11关联速度问题
专题+关联速度的问题
N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端
靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（
）
A．v0
B．2v0
C．
D
．
ℎ
1
解析：设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 = 2ℎ = 2
A．
B．
C．
D．
）
绳下端实际速度0
绳上端实际速度
1.使下端绳子伸长
将0 沿绳方向分解为⁄⁄ = 0 cos
2.使下端绳子旋转
将0 沿垂直于绳方向分解为⊥ = 0 sin
作用效果
作用效果
使上端绳子缩短
绳子下端伸长的速度⁄⁄ 和上端缩
短的速度大小相等，即⁄⁄ =
绳子的“关联”速度问题
杆以及相互接触物体的“关联”速度问题
变换参考系相关的运动合成与分解
02
典例分析
【例题】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地
面上的人以速度 向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳
与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（
即 = 30°；将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度1 和垂直杆转动的速度2 ，由矢量三角形可知
1 = 0 =
故选C。
3
3
0 ；而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 0 ，
2
2
4．光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入
“关联速度”问题 曲线运动专题二-教师用卷 带解析
“关联速度”问题曲线运动专题二一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1.如图所示,水平地面上一辆汽车正通过一根跨过定滑轮不可伸长的绳子提升竖井中的重物,不计绳重及滑轮的摩擦,在汽车向右以匀速前进的过程中,以下说法中正确的是( )A. 当绳与水平方向成角时,重物上升的速度为B. 当绳与水平方向成角时,重物上升的速度为C. 汽车的输出功率将保持恒定D. 被提起重物的动能不断增大【答案】D【解析】【分析】对汽车的速度沿绳子的方向和垂直于绳子的方向进行分解,沿绳子方向的速度分量等于重物上升的速度大小,结合三角函数的知识求重物上升的速度。
以重物为研究对象,分析重物的运动情况,分析绳子拉力的变化,判断汽车输出功率的变化情况。
解答该题的关键是确定汽车实际运动的速度是合速度,把该速度按效果进行分解,即为沿绳子摆动的方向垂直于绳子的方向和沿绳子的方向进行正交分解。
同时要会结合三角函数的知识进行相关的分析和计算。
【解答】将汽车的速度沿绳子的方向和垂直于绳子的方向进行正交分解,如图所示,则有：重物上升的速度物,故AB错误；C.汽车向右匀速前进的过程中,角度逐渐减小,增大,所以物增大,重物加速上升,克服重力做功的功率增大,根据能量守恒定律知,汽车的输出功率增大,故C错误；D.重物加速上升,动能不断增大,故D正确。
故选D。
2.如图所示,A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端,当A物体以速度v向左运动时,系A、B的绳分别与水平方向成、角,此时B物体的速度大小为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别对A、B物体速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,根据三角函数关系及沿着绳子方向速度大小相等,可知两物体的速度大小关系。
考查学会对物体进行运动的分解,涉及到平行四边形定则与三角函数知识,同时本题的突破口是沿着绳子的方向速度大小相等。
【解答】对A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度大小为；对B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解,则有沿着绳子方向的速度大小为,由于沿着绳子方向速度大小相等,所以则有,因此,故A正确,BCD错误。
速度的关联讲解
所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物理竞赛试题）图5-1 图5-２类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题）类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1 如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得ω＝(ｖｓｉｎ2θ/(Ｒｃｏｓθ．例2 如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２ｖＡ1；ｖ2＝(/２ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６ｖ，由此求得ｖB2＝(/６ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６ｖ．两解殊途同归．例3 如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα．例4 如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5 如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖOsinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14 图5-15ｒω－ｖOｓｉｎα＝ｖ．①又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO＝Ｒω，②由①、②两式可解得ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα，请读者自行证明．例6 如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα/(Ｒ＋ｒｖ．例7 如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8 如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9 如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
压轴题17 牵连(关联)速度问题 备战2021年高考物理必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴题17 牵连（关联）速度问题一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.如图，一半圆形碗的边缘两边通过一不可伸长的轻质细线挂着两个小物体，质量分别为m1.m2，m1>m2。
现让m1从靠近边缘处由静止开始沿碗内壁下滑。
设碗固定不动，其内壁和边缘均光滑．半径为R。
