各类矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵

三对角矩阵

在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。准确来讲：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：

性质

三对角矩阵是。尽管一样的三对角矩阵不必然是或，许多解线性代数问题时显现的矩阵却往往有这些性质。进一步若是一个实三对角矩阵A 知足a k,k+1 a k+1,k > 0，因此它元素的符号都为正，从而于一个埃尔米特矩阵，如此都是实数。后一个推论若是咱们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥0，结论仍然成立。

所有n×n三对角矩阵的组成一个3n-2维。

许多线性代数应用于对角矩阵时所需专门少，这种改良也常常被三对角矩阵继承。譬如，一个n 阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：

那个地址是第k个主，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。用此方式计算三对角矩阵所需计算量是线性n，但是关于一样的矩阵复杂度是n 的3 次方。

计算程序

一个将一样矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的比一样矩阵所用的存储空间也少得多。例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包括对角元素，其它两个长为n−1 包括下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的解出来（Golub and Van Loan）。

正交矩阵

概述

正交矩阵是实数特殊化的，因此老是。尽管咱们在那个地址只考虑实数矩阵，那个概念可用于其元素来自任何的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，关于复数的矩阵这致使了归一要求。

要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是v T v。若是矩阵形式为Q v的线性变换维持了向量长度，那么

。

因此有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。可是，包括了在既不是有限维的也不是一样维度的空间之间的，它们没有等价的正交矩阵。

有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n正交矩阵形成了一个，即指示为O （n）的，它和它的子群普遍的用在数学和物理科学中。例如，分子的是O（3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字中很多算法比如的关键，通过适当的标准化，（用于紧缩）可用正交矩阵表示。

例子

下面是一些小正交矩阵的例子和可能的说明。

恒等变换。

旋转16.26°。

针对x轴反射。

旋转反演（rotoinversion）:轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。

置换坐标轴。

大体构造

低维度

最简单的正交矩阵是1×1矩阵[1]和[−1]，它们可别离说明为恒等和实数线针对原点的反射。

如下形式的2×2矩阵

它的正交性要求知足三个方程

。

在考虑第一个方程时，不丢失一样性而设p= cos θ, q= sin θ；因此要么t= −q, u= p要么t= q, u= −p。咱们能够说明第一种情形为θ(θ= 0是单位矩阵)，第二个说明为针对在角θ/2的直线的。

旋转反射

在45°的反射对换x和y；它是，在每列和每行带有一个单一的1(其他都是0):

。

单位矩阵也是置换矩阵。

反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。

更高维度

不管维度，老是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，可是关于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，

和

表示通过原点的和关于z轴的(逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演)。

旋转也变得加倍复杂；它们再也不由一个角来刻画，并可能阻碍多于一个平体面空间。

尽管常常以一个轴和角来描述3×3旋转矩阵，在那个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。

可是，咱们有了一样适用的大体建造板块如置换、反射、和旋转。

大体变换

最大体的置换是换位（transposition），通过互换单位矩阵的两行取得。任何n×n置换矩阵都能够构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的为

。

那个地址的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。若是v是单位向量，那么Q= I−2vv T就足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部份。任何n×n正交矩阵都能够构造为最多n次这种反射的积。

作用于由两个坐标轴所生成的二维（平面）子空间上，按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次对角线元素（subdiagonal entry）。任何n×n的旋转矩阵都能够构造为最多n(n−1)/2次这种旋转的积。在3x3矩阵的情形下，三个这种旋转就足够了；而且通过固定那个序列，咱们能够用常常叫做的三个角来（尽管不唯一）描述所有3×3旋转矩阵。

有同Givens旋转一样的形式，可是被用做，选择来置零2×2子矩阵的两个远离对角元

素（off-diagonal entry）。

性质

矩阵性质

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有一般欧几里得的R n的，它为真当且仅当它的行形成R n的正交基。假设带有正交（非正交标准）列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，可是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是M T M= D，D是。

任何正交矩阵的是 +1或−1。这可从关于行列式的如下大体事实得出: