两个重要极限
两个重要极限的证明
两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
2.5两个重要极限
例5 求 lim e x 1 . x0 x
解 令u ex 1,则x ln(1 u),当x 0时, u 0, 有
ex 1
u
1
lim
lim
lim
1
x0 x
u0 ln(1 u) u0 1 ln(1 u)
u
练习
7.lim n
1+
1 n
n1
1
8.lim 1 2 x x x0
9.lim x
1 2
练习
1.lim tan x x0 x
1 cos x
2.lim x0
x2
x sin 2x 3.lim
x0 x sin 2 x
sin5( x a ) 4.lim
xa x a
5.lim x0
1 x
sin
x+x
sin
1 x
6.lim x
1 x
sin
x+x
sin
1 x
二 、lim(1 1 )x e
2
22
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由sin x,cos x的奇偶性知
当0 x ,有 cos x sin x 1
2
x
由夹逼定理得 lim sin x 1 x0 x
我们不难证得: lim x 1
x0 sin x
例1 求 lim sinax (a为 非 零 常 数)
x
x2
x2
例3 求 lim(1 1 )3x .
解
x
lim(1
x
x 1 )3x x
lxim(1
1 x
)
x
3
lxim(1
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
第五节 两个重要极限
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
两个重要的极限
例7 求 解 令 arcsin x t ,则 且 x 0时，t 0
arcsin x lim x 0 x
x sin t
arcsin x t lim lim 1 x 0 t 0 sin t x
(2)
定义
1 x lim (1 ) e x x 1 n lim (1 ) e n n
arccot x 3、 lim __________. x 0 x
4、 lim x cot 3 x __________.
x 0
sin x 5、 lim __________. x 2 x
6、 lim (1 x ) _________.
x 0
1 x
1 x 2x 7、 lim ( ) _________. x x 1 x 8、 lim (1 ) _________. x x
xn 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn 1 1 1 1 n 1 2! n! 2 2 1 3 n 1 3, xn 是有界的; 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n2例5 求 解Fra biblioteklim
x 0
tan x sin x lim x 0 x3
tan x sin x tan x(1 cos x) 1 sin x 1 cos x lim lim ( ) 3 3 2 x 0 x 0 x x cos x x x
1 sin x 1 cos x 1 (lim )( lim )( lim ) 2 x 0 cos x x 0 x 0 x 2 x
sin口 lim （口代表同样的变量 1 口0 口
两个重要极限公式
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
极限存在准则 两个重要极限
2.单调有界准则 单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 ≤ x 2 L ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ L , 单调增加 x1 ≥ x 2 L ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ L , 单调减少
则 准 Ⅱ 单 有 数 必 极 . 调 界 列 有 限
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
末 列 那 数 xn的 限 在 且 极 存 , lim xn = a.
n→∞
n→ ∞
则 ′ 如 当x∈Uδ ( x0 )(或x > M)时 有 或 时 , 准 Ⅰ 果
0
(1) g(x) ≤ f ( x) ≤ h(x), (2) x→x g( x) = A, x→x h( x) = A, lim lim
例1 求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
n 1 1 n , < +L+ < 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼定理得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +L+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
t 原式 = lim t→ sint 0
高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明两个重要极限的证明两个重要极限的证明那么，数列的极限存在，且。
证明:因为，所以对，当时，有，即，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有，即有: ，即，所以。
准则I′如果函数满足下列条件:当时，有。
当时，有。
那么当时，的极限存在，且等于。
第一个重要极限:作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限: 。
证明:作单位圆，如下图: 设为圆心角，并设见图不难发现: ，即: ，即，当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切，有。
又因为，所以而，证毕。
【例1】。
【例2】。
【例3】。
【例4】。
准则?:单调有界数列必有极限如果数列满足: ，就称之为单调增加数列;若满足: ，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。
如果，使得: ，就称数列为有上界;若，使得: ，就称有下界。
准则?′:单调上升，且有上界的数列必有极限。
准则?″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。
注1:由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。
2:准则?，?′，?″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。
