20162017学年四川省成都外国语学校高一(上)期末数学试卷
【四川省成都外国语学年校】2017届高三上学年期期末数学年(理科)试题答案
四川省成都外国语学校2017届高三上学期期末数学（理科）试卷第Ⅰ卷1．已知()1i i z +∙=-，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合0x a A xx a ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，若1A ∉，则实数a 取值范围为（ ） A ．()[),11,-∞-+∞ B .[]1,1-C .(][),11,-∞-+∞D .(]1,1-3．抛物线22y x =的准线方程是（ ） A .12x =-B .12y =-C .18y =-D .18x =-4．若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得2210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）A .(,-∞B .(3⎤⎦C .92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .{}35．已知角α终边与单位圆221x y +=的交点为1,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πsin 22α⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．D ．16．执行如图的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617a a a a +++的值为（ ） A ．55B ．52C ．39D ．268．ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 1B =，向量(),p a b =，()1,2q =，若//p q ，则角A 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π39．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A .19π3B C .6π D21π310．等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=，1AC BC ==，点M ，N 分别是AB ，BC 中点，点P 是ABC △（含边界）内任意一点，则AN MP ∙的取值范围是（ ）A ．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．2⎡⎢⎣⎦B ．42⎡⎢⎣⎦C ．2⎢⎣D ．12．设函数()f x '是函数()()f x x ∈R 的导函数，()01f =，且()()33f x f x ='-，则()()4f x f x >'的解集为（ ）A ．ln4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．ln2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭第Ⅱ卷13．已知()22120x y -++=,则()2016xy =_______14．已知直线L 经过点()4,3P --，且被圆()()221225x y +++=截得的弦长为8，则直线L 的方程是_________．15．若直线()100,0ax by a b +-=>>过曲线()1sin π02y x x =+<<的对称中心，则12a b+的最小值为_________．16．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．如2y x=是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()3f x x mx =+是区间[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，8AB AC ∙=，BAC θ∠=，4a =．（Ⅰ）求b c ∙的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数()22π2cos 4f θθθ⎛⎫=++⎪⎝⎭18．（12分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB △以 直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正弦值.19．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（1）求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及均值.20．（12分）如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()ln 1af x x x =++．（1）当2a =时，证明对任意的()1,x ∈+∞，()1f x >； （2）求证：()()1111ln 135721n n N n *+>++++∈+； （3）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的道题中任选一题做答，并用铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅2．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A． B．C．D．3．已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=（）A．B．1 C．0 D．4．下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若不平行的两个非零向量满足，则D．若与平行，则5．若角θ是第四象限的角，则角是（）A．第一、三象限角 B．第二、四象限角C．第二、三象限角 D．第一、四象限角6．已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（3﹣2x）的定义域为（）A．[﹣5，5]B．[﹣1，9]C．D．7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）A．B．C．D．10．若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b11．不存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（|x+1|）=x2+2x B．f（cos2x）=cosx C．f（sinx）=cos2x D．f（cosx）=cos2x12．已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在二分法求方程f（x）=0在[0，4]上的近似解时，最多经过次计算精确度可以达到0.001．14．若=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．15．已知函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为．16．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．化简求值．（1）（2）（lg2）2+lg20×lg5+log92•log43．18．求值．（1）已知，求1+sin2α+cos2α的值；（2）求：的值．19．已知函数sin（π﹣2x）（1）若，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调增区间．20．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证： +与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．21．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．22．若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅【考点】交集及其运算；指、对数不等式的解法．【分析】求出集合MN，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：A2．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A． B．C．D．【考点】二分法的定义．【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．【解答】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．3．已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=（）A．B．1 C．0 D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的特点：不含奇次项得到b=0，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a的值，求出a+b．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，∴a﹣1=﹣2a，b=0，解得a=，b=0，∴a+b=．故选D．4．下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若不平行的两个非零向量满足，则D．若与平行，则【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用向量的数量积以及向量的模判断选项即可．【解答】解：对于A，，如果=，则，也可能，所以A不正确；对于B ，若，则或，或，所以B 不正确；对于C ，若不平行的两个非零向量满足，==0，则，正确；对于D ，若与平行，则或=﹣，所以D 不正确．故选：C ，5．若角θ是第四象限的角，则角是（ ）A ．第一、三象限角B ．第二、四象限角C ．第二、三象限角D ．第一、四象限角 【考点】象限角、轴线角．【分析】由已知可得，求出﹣的范围得答案．【解答】解：∵角θ是第四象限的角，∴，则，k ∈Z ，∴，k ∈Z ．则角是第一、三象限角．故选：A ．6．已知函数f （x +1）的定义域为[﹣2，3]，则f （3﹣2x ）的定义域为（ ）A ．[﹣5，5]B ．[﹣1，9]C ．D ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由已知求出f （x ）的定义域，再由3﹣2x 在f （x ）的定义域范围内求解x 的取值范围得答案．【解答】解：由函数f （x +1）的定义域为[﹣2，3]， 即﹣2≤x ≤3，得﹣1≤x +1≤4，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，由﹣1≤3﹣2x≤4，解得≤x≤2．∴f（3﹣2x）的定义域为[﹣，2]．故选：C．7．图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．8．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】由函数是奇函数得到f（﹣x）=﹣f（x）和f（x+2）=f（x）把则进行变形得到﹣f（），由∈（0，1）满足f（x）=2x，求出即可．【解答】解：根据对数函数的图象可知＜0，且=﹣log223；奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x）则=f（﹣log223）=﹣f（log223）=﹣f（log223﹣4）=﹣f（），因为∈（0，1）∴﹣f（）==，故选：B9．在△ABC中，若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】O为△ABC内角平分线的交点，令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有a+b+c=，利用向量的多边形法则可得=+，化简整理即可得出结论．【解答】解：∵O为△ABC的内心，∴O为△ABC内角平分线的交点，令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有a+b+c=，∴a+b（+）+c（++）=，∴（a+b+c）=（b+c）+c，∴=+，∴λ+μ=+==．故选C．10．若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】由y=log m3（0＜m＜1）是减函数，y=log m3（m＞1）是增函数，利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，y=log m3（0＜m＜1）是减函数，y=log m3（m＞1）是增函数，∴当a，b，c均大于1时，a＞b＞c＞1；当a，b，c均小于1时，1＞a＞b＞c＞0；当a，b，c中有1个大于1，两个小于1时，c＞1＞a＞b＞0；当a，b，c中有1 个小于1，两个大于1时，b＞c＞1＞a＞0．故选：A．11．不存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（|x+1|）=x2+2x B．f（cos2x）=cosx C．f（sinx）=cos2x D．f（cosx）=cos2x【考点】抽象函数及其应用．【分析】若f（cos2x）=cosx，则有f（1）=1且f（1）=﹣1，根据函数的定义，可得结论．【解答】解：若f（|x+1|）=x2+2x=（x+1）2﹣1，则f（x）=x2﹣1，x≥1，故存在函数f（x），使A成立；若f（sinx）=cos2x=1﹣2sin2x，则f（x）=1﹣2x2，﹣1≤x≤1，故存在函数f（x），使C成立；若f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，则f（x）=2x2﹣1，﹣1≤x≤1，故存在函数f（x），使D 成立；当x=0时，f（cos2x）=cosx可化为：f（1）=1，当x=π时，f（cos2x）=cosx可化为：f（1）=﹣1，这与函数定义域，每一个自变量都有唯一的函数值与其对应矛盾，故不存在函数f（x）对任意x∈R都有f（cos2x）=cosx，故选：B．12．已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求．【解答】解：∵α、β是函数g（x）=2sinx+cosx﹣m在（0，π）内的两个零点，即α、β是方程2sinx+cosx=m在（0，π）内的两个解，∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，∴2×2×cos sin=﹣2sin sin，∴2cos=sin，∴tan=2，∴cos（α+β）===﹣，故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在二分法求方程f（x）=0在[0，4]上的近似解时，最多经过12次计算精确度可以达到0.001．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a，b），那么经过1次取中点后，区间的长度是，…，经过n次取中点后，区间的长度是，只要这个区间的长度小于精确度m，那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，由此可得结论．【解答】解：初始区间是[0，4]，精确度要求是0.001，需要计算的次数n满足＜0.001，即2n＞4000，而210=1024，211=2048，212=4096＞4000，故需要计算的次数是12．故答案为：1214．若=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，计算数量积结合cosθ≠1，推出λ的取值范围．【解答】解：=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，cosθ＞0且cosθ≠1，而cosθ==，∴λ＞﹣且8+3λ≠5×，即λ＞﹣且λ≠．故答案为：．15．已知函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为{﹣2，2} ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意，函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．即可求解．【解答】解：由题意，函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．∵x∈R，2x＞0，要使2x+a2﹣4值域为R，∴只需4﹣a2=0得：a=±2．∴得a取值的集合为{﹣2，2}．故答案为{﹣2，2}．16．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则t=x2﹣2x+2m2﹣1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f（t）与y=m交点横坐标的最小值，由其大于2m2﹣2，结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m2﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m2﹣1的对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m2﹣1=2m2﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2﹣2①，又0＜m＜3②，联立①②得0＜m＜．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．化简求值．（1）（2）（lg2）2+lg20×lg5+log92•log43．【考点】方根与根式及根式的化简运算．【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简即可，（2）根据对数的运算性质化简即可．【解答】解：（1）（2）（lg2）2+lg20×lg5+log92•log4318．求值．（1）已知，求1+sin2α+cos2α的值；（2）求：的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．（2）利用诱导公式，两角差的三角公式，化简要求式子，可得结果．【解答】解：（1）∵已知，∴1+sin2α+cos2α===．（2）=====2，19．已知函数sin（π﹣2x）（1）若，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调增区间．【考点】三角函数的最值；复合函数的单调性．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，求出时f（x）的取值范围即可；（2）根据复合函数的单调性列出不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：（1）函数sin（π﹣2x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，当时，，故，，所以f（x）的取值范围是[0，3]；（2）由题意有，解得，即+2kπ≤2x+＜+2kπ，k∈Z，所以+kπ≤x＜+kπ，k∈Z；所以函数的单调增区间为[+kπ， +kπ），k∈Z．20．已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证： +与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用平面向量的坐标运算与数量积为0，即可证明+与﹣垂直；（2）利用平面向量的数量积与模长公式，结合三角恒等变换与同角的三角函数关系，即可求出sinα的值．【解答】解：（1）证明：、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），．∴+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∴（+）•（﹣）=（cos2﹣cos2β）+（sin2α﹣sin2β）=（cos2α+sin2α）﹣（cos2β+sin2β）=1﹣1=0，∴+与﹣垂直；（2）∵=（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α﹣β），且β=，|+|=，∴2+2cos（α﹣）=，解得cos（α﹣）=；又α∈（﹣，），∴α﹣∈（﹣，0），∴sin（α﹣）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=﹣×+×=﹣．21．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．（2）利用函数的单调性将不等式转化为4x+a•2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指数不等式的性质求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：令x=，y=3得f（1）=[f（）]3，∵．∴所以f（1）＞1．令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]y，即f（x）=[f（1）]x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．（2）f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，对任意x∈R，有f （x）＞0，故f（0）=1，f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥f（0），由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a•2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立令2x=t，t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；ii）得．综上可知．22．若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）在（0，1）上有“溜点”，利用定义，推出在（0，1）上有解，转化h（x）=4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点，然后求解即可．（2）推出a＞0，在（0，1）上有解，设，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3），利用基本不等式求解，得到实数a的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）在（0，1）上有“溜点”，即f（x+1）=f（x）+f（1）在（0，1）上有解，即在（0，1）上有解，整理得在（0，1）上有解，从而h（x）=4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点，故h（1）＞g（1），即，得，（2）由题已知a＞0，且在（0，1）上有解，整理得，又．设，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3）．于是则．从而．故实数a的取值范围是．2017年2月23日。
