高三总复习讲义概率

高三数学总复习讲义--概率
第一讲：随机事件的概率
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

必然事件：在一定条件必然要发生的事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

事件A的概率：
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作
P(A)。

由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。

如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。

在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：
（古典概型）
这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。

题型一：与排列组合综合
例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；
练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为
________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。

题型二：与两个计数原理综合
例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；
练习2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，所得数是大于20000的偶数的概率是________________；
题型三：有、无放回抽样问题
例3.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有1件次品的概率。

（1）每次取出后不放回；
（2）每次取出后放回
练习3.一个口袋里有2个红球和8个白球，从中随机连续取3个，每次取一个，记{恰有一个红球}为事件A，{第三个是红球}为事件B，分别求A、B的概率
（1) 不放回抽样
（2) 放回抽样
课堂练习：
1、某校高二年级举行演讲比赛，共有10人参赛，其中一班有3人，二班2人，其他班的共5人，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3人恰好被排在一起，而二班的2人没有被排在一起的概率为
________________；
2、现有四所大学自主招生，同时向一所高中的已获得市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁4名同学发出录取通知书，若这四人都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名被同一所大学录取的概率是
________________；
3、口袋中有大小相同的2个白球和3个黑球，从中依次摸出两个球，求两个球颜色不同的概率（1）有放回抽样；（2）无放回抽样
4、从编号1、2、3............10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率________________；
5、某地奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、..........18的18名火炬手，从中任选3人，则选出的火炬手编号能组成以3为公差的等差数列的概率为________________；
第二讲：互斥事件有一个发生的概率
互斥事件：不可能同时发生的两个事件。

对立事件：其中必有一个发生的互斥事件
从集合的角度看，A、B 两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合交集是空集。

对立事件是互斥事件的特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，事件A的对立事件记作，事件所含结果的集合正是事件A所含结果组成的集合的补集。

事件A,B的和记作A+B，表示事件A,B中至少有一个发生，当A,B为互斥事件时：
P(A+B)=P(A)+P(B),且有
对于n个互斥事件，
有
题型一：互斥事件与对立事件的概率
例1、有4位同学，每人买一张体育彩票，求至少有2位同学彩票号码的末位数字相同概率
_________________________；
练习1、某射手在一次射击中命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，命中不够8环的概率为0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率。

题型二：互斥、对立、独立事件的概率
例2、甲、乙两人独立解同一道题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率为，那么恰好有一人解决这个问题的概率是
_________________________；
练习2、甲、乙、丙3人各进行一次射击，如果甲、乙二人击中目标的概率都是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：
（1）3人都击中目标的概率；
（2） 至少有2人击中目标的概率；
（3） 其中恰有一人击中目标的概率
课堂练习：
1、 两个互相独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率
P(A)=_________________________；
2、 某台机器上安装甲、乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响，已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个使用寿命的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为_________________________；
3、 已知8支球队中有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分为A,B两组，每组4支，求：
（1）A,B两组中有一组恰有两支弱队的概率
（2）A组中至少有2支弱队的概率
4、 某课程考核分理论和技能两部分，每部分考核成绩只记“合格”、“不合格”，两部分都“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙3人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7，在技能考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9，所以考核之间没有影响
（1） 求甲、乙、丙3人在理论考核中至少有两人合格的概率
（2） 求这3人该课程都合格的概率
5、 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：
（1）5次预报中恰有两次准确的概率
（2）5次预报中至少有2次准确的概率
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率
第三讲：互相独立事件同时发生的概率
互相独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件。

独立重复事件：如果在一次试验中某事发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为：
事件A与B的积表示事件A与B同时发生，当A与B是相互独立事件时：
如果事件相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。

