高中数学必修一对数运算练习题测试题及答案解析
高中数学对数与对数运算训练题(含答案)
高中数学对数与对数运算训练题(含答案)1．2－3＝18化为对数式为()A．log182＝－3 B．log18(－3)＝2C．log218＝－3 D．log2(－3)＝18解析：选C.根据对数的定义可知选C.2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是() A．a＞5或a B．2＜a＜3或3＜a＜5C．25 D．3＜a＜4解析：选B.5－a＞0a－2＞0且a－21，2＜a＜3或3＜a＜5. 3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确的是()A．①③ B．②④C．①② D．③④解析：选C.lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0，故①、②正确；若10＝lgx，则x＝1010，故③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误．4．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.解析：2x－1＝3，x＝2.答案：21．logab＝1成立的条件是()A．a＝b B．a＝b，且b0C．a0，且a D．a0，a＝b1解析：选D.a0且a1，b0，a1＝b.2．若loga7b＝c，则a、b、c之间满足()A．b7＝ac B．b＝a7cC．b＝7ac D．b＝c7a解析：选B.loga7b＝cac＝7b，b＝a7c.3．如果f(ex)＝x，则f(e)＝()A．1 B．eeC．2e D．0解析：选A.令ex＝t(t0)，则x＝lnt，f(t)＝lnt.f(e)＝lne＝1.4．方程2log3x＝14的解是()A．x＝19 B．x＝x3C．x＝3 D．x＝9解析：选A.2log3x＝2－2，log3x＝－2，x＝3－2＝19. 5．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x ＋y＋z的值为()A．9 B．8C．7 D．6解析：选A.∵log2(log3x)＝0，log3x＝1，x＝3.同理y＝4，z＝2.x＋y＋z＝9.6．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x＞0且1)，则logx(abc)＝()A.47B.27C.72D.74解析：选D.x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，所以abc＝x74.即logx(abc)＝74.7．若a0，a2＝49，则log23a＝________.解析：由a0，a2＝(23)2，可知a＝23，log23a＝log2323＝1.答案：18．若lg(lnx)＝0，则x＝________.解析：lnx＝1，x＝e.答案：e9．方程9x－63x－7＝0的解是________．解析：设3x＝t(t0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，t＝7，即3x＝7. x＝log37.答案：x＝log3710．将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4；(2)log1327＝－3；(3)log3x＝6(x＞0); (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)(14)－2＝16.解：(1)24＝16.(2)(13)－3＝27.(3)(3)6＝x.(4)log464＝3.(5)log319＝－2.(6)log1416＝－2.11．计算：23＋log23＋35－log39.解：原式＝232log23＋353log39＝233＋359＝24＋27＝51. 12．已知logab＝logba(a0，且a1；b0，且b1)．求证：a＝b或a＝1b.证明：设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，b＝(bk)k＝bk2.∵b0，且b1，k2＝1，即k＝1.当k＝－1时，a＝1b；当k＝1时，a＝b.a＝b或a＝1b，命题得证．。
2023-2024学年高一上数学必修一：对数函数(附答案解析)
第1页共6页2023-2024学年高中数学必修一：对数函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知a ＝log 213，b ＝5－3，c ＝212，则a ，b ，c 的大小关系为(A )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b解析：∵log 213<log 21＝0,0<5－3<50＝1,212＝2>1，∴a <b <c .故选A.2．若a >b ，则(C )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |解析：法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln(a －b )>0不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.3．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于(D )A ．3B ．9C ．18D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27.4.下列函数中，随着x 的不断增大，增长速度最慢的是(B )A ．y ＝5x B ．y ＝log 5x C ．y ＝x 5D ．y ＝5x。
对数的运算测试卷必修第一册(含解析)
4.2对数的运算 测试卷一、单选题1．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）A ．第5代种子B ．第6代种子C ．第7代种子D ．第8代种子2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度(v 单位:km /s ）和燃料的质量M （单位:kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是lg 1M v a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（a 是参数）．当质量比Mm比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比Mm从2000提升至50000，则v 大约增加了（附：lg 20.3010≈）（ ）A ．52%B ．42%C ．32%D ．22%3．神舟十五号载人飞船搭载宇航员费俊龙､邓清明和张陆进入太空，在中国空间站将完成为期6个月的太空驻留任务，期间会进行很多空间科学实验.太空中的水资源极其有限，要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液､汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据lg20.3010=） A ．17B ．19C ．21D ．234．若6log 3m =，则6log 2的值为（ ） A ．1m - B ．3C ．1m +D ．()6log 1m +5．若31log 5m=,则255m m -+的值为（ ） A ．283 B ．103C ．245D ．2656．已知0.47710.301103,102≈≈，设1015M =，则M 所在的区间为（ ）A ．()91010,10B ．()101110,10C ．()111210,10D ．()121310,107．已知函数()()e ,0ln ,0x x f x ax x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()00f f b +=，则ab 的值为（ ）A ．2eB ．eC ．2e D ．1e8．已知ln 20.69≈，设lg82710a =，53.13.12b =，10933c =，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>二、多选题9．下列运算正确的是（ ） A ．lg5lg21+= B ．ln πe π= C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10．下列指数式与对数式互化正确的是（ ） A ．0e 1=与ln10=B ．2log 42=与242=C ．2511log 52=-与121255-= D ．133=与3log 31=11．设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x =，则x 的取值可能是（ ） A ．0 B ．3 C ．1- D ．212．下列说法正确的是（ ） A ．1.10.9a a ->的充要条件是a ＜0 B ．16的4次方根等于2C ．235log 9log 125log 1624⋅⋅= D．函数()f x =()0,∞+三、填空题13．已知2log 3,l 0(og ,1)a a m n a a ==>≠，则m n a +的值为_________． 14．已知5614a =，试用a 表示7log 56为______. 15．已知10,lg 2b a a b =+=，则ab =______.16．()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()110f x f x --+=，又当(]0,1x ∈时，()31x f x =-，则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 四、解答题 17．解答下列问题：(1)用ln ,ln ,ln x y z表示(2)已知23x y M ==，且231x yxy+=，求M 的值． 18．计算下列各式的值：(1)0 1.50.53191223481--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)ln 623lg 5log 3?log 4lg 2e +++． 19．(1)计算320log 2111lg 25lg 23292-⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)已知lg lg 1x y +=， 求12x y+的最小值．20．已知函数()lg 52lg 52x x x xf x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=）(2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.21．定义在R 的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()e xf xg x +=．(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)当()0,x ∈+∞时，()()2g x kf x ≥恒成立，求实数k 的取值范围；22．已知函数()234x x xf x -+=，()2log g x x =．（1）若关于x 的方程()g x n =有两个不等实根α，()βαβ<，求αβ的值； （2）是否存在实数a ，使对任意[]1,2m ∈，关于x 的方程()()()244310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有3个不等实根1x ，2x ，3x ，若存在；求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案1．B【分析】设第x 代种子的数量为115x -，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.【详解】设第x 代种子的数量为115x -，由题意得151510x -≥，得515log 101x ≥+.因为5515lg1055log 101111 5.2lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-， 故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子. 故选：B. 2．B【分析】质量比Mm提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比. 【详解】当质量比Mm为2000时，最大速度1lg 2000v a =， 当质量比Mm为50000时，最大速度2lg 50000v a =， 21lg 500004lg 55lg 2 1.42lg 20003lg 23lg 2v a v a +-===≈++，()2111.42142%v v v ≈=+， 所以将质量比Mm从2000提升至50000，则v 大约增加了42%. 故选：B 3．C【分析】由指数、对数的运算性质求解即可 【详解】设过滤的次数为n ，原来水中杂质为1， 则由题意得(120%)1%n -<，即10.8100n<， 所以lg0.82n <-， 所以2220.6lg0.813lg2n ->=≈-， 因为*n ∈N ，所以n 的最小值为21， 则至少要过滤21次. 故选：C. 4．A【分析】根据对数的运算性质可得出6log 2的值.【详解】66666log 2log log 6log 313m ==-=-. 故选：A. 5．A【分析】先由换底公式将m 表示为5log 3,再将m 代入255m m -+,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可. 【详解】解:由题知31log 5m=, 553511log 3log 5log 5log 3m ∴===,2255155m mm m -=+∴+ 55log 3log 32155=+55log 9log 3155=+193=+283=. 故选：A 6．C【分析】由题知0.4771lg3,lg 20.301≈≈，进而得()()lg 10lg3lg510lg31lg211.761M =+=+-=，故()1111211.7610010,1M ≈∈.【详解】解：因为0.47710.301103,102≈≈，所以0.4771lg3,lg 20.301≈≈， 因为1015M =，所以()10lg lg1510lg1510lg3lg5M ===+．因为lg3lg5lg31lg 20.477110.301 1.1761+=+-=+-=， 所以()lg 10lg3lg511.761M =+=，所以()1111211.7610010,1M ≈∈． 故选：C ． 7．D【分析】由()01f =代入()()00f f b +=可知0b <，根据()()ln f b ab =可得()ln 1ab =-，从而求出ab .【详解】由()e ,0ln ,0x x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，得()01f =，又由()()00f f b +=，得()1f b =-，可知0b <，所以()()ln f b ab =，所以()1ln 0ab +=，即()ln 1ab =-，解得1eab =.故选：D. 8．A【分析】根据指数与对数的运算，化简,,a b c 可得出a c >，根据指数函数以及幂函数的单调性即可得出b a >.【详解】由已知可得，lg82727313310883a ===+>+， 1315339.1.. 1.3.1 3.1 3.122b =⨯=.1313.1.93.1 3.13.122⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝>⎭⎝⎭333.1322a ⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1091013333333c a ==+<+<. 所以，b a c >>. 故选：A. 9．ABD【分析】根据对数的运算法则及对数恒等式,换底公式即可选出选项. 【详解】解:由题,关于选项A:()lg5lg2lg 52lg101+=⨯==, 故选项A 正确;根据对数恒等式可知,选项B 正确; 关于选项C: 224222log 3log 31log 3log 3log 2lo 422g ===, 故选项C 错误; 根据换底公式可得: 2lg 5log 5lg5lg2lg 2==÷, 故选项D 正确. 故选:ABD 10．ACD【分析】根据指对数的运算即可判断.【详解】根据任何不为0的数的0次方为1，真数为1，对数运算为0，故A 正确，224=，2416=，故B 错误， ()1122212555--==，故C 正确， 133=，故D 正确.故选：ACD. 11．AB【分析】根据分段函数的定义分类讨论求值即可.【详解】若2x <，则1()1,2xf x ⎛⎫== ⎪⎝⎭解得0x =，满足题意；若2x ≥，则2()log (1)1,f x x =-=解得3x =，满足题意； 故选:AB. 12．AC【分析】根据充要条件的定义,幂函数，指数函数的单调性判断A ；由n 次方根的概念、对数运算性质判断B 、C ；由指数函数的单调性可判断D ．