各类矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
1-3 常见特殊矩阵讲解学习
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；a
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
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线性代数复习
线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。
初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。
初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。
初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。
A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。
|Q|=|A||B|。
0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。
|Q|=(-1)mn|A||B|。
B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。
C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。
向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。
②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。
③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。
线性代数——矩阵
2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；
3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；
（5）关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；
2)伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A均有此伴随矩阵
2矩阵的运算及其运算律
（1）矩阵的相等；
（2）矩阵的线性运算：
a)矩阵的和：A+B注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；
b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵） ；
c)一般地，若 有意义，称为矩阵 的一个线性运算；
3矩阵的转置
将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵 ，称为矩阵A的转置。
4矩阵的乘法
矩阵乘法的定义：
5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；
6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；
（3）逆矩阵的性质
1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；
2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且 ;
3） ;
4）
（4）逆矩阵的求法
1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；
例2已知A,B是n阶矩阵，且
证明：由条件易得到：AB+BA=0 (1)
对（1）式左乘以一个A，由条件得到： ;
对（1）式右乘以一个A则得到： ；
由上面的结果立即可得：AB=BA.故结论成立。
例3若对任意的
从而：A=0
或者：因为 。
在本题中，我们要充分注意条件中AX=0里X的任意性。
例4已知A是对称矩阵，则当A可逆时， 是反对称矩阵时，当A是可逆阵时， 也是反对称矩阵。
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等.关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义设,则它的伴随矩阵,其中 ()n n ij a A ⨯=()nn ij b A ⨯=*ji ij A b =为中的代数余子式.(),,,3,2,1,n j i =ij A A ij a 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系2.1 .I A A A AA ==**2.2 若A 非奇异，则.*11A AA =-2.3 .()()TTA A **=证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A T A 故 =()()1*-=TT T A A A ()TA A 1-另一方面， =()()TTA A A 1*-=()T A A 1-由上两式推出 .()()TTA A **=2.4 .()()1**1--=A A 证 当可逆时，，且也可逆.A 1*-=A A A 1-A 故 ()()A AA A A 1111*1==----又由 E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11故 也可逆，且*A ()A AA 11*=-从而 .()()1**1--=A A 2.5 (为实数).()*1*A a aA n -=a 证 设，再设 ，()nn ij a A ⨯=()()n n ij b aA ⨯=*那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式阶行列式，ij b aA j i 1-n 其中每行提出公因子后，可得a ji n ij A ab 1-=()n j i ,2,1,=由此即证.()*1*A a aA n -= 2.6 .1*-=n AA ()2≥n 证当可逆时，由于 两边取行列式A ,1*-=A A A 得 11*--==n nAA A A 当不可逆时，这时秩A ,0=A 1*≤A 所以从而也有 .0*=A 1*-=n AA 所以对任意阶方阵都有n ,A .1*-=n AA 2.7 当秩时，则秩.当秩时则秩.，当秩n A =n A =*1-=n A 1*=A 2-≤n A 则秩.0*=A 证 当秩那么由上面的（1）式有,0≠⇒=A n A 0*≠==nA I A AA 所以 即秩,0*≠A nA =* 当秩 ,01=⇒-=A n A 0*==I A AA 从而秩 又因秩所以至少有一个代数余子式,1*≤A ,1-=n A ,0≠ij A 从而秩于是秩,1*≥A ,1*=A 当秩所以秩2-=n A ⇒0*=A 0*=A 同理秩时,秩.2-<n A 0*=A 2.8 .()A AA n 2**-=证 当秩时，可逆，用左乘（1）式两边可得n A =A A ,0≠1-A （1）1*-=A A A 在（1）式中用换得A *A（2）()()A A A A AA A A n n 211****1---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==当秩时，则秩1-≤n A 0,1*=≤A A 从而秩 （3）()A AA n 2**0-== 综合（2）（3）两式，即证.()A AA n 2**-=2.9 若为阶可逆矩阵，则.B A ,n ()***A B AB = 证 当时，由()()n B r A r == ()()**111*A B A A B B AB AB AB ===--- 当时，显然有()1-<n A r ()***0A B AB == 即 ()***A B AB = 当则存在初等矩阵使得(),1-=n A r ,,,,11t s Q Q P P ts Q Q A P P A 111= 这里直接验算可知，若是任意初等矩阵，C 是任意方().0,11-=n E diag A P 阵，则()()*1*1***,CA C A P C PC == 于是()()[]*1121*B Q Q A P P P AB t s = ()*1*112P B Q Q A P P t s == ()*1**11P P B Q Q A s t = ()*1**1*1P P A B Q Q s t ==*1**1*1**P P A Q Q B s t = 但是 *1**1*1*P P A Q Q s t()*1**1*1P P A Q Q s t = ()*1*1*11P P Q Q A P s t s -== ()*111t s Q Q A P P = *A = 于是()***A B AB =2.10 设是阶正定矩阵，则是正定矩阵.A *A 证 因为是阶正定矩阵，则，A n A A T =且的特征值又=，A ()n i i 2,1,0=>λ()()**T TA A =*A故为对称矩阵，且的特征值为*A *A ()n i Ai,,2,1,0 =>λ故为正定矩阵.2.11 若是正交矩阵，则是正交矩阵.A *A 证 因为是正交矩阵，则,12=A IA A T =于是()()()()()II AA AA A A A A A A A TTTT=====------1111211**故也是正交矩阵.*A 2.12 若矩阵与B 合同，且都可逆，则与合同.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 （4）,P B AP P T = 又都可逆，对（4）取逆，则有B A ,()1111----=B P A P T即 （5）11--=B C A C T 其中()TP C 1-= 再对(4)取行列式有 （6）B A P =2则由（1）（5）（6）知 ()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T即 **B Q A Q T =其中是可逆矩阵C P Q = 故 与合同*A *B 2.13 若矩阵与B 相似，且都可逆,则与相似.A B A ,*A *B 证 设存在可逆矩阵 ,P BAP P =-1 由 ，I B BB =* 有 1*-=B B B ()111---=APP AP P P A P A 11--=P A A P 11--=PA P *1-= 所以与相似.*A *B 2.14 若与相似，则与有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，*A *B *A *B 秩.2．15若与相似，且，都可逆，则与B 不一定相似. （与B 分*A *B *A *B A A 别为与的原矩阵）*A *B 证 因为与的秩都是，所以与都有个原矩阵（*A *B n *A *B 1-n ，，其中分别是，(),1*-=A A i α()1*-=B B iβ1,2,1-=n i i i βα,*A 的所有次方根.）*B 1-n 设秩且有原矩阵，由2.2知n A =*A ()1*-=A A A 由2.6知 即 .1*-=n AA 1*-=n A A 设的所有次方根，则有*A 1-n 121,,-n ααα (),1*-=A A i α1,2,1-=n i 同理B 也得证.所以与B 不一定相似.A 参考文献:[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社,2001,6(7).[3]刘学生.线性代数分析[M].北京：高等教育出版社，2005,1(10).[4]卢刚.线性代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics ，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract :This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar.Key words : adjoint matrix, determinant, transpose, rank, similar matrix, positivelydefinite matrix。
线性代数复习提纲
一、逆序数：在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N(*奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数（一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变（二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半二、n阶行列式=（按行顺序取）n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号）D的一般项：三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或（一）将行列式转置，行列式的值不变，即（二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即（三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即：（一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面（二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即：六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即：代数余子式：（一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或（二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或（i≠s；j≠t）八、范德蒙行列式：九、克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解其中是将系数行列式中第j列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式（一）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它仅有零解（二）如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则方程组有非零解十、零矩阵：所有元素均为0的矩阵（行数与列数不都相同的两个零矩阵是不同的零矩阵）非负矩阵：所有元素均为非负数的矩阵十一、以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作k