江苏高一数学基本初等函数中的零点问题分析含答案
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
f
x
mx
m
2 3
有四个解，即直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，
因为直线
y
mx
m
2 3
过定点
1,
2 3
，
在同一直角坐标系中作出直线 y mx m 2 与函数 f x 的图象，如下图所示，
3
当直线
y
mx
m
2 3
过原点时，
m
2 3
；
当直线
y
mx
m
2 3
与函数
y
ln
x
1
,
x
0
的图象相切时，
4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点. （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫. （3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
专题 08 函数零点问题面面观 【热点聚焦与扩展】
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助 于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1） 零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4） 根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或 与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识：
2024年新高一数学初升高衔接《函数的零点与方程的解》含答案解析
第18讲 函数的零点与方程的解模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2．会求函数的零点；3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.知识点 1 函数的零点1、函数零点的概念：对于一般函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．【要点辨析】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；（2）函数的零点也就是函数()=y f x 的图象与轴交点的横坐标；（3）函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数根．2、函数的零点与方程的解的关系函数()=y f x 的零点就是方程()0f x =的实数解，也就是函数()=y f x 的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程()0=f x 有实数根函数()=y f x 的图象与x 轴有交点函数()=y f x有零点．x ⇔⇔知识点 2 函数零点存在定理1、函数零点存在定理如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，那么，函数()=y f x 在区间().a b 内至少有一个零点，即存在().∈c a b ，使得()0=f c ，这个c 也就是方程()0=f x 的解．【要点辨析】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的．2、函数零点存在定理的几何意义在闭区间[],a b 上有连续不断的曲线()=y f x ，且曲线的起始点(,())a f a 与终点(,())b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点．3、函数零点存在定理的重要推论（1）推论1：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，()()0⋅<f a f b ，且()f x 具有单调性，则函数()f x 在区间().a b 内只有一个零点．（2）推论2：函数()f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数()f x 在区间().a b 内有零点，且函数()f x 具有单调性，则()()0⋅<f a f b ．知识点 3 函数零点常用方法技巧1、零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令()0=f x ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0⋅<f a f b ，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数．②两个函数图象：将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()()()0=⇔=f x h x g x ，则函数()f x 的零点个数就是函数()=y h x 和()=y g x 的图象的交点个数．（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．2、判断函数零点所在区间的步骤第一步：将区间端点代入函数求函数的值；第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
函数零点高中数学解题方法含详解
【分析】
分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，由 可得 ，即函数 有零点；
B选项，由 得 ，即函数 有零点；
C选项，由 解得， 不存在，即函数 没有零点；
D选项，由 解得 或 ，即函数 有零点.
故选：C.
6．A
【分析】
直接令 ，求方程的实数根，确定零点个数.
【详解】
令 ，解得： 或 ，
故选：C
8．D
【分析】
由已知，根据奇函数的对称性有(－∞,0)上也有1009个零点，由奇函数在R上有定义即f(0)＝0，即可知零点的总个数.
【详解】
∵f(x)为奇函数且在(0,＋∞)内有1009个零点，
∴在(－∞,0)上也有1009个零点，
又∵f(0)＝0，
∴共有2018＋1＝2019(个)零点．
故选：D
故选：C
2．C
【分析】
根据函数的零点存在性定理即可求解.
【详解】
因为函数 的图象是连续的曲线，
且 ， ，
所以 ，
根据零点存在性定理可得函数 必定存在零点位于区间 ，
故方程 必存在有根的一个区间是 ，
故选：C.
3．B
【分析】
令 ，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
令 ，则f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若 在 上有零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
题目是让我们找零点所在的一个区间，注意是一个区间，意味着只要找到一个，问题就解决，利用零点存在定理即可判断.
2020届高考数学江苏省二轮课件：第14讲 函数的零点问题
∴f(x)=1 a 和f(x)= a-1共有5个零点.
2
2
a
①
0
2
1 1, a-1 2
f (x)有3个零点,
解得1<a<3.
1, f (x)有2个零点,
a-1
② 2
0
a
1,
1 2
1,
无解.
综上,a的取值范围是(1,3).
4.若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m所组成的集
4
因为
x1 x1x2
x2
1 2
k 2 0,
0,
所以0<x1<x2,
所以f '(x)≥0的解集为 0, k-
k
2
-8
∪
k
4
k 4
2
-8
,
,
故函数f(x)的单调递增区间为 0, k-
k
2
-8
和
k
4
如果x<a, f(x)=x3+3x-4a=0,即函数y=x3与y=-3x+4a的图象在(-∞,0)上有交点,由 图象可知不存在.
(2)当a<0时, 如果x≥a, f(x)=x3-3x+2a=0,即函数y=x3与y=3x-2a在(-∞,0)上有交点,如图,两图 象相切时,y'=3x2=3,x=-1,切点为(-1,-1),代入y=3x-2a,得a=-1, 所以,当-1≤a<0时,在x<0且x≥a处有交点,即存在x0<0,使得f(x0)=0.
高一数学必修一函数零点试题及解析
中能用二分法求出函数零点的函数个数为()A．4B．3C．2D．1答案：A解析：画出四个函数的图象，它们都存在区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，因此，都可以用二分法求零点．4．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)答案：B解析：f(1)＝ln2－2<0f(2)ln3－1>0∴f(x)的零点所在区间是(1,2) 5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是()A．h2>h1>h4B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4D．h2>h4>h1答案：A解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B、C、D.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则每件产品的平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案：B解析：若每批生产x件产品，则平均每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元．因为y＝＋＝2＋20≥20，当＝，即x＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．二、填空题(每小题5分，共15分)7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A件产品用时15min，所以＝15①；所以必有4<A，且＝＝30②，联立①②解得c＝60，A＝16.8．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.答案：1解析：画出函数y＝x3和y＝x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x0<2，所以n＝1.9．若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．答案：解析：由题意可知k≠0，∵＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝，(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，y＝(3000＋60x)(10－x)－160(100－x)－60x，其中，x∈[0,100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3100x＋284000＝－602＋.当x＝26时，y max＝324040，即最大月收益为324040元．此时，月租金为3000＋60×26＝4560(元)．。
苏教版数学高一- 数学苏教必修一练习3.4.1.2函数的零点
双基达标(限时15分钟)1．函数f(x)＝x3＋x的零点是________．解析函数y＝f(x)的零点即为方程x3＋x＝0的解，即为x＝0. 答案02．函数f(x)＝1－x21＋x2的零点是________．解析函数f(x)＝1－x21＋x2的零点即为方程1－x21＋x2＝0的根，即为1或－1.答案1或－13．函数f(x)＝log2(x2－4x＋5)的零点为________．解析所求零点即为方程log2(x2－4x＋5)＝0的解，即为方程x2－4x＋5＝1的解，解得x＝2.答案 24．判断函数f(x)＝x2－(2a＋2)x＋2a＋5(其中a＞2)在区间(1,3)内是否有零点，结论是________(填“有”或填“没有”)．解析因为x＝1时，(－1)2－(2a＋2)(－1)＋2a＋5＝4a＋8＞0，x＝3时32－3(2a＋2)＋2a＋5＝8－4a＜0，且函数f(x)的图象在[1,3]内是不间断的，所以函数f(x)在区间(1,3)内存在零点．答案有5．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．解析由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.答案(1，＋∞)6．已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．解函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)上，即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)上，一个在(1,2)上，根据图象列出不等式组⎩⎨⎧ f (－1)＝2＞0f (0)＝2m ＋1＜0f (1)＝4m ＋2＜0f (2)＝6m ＋5＞0，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜－12m ＞－56，∴－56＜m ＜－12.∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．综合提高 (限时30分钟)7．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析 偶函数图象关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案 08．已知函数f (x )的图象连续不间断，有如下的x ，f (x )对应值表：解析 利用函数y ＝f (x )零点存在性的判定定理，结合列表可知，存在零点的区间为(2,3)，(3,4)，(4,5)．答案 (2,3)，(3,4)，(4,5)9．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.答案 (1，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0log 2x ，x ＞0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0的解即为方程f (x )＝0或f (x )＝a 的解，而函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图象可知，方程f (x )＝0只有一解1，而原方程有三解，所以方程f (x )＝a 有两个不为1的相异的根，即0＜a ≤1，所以所求范围是{a |0＜a ≤1}．答案 {a |0＜a ≤1}11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．解 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0，g (4)<0，或⎩⎨⎧m <0，g (4)>0，即⎩⎨⎧ m ＞0，26m ＋38＜0，或⎩⎨⎧m ＜0，26m ＋38＞0，解得－1913<m <0.12．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝ln x ＋2x －6，试判断函数f (x )的零点个数．解 法一 ∵函数f (x )为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x ＋2x －6.∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝ln(－x )－2x －6即－f (x )＝ln(－x )－2x －6，∴f (x )＝－ln(－x )＋2x ＋6，∴函数f (x )的解析式为： f (x )＝⎩⎨⎧ ln x ＋2x －6 (x ＞0)0 (x ＝0)－ln (－x )＋2x ＋6 (x ＜0).易得函数f (x )有3个零点． 法二 当x ＞0时，在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象，由图象的对称性以及奇函数性质可知，函数f (x )在R 上有3个零点．13．(创新拓展)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b .求证：(1)a >0且－3<b a <－34；(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.证明 (1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0.又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c . ①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a 2<0，∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点． ②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a 2<0且f (2)＝a －c >0，∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点． 综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．(3)∵x 1，x 2是函数f (x )上的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a .∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－b a )2－4(－32－b a ) ＝(b a ＋2)2＋2. ∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574.。
苏教版数学高一必修1试题 3.4.1函数的零点
3.4.1 函数的零点一、填空题1．已知函数f(x)＝x2－mx－m2，则f(x)零点的个数有________．【解析】由Δ＝5m2≥0知，f(x)有一个或两个零点．【答案】一个或两个2．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是________．【解析】由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx(x＋12)，由g(x)＝0得x＝0或x＝－1 2.∴g(x)的零点是0和－12.【答案】0和－1 23．函数f(x)＝(x－1)ln xx－3的零点有________个．【解析】由f(x)＝(x－1)ln xx－3＝0，得x＝1，∴f(x)只有一个零点．【答案】 14．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：(1)在(－2，－1)内有实数根；(2)在(－1,0)内有实数根；(3)在(1,2)内没有实数根；(4)在(－∞，＋∞)内没有实数根，其中正确的序号是________．【解析】设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有实数根，即(1)，(2)正确．【答案】(1)，(2)5．若a＋b＋c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)必有一个零点是________．【解析】∵a＋b＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0必有一个根为x＝1.即二次函数y＝ax2＋bx＋c必有一个零点是1.【答案】 16．函数f(x)＝kx＋2在区间[－2,2]上存在零点，则实数k的取值范围________．【解析】∵f(x)＝kx＋2在区间[－2,2]上存在零点，∴f(－2)·f(2)≤0，∴(－2k＋2)·(2k＋2)≤0，∴k≥1或k≤－1.【答案】k≥1或k≤－17．已知方程a x＝x＋a(a>0且a≠1)有两解，则a的取值范围为________．【解析】如图，当0<a<1时，y＝a x与y＝x＋a的图象只有一个交点，当a>1时y＝a x与y＝x＋a的图象必存在两个交点，故a>1.【答案】(1，＋∞)8．(2013·扬州高一检测)方程log3x＋x＝3的解在区间(n，n＋1)内，n∈N*，则n＝________.【解析】令f(x)＝log3x＋x－3，∵f(2)＝log32＋2－3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在区间(2,3)内有零点．即方程log3x＋x＝3的解在区间(2,3)内．∴n＝2.【答案】 2二、解答题9．求函数f(x)＝x log2(x－2)＋3的零点的个数．【解】f(x)的定义域为(2，＋∞), 在(2，＋∞)内f(x)为增函数．因为f(218)＝178log218＋3＝－518＋3＝－278<0，f(4)＝4log22＋3＝7>0，f(218)·f(4)<0，所以f(x)在(218，4)内有一个零点．又因为f(x)是单调函数，所以只有一个零点．10．试讨论函数y＝mx2＋3x－1零点的个数．【解】(1)当m＝0时，函数y＝3x－1为一次函数，它有一个零点为13.(2)当m≠0时，函数y＝mx2＋3x－1为二次函数，①当Δ＝9＋4m>0，即m>－94且m≠0时，函数有两个零点．②当Δ＝9＋4m＝0，即m＝－94时，函数有一个零点．③当Δ＝9＋4m<0，即m<－94时，函数无零点．综上，当m >－94且m ≠0时，函数有两个零点；当m ＝0或m ＝－94时，函数有一个零点；当m <－94时，函数无零点．11．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)试讨论当m 取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；(2)若这个二次函数有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2的倒数和为23，求二次函数的解析式．【解】 (1)记二次函数对应的方程为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0， 则Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3)＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0，∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根，即不论m 取何值，这个二次函数必有两个零点．(2)依题意，x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2(m －1)，x 1x 2＝m 2－2m －3.又1x 1＋1x 2＝23，即x 1＋x 2x 1x 2＝23， ∴2(m －1)m 2－2m －3＝23，① 解之得m ＝0或m ＝5.经检验m ＝0或m ＝5都是方程①的解．故所求二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3或y ＝x 2－8x ＋12.。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）1) 对于函数 y=f(x)，将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。
2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线，则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
例如，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。
分析：显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数，且 f(1)0，所以由根的存在性定理可知，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2)，选 B。
二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
高中数学苏教版必修1 3.4.1第一课时 函数的零点 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0.答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22， 故f (x )的零点是1－22，1＋22. 答案：1±222.若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；②若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；③若f (a )·f (b )＞0, 不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；④若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f (x )＝0的根；(2)求a ，b ，c 的值．解：(1)方程f (x )＝0的根是x 1＝－3，x 2＝－1.(2)设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a (0＋3)(0＋1)，∴a ＝－1，∴f (x )＝－(x ＋3)(x ＋1)＝－x 2－4x －3.所求a ＝－1，b ＝－4，c ＝－3.4.(1)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；(2)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，∴f (1)＜0，即m ＜－214. (2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275，∴－275＜m ＜－214.。
2019江苏高考压轴题(中篇)专题02.09 函数的零点问题1~
题型02.109 函数的零点问题1一、问题概述此部分问题是一个考察学生综合素养的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等重要思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到积极的作用．近几年函数的零点问题主要涉及到：1、函数方程（函数零点）的求解与零点区间的判断，需要通过函数的单调性和零点存在性定理来确定（例题3）；2、函数零点的个数问题，通常是讨论单调性和极值，借助函数的单调性、图像、零点存在性定理来确定零点的个数；3、已知函数的零点情况，求解参数及取值范围问题，通常利用零点存在性定理或转化为函数图像交点问题处理（例题1、例题2）． 二、释疑拓展1．已知函数)(2ln )(2R k kx x x x f ∈-+=．（1）讨论f (x)的单调性；（2）若)(x f 存在极值，求)(x f 的零点个数．2．【扬州市2018届高三第一学期期末调研.19题】 已知函数（1）若，且函数)(x g 的图像是函数图像的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．3．【苏北四市2017届高三第一学期期中调研.19题】设函数f （x ）＝lnx ﹣ax 2+ax ，a 为正实数．（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求证：f （a1）≤0； （3）若函数f （x ）有且只有1个零点，求a 的值．4．【泰州市2016届高三第一学期期末调研.20题】 已知函数()4212f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-． （1）若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；（2）若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通市2017届高三第一次学情调研.19题】 已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点； （3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．2．【无锡市2015届高三第一学情期末调研.20题】设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.（1）求实数a 及0x 的值； （2）求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.3．【镇江市2018届高三第一学期期末调研.19题】已知 b ＞0，且b ≠ 1，函数 f (x ) = e x + b x ，其中e 为自然对数的底数： （1）如果函数 f (x ) 为偶函数，求实数b 的值，并求此时函数的最小值；（2）对满足b ＞0，且 b ≠ 1的任意实数b ，证明函数y = f (x )的图像经过唯一定点； （3）如果关于x 的方程 f (x ) = 2 有且只有一个解，求实数 b 的取值范围．二、释疑拓展1、【解】（1）函数的定义域为（0，+∞），xkx x x f 1)(2+-='，方程012=+-kx x 的判别式△=42-x ，（i ）当-2＜k ＜2时，△＜0，在f (x )的定义域内f ′(x )＞0，f (x )是增函数；（ii ）当k ＝±2时，△=0， 若k ＝-2，0)1()(2>+='xx x f ，f (x )是增函数若k ＝2，xx x f 2)1()(-='，那么x ∈(0,1)∪(1,+∞)时，f ′(x )＞0，且f (x )在x ＝1处连续，所以f (x )是增函数；（iii ）当k ＜-2或k ＞2时，△＞0，方程x 2-kx +1＝0有两不等实根2421--=k k x ，2422-+=k k x 当k ＜-2时，x 1＜x 2＜0，当x ＞0时，x 2-kx +1＞0恒成立，即f ′(x )＞0，f (x )是增函数当k ＞2时，x 2＞x 1＞0，此时f (x )的单调性如下表：x （0，x1 ）x1 （x1，x ）x2 （x2，+∞）f′（x ）+-0 +f （x ） 增减增综上：当k ≤2时，f (x )在（0，+∞）是增函数当k ＞2时，f (x )在)24,0(2--k k ，)24(2∞+--，k k 是增函数，在)2424(22-+--k k k k ，是减函数（2）由（1）知当k ＞2时，f （x ）有极值∵124224221<<-+=--=kk k k k x∴1ln x ＜0，且)()(1x f x f =极大值02)4(11<-=x x ∵f (x )在（0，x 1 ）是增函数，在（x 1，x 2）是减函数，∴当x ∈（0，x 2]时，f (x )≤f （x 1）＜0，即f (x )在（0，x 2]无零点，当x ∈（x 2，+∞）时，f (x )是增函数，故f (x )在（x 2，+∞）至多有一个零点， 另一方面，∵f (2k )=ln (2k)＞0，f （x 2）＜0，则f （x 2）f (2k )＜0， 由零点定理：f (x )在（x 2，2k ）至少有一个零点， ∴f (x )在（x 2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f (x )存在极值时，f (x )有且只有一个零点．2、【解】：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-， 设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x f x e =得切线方程是000()x x y ee x x -=-此直线过点(1,0)-，故0000(1)x x e e x -=--，解得00x =， 所以'(0)1a f ==（2）由题意得2,(0,)x m e x x <-∈+∞恒成立，令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞，则'()2x m x e x =-，再令()'()2x n x m x e x ==-，则'()2x n x e =-， 故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减； 当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增， 从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->， 所以()m x 在(0,)+∞上单调递增， 所以(0)m m ≤，即1m ≤ 注：漏掉等号的扣2分（3）若0a <，()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增， 故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >， 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点。