【详解】对选项A ：由1.10.9aa->得9111010a a ⎛⎫>⎪ ⎛⎫⎝⎝⎭⎪⎭ ，即099991100100a ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，<0a ∴，当0a <时，ay x =在()0,∞+上递减，∴ 101.10.99aa a -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故A 正确；对选项B ：16的4次方根为4441622±±±，故B 错误；对选项C ：223323545l 391o 25og log log log log g 1652l ⋅⋅=⋅⋅235234log 3log 5log 2=⨯⨯⋅⋅⋅lg 3lg 5lg 224lg 2lg 3lg 5=⋅⋅⋅24=，故C 正确； 对选项D ：01()22xf x ≥==，∴ 值域为[)1,+∞，故D 错误．故选：AC ． 13．6【分析】由对数的运算法则可得log 6a m n +=，进而可得log 66a m n a a +==. 【详解】解：因为2log 3,l 0(og ,1)a a m n a a ==>≠， 所以log 3log 2log 6a a a m n +=+=， 所以log 66a m n a a +==. 故答案为：6 14．231a - 【分析】指对互化可得a ，由换底公式可得7log 2，由77log 5613log 2=+可得答案.【详解】因为5614a=，所以775677log 14log 21log 14log 563log 21+===+a ，可得71log 231-=-a a ， ()77712log 56log 7813log 2133131-=⨯=+=+⨯=--a a a . 故答案为：231a -. 15．10【分析】对等式10b a =两边取对数可得lg 1b a =，又lg 2a b +=，所以,lg b a 为方程2210x x -+=的解，即可求得,a b ，即可得解.【详解】由10b a =可得lg 1b a =，又lg 2a b +=， 所以,lg b a 为方程2210x x -+=的解， 所以1,lg 1b a ==，10a =， 所以10ab =， 故答案为：1016．18-##0.125-【分析】由()()110f x f x --+=结合()f x 为奇函数，可得()f x 的周期为4，1331log log 7272=，而33log 724<<，则304log 721<-<，然后结合函数解析式求解即可. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 因为()()110f x f x --+=，所以()()()()1111f x f x f x f x ⎡⎤+=-=---=--⎣⎦， 所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 的周期为4， 1113331log log 72log 7272--==， 因为343723<<，所以33log 724<<， 所以34log 723-<-<-， 所以304log 721<-<，因为当(]0,1x ∈时，()31xf x =-，()f x 的周期为4的奇函数，所以()1331log log 7272f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()3log 72f =-- ()34log 72f =--()34log 7231-=--34log 72313⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 8111728⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，故答案为：18-17．(1)11ln 4ln ln 32x y z +-；(2)72.【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；(2)由题意可得23log ,log x M y M ==，再根据换底公式可得11log 2,log 3,M M x y==由231x y xy +=，可得231y x+=，代入计算即可. 【详解】（1）解：因为43443311ln ln 4ln ln 32xy xy z x y z x y z z=-=-+-； （2）解：因为23x y M ==，所以23log ,log x M y M ==， 所以11log 2,log 3,M M x y == 又因为231x yxy+=， 即231y x+=， 所以2log 33log 2log 721M M M +==， 所以72M =. 18．(1)2527(2)9【分析】(1)根据有理数指数幂的运算法则即可求解； (2)利用对数的运算法则和对数的换底公式即可求解.【详解】（1）0 1.50.53191223481--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31311()829-=+⨯-2527= （2）ln 623lg 5log 3?log 4lg 2e +++lg 3lg 4lg 5lg 26lg 2lg 3=+⨯++ lg5lg 226=+++9=19．(1)4【分析】（1）利用指数幂的运算、对数的运算可得答案；（2）由lg lg 1x y +=可得0,0,10x y xy >>=，再由基本不等式可得答案.【详解】（1）320log 2111lg 25lg 23292-⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg5lg 2241=+++-5124=+-=；（2）因为lg lg 1x y +=，所以0,0,10x y xy >>=，所以12+≥x y当且仅当12x y =即==x y 12x y +．20．(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x xf x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x xx x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++- 由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =- 当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x xx x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．(1)()e e 2x x f x --=，()e e 2x xg x -+=； (2)22k ≤(3)证明见解析，()00ln 2x x -<.【分析】（1）由已知可得()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立即可解出()f x 和()g x 的解析式；（2）由已知可得()22e e e e x x x x k --+≥-，即()()2e e 2e e x x x x k ---+≥-.令e e x x t -=-，可得只需2min2t k t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭即可，根据基本不等式即可求出； （3）求出()1e x h x x=-，可知0x >.由函数的单调性以及零点的存在定理可知，即可证明存在唯一零点.由()00h x =可得001e x x =，根据对数运算可得001ln x x =.作差可得()()20000ln 2ln 2x x x x --=-+，由20021x x -+<，即可得出()00ln 2x x -<. 【详解】（1）解：因为()()e x f x g x +=，①所以()()e xf xg x --+-=． 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()e x f x g x --+=，②①-②得()e e 2x xf x --=， ①+②得()e e 2x xg x -+=. （2）解：不等式()()2g x kf x ≥化为()22e e e e x x x x k --+≥-，即()()2e e 2e e x x x x k ---+≥-，令e e x x t -=-，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 故不等式22t kt +≥在()0,t ∈+∞上恒成立，所以2min 2t k t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 因为()0,t ∈+∞，所以222t t t t+=+≥2t t =，即0t =时等号成立，所以k ≤22．（1）1αβ=；（2）1411,53⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据对数运算求得αβ的值.（2）先求得()f m 的取值范围，设为p ，构造函数()24431h t t at a =-+-，将问题转化为：对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不相等的实数根12,t t （12t t <），且()1t g x =有两个不相等的实数根，()2t g x =只有一个根，由此列不等式组来求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意关于x 的方程()2log g x x n ==有两个不等实根α，()βαβ<， 所以22222log log ,log log 0,log 0,1αβαβαβαβ-=+===.（2）()23443m m m m f m m-+==+-，()f m 在[]1,2上递减，所以()()()21f f m f ≤≤， 所以()[]1,2f m ∈，设()p f m =，则[]1,2p ∈.由于()g x 在1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,4上递增，且()()13,10,428g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，124g ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 令()t x g =，则当(]0,2t ∈时，方程()t x g =有两个不相等的实数根，且两个根的积为1；当(]{}2,30t ∈⋃时， 方程()t x g =有且仅有一个根，且这个根在11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或为1. 令()24431h t t at a =-+-，原问题等价于：对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不相等的实数根12,t t （12t t <），且()1t g x =有两个不相等的实数根，()2t g x =只有一个根.则12023t t <≤<≤，所以()()()03122155133592h a h a h a ⎧=->⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解得141153a <≤， 【点睛】若函数()()0k f x x k x =+>，则()f x 在(k 上递减，在),k +∞上递增.。
高一数学对数函数经典题及详细答案
⾼⼀数学对数函数经典题及详细答案⾼⼀数学对数函数经典练习题⼀、选择题：（本题共12⼩题,每⼩题4分,共48分,在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1、已知32a =，那么33log 82log 6-⽤a 表⽰是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ Ｄ、 23a a -答案Ａ。
∵3a =2→∴a=log 32则: log 38-2log 36=log 323-２log 3(2*３) =３ｌｏg 32-2［log 32+lo ｇ3３] =３a-2(a+1) =a-22、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为( ) A 、41B 、4 Ｃ、1 Ｄ、4或1答案B 。
∵2log a (M-2Ｎ)=log a M ＋log a N ，∴l ｏｇa (M-2Ｎ）2=ｌog a （ＭN ），∴(M －２N)2＝ＭN ，∴M 2-４MN+4N 2=ＭN ，→m 2-5m ｎ+４n 2=0（两边同除n 2)→(n m ）2-5n m ＋４=０,设x=n m→x 2-5x+4=0→(x 22==1x x ⼜∵2log (2)log log a a a M N M N -=+,看出M-2N ＞０ M>０ N>０∴n m =1答案为:４３、已知221,0,0x y x y +=>>,且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ )A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 答案D 。
∵loga(1+x)=ｍ l ｏga [１/(1-x)]=n,loga （1－x)=-n 两式相加得:→ loga [(1＋x)(1-x ）］=m-n →loga （1－ｘ2)＝m-n →∵ x 2+y 2=1，ｘ>0，y>0, → y 2＝1- x 2→ｌｏga(y 2）=m －n ∴２loga （ｙ)＝m-n→ｌog ａ(y)=21(m-n)4. 若x 1,x 2是⽅程lg 2x ＋(lg ３+lg2)lgx+ｌｇ3·lg2 = 0的两根,则x 1x 2的值是( ）.(A)．ｌg ３·lg2 (B)．lg ６ (C).6 （D).61答案D∵⽅程l ｇ2ｘ+（lg2＋lg3)lgx+ｌg ２l ｇ３＝0的两根为1x 、2x ,[注:ｌg 2ｘ即（lgx)2，这⾥可把lg ｘ看成能⽤X ，这是⼆次⽅程。
必修一对数与对数函数练习题及答案
对数和对数函数一、选择题1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则NM的值为（ ） （A ）41（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga ya n xlog ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）21(m-n) 4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）3516．函数y=lg （112-+x）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（ ） （A ）（32，1）⋃（1，+∞）（B ）（21，1）⋃（1，+∞）（C ）（32，+∞）（D ）（21，+∞） 8．函数y=log 21(x 2-6x+17)的值域是（ ）（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ）（A ）（1，+∞） （B ）（-∞，43］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，21］ 12.log a132<，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，32）⋃（1，+∞） （B ）（32，+∞） （C ）（1,32） （D ）（0，32）⋃（32，+∞）16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（0，2） （D ）[2，+∞) 18．若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a 的大小是（ ）（A ）M<N<P （B ）N<M<P （C ）P<M<N （D ）P<N<M 二、填空题3．lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算