则m1滑到碗最低点时的速度为()A. 2√(m1−√2m2)gR2m1+m2B. √2(m1−m2)gRm1+m2C. √2(m1−√2m2)gRm1+m2D. 2√(m1−m2)gR2m1+m2【答案】A【解析】设 m1到达最低点时，m2的速度为v，则m1的速度v′=vcos45∘=√2v，根据系统机械能守恒有：m1gR−m2g·√2R=12m2v2+12m1v′2，又v′=√2v，联立两式解得：v=√2(m1−√2m2)gR2m1+m2，所以v′=2√(m1−√2m2)gR2m1+m2，故A正确，故BCD错误。
故选A。
2.如图，A、B分别为固定的定滑轮，一根不可伸长的细绳跨过定滑轮，用一外力使细绳上端以v=3m/s向右匀速运动，下端连接的小物块沿水平地面向左运动，当角度β=θ=530时，小物块的速度大小为(已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6)()A. 3m/sB. 4m/sC. 5m/sD. 1.8m/s【答案】C【解析】设小物块沿水平地面向左运动的速度为v1，根据运动的合成与分解可知v1cosβ=v，解得小物块的速度大小为v1=v cosβ=5m/s，故C正确，ABD错误。
故选C。
3.如图所示，作用于轻绳端点A竖直向下的拉力F，通过跨在光滑小滑轮的轻绳拉一处在较远处的物体B(初始位置绳与水平方向的夹角很小)，使物体沿水平面向右匀速滑动，直到接近滑轮下方，在此过程中A. 绳端A的速度逐渐增大B. 绳端拉力F逐渐增大C. 物体B对地面的压力逐渐减小D. 绳端拉力F的功率逐渐增大【答案】C【解析】A.对B的速度分解，设绳与水平夹角为α，则沿绳方向的速度为：v′=vcos(α)，由于角度增大，故该速度不断减小，即绳端A的速度逐渐减小，A错误；B.由于B匀速运动，故其在水平方向受力平衡，故有：Fcos(α)=μ[mg−Fsin(α)]，解得：F=μmgcos(α)+μsin(α)，随角度α的增大，力F先变小后变大，B错误；C.由于力F的竖直向上的分力为：F1=Fsin(α)=μmg1tan(α)+μ，随α的增大力F1逐渐增大，故物体对地面的压力减小，C正确；D.由于力F先变小后变大，故其功率P=Fvcos(α)=μmgv1+μtan(α)，由表达式可知随角度的增大，功率减小，D 错误。
小船渡河和关联速度问题课件
缺点
数值模拟和仿真需要一定的计 算资源和时间，同时模型的建 立和方程的求解也可能存在误 差和不确定性，需要谨慎处理
。
适用范围
数值模拟和仿真适用于各种小 船渡河问题，包括静水、急流 、多船等情况，同时也可以用 于其他相关问题的研究和分析
。
04
小船渡河问题的实际应用 和案例分析
实际应用中的小船渡河问题
小船渡河问题的分类和特点
小船渡河问题可以分为垂直渡河和 斜线渡河两种情况。
斜线渡河：小船以一定的角度θ行驶 ，需要同时考虑水流速度v1和小船 速度v0的影响。
垂直渡河：小船以垂直方向行驶， 需要克服水流速度v1的影响。
小船渡河问题的特点是多因素影响 ，包括水流速度、小船速度、航向 角度等。
02
小船渡河问题的数学模型 和解析
小船渡河和关联速度问题课 件
2023-11-01
目录
• 小船渡河问题概述 • 小船渡河问题的数学模型和解析 • 小船渡河问题的数值模拟和仿真 • 小船渡河问题的实际应用和案例分析 • 小船渡河问题的解决方案和建议
01
小船渡河问题概述
问题的起源和重要性
小船渡河问题起源 于实际生活中的运 输问题，具有重要 的现实意义。
案例分析二：某水库中的小船渡库问题
水库情况
某水库面积约为1平方公里，平均水 深约为30米，水流平缓。
小船情况
小船与河流中的小船类似，但可能 更加适应水库的环境。
渡库时间
由于水库面积较大，渡库时间可能 会更长，约为20分钟到30分钟。
安全问题
由于水库较深，小船在渡库过程中 可能会遇到水下障碍物或暗流，需 要注意安全问题。
小船渡河问题对于 理解物理学中的运 动、力和速度等概 念具有重要意义。
小船渡河、斜牵引运动和关联速度问题 学生版
小船渡河、斜牵引运动和关联速度问题【考点归纳】考点一：过河最短问题考点二：船速大于水速时的最短位移问题考点三：船速小于水速时的最短位移问题考点四：小船渡河的迁移问题考点五：“关联”速度问题考点六：斜牵引运动【技巧归纳】一：“关联”速度问题的处理在实际生活中，常见到物体斜拉绳(或杆)或绳(或杆)斜拉物体的问题．规律：由于绳(或杆)不可伸长，所以绳(或杆)两端所连物体的速度沿着绳(或杆)方向的分速度大小相同．例如，小车通过跨过滑轮的绳牵引小船B ，某一时刻绳与水平方向的夹角为θ，如图所示．小船速度v B 有两个效果(两个分运动)：一是沿绳方向的平动，二是垂直绳方向的转动．将v B 沿着这两个方向分解，v 1=v B cos θ=v A ，v 2=v B sin θ.二：小船渡河问题渡河时间最短和航程最短两类问题：1．关于最短时间，可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解，由于河宽一定，当船对静水速度v 1垂直河岸时，如图所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有t min =dv 1.2．关于最短航程，一般考察水流速度v 2小于船对静水速度v 1的情况较多，此种情况船的最短航程就等于河宽d ，此时船头指向应与上游河岸成θ角，如图所示，且cos θ=v 2v 1；若v 2>v 1，则最短航程s =v2v 1d ，此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′=v1v 2.技巧规律总结：1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
3．三种情景(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短=dv1(d为河宽)。
(2)过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短=d。
船头指向上游与河岸夹角为α，cosα=v2 v1。
(3)过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。
专题03 关联速度模型-【模型与方法】2023-2024学年高一物理同步模型易点通(人教版2019必
专题03 关联速度模型1.“关联”速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。
一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。
2.“关联”速度分解的步骤(ⅰ)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。
(ⅰ)确定合运动的两个效果。
用轻绳或可自由转动的轻杆连接的物体的问题―→⎩⎪⎨⎪⎧ 效果1：沿绳或杆方向的运动效果2：垂直绳或杆方向的运动 相互接触的物体的问题―→⎩⎪⎨⎪⎧效果1：垂直接触面的运动效果2：沿接触面的运动 (ⅰ)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。
3.常见的速度分解模型(1)绳牵联模型单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v ⅰ一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v ⅰ的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
甲 乙 两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即v A ⅰ＝v B ⅰ。