四川省成都外国语学校2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数的最小值为（）A．2 B．C．1 D．不存在2．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．273．若△ABC外接圆的面积为25π，则=（）A．5 B．10 C．15 D．204．若△ABC是边长为a的正三角形，则•=（）A．a2B．﹣a2C．a2D．﹣a25．若等差数列{a n}的前15项和为5π，则cos（a4+a12）=（）A．﹣B．C．D．±6．已知cos（α﹣）=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A．2B．C．3 D．29．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．2410．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）A．B．2C．πD．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．cos140°+2sin130°sin10°=______．14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=______．15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE 与平面PAC所成的角为______．16．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：①若a﹣2b+3c=0，则的最小值是3；②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；④若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（a﹣c，b﹣a）互相垂直．（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围．18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．19．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P ﹣CD﹣A的正切值．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．22．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（2）=2，数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（﹣1），c n=，记T n=（c1+c2+…+c n）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n＞M时，不等式|T n﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数的最小值为（）A．2 B．C．1 D．不存在【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】要求函数的最小值，本题形式可以变为用基本不等式求函数最值，用此法时要注意验证等号成立的条件是不是具备．【解答】解：由于==令t=，则t≥2，f（t）=t在（2，+∞）上单调递增，∴的最小值为：故选B．2．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【考点】等差数列；等差数列的通项公式．【分析】数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，可得a n+1﹣a n=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，∴a n+1﹣a n=﹣3，∴a2﹣a1=﹣3，a3﹣a2=﹣3，…a8﹣a7=﹣3，进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，∴a8=﹣21+1=﹣22，故选C；3．若△ABC外接圆的面积为25π，则=（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】正弦定理；运用诱导公式化简求值．【分析】由已知及圆的面积公式可求三角形的外接圆的半径为R，由正弦定理可得AB=10sinC，BC=10sinA，从而利用三角形内角和定理化简所求即可得解．【解答】解：∵△ABC外接圆的面积为25π，∴设三角形的外接圆的半径为R，则πR2=25π，解得：R=5，∴由正弦定理可得：=2R=10，∴AB=10sinC，BC=10sinA，∴===10．故选：B．4．若△ABC是边长为a的正三角形，则•=（）A．a2B．﹣a2C．a2D．﹣a2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据、的夹角为120°，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值．【解答】解：∵△ABC是边长为a的正三角形，则•=a•a•cos=﹣，故选：B．5．若等差数列{a n}的前15项和为5π，则cos（a4+a12）=（）A．﹣B．C．D．±【考点】等差数列的通项公式．【分析】由=5π，求出，由此能求出cos（a4+a12）的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前15项和为5π，∴=5π，∴，∴cos（a4+a12）=cos=cos（）=﹣cos=﹣．故选：A．6．已知cos（α﹣）=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】先利用余弦的二倍角公式求得cos[2（α﹣）]的值，进而利用诱导公式求得答案．【解答】解：cos[2（α﹣）]=2cos2（α﹣）﹣1=2×（）2﹣1=﹣=cos（2α﹣）=sin2α．∴sin2α=cos（2α﹣）=﹣故选C7．已知O为△ABC内一点，若对任意k∈R有|+（k﹣1）﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上均有可能【考点】三角形的形状判断．【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得k=，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC 与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．【解答】解：从几何图形考虑：|﹣k|≥||的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得k=，∴|﹣k|=|﹣|=||≥||，又点E不论在任何位置都有不等式成立，∴由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90°，则△ABC一定是直角三角形．故选A8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A．2B．C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图和勾股定理求出棱长，由棱长的大小判断出面积最大的面，由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图所示，且PD⊥平面ABC，D是AC的中点，PD=2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC⊥BC，∴PA=PC=BD==，AB=2则PB===3，∴棱长PB最大，其次AB，则△PAB的面积是各个面中面积最大的一个面，在△PAB中，由余弦定理得cos∠ABP===，∵0＜∠ABP＜π，∴∠ABP=，则△PAB的面积S===3，故选：C．9．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）A．B．2C．πD．【考点】棱锥的结构特征．【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为E，根据题目条件可知△PAE≌△CBE，∴PE=CE，点E也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点E，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，∴M的轨迹为线段DE．∵AD=2，AE=1，∴DE=．故选：A．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】先由p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx2﹣2ax+c=0判别式△=4a2﹣4bc的符号，决定根的情况即可得答案．【解答】解：∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列∴a2=pq，b+c=p+q．解得b=，c=；∴△=（﹣2a）2﹣4bc=4a2﹣4bc=4pq﹣（2p+q）（p+2q）===﹣（p﹣q）2又∵p≠q，∴﹣（p﹣q）2＜0，即△＜0，原方程无实根．故选A．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱柱的结构特征．【分析】①利用三角形中位线定理、正方体的性质可得MN∥AC，再利用线面平行的判定定理即可判断出正误；②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，由平行线的性质可得，==，即可判断出正误；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误．④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，即可判断出正误．【解答】解：①∵M，N，分别是棱D1C1，A1D1的中点，∴MN∥A1C1∥AC，MN⊄平面APC，AC⊂平面APC，∴当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC，正确；②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，∴==，则=，正确；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q∥OM，而M点在平面APC内，∴C1Q∥平面APC相交，因此正确；④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，过P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=6条，因此不正确．其中正确为①②③，其个数为3．故选：C．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．cos140°+2sin130°sin10°=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，积化和差公式，特殊角的三角函数值化简即可得解．【解答】解：cos140°+2sin130°sin10°=cos（90°+50°）+2sin（90°+40°）sin（90°﹣80°）=﹣sin50°+2cos40°cos80°=﹣cos40°+2× [cos120°+cos（﹣40°）]=﹣cos40°+（﹣）+cos40°=﹣．故答案为：．14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设出每间虎笼的长和宽，利用周长为定值，根据基本不等式，求出面积最大时的长与宽的值．【解答】解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，则4x+6y=36，S=xy．∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，由基本不等式，得18≥2，∴xy≤，当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值，∴=．故答案为：．15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE 与平面PAC所成的角为600．【考点】直线与平面所成的角．【分析】在正四棱锥中，连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥平面ABCD得到∠BEO 是直线BE与平面PAC所成的角，根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，BD，交于O连接PO，则PO⊥平面ABCD，则在正四棱锥中，BO⊥平面PAC，则连接OE，DE，则∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，∵正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，∴V=•PO=2，则高PO=1，∵底面积为6，∴BC=，OC=OB=，则侧棱PB=PC==2，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，则EH⊥OC，则EH=PO=，OH==，则OE===1，在直角三角形BOE中，tan∠BEO==，则∠BEO=60°，故答案为：60016．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：①若a﹣2b+3c=0，则的最小值是3；②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；④若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2．其中正确结论的序号是①②④．【考点】基本不等式．【分析】变形，利用基本不等式，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若a﹣2b+3c=0，则2b=a+3c≥2，∴b2≥3ac，∴≥3，∴的最小值是3，正确；②设t=a+2b，则t＞0，由a+2b+2ab=8得2ab=8﹣（a+2b）≤，即8﹣t≤，整理得t2+4t﹣32≥0，解得t≥4或t≤﹣8（舍去），即a+2b≥4，所以a+2b的最小值是4．正确；③∵a，b，c＞0，∴a+c＞0，a+b＞0，∵a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=4，∴2a+b+c的最小值为4，不正确；④若a2+b2+c2=4，则4=a2+b2+b2+c2≥2ab+2bc，∴ab+bc≤2，∴ab+bc的最大值是2，正确综上所述，正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（a﹣c，b﹣a）互相垂直．（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由⊥，得（a+c）（a﹣c）+b（b﹣a）=0化简整理得a2+b2﹣c2=ab代入余弦定理即可求得cosC，结合C的范围进而求得C．（2）由第二问得到的A与B的关系式，用A表示出B，代入所求的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围．【解答】解：，∴，∵0＜C＜π，∴．，∴，∴=，∵，∴，∴＜sinA+sinB=sin（A+）≤．则sinA+sinB的取值范围是（，]．18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理即可证明．（2）由（1）的证明知PN∥BD，可得∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．再利用正方形的性质即可得出．【解答】（1）证明：∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，又PN⊄平面BCD，QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD．∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD⇒PN∥BD，∵PN⊂截面PQMN，BD⊄截面PQMN，∴BD∥截面PQMN．（2）解：由（1）的证明知PN∥BD，∴∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．∵截面PQMN是正方形，∴∠NPM=45°．∴异面直线PM与BD所成的角是450．19．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出a n；（2）由（1）化简和对数的运算法则化简b n=log2，代入c n=化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T n，即可求出答案．+4（n≥2），【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a n=3S n﹣1当n=2时，a2=3S1+4=7，+4（n≥2），得a n+1=3S n+4，当n≥2时，由a n=3S n﹣1两式相减得，a n+1=4a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，则（n≥2），此时对n=1不成立，∴；（2）由（1）得，b n=log2==2n，则c n==，∴，①，②①﹣②得，=﹣=，∴，即．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P ﹣CD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，推导出CD⊥AE，PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAE．（2）推导出∠PEA是二面角的平面角，，由此能求出，由此能求出二面角P﹣CD﹣A的正切值．【解答】证明：．，∴CD⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．，∴CD⊥平面PAE．解：（2）∵CD⊥平面PAE，∴∠PEA是二面角的平面角，．由（1）知，BG⊥平面PAE，∴．．，∴Rt△PBA≌Rt△BPF，∴PA=BF．∵BCDG是平行四边形．GD=BC=3，∴AG=2．∵AB=4，BG⊥AF，∴，，∴，，∴，∴tan=，∴二面角P﹣CD﹣A的正切值是．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，得出a，b，c的关系，再解关于x 的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，得出，即可求的最大值．【解答】解：（1）∵ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，∴a＜0，﹣3+4=﹣．∴bx2+2ax﹣（c+3b）＜0⇔﹣ax2+2ax+15a＜0（a＜0）⇔x2﹣2x﹣15＜0，∴解集为（﹣3，5）．（2）∵f（x）≥2ax+b⇔ax2+（b﹣2a）x+c﹣b≥0恒成立，∴，∴0≤b2≤4a（c﹣a），∴﹣1，∵4a （c ﹣a ）≥b 2≥0，∴c ≥a ＞0⇒≥1⇒t ≥0．∴≤=．令g （t ）=（t ≥0）．当t=0时，g （0）=0，当t ＞0时，g （t ）=≤=2﹣2，∴的最大值为2﹣2．22．函数f （x ）满足：对任意α，β∈R ，都有f （αβ）=αf （β）+βf （α），且f （2）=2，数列{a n }满足a n =f （2n ）（n ∈N +）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =（﹣1），c n =，记T n =（c 1+c 2+…+c n ）（n ∈N +）．问：是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，不等式|T n ﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M ；若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；数列的应用．【分析】（1）通过代入计算可知a n+1=2a n +2n+1，进而通过构造出首项、公差均为1的等差数列{}，计算即得结论；（2）通过（1）可知c n =﹣，通过放缩可知﹣＜c 1+c 2+…+c n ＜（n ＞2），利用等价条件可n ＞=146，进而整理即得结论．【解答】解：（1）∵数列{a n }满足a n =f （2n ）（n ∈N +）， ∴a 1=f （2）=2，又∵对任意α，β∈R ，都有f （αβ）=αf （β）+βf （α）， ∴a n+1=f （2n+1）=2f （2n ）+2n f （2）=2a n +2n+1，两边同时除以2n+1得：﹣=1，∴数列{}是首项、公差均为1的等差数列，∴=n ，即a n =n •2n ；（2）由（1）可知，b n =（﹣1）=2n （2n ﹣1），c n ====﹣＜，∴c 1+c 2+…+c n ＜，∵c n =﹣=﹣=﹣，∴c n =﹣＞﹣（n ＞2），∴c 1+c 2+…+c n ＞﹣•=﹣+＞﹣（n ＞2），∴﹣＜c 1+c 2+…+c n ＜（n ＞2），∵不等式|T n ﹣|＜恒成立等价于＜，等价于n ＞=146，∴存在正整数M=146（或147，148，149，…），使得不等式|T n ﹣|＜恒成立．2016年9月19日。
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试
成都外国语学校2016-2017学年度下期期末考试高一数学试题(文科)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。
2. 本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第Ⅰ卷（60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．直线与的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．与的值有关2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B． C.D．3.一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )A. B.C. D.4.在中，若，则的形状一定（ )A.等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形5. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．，则B．，则C.，则D．，则6．设数列是首项为, 公比为的等比数列, 它的前项和为,对任意, 点( )A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 不一定在一条直线上7.已知A是锐角，，则（）。
A. B. C. D.8.将正方形沿对角线折叠成一个四面体，当该四面体的体积最大时，直线与所成的角为（）A、 B、 C、 D、9.设等差数列满足，且，则前项和中最大的是（）A. B. C. D.10.满足, 的恰有一个, 那么的取值范围是( )A. B. C. D. 或11.列、均为等比数列，其前项和分别为，若对任意的都有，则=（）A. 19B. 30C. 27D. 912.在棱长为的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的的中点P、Q作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（）A、B、C、D、二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）13. 若点P在平面区域上，则u 的取值范围为．14.函数的图像恒过定点, 若点在直线上, 则的最小值是.15.已知的三个内角A、B、C成等差数列，且，则边BC上的中线AD的长为。
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一下期期末考试数学(理)试题 Word版含答案1.直线 $xcos\theta+ysin\theta+a=0$ 和 $xsin\theta-ycos\theta+b=0$ 的位置关系是（）A。
平行 B。
垂直 C。
重合 D。
与 $a,b,\theta$ 的值有关2.若 $a,b\in R$，且 $ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是（）A。
$a+b>2ab$ B。
$\frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{ab}\leq a+b$ C。
$a+\frac{1}{b}\geq 2$ D。
$a+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{ab}$3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A。
$\frac{2\pi}{3}$ B。
$\frac{4\pi}{3}$ C。
$2\pi+\frac{2}{3}$ D。
$4\pi+\frac{2}{3}$4.在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin(A-B)=1+2\cos(B+C)\sin(A+C)$，则 $\triangle ABC$ 的形状一定是A。
等边三角形 B。
不含 $60^\circ$ 的等腰三角形 C。
钝角三角形 D。
直角三角形5.设 $a,b$ 是空间中不同的直线，$\alpha,\beta$ 是不同的平面，则下列说法正确的是A。
$a//b,b\perp\alpha$，则 $a\perp\alpha$ B。
$a\perp\alpha,b\perp\beta,\alpha//\beta$，则 $a//b$ C。
$a\perp\alpha,b\perp\beta,a//\beta,b//\beta$，则$\alpha//\beta$ D。
$\alpha//\beta,a\perp\alpha$，则 $a//\beta$6.设数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $m$，公比为 $q(q\neq 1)$ 的等比数列，它的前 $n$ 项和为 $S_n$，对任意 $n\in N^*$，点$(a,S_{2n})$ 位于A。
四川省成都外国语学校2016_2017学年高中一年级上学期期末考试卷_数学
下载可编辑成都外国语学校2016 —2017学年度上期期末考试高一数学试卷第I卷(选择题共60分)、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。
1.已知集合M ='x x2—1 兰0〉, N =!x 1 £2x j4,x^Z ,,则M N =I 2J4.下列说法中正确的是C.若不平行的两个非零向量a,b满足|a|=|b| ,贝U (a F) (a-b) =05.若角二是第四象限的角，则角-三是2A.第一、三象限角B第二、四象限角C第二、三象限角 D.第一、四象限角6.已知函数f(x 1)的定义域为[—2, 3],则f(3-2x)的定义域为,只有一项是符合题B/-1,0? C.C-1,0,1D...3 .已知f (x^ ax2bx 3a b是偶函数，1A.3 B. 1 C.0(1D-3A.若a b = a c，贝U b =c ,B.若a b=0 ,贝U a=0 或b=0D.若a与b平行，则A.[_5,5]1D.[?317.右图是函数y =Asin(「x」)(x ■丨::5 ~R)在区间「上的图象，为了得到这个函数的图像，只要将y =sinx x ：= R的图象上所有的点()2.下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是定义域为[a -1,2a], 则a b =下载可编辑|AC|=3，| BC ^4，O 为 ABC 的内心，且JBC ，则A.向左平移1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6TTB •向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6TTc •向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 D •向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 31—倍，纵坐标不变22倍，纵坐标不变 2倍，纵坐标不变1倍，纵坐标不变28•已知奇函数f （X ）满足f （X 2） 0,1 时，函数 f (x) = 2x ，则 f (g 23) =216 A.2323 B.1616C.—23D 空16 9.在ABC 中，A .3B.c. 7D.10.若实数a,b,c 满足log a3 vlog b3 £log c3，则下列关系中 不可能成立的A. a :: b :: cB.b ：： a ::: cC.c ：： b :: aD. a ■ c ■ b11.不存在函数f (x)满足，对任意x^R 都有()2A. f(|x 1|)=x 2xB. f(cos2x) =cosxC. f(sinx)二cos2xD. f(cosx) = coS2x 12.已知f x=2si nx ，cox ,若函数g x= f x- m 在x •0,二 上有两个不同零点 〉、：，则COS(-：I 5 )二()4343A.—B.-C.——D.--5 55 5第U 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 在二分法求方程 f （x ）=0在［0, 4］上的近似解时，最多经过 ________ 计算精确度可以达到 0.001. 14. 若a=（入，2）, b=（3 , 4）,且a 与b 的夹角为锐角，则人的取值范围是 ________15. 已知函数f （x ）=l n （2x +a 2-4）的定义域、值域都为R ,则a 取值的集合为 ______________2lg2 lg 20 lg5 + log 9 2 log 4 318. (本题满分12分)求值.(1)已知tan -二、2，求1 sin 2〉- cos2〉的值；⑵求2sin50飞血3tan10)的值J1 +si n100「19. (本题满分12 分)已知函数f(x)=2sin2(x ^)3sin(^-2x)(1)若x [0,才，求f(x)的取值范围；(2)求函数y = log 1 f (x)的单调增区间21 2x +11 x <116.已知m E R ,函数f (x)=丿' ,g(x) = x2—2x + 2m2 -1 ,若函数y = f (g(x))Jn( x —1), x A1个零点则实数m的取值范围是_________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本题满分10分，每小题5分)化简求值.1 _ _(4)261^ li 2 (1.03)° G，6)320.(本题满分12分)已知a, b 是两个不共线的向量，且a=(cos 〉，si n ),b = (cos ： ,si n ：)ffffii(1)求证：a+b 与 a —b 垂直；(2)若GW (— -------------- )4'421.(本题满分12分)函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件：①对任意X ，R ,有f(x)>0;②对任意1x, y 壬R 有f (xy) =[ f (x)]y :③f (?) >1 •( 1)求证:f (x)在R 上是单调增函数；(2)若 f (4X a 2x1 -a 2，2) -1对任意* R 恒成立，求实数a 的取值范围.22.(本题满分12分)若在定义域内存在实数X 。
成都外国语学校2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年四川省成都外国语学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p：∃x∈R，sinx＞1，则( ）A．¬p：∃x∈R，sinx≤1 B．¬p：∃x∈R，sinx≤1C．¬p：∀x∈R，sinx≤1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞12．若10件产品中有7件正品,3件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率是( )A．B．C．D．3．“﹣3＜m＜5"是“方程+=1表示椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图,若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞45．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF和线段FQ的长分别是p，q ，则等于( ）A ．B ．C．2a D．4a6．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知a∈R,若方程a2x2+（a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则此圆心坐标（）A．(﹣2，﹣4) B ．C．（﹣2，﹣4）或D．不确定8．样本(x1，x2，…，x n ）的平均数为，样本（y1，y2，…y m)的平均数为，若样本（x1，x2，…，x n，y1，y2,…y m）的平均数，其中0＜a ＜，则m，n的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定9．某农户计划种植黄瓜和冬瓜,种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜与冬瓜的产量、成本和售价如表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1。
2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax 2﹣2x ﹣1=0}只有一个元素则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．﹣1D ．0或﹣12．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．若tan α=2，tan β=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知sin α+cos α=（0＜α＜π），则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．或5．设a=sin ，b=cos，c=tan，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知x ∈[0，1]，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）成中心对称，，则x 0=（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）10．将函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间（，）上单调递减 B ．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= ．14． = ．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．二、解答题17．若，，，则= ．18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f （x ）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．19．已知函数f （x ）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g （x ）=f （3x ）在上是增函数，求ω的最大值．20．已知函数f （x ）=2x 2﹣3x+1，，（A ≠0）（1）当0≤x ≤时，求y=f （sinx ）的最大值；（2）若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[0，3]，使f （x 1）=g （x 2）成立，求实数A 的取值范围；（3）问a 取何值时，方程f （sinx ）=a ﹣sinx 在[0，2π）上有两解？[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（）A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可．【解答】解：根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，①a=0，，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0解得a=﹣1．所以a=0或a=﹣1．故选：D．2．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式与两角差的正弦即可求得答案．【解答】解：∵36°+54°=90°，6°+84°=90°，∴sin36°cos6°﹣sin54°cos84°=sin36°cos6°﹣cos36°sin6°=sin（36°﹣6°）=sin30°=，故选A．3．若tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件求得α+β的范围，再结合tan（α+β）=的值，可得α+β的值．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β∈（0，π），再根据tan（α+β）===﹣1，∴α+β=．故选：C．4．已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）A．B．C．D．或【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinαcosα的值小于0，得到sinα＞0，cosα＜0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：将已知等式sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∴sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣．故选B5．