4.3.2 对数的运算课后训练巩固提升1.(多选题)若a>0,且a≠1,x∈R,y∈R,且xy>0,则下列各式不恒成立的是( )A.log a x2=2log a xB.log a x2=2log a|x|C.log a(xy)=log a x+log a yD.log a(xy)=log a|x|+log a|y|xy>0,所以x>0,y>0或x<0,y<0.若x<0,则A不成立;若x<0,y<0,则C也不成立,故选AC.2.已知a=log32,则log38-2log36=( )A.a-2B.5a-2C.3a-(1+a)2D.3a-a2-16=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.38-2log3×log36×log6x=2,则x等于( )3.若log513A.9B.19C.25D.125由对数换底公式得-lg3lg5×lg6lg3×lgx lg6=2,即lgx=-2lg5,解得x=5-2=125.4.若lg a,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两根,则(lg a b)2=( )A.14B.12C.1D.2lga+lgb=2,lga·lgb=12.所以(lg a b )2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb=22-4×12=2.5.已知4a =5b =10,则1a+2b = .4a =5b =10,∴a=log 410,1a=lg4,b=log 510,1b=lg5,∴1a+2b=lg4+2lg5=lg4+lg25=lg100=2.6.计算:(1)(log 3312)2+log 0.2514+9log 5√5-lo g √31;(2)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.(log 3312)2+log 0.2514+9log 5√5-lo g √31=(12)2+1+9×12-0=14+1+92=234.(2)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8=2lg2+lg31+12lg0.62+13lg23=2lg2+lg31+lg0.6+lg2=2lg2+lg31+lg6-lg10+lg2=2lg2+lg3lg6+lg2=2lg2+lg3lg2+lg3+lg2=2lg2+lg32lg2+lg3=1.1.计算(log 32+log 23)2-log 32log 23−log 23log 32的值是( )A.log 26B.log 36C.2D.1=(log 32)2+2log 32·log 23+(log 23)2-(log 32)2-(log 23)2=2.2.若lg x-lg y=t,则lg (x 2)3-lg (y 2)3=( )A.3tB.32tC.tD.t2(x 2)3-lg (y 2)3=3lg x2-3lg y2=3lg xy =3(lgx-lgy)=3t.3.若实数a,b,c 满足16a =505b =2 020c =2 022,则下列式子正确的是( ) A.1a +2b =2cB.2a +2b =1cC.1a+1b=2cD.2a+1b=2c,得42a =505b =c =,所以2a=log 4,b=log 505,c=log, 所以12a=log4,1b=log505,1c=log,而4×505=,所以12a+1b=1c,即1a+2b=2c,故选A.4.方程log 2x+1log (x+1)2=1的解是x= .log 2x+log 2(x+1)=1,即log 2[x(x+1)]=1,即x(x+1)=2,解得x=1或x=-2.又{x >0,x +1>0,即x >0,x +1≠1,所以x=1.5.已知>0,且log=40,log (的值为 .log=40,∴log m y=140.又log m (z=112,∴log m z=112-log m x-log m y=112−124−140=160.∴log z m=60. 6.已知使log 23×log 34×log 45×…×log (k+1)(k+2)(k ∈N *)为整数的k 称为“企盼数”,则在区间[1,1 000]上“企盼数”共有个. log 23×log 34×log 45×…×log (k+1)(k+2)=lg3lg2×lg4lg3×…×lg (k+2)lg (k+1)=log 2(k+2)为整数,可知k+2=2n (n ∈Z).又k ∈[1,1000],所以k+2=22,23,…,29,故k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510},所以在区间[1,1000]上共有8个“企盼数”. 7.已知4a =8,2m =9n =36,且1m +12n=b,试比较1.5a 与0.8b 的大小.4a=8,∴22a=23,∴2a=3,即a=32. ∵2m=9n=36,∴m=log236,n=log936.又1m +12n=b,∴b=1log236+12log936=log362+12log369=log362+log363=log366=12.∵y=1.5x在R上单调递增,y=0.8x在R上单调递减,∴1.5a=1.532>1.50=1,0.8b=0.812<0.80=1,∴1.5a>0.8b.。
高中数学必修一《对数函数》经典习题(含详细解析)
高中数学必修一《对数函数》经典习题（含详细解析）一、选择题1.已知f=log3x,则f,f,f(2)的大小是( )A.f>f>f(2)B.f<f<f(2)C.f>f(2)>fD.f(2)>f>f2若log a2<log b2<0,则下列结论正确的是( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>13函数y=2+log2x(x≥1)的值域为( )A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.[2,+∞)D.[3,+∞)4函数y=lo x,x∈(0,8]的值域是( )A.[-3,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-3]D.(-∞,3]5.不等式log2(2x+3)>log2(5x-6)的解集为( )A.(-∞,3)B.C. D.6函数f(x)=lg是( )A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数7设a=log32,b=log52,c=log23,则( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b8设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c9.函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.410.若log a=log a,且|log b a|=-log b a,则a,b满足的关系式是( )A.a>1,且b>1B.a>1,且0<b<1C.0<a<1,且b>1D.0<a<1,且0<b<1二、填空题11若函数y=log3x的定义域是[1,27],则值域是.12已知实数a,b满足lo a=lo b,下列五个关系式:①a>b>1,②0<b<a<1,③b>a>1,④0<a<b<1,⑤a=b.其中可能成立的关系式序号为.13log a<1,则a的取值范围是.14不等式12log xx<的解集是.15函数y=log0.8(-x2+4x)的递减区间是.三、解答题16.比较下列各组值的大小.(1)log3π,log20.8.(2)1.10.9,log1.10.9,log0.70.8.(3)log53,log63,log73.17已知函数f(x)=+的定义域为A.(1)求集合A.(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.18已知函数f=log2(2+x2).(1)判断f的奇偶性.(2)求函数f的值域.19已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.参考答案与解析1【解析】选 B.由函数f=log3x在(0,+∞)是单调增函数,且<<2,知f()<f()<f(2).2【解析】选B.log a2<log b2<0,如图所示,所以0<b<a<1.6【解析】选A.因为f(-x)=lg=lg=lg=lg=-lg=-f(x),所以f(-x)=-f(x),又函数的定义域为R,故该函数为奇函数.7【解析】选D.因为log32=<1,log52=<1,又log23>1,所以c最大.又1<log23<log25,所以>,即a>b,所以c>a>b.8【解析】选D.a=log54<1,log53<log54<1,b=(log53)2<log53<a,c=log45>1,故b<a<c.9【解析】选 B.无论a>1还是0<a<1,f(x)在[0,1]上都是单调函数,所以a=(a0+log a1)+(a+log a2),所以a=1+a+log a2,所以log a2=-1,所以a=.10【解析】选C.因为log a=log a,所以log a>0,所以0<a<1.因为|log b a|=-log b a,所以log b a<0,b>1.11【解析】因为1≤x≤27,所以log31≤log3x≤log327=3.所以值域为[0,3].答案:[0,3]12【解析】当a=b=1或a=,b=或a=2,b=3时,都有lo a=lo b.故②③⑤均可能成立.答案:②③⑤13【解析】①当a>1时,log a<0,故满足log a<1;②当0<a<1时,log a>0,所以log a<log a a,所以0<a<,综上①②,a∈∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)14【解析】因为<=x-1,且x>0.①当0<x<1时,由原不等式可得,lo x>-1,所以x<2,所以0<x<1;②当x>1时,由原不等式可得,lo x<-1,x>2,综上可得,不等式的解集为{x|0<x<1或x>2}.答案:(0,1)∪(2,+∞)15【解析】因为t=-x2+4x的递增区间为(-∞,2].但当x≤0时,t≤0.故只能取(0,2],即为f(x)的递减区间.答案:(0,2]16【解析】(1)因为log3π>log31=0,log20.8<log21=0,所以log3π>log20.8.(2)因为1.10.9>1.10=1,log1.10.9<log1.11=0,0=log0.71<log0.70.8<log0.70.7=1,所以1.10.9>log0.70.8>log1.10.9.(3)因为0<log35<log36<log37,所以log53>log63>log73.17【解析】(1)所以所以≤x≤4,所以集合A=.(2)设t=log2x,因为x∈,所以t∈[-1,2],所以y=t2-2t-1,t∈[-1,2].因为y=t2-2t-1的对称轴为t=1∈[-1,2],所以当t=1时,y有最小值-2.所以当t=-1时,y有最大值2.所以当x=2时,g(x)的最小值为-2.当x=时,g(x)的最大值为2.18【解析】(1)因为2+x2>0对任意x∈R都成立,所以函数f=log2(2+x2)的定义域是R.因为f(-x)=log2[2+(-x)2]=log2(2+x2)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)由x∈R得2+x2≥2,所以log2(2+x2)≥log22=1,即函数f=log2(2+x2)的值域为[1,+∞).19【解析】(1)要使函数有意义,则有解之得-3<x<1,所以函数的定义域为(-3,1).(2)函数可化为:f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4],因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4.因为0<a<1,所以log a[-(x+1)2+4]≥log a4,即f(x)min=log a4,由log a4=-4得a-4=4,所以a==.3【解析】选C.设y=2+t,t=log2x(x≥1),因为t=log2x在[1,+∞)上是单调增函数,所以t≥log21=0.所以y=2+log2x(x≥1)的值域为[2,+∞).4【解析】选A.因为0<x≤8,所以lo x≥-3,故选A.5【解析】选D.原不等式等价于解得<x<3,所以原不等式的解集为.。
高中数学对数练习题(附解析)
高中数学对数练习题（附解析）数学必修1(苏教版)2.3对数函数2．3.1对数2021年我国国民经济生产总值为a亿元，若按平均每年增长10%估算，那么通过多青年国民经济生产总值是2021年的2倍？假设通过x年，则有a(1＋10%)x＝2a，即1.1x＝2，那么如何求指数x呢？基础巩固1．(2021浙江卷)已知x、y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB．2lg(x＋y)＝2lg x2lg yC．2lg xlg y＝2lg x＋2lg yD．2lg(xy)＝2lg x2lg y答案：D2．(log29)(log34)＝()A.14B.12 C．2 D．4解析：原式＝lg 9lg 2lg 4lg 3＝2lg 32lg 2lg 2lg 3＝4.答案：D3．)(3－22)＝()A．2 B．4 C．－2 D．－4解析：∵3－22＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.原式＝－2.答案：C4．设log83＝p，log35＝q，则lg 5为()A．p2＋q2 B.15(3p＋2q)C.3pq1＋3pq D．pq解析：由题知lg 3lg 8＝p，p＝lg 33lg 2，q＝lg 5lg 3，lg 5＝qlg 3＝q(3plg 2)＝3pqlg 105＝3pq(1－lg 5)，即：lg 5＝3pq－3pqlg 5，lg 5＝3pq1＋3pq.答案：C5．若y＝log56log67log78log89log910，则y＝()A．1＋log25 B．1＋log52C．1－log25 D．1－log52解析：由题知y＝lg 6lg 5lg 7lg 6lg 8lg 7lg 9lg 8lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log510＝1＋log52.答案：B6．若a0且a1，x0，nN＋，则下列各式中恒成立的有________个．①(logax)n＝nlogax②(logax)n＝logaxn③logax＝－loga1x④logax－yx＋y＝－logax＋yx－y答案：27．已知01,01，假如，则x的取值范畴是________．解析：由01得logb(x－2)0，由01得0x－223.答案：(2,3)8．x＝log23,4y＝83，则x＋2y的值为________．解析：∵4y＝83，22y＝83，2y＝log283，x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3.答案：39．若f(x)＝，且f(lg a)＝10，求a的值．解析：由f(lg a)＝10得－12＝10，两边取常用对数得(lg a)2－12lg a ＝lg 10，即2(lg a)2－lg a－1＝0.lg a＝1或lg a＝－12，故a＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝()A．1 B．2 C．5 D．10解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.答案：A11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则＝()A.14B.12 C．1 D．2解析：由韦达定理，lg a＋lg b＝2，lg alg b＝12，lg ab2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－412＝2.答案：D12．设a、b、c差不多上正数，且3a＝4b＝6c，则()A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝2a＋2bD.2c＝1a＋2b解析：设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，c＝log6t.1a＝logt3，1b＝logt4，1c＝logt6.2a＋1b＝logt9＋logt4＝2logt6＝2c.答案：B13．若2m＝3n＝36，则1m＋1n＝________.解析：∵2m＝3n＝36，m＝log236，n＝log336，从而：1m＋1n＝log362＋log363＝log366＝12.答案：1214．(2021上海卷)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为________．解析：去分母整理得32x－23x－8＝03x＝4x＝log34.答案：log3415．已知log5[log4(log3x)]＝0，则x＝________.答案：8116．运算：1－log632＋log62log618log64.解析：原式＝1－2log63＋log632＋log663log663log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.17．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根14、18；乙写错了常数c，得到根12、64.求原方程的根．解析：原方程可变形为log22x＋blog2x＋c＝0.由于甲写错了常数b，得到的根为14和18，c＝log214log218＝6.由于乙写错了常数c，得到的根为12和64，b＝－log212＋log264＝－5.故原方程为log22x－5log2x＋6＝0.因式分解得(log2x－2)(log2x－3)＝0.log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.将转化为对数形式，其中错误的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】将转化为对数式应为，即；由换底公式，得；；故选项A,B,C正确；而选项D：，错误；故选D.【考点】指数式与对数式的互化、换底公式.2.已知则的值等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以因此【考点】对数式化简3.在对数函数中，下列描述正确的是（）①定义域是、值域是R ②图像必过点(1,0).③当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.④对数函数既不是奇函数，也不是偶函数.A．①②B．②③C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】对数函数的性质可结合函数图像来进行理解.单调性，对称性都可由图可以清楚的感知.【考点】对数函数的性质.4.已知且，函数，，记（1）求函数的定义域及其零点；（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.【答案】（1），0；（2）【解析】（1）均有意义时，才有意义，即两个对数的真数均大于0.解关于x的不等式即可得出的定义域，函数的零点，即，整理得，对数相等时底数相同所以真数相等，得到，基础x即为函数的零点（2）即，，应分和两种情况讨论的单调性在求其值域。