江苏省徐州市第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
江苏省徐州市第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（ ）A ．当1k >，有1个零点B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx =对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确； 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．2．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个 【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.3．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.4．设函数2,0()12,02x e xf x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，对关于x 的方程2()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．A ．当223b =-+时，方程有1个实根B ．当32b =时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则17210b <≤ D ．若方程有6个不等实根，则32232b -+<< 【答案】BD 【分析】先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】函数()22,0,0()132,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩，作图如下：由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，令()f x t =，则3,2t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，则方程转化为220b bt t +-=-，即222()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭选项A 中，223b =-+时方程为(22234230t t -+-=+，即(2310t +=，故31t =-，即131,12()f x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭=，看图知存在三个根，使得()31f x =-，故A错误； 选项B 中，32b =，方程即231022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1()2f x t ==时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122bt t ==，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2204b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-±，均不满足上面范围，舍去；（2）12t t ≠时，即(]123,,02t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭，解得1710b =，由123210t t b =-=，得(]21,05t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤∈∈⎥⎥⎝⎦⎝⎦且12t t ≠，222()2422b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭+-=+-图象如下：需满足：()2193024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.故选：BD.【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于对方程2()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.5．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．6．已知函数()()2214sin 2xxex f x e -=+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，()()222114sin =2cos 2xx xx e x e f x x e e-+=+-，定义域为R ，关于原点对称，()2211=2cos()2cos()()x x x xe ef x x x f x e e --++---=-=，()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1()2sin xxf x e x e '=-+， 11()2sin()=(2sin )()x xx xf x e x e x f x e e --''-=-+---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1()2sin xxg x e x e =-+， 则1()+2cos 2+2cos 0x xg x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1()2sin x x f x e x e'=-+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又(0)0f '=，π,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()y f x ∴=在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；对D ，()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.故选：AD. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.7．已知()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()1a <的实根个数可能为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令12t x x =+-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，判断出实根个数构成的集合. 【详解】画出()f x 的图像如图所示，令12t x x=+-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5t t =-=，由()2221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()22201t t --+=≥，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或405t <<或32t <<+合12t x x =+-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，405t <<或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或22t =+，0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合12t x x=+-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有2个实数根.综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.8．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．1212()()f x f x x x --＞0D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()12120f x f x x x -∴->，故C 正确；对于D ，()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知1122lg 22x x x x f +⎛⎫> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()()221121lg lg lg 222f x f x x x x x +===+()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即21lg lg 2x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．二、导数及其应用多选题9．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m em -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10tF t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-， 所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.10．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.。
【金版学案】高一苏教版数学必修1练习：2.5.1函数的零点 Word版含答案[ 高考]
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1．函数零点的概念．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．例如：y ＝2x ＋1的函数图象与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0 ，有一个零点是－12． 二次函数y ＝x 2－x －2函数图象与x 轴的交点为(－1，0)，(2，0) ，有两个零点是－1与2．2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．例如：已知函数f (x )的零点为x ＝3，则方程f (x )＝0的实数根为x ＝3，亦即函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标为3．3．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 4．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内有零点．例如：二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：f (－2) ·f (1)＜0(填“＜”或“＞”)．在区间(－2，1)上有零点．5．零点是“数”，而不是“点”，如函数f (x )＝3x －2的零点是23，而不是⎝⎛⎭⎫23，0.,一、二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 结合二次函数的图象及零点的定义可知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点就是相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，也是相应不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)的解集的端点．二、零点的存在性的判断1．判断方程在某区间内是否有解，主要依据有两点，一是该方程相应的函数在区间内是否连续；二是在区间端点处函数值是否异号．即连续函数在区间端点处函数值异号，则相应方程在区间内一定有解，如若同号，则无法确定是否有解．2．若f (x )满足零点存在定理， 只能说明f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，不能具体判断零点的个数．3．零点存在定理的逆定理不成立，即若f (x )在(a ，b )上有零点，不一定有f (a )f (b )<0.如f (x )＝x 2－1在(－2，2)上有零点，1和－1，但f (－2)f (2)＝9>0.基础巩固1．若x 0是方程lg x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间(D ) A ．(0，1) B ．(1，1.25)C ．(1.25，1.75)D ．(1.75，2)解析：设f (x )＝lg x ＋x －2，则f (1.75)＝f ⎝⎛⎭⎫74＝lg 74－14<0，f (2)＝lg 2>0. 