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】三角函数线．【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【解答】解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，则1＞cos＞cos＞0，即0＜b＜a＜1，tan＞tan=1，即b＜a＜c，故选：A6．已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【分析】根据幂函数和复合函数的单调性的判定方法可知该函数是增函数，根据函数的单调性可以求得函数的值域．【解答】解：∵函数y=在[0，1]单调递增（幂函数的单调性），y=﹣在[0，1]单调递增，（复合函数单调性，同增异减）∴函数y=﹣在[0，1]单调递增，∴≤y≤，函数的值域为[，]．故选C．7．若，则=（）A．B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵=cos（﹣α），则=2﹣1=2×﹣1=﹣，故选：C．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x，0）成中心对称，，则x=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=kπ﹣，故该函数的图象的对称中心为（kπ﹣，0 ），k∈Z．根据该函数图象关于点（x，0）成中心对称，结合，则x=，故选：B．9．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】分段函数的应用．【分析】利用函数的单调性，函数的值域列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=，当x≥3时，函数是增函数，所以x＜3时，函数也是增函数，可得：，解得a＞﹣1．故选：C．10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间（，）上单调递减B．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式：y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．令2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，可得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin（2x﹣）的单调递增区间为：（，）．故选：B．11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【分析】先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．【解答】解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是锐角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ， +θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故选：D．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]（x+2）=0（a＞1）时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，且是偶函数，当x（x+2）∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，可以做出在区间（﹣2，6]的图象，方程f（x）﹣loga（x+2）的图象恰有3个不同的=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即f（x）的图象与y=loga交点．可得答案．【解答】解：由题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴可得（﹣2，6]的图象如下：从图可看出，要使f（x）的图象与y=log（x+2）的图象恰有3个不同的交点，a则需满足，解得：．故选C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= 0 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】因为，所以可以直接求出：，对于，用表达式的定义得，从而得出要求的答案．【解答】解：∵∴而=∴故答案为：014． = ﹣4．【考点】三角函数的化简求值．【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域[1，13] ．【考点】函数的值域．【分析】根据，求出y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，利用换元法求解值域．【解答】解：由题意，，则f（x2）的定义域为[，2]，故得函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[，2]．∴y=（2+log2x）2+2+2log2x．令log2x=t，（﹣1≤t≤1）．则y=（2+t）2+2t+2=t2+6t+6．开口向上，对称轴t=﹣3．∴当t=﹣1时，y取得最小值为1．当t=1时，y取得最大值为13，故得函数y的值域为[1，13]．故答案为[1，13]．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是①②④（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化简f（x），根据f（x）≤|f（）|可得，a，b的值．然后对个结论依次判断即可．【解答】解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ）．∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立∴当x=时，函数取得最大值，即2×+φ=，解得：φ=．故得f（x）=sin（2x+）．则f（）=sin（2×+）=0，∴①对．②f（）=sin（2×+）=f（）=sin（2×+）=，∴|≥|，∴②对．由2x+，（k∈Z）解得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间是（kπ，kπ+）（k∈Z）；∴③不对f（x）的对称轴2x+=+kπ，（k∈Z）；∴③解得：x=kπ+，不是偶函数，当x=0时，f（0）=，不关于（0，0）对称，∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．故答案为①②④．二、解答题17．若，，，则=．【考点】角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由，，，从而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函数在（﹣1，+∞）单调递增．从而有f（x1）﹣f（x2）=，进而，故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．19．已知函数f（x）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式ω，根据偶函数的性质，求θ的值．（2）根据g（x）=f（3x）求出g（x）的解析式，g（x）在上是增函数，可得，即可求解ω的最大值．【解答】解：（1）由=2（ω＞0）∵又∵y=f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，∴，即ω=2，且，解得：∵，∴当l=0时，．故得为所求；（2）g（x）=f（3x），即g（x）=2（ω＞0）∵g（x）在上是增函数，∴，∵ω＞0，∴，故得，于是k=0，∴，即ω的最大值为，此时．故得ω的最大值为．20．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，，（A≠0）（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数A的取值范围；（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？【考点】三角函数的最值；二次函数的性质；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，由x可得0≤t≤1，从而可得关于 t的函数，结合二次函数的性质可求（2）依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范围，可先求f（x1）值域，然后分①当A＞0时，g（x2）值域②当A＜0时，g（x2）值域，建立关于 A的不等式可求A的范围．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论．【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，x，则0≤t≤1∴∴当t=0时，y max =1（2）当x 1∈[0，3]∴f （x 1）值域为当x 2∈[0，3]时，则有①当A ＞0时，g （x 2）值域为②当A ＜0时，g （x 2）值域为而依据题意有f （x 1）的值域是g （x 2）值域的子集则或∴A ≥10或A ≤﹣20（3）2sin 2x ﹣3sinx+1=a ﹣sinx 化为2sin 2x ﹣2sinx+1=a 在[0，2π]上有两解 换t=sinx 则2t 2﹣2t+1=a 在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x 有两解（5﹣a ）（1﹣a ）≤0或△=0∴a ∈[1，5]或②当t=﹣1时，x 有惟一解③当t=1时，x 有惟一解故a ∈（1，5）∪{}．[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为|log 2t|＜2，解得f （t ）的取值范围．【解答】解：（1）当x ＜0时，解得：x=ln =﹣ln3，当x ≥0时，解得：x=ln3，故函数f （x ）的零点为±ln3； （2）当x ＞0时，﹣x ＜0，此时f （﹣x ）﹣f （x ）===0，故函数f （x ）为偶函数，又∵x ≥0时，f （x ）=为增函数，∴f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2）时，2f （log 2t ）＜2f （2）， 即|log 2t|＜2， ﹣2＜log 2t ＜2，∴t ∈（，4）故f （t ）∈（，）。
2016-2017学年四川省高一上学期期末考试数学试题(解析版)7
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合{}1,0,1,2A =-， {|1}B x x =≤，则A B ⋂等于( ) A. {}1,0,1- B. {}0,1,2 C. {}0,1 D. {}1,2 【答案】A【解析】依题意， []=1,1B -，故{}1,0,1A B ⋂=-.点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其他的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间是包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2．cos585︒的值为( )A.B. -C.D. 【答案】D 【解析】()()cos58=+=3．已知函数()()221,1{log 4,1x f x x x x <=+≥，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B【解析】()214,4log 832f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.4．函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的区间是( ) A. ()0,2 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4 【答案】C【解析】由于()()32log 210,310f f =-=，故选C .5．已知集合2{|20}A x x x =+<， {|1}B x a x a =<<+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. 2a <-或1a >-B. 21a -<<-C. 2a ≤-或1a ≥-D. 21a -≤≤- 【答案】D【解析】依题意()2,0A =-，由于B 是A 的子集，所以2{10a a ≥-+≤，解得[]2,1a ∈--.6．已知函数()()sin (0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的图象（部分）如图所示，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据图象的最高点得到2A =，由于511,2,π4632T T ω=-===，故()()2sin f x x πϕ=+，而1ππ2s i n 2,336f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ππ2s i n 322f ⎛⎫⎛-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝. 7．下列函数中为奇函数的是( )A. cos y x x =B. sin y x x =C. 1n y x =D. 2x y -= 【答案】A【解析】A 为奇函数， B 为偶函数， C,D 为非奇非偶函数。
【数学】2017年四川省成都外国语学校高三(上)期末数学试卷(文科)和解析
2016-2017学年四川省成都外国语学校高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知（1+i）•z=﹣i，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分），则实数a取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1]3．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．4．（5分）若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3]D．λ=35．（5分）已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1B．2C．3D．47．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55B．52C．39D．268．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A．B．C．D．9．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，] 11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，] 12．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题.（20分）13．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=．14．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是．15．（5分）若直线ax+by﹣＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是．三、解答题17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．19．（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级．名学生的原始成绩作为样90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．（1）求n和频率分布直方图中x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率．20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+，f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年四川省成都外国语学校高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知（1+i）•z=﹣i，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵（1+i）•z=﹣i，∴z====﹣﹣，∴复数=﹣+，故复数在复平面对应的点为（﹣，），复数对应的点位于复平面内的第二象限，故选：B．2．（5分），则实数a取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1]【解答】解：根据题意，若1∉A，则当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，若≥0成立，解≥0可得，﹣1＜x≤1，若无意义，则a=﹣1，综合可得，﹣1≤a≤1，故选：B．3．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．4．（5分）若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．[2，3]C．[﹣2，3]D．λ=3【解答】解：若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，由x∈[，2]，当x=时，函数取最小值2，故实数λ的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A．5．（5分）已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意可得，cosα=，则=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1•log34，k=4；第二次运行S=1•log34•log45，k=5；第三次运行S=1•log34•log45•log56，k=6；…直到k=9时，程序行终止，此时S=1•log34•log45•log56•log67•log78•log89=，故选：B．7．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55B．52C．39D．26【解答】解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则=390，解得d=，∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×=52．故选：B．8．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量=（a，b），=（1，2），若∥，∴b﹣2a=0，即b=2a，∵sinB=1，∴B=，根据正弦定理得sinB=2sinA，则sinA=，则A=，故选：A．9．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选：B．10．（5分）等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则且=（﹣1，），=（x﹣，y﹣），则•=﹣x+y+，令t=﹣x+y+，结合线性规划知识，则y=2x+2t﹣当直线t=﹣x+y+经过点A（1，0）时，•有最小值，将（1，0）代入得t=﹣，当直线t=﹣x+y+经过点B时，•有最大值，将（0，1）代入得t=，则•的取值范围是[﹣，]，故选：A．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选：B．12．（5分）设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3；可设f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，∴a+c=1；又3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；又4f（x）＞f′（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞，所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题.