直角三角形(勾股定理)
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。
这个角被称为直角。
直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。
二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。
你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。
2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。
假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。
3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。
证明过程略。
五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。
直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。
直角三角形定理公式
直角三角形定理公式直角三角形，这可是数学世界里的“明星角色”！咱们先来说说直角三角形中最出名的定理——勾股定理。
它就像是直角三角形的“身份证”，一亮相，身份就确认无误啦。
勾股定理说的是：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表示就是 a² + b² = c²，这里的 a 和 b 是两条直角边，c 是斜边。
我记得有一次给学生们讲这个定理的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我在黑板上画了一个大大的直角三角形，标上了边的长度，准备给他们演示勾股定理的应用。
我刚写完题目，就有个调皮的小男生举起手说：“老师，这太简单啦，我一眼就看出来啦！”我心里想，这小家伙口气还不小。
于是我就让他到黑板前来给大家讲讲。
结果他上来就懵了，支支吾吾半天也没说出个所以然。
其他同学都在下面偷笑，他自己也不好意思地挠挠头。
我笑着对他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后带着大家一起分析，最后算出了结果。
从那以后，这个小男生再也不盲目自信啦，学习也变得更踏实了。
除了勾股定理，直角三角形还有一些其他重要的公式和性质。
比如，直角三角形的面积公式，就是两条直角边乘积的一半。
如果用 S 表示面积，a 和 b 表示两条直角边，那面积公式就是 S = 1/2 × a × b 。
这个公式在解决很多几何问题的时候都特别管用。
再说说三角函数。
在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）这些三角函数可是大有用处。
正弦等于对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。
想象一下，咱们要测量一座高楼的高度，但是又没办法直接量。
这时候如果知道一个角度和一段距离，利用直角三角形的三角函数公式，就能算出高楼的高度啦。
还有啊，直角三角形中的特殊角度，像 30°、45°、60°，它们对应的边的比例关系也得记住。
比如，一个 30°的直角三角形，斜边是短直角边的两倍。
直角三角形的勾股定理应用
直角三角形的勾股定理应用一、勾股定理的定义与记忆•勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
•勾股定理的数学表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
二、勾股定理的证明•证明方法有多种，如几何拼贴法、代数法、欧几里得证法等。
三、勾股定理的应用1.计算直角三角形的未知边长•已知两个直角边长，可求斜边长。
•已知斜边长和一个直角边长，可求另一个直角边长。
2.计算直角三角形的面积•直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积除以2，即S = (ab)/2。
3.判断一个三角形是否为直角三角形•若一个三角形的三边满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。
4.在坐标系中求直角三角形的边长和面积•在直角坐标系中，若一个直角三角形的顶点坐标为(a, b)、(c, d)和(e,f)，可利用距离公式求出各边长，进而判断是否为直角三角形。
四、勾股定理在实际生活中的应用1.测量身高和距离•当目测一个人的身高和其影子的长度时，可利用勾股定理求出实际身高。
2.测量建筑物的高度•在地面上测量建筑物底部到顶部影子的长度和建筑物底部的宽度，利用勾股定理求出建筑物的高度。
3.求解物体在空中的飞行轨迹•利用勾股定理求解物体在抛射运动中的飞行距离和落地位置。
五、拓展知识1.勾股定理的推广•勾股定理不仅适用于直角三角形，还适用于非直角三角形，即一般三角形的余弦定理。
2.勾股定理的应用领域•勾股定理在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用。
3.相关数学问题•例如，求解直角三角形中的角度、求解三角形的面积等。
知识点：__________以上是对直角三角形的勾股定理应用的详细知识归纳，希望能帮助您更好地理解和掌握这一重要定理。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形两个直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
答案：斜边长= √(3² + 4²) = 5cm解题思路：直接应用勾股定理，计算斜边长。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形定理
直角三角形定理直角三角形定理，也称勾股定理，是几何学中的一个重要定理，它证明了直角三角形的斜边的平方等于两个直角边平方的和。
直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个内角是直角，也就是90度。
在直角三角形中，由于有一个直角，所以其他两个角的和必须等于90度。