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为(C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：x ≤0时由x 2＋2x －3＝0⇒x ＝－3；x >0时由－2＋ln x ＝0⇒x ＝e 2. 3．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则(A ) A ．f (m －1)>0 B ．f (m －1)<0 C ．f (m －1)＝0D ．f (m －1)与0的大小不能确定解析：结合图象易判断．4．(2014·北京卷)f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是(C )A ．(0，1) B. (1，2) C. (2，4) D ．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f (x )在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－0＝6＞0，f (2)＝3－1＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2，4)上必存在零点．5．函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的零点是________．解析：由4x －2x ＋1－3＝0⇒(2x ＋1)(2x －3)＝0⇒2x ＝3，∴x ＝log 23. 答案：log 23 6．函数f (x )＝(x －1)(x 2－3x ＋1)的零点是________________________________________________________________________．解析：利用定义可求解．答案：1，3±527．若函数y ＝x 2－ax ＋2有一个零点为1，则a 等于________．解析：由零点定义可求解． 答案：38．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点为x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈N *)，则n ＝________．解析：根据f (2)＝log a 2＋2－b <log a a ＋2－3＝0， f (3)＝log a 3＋3－b >log a a ＋3－4＝0，∴x 0∈(2，3)，故n ＝2. 答案：29．证明：方程x ·2x ＝1至少有一个小于1的正根． 证明：令f (x )＝x ·2x －1，则f (x )在区间(－∞，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线．当x ＝0时，f (x )＝－1<0.当x ＝1时，f (x )＝1>0.f (0)·f (1)<0，故在(0，1)内至少有一个x 0，当x ＝x 0时，f (x )＝0.即至少有一个x 0，满足0<x 0<1，且f (x 0)＝0，故方程x ·2x ＝1至少有一个小于1的正根．10．求函数y ＝(x 2－x )2＋32(x －x 2)＋60的零点解析：由(x 2－x )2＋32(x －x 2)＋60＝0得(x 2－x －2)(x 2－x －30)＝0⇒x 2－x －2＝0或x 2－x －30＝0，由x 2－x －2＝0得x ＝－1或2，由x 2－x －30＝0得x ＝－5或6，∴原函数的零点为－1，2，－5，6..能力提升11．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )的定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数是(C)A ．2个B ．奇数个C ．偶数个D ．至多2个 解析：由函数零点存在性判定定理并结合图象可得． 12．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中，分别作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a ＞0，即a 2－10a ＋9＞0. 解得a ＜1或a ＞9.又由图象得a ＞0，∴0＜a ＜或a ＞9.答案：(0，1)∪(9，＋∞)13．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则函数所有零点之和是________．解析：由偶函数图象对称性的特点，结合函数零点的定义可得． 答案：0 14．(2013·天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________．解析：由2x |log 0.5x |－1＝0⇒|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，画出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，可知它们有两个交点．答案：2个15．求证：函数f (x )＝2x －2－xx ＋1在(0，1)内有且只有一个零点．证明：f (x )＝2x －2－x x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1(x ≠1)．设－1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1＝2x 1－2x 2＋3（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.∵－1＜x 1＜x 2，∴2x 1－2x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0. ∴2x 1－2x 2＋3（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数． 而f (0)＝20－2＝－1<0，f (1)＝21－12＝32>0，即f (0)·f (1)<0.所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点且只有一个零点．16．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，试判断f (x 1)和f (x 2)的符号．解析：由2x ＋11－x ＝0⇒2x ＝1x －1，分别画出g (x )＝2x 和h (x )＝1x －1的图象，可见当x 1∈(1，x 0)时，h (x 1)>g (x 1)，∴f (x 1)＝g (x 1)－h (x 1)<0；当x 2∈(x 0，＋∞)时，g (x 2)>h (x 2)，∴f (x 2)＝g (x 2)－h (x 2)>0.故f (x 1)为负数，f (x 2)为正数．17．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a 的取值范围．解析：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，由已知：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a >0，a <0，3－5＋a <0，27－15＋a >0，解得：－12<a <0.∴a 的取值范围是{a |－12＜a ＜0}．18．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点．已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解析：(1)因为a ＝1，b ＝－2，所以f (x )＝x 2－x －3.所以x 2－x －3＝x ，解得f (x )的不动点为－1，3.(2)函数f (x )恒有两个相异的不动点，则函数f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＋(b －1)＝0(a ≠0)有两个零点．则Δ1＝b 2－4a (b －1)>0(b ∈R )恒成立，即b 2－4ab ＋4a >0(b ∈R )．∴Δ2＝16a 2－16a <0，解得0<a <1.故当b ∈R ，函数f (x )恒有两个相异的不动点时，a 的取值范围为{a |0<a <1}．。
2019-2020年数学·必修1(苏教版)习题：第3章3.4-3.4.1第1课时函数的零点 Word版含解析
第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时 函数的零点A 级 基础巩固1．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( )A ．方程f (x )＝0一定有实数解B ．方程f (x )＝0一定无实数解C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1，3)上有实数解．答案：D2．函数f (x )＝⎩⎨⎧x2＋2x －3，x≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：x ≤0时由x 2＋2x －3＝0⇒x ＝－3；x >0时由－2＋ln x ＝0⇒x ＝e 2. 答案：C3．方程2x －x 2＝0的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系画出函数y ＝2x ，及y ＝x 2的图象略，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.答案：C4．根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间是( )A.(－1，0) B．解析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，所以f(1)·f(2)＜0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．答案：C5．(2014·北京卷)f(x)＝6 x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0，1) B. (1，2)C. (2，4) D．(4，＋∞)解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝64－log24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．答案：C6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点构成的集合是________．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0解得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：{－5，1，2}7．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于____ ____．解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：08．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．解析：由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.答案：(－∞，1)9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：因为函数f(x)＝ax－b的一个零点是3，所以x＝3是方程ax－b＝0的根．所以b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.答案：0，－110．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．解析：令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，因为f(2)＝ln 2＋2－4＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在(2，3)内有解．所以k＝2.答案：211．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示，函数的图象有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．12．函数f(x)＝x3－3x＋2.(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x ＋2)．(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2.所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2，1)∪(1，＋∞)．B级能力提升13．函数y＝lg x－9x的零点所在的大致区间是( ) A．(6，7) B．(7，8)C．(8，9) D．(9，10)解析：因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0.所以y＝lg x－9x在区间(9，10)上有零点．答案：D14．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则实数a的值为________．解析：依题意可得，方程2a＝|x－a|－1只有一解，则方程|x－a|＝2a＋1只有一解．所以2a ＋1＝0.所以a ＝－12. 答案：－1215．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，试求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点．解：函数f (x )＝x 2－ax －b 的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3. 再由根与系数的关系得a ＝5，b ＝－6，所以g (x )＝－6x 2－5x －1，易求得函数g (x )的零点为－12，－13.16．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a 的取值范围．解：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，由已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （0）<0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a>0，a<0，3－5＋a<0，27－15＋a>0，解得－12<a <0.所以a 的取值范围是{a |－12＜a ＜0}．17．求证：函数f (x )＝2x －2－xx ＋1在(0，1)内有且只有一个零点．证明：f (x )＝2x －2－x x ＋1＝2x ＋1－3x ＋1(x ≠1)．设－1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－3x1＋1－2x 2＋3x2＋1＝2x 1－2x 2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为－1＜x 1＜x 2，所以2x 1－2x 2＜0，x 1－x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0.所以2x 1－2x 2＋3（x1－x2）（x1＋1）（x2＋1）＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．又f (0)＝20－2＝－1<0，f (1)＝21－12＝32>0，即f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在区间(0，1)内有零点且只有一个零点．18.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1，4]．(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点？解：(1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1，4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4，5]．(2)因为函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．所以方程f (x )＝－m 在x ∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，所以0≤m ＜4.所以当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点， 故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点．。