A，如果A=，那么k A=十二、负矩阵：-A=十三、矩阵运算律：（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）十四、矩阵的乘法：如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j对应元素乘积的和，并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数，即：（一）矩阵乘法一般不满足交换律（二）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵（三）矩阵乘法不满足消去律（四）矩阵乘法性质：1、2、3、4、十五、矩阵可交换：如果两矩阵A和B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换十六、有线性方程组，系数矩阵元未知量矩阵系数矩阵十七、转置矩阵：将m*n矩阵A的行与列互换，得到的m*n矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为或（一）（二）（三）（四）十八、n阶矩阵/n阶方阵：矩阵的m=n十九、方阵的幂：个（一）（二）（三）当AB可交换时，二十、方阵的行列式：由n阶矩阵（方阵）A的所有元素按原来次序构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作，或（det A）（一）（二）（三）（四）二十一、特殊矩阵（一）对角矩阵：若AB为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵；（二）数量矩阵：数量矩阵左乘或右乘一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B（三）单位矩阵：（四）三角形矩阵（五）对称矩阵：n阶矩阵满足1、2、数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵3、当且仅当A与B可交换时，AB是对称的二十二、分块矩阵（一），（二）二十三、逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，把唯一的逆矩阵记作（一）n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异，且当A可逆时，有（二）证明A可逆或证明B是A的逆矩阵，只要验证AB=I（三）逆矩阵的性质：1、若矩阵A可逆，则也可逆，且2、若矩阵A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且3、两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且4、若矩阵A可逆，则A的转置矩阵5、若矩阵A可逆，则（四）（五）若AB=C，且A为非奇异，则B= C二十四、非奇异：若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的二十五、伴随矩阵：由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵二十六、矩阵的初等变换：（一）1、交换矩阵的两行（列）2、以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）3、把矩阵的某一行（列）的l倍加于另一行（列）上（二）初等矩阵：对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵（三）设，对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A，对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A（四）任意一个矩阵经过若干次初等变换后均可以化为下面形式的矩阵：矩阵D称为矩阵A的等价标准形（五）如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（六）如果A为n阶可逆矩阵，则（七）n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积二十七、k阶子式：从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式二十八、矩阵的秩：如果A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r（一）满秩矩阵：r(A)=n（二）矩阵经初等变换后，其秩不变（三）二十九、增广矩阵：系数矩阵A和常数项矩阵构成的矩阵线性方程组有解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是→当m<n，齐次线性方程组有非零解三十、向量（一）（二）（三）（四）（五）（六）k(（七）（八）三十一、向量组的线性组合线性方程组可以表示为，即常数列向量与系数列向量的线性关系，被称为方程组的向量表示，其中，于是，线性方程组是否有解，就相当于是否成立（一）如果成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（二）向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩（三）如果组A：中每一向量都可由组B：线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示1、向量组A可由向量组B线性表示，向量组B又可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示2、如果向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价（四）如果线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一三十二、线性相关性：齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：，被称为齐次线性方程组的向量形式。
矩阵知识点
矩阵知识点(总10页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵定义 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E ) 3．正交矩阵定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若，则称为正交矩阵。
定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则(1)或(2)(3) 也是正交矩阵 (4)也是正交矩阵。
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
E A A T=A 1=A 1-=A TA A =-1)(1TA A 即-AB ⇔1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
伴随矩阵的性质
编号2009011118毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3)摘要 (4)关键词 (4)0引言 (4)1主要结论 (4)1.1伴随矩阵的基本性质 (4)1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8)1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9)1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10)2应用举例 (11)例1 (11)例2 (11)结束语 (12)参考文献 (12)致谢 (13)陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
作者签名：二〇一二年十二月二十日伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即ij A = (1)i jij M +-(i ,j=1,2,……,n).定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵A *= 112111222212n n nn nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为矩阵A 的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪⇔=-⎨⎪⇔<-⎩.证明 （1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0= 由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵. 于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-. 而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;性质2[4] 若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明 由A *=1A A -及111()kA A k--=可得 111()()n kA kA kA k A A k*--==⋅=111n n k A A k A ---*=.性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1n A A -*= (2n ≥)成立[5];（2）设A 为n 阶方阵，则2()n A AA -**=[6].证明 （1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵. 所以 10A A A *-==，从而等式1n A A-*= (2n ≥)成立.当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得nA A A E A *==. 所以 1n A A-*=（2n ≥）.（2）当A ≠0时，()A **=111()()n A A A A --*-*==121()n n AA A AA ---=.当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-. 由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2n AA -若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0 故()A **=0=2n AA -.性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=. 证明 （1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===. （2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立. 特别的取x =0，即得()AB B A ***=. 推论 设12,,,s A A A 均为n 阶方阵，则 1221()s s A A A A A A ****= .性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有220(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B ***⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 证明 因为-1-10A 0B 0A0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-1-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00nn E E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2n E 所以0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆，且-10A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有220A 0=(1)=(1)A 00An n B B B -- 由-1A =A A *可得0A 0B*⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-10A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2-1-10B (1)A A0n B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=22(1)A B (1)A 0n n B **⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 推论 设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有2220(1)A C00A 000(1)A C B000(1)C A 0nn n B B C B ****⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，10n A A -*=≠即T A ，A *也为非奇异阵.由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--== 又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--因为11A (A )=A A =T T TT E E --=（） 所以1(A )T -=1A T -（） 即(A )T *=A T *（）.(2)当A 为奇异阵时，设A = 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T A 的第i 行第j 列元素为ija ，()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元素为 ij A (i ,j=1,2,……,n )， 所以()T A *= ()T A *.