有分析可知在这两种情况下均为单调函数，所以的值域即为。
解关于m的不等式即可求得m。
所以本问的重点就是讨论单调性求其值域。
试题解析：（1）解：（1）（且），解得，所以函数的定义域为 2分令，则（*）方程变为，，即解得， 3分经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，所以函数的零点为， 4分（2）∵函数在定义域D上是增函数∴①当时，在定义域D上是增函数②当时，函数在定义域D上是减函数 6分问题等价于关于的方程在区间内仅有一解，∴①当时，由（2）知，函数F（x）在上是增函数∴∴只需解得：或∴②当时，由（2）知，函数F（x）在上是减函数∴∴只需解得： 10分综上所述，当时：；当时，或（12分）【考点】对数函数的定义域，函数的零点，复合函数单调性5.式子的值为．【答案】5【解析】根据对数公式，可知，=5+0=5【考点】对数公式6.，则 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由得故选B【考点】对数运算7.已知函数，则函数定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函数有意义需满足条件：，所以原函数的定义域为，答案选.【考点】1.根式有意义的条件以及对数函数有意义的条件；2.对数不等式.8.计算的结果为___________.【答案】1.【解析】由对数恒等式知，根据对数运算法则知，∴.【考点】对数的运算及对数恒等式．9.。
高一数学对数与对数函数试题答案及解析
高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.若，，则（）．A．B．0C．1D．2【答案】A【解析】令，即；所以.【考点】复合函数求值.2.函数的定义域是（）.A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【答案】D【解析】要使有意义，则，即，所以定义域为.【考点】函数的定义域.3.函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解:由题意,且在区间上恒成立.即恒成立,其中当时,,所以在区间单调递增,所以,即适合题意.当时,,与矛盾,不合题意.综上可知:故选B.【考点】1、对数函数的性质；2：二次函数的性质.4.求的值是 .【答案】【解析】【考点】对数运算公式5.已知函数为常数）.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，,求函数的值域；（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）且【解析】（1）对数中真数大于0（2）思路：要先求真数的范围再求对数的范围。
求真数范围时用配方法，求对数范围时用点调性（3）要使函数的图像恒在直线的上方，则有在上恒成立。
把看成整体，令即在上恒成立，转化成单调性求最值问题试题解析：（Ⅰ）所以定义域为（Ⅱ）时令则因为所以，所以即所以函数的值域为（Ⅲ）要使函数的图像恒在直线的上方则有在上恒成立。
令则即在上恒成立的图像的对称轴为且所以在上单调递增，要想恒成立，只需即因为且所以且【考点】（1）对数的定义域（2）对数的单调性（3）恒成立问题6.已知，且，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.【考点】对数的运算7.已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .【答案】【解析】因为所以函数在R上是单调减函数，因为，所以根据减函数的定义可得：.故答案为：．【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．8.已知函数,则实数t的取值范围是____.【答案】【解析】令,值域为由题意函数的值域为则是函数值域的子集所以即【考点】对数函数图象与性质的综合应用．9.计算：＝．【答案】【解析】根据题意，由于可以变形为，故可知结论为【考点】指数式的运用点评：主要是考查了指数式的运算法则的运用，属于基础题。
【高中数学必修一】2.2.1 对数与对数运算-高一数学人教版(必修1)(解析版)
一、选择题1．将指数式2a =b 写成对数式为A ．log 2b =aB ．log a b =2C ．log 2a =bD ．log b 2=a【答案】A【解析】指数式2a =b 所对应的对数式是：log 2b =a ．故选A ．2．若log a b •log 3a =5，则b =A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53 【答案】C3．如果log 3x =log 6x ，那么x 的值为A ．1B ．1或0C ．3D ．6【答案】A【解析】∵log 3x =log 6x ，36log 1log 1==0，而对数函数3log y x =，6log y x =在x >0时，具有单调性，因此x =1．故选A ．4．1411log 9+1511log 3= A ．lg3B ．–lg3C ．1lg3D ．–1lg3【答案】C 【解析】原式=191log 4+131log 5=131log 2+131log 5=131log 10=log 310=1lg3．故选C ．5．若x =12log 16，则x = A．–4 B ．–3 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵x =12log 16，∴2–x =24，∴–x =4，解得x =–4．故选A ．6．log 8127等于A ．34B ．43C ．12D ．13【答案】A【解析】log 8127=3lg334lg34=．故选A ． 7．计算lg （103–102）的结果为A ．1B ．32C ．90D ．2+lg9【答案】D8．若x log 34=1，则4x +4–x 的值为A ．3B ．4C ．174D ．103【答案】D【解析】∵x log 34=1，∴43log x =1，则4x =3，∴4x +4–x =3+11033=，故选D ． 9．273log 16log 4的值为 A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【答案】D【解析】原式=164332734433log 2log log 23log log 3==．故选D ．二、填空题10．已知log 3（log 2x ）=1，那么x 的值为__________．【答案】8【解析】由log 3（log 2x ）=1，得log 2x =3，解得x =8．故答案为：8．11．已知lg2=a ，lg3=b ，用a ，b 的代数式表示lg12=__________．【答案】2a +b【解析】lg12=lg （3×4）=lg3+2lg2=2a +b ．故答案为：2a +b ．12．求值：2log 510+log 50.25–log 39=__________．【答案】0【解析】原式=()25log 100.25⨯–2=25log 5–2=2–2=0．故答案为：0．13．若lg2=a ，lg3=b ，则log 418=__________．（用含a ，b 的式子表示）【答案】22a b a+14．若log 32=log 23x ，则x =__________．【答案】223(log ) 【解析】∵log 32=log 23x ，∴32321log log x =，∴223(log )x =．故答案为：223(log )． 三、解答题15．计算（log 43+log 83）（log 32+log 92）的值．【解析】（log 43+log 83）（log 32+log 92）=lg3lg3lg2lg2lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg22lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =1111524364+++=． 16．解方程：log 2（x –1）+log 2x =1．【解析】∵log 2（x –1）+log 2x =1，∴log 2（x –1）x =1， ∴x （x –1）=2，解得x =–1或x =2，经检验，得x =–1是增根，x =2是原方程的解，∴x =2．17．计算：（1）lg 12–lg 58+lg12.5–log 89•log 34+0.5log 32； （2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92）．（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92） =5÷51log 35–（log 6427+log 649）（log 94+log 92）=15–5362lg3lg2lg2lg3⨯ =15–1512=554． 18．解关于x 的方程：lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0．【解析】∵lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0，∴()2221lg (3)x x ++=0，∴()2221(3)x x ++=1，解得x =–1或x =7，经检验满足条件．∴方程的根为：x =–1或x =7．。
高中对数的运算练习题及讲解
高中对数的运算练习题及讲解# 高中对数运算练习题及讲解## 练习题### 题目一：基础对数运算求值：\[ \log_{2}(8) \]### 题目二：对数的换底公式求值：\[ \log_{10}(100) \]### 题目三：对数的幂运算法则求值：\[ \log_{3}(27) \]### 题目四：对数的乘积法则求值：\[ \log_{5}(25 \times 20) \]### 题目五：对数的商法则求值：\[ \log_{4}(\frac{16}{8}) \]### 题目六：对数的复合运算求值：\[ \log_{2}(\sqrt{8}) \]### 题目七：对数不等式的解法解不等式：\[ 2^{x} < 16 \]### 题目八：对数方程的解法解方程：\[ \log_{3}(x) = 2 \]### 题目九：对数函数的图像分析分析函数：\[ y = \log_{2}(x) \] 的图像特点。
### 题目十：对数函数的实际应用如果一个细菌群体每4小时翻倍一次，求出48小时后细菌的数量，假设初始数量为100。
## 讲解### 基础对数运算对数的基本定义是：如果 \( a^b = c \)，那么 \( b = \log_{a}(c) \)。
对于题目一，\( 2^3 = 8 \)，所以 \( \log_{2}(8) = 3 \)。
### 对数的换底公式换底公式是 \( \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \)。
对于题目二，\( \log_{10}(100) = 2 \)，因为 \( 10^2 = 100 \)。
### 对数的幂运算法则幂运算法则是 \( \log_{a}(a^b) = b \)。
对于题目三，\( 3^3 = 27 \)，所以 \( \log_{3}(27) = 3 \)。
### 对数的乘积法则乘积法则是 \( \log_{a}(bc) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c) \)。
【名师点睛】高中数学 必修一 对数运算及对数函数练习题(含答案)
07课 对数运算1.下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2－c 2)=2log a b －2log a c ②(log a 3)2=log a 32③log a (bc)=(log a b)·(log a c) ④log a x 2=2log a xA.0B.1C.2D.3 2.log 22的值为( )A.－ 2B. 2C.－12D.123.如果lgx=lga ＋2lgb －3lgc ，则x 等于( )A.a ＋2b －3cB.a ＋b 2－c 3C.ab 2c 3D.2ab 3c4.计算2log 510＋log 50.25=( )A.0B.1C.2D.4 5.已知a=log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A.a －2B.5a －2C.3a －(1＋a)2D.3a －a 2－16.已知f(log 2x)=x ，则f(12)=( )A.14B.12C.22 D. 2 7.设lg2=a ，lg3=b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b1－a8.已知log 72=p ，log 75=q ，则lg2用p 、q 表示为( )A.pqB.q p ＋qC.pp ＋qD.pq1＋pq 9.设方程(lgx)2－lgx 2－3=0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于()A.1B.－2C.－103D.－410.计算：log 6[log 4(log 381)]=________.11.使对数式log (x －1)(3－x)有意义的x 的取值范围是________．12.已知5lgx=25，则x=________，已知log x 8=32，则x=________.13.计算：(1)2log 210＋log 20.04=________； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2=________；(3)lg 23－lg9＋1=________； (4)13log 168＋2log 163=________； (5)log 6112－2log 63＋13log 627=________.14.计算：log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78= 15.设log 89=a ，log 35=b ，则lg2=________.16.已知log 34·log 48·log 8m=log 416，求m 的值．17.设4a =5b=m ，且1a ＋2b=1，求m 的值．18.计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.19.已知lg(x ＋2y)＋lg(x －y)=lg2＋lgx ＋lgy ，求xy的值．20.若25a =53b =102c，试求a 、b 、c 之间的关系．21.已知二次函数f(x)=(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．指数函数练习题1.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是( )3.函数的单调减区间为（）A． B．C． D．4.设全集U=R，A={x｜＜2}，B={x｜}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A.{x｜1≤x＜2}B.{x｜x≥1}C.{x｜0＜x≤1}D.{x｜x≤1}5.计算所得的结果为（）A.1B.2.5C.3.5D.46.设, 则（）A. B. C. D.7.设全集，集合，，则 ( )A. B. C. D.8.已知集合，则( )A. B. C. D.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0,+∞)上为增函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.已知x, y为正实数, 则( )A.2lg x+lg y=2lg x+2lg yB.2lg(x+y) =2lg x·2lg yC.2lg x·lg y=2lg x+2lg yD.2lg(xy) =2lg x·2lg y11.已知集合A={x|0<log4x<1}, B={x|x≤2}, 则A∩B=( )A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]12.设a=log36, b=log510, c=log714, 则( )A.c> b> aB.b> c> aC.a> c> bD.a> b> c13.若a=log43,则2a+2-a=________.14.已知4a=2,lg x=a,则x=________.15.函数f(x) =lg(x-2) 的定义域是.16.函数f(x) =的定义域为.17.函数f(x) =log5(2x+1)的单调增区间是.18.函数f (x)=的定义域为.19.关于x的不等式|log2x|＞4的解集为．20. 函数的定义域为___________ ．21. .22.已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域. （用a表示）答案[答案] 1.C[答案] 2.D[答案] 3.D[答案] 4.A[答案] 5.A[答案] 6.C[答案] 7.B[答案] 8.C[答案] 9.C[答案] 10.D[答案] 11.D[答案] 12.D[答案] 13.[答案] 14.[答案] 15. (2,+∞)[答案] 16.[3, +∞)[答案] 17.(-0.5,+∞)[答案] 18.{x|0<x≤}[答案] 19.[答案] 20.[-0.25,0)∪(0.75,1][答案] 21.4。