直角三角形定理可以用数学符号表示为：c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边（也称为斜边或长边），a和b代表直角三角形的两个直角边（也称为短边或邻边）。
这个公式可以通过尝试不同的直角三角形来进行验证。
例如，可以构造一个直角三角形，其中斜边的长度为5，一个直角边的长度为3，另一个直角边的长度为4。
根据直角三角形定理，可以计算得到：5² = 3² + 4²25 = 9 + 1625 = 25这表明定理成立。
直角三角形定理的证明方法有很多种，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯是古希腊的一位著名数学家，他发现了这个重要的定理，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯定理的一个经典证明方法是使用面积。
假设有一个直角三角形ABC，其中斜边c对应的高度为h。
根据面积的计算公式，可以得到：面积ABC = 1/2 * AB * AC面积ABC = 1/2 * a * b另一方面，根据直角三角形定理，可以得到：面积ABC = 1/2 * c * h将两个等式相等，可以得到：1/2 * a * b = 1/2 * c * h消去公共项，可以得到：a *b =c * h另一方面，根据勾股定理，可以得到：c² = a² + b²将c²替换为a² + b²，可以得到：a *b = (a² + b²) * h分配乘法，可以得到：a *b = a² * h + b² * h将a和b提取出来，可以得到：1 = (a * h) / a + (b * h) / b简化表达式，可以得到：1 = h + h1 = 2h因此，h = 1/2。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．5.直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数。
简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
【典例精析】◆例1：在△ABC 中，∠BAD ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，现将它们折叠，使B 点与C 点重合，求折痕DE 的长。
【巩固】1、四边形ABCD 中，∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2；求对角线AC 的长A BDC E ABCD◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求证：AB 2＝2FG 2．【巩固】已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，ME ⊥MF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2◆例3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF＝b ,且S EFGH ＝32求：a b 的值◆例4：已知：P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数G F AE BD CFEC MB A HDAB C E F G A BP【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O 点，AB ＝15，BC ＝40，CD ＝50，则AD ＝________.◆例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。
直角三角形的三边关系勾股定理及其变形
直角三角形的三边关系勾股定理及其变形直角三角形的三边关系: 勾股定理及其变形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一角为90度（直角），另外两个角的和为90度。
直角三角形的三边之间有一种重要的数学关系被称为勾股定理，它是一条基本的几何定理。
本文将介绍勾股定理及其变形，并探讨其在几何、三角学和实际应用中的重要性。
一、勾股定理在直角三角形中，勾股定理描述了直角边（两条与直角相邻的边）与斜边（直角边的对边）之间的关系。
勾股定理可以表述为：直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方之和。
表达式如下：c² = a² + b²其中，c代表斜边（也称为斜边的长度），a和b分别代表直角边的长度。
这个简单而优雅的数学定理由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出，并因此而得名。
勾股定理的应用非常广泛。
它可以用来解决与直角三角形及其相关性质有关的各种问题。
例如，我们可以利用勾股定理计算直角三角形的边长，判断一个三角形是否为直角三角形，计算三角形的面积等等。
勾股定理的几何证明有多种方法，其中最传统的方法之一是通过利用面积相等来证明。
以边长为a和b的两个正方形为例，如下图所示：```------a------| || |a| || ||-----------|------b-b```我们可以将这两个正方形组合成一个大正方形，边长为a+b。
该大正方形的面积为(a+b)²，同时由两个小正方形和一个直角三角形组成。
小正方形的面积分别为a²和b²，直角三角形的面积为0.5ab。
因此，我们可以得到以下等式：(a+b)² = a² + b² + 2ab(a+b)² = a² + b²从这个等式可以看出，当直角三角形满足勾股定理时，上述等式成立。
勾股定理还有一些有趣和实用的变形形式。
下面介绍两个常见的变形：1. 推论一：勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长度满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
勾股定理
勾 股 定 理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：利用勾股定理求线段长度——例题6 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.BAC7.关于翻折问题例7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.课后训练： 一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图(1)2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间有着重要的关系，可以用数学公式来表示。