性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()A A A A-**-==; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则111()()T T T A A A A *--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111()()()A A A A A A A*-----=== 又11111()()A A A A A -*---==所以11()()A A -**-= =1A A.(2)由性质6得11()()TT A A *--*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 由(1)得11()()TTA A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦.又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=11()()TT A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1-1()()T TA A *-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦又11111111()()()()T T T T T A A A A A A A *-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以111()()T T T A A A A *--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为Aλ，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.证明 因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得A A A αλα**=即 A A A αλα**=.又AA A E *=， 所以 A E A αλα*= 即1AA A E αλααλ*-==.所以Aλ为A *的特征值，α是A *的属于特征值Aλ的特征向量.性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量， 则α是A *的属于特征值0的特征向量.证明 由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得A AA αλα**= 即A E A αλα*=. 由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅ 即α是A *的属于特征值0的特征向量.推论 设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量， 则α是A 的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A . 又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵. (2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -. 又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵； 当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵. 性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 . 证明 若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵. 其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵.性质12[9] 若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明 设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E ==又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-==== 所以A *也是正交矩阵.性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵. 证明 设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).故A *也为上三角矩阵.同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵. 推论 当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵. 1.4两伴随矩阵间的关系性质性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .证明 因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B = 两边取伴随矩阵得()PAQ B **= 即有Q A P B ****=.因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *. 性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.证明 当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=. 即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =. 又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----= 即1111()T P A P B ----=.令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=. 又由1111()T P A P B ----=得 2P A B ⋅=所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=. 令Q=P C ，则T Q A Q B **=所以A *与B *合同.2应用举例例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求000000A BC*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 由性质5的推论可得00000A BC*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦=00601501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦. 解 因A =10013225012=14-≠0，所以A 可逆由性质7可得11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦10040014010242061035022⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.结束语这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.参考文献[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版. [3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.[4]陈艳凌，许杰.矩阵A 的伴随矩阵A *的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期， 2007.2.151-153.[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14. [7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷 第3期，2008.5.22-23. [9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.The properties of adjoint matrixWEI Ruiji（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000） Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix, obtain some valuable conclusions and give some applied examples.Key words: Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix致谢我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.。
矩阵代数知识简介
矩阵代数知识简介矩阵：由mn个元素排列起来的长方形阵列称为矩阵。
记作a ij是第i行和第j列的元素，其中i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …,n。
A表示的是mn阶矩阵。
它包括m行n列，共有mn个元素。
方阵：若矩阵的行数等于其列数，即m = n, 则称此矩阵为方阵。
当A为方阵时，i = j的元素，即a11, a22, …, a nn，称作主对角线元素。
当m = n = 1时，A减化为一个标量。
行向量：仅有一行的矩阵称作行向量。
列向量：仅有一列的矩阵称作列向量。
单位矩阵：一个方阵，若其主对角线元素都为1，其余元素都为零，则称此矩阵为单位矩阵，记为I。
对角矩阵：若n阶方阵中的元素满足条件当i j时，a ij = 0，（i, j = 1, 2, …, n），则称为对角矩阵。
由此可知，单位矩阵是对角矩阵的一个特例。
零矩阵：元素全为零的矩阵称作零矩阵，记为0。
对称矩阵：若n阶方阵A中的元素满足条件a ij = a ji，(i j，i, j = 1, 2, …, n), 则称A为n阶对称矩阵。
矩阵相等：如果两个矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn同阶且所有对应元素相等，即a ij = b ij，(i = 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n), 则称矩阵A与B相等，记为A = B。
矩阵加法与减法：两个同阶矩阵A = (a ij)mn和B = (b ij)mn对应元素相加（减）得到的矩阵称作A与B的和（差）。
记为A + B（或A - B）。
矩阵加法的性质：若A、B、C、0都是mn阶矩阵，则(1) A + B = B + A （交换律）(2) A +（B + C）=（A + B）+ C （结合律）(3) A - A = 0 或A + 0 = A标量与矩阵相乘：标量k与矩阵A相乘是k与A的所有元素相乘，记为k A，即k A = k (a ij)mn = (ka ij)mn标量与矩阵相乘的性质（k, l是自然数）：(1) k A = A k(2) k (A + B) = k A + k B(3) k l A = k (l A)(4) (-1) A = - A矩阵的乘法：设矩阵A = (a ij)mr，B = (b ij)rn，则规定A和B的乘积是A B = C = (c ij)mn，其中即两个矩阵的乘法要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，积的元素是由左边矩阵的行元素乘以右边矩阵的相应列元素，并将所有积相加得到。
1-3 常见特殊矩阵
我们尽量采用如下记号：
用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,…
用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,…
1. 上三角矩阵
In表示n阶单位矩阵(identity matrix of order n)； ei表示In的第i列； 对角矩阵(diagonal matrix)：A=diag(a11,a22,…,ann) 上三角矩阵(upper triangular matrix) 下三角矩阵(lower triangular matrix) 上(下)三角矩阵的特征值就是对角元； 上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下)三角矩阵；
(b) 正定矩阵
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx>0，则称 A为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 记做A>0。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于0； 3. 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
把正定矩阵定义中的xTAx>0改成xTAx<0，则称A 是负定 (negative definite)矩阵。记做A<0。 负定矩阵的特征值都是负数。
线代学习指导 第二章 矩阵
（1）若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 r A s ；
（2）若矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0，则 r A t ；
（3）若 A 为 m n 矩阵，则 0 r A minm, n ；
（4） r A r AT ；
（5） r A 1 A 可以写成一个列矩阵与一个行矩阵的乘积；
3.伴随矩阵法求逆： A1 1 A* . A
4.可逆矩阵的性质:
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵, k 为非零常数,则
A1 1 A ；
AB 1 B1A1 ；
AT
1
A1 T ； kA 1 1 A1 ； A1 A 1
k
A*
1
A.