对数的运算高中练习题及讲解
对数的运算高中练习题及讲解# 对数的运算高中练习题及讲解## 练习题### 题目1：求值\[ \log_{2}8 - \log_{2}4 \]### 题目2：化简\[ \log_{10}(1000) + \log_{10}(0.1) \]### 题目3：解方程\[ \log_{3}x + \log_{3}2 = 2 \]### 题目4：判断如果 \( \log_{4}16 = b \)，求 \( \log_{2}8 \)。
### 题目5：证明证明 \( \log_{a}b \cdot \log_{b}a = 1 \)。
## 讲解### 题目1 解析：根据对数的性质，我们可以将 \( \log_{2}8 \) 和 \( \log_{2}4 \) 转换为指数形式，然后进行计算。
\[ \log_{2}8 = 3 \]\[ \log_{2}4 = 2 \]所以：\[ \log_{2}8 - \log_{2}4 = 3 - 2 = 1 \]### 题目2 解析：利用对数的乘法法则，可以将两个对数合并为一个：\[ \log_{10}(1000) + \log_{10}(0.1) = \log_{10}(1000 \times0.1) \]\[ = \log_{10}(100) \]\[ = 2 \]### 题目3 解析：根据对数的加法法则，我们可以将方程简化：\[ \log_{3}x + \log_{3}2 = \log_{3}(2x) \]由于等式右边等于2，我们可以得出：\[ \log_{3}(2x) = 2 \]\[ 3^2 = 2x \]\[ x = \frac{9}{2} \]### 题目4 解析：根据对数的定义，我们可以得出：\[ \log_{4}16 = b \]\[ 4^b = 16 \]\[ b = 2 \]现在我们需要求 \( \log_{2}8 \)，由于 \( 8 = 2^3 \)，所以：\[ \log_{2}8 = 3 \]### 题目5 解析：设 \( x = \log_{a}b \) 和 \( y = \log_{b}a \)，根据对数的定义，我们有：\[ a^x = b \]\[ b^y = a \]将两个等式相乘，我们得到：\[ a^x \cdot b^y = ab \]由于 \( a^x = b \) 和 \( b^y = a \)，我们可以将 \( a^x \) 替换为 \( b \)，将 \( b^y \) 替换为 \( a \)：\[ b \cdot a = ab \]这意味着 \( x \cdot y = 1 \)，即：\[ \log_{a}b \cdot \log_{b}a = 1 \]## 结论通过对数的基本运算法则，我们可以解决各种对数问题。
高一数学(必修一)《第四章 对数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 对数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．求下列各式的值： (1)2log 32-； (2)2lg310； (3)3ln 7e ； (4)23log 9； (5)2lg100； (6)2lg 0.001． 2．求下列各式的值：（1）2log 32-；（2）2lg310；（3）3ln 7e ；（4）23log 9；（5）2lg100；（6）2lg 0.001. 3．化简下列各式(1)1223321()4(0.1)()a b ---．4．已知()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=⋅，求()2log xy 的值． 5．对数的运算性质在数学发展史上是伟大的成就．(1)对数运算性质的推导有很多方法，请同学们推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >那么()log log n a a M n M n =∈R ；(2)因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫作位数），试判断220219的位数；（注：lg 219 2.34≈）(3)中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗曾进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为3613=M ．根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为8010=N ，甲、乙两个同学都估算了MN的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310．现有一种定义：若实数x 、y 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ，试判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由．（注：lg 20.3010≈和lg30.4771≈）6．计算：(1)21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+(2)lg232log 9lg lg 4105+--7．计算求值(1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．8．计算：(1)7lg142lg lg 7lg183-+-；(2)()2lg53lg 22lg5lg 2lg5+++⨯；(3)()()22666661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭．9．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=计算火箭的最大速度v （单位：m/s ）．其中0v （单位m/s ）是喷流相对速度，m （单位：kg ）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位：kg ）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为2000m/s ． 参考数据：ln 230 5.4≈和0.51.648 1.649e <<．(1)当总质比为230时，则利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500 m/s ，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T ，求不小于T 的最小整数？ 10．(1)()()2293777log 49log 7log 3log 3log 3+--；(2)2log 31431lg 25lg 2log 9log 822-++-⨯++11．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-. (1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)求函数()f x 的零点.12．已知集合{}54log 2,log 25,2A =，集合231log 5,log 9B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．记集合A 中最小元素为a ，集合B 中最大元素为b ． (1)求A B 及a ，b 的值； (2)证明：函数()1f x x x =+在[)2,+∞上单调递增；并用上述结论比较a b +与52的大小． 13．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y =0.025x ，y =1.003x ，y =12ln x +1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e ≈2.71828…，e 8≈2981)14．已知2x ＝3y ＝a ，若112x y+=，求a 的值．15．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128； (2)12log 325=-；(3)lg1000＝3； (4)ln 2x =二、单选题16．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1lg (110)lg y x x x=+<< C ．222(1)1x x y x x -+=>-D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭17．已知集合{}|2x A x x N *=≤∈，{}2|log (1)0B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2C ．∅D ．{}0,1,2参考答案与解析1．(1)13；(2)9；(3)343； (4)4； (5)4； (6)6-.【分析】根据指对数的关系及对数的运算性质求值. (1)由2log 3a =-，则1232aa -==，即123a=，故2log 33212a -==. (2)由22lg 3lg 3lg 9a ===，则109a =，故2lg309110a ==. (3)由33ln 7ln 7a ==，则3e 7343a ==，故3ln733e 4a e ==. (4)223333log 9log 9log 34log 2234====.(5)2222lg100lg100lg104lg104====.(6)23lg 0.001lg 0.001lg106lg10622-==-=-=. 2．（1）13（2）9（3）343（4）4（5）4（6）6-【解析】（1）根据log a b a b =,即可求得2log 32-; （2）根据log a b a b =,即可求得2lg310; （3）根据log a b a b =,即可求得3ln 7e ;（4）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得23log 9;（5）根据log log Ma ab M b =和log 1a a =,即可求得2lg100;（6）根据log log M a a b M b =和,log 1a a =,即可求得2lg 0.001.【详解】（1） log a b a b =∴ 22log 3log 31112(2)33---===;（2） log a b a b = ∴2lg3lg32210(10)39===;（3） log a b a b = ∴3ln 7ln 33e (e 7)7343===;（4） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴2433log 9log 34==;（5） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴24lg100lg104==;（6） log log Ma ab M b =和log 1a a =∴26lg 0.001lg106-==-.【点睛】本题考查了对数的化简求值,解题关键是掌握log log Ma ab M b =和log 1a a =,考查了计算能力,属于基础题. 3．(1)425(2)-4【分析】（1）利用分数指数幂和根式的性质和运算法则求解即可得到结果； （2）利用对数的性质和运算法则求解即可得到结果． （1） ()1原式3312233221824222525100a ba b---⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭； （2） 原式()()lg 812525100241111222lg ⨯÷÷====-⨯---． 4．()2log 0xy =【分析】对原式化简，得()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，由对数的运算性质求解xy 的值，再代入即可. 【详解】由()2lg lg lg lg lg 0lg lg lg lg x y x y x y x y x y-⎡⎤++⎣⎦++=，去分母可得 ()()22lg lg lg 0x y x y ++-=⎡⎤⎣⎦，所以()lg lg lg 01lg 01x y xy xy x y x y +===⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩所以()2log 0xy =. 5．(1)答案见解析 (2)515(3)甲同学的近似值更接近MN，理由见解析【分析】（1）利用对数的恒等式结合指数的运算性质可证得结论成立； （2）利用对数运算性质计算出220lg 219的近似值，即可得出220219的位数；（3）由题意可得出36180310=M N ，比较7310M N -与9310M N -的大小关系，即可得出结论. （1）解：若0a >，且1a ≠，0M >和n ∈R ，则()log log a a nn M M n a a M ==化为对数式得log log na a M n M =．（2）解：令220219t =，所以lg 220lg 219t = 因为lg 219 2.34≈，所以lg 220lg 219514.8t =≈ 所以()514.85145151010,10t ≈∈，所以220219的位数为515．（3）解：根据题意，得36180310=M N 所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.233110M N ==-=⋅-≈ 所以()92.233192931010,10MN≈∈ 因为()361173lg 23lg 2361lg3172.5341173lg10⨯=+⋅≈<=所以36117317315323101010⨯<<+，所以36193738023101010⨯<+ 所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．6．(1)4736- (2)1-【分析】(1)根据指数幂运算性质计算即可; (2)根据对数的运算性质计算即可. （1）解：21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48----+=212329273()1()()482=23233321[()]()223=22132()()223=194249=4736-； （2）解：lg232log 9lg lg 4105+--=2lg 2lg52lg 22=lg 2(1lg 2)2lg 21.7．(1)44 (2)92(3)1【分析】（1）由指数的运算法则计算 （2）由对数的运算法则计算 （3）将指数式转化为对数式后计算 (1)()33622023218323172271449-⨯⎛⎫---=⨯--=--= ⎪⎝⎭；(2)221lglg 2log 24log log 32+++ ()32232lg 2lg 2log 38log 3log 3=-++⨯+- 2239log 33log 322=++-=； (3)6log 3a = 2log 3b =则31log 6a = 31log 2b=； 所以33311log 6log 2log 31a b-=-==．8．(1)0 (2)3 (3)1【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可； （2）提公因式，逐步化简即可求解； （3）逐步将原式化成只含6log 2和6log 3形式. （1）方法一：（直接运算）原式227147lg14lg lg 7lg18lg lg1037183⎛⨯⎛⎫=-+-==⎫⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⨯． 方法二：（拆项后运算）原式()()()2lg 272lg7lg3lg7lg 32=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=．