与的区别：_________________________；表示_________________；题型一：互相独立事件的概率
例1、先后抛两枚均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6），骰子朝上的点数分别为，则的概率为
_____________________；
练习1、事件A、B、C互相独立，如果，，，那么______________；
_____________________；
题型二：独立重复试验的概率问题
例2：甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人各投3次，每人恰好命中2次的概率是_____________________；
练习2、设有两门高射炮，每门击中飞机的概率都是0.6，试求：
（1）同时射击一发炮弹命中飞机的概率是多少？
（2）若有一架敌机侵犯，要以0.99的概率击中它，问需要多少门这样的高射炮？
题型三：综合问题
例3、某排球职业联赛总决赛在甲、乙两支队伍之间进行，比赛采用5局3胜制，已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，求：
（1）甲队以3：0获胜的概率；
（2）甲队获得总冠军的概率
练习3、甲、乙两队进行比赛，采用5局3胜制，根据经验单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，设各局比赛之间没有影响，求：
（1）前三局比赛甲队领先的概率；
（2）乙队以3：2取胜的概率
[典例精析]
例1．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先胜3局就算胜出并停止比赛）。

（1）试分别计算甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
（2）按比赛规则甲独获胜的概率。

［剖析］由于甲、乙两人的实力相当，故可认为在每一局中两人获胜的概率均为由于每
一局是否胜利对下一局不产生影响，故可以认为是进行了独立重复试验。

［解］（1）甲乙两队的实力相当，所以在每局比赛中甲获性的概率为，乙获胜的概率为
记事件为“甲打完3局胜出”，事件B为“甲打完4局胜出”，事件C为“甲打完5局胜出”。

①甲打完3局取胜，相当于进行了3次独立重复试验，且每局比赛甲均获胜，所以甲打完3局取胜的概率为
②甲打完4局才能取胜，相当于进行了4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以甲打完4局取胜的概率为
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲每5局比赛
获胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局获胜的概率为
（2）记事件D为“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，又A、B、C彼此互斥，故
从而按比赛规则甲获胜的概率为
［警示］对于本题的第（2）小题而言，还可以这样来解决：由于在每一局中甲乙获胜的概率均相同，“按比赛规则甲获胜”与“按比赛规则乙获胜”的概率也应该是相同的，为此所求的概率为
例2．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
［剖析］不需要换灯泡说明每一盏灯的使用都在一年以上，而换2盏灯时则要说明换两盏灯，为此从而5盏灯中应抽出两盏来；而第（2）小题，说明第1次没换，第二次也没换这两个事件发生了。

第（3）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况。

［解］（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为
（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1－p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1－p2)，故所求的概率为
（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为
p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1-p），故至少换4只灯泡的概率为
［警示］分情况进行讨论，一定要注意不重不漏地全部考滤到。

［变式训练］
1．某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是
0.5（相互独立）.
（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；
（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？
例3．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一具巨大的汽油罐。

已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率。

［剖析］每次射击是相互独立的，所以可考虑用次独立重复试验的概率公式来计算。

第（1）小题问的是油罐被引爆的概率，可能射击2次、3次、4次、5次，故宜采用逆向思维，先求其对立事件的概率；第（2）小题其实是求与的概率之和。

［解］（1）油罐被引爆的对立事件是油罐没有被引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：，
所以所求的事件的概率为
（2）当时，记为事件A，则
当时，意味着前4次射击只击中一次或一次也没朋击中，记为事件B，则
所以所求的概率为
［警示］应用次独立重复试验的概率公式，一定要审清是多少次试验发生次的事件，如该题中的第（2）小问，时，不能理解成4次独立重复试验中恰好发生2次的事件。

［变式训练］
2．金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦。

已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。

现因为当地电力供应紧张，供电部门只能提供50千瓦的电力，这10台机床能够正常工作的概率是多大？在一个工作日内的8个小时中，不能正常工作的时间大约是多少？
［变式训练］
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
课堂练习：
1、 口袋里放有除颜色外完全相同的两个红球和一个白球，有放回的每次摸出一个球，数列满足：，如果为数列的前n项和，那么的概率是
___________________；
2、 假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-P，且各引擎是否出现故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P的取值范围是
___________________；
3、 甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用5局3胜制，对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则爆冷乙队获得冠军的概率为
__________________；
4、 甲、乙两人进行篮球训练，已知甲投篮命中率为，乙投篮命中率为，假设两人投篮命中与否相互之间没有影响
（1）如果两人各投1球，求恰好有一人命中的概率；
（2）如果两人各投2次，求至少有一次命中的概率
课后练习一：
1、4张卡片上分别写着数字1、
2、
3、4，从中随机抽2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是__________________；
2、 从20名男同学和10名女同学中任选3人参加体能测试，则选到的3人中既有男同学又有女同学的概率是__________________；
3、 在平面直角坐标系内，从五个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取3个点，则这三个点能构成三角形的概率是
__________________；
4、 一个口袋中有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出一个，得到黑球的概率是，从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，求：
（1） 从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
（2） 口袋中白球的个数
5、 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有1名志愿者
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率
6、 三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译的概率分别为，且他们是否破译互不影响
（1）求恰好有两人破译出密码的概率；
（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率那个大？说明理由。