A
五、矩阵的初等变换
1.初等变换 矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等变换： （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 用数 k 0 乘矩阵的某一行（列）； （3） 某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）.
A非奇异(或非退化),即 A 0 A 的等价标准形为 E A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
r A n
注:在后面几章中还有一些关于 n 阶矩阵 A 可逆的充要条件,列举如下: n 阶矩阵 A 可逆 A 的列(行)向量组线性无关(第三章)
齐次线性方程组 AX 0 仅有零解(第四章)
A的特征值均不为零(第五章) AT A 为正定矩阵(第六章)
块矩阵 A 与 B 作乘法 AB 时，要求 A 的列的分块方式与 B 的行的分块方式相同，并且乘积矩 阵的行的分块方式与 A 相同，列的分块方式与 B 相同.另外，分块矩阵 A 的转置，不仅要将 A 的各行的子块依次转为各列的子块，而且其中的每一个子块也要转置.
3.几种特殊分块矩阵的逆：设 A, B 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵，则
矩阵相关知识点
矩阵的概念：由m ×n 个数排列成m 行n 列的数表叫做m ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mnm2m12n22211n1211a ...a a............a ...aa a ...a a 其中A 的元素,简称为元.◎元素是实数的矩阵称为实矩阵. ◎元素是复数的矩阵称为复矩阵.几种特殊的矩阵1.如果A m ×n 矩阵的所有的元都是零的矩阵称为 零矩阵,记为 0mxn .2.如果A, B 都是m ×n 矩阵, 就说A 与B 是同型的.3.在m ×n 矩阵A=(a ij )中, 当m=n 时称为n 阶方阵.4.只有一行或者一列的矩阵称为行（列）矩阵/行（列）向量.5.⎥⎥⎦⎤对角矩阵 若全为k ，则为数量矩阵.6.上下三角矩阵矩阵的线性计算说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.设A,B,C 均为数域P 上的m ×n 矩阵,k,l ∈P,不难验证,矩阵的加法和数乘满足如下运算规律: (1) A+B=B+A; 加法交换律(2) (A+B)+C=A+(B+C); 加法结合律(3) A+0=0+A=A,这里0是与A 同型的零矩阵; (4) A+(-A)=(-A)+A=0； (5) k(A+B)=kA+kB ； (6) (k+l)A=kA+lA ；(7) (kl)A=k(lA)=l(kA)； (8) 1A=A, 0A=0.矩阵的乘法注意：当矩阵A 的列数等于B 矩阵的行数时,AB 才有意义.矩阵的乘法不满足交换律矩阵乘法的运算规律1）.(AB)C=A(BC)2）.A(B+C)=AB+AC ，(B+C)A=BA+CA 3）.k(AB)=(kA)B=A(kB)A=4）.A m ×n E n =E m A m ×n =A m ×n ● 方阵的幂定义若A 是n 阶矩阵，则A k 为A 的k 次幂，即A k =A A A, A m A k =A m+k 并且(A m ) k =A mk . (m,k 为正整数)注意: (AB)k ≠A k B k● 方阵行列式的性质 (1) |kA n |=k n |A n |≠k |A n |； (2) |AB |=|A ||B |转置矩阵将矩阵A 的行与列互换,且保持它们的先后次序不改变，得到的n ×m ，称为矩阵A 的转置矩阵,记为A T.转置矩阵的运算性质● 对称矩阵定义设A=(aij)为n 阶方阵,如果有A T=A,即aij=aji (i, j=1, 2,…,n),则称A 是对称矩阵. ● 反对称矩阵定义 如果有A T=–A,即aij=–aji(i,j=1,2, …,n),则称A 是反对称矩阵. 注：反对称矩阵其主对角元素为0逆矩阵定义 对于n 阶矩阵 A,如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB=BA=E,则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵.A 的逆矩阵记作.(若A 是可逆矩阵, 则A 的逆矩阵是唯一的.) ● 逆矩阵的充要条件 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是A ≠0，且A-1=A1A *其中A *为矩阵 A 的伴随矩阵. 逆否命题 ：矩阵 A 不可逆的充要条件是|A|=0.证明：矩阵 A 可逆 ∴AA -1=A=E 即|A||A -1|=1 ∴|A|≠0又AA *=A *A=|A|E....推论. 若A n B n =E （或BA=E ），则B=A -1。
《高等代数》：学习笔记
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义D =|2314|=2×4−3×1=5 A =[2314]≡(2314) 这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3这是三元线性方程组=|a 11a 12a 13a 22a 23a 32a 33|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和D =|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯|=j 1,j 2,⋯,j n )1,j a 1j 1a 2j 2⋯a nj n§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变： D T =D2、k 可以乘上某行(列)： kD row i3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =06、某行乘以k 加到另一行：值不变D k×row i +row k =D右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式=ij|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)§1.6 范德蒙行列式|D|=|111⋯1a 1a 2a 3⋯a n a 12a 22a 32⋯a n 2⋯⋯a 1n−1a 2n−1a 3n−1|=∏(a i −1≤j<i≤na j )第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则D 1=|b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=D 1D,x 2=D 2D,x 3=D 3D.(D ≠0)§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
伴随矩阵的若干性质及应用
伴随矩阵的假设干性质及应用摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵.1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA ==**可得()AAA =-1*； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA ==**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310241A ，求()1*-A .解 经计算可得1=A ，所以()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===-1003102411*A A AA .例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且41=A ，求()*132A A --. 解()1111*1432132132------=-=-A A A A A A A 16114141413131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--AA A . 例3、已知A 和B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，求C 的伴随矩阵*C . 解 由E C C C CC ==**得， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==------111111*B B A O OA B A B OO A B A B O O A B O O A CC C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有()()*11*--=A A证明 因为 ()E A A AE A AA 1*11*,---==故有，AA A *1=-；又因为A A 11=-从而 ()()E AE A A AA A A11*1**11===----，因0≠A ，故()E A A =-*1*, 所以()()*11*--=A A .