（2）原式()()lg5lg5lg22lg2lg5lg2=⨯++++()lg5lg102lg10lg22lg5lg23=⨯++=++=．（3）原式()()226666log 2log 33log 2log =++⨯ ()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯ ()626log 2log 31=+=．9．(1)10800 m/s (2)45【分析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可. (1)当总质比为230时，则2000ln 2302000 5.410800v =≈⨯= 即A 型火箭的最大速度为10800m /s . (2)A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A 型火箭的喷流相对速度为2000 1.53000/m s ⨯=，总质比为3Mm由题意得：3000ln2000ln 5003M M m m-≥ 0.50.5ln 0.5272727M M M e e m m m⇒≥⇒≥⇒≥因为0.51.648 1.649e <<，所以0.544.4962744.523e << 即44.49644.523T <<，所以不小于T 的最小整数为45． 10．(1)2；(2)4.【分析】(1)将()237log 7log 3+展开再根据对数的运算求解； (2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式()()()2223373777log 7log 7log 32log 7log 3log 3log 3=++⨯-- ()()2233log 72log 72=+-=．(2)原式2221221log 322233312log 3lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=++-⨯++323314log 3lg5lg 2log 33log 222=++-⨯++ ()4lg 52324114=+⨯-+=+-=．11．(1)证明见解析；(2)-【分析】（1）先证明函数()f x 的定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -=即可；（2）利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简，求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. （1）证明：由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<∴函数的定义域为{}33x x -<<，且定义域关于原点对称 又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，∴()f x 是偶函数. （2）解：()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-，令()()2ln 90f x x =-=∴291x -=，解得x =±∴函数()f x的零点为-和12．(1){}2log 5⋂=A B ，5log 2a =和2log 5b =； (2)证明见解析52+>a b【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出； （2）根据单调性的定义即可证明函数()1f x x x=+在[)2,+∞上单调递增，再根据单调性以及对数的性质1log log a b b a=即可比较出大小． （1）因为42log 25log 5=，所以{}52log 2,log 5,2A =，{}2log 5,2B =-即{}2log 5⋂=A B ．因为5522log 2log 252log 4log 5<==<，所以5log 2a = 2log 5b =．（2）设12,x x 为[)2,+∞上任意两个实数，且122x x ≤<，则120x x -< 121x x >()()()1212121212121212111110x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)2,+∞上单调递增．所以()()522f x f >=，所以()5222215log 2log 5log 5log 5log 52f +=+=>． 13．奖励模型1ln 12y x =+能完全符合公司的要求，答案见解析.【分析】由题意得模型需满足①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%，依次判断三个模型是否满足上述条件即可.【详解】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，则①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%. （1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，则y>5，不满足公司的要求；（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，则不满足公司的要求；（3）对于1ln12y x=+，易知满足①.当x∈[10，1000]时，则y≤12ln1000+1.下面证明12ln1000+1<5.因为12ln1000+1-5=12ln1000-4=12(ln1000-8)=12(ln1000-ln2981)<0，满足②.再证明12ln x+1≤x·25%，即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x，则F′(x)= 2x-1=2xx-<0，x∈[10，1000]所以F(x)在[10，1000]上为减函数F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.综上，奖励模型1ln12y x=+能完全符合公司的要求.【点睛】本题主要考查函数的模型应用，属于简单题.14．a.【分析】利用对指互化得到x＝log2a，y＝log3a，再利用对数的运算化简求值. 【详解】因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a所以1x＋1y＝2311log loga a+＝log a2＋log a3＝log a6＝2所以a2＝6，解得a＝又因为a>0，所以a15．(1)log217 128=-(2)511 232-⎛⎫=⎪⎝⎭(3)103＝1 000(4)2e x=【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可.(1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7. (2) 由12log 325=-，可得512-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝32. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.(4)由ln 2x =，可得e 2＝x .16．C【分析】结合基本不等式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，1x =-时，则y 为负数，A 错误.以D 错误.故选：C17．B【分析】分别求出集合,A B ，根据集合的交集运算得出答案.【详解】由题意知：{}{}|20,1,2x A x x N *=≤∈= {}{}2|log (1)02B x x =-== {}2A B ⋂=.故选：B.。
新高一对数测试题及答案
新高一对数测试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像不经过第几象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知log_a b = c，那么a^c等于多少？A. bB. cC. aD. b^c3. 计算log_2 8的值是多少？A. 2B. 3C. 4D. 54. 如果log_a b = log_c b，那么a和c的关系是什么？A. a = cB. a = 1/cC. a = c^(-1)D. a = b^(-1)5. 以下哪个表达式是正确的？A. log_a (a^x) = xB. log_a (a^x) = x/aC. log_a (a^x) = a^xD. log_a (a^x) = 1/x6. 已知log_3 9 = 2，那么log_3 3是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算log_5 25的值是______。
2. 如果log_2 4 = 2，那么2^log_2 4 = ______。
3. 已知log_10 100 = 2，那么log_10 0.01 = ______。
4. 计算log_2 (2^3)的值是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知log_3 27 = 3，求log_3 3^3。
2. 计算log_4 64的值，并将其转换为以2为底的对数。
3. 已知log_2 8 = 3，求2^(log_2 8)的值。
4. 已知log_5 25 = 2，求5^(log_5 25)的值。
5. 计算log_2 (32 * 8)的值，并将其转换为以10为底的对数。
答案：一、选择题1. D2. A3. B4. C5. A6. A二、填空题1. 22. 43. -24. 3三、解答题1. 32. 3，转换为以2为底的对数为log_2 64 = 63. 84. 255. 6，转换为以10为底的对数为log_10 (32 * 8) = log_10 256 = 2.4。
新教材北师大版高中数学必修第一册 第四章 对数运算和对数函数 课后练习 含解析
第四章对数运算和对数函数课后练习1、对数的概念................................................................................................................ - 1 -2、对数的运算................................................................................................................ - 5 -3、对数函数的概念...................................................................................................... - 10 -4、对数函数y=log2x的图象和性质............................................................................ - 13 -5、对数函数y=log a x的图象和性质 ............................................................................ - 18 -6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.......................................................... - 25 -1、对数的概念基础练习1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=8,所以=.【补偿训练】若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,需,解得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即a b=N⇔b=log a N.现在已知a=log23,则2a= .【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:33.e0++= .【解析】原式=1+2+8=11.答案:114.把对数式log84=x化成指数式是;可求出x= . 【解析】因为log84=x,所以8x=4,所以23x=22,所以x=.答案:8x=45.(1)将log232=5化成指数式.(2)将3-3=化成对数式.(3)log4x=-,求x.(4)已知log2(log3x)=1,求x.【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.(2)因为3-3=,所以log3=-3.(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.提升练习一、单选题(每小题5分,共10分)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是( )A.128B.16C.8D.256【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,则f(log2x)=2x=24=16.2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x= ( )A.log 37-log32B.lo 4C.log34D.log37【解析】选C.2×9x-28=,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )A.a2+b2≥B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2D.+≤【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确.4.下列各式正确的有( )A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若10=lg x,则x=10D.若log25x=,则x=±5【解析】选AB.对于A,因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以A对;对于B,因为lg(ln e)=lg 1=0,所以B对;对于C,因为10=lg x,所以x=1010,C错;对于D,因为log25x=,所以x=2=5.所以只有AB正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若log a2=m,log a3=n,其中a>0,且a≠1,则a m+n= .【解析】log a2=m,可得a m=2.log a3=n,a n=3.a m+n=a m a n=2×3=6.答案:66.(2020·绍兴高一检测)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解x= .【解析】因为x=2是方程的解,所以log a(52-32)=2.所以a2=16,且a>0,所以a=4.当a=2时,log2(5x-3x)=x.所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.答案:4 1【补偿训练】方程log3(9x-4)=x+1的解x= .【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,所以(3x)2-3·3x-4=0,所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).答案:log34四、解答题7.(10分)若lo x=m,lo y=m+2,求的值.【解析】因为lo x=m,所以=x,x2=.因为lo y=m+2,所以=y,y=,所以====16.【补偿训练】已知log a b=log b a(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=. 【证明】令log a b=log b a=t,则a t=b,b t=a,所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.所以a=b或a=.2、对数的运算基础练习1.化简2lg 5+lg 4-的结果为( )A.0B.2C.4D.6【解析】选A.原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.2.+等于( )A.lg 3B.-lg 3C.D.-【解析】选C.原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.3.(2020·新乡高一检测)设a=lg 6,b=lg 20,则log23= ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=1+lg 2,所以log23==.4.计算:2-1+lg 100-ln= .【解析】原式=+2-=2.答案:25.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,所以=log c3,=log c5,所以+=log c15.