如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B 的速度与A 沿绳方向的分速度相等，即v A ⅰ＝v B ⅰ。
丙丁(2)杆牵联模型如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即v Aⅰ＝v Bⅰ。
【模型演练1】（2024上·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）如图在水平力F作用下，物体B沿水平面向左运动，物体A恰好匀速下降。
以下说法正确的是（）【模型演练2】（2023上·云南·高一校联考期末）有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物块A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，轻绳始终处于紧绷状态，物块A向右运动。
“关联速度”模型
建构物理模型，巧于•解决问题太原市第十二中学 姚维明模型建构：【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度【特点】力学问题中经常出现牵连运动：“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同 方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同”。
这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿 运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用 “微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算） 往往是求解这类问题的关键。
“绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。
由于两个物体 相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳 子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的 方向］。
模型典案:【典案1］如图1所示，汽车以速度V 匀速行驶，当汽车到达图示位苣时，绳子与水平方向的夹角是&，此时物体M 的上升速度大小 为多少？（结果用V 和&表示）K 解析》解法一：运动效果分解法物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与 左段绳子在沿绳长方向运动的速率V.是相等的。
与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。
分析左段绳子的运 动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮 边缘顺时针转动。
将车速v 分解为沿绳方向的速度V,和垂直绳子方向的速度V2, 图2所示。
根据平行四边形定则可得V! = PCOS^.所以，物体M 上升速度的大小为b=vcos0。
【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。
物理意义很明显。
这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运 动才能分解成沿绳子（或杆）一一改变绳子速度大小的分量与垂 直于绳子（或杆）一一改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改 变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。
11 关联速度问题
《关联速度》一、计算题1.如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的各部分均光滑，水平部分套有质量为的小球A，竖直部分套有质量为的小球B，A、B之间用不可伸长的轻绳相连。
在水平外力F的作用下，系统处于静止状态，且，，重力加速度．求水平拉力F的大小和水平杆对小球A弹力的大小；若改变水平力F大小，使小球A由静止开始，向右做加速度大小为的匀加速直线运动，求经过拉力F所做的功。
2.如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，绳某时刻与水平方向夹角为求：若人匀速拉绳的速度为，则此时刻小船的水平速度为多少？若使小船匀速靠岸，则通过运算分析拉绳的速度变化情况？3.如图，足够长光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知，，．求m下降时两物体的速度大小各是多大？若m下降时恰绳子断了，从此时算起M最多还可以上升的高度是多大？4.如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物块A，另一端悬挂质量为的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离开始时小物块A受到水平向左的拉力静止于P点，PO与水平方向的夹角为．求小物块A受到的水平拉力大小；撤去水平拉力，求：当PO与水平方向的夹角为时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？物块A在运动过程中的最大速度．5.如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。
右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角。
一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，线的两端分别系有可视为质点的小球和，且。
开始时恰在右端碗口水平直径A处，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。
当由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。
考点三关联速度问题
考点三关联速度问题星I知识梳戛1. 模型特点沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等.2. 思路与方法合速度T绳拉物体的实际运动速度v其一：沿绳（或杆的速度V i分速度T'R其二：与绳（或杆垂直的分速度V2方法：V i与V2的合成遵循平行四边形定则.3. 解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解.常见的模型如下图所示.命题点1绳牵连物体运动问题6•如图所示，A、B两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A球以速度v向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为a、伏下列说法正确的是（）TCOS a A .此时B球的速度为COS] vB •此时B球的速度为sn a vC.在B增大到90。
的过程中，B球做匀速运动D .在B增大到90。