（20分）13．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=13．【解答】解：依题意，有=，解得n=13，故答案为：13．14．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是x=﹣4和4x+3y+25=0．【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8，设弦心距是d，则由勾股定理，r2=d2+（）2d=3，若l斜率不存在，直线是x=﹣4，圆心和它的距离是﹣3，符合题意，若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4），即kx﹣y+4k﹣3=0，则d==3，即9k2﹣6k+1=9k2+9，解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0，故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0．15．（5分）若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为3+2．【解答】解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）∴a+b=1则+=（）（+b）=3+=3+2最小值为故答案为：3+216．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是﹣3＜m≤．【解答】解：函数f（x）=x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．三、解答题17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b•c的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）因为=bc•cosθ=8，根据余弦定理得：b2+c2﹣2bccosθ=42，即b2+c2=32，（2分）又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，（4分）即，所以，又0＜θ＜π，所以0＜θ；（6分）（Ⅱ）=，（9分）因0＜θ，所以＜，，（10分）当即时，，（11分）当即时，f（θ）max=2×1+1=3．（12分）18．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，∴圆锥的侧面积S=πrl=2×4×π=8π．侧（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，CE=，DE=，tan∠DCE==，∴．∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．19．（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．（1）求n和频率分布直方图中x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率．【解答】解：（1）由题意知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018，（2）成绩是合格等级人数为：（1﹣0.1）×50=45人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A，则P（A）=1﹣（1﹣）3=．20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：当a=2时，f（x）=lnx+，令h（x）=lnx+﹣1，则＞0∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，∴对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）证明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+＞1，即lnx＞，令x=，则，∴，∴ln（n+1）=＞；（3）解：f′（x）=．令f′（x）=0，则x2﹣（a﹣2）x+1=0，△=（a﹣2）2﹣4=a（a﹣4）．①0≤a≤4时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；②a＜0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，函数只有一个零点；③当a＞4时，△＞0，设f'（x）=0的两根分别为x1与x2，则x1+x2=a﹣2＞0，x1•x2=1＞0，不妨设0＜x1＜1＜x2当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减，而∴x∈（x1，+∞）时，f（x）＞0，且f（x1）＞0因此函数f（x）在（0，x1）有一个零点，而在（x1，+∞）上无零点；此时函数f（x）只有一个零点；综上，函数f（x）只有一个零点时，实数a的取值范围为R．…（14分）四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑．注意所选题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，【解答】解：∴（x﹣1）2+y2=1．曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x ﹣y+1=0．（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离．此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，∴y min=4，由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．。
2015-2016学年四川省外国语学校高一(上)期末数学模拟试卷含参考答案
2015-2016学年四川省外国语学校高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是（）A．最大数B．最小数C．既不最大也不最小D．不确定2．（5.00分）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．3．（5.00分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A．6，12，18 B．7，11，19 C．6，13，17 D．7，12，174．（5.00分）甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定5．（5.00分）从1，2，3，4这4个数中，依次不放回地任意取两个数，两个数都为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（5.00分）如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）A．B．C．D．7．（5.00分）阅读下列程序：输入x；if x＜0，then y=；else if x＞0，then y=；else y=0；输出y．如果输入x=﹣2，则输出结果y为（）A．3+πB．3﹣πC．π﹣5 D．﹣π﹣58．（5.00分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）A．B．C．D．9．（5.00分）看下面的伪代码，最终输出的结果是（）S←0For I from 1to 100step 2S←S+I2End forPrint S．A．1+2+3+…+100 B．12+22+32+…+1002C．1+3+5+…+99 D．12+32+52+…+99210．（5.00分）在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A．11 B．12 C．13 D．15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）11．（5.00分）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间[50，+∞）上的频率为．12．（5.00分）有一个简单的随机样本：10，12，9，14，13则样本平均数=，样本方差s2=．13．（5.00分）管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上收据可以估计该池塘有条鱼．14．（5.00分）若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P（m，n）落在圆x2+y2=16内的概率是．三、解答题：（本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12.00分）某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段[60，65），[65，70），…[95，100）进行分组，得到的分布情况如图所示．求：（Ⅰ）该班抽测成绩在[70，85）之间的人数；（Ⅱ）该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比．16．（14.00分）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率．17．（12.00分）10根签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求下列事件的概率：（1）甲中彩；（2）甲、乙都中彩；（3）乙中彩．18．（14.00分）为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：哪种小麦长得比较整齐？19．（14.00分）抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率，（2）事件“点数之和小于7”的概率，（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率．20．（14.00分）为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：[10.75，10.85），3；[10.85，10.95），9；[10.95，11.05），13；[11.05，11.15），16；[11.15，11.25），25；[11.25，11.35），20；[11.35，11.45），7；[11.45，11.55），4；[11.55，11.65]，2；（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；（3）据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是百分之几；（4）数据小于11.20的可能性是百分之几．2015-2016学年四川省外国语学校高一（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是（）A．最大数B．最小数C．既不最大也不最小D．不确定【解答】解：根据冒泡排序法可知：用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮．最大的数逐趟向下沉．故选：A．2．（5.00分）甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有=6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中间的概率P=．另解：甲在三个位置是等可能的，所以甲站在中间的概率P=．故选：C．3．（5.00分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A．6，12，18 B．7，11，19 C．6，13，17 D．7，12，17【解答】解：由题意知：老年人应抽取人数为：28×≈6，中年人应抽取人数为：54×≈12，青年人应抽取人数为：81×≈18．故选：A．4．（5.00分）甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定【解答】解：由题意可知甲、乙平均数相等，∴只要比较甲、乙的方差就可得出正确结果，∵甲、乙两位同学标准差分别为5.09和3.72，甲标准差大于乙标准差，∴发挥得更稳定的是乙，故选：B．5．（5.00分）从1，2，3，4这4个数中，依次不放回地任意取两个数，两个数都为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种其中满足条件两个数都是偶数的有（2，4），（4，2）两种情况故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率P=故选：A．6．（5.00分）如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：三个图形，每一个图形由2种涂色方法，∴总的涂色种数为23=8（种），三个图形颜色完全相同的有2种（全是红或全是蓝），则三个形状颜色不全相同的涂法种数为8﹣2=6．∴三个形状颜色不全相同的概率为．故选：A．7．（5.00分）阅读下列程序：输入x；if x＜0，then y=；else if x＞0，then y=；else y=0；输出y．如果输入x=﹣2，则输出结果y为（）A．3+πB．3﹣πC．π﹣5 D．﹣π﹣5【解答】解：当x=﹣2时，满足判断条件x＜0，执行：y=×（﹣2）+3=3﹣π，输出3﹣π故选：B．8．（5.00分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）A．B．C．D．【解答】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，根据题意，该射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，即4次射击全部没有命中目标的概率为1﹣=，有（1﹣x）4=，解可得，x=，故选：B．9．（5.00分）看下面的伪代码，最终输出的结果是（）S←0For I from 1to 100step 2S←S+I2End forPrint S．A．1+2+3+…+100 B．12+22+32+…+1002C．1+3+5+…+99 D．12+32+52+…+992【解答】解：∵For I from 1to 100step 2∴I的取值为1，3，5，…，99∵S←0，S←S+I2∴最终输出的结果是12+32+52+ (992)故选：D．10．（5.00分）在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A．11 B．12 C．13 D．15【解答】解：通过第一次循环得到s=3，i=4通过第二次循环得到s=7，i=5通过第三次循环得到s=12，i=6此时满足判断框中的条件i＞5，执行输出s=12，故选：B．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）11．（5.00分）一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：（10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2．则样本在区间[50，+∞）上的频率为[0.3] ．【解答】解：∵在（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4，（60，70]，2．∴样本在区间[50，+∞）上共有4+2=6个数据，∴频率==．故答案为：0.3．12．（5.00分）有一个简单的随机样本：10，12，9，14，13则样本平均数=11.6，样本方差s2= 3.44．【解答】解：根据平均数的公式得==．样本方差s2==3.44．故答案为：11.6，3.44．13．（5.00分）管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上收据可以估计该池塘有750条鱼．【解答】解：设该池塘中有x条鱼，由题设条件建立方程：，解得x=750．故答案为：750．14．（5.00分）若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P（m，n）落在圆x2+y2=16内的概率是．【解答】解：由题意以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标（m，n），分析可得，m、n都有6种情况，则点P共有6×6=36种情况；点P（m，n）落在圆x2+y2=16内，即m2+n2＜16的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8种；则点P落在圆内的概率P==；故答案为．三、解答题：（本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12.00分）某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段[60，65），[65，70），…[95，100）进行分组，得到的分布情况如图所示．求：（Ⅰ）该班抽测成绩在[70，85）之间的人数；（Ⅱ）该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比．【解答】解：从频率分布图中看出，抽测成绩各分数段的人数依次为：[60，65）1人，[65，70）2人，[70，75）10人，[75，80）16人，[80，85）12人，[85，90）6人，[90，95）2人，[95，100）1人；∴（Ⅰ）该班抽测成绩在[70，85）之间的人数为10+16+12=38人；（Ⅱ）该班抽测成绩不低于85分的占总人数的百分比是=18%．16．（14.00分）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，从袋中摸球，摸到红球的概率是，三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，∴P=（2）利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次球的所有可能结果：，．3只颜色全相同的概率为P2=2×+2•=．（3）3只颜色不全相同的概率为（或）答：全部摸到红球的概率是，3只颜色全相同的概率是，3只颜色不全相同的概率是17．（12.00分）10根签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求下列事件的概率：（1）甲中彩；（2）甲、乙都中彩；（3）乙中彩．【解答】解：设A={甲中彩} B={乙中彩} C={甲、乙都中彩}则C=AB（1）由题意知P（A）=；（2）由于甲乙都中彩是两个事件同时发生，故有P（C）=P（AB）=（2）由题意知，乙中彩包括两个互斥的事件，即甲中且乙中，甲不中乙中，故．18．（14.00分）为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：哪种小麦长得比较整齐？【解答】解：甲=×（12+13+…+11）=13，s甲2=×[（12﹣13）2+（13﹣13）2+…+（11﹣13）2]=3.6，乙=×（11+16+…+16）=13，s乙2=×[（11﹣13）2+（16﹣13）2+…+（16﹣13）2]=15.8，因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐．∴甲种小麦长势比乙种小麦整齐．19．（14.00分）抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率，（2）事件“点数之和小于7”的概率，（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率．【解答】解：（1）易得每个骰子掷一次都有6种情况，那么共有6×6=36种可能，两颗骰子点数相同的情况有（1，1）；（2，2）；（3，3）；（4，4）；（5，5）；（6，6），共6种，所以，所求的概率是=．（2）事件“点数之和小于7”的基本事件有：（1，1）；（2，1）；（1，2）；（1，3）；（3，1）；（1，4）；（4，1）；（1，5）；（5，1）；（2，2）；（2，3）；（3，2）；（2，4）；（4，2）；（3，3），共计15个，而所有的基本事件共有36个，故事件“点数之和小于7”的概率为=．（3）事件“点数之和等于或大于11”的基本事件有：（5，6）；（6，5）；（6，6），共计3个，而所有的基本事件共有36个，故事件“点数之和等于或大于11”的概率为=．20．（14.00分）为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：[10.75，10.85），3；[10.85，10.95），9；[10.95，11.05），13；[11.05，11.15），16；[11.15，11.25），25；[11.25，11.35），20；[11.35，11.45），7；[11.45，11.55），4；[11.55，11.65]，2；（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；（3）据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是百分之几；（4）数据小于11.20的可能性是百分之几．【解答】解：（1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图及频率分布折线图，如图（3）由上述图表可知数据落在[10.95，11.35）范围内的频率为1﹣（0.03+0.09）﹣（0.07+0.04+0.02）=0.75=75%，即数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是75%；（4）数据小于11.20的可能性即数据小于11.20的频率，设为x，则（x﹣0.41）÷（11.20﹣11.15）=（0.67﹣0.41）÷（11.25﹣11.15），所以x﹣0.41=0.13，即x=0.54，从而估计数据小于11.20的可能性是54%．。