例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2311123211A ，求伴随矩阵*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 ()A A AAA 11*--==， 而2311123211=-A =8，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==--3155131518111A A ,所以()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-3155131511*A .㈡此题用性质6可直接得()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==--315513151*11*A A ，可见简单之处. 1.3 ()*1*A k kA n -= 〔k 为常数〕证明 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211*A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111所以kA 的1-n 阶子式中每一个元素都是A 中的相对应元素的k 倍，从每一行中提取公因子k ，从而矩阵kA 中每一元素ij ka 的1-n 阶代数余子式就是ij n A k 1-.所以()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---------nn n nn n n n n n n n n n n A k A k Ak A k A k A k A k A k A k kA 121112122112111211111*=1-n k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nnn n A A A A A A A A A212221212111=*1A k n - 故证之.例5、设A 为一个3阶矩阵，且已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112211123A ，求*41⎪⎭⎫⎝⎛A .解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=513555531332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛1651611631651651651651631615135555311614141*2*A A .1.4 伴随矩阵的秩的性质 设A 是n 阶矩阵()2≥n ,则秩()=*A ()()(),;1,1;0,1;n A n A n A n =⎧⎪=-⎨⎪<-⎩当秩时当秩时当秩时证明 ()1 当秩()n A =时 0≠A ，由于E A AA =*，两边同时取行列式，得 nA A A =* 所以0*≠A 故秩()n A =*. ()2当秩()01=-=A n A 时，，由0**==AA E A AA 得从而可知*A 的每一列都是方程组0=AX 的解向量,故由此可得()()1*=-≤A n A 秩，又因为 A 矩阵至少有一个1-n 阶子式不为零，故*A 至少有一个元素不为零， 所以 此时秩()1*=A .()3当秩()1-<n A 时，矩阵01*=-A n A 阶子式全为零，故的所有，所以秩()0*=A .性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.例6、设()2>n n 阶方阵A ，假设秩()2-=n A 时，则秩()=*A ______.A.nB.1-nC.1D.0解 因为秩()2-=n A ，由以上性质可得秩()=*A 0，故选D.例7、设A 为一四阶矩阵，且*,0000001001001000A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=是A 的伴随矩阵，求秩()()**A.解 因为秩()3=A ，而A 为4阶矩阵，所以 秩()3141*=-<=A ，由以上性质可得 秩()()0**=A .1.5 1*-=n AA证明 ()1当A 可逆时，由于两边同时取行列式，得,*E A AA =nA A A =*，因为0≠A ，两边同时乘以1-A，得1*-=n AA ；()2当A 不可逆时，()1;0*≤=A A 可得秩，则,0*=A从而此时也有 1*-=n AA .例8、已知B A 和都是n 阶方阵，=-==-1*4,2,4B A B A 则. 解 34111*1*221441444------=-⋅⋅===n n n n n n B A B A B A . 1.6()A AA n 2**-= 〔2>n 〕证明 ()1当0≠A A 可逆时，则， 因为,*E A AA = 所以,1*-=A A A 于是 ()()()()**11*111111nAA A A AA A A AA A-------=== =A A A AA A n n211--= ()2当(),1,0*≤=A A A 秩不可逆时，则由此可得 当()()所以此时有所以时，秩,0,02****==>A A n()*2*n A AA -=.例9、已知A 为n 阶可逆矩阵,且3=A ，化简()**1A A --. 解 因为E A A A AA ==**，所以 *11A AA =-，所以 ()()()AA AA A A A A A A A A A AAn n n n 3211111121**1*******1------=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1.7 ()[]5***A B AB =证明 ()1;0,00≠≠≠B A AB 时，此时有当从而有1*1*,--==B B B A A A 可得 ()()**11111*A B A A B B A B B A AB AB AB ====-----()()(),,02E B B E A A AB λλλλ-=-==时，此时考察矩阵当 因为矩阵B A 和的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个λ，使得 ()()0,0≠≠λλB A ∆由()1得结论可得，()()()()()λλλλ***A B B A = ，令()()()()(),*n n ij h B A ⨯=λλλ ()()()()n n ij k A B ⨯=λλλ** 则由上式得()()λλij ij k h =， ()n j i ,...,2,1,= Θ因为知有无穷多个式成立，使穷多个式成立，从而也就有无使Θ∆λλ但是由于()()λλij ij k h ,都是多项式，因此Θ式对一切都成立λ；特别，当令0=λ时有 ()()()()()()******0000A B A B B A AB ===故证明之.例10、已知A 和B 为三阶可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211212131*A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100310241*B ，求()*1AB -.解 经计算可得()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-10031010411*B ， 所以 ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--21142113932112121311003101041**1*1A B AB.1.8 ()()**T TA A =证明 由于 E A A A AA ==**所以 ()()()()()TTT T TT T TA A A A E A A A A A *****===又 ()()()()()()()******T T TT TT T TA A A E A A AA A A A ===因此有 ()()**T TA A A A =()1当A 可逆时，则0≠A ， 所以 ()()**T TA A =；()2当A 不可逆时，则0=A ，此时用矩阵A E A 代替矩阵λ-，得 ()()()()**T TE A E A E A E A λλλλ--=--因为矩阵A 的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个λ使得,0≠-E A λ从而有()()()()**T TE A E A λλ-=-令()()()()nn ijTh E A ⨯=-λλ*， ()()()()nn ijT k E A ⨯=-λλ*， ∆所以有 ()()λλij ij k h = ()n j i ,...,2,1,=由此可得存在无穷多个λ使得上式成立，而()()λλij ij k h ,都是多项式，因此上式对一切λ都成立，取0=λ代入∆式时，有 ()()**T TA A =.1.9 伴随矩阵的特征值]5[设矩阵n n A λλλ，，，个特征值有...21；()阵的特征值为为满秩矩阵时，伴随矩当A 1A A A n 11211,...,,---λλλ()2当A 为降秩矩阵时，那么伴随矩阵*A 的n 个特征值至少有1-n 个为0，而且另一个不等于零的特征值假设存在，则等于nn A A A +++...2211.