第二个重要极限:作为准则?的一个应用，下面来证明极限是不存在的。
先考虑取正整数时的情形: 对于，有不等式: ，即: ，即: 现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。
又令，所以，即对，又对所以{ }是有界的。
由准则?或?′知存在，并使用来表示，即注 1:关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看!2:我们可证明: ，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知: 。
3:指数函数及自然对数中的底就是这个常数。
【例1】【例2】【例3】【例4】二、课堂练习:三、布置作业:。
两个重要极限
§1--4 两个重要极限一、xxx sin lim0→观察当x →0时函数的变化趋势：当x 取正值趋近于0时，x →1，即+→0lim x x=1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()s i n (l i ms i n l i m 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得 1s i n lim 0=→xxx ．1s i n lim0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是00；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →l i m ()[]()x x ϕϕs i n =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1． 例1 求xx x tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例2 求xxx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t tt x x x t x 令．例3 求20cos 1limxxx -→． 解 20cos 1limxxx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以xx x arcsin lim0→=1sin lim 0=→t tt ．例5 求30sin tan limxxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim 2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 二、e xx x =+∞→)11(lim观察当x →+∞时函数的变化趋势：当x 取正值并无限增大时，x x )1(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x)1(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证xx)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x )11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得 xx x)11(lim +∞→=e ． xx x)11(lim +∞→=e 的特点： （１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11l i m ))(11(l i m x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(1)(11l i m1l i m x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101l i m ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx xx )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1． 当x →∞时u →0，于是 x x xx )23(l i m --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→ =])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 x x x c o t)t a n 1(l i m +→=tt t 1)1(lim +→=e ．§1--6 函数的连续性一、 函数在一点的连续所谓“函数连续变化”， 在直观上来看，它的图象是连续不断的，或者说“可以笔尖不离纸面地一笔画成”；从数量上分析，当自变量的变化微小时，函数值的变化也是很微小的．例如，函数（１）g (x )=x +1，（２）f 1(x )=⎩⎨⎧≤->+1,1,1,1x x x x ，（３）f 2(x )=112--x x ，作出它们的图像．（１）函数g (x )=x +1在x =1处有定义，图象在对应于自变量x =1的点处是不间断的或者说是连续的．表现在数量上，g (x )在x =1处的极限与函数值相等，即成立1lim →x g (x )=g (1)．+1（２）函数f 1(x )=⎩⎨⎧≤->+1,1,1,1x x x x 在x =1处有定义，图象在对应于自变量x =1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f 1(x )在x =1处的极限与函数值不等．进一步还可以看出：+→1lim x f 1(x ), -→1lim x f 1(x )存在却不相等，因此1lim →x f 1(x )不存在．（３）函数f 2(x )=112--x x 在x =1处无定义，图象在对应于自变量x =1的点处是间断的或者说是不连续的．表现在数量上，f 2(x )在x =1处的极限与函数值不等．进一步还可以看出： 1lim →x f 2(x )=2虽然存在，但f 2(1)却无意义，所以两者都没有极限与函数值之间的相等关系．定义1 如果函数f (x )在x 0的某一领域内有定义，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，就称函数f (x )在x 0处连续，称x 0为函数f (x )的连续点．例1 研究函数f (x )=x 2+1在x =2处的连续性．解 （１）函数f (x )=x 2+1在x =2的某一领域内有定义．f (2)=5，（２）2lim →x f (x )= 2lim →x (x 2+1)=5，（３）2lim →x f (x )=f (2)．因此，函数f (x )=x 2+1在x =2处连续．