的过程中，B球做加速运动【解析】由速度的合成与分解知，A、B两球沿绳方向的分速度相等，则VCOS a V B COS cca zB可得V B = cos常，A正确，B错误；在A球向左匀速运动的过程中，a减小、B增大，余弦函数为减函数，故在B增大到90°的过程中，B球做加速运动，C错误，D正确.【答案】AD命题点2杆牵连物体运动问题7•在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B被分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以v o匀速运动，已知P点为杆的中点，杆AB与x 轴的夹角为0,下列关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v的表达式正确的是（）A . P点的运动轨迹是一条直线B. P点的运动轨迹是圆的一部分C. P点的运动速度大小v = v o tan 0v oD . P点的运动速度大小v=2Sin~0【解析】设P点坐标为（x, y）,则A、B点的坐标分别为（2x,0）、（0,2y）, AB长度一定, 设为L,根据勾股定理，有（2x）2+ （2y）2= L2，解得x2+ y2= £2,故P点的运动轨迹是圆的一部分，故A错误，B正确.画出运动轨迹，如图所示，速度v与杆的夹角a= 90 °—2 0由于杆不可伸长，故P点的速度沿杆方向的分速度与A点速度沿杆方向的分速度相等,VCOS a= V 0COS 0, vcos (90 — 2 0 = v o cos 0 解得v= 2sn 0，故C错误，D 正确.【答案】 BD绳（杆）端速度分解思路物理建模系列（五）小船渡河模型分析1.模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动， 其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究•这样的 运动系统可看作"小船渡河模型”.2•模型展示合运気分近动一：黑密 水泠流的込动 , 木施的 Sfi 度船和时丁-弭运曲二:iUfi 时 于挣成的创杆运总”专仟泄水屮的3.三种速度：V 1（水的流速卜V 2（船在静水中的速度）、v （船的实际速度）.4. 三种情景过河要求过河方法 图象沿着绳（杆） 方I 旬分解垂直绳（杆）方向分解f 沿绳或杆 方向的分速度大小 相等例一小船渡河，河宽d= 180 m,船在静水中的速度为v t = 5 m/s,水流速度v2= 2.5 m/s. 求：(1) 欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2) 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？【解析】(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v i= 5 m/s.d 180t=書=” 36 sv= .v2+ v2= 2 . 5 m/sx= vt= 90 . 5 m.乙(2)欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角a如图乙所示, 有v i sin a= V2,得a= 30°所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短.x' = d= 180 m.d = 180 v i cos 30 °5 - 2^3=24 3 s.【答案】(1)垂直河岸方向36 s 90 5 m(2)向上游垂直河岸方向偏30° 24.3 s 180 m1. 解这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动.2. 运动分解的基本方法：按实际运动效果分解.(1) 确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向);(2) 根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；(3) 运用平行四边形定则进行分解.3. 小船渡河问题的处理(1)小船渡河问题，无论v船〉V水，还是V船V V水，渡河的最短时间均为t min = _L(L为河V船宽).⑵当v船〉v水时，船能垂直于河岸渡河，河宽即是最小位移；当v船V v水时，船不能垂直于河岸渡河，但此时仍有最小位移渡河，可利用矢量三角形定则求极值的方法处理.A考能提升莎点演练k［高考真题］1. (2016课标卷I, 18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()A •质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B .质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D .质点单位时间内速率的变化量总是不变【解析】因为质点原来做匀速直线运动，合外力为0,现在施加一恒力，质点的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变且一定与该恒力的方向相同，但若做匀变速曲线运动，单位时间内速率的变化量船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.间的比值为k,船在静水中的速度大小相冋，则小船在静水中的速度大小为去程与回程所用时（）是变化的，故C正确，D错误.若做匀变速曲线运动，则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同，故A错误；不管做匀变速直线运动，还是做匀变速曲线运动，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B正确.【答案】BC2. （2015广东卷，14）如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物（）A •帆船朝正东方向航行，速度大小为vB .帆船朝正西方向航行，速度大小为vC.帆船朝南偏东45。
高中物理关联速度的合成与分解
精心整理速度关联类问题求解·速度的合成与分解●难点1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？●案例探究［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.解题方法与技巧：解法一:应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =θcos BD ①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBCt s ∆=∆∆1 ②人拉绳子的速度v =tBD t s ∆=∆∆2③由①②③解之：v 物=θcos v解法二:应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v物按如图5-6所示进行分解. 其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=θcos v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=θcos v图5-7［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块图5-1图5-2图5-3图5-4图5-5图5-6上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方向.解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）.