高中数学苏教版必修1 3.4.1第一课时 函数的零点 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.函数y ＝x －1x的零点是________． 解析：令y ＝x －1x ＝0，得x 2－1x＝0， ∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.答案：1，－12.若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0，1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＜0f （1）＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜01＋b ＞0， ∴－1＜b ＜0.答案：(－1，0)3.若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：令x 2＋2x ＋a ＝0，由Δ＜0，即22－4a ＜0，解得a ＞1，所以a ＞1时，方程f (x )＝0无解，即函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点．答案：a ＞14.方程x 2＋x ＋1－a ＝0有两个异号的实根，则a 应满足的条件是________．解析：Δ>0且x 1x 2<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4（1－a ）>01－a <0，∴a >1. 答案：a >15.已知方程x 2＋x ＋4－2m ＝0的两实根α，β满足α<2<β，则m 的取值范围是________． 解析：∵(α－2)(β－2)＝αβ－2(α＋β)＋4＝(4－2m )＋2＋4＝10－2m <0，∴m >5，又Δ＝1－4(4－2m )>0，m >158，综合得m >5. 答案：m >56.已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于________．解析：偶函数关于y 轴对称，故函数f (x )与x 轴4个交点所形成的零点之和为0. 答案：0二、解答题7.求下列函数的零点．(1)f (x )＝2x －1；(2)f (x )＝2x 2＋4x ＋2；(3)f (x )＝x 3－2x 2－3x ；(4)f (x )＝x 3－4x 2＋4x －1.解：(1)令f (x )＝0，即2x －1＝0，2x ＝1，∴x ＝0，∴f (x )有一个零点0.(2)令f (x )＝0，即2x 2＋4x ＋2＝0，x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－1，∴f (x )有一个零点－1.(3)令f (x )＝0，即x 3－2x 2－3x ＝0，x (x 2－2x －3)＝0，x (x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝3，∴f (x )有三个零点－1，0，3.(4)令f (x )＝0，即x 3－4x 2＋4x －1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－4x (x －1)＝(x －1)(x 2－3x ＋1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝3＋52，x 3＝3－52， ∴f (x )有三个零点1，3＋52，3－52. 8.求函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 的零点的个数．解：因为f (3)＝ln 2＋0.03＞0，f (1.5)＝－ln 2＋0.015＜0，所以f (3)·f (1.5)＜0，说明函数f (x )＝ln (x －1)＋0.01x 在区间(1.5，3)内有零点．又y ＝ln (x －1)与y ＝0.01x 在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．[高考水平训练]一、填空题1.已知f (x )是二次函数，当x ＝1时有最大值1，f (0)＝－1，则f (x )的零点为________． 解析：设f (x )＝a (x －1)2＋1(a <0)．由f (0)＝－1，得a (0－1)2＋1＝－1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －1)2＋1，由f (x )＝0，得－2(x －1)2＋1＝0，即(x －1)2＝12，∴x 1＝1－22，x 2＝1＋22， 故f (x )的零点是1－22，1＋22. 答案：1±222.若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是________(填序号)．①若f (a )·f (b )＜0，不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；②若f (a )·f (b )＜0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；③若f (a )·f (b )＞0, 不存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0；④若f (a )·f (b )＞0，有可能存在实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.解析：由零点存在性定理可知①不正确；②可通过反例f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＜0，但其存在三个零点：－1，0，1；③可通过反例f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)·f (2)＞0，但其存在两个零点：－1，1.答案：④二、解答题3.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示．(1)写出方程f (x )＝0的根；(2)求a ，b ，c 的值．解：(1)方程f (x )＝0的根是x 1＝－3，x 2＝－1.(2)设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)，将点(0，－3)代入得－3＝a (0＋3)(0＋1)，∴a ＝－1，∴f (x )＝－(x ＋3)(x ＋1)＝－x 2－4x －3. 所求a ＝－1，b ＝－4，c ＝－3.4.(1)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；(2)关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，分别在(0，1)和(3，4)之间，求m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，∵对应抛物线开口向上，又方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，∴f (1)＜0，即m ＜－214. (2)令f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，由图知，原命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （3）＜0，f （4）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－7，m ＜－214，m ＜－418，m ＞－275， ∴－275＜m ＜－214.。
新教材2020-2021苏教版(必修第一册课时素养评价 8.1.1 函数的零点 Word版含解析
课时素养评价四十五函数的零点(15分钟35分)1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是( )A.f(3)<0B.函数f(x)在定义域内是增函数C.f(3)>0D.函数f(x)在定义域内是减函数【解析】选D.因为f(1)>0,f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证只有一个零点,则函数f(x)在定义域内必须是减函数.2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是( )A.B.C.D.∪【解析】选B.根据题意,函数f(x)=mx+1,当m=0时,f(x)=1,没有零点,当m≠0时,f(x)为单调函数,若其在区间(1,2)内存在零点,必有f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解可得:-1<m<-,即m的取值范围为.3.(2020·张家界高一检测)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>ln e-1=0,即f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在区间是(1,2).【补偿训练】方程ln x+x-4=0的实根所在的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【解析】选B.令f(x)=ln x+x-4,在定义域上连续且单调递增,f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>0,f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,故f(2)f(3)<0,故实根所在区间是(2,3).4.(2020·徐州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x 的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c【解析】选B.令f(x)=3x+x=0,则x=-3x,令g(x)=log3x+x=0,则x=-log3x,令h(x)=x3+x=0,则x=-x3,设函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为a,b,c,作出函数y=-3x,y=-log3x,y=-x3,y=x的图象如图,由图可知:b>c>a. 5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,所以即所以g(x)=6x2-5x-1,所以g(x)的零点为1和-.答案:1和-6.已知函数f(x)=(1)在如图所示的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.(2)若f(a)=2,求实数a的值.(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.【解析】(1)函数图象如图,由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.【补偿训练】(2020·普宁高一检测)已知a>0,函数f(x)=,(x∈R).(1)证明:f(x)是奇函数.(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解,求a的值.【解析】(1)由函数f(x)=(x∈R),可得定义域为R,且f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)方程f(x)=1只有一个实数解,即为x2-ax+1=0,即Δ=a2-4=0,解得a=2(-2舍去),所以a的值为2.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020·十堰高一检测)若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则log1456=k×log147+3,解得k=-2,则f(x)=-2x+3,若f(x)=0,则x=,即f(x)的零点为.2.(2020·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是 ( )A.a<α<b<βB.a<α<β<bC.α<a<b<βD.α<a<β<b【解析】选C.因为α,β是函数f(x)的两个零点,所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.3.(2020·常州高一检测)已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.当x<0时,f(x)=-log a(-x),则x>0时,函数g(x)=log a x的图象与函数f(x)的图象关于原点对称; 又x≥0时,f(x)=cos-1,画出函数f(x)=cos-1(x≥0)和函数g(x)=log a x的图象,如图所示:要使f(x)=cos-1(x≥0)与g(x)=log a x(x>0)的图象至少有3个交点,需使0<a<1,且f(6)<g(6);即所以解得即0<a<,所以a的取值范围是.4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.由题意,令f(f(x))-1=0,得f(f(x))=1,令f(x)=t,由f(t)=1,得t=-1或t=,作出函数f(x)的图象,如图所示,结合函数f(x)的图象可知,f(x)=-1有1个解,f(x)=有2个解, 故y=f(f(x))-1的零点个数为3.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( )A.-2B.-1C.-4D.-3【解析】选AD.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,则<0,解得-4<a<-1,所以a的值可能是-2,-3.6.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点,则m的值可以是( )A.m>4B.4C.0<m<4D.0【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示:因为f(x)恰好有两个不同的零点,所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点,所以m=0或m>4.