[5]证明 ()1因为A 为满秩矩阵，所以A 为可逆矩阵也即0≠A 1*-=A A A ，此时矩阵A 的特征值均不为零，且1-A 的n 个特征值为,...,1211--λλ,1-n λ，再由1*-=A A A 可得，伴随矩阵有n 个特征值为A A A n 11211,...,,---λλλ；()2 ①当秩()2-≤n A 时，此时，秩()0*=A ，所以0*=A因此 可推得0,0，…,0为伴随矩阵*A 的特征值 此时结论成立.②当秩()1-=n A 时，此时，秩()1*=A ，那么设*A 的特征值为''2'1,...,,n λλλ由假设尔当标准形知，存在可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-''1*10**n T A T λλ ， 其中''2'1,...,,n λλλ为*A 的全部特征值因为()1*=A ，不妨设,0 0'2'1===≠n λλλ而则上式为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0...0.........**'1*1λT A T从而 nn A A A trA +++==...2211*'1λ.例11、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，假设A 有特征值λ，则()E A +3*必有特征值什么?解 由性质知，A 有特征值λ，*A 必有特征值λA，从而()E A +3*必有特征值3⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA +1. 1.10 如果A 是可逆矩阵，且**~,~B A B A 则证明 因为B A ~，则存在可逆矩阵T ，使得 B AT T =-1 把上式两边同时取行列式得B T A T =-1，又由于A 可逆，故0≠A ，从而0≠B ，即B 也是可逆的， 所以，1*1*,--==B B B A A A 由B AT T =-1，则()()111111111---------===B T A T T A T ATT因此 11~--B A 因为B A ~，则B A =把111---=B T A T 两端同时乘以A 得，*1111*1B B B B A T A A T T A T ====-----所以，,**1B T A T =-**~B A .例12、设A 、B 为三阶相似矩阵，A 的特征值为1，1，3，求*B .解 因为A 的特征值为1，1，3， 故3=A ，所以 *A 的特征值为131,31,31=⨯=⨯=⨯A A A ，又因为B A ~，所以**~B A ，所以 *B 的特征值为3，3，1， 所以9*=B .1.11 如果A 是可逆矩阵，且也合同与和合同，则与**B A B A证明 由题中矩阵B A 与合同，因此存在可逆矩阵C ，使[1] B AC C T =，等式两边分别取行列式，得B C A C T = 因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，从而0≠B ，而B A C =2又因为()()11111-----==B C A C ACC TT ， 令()1-=TC T则()()TT TCT 1-==()()11--=C C TT ， 从而11--=B T A T T ， 故是合同的与11--B A ， 从而()11112----==B B T C A A T C B B T A T A C TT 即所以()()**B T C A T C T=，所以**B A 与也合同.2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质[4]2.1 假设A 是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是可逆的对称矩阵a.已知数量矩阵()0≠k kE ，它的伴随矩阵也是数量矩阵；A 是可逆的，则它的伴随矩阵*A 也是对角矩阵.2.2 假设A 是上〔下〕三角矩阵，且A 是可逆的，则*A 也是上〔下〕三角矩阵例13、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100130211A ，故3=A ，所以A 是可逆的，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300110513332313322212312111*A A A A A A A A A A ，所以*A 是可逆的，且为上三角矩阵.2.3 ()1当n 阶实矩阵A 是半正定时，则它的伴随矩阵*A 也是半正定的证明 由于A 是半正定的，因此存在实矩阵C ，使 C C A T = 从而()()()P P C C C C C C A T TTT ====****** 其中()TC P *=即有实矩阵P ，使得P P A T =* 所以*A 也半正定的.()2当n 阶实矩阵A 是正定矩阵时，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵证明 由于矩阵A 是正定的，从而可知存在可逆矩阵T ，使 E AT T T = 所以()()()E E T A T T A T AT T TT T ====********即有 ()E T A T T=***所以 *A 也是正定矩阵.2.4 当n 阶矩阵A 为正交矩阵时，则其伴随矩阵*A 也为正交矩阵[7] 证明 由于A 为正交矩阵，从而可知E A A T =，1±=A ， 而E A AA =*，所以11*--±==A A A A 而()()()E A A A A TT=±±=--11**故*A 也是正交矩阵.例14、设正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121A ，易算⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212121*A ， 从而可算的()=TA A **E,即*A 也为正交矩阵.2.5 假设A 为幂等矩阵，也就是说满足A A =2，当秩()()1-<=n A n A 或秩时，对应可得矩阵*A 也是幂等矩阵[4]证明 ()1当秩()n A =时，由于A A =2，左式两边同时取行列式，得 A A =2，所以1=A ，由A A =2，又可得12--=A A ；而E A AA =*，1*-=A A A ，从而()()()*11221212*A A A A A A A A A ======-----，即()*2*A A =所以，此时*A 也是幂等矩阵.()2当秩()1-<n A 时，可得秩()0*=A ，所以*A =0，当然有()*2*A A =，所以，此时*A 也是幂等矩阵.小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵，从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.参考文献：[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003：177-203[2]贾云峰.矩阵与其伴随矩阵的特征值[J].陕西师范大学继续教育学报，2007年第24卷第1期：98-99[3]乐茂华.高等代数[M].南京大学出版社，2002[4]吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论[J].中国科技信息，2006年第22期：322-323[5]钱吉林.高等代数题解精粹[M].中央民族大学出版社，2009年10月第二版：100-218[6]邱森.高等代数[M].武汉大学出版社，2008[7]王萼芳.高等代数[M].上海科学技术出版社，1981：271-296[8]姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社，1995：38-39[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社，1995[10]张禾瑞.高等代数〔第4版〕[M].