注意 从定义1可以看出，函数f (x )在x 0处连续必须同时满足以下三个条件： (1)函数f (x )在x 0的某一领域内有定义； (2)极限0lim x x →f (x )存在；(3)极限值等于函数值，即0lim x x →f (x )=f (x 0)．如果函数y =f (x )的自变量x 由x 0变到x ，我们称差值x -x 0为自变量x 在x 0处的改变量或增量，通常用符号∆x 表示，即∆x =x -x 0．此时相应的函数值由f (x 0)变到f (x )，我们称差值f (x )-f (x 0)为函数y =f (x )在点x 0处的改变量或增量，记作∆y ，即∆y = f (x )-f (x 0)． 由于∆x =x -x 0，所以x =x 0+∆x ，因而∆y = f (x )-f (x 0)=f (x 0+∆x )-f (x 0)．利用增量记号，x →x 0等价于∆x =x -x 0→0，0lim x x →f (x )=f (x 0)等价于0lim xx →[f (x )-f (x 0)]=0，上式又等价于y x ∆∆0lim →=0．定义1' 设函数f (x )在x 0及其附近有定义，如果当自变量x 在x 0处的增量∆x 趋于零时，相应的函数增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)也趋于零，即y x ∆∆0lim →=0，则称函数f (x )在x 0处连续，称x 0为函数f (x )的连续点．连续的直观认识：当自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小．定义2 如果函数y =f (x )在x 0及其左边附近有定义，且-→0lim x x f (x )=f (x 0)，则称函数y =f (x )在x 0处左连续．如果函数y =f (x )在x 0及其右边附近有定义，且+→0lim x x f (x )=f (x 0)，则称函数y =f (x )在x 0处右连续．y =f (x )在x 0处连续 ⇔ y =f (x )在x 0处既左连续又右连续．例2 讨论函数f (x )=22,sin ,,cos 1ππ≥<+x x x x 在x =2π处的连续性．解 （１）f (2π)=1；（２）由于-→2lim πx f (x )=-→2lim πx (1+cos x )=1+cos 2π=1，+→2l i m πx f (x )= +→2lim πx sin x =sin 2π=1，所以 -→2l i m πx f (x )＝+→2lim πx f (x ) 则2x l i m π→f (x ) =1；（３）且2x lim π→f (x ) =f (2π)．因此 f (x )在x =2π处连续．二、 连续函数及其运算１．连续函数定义3 如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点都是连续的，则称函数y =f (x )在开区间(a,b)内连续，或者说y =f (x )是(a ,b )内的连续函数．如果函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上定义，在开区间(a ,b )内连续，且在区间的两个端点x =a 与x =b 处分别是右连续和左连续，即+→ax lim f (x )=f (a )，-→bx lim f (x )=f (b )，则称函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，或者说f (x )是闭区间[a ,b ]上的连续函数． 函数f (x )在它定义域内的每一点都连续，则称f (x )为连续函数． ２．连续函数的运算定理1 如果函数f (x ),g (x )在某一点x =x 0处连续，则f (x )± g (x ), f (x )⋅g (x ),)()(x g x f (g (x 0)≠0) 在点x =x 0处都连续．证明 因为f (x ),g (x )在点x 0处连续，所以l i m x x →f (x )=f (x 0), 0lim xx →g (x )=g (x 0)， 由极限的运算法则，得到l i m x x →[f (x )± g (x )]=0lim x x →f (x )±0lim xx →g (x )=f (x 0) ±g (x 0)． 因此，函数f (x )± g (x )在点x 0处连续．同样可证明后两个结论．注意 和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形．定理2(复合函数的连续性) 设函数u =ϕ(x )在点x 0处连续，y =f (u )在u 0处连续，u 0=ϕ(x 0)，则复合函数y =f [ϕ(x )]在点x 0处连续，即0lim x x →f [ϕ(x )]=f [0lim xx →ϕ(x )]=f [ϕ(x 0)]． 推论 设ax →lim ϕ(x )存在为u 0，函数y =f (u )在u 0处连续，则ax →lim f [ϕ(x )]=f [ax →lim ϕ(x )]．即极限符号“ax →lim ”与连续的函数符号“f ”可交换次序，即可以在函数内求极限．３．初等函数的连续性基本初等函数以及常数函数在其定义区间内是连续的．初等函数在其定义区间内是连续的． 例3 求)2sin(lim 1ππ-→x x ． 解 )2sin(lim 1ππ-→x x =sin(π⋅1-2π)=sin 2π=1． 例4 求ax ax 2arctan 1lim +→． 解 a x ax 2arctan 1lim +→=22221641)4(11arctan 1arctan 1ππ+=+=+=+a a ． 例5 证明()xx x +→1ln lim0=1．证明 ()xx x +→1ln lim 0=()()]1lim ln[1ln lim 1010x x x x x x +=+→→=1．例6 证明xe x x 1lim 0-→=1．证明 令e x -1=t ，则x =ln(1+t )，且x →0时t →0，于是由例5即可得()()11ln 1lim 11ln lim 1lim 000=+=+=-→→→t tt t x e t t x x ．三、 函数的间断点１．间断点的概念如果函数y =f (x )在点x 0处不连续，则称f (x )在x 0处间断，并称x 0为f (x )的间断点． f (x )在x 0处间断有以下三种可能： (1)函数f (x )在x 0处没有定义；(2)f (x )在x 0处有定义，但极限0lim xx →f (x )不存在； (3) f (x )在x 0处有定义，极限0lim x x →f (x )存在，但0lim xx →f (x )≠f (x 0)． 例如，（１）函数f (x )=x1在x =0处无定义，所以x =0是其的间断点； （２）函数f (x )=⎩⎨⎧<+≥0,1,0,2x x x x 在x =0处有定义f (0)=0，但+→0l i m x f (x )=0, -→0lim x f (x )=1，故0l i m →x f (x )不存在，所以x =0是f (x )的间断点；（３）函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--1,1,1,112x x x x 在x =1处有定义f (1)=1，1lim →x f (x )=2极限存在但不等于f (1)，所以x =1是f (x )的间断点．２．间断点的分类设x 0是f (x )的间断点，若f (x )在x 0点的左、右极限都存在，则称x 0为f (x )的第一类间断点；凡不是第一类的间断点都称为第二类间断点．在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点． 函数y =x 1在x =0处间断．因为+→0lim x x 1=+∞, -→0lim x x 1=-∞，所以x =0是y =x1的第二类间断点．例7 讨论函数f (x )=⎩⎨⎧≤≤+-<≤--20,1,02,4x x x x 在x =1与x =0处的连续性．解 （１）因为1lim →x f (x )=1lim →x (-x +1)，而f (1)=0，故1lim →x f (x )=f (1)，因此x =1是f (x )的连续点．（２）因为+→0lim x f (x )=+→0lim x (-x +1)=1，-→0lim x f (x )= -→0lim x (x -4)=-4，则+→0lim x f (x )≠-→0lim x f (x )，所以有 0l i m →x f (x )不存在，因此x =0是f (x )的间断点，且是第一类的跳跃型间断点．例8 讨论函数f (x )=()112--x x x 的连续性，若有间断点，指出其类型． 解 在x =0, x =1处间断．在x =0处，因为0lim →x f (x )=()∞=--→11lim 20x x x x ，所以x =0是f (x )的第二类间断点； 在x =1处，因为1lim →x f (x )=()xx x x x x x 1lim11lim121+=--→→=2，所以x =1是f (x )的第一类可去间断点．四、 闭区间上连续函数的性质定理3(最大值最小值定理) 闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值．几何直观上看，因为闭区间上的连续函数的图像，是包括两端点的一条不间断的曲 线，因此它必定有最高点P 和最低点Q ，P 与Q 的纵坐标正是函数的最大值和最小值． 注意 如果函数仅在开区间(a ,b )或半闭 半开的区间[a ,b ]，(a ,b )内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．例如，（１）函数y =x 在开区间(a ,b )内是连续的，这函数在开区间(a ,b )内就既无最大值，又无最小值．（２）函数f (x )=⎪⎩⎪⎨≤<+-=<.21,3,1,1,1x x x x 在闭区间[0,2]上有间断点x =1，它在闭区间[0,2]上也是既无最大值，又无最小值．定理4(介值定理) 若f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，m 与M 分别是f (x )在闭区间[a ,b ]上的最小值和最大值，u 是介于m与M 之间的任一实数：m ≤u ≤M ，则在[a ,b ]上至少存在一点ξ，使得f (ξ)=u ．介值定理的几何意义：介于两条水平直线y =m 与y =M 之间的任一条直线y =u ，与y =f (x )的图象曲线至少有一个交点．推论(方程实根的存在定理) 若f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a )与f (b )异号，则在(a ,b )内至少有一个根，即至少存在一点ξ，使f (ξ)=0． 推论的几何意义：一条连续曲线，若其上的点的纵坐标由负值变到正值或由正值变到负值时，则曲线至少要穿过x 轴一次．使f (x )=0的点称为函数y =f (x )的零点．如果x =ξ是函数f (x )的零点，即f (ξ)=0，那么x =ξ就是方程f (x )=0的一个实根；反之方程f (x )=0的一个实根x =ξ就是函数f (x )的一个零点．因 此，求方程f (x )=0的实根与求函数f (x )的零点是一回事．正因为如此，定理4的推论通常称为方程根的存在定理．例9 证明方程x =cos x 在(0,2π)内至少有一个实根．证明 x -cos x =0． 令 f (x )=x -cos x , 0≤x ≤2π，则 f (x )在[0,2π]上连续，且f (0)=-1, f (2π)=2π>0．由根的存在定理，在(0,2π)内至少有一点ξ，使f (ξ)=ξ-cos ξ=0，f即方程x =cos x 在(0,2π)内至少有一个实根．(1)若f (x )在x 0处连续，则0lim xx →f (x )存在． (2)若0lim xx →f (x )=A ，则f (x )在x 0处连续． (3)初等函数在其定义域内连续．(4)设y =f (x )在[a ,b ]上连续，则y =f (x )在[a ,b ]上可取到最大值和最小值．。
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=
=e
例题4求
解： =
= =
=
例题5求
解： = = = =
练习：求
教学步骤及教学内容
时间分配
四，课堂练习
五，课堂小结
1.第一个重要极限：
2．第二个重要极限：
作业布置
课后反思
准则1如果数列 及 满足下列条件：
（1） ，（2）
那么数列 的极限存在，且 。
准则2单调有界数列必有极限
例 求
解：
而
所以原式极限为1。
二．新课讲解
1.第一个重要极限：
教学步骤及教学内容
时间分配
注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型的极限。
（2）公式形象的记为： （）表示同一个代数式
2．第二个重要极限：
授课课题
两个重要极限
教学
目标和要求
掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，
掌握利用两个重要极限求极限的方法
教学
重点和难点
利用两个重要极限求极限
特别是利用第二重要极限求极限的方法
教学方法
案例分析法
教学手段
板书
授课时间
第3周
课时累计
1-2
教 学 过 程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，新课引入
1.下面我们来介绍极限存在的两个准则：
也可以写为：
注：（1）公式形象记忆为：
（2）此极限主要解决 型幂指函数的极限。
三．例题讲解
例1（1）求
解：原式= = =1
（2）求
解：原式= = =练习来自求例2（1）求 （2）
解：(1)原式
（2）令arcsinx=t,则x=sint，当 时， 。
所以 = =1
练习：
教学步骤及教学内容
时间分配
例题3求