【光速解题】选取特殊值通过求零点判断.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)·ln(x-2)的零点个数为________.【解析】函数的定义域为{x|x>2},令(2x-3)·ln(x-2)=0,因为2x-3>0,可得ln (x-2)=0,解得x=3.所以函数的零点只有1个.答案:1【误区警示】本题容易出现忽视定义域的错误,误认为零点个数为2.8.(2020·徐州高一检测)设函数f(x)=g(x)=log a(x-1)(a>1).(1)f(2 019)的值为______;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围是______.【解析】(1)f(2 019)=f(2 017)=…=f(-1)=-1=1;(2)当0<x≤2时,-2<x-2≤0,所以f(x)=f(x-2)=-1;当2<x≤4时,0<x-2≤2,所以f(x)=f(x-2)=-1;当4<x≤6时,2<x-2≤4,所以f(x)=f(x-2)=-1;当6<x≤8时,4<x≤6,所以f(x)=f(x-2)=-1;画出f(x)和g(x)两个函数的图象如图所示,由log a(4-1)=3,得a=, 由log a(6-1)=3,得a=,由图可知,当两个函数的图象有3个交点时,即函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点时,实数a的取值范围是(,].答案:(1)1 (2)(,]四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·常州高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+6)=f(x),当x∈(0,3)时,f(x)=log a(x2-x+1).(1)当x∈(-3,0)时,求f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合.【解析】(1)当x∈(-3,0)时,-x∈(0,3),所以f(-x)=log a[(-x)2-(-x)+1]=log a(x2+x+1).因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-log a(x2+x+1),即当x∈(-3,0)时,f(x)=-log a(x2+x+1).(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-3)=-f(3), 因为f(x+6)=f(x),所以f(-3)=f(3),所以f(-3)=f(3)=0,当x∈(0,3)时,令f(x)=log a(x2-x+1)=0,得x2-x+1=1,解得x=0(舍去),或x=1,即f(1)=0,又因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,所以函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合为{-3,-1,0,1,3}.10.已知函数f(x)=(c为常数),若1为函数f(x)的零点.(1)求c的值.(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.(3)已知函数g(x)=f(e x)-,求函数g(x)的零点.【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点,所以f(1)=0,即c=1.(2)设0≤x1<x2≤2,则f(x2)-f(x1)=-=,因为0≤x1<x2≤2,所以x2-x1>0,x2+1>0,x1+1>0,所以f(x2)>f(x1),即函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.(3)令g(x)=f(e x)-=-=0,所以e x=2,即x=ln 2,所以函数g(x)的零点是ln 2.1.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=函数g(x)=f(1-x)-m,则当<m<1时,函数y=f(x)+g(x)的零点个数为________.【解析】因为f(x)=所以f(1-x)=令y=f(x)+f(1-x)-m=0得m=f(x)+f(1-x),令h(x)=f(x)+f(1-x)=作出h(x)的函数图象如图所示:所以当<m<1时,y=f(x)+f(1-x)-m恰有4个零点,即函数y=f(x)+g(x)的零点个数为4.答案:42.(2019·泰州高一检测)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-2x+2.若对任意x1∈[-1,0),都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,则实数a的取值范围是( )A.(-2,-1]∪[0,+∞)B.(-2,-1)∪[0,+∞)C.(-2,-1]D.[1,+∞)【解析】选A.由函数为定义在R上的奇函数及x>0时,f(x)=x2-2x+2,得x<0时,f(x)=-x2-2x-2,作出f(0)=0,f(x)的图象如图所示.若对任意x1∈[-1,0),即f(x1)∈(-2,-1],都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,①当x2=0时,f(0)=0,这时f(x1)+f(x2)=f(x1)∈(-2,-1],所以a∈(-2,-1];②当x2>0时,由f(x1)+f(x2)=a,可得a-f(x2)=f(x1)∈(-2,-1],即f(x 2)∈[a+1,a+2),由题意可得a+1≥1,即有a≥0,综上可得,a的取值范围是(-2,-1]∪[0,+∞).关闭Word文档返回原板块。
2021_2022学年高中数学课时分层作业20函数的零点(含解析)苏教版必修1
课时分层作业(二十) 函数的零点(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．假设函数f (x )＝mx ＋n 有一个零点是2，那么函数g (x )＝nx 2－mx 的零点是( ) A ．0 B ．12 C ．－12D ．0和－12D [由条件知，f (2)＝2m ＋n ＝0，∴n ＝－2m .∴g (x )＝nx 2－mx ＝－2mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，由g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12.∴g (x )的零点是0和－12.]2．方程2x＋x ＝0在以下哪个区间内有实数根( ) A ．(－2，－1) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(－1,0)．D [令f (x )＝2x＋x ，那么f (－2)＝－74＜0，f (－1)＝－12＜0，f (0)＝1＞0，f (1)＝3＞0，f (2)＝6＞0.∵f (－1)·f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＜0， ∴f (x )＝2x＋x 的零点在区间(－1,0)内， 故2x＋x ＝0在区间(－1,0)内有实数根．]3．函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x ＋log 2 x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．b >a >cD ．a >c >bB [在同一坐标系中画出y ＝2x和y ＝－x 的图象，可得a <0，同样的方法可得b >0，c ＝0，∴b >c >a .]4．函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，假设实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，那么f (x 1)的值为( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零．A [因为x 0是方程f (x )＝0的解，所以f (x 0)＝0，又因为函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x 1＜x 0，所以有f (x 1)＜f (x 0)＝0.] 5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，假设f (－4)＝0，f (－2)＝－2，那么关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [由，得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋5x ＋4(x ≤0)，2(x >0).作图象(略)得函数有2个零点．] 二、填空题6．关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，那么实数a 的取值范围是________．(－12,0) [由f (x )＝3x 2－5x ＋a 满足条件的大致图象(略)可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，解得－12＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－12,0)．]7．对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )．假设f (x )有2 015个零点，那么这2 015个零点之和为________．0 [设x 0为其中一根，即f (x 0)＝0，因为函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，所以f (－x 0)＝f (x 0)＝0， 即－x 0也为方程一根，又因为方程f (x )＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0， 所以这2 015个实数解之和为0.]8．假设函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，那么函数f (x )的零点有________个．2 [依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．] 三、解答题9．求函数f (x )＝2x|log x |－1的零点个数．[解] 函数f (x )＝2x|log x |－1的零点即2x|log x |－1＝0的解，即|log x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的解，作出函数g (x )＝|log x |和函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由图象可知，两函数共有两个交点， 故函数f (x )＝2x|log x |－1有2个零点．10．y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)假设方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． [解] (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如下图，根据图象得，假设方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，那么a 的取值范围是(－1,1)．[等级过关练]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0B [x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3，x ＝1(舍去)，∴f (x )在(－∞，0]上有一个零点；x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增，f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0.∵f (1)·f (e 3)＜0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f (x )在R 上有2个零点．]2．函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，那么三个零点之和等于________． 0 [∵奇函数的图象关于原点对称，∴假设f (x )有三个零点，那么其和必为0.] 3．假设方程x 2－2|x |－a ＝0恰有3个实根，那么a 的取值范围是________．a ＝0 [此题可化为y ＝x 2－2|x |与y ＝a 这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如下图，观察图象，可知只有当a ＝0时两个图象才恰有3个交点．]4．f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，假设关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围．[解] 当0＜x ≤1时，方程化为1＋kx ＝0， 可知两解在(0,1]范围内不可能． 当1＜x ＜2时，方程化为2x 2＋kx －1＝0，假设两解在(1,2)范围内，那么x 1·x 2＞1，这与x 1·x 2＝－12矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．假设方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，那么⎩⎪⎨⎪⎧0＜1－k≤1，f (1)f (2)＜0，解得－72＜k ＜－1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1.。
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江苏高一数学基本初等函数中的零点问题分析含答案一、题型特征与解答方法函数的零点，即是能让函数f (x )＝0成立时的x 的值，注意零点不是坐标点。
学习中要注意记住下面这个关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 零点存在性定理对于零点问题来说，运用非常灵活，是绝对要记住、理解并会运用的。
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系对于非二次函数形式的函数零点，一般会涉及分离参数、换元等等，需要根据图像单调性分析，区间内零点存在与否遵循零点存在性定理。
下面这道解答题，是一道老题，但近年以来一直是热点备考题型，2018年1月徐州高一期末、2018年10月无锡月考均出现在考卷上，变形题也非常多，这道题目不仅仅是考察根的问题，主要还用到换元、分类讨论等等方法，综合性很强，值得学习研究。
★已知函数)1,0(12)(2<≠++-=b a b ax ax x g ，在闭区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设xx g x f )()(=。
（1）求b a ,的值；（2）不等式02)2(≥∙-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围。
