任意正实数开平方的几种算法

任意正实数开平方的几种算法

马丽君

（集宁师范学院 数学系，内蒙古 乌兰擦布市 012000）

摘 要：给出正实数开平方的四种不同算法。

关键词：查表法；笔算开平方法；迭代法；无穷级数法。

任意正实数开平方我们在初中已经学习过。方法是查表法。本文介绍了包括查表法在内的四种不同开平方的算法，供大家参考。

方法一：查表法。

方法二：笔算开平方法。

将被开方数从小数点起向左、向右每隔两位划为一段，用“ ’ ”分开；求不大于且最接近左边第一段数的完全平方数，此平方数的平方根为“初商”； 从左边第一段数里减去求得初商的平方数，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 把初商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；用初商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；以此类推，直至满足要求的精度；平方根小数点位置应与被开平方数的小数点位置对齐。

例1 求316.4841的平方根。

第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左、向右每隔两位用逗号分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41。

第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方

则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为2113=<，而

2(11)43+=>。

第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216。

第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而

[20(1)]⨯++初商试商(1)⨯+试商则大于第一余数。

第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748。依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束。若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值。

第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐。

本例的算式如下：

()0k x '≠，则(*)的解为

的近似根的方法称为牛顿迭代法，公式称为牛顿迭代公式。