大学线性代数经典课件及习题 第四章 n维向量空间

若存在数k1, k2 , , km ,使得:
β k11 k22 kmm
称β可由1,2 ,
,
线性表示
m
或称β是1,2 ,
,
的线性组合
m
例 向量 = 3,2,0,5T ,
e1 (1, 0, 0, 0)T , e2 (0,1, 0, 0)T , e3 (0, 0,1, 0)T , e4 (0, 0, 0,1)T .
定理4.1 (1)向量β可由向量α1,α2 , ,αm线性表示
的充要条件是：
rank(α1,α2 , ,αm ) rank(α1,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1,α2 , ,αm ) rank(α1,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1,α2 , ,αm线性表示
存在m个数x1, x2, , xm，使得
xα1 1 xα2 2 xmαm
方程组 AX 有解
其中A (α1,α2, ,αm ), X (x1,x2, ,xm )T
矩阵A (α1,α2, ,αm ), A (α1,α2, ,αm , )
rank( A) rank( A)
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2
anm xm bn
记
a11
a12
α1
a21
, α2
a22
,
an1
anm
a1m
x1
b1
,αm
可由e1, e2 , e3, e4线性表示： =-3e1 2e2 0e3 5e4
一般地，
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2, , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
rank( A) rank( A) m
即：rank(α1,α2, ,αm ) rank(α1,α2, ,αm , ) m
例4.2 设1 (1, 2, 3,1)T ,2 (5, 5,12,11)T
3 (1, 3, 6,3)T ,4 (2, 1,3, 4)T
解：可求得 r(1 2 3 )= r(1 2 3)=3, 故当t取任何值时， 都可由1， 2， 3 线性表示
例：已知=(3,10,b,4)T,1= (1,4,0,2)T ， 2 =(2,7,1,3)T ， 3 = (0,1,-1,a)T . 讨论 1) a,b取何值时， 不能由1， 2， 3 线性表示
第四章 n维向量空间
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
n维向量的概念 向量的线性表示与线性相关 等价向量组 线性方程组的结构 向量空间的子空间
第一节 n维向量的概念
行向量 (1 n矩阵)
列向量 (n 1矩阵)
统称：n维向量 a1 , a2 , , an T n个数构成的有序数组
向量α 1,2, ,n T 和β b1,b2, ,bn T 相等
2) a,b取何值时， 能由1， 2， 3 线性表示，并写 出表示式
1 2 0 3 1 0 2 1
解：(1
,
2
,
3
,
)
4 0
7 1
1
10
0
1 b 0
1 0
1 a 1
2
0
2
3
a
4
0
0
0
b
2
可见 1)当b#2时，不能由1， 2， 3 线性表示 2)当b=2, a#1时，由1， 2， 3 惟一线性表示，
对应分量都相等
α,β的和:
i bi 1 i n
αβ 1 b2 ,2 b2 ,
向量0,0, ,0T 称为零向量
,n bn T
α的负向量 -1, 2 , , n T
向量与数k数乘 k k1, k2, kn T
向量加法和向量与数的数乘运算规律:
1加法交换律:αβ βα; 2加法结合律 : αβ γ α βγ; 3α O α; 4α α O; 5 1 α α; 6 k αl kl α; 7 k αβ kα kβ 8k l α kα αl
定义4.1 所有 n 维实向量的集合称为n维
实向量空间,记为Rn :
Rn
1 , 2 ,
,n T 1,2,
,
为实数
n
所有n 维复向量的集合称为n维复向量空间,
记为C n:
Cn z1, z2, ,zn T z1, z2, ,zn 为复数
第二节 向量的线性表示与线性相关
定义4.2 设1,2, ,m ,β都是n维向量，
=-1+2 2+0 3 3)当b=2, a=1时，由1， 2， 3 线性表示, 不惟一。
解得 x1=-1-2x3， x2=2+x3 ，故 =(-1-2k)1+(2+k) 2+k 3 ，k为任意数
向定义量4的.3 线设性有n相维关向与量组线A性:无1,关2, ,m
问：
4是否可由1，
2，
线性表示？
3
1 5 1 2 1 5 1 2
解：1，
2，
3，
4
2 3
5 12
3 6
1 3
0 0
3 0
1 0
1
0
1
Байду номын сангаас
11
3
4
0
0
0
0
rank(1，2，3) rank(1，2，3，4 ) 2 3
4可由1，
2，
线性表示,
3
但表示式子不惟一
例：当t取何值， (5,9,t)T 可由1 (4, 4,3)T ,2 (7, 2,1)T ,3 (4,1, 6)T 线性表示？
即：rank(α1,α2, ,αm ) rank(α1,α2, ,αm , )
(2) β可由向量α1,α2 , ,αm惟一地线性表示
存在m个惟一的数x1, x2 , , xm，使得
xα1 1 x2α2 xmαm
方程组 AX 有惟一解
其中A (α1,α2 , ,αm ), X (x1,x2 , ,xm )T
a2m
,
X
x2
,β
b2
anm
xm
bn
x11 x22
a11x1 a12 x2
xm m
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1m xm
a2m
xm
anm xm
方程组写成： x11 x22 xmm 即： (1,2 , ,m )X