（3）方程03122)12(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x xk f 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围。
解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．（2）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+， 化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值范围是]1,(-∞．（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x ，令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ． 记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ② 解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．二、例题精炼题型一 二次函数零点问题此类问题主要是考察零点存在性定理的理解和直接运用，或者利用数形结合判断根的个数，或者利用图形判断根的大小，涉及参数问题一般是根据根的分布条件计算参数或根据参数范围讨论根的个数。
例1. (2017-2018徐州高一上期中12)若关于x 的方程3tx 2+（3﹣7t ）x+2=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，则实数t 的取值范围是 ．变式训练1.(2017-2018南通盐城六校联考高一上期中11)函数()()221f x x m x =+-+的两个零点分别在区间()()0,11,2和之内，则实数m 的取值范围为 ．变式训练2.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，实数a 的取值范围是________．变式训练3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．例2. (2017-2018南通盐城六校联考高一上期中12)已知函数()244,1,43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln ,g x x =那么函数()()y f x g x =-的零点个数为 ．变式训练4．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.变式训练5．（2017-2018无锡一中高一上期中13）已知函数22()1f x x x kx=-++在区间(0，2)上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．变式训练6．（2018无锡锡东高中上学期期中14）已知函数22()1f x x mx x =+--(R m ∈)，若()f x 在区间(﹣3，0)上有且只有1个零点，则实数m的取值范围是 ．例3.（盐城2017-2018高一上期中14）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,23,2,2)(22x a ax x x a x f x若函数()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 .变式训练7．（2017-2018南京高一上期末14）若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ．变式训练8．(宿迁2017-2018高一上期末14)．已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若 不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ． .例4.（镇江2017-2018学年高一上期末14）已知m R ∈，函数()()2|21|1log 11x x f x x x + , ≤ ⎧⎪=⎨- , > ⎪⎩，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .变式训练9.（2017-2018扬州高一上期中14）已知m R ∈,函数2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 .题型二 综合性考察零点问题零点的综合问题一般出现在解答题中，在函数形式上比较灵活，且往往涉及换元、分类讨论、数形结合等等方法，但最终一般都是利用二次函数根的分布来讨论，再利用符合函数性质得到最终结果，难度一般较大。
例1. （扬州2017-2018高一上期末19）已知关于x 的函数2()2(1)g x mx m x n =--+为R 上的偶函数，且在区间[]1,3-上的最大值为10. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数)(x f 的解析式；⑵ 若不等式(2)22x x f k -⋅≤在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶ 是否存在实数t ，使得关于x 的方程2(21)32021x xtf t -+--=-有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t 的范围，如果不存在，说明理由.变式训练1.已知关于x 的函数)0(2)(2>+-=m n mx mx x g 在区间[]3,0上的最大值为4，最小值为0. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 若不等式02)2(≥⋅-xxk f 在[]2,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围；⑶ 若关于x 的方程03122)12(=--+-t tf xx 有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．变式训练2.已知函数()21k f x x x+=+，其中R k ∈．（1）当0k ≥时，证明()f x 在)+∞上单调递增；（2）若对任意[]1,7k ∈，不等式()f x m ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程()21320xf k ---=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．例2. (宿迁2017-2018高一上期末19)．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.变式训练3.（扬州2017-2018高一上期末20）已知函数()11lg +-=x xx f . (1) 求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;(2) 函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x 若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;(3) 若函数(),11,111),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+<<-=x x x k x x f x h 或讨论函数2))((-=x h h y 的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).变式训练4.（镇江2017-2018学年高一上期末20）已知b R ∈，b 为常数，函数()21f x x bx b =-+-.(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集； (2)若函数()()()1||2F x f x f x =--有两个不同的零点，求实数b 的取值范围； (3)对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明：关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个实根.变式训练5. （2017-2018苏州高一上期中20）已知函数f （x ）=x 2﹣4，g （x ）=k•|x ﹣a|． （1）当a=2时，求函数y=f （x ）+g （x ）在区间[0，4]上的最大值；（2）当a=2时，若函数y=f （x ）﹣g （x ）有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围．例题精炼参考答案题型一 二次函数零点问题例1. (2017-2018徐州高一上期中12)若关于x 的方程3tx 2+（3﹣7t ）x+2=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，则实数t 的取值范围是 ．【解答】解：令f （x ）=3tx 2+（3﹣7t ）x+2，由题意可得，求得＜t ＜4，故答案为：（，4）．变式训练1.(2017-2018南通盐城六校联考高一上期中11)函数()()221f x x m x =+-+的两个零点分别在区间()()0,11,2和之内，则实数m 的取值范围为 ． 102m -<< 变式训练2.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，实数a 的取值范围是________．解 法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0， 即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.法二 函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．变式训练3.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0.所以0＜a ＜3. 例2. (2017-2018南通盐城六校联考高一上期中12)已知函数()244,1,43,1,x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,()ln ,g x x =那么函数()()y f x g x=-的零点个数为 ．3变式训练4．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 2变式训练5．（2017-2018无锡一中高一上期中13）已知函数22()1f x x x kx=-++在区间(0，2)上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．(72-，﹣1)变式训练6．（2018无锡锡东高中上学期期中14）已知函数22()1f x x mx x =+--(R m ∈)，若()f x 在区间(﹣3，0)上有且只有1个零点，则实数m的取值范围是 ． m ≤13或m ＝1例3.（盐城2017-2018高一上期中14）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=,2,23,2,2)(22x a ax x x a x f x若函数()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 .(]()+∞,42,1变式训练7．（2017-2018南京高一上期末14）若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ．(0，1]∪[3，＋∞)变式训练8．(宿迁2017-2018高一上期末14)．已知函数2()1f x x ax =-++，()2x h x =，若不等式()()f x h x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ．6513716[,)(]24823--，. 例4.（镇江2017-2018学年高一上期末14）已知m R ∈，函数()()2|21|1log 11x x f x x x + , ≤ ⎧⎪=⎨- , >⎪⎩，若函数()y f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .(]03，变式训练9.（2017-2018扬州高一上期中14）已知m R ∈,函数2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 . 305m <<题型二 综合性考察零点问题例1. （扬州2017-2018高一上期末19）已知关于x 的函数2()2(1)g x mx m x n =--+为R上的偶函数，且在区间[]1,3-上的最大值为10. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数)(x f 的解析式；⑵ 若不等式(2)22xxf k -⋅≤在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；⑶ 是否存在实数t ，使得关于x 的方程2(21)32021x xtf t -+--=-有四个不相等的实数根？如果存在，求出实数t 的范围，如果不存在，说明理由.变式训练1.已知关于x 的函数)0(2)(2>+-=m n mx mx x g 在区间[]3,0上的最大值为 4，最小值为0. 设xx g x f )()(=． ⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在[]2,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶ 若关于x 的方程03122)12(=--+-t tf xx 有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：（1）∵)0()1(2)(22>-+-=+-=m m n x m n mx mx x g ，[]3,0∈x ，∴当1=x 时，0)1()(min =-==m n g x g ， 当3=x 时，43)3()(max =+==n m g x g ， 解得：1==n m ，即)0(21)()(≠-+==x xx x x g x f （2）不等式02)2(≥⋅-x x k f 在[]2,1-∈x 上恒成立，即022212≥⋅--+x x xk 在[]2,1-∈x 上恒成立，上式可化为1)21(2)21(2+-≤xx k 在[]2,1-∈x 上恒成立， 令x s 21=，∵[]2,1-∈x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,41s ， 则22)1(12-=+-≤s s s k 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,41s 上恒成立，又∵当1=s 时，0)12(min 2=+-s s∴0≤k ，即所求实数k 的取值范围为(]0,∞- （3）方程03122)12(=--+-t t f x x ，即03122212112=--+--+-t t xx x， 可化为：)012(0)12(12)23(122≠-=++-+--xxxt t ，令12-=xr ，则),0(,0)12()23(2+∞∈=+++-r t r t r ，若关于x 的方程03122)12(=--+-t tf xx 有三个不相等的实数根， 则关于r 的方程0)12()23(2=+++-t r t r 必须有两个不相等的实数根1r 和2r ， 并且1,1021><<r r 或1,1021=<<r r ，记=)(r h ),0(,0)12()23(2+∞∈=+++-r t r t r ，则⎩⎨⎧<-=>+=0)1(012)0(t h t h ①，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+=122300)1(012)0(t t h t h ②解①得：0>t ，解②得：无解，综上可知所求实数t 的取值范围为()+∞,0 变式训练2.