四川省成都外国语学校2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f（x）=（x＞0）的最小值为（）A．2 B．3 C．2D．42．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．273．若△ABC外接圆的半径为5，则=（）A．5 B．10 C．15 D．204．若△ABC是边长为a的正三角形，则•=（）A．a2B．﹣a2C．a2D．﹣a25．若等差数列{a n}的前15项和为5π，则cos（a4+a12）=（）A．﹣B．C．D．±6．已知cos（α﹣）=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．已知O是△ABC所在平面内一点，若对任意k∈R，恒有|﹣﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A．2B．C．3 D．29．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．2410．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）A．B．2C．πD．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．cos140°+2sin130°sin10°=______．14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=______．15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为______．16．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：①若a﹣2b+3c=0，则的最小值是3；②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；④若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（a﹣c，b﹣a）互相垂直．（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围．18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．19．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P ﹣CD﹣A的正切值．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．22．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（α•β）=α•f（β）+β•f（α），且f（2）=2，数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（﹣1），c n=，记T n=（c1+c2+…+c n）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n∈N+时，不等式T n＜恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省成都外国语学校高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f（x）=（x＞0）的最小值为（）A．2 B．3 C．2D．4【考点】基本不等式．【分析】由题意可得f（x）==x+，由基本不等式可得．【解答】解：∵x＞0，∴函数f（x）==x+≥=4，当且仅当x=即x=2时取等号，∴函数f（x）=（x＞0）的最小值为：4，故选：D2．数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【考点】等差数列；等差数列的通项公式．【分析】数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，可得a n+1﹣a n=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，∴a n+1﹣a n=﹣3，∴a2﹣a1=﹣3，a3﹣a2=﹣3，…a8﹣a7=﹣3，进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，∴a8=﹣21+1=﹣22，故选C；3．若△ABC外接圆的半径为5，则=（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵△ABC外接圆的半径为5，∴由正弦定理可得：=2×5=10．故选：B．4．若△ABC是边长为a的正三角形，则•=（）A．a2B．﹣a2C．a2D．﹣a2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据、的夹角为120°，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值．【解答】解：∵△ABC是边长为a的正三角形，则•=a•a•cos=﹣，故选：B．5．若等差数列{a n}的前15项和为5π，则cos（a4+a12）=（）A．﹣B．C．D．±【考点】等差数列的通项公式．【分析】由=5π，求出，由此能求出cos（a4+a12）的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前15项和为5π，∴=5π，∴，∴cos（a4+a12）=cos=cos（）=﹣cos=﹣．故选：A．6．已知cos（α﹣）=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】先利用余弦的二倍角公式求得cos[2（α﹣）]的值，进而利用诱导公式求得答案．【解答】解：cos[2（α﹣）]=2cos2（α﹣）﹣1=2×（）2﹣1=﹣=cos（2α﹣）=sin2α．∴sin2α=cos（2α﹣）=﹣故选C7．已知O是△ABC所在平面内一点，若对任意k∈R，恒有|﹣﹣k|≥|﹣|，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用两边平方，结合向量的平方即为模的平方，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，可得k2a2﹣2kcacosB+c2﹣b2≥0，运用判别式小于等于0，化简整理，结合正弦定理和正弦函数的值域，可得三角形的形状．【解答】解：|﹣﹣k|≥|﹣|，即为|﹣k|≥||，两边平方可得，2+k22﹣2k•≥2，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，即有c2+k2a2﹣2kcacosB≥b2，即k2a2﹣2kcacosB+c2﹣b2≥0，由题意可得△=4c2a2cos2B﹣4a2（c2﹣b2）≤0，化为b2≤c2﹣c2cos2B，即为b≤csinB，由正弦定理可得b≤bsinC，则sinC≥1，但sinC≤1，则sinC=1，可得C=90°．即三角形ABC为直角三角形．故选：A．8．在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）A．2B．C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图和勾股定理求出棱长，由棱长的大小判断出面积最大的面，由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图所示，且PD⊥平面ABC，D是AC的中点，PD=2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC⊥BC，∴PA=PC=BD==，AB=2则PB===3，∴棱长PB最大，其次AB，则△PAB的面积是各个面中面积最大的一个面，在△PAB中，由余弦定理得cos∠ABP===，∵0＜∠ABP＜π，∴∠ABP=，则△PAB的面积S===3，故选：C．9．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M 在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）A．B．2C．πD．【考点】棱锥的结构特征．【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为E，根据题目条件可知△PAE≌△CBE，∴PE=CE，点E也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点E，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，∴M的轨迹为线段DE．∵AD=2，AE=1，∴DE=．故选：A．11．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2﹣2ax+c=0（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】先由p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx2﹣2ax+c=0判别式△=4a2﹣4bc的符号，决定根的情况即可得答案．【解答】解：∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列∴a2=pq，b+c=p+q．解得b=，c=；∴△=（﹣2a）2﹣4bc=4a2﹣4bc=4pq﹣（2p+q）（p+2q）===﹣（p﹣q）2又∵p≠q，∴﹣（p﹣q）2＜0，即△＜0，原方程无实根．故选A．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；②若A，P，M三点共线，则=；③若=，则C1Q∥面APC；④过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】棱柱的结构特征．【分析】①利用三角形中位线定理、正方体的性质可得MN∥AC，再利用线面平行的判定定理即可判断出正误；②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，由平行线的性质可得=，即可判断出正误；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误．④连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，有且只有这两条，即可判断出正误．【解答】解：如图所示，连接MN，AC，A1C1．①当P在BD1上运动时，M，N，分别是棱D1C1，A1D1的中点，由三角形中位线定理可得MN∥A1C1，由正方体的性质可得：A1C1∥AC．∴MN∥AC，而MN⊄平面APC，AC⊂平面APC，∴恒有MN∥面APC，正确；②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，∴=，则=，正确；③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q∥OM，而M点在平面APC内，∴C1Q∥平面APC 相交，因此正确；④连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有2条，因此不正确．综上可得：只有①②③正确，即正确的个数是3．故选：C．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．cos140°+2sin130°sin10°=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式，积化和差公式，特殊角的三角函数值化简即可得解．【解答】解：cos140°+2sin130°sin10°=cos（90°+50°）+2sin（90°+40°）sin（90°﹣80°）=﹣sin50°+2cos40°cos80°=﹣cos40°+2× [cos120°+cos（﹣40°）]=﹣cos40°+（﹣）+cos40°=﹣．故答案为：．14．如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，设每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面积最大，则=．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】设出每间虎笼的长和宽，利用周长为定值，根据基本不等式，求出面积最大时的长与宽的值．【解答】解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm，ym时，可使每间虎笼的面积最大，则4x+6y=36，S=xy．∵4x+6y=36，∴2x+3y=18，由基本不等式，得18≥2，∴xy≤，当且仅当2x=3y=9，即x=4.5m，y=3m时，S取得最大值，∴=．故答案为：．15．如图，正四棱锥P﹣ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．设AB=a，则a2=6，解得a=．又=2，解得OP=1．再利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．设AB=a，则a2=6，解得a=．又=2，解得OP=1．∴A（，﹣，0），P（0，0，1），B（，，0），C（﹣，，0），E．∴=，=．∴cos===﹣．∴=120°．∴异面直线PA与BE所成的角为60°．故答案为：60°．16．已知a，b，c为正实数，给出以下结论：①若a﹣2b+3c=0，则的最小值是3；②若a+2b+2ab=8，则a+2b的最小值是4；③若a（a+b+c）+bc=4，则2a+b+c的最小是2；④若a2+b2+c2=4，则ab+bc的最大值是2．其中正确结论的序号是①②④．【考点】基本不等式．【分析】变形，利用基本不等式，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若a﹣2b+3c=0，则2b=a+3c≥2，∴b2≥3ac，∴≥3，∴的最小值是3，正确；②设t=a+2b，则t＞0，由a+2b+2ab=8得2ab=8﹣（a+2b）≤，即8﹣t≤，整理得t2+4t﹣32≥0，解得t≥4或t≤﹣8（舍去），即a+2b≥4，所以a+2b的最小值是4．正确；③∵a，b，c＞0，∴a+c＞0，a+b＞0，∵a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=4，∴2a+b+c的最小值为4，不正确；④若a2+b2+c2=4，则4=a2+b2+b2+c2≥ab+bc，∴ab+bc≤2，∴ab+bc的最大值是2，正确综上所述，正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（a+c，b）与向量=（a﹣c，b﹣a）互相垂直．（1）求角C；（2）求sinA+sinB的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由⊥，得（a+c）（a﹣c）+b（b﹣a）=0化简整理得a2+b2﹣c2=ab代入余弦定理即可求得cosC，结合C的范围进而求得C．（2）由第二问得到的A与B的关系式，用A表示出B，代入所求的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围．【解答】解：，∴，∵0＜C＜π，∴．，∴，∴=，∵，∴，∴＜sinA+sinB=sin（A+）≤．则sinA+sinB的取值范围是（，]．18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，（1）求证：BD∥截面PQMN；（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理即可证明．（2）由（1）的证明知PN∥BD，可得∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．再利用正方形的性质即可得出．【解答】（1）证明：∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，又PN⊄平面BCD，QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD．∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD⇒PN∥BD，∵PN⊂截面PQMN，BD⊄截面PQMN，∴BD∥截面PQMN．（2）解：由（1）的证明知PN∥BD，∴∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．∵截面PQMN是正方形，∴∠NPM=45°．∴异面直线PM与BD所成的角是450．19．已知数列{a n}的前项和为S n．若a1=1，a n=3S n+4（n≥2）．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2，c n=，其中n∈N+，记数列{c n}的前项和为T n．求T n+的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据题意和，分别列出式子化简、验证后求出a n；（2）由（1）化简和对数的运算法则化简b n=log2，代入c n=化简，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出前n项和T n，即可求出答案．【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a n=3S n+4（n≥2），﹣1当n=2时，a2=3S1+4=7，+4（n≥2），得a n+1=3S n+4，当n≥2时，由a n=3S n﹣1两式相减得，a n+1=4a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数列，则（n≥2），此时对n=1不成立，∴；（2）由（1）得，b n=log2==2n，则c n==，∴，①，②①﹣②得，=﹣=，∴，即．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P ﹣CD﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，推导出CD⊥AE，PA⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAE．（2）推导出∠PEA是二面角的平面角，，由此能求出，由此能求出二面角P﹣CD﹣A的正切值．【解答】证明：．，∴CD⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．，∴CD⊥平面PAE．解：（2）∵CD⊥平面PAE，∴∠PEA是二面角的平面角，．由（1）知，BG⊥平面PAE，∴．．，∴Rt△PBA≌Rt△BPF，∴PA=BF．∵BCDG是平行四边形．GD=BC=3，∴AG=2．∵AB=4，BG⊥AF，∴，，∴，，∴，∴tan=，∴二面角P﹣CD﹣A的正切值是．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（x）＞0的解集为{x|﹣3＜x＜4}，解关于x的不等式bx2+2ax﹣（c+3b）＜0．（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≥2ax+b恒成立，求的最大值．【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据f（x）＞0的解集，求出a，b，c的关系，从而求出不等式的解集；（2）由f（x）≥2ax+b恒成立，得到a＞0，b2+4a2≤4ac，将变形为，令t=﹣1，从而构造出函数g（t），求出g（t）的最大值即可．【解答】解：，∴．∴bx2+2ax﹣（c+3b）＜0⇔﹣ax2+2ax+15a＜0（a＜0）⇔x2﹣2x﹣15＜0，∴解集为（﹣3，5）．，∴，∴，，∵4a（c﹣a）≥b2≥0，∴．，，∴．22．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（α•β）=α•f（β）+β•f（α），且f（2）=2，数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（﹣1），c n=，记T n=（c1+c2+…+c n）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n∈N+时，不等式T n＜恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】等差数列的性质．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）及其数列的单调性、不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵a n=f（2n），∴，∵，∴，∴为等差数列，首项为1，公差为1．∴．，∴，∴，∴．∴不等式T n＜恒成立⇔⇔M≥146．∴存在满足条件的正整数M，其最小值为146．2016年9月10日。