由log c15=2得c2=15,即c=(负值舍去).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(x1x2·…·x2 020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.4B.8C.16D.2log48【解析】选B.因为函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),f(x1x2…x2 020)=4,所以f(x1x2…x2 020)=log a(x1x2…x2 020)=4,所以f()+f()+…+f()=log a(××…×)=log a(x1x2…x2 020)2=2log a(x1x2…x2 020)=2×4=8.2.(2020·全国卷Ⅰ)设alog34=2,则4-a= ( )A. B. C. D.【解题指南】首先根据题中所给的式子,结合对数的运算法则,得到log34a=2,即4a=9,进而求得4-a=,得到结果.【解析】选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=.3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,所以lg=10.1,则=1010.1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若log a b+log b a=,a b=b a,则可以取的值有( )A. B. C. D.2【解析】选AD.令t=log a b,则t+=,所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,所以log a b=或log a b=2.所以a=b2或a2=b.又因为a b=b a,所以2b=a=b2或b=2a=a2.所以b=2,a=4或a=2,b=4.所以=2或=.三、填空题(每小题5分,共10分)5.(lg 5)2-(lg 2)2+lg 4= .【解析】原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+lg 4=lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:16.已知lg a+b=3,a b=100,则a lg 2·b= .【解析】lg a+b=3,a=103-b,又因为a b=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,所以b=1或2,a=100或10,所以a lg 2·b=102lg 2·1=4或a lg 2·b=10lg 2·2=2×2=4.答案:4四、解答题7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:(1)(log32+log92)(log43+log83)+;(2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22.【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+=+5=···+5=×+5=. (2)2lg 5+lg 8+lg 5·lg 20+lg22=2lg 5+lg 23+lg 5·lg(4×5)+lg22=2lg 5+2lg 2+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2(lg 5+lg 2)+2lg 5·lg 2+lg25+lg22=2+(lg 5+lg 2)2=2+1=3.【补偿训练】计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2)log2+log212-log242-1.【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5= log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.(2)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.3、对数函数的概念基础练习1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,则f(2)等于( )A.3B.C.-log36D.-log38【解析】选B.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数,所以解得a=2,所以f(x)=log2x,所以f(2)=log2=.2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f=( )A. B.2 C. D.【解析】选C.由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f==.3.若函数y=f(x)是函数y=5x的反函数,则f(f(5))= .【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x.所以f(f(5))=f(log55)=f(1)=log51=0.答案:04.若对数函数f(x)=log a x的图象过点(2,1),则f(8)= .【解析】依题意知1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3. 答案:35.已知函数f(x)=log 3x+lo x,则f()= .【解析】f()=log3+lo=-=0.答案:06.写出下列函数的反函数:(1)y=lo x;(2)y=πx;(3)y=.【解析】(1)对数函数y=lo x,它的底数是,它的反函数是y=;(2)指数函数y=πx,它的底数是π,它的反函数为y=logπx;(3)指数函数y=,它的底数是,它的反函数是y=lo x.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=x,所以f()==-.2.若f(x3)=lg x,则f(2)= ( )A.lg 2B.3lg 2C.-3lg 2D.lg 2【解析】选D.由x3=2得x=,所以f(2)=f[()3]=lg =lg 2.3.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)= ( )A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)【解析】选D.设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列函数表达式中,是对数函数的有( )A.y=log a x(a∈R)B.y=log8xC.y=log x(x+2)D.y=logπx【解析】选BD.由于形如y=log a x(a>0,且a≠1)的函数即为对数函数,符合此形式的函数表达式有BD,其他的均不符合.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数,则a= .【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.答案:56.已知函数f(x)=log a(x+2),若图象过点(6,3),则f(x)= ,f(30)= .【解析】代入(6,3),得3=log a(6+2)=log a8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232,令log232=m,所以2m=32,所以m=5. 答案:log2(x+2) 5三、解答题7.(10分)已知函数f(x)=log a(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.【解析】因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,所以a<.又a>0且a≠1,所以0<a<1或1<a<,所以实数a的取值范围为(0,1)∪.4、对数函数y=log2x的图象和性质基础练习1.若f为y=2-x的反函数,则f的图象大致是( )【解析】选C.由题意,f(x)与y=2-x=的图象关于y=x对称,即f(x)=x,故f(x-1)=(x-1),所以f(x-1)的图象就是将f=x右移一个单位得到.【补偿训练】已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )【解析】选C.f(x)与y=log2x互为反函数,因此f(x)=2x,故y=f(1-x)=21-x=,该函数图象是由y=的图象向右平移1个单位得到的.2.设函数f(x)=则f(f(-1))= ( )A.2B.1C.-2D.-1【解析】选D.因为-1<0,所以f(-1)=2-1=;因为>0,所以f=log2=log22-1=-1.故f(f(-1))=-1.3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R【解析】选C.结合f(x)=log2x的图象(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.4.已知m,n∈R,函数f(x)=m+log n x的图象如图,则m,n的取值范围分别是 ( )A.m>0,0<n<1B.m<0,0<n<1C.m>0,n>1D.m<0,n>1【解析】选C.由图象知函数为增函数,故n>1.又当x=1时,f(x)=m>0,故m>0.5.已知函数f(x)=log2(2x-a),若f(2)=0,则a= .【解析】由题意,f(2)=0,即log2(4-a)=0,可得4-a=1,则a=3.答案:36.已知f(x)=|log3x|.(1)画出这个函数的图象;(2)当0<a<2时,f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围.【解析】(1)如图.(2)令f(a)=f(2),即|log3a|=|log32|,解得a=或a=2.从图象可知,当0<a<时,满足f(a)>f(2),所以a的取值范围是.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.f(x)=①当x≤1时,21-x≤2⇒≤1,所以2x≥1,所以x≥0,又x≤1,所以0≤x≤1;②当x>1时,1-log2x≤2,所以log2x≥-1恒成立,所以x>1.综上所述x≥0.2.函数f(x)=的图象与函数g(x)=log2x的图象的交点个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一个坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图,由图象可知f(x)与g(x)的交点个数为3.3.已知f(x)=|log2x|,若>a>b>1,则( )A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(a)>f(c)【解析】选C.先作出函数y=log2x的图象,再将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方,这样,我们便得到了y=|log2x|的图象,如图.由图可知,f(x)=|log2x|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是f>f(a)>f(b),又f=|log2|=|-log2c|=|log2c|=f(c).所以f(c)>f(a)>f(b).【补偿训练】设a,b,c均为正数,且2a=a,=b,=log2c,则 ( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】选A.由函数y=2x,y=,y=log2x,y=x的图象可得出a<b<c.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知log2=log2,则x的值可以为( )A.2B.3C.-2D.-3【解析】选AB.由已知等式,得5x-2=x2+4,解得x1=2,x2=3.经验证均符合题意.三、填空题(每小题5分,共10分)5.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f= ,当x<0时,f(x)= .【解析】因为f(x)是奇函数,所以f=-f=-log2=;设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:-log2(-x)6.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 【解析】因为f(x)=log2x在区间[a,2a]上单调递增,所以f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:1四、解答题7.(10分)(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象如何变化得到的? (2)在给出的坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象;(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,设M=x1x2-2(x1+x2)+4,请判断M的符号.【解析】(1)函数y=log2(x-1)的图象是由y=log2x的图象向右平移1个单位得到的.(2)在坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象,如图所示.(3)设函数y=与函数y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,所以M=x1x2-2(x1+x2)+4=(x1-2)(x2-2)<0.5、对数函数y=log a x的图象和性质基础练习1.若a=log67,b=log76,c=loπ,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】选C.log 67>log66=1,0=log71<log76<log77=1,loπ<lo1=0,所以c<b<a.2.已知x=ln π,y=log5,z=,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x【解析】选D.因为ln π>ln e=1,log5<log51=0,0<<1,所以y<z<x.3.若函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )A. B. C.2 D.4【解析】选B.当a>1时,a+log a2+1=a,log a2=-1,a=(舍去).当0<a<1时,1+a+log a2=a,所以log a2=-1,a=.4.(2020·北京高考)函数f(x)=+ln x的定义域是.【解析】由得x>0.答案:(0,+∞)5.已知函数f(x)=lg(2+x2),则满足不等式f(2x-1)<f(3)的x的取值范围为.【解析】因为函数f(x)=lg(2+x2),且满足不等式f(2x-1)<f(3),所以(2x-1)2<9,即-3<2x-1<3,解得-1<x<2.答案:(-1,2)6.已知函数f(x)=log a(x+2)+log a(3-x),其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.【解析】(1)要使函数有意义,则解得-2<x<3.所以函数的定义域为(-2,3).(2)函数f(x)=log a[(x+2)(3-x)]=log a(-x2+x+6)=log a,因为-2<x<3,所以0<-+≤,因为0<a<1,所以log a≥log a,即f(x)min=log a,由log a=-4,得a-4=,所以a=.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象为( )【解析】选D.由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B.又x>0时,f(x)=ln(x+1),所以D项正确.2.(2020·天津高考)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【解题指南】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c的大小关系. 【解析】选D.因为a=30.7>1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.3.已知函数f(x)=2lo x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( )A. B.[-1,1]C. D.∪【解析】选A.因为已知函数的值域为[-1,1],所以-≤lo x≤,化简解得≤x≤,故函数f(x)的定义域为.4.函数y=f(x)=lg是( )A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解题指南】利用函数奇偶性的定义,结合对数的运算判断.【解析】选B.