因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ.令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . ●锦囊妙计一、分运动与合运动的关系1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性. 二、处理速度分解的思路1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系. ●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★）如图5-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v .2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.图5-9图5—103.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示.试求：（1）m 2在下滑过程中的最大速度. （2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.（★★★★）如图5-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中图5-8图5-11图5-12（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。
用矢量运算巧解相对运动中的关联速度问题
习题研究教学参考第50卷第4期2021年4月用矢量运算巧解相对运动中的关联速度问题张铁林1朱行建2(1.天津经济技术开发区第一中学天津300457;2.天津经济技术开发区教育促进中心天津300457)文章编号：l〇〇2-218X(2021)04-0054-02中图分类号：G632. 479文献标识码：B 摘要：找出相对运动两个物体上的关联点，变换参考系后找出它们之间的相对速度i相对，借助r绝对=■〇相时+u牵述矢量 表达式，可以迅速构建矢量三角形，在矢量三角形中利用边角关系可迅速得到关联速度关系，整个过程简洁清晰。
关键词：关联速度；变换参考系；相对运动；矢量关系式关联速度是“运动的合成与分解”一节中的重点与难点，尤其是当涉及两个物体相对运动时，关联问 题会更加复杂，若使用运动的分解，必须要深人理解其本质，初学者很难掌握，而变换参考系后利用矢量运算可以很巧妙地解决这个问题，整个过程简洁、清 晰、高效。
使用这种方法，f先要找到相对运动中两个相互关联的点（如A和£!)，然后选择其中某一个点为参考 系（如B)，观察另外一个点的相对运动情况（如v.«)，借助矢量关系式：V.谨=V/Ui +VB地（或者〜绝对=V a b相对+画出矢量三角形，借助边角函数关系解决此类问题。
向下运动，设P相对于Q的速度为方向沿斜面向下，再由〜地=v pq +vc» (vm =v p，V f f l t e=)构建矢量三角形（图3)，根据矢量三角形，可以看图2出vP :v Q=tan (9(图4)，可知 v A:vB=tan沒。
二、杆面接触_、面面接触例1如图1所示，将楔形木块B放在光滑水平面上的墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放人一个小球A，放手让小球和木块同时由静止开始运动，已知楔形木块的倾角为0，某时刻二者速度分别为f A和，求:抑的值。
解析这属于面面接触的关联问题，首先找到球例2 —个半径为i?的半圆柱体沿水平方向向右以速度V。
速度关联问题
关联速度问题题型一：绳(杆)端速度分解模型基础知识1.模型特点沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．2.解决此类问题时应把握以下两点：(1)确定合速度，它应是物体在端点时的实际速度；(2)物体的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转动。
应根据实际效果进行运动的分解．绳子（杆）的长度不会发生变化，则绳子（杆）上每个点沿绳（杆）方向的速度要相等，否则会断裂；且绳子（杆）端点上的物体会有两个效果，一个沿绳（杆）方向运动，一个是垂直于绳（杆）的方向的运动{使绳（杆）的方向发生转动}，所以端点物体合运动分解成沿绳（杆）和垂直于绳（杆）方向上的分运动。
3.思路与方法合运动→绳（杆）拉物体的实际运动速度v分运动(或杆)的速度v 1(或杆)垂直的分速度v 2方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则．例题解析：例1.如图所示，做匀速直线运动的小车A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为v B 、v A ，则()A.v A >v B B.v A <v B C.绳的拉力等于B 的重力 D.绳的拉力大于B 的重力解析：设物体A 上绳子与水平方向的夹角为θ，对物体A 进行分析，物体实际速度v A 就是物体在该端点的合运动，对v A 进行分解成一个沿绳方向的分速度v 1和一个垂直于绳的分速度v 2。
端点上的物体在沿绳方向的速度相等，即B v v =1，又θcos 1A v v =，所以v A >v B 。
汽车A 向左匀速直线运动，夹角θ逐渐在减小，则θcos 1A v v =在逐渐增大，即B v 的大小在增大，即物体B 在加速，即绳子对物体B 的拉力大于B 的重力。
例2.均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。
当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为vB ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度大小。
解析：如图所示，对杆端点物体A 、B 的速度如图所示进行分解，沿杆方向上的速度大小要相等，即θθsin cos B A v v =，θθθtan cos sin B B A v v v ==题型二：接触面速度问题基础知识：1.模型特点垂直于接触面方向上的分速度相等。
专题强化一小船渡河问题与关联速度问题
专题强化二：小船渡河问题与关联速度问题一、单选题1．如图所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37 角，水流速度为4m/s，则船在静水中的最小速度为（）A．2m/s B．2.4m/s C．3m/s D．3.5m/s2．如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。
若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是（）A．减小船速，过河时间变长B．减小船速，过河时间不变C．增大船速，过河时间不变D．增大船速，过河时间缩短3．如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置。
则小环M的速度将（）A．逐渐增大B．先减小后增大C．先增大后减小D．逐渐减小4．如图所示，物块甲和乙用一不可伸长的轻绳通过两光滑轻质定滑轮连接，乙套在水平固定的光滑直杆上。
