 并满足条件 (充分条件): 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
2 2
2 2 ( 2 k 1 )
x=0时,得
1 1 1 2 0= ) (1 2 2 2 3 5 (2n 1) 4 2 1 1 1 所以 1 2 2 =σ 2 3 5 (2n 1) 8 1 1 1 1 1 1 S= 1 2 2 2 = σ+ 2 2 2 2 4 (2n) 2 3 n S = σ+ 4 2 2 4 4 1 1 1 所以 1 2 2 2 3 3 8 2 3 n 6 2 1 1 1 S 2 2 2 2 4 (2n) 24 4
例3. 将函数
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数如图 1 a0 f ( x)d x

展成傅里叶