1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系公式，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a和b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
2. 正弦定理：正弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
3. 余弦定理：余弦定理表示直角三角形中，任意一条边的长度与其对应的角度之间的关系。
即a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c分别表示直角三角形的三条边，A、B、C分别表示对应的角度。
这些公式的应用可以帮助我们解决直角三角形的各种问题，如求解三角形的边长、角度大小等等。
直角三角形三条边的关系公式
直角三角形三条边的关系公式在直角三角形中，有一个角度为90度，我们把这个角称为直角。
在直角三角形中，还有两个非直角角度，我们称为锐角和钝角。
1.勾股定理：勾股定理是直角三角形最基本的关系定理之一，它表达了直角三角形斜边的长度和直角边的长度之间的关系。
勾股定理可以表示为：c²=a²+b²其中，c表示斜边的长度，a和b表示两个直角边的长度。
2.正弦定理：正弦定理是三角形中最为常用的定理之一，也适用于直角三角形。
正弦定理可以表示为：sin(A) = a / csin(B) = b / c其中，A和B分别表示锐角的度数，a和b分别表示与锐角A和B相对的直角边的长度，c表示直角三角形的斜边的长度。
3.余弦定理：余弦定理也是常用的三角定理之一，适用于任何三角形，包括直角三角形。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)其中，C表示两个直角边之间的夹角，a和b分别表示与夹角C相对的两个边的长度，c表示直角三角形的斜边的长度。
使用勾股定理、正弦定理和余弦定理，我们可以解决各种与直角三角形相关的问题，比如求解三角形中一些角的度数、边的长度等。
此外，我们还有一些特殊的直角三角形的关系：1.等腰直角三角形：在等腰直角三角形中，两个直角边的长度相等。
a=b其中，a和b表示两个直角边的长度。
2.30-60-90三角形：在30-60-90三角形中，较小的直角边长度为x，较大的直角边长度为2x，斜边长度为x√3、可以表示为：a=xb=2xc=x√3其中，a和b分别表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。
综上所述，我们可以使用勾股定理、正弦定理和余弦定理来处理直角三角形的各种问题，同时还可以利用等腰直角三角形和30-60-90三角形的关系来推导解决一些特殊的直角三角形问题。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。
直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。
在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。
一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。
下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。
1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。
假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。
根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。
3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。
锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。
在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。
二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。
下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。
例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。
2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。
例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。
总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。
直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。
深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。
三角形勾股定理常用公式
三角形勾股定理常用公式三角形勾股定理是三角形中最重要的定理之一。
它的公式很简单，但是却非常实用，可以帮助我们解决很多有关三角形的问题。
在本文中，我们将讨论三角形勾股定理的常用公式以及其应用。
三角形勾股定理的表述如下：在直角三角形ABC中，若c为斜边，a,b为两直角边，则有a²+b²=c²。
这个公式非常简单易懂，但是要点在于应用。
以下是三角形勾股定理的一些常用公式：1.求直角边：如果已知一个直角三角形的斜边和另一条直角边的长度，可以使用勾股定理求出另外一条直角边的长度。
比如：在直角三角形中，斜边长为10，另一条直角边长为8，则第三边长为√(10²-8²)=6。
即可得出第三边长为6。
2.判断三角形是否为直角三角形：如果三条边的长度已知，可以通过勾股定理计算出三角形的三个角的余弦值，如果其中一个角的余弦值等于0，则这个三角形为直角三角形。