θ=︒，空气阻力不计，则（）现将甲、乙从图示位置由静止同时释放，释放时轻绳与水平杆之间的夹角30A．刚开始释放时，甲处于超重状态θ=︒时，甲、乙的速度大小之比是3:2B．当60θ=︒时，乙的速度最大C．当90D．当θ由30向90︒增大的过程中轻绳对甲的拉力始终小于其重力5．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，河宽为300 m，则当船沿渡河时间最短的路径渡河时（）A．船渡河的最短时间是60 sB．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直C．船在河水中航行的轨迹是一条直线D．船在河水中的最大速度是7 m/s6．如图所示，小船以大小为v1=5 m/s、方向与上游河岸成θ=60°角的速度（在静水中的速度）从A处过河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。
已知河宽d=180 m，则下列说法中正确的是（）。
A．河中水流速度为2.3m/sB．小船以最短位移渡河的时间为24 sC．小船渡河的最短时间为3sD．小船最短的时间内渡河的位移是5m7．如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升，那么以下说法正确的是（）A．物体B正向右做匀减速运动B．物体B正向右做加速运动C．物体B正向右做匀速运动D．斜绳与水平成30时，:3:2A Bv v=8．质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P 与滑轮的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。
(完整版)小船渡河与关联速度问题
小船渡河与关联速度问题晨阳教育小船渡河问题：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。
两类问题：①渡河最短时间问题；②渡河最小位移问题。
① 渡河最短时间问题：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θυυsin 1船d dt ==，显然，当︒=90θ时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为船v d ，合运动沿船和水合速度的方向进行。
② 渡河最小位移问题 1、v 水<v 船船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船水υυθ=cos2、v水>v 船不论船的航向如何，总是被水冲向下游，即无论向哪个方向划船都不能使船头垂直于河，那么怎样才能使距离最短呢？如图所示，设船头v 船与河岸成θ角。
合速度v 与河岸成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水船v v =θcos 船头与河岸的夹角应为 水船v v arccos=θ，船沿河漂下的最短距离为：θθsin )cos (min 船船水v dv v x ⋅-=此时渡河的最短位移：船水v dv ds ==θcos1.某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是( ) A ．水速大时，路程长，时间长 B ．水速大时，路程长，时间短 C ．水速大时，路程长，时间不变 D ．路程、时间与水速无关2.如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ） A. A 、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用 B. B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游 C. A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游v 水v 船θvv 水θ vαABE v 船3.一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A 、B ，如图所示．已知河宽为80 m ，河水流速为5 m/s ，两个码头A 、B 沿水流的方向相距100 m ．现有一只船，它在静水中的行驶速度为4 m/s ，若使用这只船渡河，且沿直线运动，则( )A ．它可以正常来往于A 、B 两个码头 B ．它只能从A 驶向B ，无法返回C ．它只能从B 驶向A ，无法返回D ．无法判断4.在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( )A ．21222υυυ-d B ．0 C ．21υυd D ．12υυd5.某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速1v 与水速2v 之比为（ ）(A)21222T T T - (B) 12T T (C)22211TT T - (D) 21T T6.一条河宽100米，船在静水中的速度为4m/s ，水流速度是5m/s ，则（ ） A ．该船可能垂直河岸横渡到对岸B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100米D ．当船横渡时到对岸时，船对岸的最小位移是100米7.如图所示，小船从A 码头出发，沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为d ，划船的速度v 船恒定. 河水的流速与到河岸的最短距离x 成正比，即）其中k 为常量。
百强校高考物理题型复习专题11：关联速度的问题
百强校高考物理题型复习专题11：关联速度的问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，湖中有一条小船，岸上人用缆绳跨过定滑轮拉船靠岸。
若用恒速υ0拉绳，当绳与竖直方向成α角时。
小船前进的瞬时速度是( )A．υ0sinαB．υ0/sinαC．υ0cosαD．υ0/cosα2．如图，两个相同的小球P、Q通过铰链用刚性轻杆连接，P套在光滑竖直杆上，Q放在光滑水平地面上。
开始时轻杆贴近竖直杆，由静止释放后，Q沿水平地面向右运动。
下列判断正确的是（）A．P触地前的速度一直增大B．P触地前的速度先增大后减小C．P、Q的速度同时达到最大D．Q的速度先增大后减小3．固定在竖直平面内的半圆形刚性铁环,半径为R,铁环上穿着小球,铁环圆心O的正上方固定一个小定滑轮。
用一条不可伸长的细绳,通过定滑轮以一定速度拉着小球从A点开始沿铁环运动,某时刻角度关系如下图所示,若绳末端速度为则小球此时的速度为A．B．C．D．4．如图所示，一工人利用定滑轮和轻质细绳将货物提升到高处。
已知该工人拉着绳的一端从滑轮的正下方水平向右匀速运动，速度大小恒为v，直至轻绳与竖直方向夹角为600。
若滑轮的质量和摩擦阻力均不计，则该过程（）A．货物也是匀速上升B．绳子的拉力大于货物的重力C．末时刻货物的速度大小为D．工人做的功等于货物动能的增量5．如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过光滑滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着向上运动，在A匀速上升过程中，下列判断正确的是A．拉力F变小B．杆对A的弹力N不变C．绳子自由端(右端)的速率ν增大D．拉力F的功率P不变6．如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。
