数列极限例题

三、数列的极限 观察数列})1(1{1

n

n --+当∞→n 时的变化趋势. 问题: 当n 无限增大时, n x 是否无限接近于某一确定的数值？如果是, 如何确定？ 通过上面演示实验的观察：

当n 无限增大时， n

x n n 1

)1(1--+=无限接近于1. 问题： “无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它.

=-1n x n n n 11)1(1

=-- 给定,1001 由,10011n 时， 有,100

11<-n x 给定,10001只要1000>n 时， 有,1000

11<-n x 给定,100001只要10000>n 时, 有,10000

11<-n x 给定,0>ε只要])1[(ε

=>N n 时， 有ε<-1n x 成立. 定义 如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N , 使得对于N n >时的一切n x , 不等式ε<-a x n 都成立, 那末就称常数a 是数列n x 的极限， 或者称数列n x 收敛于a ， 记为

,lim a x n n =∞→ 或).(∞→→n a x n

如果数列没有极限， 就说数列是发散的。

注意：

N -ε定义,0,0lim :>∃>∀⇔=∞

→N a x n n ε 使N n >时, 恒有.ε<-a x n 其中记号:∀每一个或任给的； :∃至少有一个或存在。

数列收敛的几何解释:

当N n >时, 所有的点n x 都落在),(εε+-a a 内, 只有有限个(至多只有N 个）落在其外.

注意:数列极限的定义未给出求极限的方法.

121+N 3ε

2

例1 证明.1)1(lim 1

=-+-∞→n

n n n 证 注意到1-n x 1)1(1--+=-n n n n

1=. 任给,0>ε 若要,1ε<-n x 只要,1ε

>n 所以, 取 ],1

[ε

=N 则当N n >时, 就有 ε<--+-1)1(1

n

n n . 即.1)1(lim 1

=-+-∞→n

n n n 重要说明：(1）为了保证正整数N ,常常对任给的,0>ε给出限制10<<ε；

（2）逻辑“取 ],1

[ε=N 则当N n >时, 就有ε<--+-1)1(1

n n n ”的详细推理见下,以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.

由于111+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=N N ε

ε，所以当N n >时一定成立ε11>+≥N n ，即得ε

成立.

严格写法应该是：任给,0>ε 不妨取10<<ε， 若要1-n x =1)1(1--+=-n

n n n 1=<ε ，只要 ,1ε>n 所以, 取 ],1[ε=N 则当N n >时， 由于111+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=N N ε

ε，所以当N n >时一定成立ε11>+≥N n ，即得ε

成立。 也就是成立 1-n x =1(1)11n n n n

ε-+--=<. 即.1)1(lim 1

=-+-∞→n

n n n 小结: 用定义证数列极限存在时， 关键是任意给定,0>ε寻找N , 但不必要求最小的N 。

例3证明0lim =∞→n

n q , 其中1(要求ε〈1) 若,0=q 则;00lim lim ==∞→∞→n n n q 若,10<

,ln ln q n ε>∴ 取ln [](1),ln N q

ε=+ 则当N n >时， 就有,0ε<-n q .0lim =∴∞

→n n q 说明：当作公式利用： ⎝

⎛-==>∞<=∞→.1,1,1,1,,1,0lim q q q q q n n 不存在，