2016-2017学年四川省成都外国语学校高一下学期期末数学试卷(文)(答案+解析)
四川省成都外国语学校2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（文）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线x cosθ+y sinθ+a=0与x sinθ﹣y cosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关2．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．≥2D．3．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+ D．4π+4．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形5．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β6．（5分）数列{a n}是首项为m、公比为q（q≠1）的等比数列，S n是它的前n项和，对任意的n∈N，点（a n，）（）A．在直线mx+qy﹣q=0上B．在直线qx﹣my+m=0上C．在直线qx+my﹣q=0上D．不一定在一条直线上7．（5分）已知A为锐角，lg（1+cos A）=m，lg=n，则lgsin A的值为（）A．m+B．m﹣n C．（m+）D．（m﹣n）8．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．（5分）设等差数列{a n}满足3a8=5a13，且a1＞0，则前n项和S n中最大的是（）A．S10B．S11C．S20D．S2110．（5分）如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值为（）A．B．0＜k≤12C．k≥12 D．0＜k≤12或11．（5分）列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有=，则=（）A．19 B．30 C．27 D．912．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的AA1，BC的中点P、Q作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（）A．a B． a C．a D．（﹣1）a二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P在平面区域上，则u=2x﹣y的取值范围为．14．（5分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn ＞0）上，则的最小值为．15．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．16．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的序号是．①DC1⊥D1P②平面D1A1P⊥平面A1AP③∠APD1的最大值为90°④AP+PD1的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知直线l：2x﹣3y+1=0，点A（﹣1，﹣2），求：（1）过点A（﹣1，﹣2）直线与直线l平行的直线m的方程．（2）点A关于直线l的对称点A′的坐标．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．19．（12分）已知函数f（x）=2sin cos﹣2sin2．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sin A 的值．20．（12分）函数y=（n∈N*，y≠1）的最大值为a n，最小值为b n且c n=4（a n b n﹣）（1）求数列{c n}的通项公式；（2）求f（n）=（n∈N*）的最大值．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面P AD（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为时，求V P﹣AEH的体积．22．（12分）已知f（n）是平面区域I n：（x，y∈R，n∈N*）内的整点（横纵坐标都是整数的点）的个数，记a n=2n f（n），数列{a n}的前n项和为S n（1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，求实数c的取值范围．【参考答案】一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．B【解析】当cosθ=0或sinθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选B．2．C【解析】A．∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，因此不正确．B．取a，b＜0时，a+b≥2不成立．C．∵ab＞0，∴，＞0，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，正确．D．取a，b＜0时，+≥不成立．故选C．3．C【解析】此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C.4．D【解析】∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin A cos B﹣cos A sin B=1﹣2cos A sin B，∴sin A cos B+cos A sin B=1，∴sin（A+B）=1，∴sin C=1．∵C∈（0，π），∴．∴△ABC的形状一定是直角三角形．故选D．5．D【解析】由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D．6．B【解析】∵数列{a n}是首项为m、公比为q（q≠1）的等比数列，∴，==1+q n，代入直线mx+qy﹣q=0：m2q n﹣1+q+q n+2﹣q=m2q n﹣1+q n+2=0，不成立，故A不正确；代入在直线qx﹣my+m=0：mq n﹣m﹣mq n+m=0，成立，故B正确；代入直线qx+my﹣q=0：mq n+m+mq n﹣q=0，不成立，故C不正确．故选B．7．D【解析】两式相减得lg（1+cos A）﹣lg=m﹣n⇒lg[（1+cos A）（1﹣cos A）] =m﹣n⇒lgsin2A=m﹣n，∵A为锐角，∴sin A＞0，∴2lgsin A=m﹣n，∴lgsin A=．8B【解析】由题意可知该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，如图：设正方形的对角线长为2，则，所以直线AB与CD所成的角为：θ，cosθ===所以θ=60°故选B．9．C【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵3a8=5a13，∴3（a1+7d）=5（a1+12d），化为：2a1+39d=0，可得a21+a20=0，∵a1＞0，∴d＜0，即等差数列{a n}为单调递减数列．∴a21＜0，a20＞0，∴前n项和S n中最大的是S20．故选C．10．D【解析】（1）；（2）；（3）；（4）当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有1个解．综上所述：当时，三角形恰有一个解．11．C【解析】当n=1时，==1，即a1=b1，设{a n}、{b n}的公比分别为q，p，则====，即2（1+q）=5（1+p），即q=+，当n=3时，====7，即1+q+q2=7（1+p+p2），将q=+代入1+q+q2=7（1+p+p2）得1+++（+）2=7（1+p+p2），整理得p2﹣4p+3=0，得p=1或3，当p=1时，q=+=4，此时==≠，∴p=1不成立，当p=3时，q=9，此时===27，综上=27，故选C.12．A【解析】如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的AA1，BC的中点P、Q作直线，直线PQ被球面截在球内的线段为MN，则△OPQ是等腰三角形，且|OP|=|OQ|=，∵|PQ|===，∴O到PQ的距离为d==，∴直线PQ被球面截在球内的线段MN=2=a．故选A．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．[0，6]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由u=2x﹣y得y=2x﹣u，平移直线y=2x﹣u，由图象可知当直线y=2x﹣u经过点B时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大．直线y=2x﹣u经过点A时，直线y=2x﹣u的截距最大，此时u最小．由得，即A（1，2），由，得，即B（4，2）即u max=2×4﹣2=6，u min=2×1﹣2=0，即u的取值范围是[0，6]，故答案为[0，6].14．4【解析】∵函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0上（mn＞0），∴m+n=1（mn＞0），∴=（m+n）（）=2+≥2+2=4，当且仅当m=n=时取等号，∴m=n=时，的最小值为4．故答案为4．15．【解析】∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为.16．①②④【解析】对于①，∵A1D1⊥平面D1DCC1，DC1⊂平面D1DCC1，∴A1D1⊥DC1，又A1B⊥DC1，A1D1∩A1B=A1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂平面D1DCC1，∴DC1⊥D1P，故①正确对于②，∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP即为平面A1ABB1，且D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故②正确；对于③，在△D1AP中，由余弦定理可知，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，故③错误；对于④，将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△AA1D1中，利用余弦定理解三角形得AD1=，故④正确．故答案为①②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解：（1）设所求直线方程为2x﹣3y+m=0，（m≠1），将A点坐标代入有m=﹣4，所以所求直线方程为2x﹣3y﹣4=0；（2）设A′坐标为（x′，y′），则有：，解得，故A′（﹣，）．18．（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥P A，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵P A∩PD=P，∴AB⊥平面P AD，∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD．（2）解：设P A=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵P A=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面P AB⊥平面P AD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴V P﹣ABCD=====，解得a=2，∴P A=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△P AD+S△P AB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．19．解：（1）函数f（x）=2sin cos﹣2sin2=﹣1 =﹣1∵x∈R，∴∴﹣3≤﹣1≤1∴函数f（x）的值域为[﹣3，1]（2）f（C）=﹣1=1，∴，而C∈（0，π），∴C=．在△ABC中，b2=ac，c2=a2+b2，∴c2=a2+ac，得∴∵0＜sin A＜1，∴sin A==．20．解：（1）由已知，y=（n∈N*，y≠1）的定义域为R，则x2（y﹣1）+x+y﹣n=0方程有解，即有△≥0即1﹣4（y﹣1）（y﹣n）≥0，即y2﹣（n+1）y+n﹣≤0的解集[b n，a n]，即y2﹣（n+1）y+n﹣=0的两根为b n，a n，可得a n b n=n﹣，又因为c n=4（a n b n﹣），则c n=4n﹣3，n∈N*；（2）f（n）===，令4n﹣3=t（t≥1且t为正整数），可得n=，则g（t）==，由t+≥2=28，当且仅当t=，可得t=14，当t=21时，n=6，t+=49，当t=22，23，24时，n不为整数；当t=25时，n=7时，t+=48+；则当n=7时，g（t）取得最大值，即f（n）取得最大值=．21．（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵P A⊥平面ABCD，AE⊊平面ABCD，∴P A⊥AE．而P A⊊平面P AD，AD⊊平面P AD且P A∩AD=A，∴AE⊥平面P AD．（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面P AD，则∠EHA为EH与平面P AD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA=，因此AH=．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴P A=AD tan 45°=2．∴V P﹣AEH=V E﹣P AH====．22．解：（1）f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9．由x＞0，﹣nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2．∴I n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=﹣nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1=﹣n+3n=2n，y2=﹣2n+3n=n，∴f（n）=3n；a n=2n f（n）=3n•2n，前n项和为S n=3•2+6•22+9•23+…+3n•2n，2S n=3•22+6•23+9•24+…+3n•2n+1，两式相减可得，﹣S n=6+3（22+23+24+…+2n）﹣3n•2n+1，=6+3•﹣3n•2n+1，化简可得，S n=6+3（n﹣1）•2n+1；（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，即为≤c恒成立，可令b n=，由=，当n=1，2时，b1＜b2=b3，当n≥3时，b3＞b4＞b5＞…，则b2=b3为最大值．则c≥．。
成都外国语学习高一上期末复习试卷4 -答案
成都外国语学校高2017级高一（上）数学期末复习试卷（四）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．已知集合{|ln 1}P x x =<， {|510}x Q y y x ==-<，，则（ ）【答案】AA. 2.8P ∉且0.3Q -∈B. 2.8P ∈且0.3Q -∈C. 1.8P ∈且 1.3Q -∈D. 1.8P ∈且0.3Q ∈ 2．下列对应f ：A →B 是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ）【答案】A A ．A={x|x ＞0}，B={y|y ≥0}，f ：y= B ．A={x|x ≥0}，B={y|y ＞0}，f ：y=x 2 C ．A={x|x 是三角形}，B={y|y 是圆}，f ：每一个三角形对应它的内切圆 D ．A={x|x 是圆}，B={y|y 是三角形}，f ：每一个圆对应它的外切三角3．已知函数的图象恒过定点A ，若点A 也在函数的图象上，则( ) A.B. C. D. 【答案】A 4、若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) 【答案】BA ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D.35. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对x R ∀∈，都有()()0f x f x -+=； （2）对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有①()sin f x x =；②()32f x x =-；③()1f x x =-；④“优美函数”的个数是（ ）【答案】BA. 0B. 1C. 2D. 36. 若非零向量,a b 的夹角为锐角θ，且，则称a 被b“同余”.已知b 被a “同余”，则a b - 在a 上的投影是（ ）【答案】A7．.函数2y ax bx =+与log (0,)b ay x ab a b =≠≠在同一直角坐标系中的图像可能是( ) 【答案】D()log 31(01)a y x a a =+->≠且()3xf x b =+()9log 4f =897959298. 将函数()sin2f x x =的图像向右平移）个单位后得到函数()g x 的图像. 若对满足的12,x x ，有 ）【答案】C9．已知函数()()()2()281,f x m x n x m n =-+-+∈R 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则下列结论成立的是（ ） A.()lg 1m n +<B. ()lg 2m n +≥C. ()lg 42lg4m n +< D. ()lg 44lg2m n +≥【答案】D 10．已知函数()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫ ⎝⎛<+⎪⎭⎫⎝⎛≥+=0212211a x f ,x x x x x x f 的三个实数根分别为321x ,x ,x ，则321x x x 的范围是（ ） ()+∞,.A 0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛230,.B ⎪⎭⎫⎝⎛210,.C .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛2321, 【答案】C11. 已知函数21tan ()log ,1tan x f x x -=+若()1,2f πα+=则()2f πα-=（ ）【答案】CA ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2【解答】由已知可得： =log 2=log 2，可得：﹣sinα﹣cosα=2（﹣sinα+cosα），解得：tanα=3，则=log 2=log 2=log 2=log 2=log 2=﹣1．故选：C12.已知函数3()sin ,1x af x a x a -=++那么下列命题正确的是（ ）【答案】C A ．