若当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成角，则小车的速度为()A．B．C．D．二、多选题7．如图所示，物体A和B的质量均为m ，且分别与跨过定滑轮的轻绳连接(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则（）A．物体A也做匀速直线运动B．绳子拉力始终大于物体A所受重力（00＜＜900）C．绳子对物体A的拉力逐渐增大D．绳子对物体A的拉力逐渐减小8．如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴o转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，则关于棒的角速度不正确的为（）A．B．C．D．9．如图，柔软的轻绳一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，杆上的A点与光滑的轻小定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。
1.速度关联问题
9、速度关联问题 题型一、 杆端关联【例题1】如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直槽运动，B 球处于光滑水平面内。
开始时杆竖直，A 、B 两球静止。
由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动。
当轻杆与水平方向的夹角为θ时，A 球的速度v A 与B 球的速度v B 满足的关系是（ ）A. v A =v B ·cot θB. v A =v B ·tan θC. v A =v B ·sin θD. v A =v B ·cos θ〖变式1—1〗如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直槽运动，B 球处于光滑水平面内。
开始时杆竖直，A 、B 两球静止。
由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动。
在A 球下滑到底端的过程中，下列选项正确的是（ ）A.B 球的速度先增大后减小B. B 球的速度先减小后增大C.A 球到达竖直槽底部时，B 球的速度为0D. A 球到达竖直槽底部时，B 球的速度不为0〖变式1—2〗在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L 的光滑细杆AB 的两个端点A 、B 被分别约束在x 轴和y 轴上运动，现让A 沿x 轴正方向以v 0匀速运动，已知P 点为杆的中点，当杆AB 与x 轴的夹角为θ时，下列关于P 点的运动轨迹或P 点的运动速度大小v 的表达式正确的是（ ）A ．P 点的运动轨迹是一条直线B ．P 点的运动轨迹是圆的一部分C ．P 点的运动速度大小v =v 0·tan θD ．P 点的运动速度大小v =v 02sin θ【例题2】如图所示，AB 杆以恒定角速度ω绕A 点由竖直位置开始顺时针旋转，并带动套在固定水平杆OC 上的小环M 运动。
则小环M 的速度大小变化情况是（小环仍套在AB 和OC 杆上）（ ）A.保持不变B. 一直增大C.一直减小D. 先增大后减小〖变式2—1〗如图所示的装置中，AB 杆水平固定，另一细杆可绕AB 杆上方距AB 杆高为h 的O 轴以角速度ω转动，两杆都穿过P 环。
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《关联速度》一、计算题1.如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的各部分均光滑，水平部分套有质量为的小球A，竖直部分套有质量为的小球B，A、B之间用不可伸长的轻绳相连。
在水平外力F的作用下，系统处于静止状态，且，，重力加速度．求水平拉力F的大小和水平杆对小球A弹力的大小；若改变水平力F大小，使小球A由静止开始，向右做加速度大小为的匀加速直线运动，求经过拉力F所做的功。
2.如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，绳某时刻与水平方向夹角为求：若人匀速拉绳的速度为，则此时刻小船的水平速度为多少？若使小船匀速靠岸，则通过运算分析拉绳的速度变化情况？3.如图，足够长光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知，，．求m下降时两物体的速度大小各是多大？若m下降时恰绳子断了，从此时算起M最多还可以上升的高度是多大？4.如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物块A，另一端悬挂质量为的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离开始时小物块A受到水平向左的拉力静止于P点，PO与水平方向的夹角为．求小物块A受到的水平拉力大小；撤去水平拉力，求：当PO与水平方向的夹角为时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？物块A在运动过程中的最大速度．5.如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。
右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角。
一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，线的两端分别系有可视为质点的小球和，且。
开始时恰在右端碗口水平直径A处，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。
当由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。
求小球沿斜面上升的最大距离s；若已知细绳断开后小球沿碗的内侧上升的最大高度为，求？6.如图所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的各部分均光滑。
杆的水平部分OM和竖直部分ON各套有质量均为2kg的小球A和B，A、B球间用不可伸长的轻绳相连。
在水平力F的作用下A、B均处于静止状态，且，，重力加速度。
求水平拉力F的大小及水平杆OM对A球的支持力的大小。
若改变拉力F的大小，让A球由静止开始向右做加速度的匀加速直线运动，则在秒末，B的速度大小？上问中，A球匀加速直线运动秒内，该拉力F做功多大？7.一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为，如图所示试求：车向左运动的加速度的大小；重物m在t时刻速度的大小．8.如图所示，一杆倾斜固定在地面与墙之间，与水平面成角。
杆的上端距地面距离为h。
在距地面高处的A点有一可看做质点的跳蚤以某一初速度水平跳出。
跳蚤若以较小的初速度跳出，将落在地上，求跳蚤落地的时间若跳蚤能跳到杆上，求跳蚤的最小初速度为多大跳蚤若落在地上，求落地的最大水平距离9.如图所示，一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离为H。
车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t，绳子与水平方向的夹角为。
求：车向左运动的加速度的大小；重物在t时刻速度的大小。
10.内壁及边缘均光滑的半球形容器的半径为R，质量分别为M和的两个小球可看做质点用不可伸长的细线相连。
现将M由静止从容器边缘内侧释放，如图所示，试计算M滑到容器底时，两小球的速率。
11.一根轻杆的一端A固定一个质量的小球，小球可绕轻杆另一端B在竖直平面内自由转动，在B点正上方处的C点有一固定的小滑轮。