北京高等教育出版社，1999[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报，2003年增刊：28-29Some Properties and Applications of the Adjoint Matrix Name:Yang Ting Student Number:200740510647Advisor:Ge XintongAbstract Matrix is a very important point in learning higher algebra,while in matrix’s calculations and application adjoint matrix plays an extremely important role.This paper using some techniques and methods in matrix’s calculations,proved some properties of general n order phalanx and some special matrix’s adjoint matrix.These properties are discussed based on the relationship between the original matrix and adjoint matrix,using the study of matrix methods to begin.Through these properties we can have a deeper understand of matrix and adjoint matrix.Moreover,we can use these properties directly to make it simple when we encountered some problems about adjoint matrix.Keywords matrix ;adjoint matrix; eigenvalue;。
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
1-3 常见特殊矩阵
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . − s c − sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,µ,…
高代矩阵分类
高代矩阵分类
高等代数中的矩阵可以根据不同的特征或性质进行分类。
以下是几种常见的矩阵分类：
1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2. 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线及以上的元素都不为零。
4. 下三角矩阵：主对角线及以下的元素都不为零。
5. 反对称矩阵：满足A^T = -A的矩阵。
6. 对称矩阵：满足A^T = A的矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的矩阵。
8. 正交矩阵：满足A^T * A = I的矩阵。
9. 奇异矩阵：行列式为0的矩阵。
10. 非奇异矩阵：行列式不为0的矩阵。
这些分类仅覆盖了矩阵的一部分，实际上还有其他的矩阵分类方法和特殊类型的矩阵。
矩阵
矩阵数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。
由m n个数排成的m行n列的矩形表称为m×n矩阵,记作A或,也可记作(αij)或。
数称为矩阵的第i行第j列的元素。
当矩阵的元素都是某一数域F中的数时,就称它为数域F上的矩阵,简称F上的矩阵。
当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵,此时α11,α22,…,αnn称为n阶矩阵的对角线元素，当所有的非对角线元素αij(i ≠j)均为零时，A就称为n阶对角矩阵,简称对角矩阵。
当对角线下面(或上面)的所有元素均为0时,A就称为上（或下）三角矩阵。
在m×n矩阵A中取k个行和k个列,k≤m，n；由这些行与列相交处的元素按原来的位置构成的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。
一个n阶矩阵A只有一个n阶子式,它称为矩阵A的行列式，记作│A│或det A。
矩阵-来源英文名Matrix（SAMND矩阵）。
在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
数学上，矩阵用在解线性方程组上既方便，又直观。
例如对于方程组。
a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3来说，我们可以构成一个矩阵：/ \|a1 b1 c1 || ||a2 b2 c2 || ||a3 b3 c3 |\ / 因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。
矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。
数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。
矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。
请参考矩阵理论。
矩阵-矩阵的运算两个矩阵只有在其行数与列数均分别相同，而且所有相应位置的元素均相等时，才能称为相等。
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三对角矩阵在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。
准确来讲：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。
例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是。
尽管一样的三对角矩阵不必然是或，许多解线性代数问题时显现的矩阵却往往有这些性质。
进一步若是一个实三对角矩阵A 知足a k,k+1 a k+1,k > 0，因此它元素的符号都为正，从而于一个埃尔米特矩阵，如此都是实数。
后一个推论若是咱们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥0，结论仍然成立。
所有n×n三对角矩阵的组成一个3n-2维。
许多线性代数应用于对角矩阵时所需专门少，这种改良也常常被三对角矩阵继承。
譬如，一个n 阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：那个地址是第k个主，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。
用此方式计算三对角矩阵所需计算量是线性n，但是关于一样的矩阵复杂度是n 的3 次方。
计算程序一个将一样矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。
从而，许多运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。
一个三对角矩阵利用特定的比一样矩阵所用的存储空间也少得多。
例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包括对角元素，其它两个长为n−1 包括下对角线和上对角线元素。
三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的解出来（Golub and Van Loan）。
正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的，因此老是。
尽管咱们在那个地址只考虑实数矩阵，那个概念可用于其元素来自任何的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，关于复数的矩阵这致使了归一要求。
要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。
v的长度的平方是v T v。
若是矩阵形式为Q v的线性变换维持了向量长度，那么。
因此有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。
反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。
可是，包括了在既不是有限维的也不是一样维度的空间之间的，它们没有等价的正交矩阵。
有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。
n×n正交矩阵形成了一个，即指示为O （n）的，它和它的子群普遍的用在数学和物理科学中。
例如，分子的是O（3）的子群。
因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字中很多算法比如的关键，通过适当的标准化，（用于紧缩）可用正交矩阵表示。
例子下面是一些小正交矩阵的例子和可能的说明。
恒等变换。
旋转16.26°。
针对x轴反射。
旋转反演（rotoinversion）:轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。
