线性规划的对偶理论

2.1 写出线性规划问题的对偶问题，并进一步写出其对偶问题的对偶问题

(a) min z=2x1+2x2+4x3(b) max z=5x1+6x2+3x3

s.t. x1+3x2+4x3≥2 s.t. x1+2x2+2x3=5

2x1+x2+3x3≤3 -x1+5x2-3x3≥3

x1+4x2+3x3=5 4x1+7x2+3x3≤8

x1, x2≥0, x3无约束x1无约束,x2≥0, x3≤0

解：(a)对偶问题的原问题为

max w=2y1+3y2+5y3

s.t. y1+2y2+y3≤2

3y1+y2+4y3≤2

4y1+3y2+3y3=4

y1≥0, y2≤0, y3无约束

(b)原问题的对偶问题为

min w=5y1+3y2+8y3

s.t. y1-y2+4y3=5

2y1+5y2+7y3≥6

2y1-3y2+3y3≤3

y1无约束, y2≤0, y3≥0

2.3 已知线性规划问题：

max z=x1+x2

s.t. -x1+ x2+ x3 ≤2

-2x1+x2- x3 ≤1

x1, x2, x3≥0

试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。

解：原问题的对偶问题为

min w=2y1+ y2

s.t. -y1- 2y2 ≥1

2y1+ 5y2 ≥1

y1- y2 ≥0

y1, y2≥0

由于约束条件3可得

y1-y2 ≥0 → y1≥y2 → -y1≤-y2 且y2≥0

所以

-y1-2y2 ≤-3y2≤0 （1）

由于约束条件1可得

-y1- 2y2 ≥1 （2）

（1）（2）不等式组无解

所以其对偶问题无可行解,又知点X=(1,1,1)为原问题一个可行解,即原问题有可行解, 现在其对偶问题无可行解。根据对偶理论性质3原问题无界.

2.4 已知线性规划问题：

max z=2x 1+4x 2+ x 3+x 4

s.t. x 1+ 3x 2 +x 4 ≤8 2x 1+ x 2 ≤6 x 2+ x 3 +x 4 ≤6 x 1+ x 2+ x 3 ≤9 x j ≥0 (j=1,…4)

要求(a)写出其对偶问题;(b)已知原问题最优解X=(2,2,4,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解. 解:

对偶问题:

min w=8y 1+ 6y 2+6y 3+9 y 4 s.t. y 1+ 2y 2 +y 4 ≥2 3y 1+ y 2 + y 3 +y 4 ≥4 y 3+ y 4 ≥1 y 1 +y 3 ≥1 y 1, y 2,y 3, y 4≥0

将最优解X=(2,2,4,0)代入原问题的约束条件得: x 1+ 3x 2 +x 4 =8 2x 1+ x 2 =6 x 2+ x 3 +x 4 =6 x 1+ x 2+ x 3 =8<9

根据对偶理论性质5， 如果

∑

=

i i j ij b x

a 1

ˆ，则0ˆ=i y 。 于是从第四个约束方程计算可有0ˆ4=y

将性质5应用于其对偶问题，这时有：如果0ˆ>j x

，则∑

==m

i j i ij c y

a 1

ˆ 因为本题中x 1=2 >0，x 2=2>0， x 3=4>0.

所以得到约束方程组（其中04=y ）

y 1+ 2y 2 +y 4 =2 3y 1+ y 2 + y 3+ y 4 =4 y 3+ y 4 =1

解此方程组得Y=(4/5 ,3/5 , 1, 0).（对偶问题的最优解）

2.8 已知线性规划问题：

max z=2x 1-x 2+ x 3

s.t. x 1+ x 2 +x 3 ≤6 -x 1+ 2x 2 ≤4 x 1, x 2 ,x 3≥0

先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情形进行分析：

(a) 目标函数中变量x 1, x 2 ,x 3的系数分别在什么范围内变化，问题的最优解不变； (b) 两个约束的右端项分别在什么范围内变化，问题的最优基不变； 解：

将此问题化成标准形式， max z=2x 1-x 2+x 3+0x 4 s.t. x 1+x 2+x 3+x 4 =6 -x 1+2x 2 +x 5=4

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5≥0

其约束系数矩阵：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-100210111154321P P P P P

由于2>1, 选择x 1作为换入基的变量。对于P 1有：

θ=min{ b 1/a 11 | a 11>0 }=min{6/1 }=6. 确定x 4为换出基变量。a 11=1为主元素

至此，所有检验数σj ≤0，表明现有对应的基可行解为最优解 x 1=6, x 2=0, x 3=0, x 4=0，x 5=10。

原线性规划问题的最优解为x 1=6, x 2=0, x 3=0,

相应目标函数值max z=2x

1-x

2

+x

2

=12。

(a)若要目标函数中变量x

1, x

2

,x

3

的系数变化，而问题的最优解不变

分析下面已知线性规划问题：

max z=（2+λ1）x1+（-1+λ2）-x2+（1+λ3） x3

s.t. x1+ x2 +x3 ≤6

-x1+ 2x2≤4

x1, x2 ,x3≥0

λ1，λ2和λ3分别在什么范围变化，问题的最优解不变

解：当λ2=λ3=0时上述线性规划问题的最终单纯性表为

要使所有检验数σj≤0，则需-3-λ1≤0，-1-λ1≤0，-2+λ1≤0解得λ1≥-1。

当λ1=λ3=0时上述线性规划问题的最终单纯性表为

要使所有检验数σj≤0，则需λ2-3≤0，解得λ2≤3。

当λ1=λ2=0时上述线性规划问题的最终单纯性表为

要使所有检验数σj≤0，则需λ3-1≤0，解得λ3≤1。

综合上述结果：c1+λ1≥2-1=1，c2+λ2≤-1+3=2， c3+λ3≤1+1=2，

即x1, x2 ,x3的系数分别在≥1，≤2，≤2范围内，问题的最优解不变。