细线一端系在轻杆A端的小球上，另一端绕过滑轮C后系有一质量的重物可视为质点。
现用手托住重物P，使AC的长为时，此时轻杆AB与BC的夹角，小球和重物P都静止，某时刻突然放手。
不考虑一切摩擦，，已知，，求：放手前手对重物P的作用力大小。
放手瞬间，重物P的加速度大小。
放手后，轻杆AB运动到竖直位置时，小球的速度。
12.如图所示，有一个固定的足够长光滑直杆与水平面的夹角为，杆上套着一个质量为的滑块可视为质点用不可伸长的轻绳将滑块A与另一个质量也为的物块B通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂B而绷紧，此时滑轮左侧轻绳恰好水平，其长度，杆上P点与滑轮的连线同直杆垂直，杆上M点与O点关于P点对称．开始时对滑块A施加一沿杆向上的外力图中未画出恰好使整个系统处于静止状态．某时刻撤去外力F，使滑块A从图中O点由静止释放，整个过程B未接触地面．重力加速度g 取求：计算结果可以保留根号系统静止时外力F及杆对滑块A的弹力的大小；滑块A经过P点的速度大小；滑块A从O滑到M的过程中，轻绳对物块B做的功．13.如图所示，质量均为m的木块P与小球可视为质点通过一根细绳相连，细绳绕过两个轻质无摩擦的小定滑轮C、可视为质点，木块P的另一端被固连在地面上的轻质弹簧秤竖直向下拉住．小球Q套在固定在水平地面上的半圆形光滑圆环上，圆环半径为初始时小球Q位于圆环的最高点B点静止不动，其中，此时弹簧秤对木块的拉力为，弹簧秤中弹簧的弹性势能在数值上等于为重力加速度现将小球Q从B点移动到A点，其中AC垂直于OA，此时弹簧秤对木块的拉力为，然后将小球Q从A点由静止释放，小球Q将顺着光滑圆环从A向B运动．已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的二次方成正比．求：弹簧秤中弹簧的劲度系数k；小球从A点静止释放，运动到B点时的速度；小球从A点静止释放，由A点运动到B点的过程中，绳子拉力对小球所做的功．14.如图所示，倾角的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为的物体A和B用一劲度系数的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住．用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与小环C连接，轻弹簧轴线和定滑轮右侧的绳均与斜面平行，小环C穿在竖直固定的光滑均匀细杆上．当环C位于Q处时整个系统静止，此时绳与细杆的夹角，且物体B对挡板P的压力恰好为零．已知，，g取求：当环C位于Q处时绳子的拉力大小T和小环C的质量M；现让环C从位置R由静止释放，位置R与位置Q关于位置S对称，图中SD水平且长度为，求：小环C运动到位置Q的速率v；小环C从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功．15.如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的各部分均光滑，水平部分套有质量为的小球A，竖直部分套有质量为的小球B，A、B之间用不可伸长的轻绳相连。
在水平外力F的作用下，系统处于静止状态，且，重力加速度。
求水平拉力F的大小和水平杆对小球A弹力的大小；若适时改变水平力F大小，使小球A由静止开始，向右做加速度大小为的匀加速直线运动，求经过拉力F所做的功。
16.如图，一轻绳跨过光滑的小定滑轮，一端与在倾角为的光滑斜面上的小物体连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物体连接，滑轮到竖直杆的距离为，物体的初始位置在与滑轮等高的A点．已知的质量为，的质量为，，，g取，并设斜面和杆足够长，不会碰到滑轮，不会碰到地面．若用手使物体m静止在A点，求物体m受到绳子拉力T的大小；现将物体由A点静止释放，B点距A点，则：设物体滑到B点时的速度为，此时物体的速度为，请写出与的大小关系；物体m从A点运动到B点的过程中，求绳对m所做的功W．17.如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。
右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角。
一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，线的两端分别系有可视为质点的小球和，且。
开始时恰在右端碗口水平直径A处，在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。
当由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，断开后小球沿碗的内侧上升的最大高度为，不计细绳断开瞬间的能量损失，求。
18.如图所示，左侧竖直墙面上固定半径的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑的水平直杆，半圆环和直杆位于同一竖直平面内，圆环上有一点Q，OQ连线与水平线的夹角为。
质量的小物块A套在半圆环上，质量的小滑块B套在直杆上，二者之间用长的轻杆通过两铰链连接。
现将A从半圆环的最高处由静止释放后A沿圆环自由下滑，运动过程中连接A、B的杆不会与半圆环和水平直杆碰撞。
不计一切摩擦，A、B均可视为质点，取重力加速度。
求可能用到的数据：取，：滑到与圆心O等高的P点时的速度大小；从半圆环最高点滑至Q点的过程中，杆对滑块B做的功计算的最终结果保留1位有效数字。
19.如图所示，完全相同的两个弹性环A、B用不可伸长的、长为L的轻绳连接，分别套在水平细杆OP和竖直细杆OQ上，OP与OQ在O点用一小段圆弧杆平滑相连，且OQ足够长。
初始时刻，将轻绳拉至水平位置伸直，然后释放两个小环，A环通过小段圆弧杆时速度大小保持不变，重力加速度为g，不计一切摩擦。
求：当B环下落时A环的速度大小；环到达O点后再经过多长时间t能够追上B环；两环发生第一次弹性碰撞后，当绳子再次恢复到原长时B环距离O点的距离H。
20.如图，汽车在平直路面上匀速运动，汽车受到的阻力恒定为f，用跨过光滑定滑轮的轻绳牵引轮船，汽车与滑轮间的绳保持水平。
当牵引轮船的绳与水平方向成角时，轮船速度为v，绳的拉力对船做功的功率为P。
求：此时绳对船的拉力为T的大小；此时汽车发动机的输出功率为。
21.如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量小球A。
半径的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为的小球B。
用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。
杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取。
现给小球A一个水平向右的恒力。
求：把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功；小球B运动到C处时的速度大小；小球B被拉到离地多高时与小球A速度大小相等。
22.如图所示，两根细绳分别绕在一光滑滑轮轴的轮上和轴上，绕在轮上的细绳与质量的小圆环A连接，绕在轴上的细绳与质量的重物B连接，不计滑轮轴的质量，轮与轴有相同的角速度且轮和轴的直径之比为。
重物B放置在倾角为且固定在水平面的斜面上，轻绳平行于斜面，B与斜面间的动摩擦因数，圆环A套在竖直固定的光滑直杆上，滑轮轴中心与直杆的距离为远大于轮的直径。