若a =0，则y =f （x ）与y =3是同一函数B. 若0＜a ≤1，则32log 3331()(2log 2)[()](log 5)()232f f f f f ππ-<-<<<C ．若a =2，则对任意使得f （m ）=0的实数m ，都有f （-m ）=1D ．若a ＞3，则f （cos2）＜f （cos3）【解答】对于A ，若a=0，则y=f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，y=3定义域为R ，不是同一函数，故错；对于B ，若0＜a ≤1时，可得函数f （x ）在[﹣，]上为增函数，∵=，故错；对于C ，a=2时，f （x ）=，f （x ）+f （﹣x ）==，∴则对任意使得f （m ）=0的实数m ，都有f （﹣m ）=1，正确；对于D ，当a ＞3时，f （x ）在[﹣，]上为增函数，且cos2＞cos3，则f （cos2）＞f （cos3），故错． 故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13、设向量(,4),(7,1),a x b ==- 且,a b a += 求a 与b 的夹角为 ．【答案】34π14. 若函数1()log ()(0,1)1a f x a a x =>≠+的定义域和值域都是[0，1]，则a = ．【答案】1215. 已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x +6）+f （x ）=2f （3），且函数y =f （x -1）的图象关于点（1，0）对称，则f （2013）= ．【答案】0【解答】由f （x+6）+f （x ）=2f （3），知f （x+12）+f （x+6）=2f （3），两式相减，得f （x+12）=f （x ） 由y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f （x ﹣1）+f （1﹣x ）=0，故f （x ）是奇函数． 由f （x+6）+f （x ）=2f （3），令x=﹣3，得f （3）=f （﹣3），于是f （3）=f （﹣3）=0， 于是f （2013）=f （2013﹣12×167）=f （9）=f （﹣3）=0． 故答案为：0．16．设e 为自然对数的底数，若函数2()(2)(2)1x x x f x e e a e a =-++∙--存在三个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】（1，2）【解答】令t=e x ﹣1，e x =t +1，f （t ）=1﹣t 2+（a +2）|t |﹣a 2， 令m=|t |=|e x ﹣1|，则f （m ）=﹣m 2+（a +2）m +1﹣a 2，∵f （x ）有3个零点，∴根据m=|t |=|e x ﹣1|，可得f （m ）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），∴ ∴a ∈（1，2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点,3.AN NB =（I ）以，为基底表示AM 和.CN（II ）若∠ACB =120°，CB=4，且AM ⊥CN ，求CA 的长． 【解答】解：（Ⅰ）；，（Ⅱ）由已知AM ⊥CN ，得，即，展开得，又∵∠ACB=120°，CB=4，∴，即，解得，即CA=8为所求18．（本小题满分12分）已知函数5)(3131--=x x x f ，5)(3131-+=xx x g ； （Ⅰ）证明)(x f 是奇函数；（Ⅱ）证明)(x f 在（-∞，-1）上单调递增；（Ⅲ）分别计算(4)5(2)(2)f f g -∙和(9)5(3)(3)f f g -∙的值，由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明.解:(Ⅰ)∵函数)(x f 的定义域为(-∞,0)∪(0，+∞),是关于原点对称的;又)(55)()()(31313131x f x x x x x f -=-=---=---∴)(x f 是奇函数.(Ⅱ)设 121-<<x x , 则:)11)((51......)()(31231131231121x x x x x f x f ⋅+-==-, ∵031231<-x x , 0121>x x ，0)1(3121>x x ∴011312311>⋅+x x , ∴0)()(21<-x f x f .即)()(21x f x f <且21x x < ∴)(x f 在)1,(--∞上单调递增. (Ⅲ)算得:0)2()2(5)4(=⋅-g f f ; 0)3()3(5)9(=⋅-g f f ;由此概括出对所有不等于零的实数x 都成立的等式是:0)()(5)(2=⋅-x g x f x f …（12分）下面给予证明:∵=⋅-)()(5)(2x g x f x f 5555313131313232---+⋅-⋅--x x x x xx =)(513232--x x -)(513232--x x =0 ∴0)()(5)(2=⋅-x g x f x f 对所有不等于零的实数x 都成立.19. （本小题满分12分）某企业一天中不同时刻的用电量y （万千瓦时）关于时间t （小时，0≤t ≤24）的函数y =f （t ）近似满足f （t ）=Asin （ωt +φ）+B ，（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如图是函数y =f （t ）的部分图象（t =0对应凌晨0点）． （Ⅰ）根据图象，求A ，ω，φ，B 的值；（Ⅱ）由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限；又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量g （t ）（万千瓦时）与时间t （小时）的关系可用线性函数模型g （t ）=-2t +25（0≤t ≤12）模拟．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计停产时间在中午11点到12点间，为保证该企业既可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段．【解答】（Ⅰ）由图知，∴．，．∴．代入（0，2.5），得，又0＜φ＜π，∴． 综上，，，，B=2． 即．（Ⅱ）由（Ⅰ）知． 令h （t ）=f （t ）﹣g （t ），设h （t 0）=0，则t 0为该企业的停产时间．易知h （t ）在（11，12）上是单调递增函数． 由h （11）=f （11）﹣g （11）＜0，h （12）=f （12）﹣g （12）＞0， 又，则t 0∈（11，11.5）．即11点到11点30分之间（大于15分钟） 又，则t 0∈（11.25，11.5）．即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）． 答：估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．20．（本小题满分12分）设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为)(a g 。
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2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅2．（5分）下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A． B．C．D．3．（5分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=（）A．B．1 C．0 D．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若不平行的两个非零向量满足，则D．若与平行，则5．（5分）若角θ是第四象限的角，则角是（）A．第一、三象限角 B．第二、四象限角C．第二、三象限角 D．第一、四象限角6．（5分）已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（3﹣2x）的定义域为（）A．[﹣5，5]B．[﹣1，9]C．D．7．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）A．B．C．D．10．（5分）若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b11．（5分）已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）12．（5分）在二分法求方程f（x）=0在[0，4]上的近似解时，最多经过次计算精确度可以达到0.001．13．（5分）若=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（10分）化简求值．（1）（2）（lg2）2+lg20×lg5+log92•log43．17．（12分）求值．（1）已知，求1+sin2α+cos2α的值；（2）求：的值．18．（12分）已知函数sin（π﹣2x）（1）若，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调增区间．19．（12分）已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．20．（12分）函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f （x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．2016-2017学年四川省成都外国语学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0}B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：A2．（5分）下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A． B．C．D．【解答】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．3．（5分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a﹣1，2a]，则a+b=（）A．B．1 C．0 D．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，∴a﹣1=﹣2a，b=0，解得a=，b=0，∴a+b=．故选D．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若不平行的两个非零向量满足，则D．若与平行，则【解答】解：对于A，，如果=，则，也可能，所以A不正确；对于B，若，则或，或，所以B不正确；对于C，若不平行的两个非零向量满足，==0，则，正确；对于D，若与平行，则或=﹣，所以D不正确．故选：C，5．（5分）若角θ是第四象限的角，则角是（）A．第一、三象限角 B．第二、四象限角C．第二、三象限角 D．第一、四象限角【解答】解：∵角θ是第四象限的角，∴，则，k∈Z，∴，k∈Z．则角是第一、三象限角．故选：A．6．（5分）已知函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（3﹣2x）的定义域为（）A．[﹣5，5]B．[﹣1，9]C．D．【解答】解：由函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，即﹣2≤x≤3，得﹣1≤x+1≤4，∴函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，由﹣1≤3﹣2x≤4，解得≤x≤2．∴f（3﹣2x）的定义域为[﹣，2]．故选：C．7．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选A．8．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．【解答】解：根据对数函数的图象可知＜0，且=﹣log223；奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）和f（﹣x）=﹣f（x）则=f（﹣log223）=﹣f（log223）=﹣f（log223﹣4）=﹣f（），因为∈（0，1）∴﹣f（）==，故选：B9．（5分）在△ABC中，若，，，O为△ABC的内心，且，则λ+μ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵O为△ABC的内心，∴O为△ABC内角平分线的交点，令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有a+b+c=，∴a+b（+）+c（++）=，∴（a+b+c）=（b+c）+c，∴=+，∴λ+μ=+==．故选C．10．（5分）若实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，则下列关系中不可能成立的（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵实数a，b，c满足log a3＜log b3＜log c3，y=log m3（0＜m＜1）是减函数，y=log m3（m＞1）是增函数，∴当a，b，c均大于1时，a＞b＞c＞1；当a，b，c均小于1时，1＞a＞b＞c＞0；当a，b，c中有1个大于1，两个小于1时，c＞1＞a＞b＞0；当a，b，c中有1 个小于1，两个大于1时，b＞c＞1＞a＞0．故选：A．11．（5分）已知f（x）=2sinx+cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵α、β是函数g（x）=2sinx+cosx﹣m在（0，π）内的两个零点，即α、β是方程2sinx+cosx=m在（0，π）内的两个解，∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即2sinα﹣2sinβ=cosβ﹣cosα，∴2×2×cos sin=﹣2sin sin，∴2cos=sin，∴tan=2，∴cos（α+β）===﹣，故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）12．（5分）在二分法求方程f（x）=0在[0，4]上的近似解时，最多经过12次计算精确度可以达到0.001．【解答】解：初始区间是[0，4]，精确度要求是0.001，需要计算的次数n满足＜0.001，即2n＞4000，而210=1024，211=2048，212=4096＞4000，故需要计算的次数是12．故答案为：1213．（5分）若=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．【解答】解：=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，cosθ＞0且cosθ≠1，而cosθ==，∴λ＞﹣且8+3λ≠5×，即λ＞﹣且λ≠．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，则a取值的集合为{﹣2，2} ．【解答】解：由题意，函数f（x）=ln（2x+a2﹣4）的定义域、值域都为R，即2x+a2﹣4＞0在x∈R上恒成立．∵x∈R，2x＞0，要使2x+a2﹣4值域为R，∴只需4﹣a2=0得：a=±2．∴得a取值的集合为{﹣2，2}．故答案为{﹣2，2}．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m2﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m2﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m2﹣1的对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m2﹣1=2m2﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足＞2m2﹣2①，又0＜m＜3②，联立①②得0＜m＜．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（10分）化简求值．（1）（2）（lg2）2+lg20×lg5+log92•log43．【解答】解：（1）（2）（lg2）2+lg20×lg5+log92•log4317．（12分）求值．（1）已知，求1+sin2α+cos2α的值；（2）求：的值．【解答】解：（1）∵已知，∴1+sin2α+cos2α===．（2）=====2，18．（12分）已知函数sin（π﹣2x）（1）若，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调增区间．【解答】解：（1）函数sin（π﹣2x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，当时，，故，，所以f（x）的取值范围是[0，3]；（2）由题意有，解得，即+2kπ≤2x+＜+2kπ，k∈Z，所以+kπ≤x＜+kπ，k∈Z；所以函数的单调增区间为[+kπ，+kπ），k∈Z．19．（12分）已知、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求证：+与﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．【解答】解：（1）证明：、是两个不共线的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），．∴+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），﹣=（co sα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∴（+）•（﹣）=（cos2﹣cos2β）+（sin2α﹣sin2β）=（cos2α+sin2α）﹣（cos2β+sin2β）=1﹣1=0，∴+与﹣垂直；（2）∵=（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α﹣β），且β=，|+|=，∴2+2cos（α﹣）=，解得cos（α﹣）=；又α∈（﹣，），∴α﹣∈（﹣，0），∴sin（α﹣）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=﹣×+×=﹣．20．（12分）函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f （x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：令x=，y=3得f（1）=[f（）]3，∵．∴所以f（1）＞1．令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]y，即f（x）=[f（1）]x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．（2）f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，对任意x∈R，有f （x）＞0，故f（0）=1，f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a•2x+1﹣a2+2）≥f（0），由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a•2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立令2x=t，t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；ii）得．综上可知．21．（12分）若在定义域内存在实数x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立则称函数f（x）有“溜点x0”（1）若函数在（0，1）上有“溜点”，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）=lg（）在（0，1）上有“溜点”，求实数a的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）在（0，1）上有“溜点”，即f（x+1）=f（x）+f（1）在（0，1）上有解，即在（0，1）上有解，整理得在（0，1）上有解，从而h（x）=4mx﹣1与的图象在（0，1）上有交点，故h（1）＞g（1），即，得，（2）由题已知a＞0，且在（0，1）上有解，整理得，又．设，令t=2x+1，由x∈（0，1）则t∈（1，3）．于是则．从而．故实数a的取值范围是．。