7、 设进入某商场的每位顾客购买甲商品的概率为0.5，购买乙商品的概率为0.6，且购买甲、乙商品是相互独立的，各顾客之间购买商品是相互独立的
（1）求进入该商场的1为顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入该商场的3为顾客中，至少有2为顾客既未购买甲商品也未购买乙商品的概率
8、 甲、乙两人投篮，命中率分别为与P，且乙投球2次均未命中的概率为，
（1）求乙的命中率；
（2）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（3）若甲、乙两人各投2次，求两人共命中2次的概率
9、 某条公交线路沿途共有11个车站（包括起始站和终点站），在起始
站开出的一辆公交车上有6为乘客，假设每位乘客在起始站之外的各个车站下车的概率是等可能的，求
（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；
（2）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率
课后练习二：
1、 一个坛子里有编号为1、
2、3....12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红色的，其余的是黑球，若从中任选2个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为__________________；
2、 在一个袋中装有相同的分别标注数字1、2、
3、
4、5的五个球，，现从中随机的取出两个球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是__________________；
3、 甲、乙两个袋中均装有大小相同红、白两种颜色的球，其中甲袋中有4个红球2个白球，乙袋中装有1个红球5个白球，现分别从甲、乙两个袋中各随机取出一个球，则取出的两个球都是红球的概率是
__________________；
4、 如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机的向正方形内丢一粒豆子，则，豆子落入圆内的概率是_________________；
5、 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个，而且每次取出黑球后放回袋中，则直到第三次取球时才取到白球的概率是
_________________；
6、 从4双不同的鞋子中任取4只，其中恰有2只成为一双的概率为_________________；
7、 从编号为1、2、...9的9张卡片中任取3张，将它们的编号从小到大依次记为，则且的概率为_________________；
8、 两位同学去某大学参加自主招生考试，下面是学校负责人的话：我们要从考试的人中招收5人，你们两个同时被招进来的概率为，由此可推断此次参加考试的人数为_________；
9、 有三颗骰子A,B,C，A的表面分别刻有1、2、3、4、5、6；B的表面分别刻有1、3、5、7、9、11；C的表面分别刻有2、4、6、8、10、12，则抛三颗骰子后向上点数和为12的概率是____________；
10、 某师范大学有6名青年志愿者，志愿到某边远地区的A县、B县、C 县去任教，则一县4名，另两县每县1名的概率为_________________；
11、 甲、乙、丙、丁4人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了四次，则第四次任传回到甲的概率是____________；
12、 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个，则这4个点不共面的概率是_________________；
解答题：
1、 甲、乙两袋中装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球2个白球；乙袋中装有2个红球n个白球，现甲、乙两袋各取2球
（1） 若n=3，求取到得4个球全是红球的概率；
（2） 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n
2、 从原点出发的某质点M，按照向量移动的概率为，按照向量移动的概率为，设M可以到达点（0，n)的概率为
（1） 求;
（2） 求证：；
（3） 求的表达式
3、 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色的球的概率是
（1） 求乙盒中的红球个数；
（2） 从甲盒中任取2个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取2个放回甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；
（3） 从甲、乙两个盒子中各取2个球进行交换，若交换后乙盒中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态开始）时，大约有多少次是成功交换
4、 一箱中装有10张大小、重量都一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到10中的一个号码，正面号码为n的卡片背面标的数是（卡片的正面都是红色、反面都是黄色）
（1） 如果任意取一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2） 如果同时取出两张卡片，试求它们的反面数字相同的概率。