曲线积分与曲面积分试题及解答B

曲线积分与曲面积分 测试题B

一、选择（每题6分，共2４分) 1、曲线弧

上的曲线积分和

上的曲线积分有关系（ ）

２、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 Ｉ=⎰=⋅+++c

dy y x dx y x 222)()(2( )

（A ）⎰⎰--x x

dy y x dx 421

)( (B)⎰⎰--x

x

dy y x dx 421

)(2

（C)[

]

⎰⎰⎰++-+++1

.

321

2

2

22

1

2

2)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x

（D){}[]⎰⎰

⎰+++-+-++1

.

321

2222

1

2)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x

３、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周,则I ＝⎰+⋅-σ

dy xy dx y x 22用格林公式计算得

( )

(Ａ）⎰⎰R

dr r d 0

3

20πθ (B ）⎰⎰

R

dr r d 0220

πθ

（C ）

⎰⎰

-R dr r d 0

320

cos sin 4θθπ (D ）⎰⎰

R dr r d 0

320

cos sin 4θθπ

4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则⎰⎰∑

dS = （ ）

（A ）rdr r d r ⎰⎰

+πθ20

2

41 （B)rdr r d ⎰

⎰

+πθ20

20241 (C)rdr r r d ⎰

⎰+-πθ20

20

2

2

41)2( （D ）rdr r d ⎰

⎰

+π

θ20

2

241

二、填空（每题６分,共24分) 1、设

是M （1，３)沿圆(x -2）2+（y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分 。

2、设f （x )有连续导数，Ｌ是单连通域上任意简单闭曲线，且

则f （x )= ．

3、由物质沿曲线10,3

,2,:3

2≤≤===t t z t y t x C 分布,其密度为y 2=γ，则它的质量=M

。 (化为定积分形式即可不必积出）

４、=++⎰⎰S

dxdy z dzdx y dydz x 333 ，S 为球面2222a z y x =++的外侧.

三、（18分）计算曲线积分 ,式中L 为由点O (0，0)沿直线ｙ=x 到点A

(１,1）再由点A 沿曲线

到点Ｂ(0，2)的路径。

四、（１8分）设C 为由抛物线y ＝x 2的从（0，０)到（1,1）的一段弧和从（1,1)到(0,0)的直线段组成．试求曲线积分

．

五、（16分）求向量yz i +xz j +x ｙk 穿过圆柱体x 2+y 2≤R ２,0≤z ≤H 的全表面∑的外侧的通量．

参考答案及评分标准（Ｂ)

一、１、Ｂ

2、Ｂ 解：利用格林公式

)(24,21:y x y

P

x Q x

y x x D xy -=∂∂-∂∂-≤≤≤≤。

３、A 解:22222,

:y x y

P

x Q R y x D xy +=∂∂-∂∂≤+利用极坐标化二重积分⎰⎰

+xy

D dxdy y x )(2

2 为累次积分⎰⎰R

dr r d 0

320

π

θ. 4、D 解:dxdy y x ds y x D xy 2222441,2:++=≤+.

二、1、０ 解:由x Q y P ==,知x

Q

y P ∂∂=∂∂,故03113)1,3()3,1(=+=+=+⎰⎰⎰⎰⋂dx dy xdy ydx xdy ydx MN 。

２、c x +2 解：由题意知

y y xe y

P

x f e x Q 222)(=∂∂='=∂∂,即x x f 2)(=',故c x x f +=2)(。 3、⎰++1

0421dt t t t 解：⎰⎰

++==1

4212dt t t t ds y M C

。

4、

5

512a π 解：由高斯公式得原式⎰⎰⎰Ω

++=dxdydz z y x )(3222 5

40

2

20

5

1212sin 3a dr r rdr r d d a

a

ππθϕϕπ

π=

=⋅=⎰⎰⎰

⎰． 三、解:x

Q y y P xy Q y x P ∂∂=-=∂∂-=-=2,

2,22，故积分与路径无关……………………………6分 取OB 为从O 到Ｂ的直线段,则⎰--L

xydy dx y x 2)(22……………………………1２分

02)(22=--=⎰OB

xydy dx y x …………………………………………………………

18分

四、解:由于y x P 2+=,y x Q 2-=,故由格林公式 …………………………………………6分