3.求三角形的面积：根据三角形的面积公式，可以用一半的底乘以高来计算三角形的面积。
此时可以使用勾股定理计算出这个三角形的高。
比如：在一个直角三角形中，底为12，斜边为15，则勾股定理可以得出直角边的长度为9，由此可以得出这个三角形的面积为1/2*12*9=54平方单位。
4.判断两个三角形是否相似：如果两个三角形的一个角相等，且两条边的长度成比例关系，那么这两个三角形就是相似的。
勾股定理可以用来判断两个直角三角形是否相似。
5.计算斜边上的中线长度：在一个直角三角形中，如果从斜边上取一点向直角边引垂线，则这条垂线就是斜边上的中线。
此时可以使用勾股定理来计算该中线的长度。
比如：在直角三角形ABC中，斜边长为c，且中线DE将斜边分为两段，其中一段长度为x，则另一段的长度为c-x。
由此，可以根据勾股定理导出式子x²-b²/4=a²，然后就可以计算出x的值。
以上是勾股定理的一些常用公式和应用。
虽然这个定理非常简单，但是它的实用性却非常强大，可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题。
直角三角形的勾股定理与运用
直角三角形的勾股定理与运用直角三角形是一种非常重要的三角形，其特点是其中一个角为90度。
而勾股定理则是直角三角形中最著名的定理之一，它描述了三角形中的边与角之间的关系。
在本文中，我们将介绍直角三角形的勾股定理，并探讨它在实际生活中的应用。
一、勾股定理的定义勾股定理是一个描述追求数学几何的定理，它可以用以下公式来表示：c² = a² + b²其中，c代表直角三角形的斜边，a和b分别代表直角三角形的两条边。
这个定理表明，在直角三角形中，较长的边的平方等于其他两条边平方的和。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明可以使用几何方法，也可以使用代数方法。
这里我们使用几何方法来证明。
首先，我们假设存在一个直角三角形ABC，其中∠C为90度，边AC的长度为a，边BC的长度为b，边AB的长度为c。
我们以边AB 为底边，从点C向上做垂直线段CD。
然后，我们通过对角线AC和CD来构建正方形ACDE。
在这个正方形中，AC的长度等于AD的长度，所以AC的长度为a。
同时，正方形的对角线的长度等于边长的倍数，因此，AE的长度为a+b。
另一方面，我们也可以通过对角线BC和BD来构建正方形BCDF。
在这个正方形中，BC的长度等于BD的长度，所以BC的长度为b。
同时，DF的长度为a+b。
由于正方形的内角为90度，所以角ADC和角BDC也为90度。
根据正方形的性质，AD和BD垂直于AC和BC，所以∠ADC和∠BDC也为90度。
因此，直线段AD和BD垂直于AC和BC。
由于∠ADC和∠BDC为90度，所以直线段AC和BD也垂直于彼此。
因此，∠ACD和∠BCD为直角，这说明了三角形ABC是一个直角三角形。
根据正方形的性质，边DE的长度等于边DF的长度，所以边DE的长度为c。
因此，根据正方形的性质，我们可以得出结论：在直角三角形中，较长的边的平方等于其他两条边平方的和，即勾股定理成立。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
直角三角形的勾股定理解析
直角三角形的勾股定理解析直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（即直角）。
在数学中，直角三角形的勾股定理是一条重要的定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
本文将对勾股定理进行详细解析。
一、勾股定理的表述勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它表述了直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和的关系。
具体表述如下：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有：a² + b² = c²二、勾股定理的应用勾股定理在数学中有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时，它可以用于计算三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等。
1. 计算三角形的边长通过勾股定理，我们可以计算直角三角形中任意两条边的长度，只需要已知另外一条边的长度即可。
例如，如果已知直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度：3² + 4² = c²9 + 16 = c²25 = c²根据等式，我们可以求得c的值为5。
因此，直角三角形的斜边长度为5。
2. 判断三角形是否为直角三角形勾股定理还可用于判断一个三角形是否为直角三角形。
如果在一个三角形中，满足勾股定理的等式，即a² + b² = c²，那么该三角形就是直角三角形。
反之，如果等式不成立，则该三角形不是直角三角形。
三、勾股定理的证明勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并由他给出了一种几何证明方法。
这是一种被广泛接受的证明方法，被称为毕达哥拉斯定理的几何证明。
具体的证明步骤如下：1. 假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。
2. 以AC为直径，作一个半径为r的圆。
圆上的点D、E分别为AB、BC的延长线上的点，使得AD = BE = r。
3. 连接BD，连接AE。
4. 根据几何定理可知，∠ABC和∠ADE互为对顶角，它们是等角，即∠ABC = ∠ADE。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是数学中一个重要的概念，它与勾股定理有着密切的关系。
下面将对直角三角形和勾股定理进行详细的介绍和论述。
一、直角三角形的定义直角三角形是由一个直角和两个锐角组成的三角形。
直角指的是一个角度为90度的角。
在直角三角形中，直角位于三角形的底边上。
二、勾股定理的表述勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