已知函数的定义域是R,因为f=lg=lg=-lg=-f.所以函数f(x)是奇函数.【误区警示】本题容易出现未能变形得出f与f的关系,从而错选D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知A={x|2≤x≤π},定义在A上的函数y=log a x(a>0,且a≠1)的最大值比最小值大1,则底数a的值为( )A. B. C.π-2 D.2-π【解析】选AB.当0<a<1时,函数f(x)在[2,π]上单调递减,故log a2-log aπ=1,故a=;当a>1时,函数f(x)在[2,π]上单调递增,故log aπ-log a2=1,故a=.6.若实数a,b满足log a2<log b2,则下列关系中成立的是( )A.0<b<a<1B.0<a<1<bC.a>b>1D.0<b<1<a【解析】选ABC.根据题意,实数a,b满足log a2<log b2,对于A,若a,b均大于0小于1,依题意,必有0<b<a<1,故A有可能成立;对于B,若log b2>0>log a2,则有0<a<1<b,故B有可能成立;对于C,若a,b均大于1,由log a2<log b2,知必有a>b>1,故C有可能成立;对于D,当0<b<1<a时,log a2>0,log b2<0,log a2<log b2不能成立.【光速解题】选ABC.可以分别取符合答案条件的a,b,验证log a2<log b2是否成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.函数y=log a(2x-3)+4(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为,若点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)= .【解析】因为log a1=0,所以当2x-3=1,即x=2时,y=4,所以点A的坐标是(2,4).设幂函数f(x)=x α,因为幂函数f(x)=xα的图象过点A(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以幂函数为f(x)=x2,则f(3)=9.答案:(2,4) 98.已知函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是.【解析】因为函数f(x)的图象恒过定点(m,n),令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=3,可得它的图象恒过定点(-1,3),所以m=-1,n=3.因为函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3 在[1,+∞)上单调递减,所以-b≤1,所以b≥-1.答案:[-1,+∞)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=log a(1-ax)(a>0且a≠1),(1)若a>1,解不等式f(x)<0;(2)若函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为a>1,log a(1-ax)<0,所以log a(1-ax)<0=log a1,所以0<1-ax<1,所以-1<-ax<0,解得0<x<.所以a>1时,不等式的解集为.(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2]上单调递增,而t=1-ax在区间(0,2]上单调递减, 所以0<a<1,且t>0.再由解得0<a≤,则实数a的取值范围为.【补偿训练】设f(x)=log a(3+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.【解析】(1)f(0)=log a3+log a3=2log a3=2,所以a=3.所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以解得-3<x<3.所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2),且x∈(-3,3);所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,最小值为log33=1.10.已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.【解析】(1)要使函数g(x)的解析式有意义,则解得x∈[1,4],故函数g(x)的定义域为[1,4].(2)令t=log2x,x∈[1,4],则t∈[0,2],y=g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+2(3+log2x2)=(log2x+5)2-10=(t+5)2-10,由函数y=(t+5)2-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线,故函数y=(t+5)2-10在[0,2]上单调递增,故当t=0时,y=g(x)取最小值15,当t=2时,y=g(x)取最大值39.创新练习1.已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a),则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(1,3)【解析】选A.根据题意可得f(x)=所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;根据题意可知,⇒0<a<2;①当0<a<1,2-a>1时,因为f(a)>f(2-a),所以-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1;⇒0<a<1;②当a=1时,f(a)=f(2-a)不符合题意(舍);③当1<a<2,0<2-a<1时,因为f(a)>f(2-a),所以ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,解得a∈∅;综上,a的取值范围为(0,1).2.若定义运算f(a⊗b)=则函数y=f(log2(1+x)⊗log2(1-x))的值域是( )A.(-1,1)B.[0,1)C.[0,+∞)D.[0,1]【解析】选B.由题意得f(a b)=所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))=当0≤x<1时,函数为y=log2(1+x),因为y=log2(1+x)在[0,1)上单调递增,所以y∈[0,1),当-1<x<0时,函数为y=log2(1-x),因为y=log2(1-x)在(-1,0)上单调递减, 所以y∈(0,1),由以上可得y∈[0,1),所以函数f(log2(1+x)log2(1-x))的值域为[0,1).6、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较基础练习1.以下四种说法中,正确的是( )A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B.对任意的x>0,x n>log a xC.对任意的x>0,a x>log a xD.不一定存在x0,当x>x0时,总有a x>x n>log a x【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0<a<1时,显然不成立;对于D,当a>1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有a x>x n>log a x,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为( )【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.【补偿训练】某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的( )【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( ) A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:x 1.99 3 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数:①y=0.58x-0.16; ②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8; ④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选.【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.答案:④5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A.y=ax+bB.y=ax2+bx+cC.y=a·e x+bD.y=aln x+b【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.3.下面对函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快【解析】选C.观察函数f(x)=lo x,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有( )【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;当t=12时,C(t)=10,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃,故B不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0且a≠1)的图象.有以下说法:①第4个月时,残留量就会低于;②每月减少的有害物质质量都相等;③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是.【解析】由于函数的图象经过点,故函数的解析式为y=.当t=4时,y=<,故①正确;当t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.答案:①③6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=log a(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为米.t/年 1 2 3 4 5 6h/米0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】根据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.将(2,1)代入到h=log a(t+1)中,得1=log a3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.答案:h=log a(t+1) 2四、解答题(每小题10分,共20分)7.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).8.若不等式3x2<log a x在x∈内恒成立,求实数a的取值范围.【解题指南】原不等式等价于3x2<log a x,将不等式两边分别看成两个函数,作出它们的图象,研究a的取值范围.【解析】由题意,知3x2<log a x在x∈内恒成立,当x∈时,若a>1,则函数y=log a x的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;当0<a<1时,y=log a x的图象必过点A或在这个点的上方,则log a≥, 所以a≥,所以≤a<1.综上,a的取值范围是.。
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2.2.1.2对数运算双基限时练 新人教A 版必修1
1．下列叙述正确的是( )
①对数式log a N ＝b (a >0，a ≠1)与指数式a b
＝N (a >0，a ≠1)是同一个关系式的两种不同的表达形式；
②当a >0，a ≠1时，log a N ＝b 与a b
＝N 可以相互转化； ③若a b
＝N (a >0，a ≠1)，则a log a N ＝N 成立； ④若M ＝N ，则lg M ＝lg N . A ．①② B ．①②③ C ．①②③④ D ．②④
答案 B
2．lg4＋2lg5等于( ) A ．1 B ．2 C ．－1
D ．－2
解析 lg4＋2lg 5＝lg4＋lg52
＝lg(4×52
)＝lg100＝2. 答案 B
3．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23
等于( )
A ．3a B.3
2a C ．3a －2
D ．a
解析 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
lg x 2
－lg y 2 ＝3[(lg x －l g2)－(lg y －lg2)]＝3(lg x －lg y )＝3a . 答案 A
4．若P ＝log 23·log 34，Q ＝lg2＋lg5，M ＝e 0
，N ＝ln1则正确的是( ) A ．P ＝Q B ．Q ＝M C ．M ＝N
D ．N ＝P
解析 因为P ＝log 23·log 34＝log 23·log 24
log 23
＝log 24＝2
Q ＝lg2＋lg 5＝lg 10＝1， M ＝e 0＝1， N ＝ln1＝0，
所以Q ＝M . 答案 B
5．若lg x 与lg y 互为相反数，则( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．xy ＝1
D ．xy ＝－1
解析 lg x ＋lg y ＝0，即lg xy ＝0，∴xy ＝1. 答案 C
6．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36的值是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2
D ．3a －a 2
－1
解析 log 38－2log 36＝3lo g 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 答案 A
7．4lg2＋3lg5－lg 1
5的值为________．
解析 原式＝4lg2＋3lg5－(lg1－lg5) ＝4lg2＋4lg5＝4(lg2＋lg5)＝4lg10＝4. 答案 4
8．设x ＝log 23，则23x
－2
－3x
2x －2
－x ＝________.
解析 法一：由x ＝log 23得2x ＝3,2－x
＝13，23x
－2－3x
2x －2－x ＝33
－⎝ ⎛⎭⎪
⎫1333－13
＝919
.
法二：23x －2－3x 2x －2－x ＝
2x －2－x
22x ＋1＋2－2x
2x －2
－x
＝22x
＋1＋2－2x
＝32
＋1＋132＝919
.
答案
919
9．方程log 3(x 2
－10)＝1＋log 3x 的解是________． 解析 原方程可化为 log 3(x 2
－10)＝log 33x .
∴x 2
－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5. 检验知，方程的解为x ＝5. 答案 x ＝5
10．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg4； (2)log 13 27－log 13 9；
(3)log 2(log 216)； (4)log
2－1
(3＋22)．
解 (1)lg25＋lg4＝lg(25×4)＝lg100＝2.
11．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771. 求lg72，lg4.5的值．
解 lg72＝lg(23
×32
)＝3lg2＋2lg3 ＝3×0.3010＋2×0.4771＝1.8572. lg4.5＝lg 9
2＝lg9－lg2＝2lg3－lg2
＝2×0.4771－0.3010＝0.6532.
12．已知log a (x 2
＋4)＋log a (y 2
＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8y
x
的值．
解 由对数的运算法则，可将等式化为 log a [(x 2
＋4)·(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2
＋4)(y 2
＋1)＝5(2xy －1)． 整理，得x 2y 2
＋x 2
＋4y 2
－10xy ＋9＝0， 配方，得(xy －3)2
＋(x －2y )2
＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12
. ∴log 8y x ＝log 812
＝log 232－1
1 3log22＝－
1
3
.
＝－。