置换坐标轴。
大体构造低维度最简单的正交矩阵是1×1矩阵[1]和[−1]，它们可别离说明为恒等和实数线针对原点的反射。
如下形式的2×2矩阵它的正交性要求知足三个方程。
在考虑第一个方程时，不丢失一样性而设p= cos θ, q= sin θ；因此要么t= −q, u= p要么t= q, u= −p。
咱们能够说明第一种情形为θ(θ= 0是单位矩阵)，第二个说明为针对在角θ/2的直线的。
旋转反射在45°的反射对换x和y；它是，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0):。
单位矩阵也是置换矩阵。
反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是的（等于它的转置矩阵）也是正交的。
两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。
更高维度不管维度，老是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，可是关于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。
例如，和表示通过原点的和关于z轴的(逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。
旋转也变得加倍复杂；它们再也不由一个角来刻画，并可能阻碍多于一个平体面空间。
尽管常常以一个轴和角来描述3×3旋转矩阵，在那个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。
可是，咱们有了一样适用的大体建造板块如置换、反射、和旋转。
大体变换最大体的置换是换位（transposition），通过互换单位矩阵的两行取得。
任何n×n置换矩阵都能够构造为最多n−1次换位的积。
构造自非零向量v的为。
那个地址的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。
这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。
若是v是单位向量，那么Q= I−2vv T就足够了。
Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部份。
任何n×n正交矩阵都能够构造为最多n次这种反射的积。
作用于由两个坐标轴所生成的二维（平面）子空间上，按选定角度旋转。
它典型的用来置零一个单一的次对角线元素（subdiagonal entry）。
任何n×n的旋转矩阵都能够构造为最多n(n−1)/2次这种旋转的积。
在3x3矩阵的情形下，三个这种旋转就足够了；而且通过固定那个序列，咱们能够用常常叫做的三个角来（尽管不唯一）描述所有3×3旋转矩阵。
有同Givens旋转一样的形式，可是被用做，选择来置零2×2子矩阵的两个远离对角元素（off-diagonal entry）。
性质矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有一般欧几里得的R n的，它为真当且仅当它的行形成R n的正交基。
假设带有正交（非正交标准）列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，可是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是M T M= D，D是。
任何正交矩阵的是 +1或−1。
这可从关于行列式的如下大体事实得出:。
反过来不是真的；有 +1行列式不保证正交性，即便带有正交列，可由以下反例证明。
关于置换矩阵，行列式是 +1仍是−1匹配置换是偶仍是奇的，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总能够是在上来展现的完全的集合，它们全都必需有（复数）1。
群性质正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。
事实上，所有n×n正交矩阵的集合知足的所有公理。
它是n(n−1)/2维的，叫做并指示为O（n）。
行列式为 +1的正交矩阵形成了的为2的O（n），叫做的SO（n）。
O（n）/SO（n）同构于O（1），带有依据行列式选择[+1]或[−1]的投影映射。
带有行列式−1的正交矩阵不包括单位矩阵，因此不形成子群而只是；它也是（分离的）连通的。
因此每一个正交群被分为两个部份；因为投影映射，O（n）是SO（n）与O（1）的。
用有效术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵能够通过采纳一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成，如咱们在2×2矩阵中看到的。
若是n是奇数，那么半直积事实上是，任何正交矩阵能够通过采纳一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。
此刻考虑 (n+1)×(n+1)右底元素等于1的正交矩阵。
最后一列（和最后一行）的余下元素必需是零，而任何两个这种矩阵的积有一样的形式。
余下的矩阵是n×n正交矩阵；因此O （n）是O(n+1) (和所有更高维群)的子群。
因为Householder正交矩阵形式的大体反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式，一系列的这种反射能够把任何正交矩阵变回单位矩阵；因此正交群是。
最后一列能够被固定为任何单位向量，而且每种选择给出不同的O（n）在O(n+1)中的复本；以这种方式O(n+1)是在单位球S n与纤维O（n）上的。
类似的，SO（n）是SO(n+1)的子群；任何特定正交矩阵能够利用类似进程通过Givens 平面旋转来生成。
丛结构持续: SO（n）↪SO(n+1) →S n。
一个单一旋转能够在最后一列的第一行生成一个零，而n−1次旋转序列将置零n×n旋转矩阵的除最后一列的最后一行的所有元素。
因为平面是固定的，每次旋转只有一个自由度，确实是它的角度。
通过归纳，SO（n）因此有自由度，O（n）也是。
置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，n! 次S n。
通过同类的讨论，S n 是S n+1的子群。
偶置换生成行列式 +1的置换矩阵的子群，n!/2次。
标准形式更普遍的说，任何正交矩阵的成效分离到在正交二维空间上的独立动作。
确实是说，若是Q是狭义正交的，那么你能够找到（旋转）改变基的一个正交矩阵P，把Q带回到分块对角形式:(n偶数)， (n奇数)。
那个地址的矩阵R1,...,R k是2×2旋转矩阵，而余下的元素是零。
作为例外，一个旋转块能够是对角的，±I。
因此若是需要的话取负一列，并注意2×2反射可对角化为 +1和−1，任何正交矩阵可变成如下形式,矩阵R1,…,R k给出位于中单位圆上的特点值的共轭对；因此那个分解复合确信所有带有1的。
若是n是奇数，至少有一个实数特点值 +1或−1；关于3×3旋转，关联着 +1的特点向量是旋转轴。
数值线性代数优势自然的利用了正交矩阵的很多数值的性质。
例如，常常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采纳了正交矩阵的形式。
有行列式±1和所有模为1的特点值是对超级有利的。
一个蕴涵是为1 (这是极小的)，因此在乘以正交矩阵的时候错误不放大。
很多算法为此利用正交矩阵如和。
有帮忙的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引（下标）。
置换是很多算法成功的全然，包括有局部定支点（partial pivoting）的运算繁重的（那个地址的置换用来定支点）。
可是它们很少明显作为矩阵显现；它们的特殊形式许诺更有限的表示，比如n个索引的列表。
一样的，利用Householder和Givens矩阵的算法典型的利用特殊方式的乘法和存储。
例如，Givens旋转只阻碍它所乘的矩阵的两行，替代完全的n3次的为更有效的n次运算。
在利用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候，腾出的空间足够存储充沛的数据来重生成那个变换。
[]分解一些重要的（Golub & Van Loan, 1996）涉及到了正交矩阵，包括:M= QR, Q正交，R上三角。
M= UΣV T, U和V正交，Σ非负对角。
S= QΛQ T, S对称，Q正交，Λ对角。
M= QS, Q正交，S对称非负确信。
正定矩阵在里，正定矩阵（即“正数-确信-矩阵”）是的一种，有时会简称为正定阵。
在中，正定矩阵的性质类似中的。
与正定矩阵相对应的是（复域中那么对应）。
概念一个n×n的实M是正定的关于所有的非零实系数z，都有z T Mz > 0。
其中z T表示z 的。
关于的情形，概念那么为：一个n×n的M是正定的当且仅当关于每一个非零的复向量z，都有z*Mz> 0。
其中z*表示z的。