以三条边分别为a，b，c，直角边长度为c，非直角边的长度为a和b，则有公式：```c^2 = a^2 + b^2```三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
该证明可以用几何方法、代数方法和三角方法进行。
1. 几何证明：通过构造三个相似三角形和应用勾股定理的变形，可以得到勾股定理的几何证明。
2. 代数证明：通过应用平方差公式和对角线平方和的关系，可以得到勾股定理的代数证明。
3. 三角证明：通过应用正弦定理、余弦定理和正切定理等三角函数的关系，可以得到勾股定理的三角证明。
四、勾股定理的应用勾股定理是应用广泛的数学定理之一，具有重要的实际意义。
它在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当已知直角三角形中的两条边长时，可以通过勾股定理计算出第三条边的长度。
2. 判断三条边是否能构成直角三角形：根据勾股定理，如果三条边的关系符合勾股定理的条件，则可以判断这三条边能够构成直角三角形。
3. 解决实际问题：勾股定理可以用于计算实际问题中的距离、速度、力的大小等。
五、勾股定理的发展历史勾股定理最早出现在古代的各国数学文化中，但公认的最早发现和使用勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派将勾股定理广泛应用于几何学和数学推理中。
在中国，勾股定理被称为“勾股数学”，早在公元前11世纪的商代时期就已经有了记录。
中国古代的数学家通过勾股定理解决了很多问题，并在勾股定理的基础上发展了许多数学定理和方法。
直角三角形的计算
直角三角形的计算直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个直角（90度）角度。
在解决与直角三角形相关的问题时，我们通常会使用三角函数（正弦、余弦和正切）来进行计算。
1. 勾股定理勾股定理是指在一个直角三角形中，两条边的平方和等于斜边的平方。
根据这一定理，我们可以通过已知两个边的长度，来计算斜边的长度。
2. 计算斜边假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2通过以上公式，我们可以计算直角三角形中斜边的长度。
3. 计算角度如果我们已知直角三角形中的两个边长，我们可以通过三角函数来计算角度。
- 正弦函数：sin(A) = 对边c / 斜边a（其中A为直角三角形中的一个角）- 余弦函数：cos(A) = 邻边b / 斜边a- 正切函数：tan(A) = 对边c / 邻边b通过这些三角函数，我们可以计算出直角三角形中各个角度的大小。
4. 实际应用直角三角形的计算可以应用于各种实际问题中。
以下是一些实际应用例子：- 测量建筑物的高度：通过测量建筑物与观察点之间的水平距离和垂直距离，可以使用三角函数计算出高度。
- 导航和定位：使用三角函数可以帮助我们在地图上确定位置和方向。
- 斜面问题：通过计算斜面的角度和长度，可以确定物体在斜面上的移动速度和加速度。
- 航空和航海导航：使用三角函数可以计算出飞机和船只在空中和海上的位置和相关信息。
总结：直角三角形的计算涉及到了勾股定理和三角函数的运用。
我们可以通过已知的边长来计算三角形的各个角度和斜边的长度。
这些计算在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种与直角三角形相关的问题。
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1.如图，凸四边形ABCD 中，∠A=90° AB=3,AD=4,BC=12,CD=13
则四边形ABCD 的面积为
2.锐角三角形的两边分别为1、2，
则第三边x 的取值范围是
3.已知直角三角形的三边均为整数，且一直角边为1997， 则另一直角边是
4如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°AC=BC, D 为AB 边的中点，∠EDF=90°,AB=10 则DE+DF 的取值范围是
5. 如图，△ABC 中，AB=13,AC=15,BC=14,AD ⊥BC 则AD=
6. 如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90° D 为AB 边的中点，∠EDF=90° 求证：2
2
2
EF BF
AE =+
7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°AC=BC, △ABD 、△CDE 都是等边三角形，AB=2 求 BE 的长
8.如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，AD=BC,DC=BE 求∠AFD
9.如图，凸四边形ABCD 中, ∠BAD=60°∠BCD=30°AB=AD 求证：2
2
2
AC BC CD =+
10.如图，△ABC 是等边三角形，O 为内一点，AO=3,BO=4,CO=5 求∠AOB
11.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC ,O 为内一点，AO=1, CO=2, BO=3, 求∠AOC
C
C
A
C
E
C
P
B 12.如图，O 为矩形ABCD 中一点 求证：2
2
2
2
OD OB OC AO +=+
13.正方形ABCD 中，边长为1，∠DOC=90°
2
122=
-OB AO 求∠DCO
（需用三角函数，超纲）
14如图，P 为三角形ABC 的边BC 上一点，且PC=2PB ∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB
15. ∆ABC 中，AB=AC ，P 为BC 边上的一点 求证：AB 2
=AP 2
+BP ∙CP
若P 在直线BC 上结论是否成立呢？
16.如图，∆ABC 中，AB=AC=37，D 为BC 边延长线上的一点, AD=58,BC DC 均为整数 求BC DC 的长
17.勾股数， 例3、4、5；
5、12、13；
6、8、10；
7、24、25；
8、15、17；
9、40、41； 10、24、26 11、60、61 12、35、37 ………….
22n m - 2mn 22n m + 12-n 2n 12+n
2n 12
-n 12
+n (第一个数为偶数)
2n+1 2n(n+1) 2n(n+1)+1(第一个数是奇数)。