已知函数()21k f x x x+=+，其中R k ∈． （1）当0k ≥时，证明()f x在)+∞上单调递增；（2）若对任意[]1,7k ∈，不等式()f x m ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程()21320xf k ---=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．例2. (宿迁2017-2018高一上期末19)．已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值； （3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.(1) 由1||12()=1122a f -=，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|()x f x x-=. …………………2分当1x >时，11()=1x f x x x-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12122112121211(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=-12212212(1)(1)=x x x x x x ---1212=x x x x -，………3分因为12x x <<1，则1212<0,0x x x x ->，12()()0f x f x -<，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； …………………4分（2）2221,1()|1|()==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧⎪-⎪=⎨-⎪<⎪⎩≤≤4≤， …………………6分 当1x ≤≤4时，222111111()=()24x g x x x x x -==---+， 因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，max 1()=4g x ； …………………8分当112x <≤时，222111111()=()24x g x x x x x -==---， 因为112x <≤时，所以11x <≤2，所以当1=2x时，max ()=2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，max ()=2g x . …………………10分（3）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1()=1(0,1)f x x-∈.同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x-∈+∞.方程222(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|220x x m x x---+=， 即22()()20f x f x m -+=. …………………12分 设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ， …………14分则有211602021120m m m ⎧->⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为1(0,)16. ………………16分变式训练3.（扬州2017-2018高一上期末20）已知函数()11lg +-=x xx f . (4) 求不等式0)2(lg ))((>+f x f f 的解集;(5) 函数()),1,0(2≠>-=a a a x g x 若存在[),1,0,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立,求实数a 的取值范围;(6) 若函数(),11,111),(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+<<-=x x x k x x f x h 或讨论函数2))((-=x h h y 的零点个数(直接写出答案，不要求写出解题过程).变式训练4.（镇江2017-2018学年高一上期末20）已知b R ∈，b 为常数，函数()21f x x bx b =-+-.(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集； (2)若函数()()()1||2F x f x f x =--有两个不同的零点，求实数b 的取值范围； (3)对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明：关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个实根.(1) 提示：因式分解对b 讨论，当2b =时，x R ∈；当2b >时，(][),11,x b ∈-∞⋃-+∞；当2b <时，(][),11,x b ∈-∞-⋃+∞.(2) 提示：()0f x ≥不满足题意，即()()()20y f x f x =≤ 与12y =- 有两个零点， 所以()(),13,b ∈-∞⋃+∞. (3) 提示：“关于x 的方程()()()12123f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦在区间()12,x x 内有且仅有一个 变式训练5. （2017-2018苏州高一上期中20）已知函数f （x ）=x 2﹣4，g （x ）=k•|x ﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f （x ）+g （x ）在区间[0，4]上的最大值；（2）当a=2时，若函数y=f （x ）﹣g （x ）有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）当x ∈[0，4]时y=f （x ）+g （x ）=，因为y=f （x ）+g （x ）在区间[0，4]上图象由两段抛物线段组成，且这两个抛物线开口均向上，所以其最大值只可能是f （0）、f （2）、f （4）其中之一． 又f （0）=2k ﹣4，f （2）=0，f （4）=12+2k ，显然f （4）＞f （0）． 所以当k≥﹣6时，所求最大值为f （4）=12﹣2k ； 当k ＜﹣6时，所求最大值为f （2）=0．（2）由题意得，y=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣4﹣k|x ﹣2|，方程x 2﹣4﹣k|x ﹣2|=0有且仅有一个解，显然，x=2已是该方程的解，当x≥2时，方程变为（x ﹣2）（ x+2﹣k ）=0；当x ＜2时，方程变为（x ﹣2）（ x+2+k ）=0． 从而关于x 的方程x+2﹣k=0（x≥2）有且仅有一个等于2的解或无解，且x+2+k=0（x ＜2）无解．又x=2时，k=4，此时x=﹣6也是方程的解，不合题意．所以关于x 的方程x+2﹣k=0（x≥2）无解，且x+2+k=0（x ＜2）无解． 所以，k ＜4且k≤﹣4．综上，k≤﹣4，即实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]．三、综合训练1．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________．【解答】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 0或－142．已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是________． 【解答】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4.答案 (4，＋∞)3．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解答】作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)的图象，可见f (0)＝12，当x ＝1时，f (1)＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在x ∈[－3,4]上有10个零点，即函数y ＝f (x )和图象与直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点，由于函数f (x )的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)应该有4个交点，则有a ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 4．设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x ，若函数g (x )至少存在一个零点， 则实数m 的取值范围是________．【解答】由条件得：g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln xx，其函数的定义域为(0，＋∞)，从而g (x )的零点即为函数h 1(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2与函数h 2(x )＝ln xx的交点，而由h 2′(x )＝1－ln xx 2知当x ∈(0，e)时，h 2(x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，h 2(x )单调递减， 又当x ∈(0，e)时，h 1(x )单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，h 1(x )单调递增，所以欲使g (x ) 有零点，必须满足h 1(x )min ≤h 2(x )max ，即m －e 2≤1e ，所以m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，e 2＋1e . 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，e 2＋1e5.（江苏省江阴市四校联考2017—2018 高一（上）期中）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=)(,42)(,)(2m x m m x x m x x x f ,其中m>0，若存在实数b,使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根,则m 的取值范围是______________． 【解答】()+∞,36.（江苏省江阴市四校联考2016—2017 高一（上）期中）10．已知函数f （x ）=log 3x+x ﹣5的零点x 0∈[a ，b]，且b ﹣a=1，a ，b ∈N *，则a+b= ．【解答】77.（江苏省江阴市四校联考2016—2017 高一（上）期中）13．若关于x 的方程log |x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】a ＞18.(宿迁2017-2018高一上期末12)．已知函数()2|log |,02,3,2,x x f x x x <⎧=⎨-+>⎩≤ 若函数()()()g x f x m m =-∈R 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则()1231mxx x +-的取值范围是 ． 【解答】(2,0)-9.(江苏省天一中学2018－2019学年第一学期高一数学期中考试试题（强化班）13)不等式230x ax -+<存在正整数解，则a 的取值范围为 ．【解答】10.(江苏省天一中学2018－2019学年第一学期高一数学期中考试试题（强化班）14)设0()|1|f x x =-，100()(())f x f f x =，201()(())f x f f x =，……，一般地，01()(())n n f x f f x -=，其中*n N ∈，则使方程11((2))2x n f f =有2018个根的n 的值为 ． 【解答】201411.（江苏省南通市沛县、如皋市2017-2018 高一（上）期中）若函数22()log (||1)||48a f x x a x a a ππ=+--++在实数R 上有三个不同的零点，a 为常数，则实数a =__________．【解答】12.对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b b a ab a b a ,,22， 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123x x x 、、，则123x x x ++的取值范围是____________．【解答】13.（泰州中学2016-2017学年高一（上）期末数学试卷13）若方程||x|﹣a 2|﹣a=0有四个不 同的实根，则实数a 的取值范围为 ．【解答】解：方程||x|﹣a 2|﹣a=0，可得方程||x|﹣a 2|=a ，∴a ＞0，∴|x|=a 2±a ， ∵方程||x|﹣a 2|﹣a=0有四个不同的实根，∴a 2+a ＞0且a 2﹣a ＞0，∴a ＞1， 故答案为（1，+∞）．14．已知()f x 是定义在R 上且周期为6的奇函数，当(0,3)x ∈时，2()lg(2)f x x x m =-+. 若函数()f x 在区间[3,3]-上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m 的取值范围是 ．【解答】19(,1]{}8815.已知函数()11x x f x +--=，函数()221g x ax x =-+．若方程)()(x g x f =恰好有2个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 . 【解答】()()9,00,4-∞16.（江苏省南通市沛县、如皋市2017-2018 高一（上）期中）已知函数()(1)||().f x x x a a R =+-∈（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）当2a =时，若对任意互不相等的实数12,(,4)x x m m ∈+，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，求实数m 的取值范围；（3）判断函数1()()2(0)2g x f x x a a =---<<在R 上的零点的个数，并说明理由． 【解答】（1）当时，不等式为，∴或，解得，∴原不等式的解集为.（2)的单调增区间为和又在上单调增，，解得或∴实数m的取值范围为.（3）由题意得①当时，对称轴为，因为，∴，∵，即∴，又由零点存在性定理可知，函数在区间和区间各有一个零点；②当时，对称轴为，函数在区间上单调递增且，所以函数在区间有一个零点。