第1课时 平方根
人教版七年级数学下册实数《平方根(第1课时)》示范教学课件
（第1课时）
人教版七年级数学下册
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
你一定会算出边长应取 5 dm，说一说，你是怎样算出来的？
因为 52＝25，所以这个正方形画布的边长应取 5 dm．
填表：
你能指出它们的共同特点吗？
例3 计算：(－1)2 023－|－5|×(－6)＋ ．
解：原式＝－1－5×(－6)＋7＝－1＋30＋7＝36．
综合计算题的运算顺序解决综合计算题要从高级运算到低级运算，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
例4 已知 ，求 x＋y＋z 的值．
被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算．
通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
平方运算
例2 求下列各式的值：（1） ；（2） ；（3） ．
算术平方根
算术平方根的应用
算术平方根的相关概念
算术平方根的非负性
பைடு நூலகம்
正方形的面积 / dm2
1
9
16
36
正方形的边长 / dm
1
3
4
6
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．
规定：0 的算术平方根是 0．
a
（1）a 的取值范围是什么？ （2）算术平方根 x 的取值范围是什么？
a 是非负数，即 a≥0．
第1课时 算术平方根
第六章实数6.1 平方根第1课时算术平方根1.理解并掌握算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性，会求一个非负数的算术平方根.2.能用夹值法求一个数的算术平方根.3.会用计算器求一个数的算术平方根.自学指导：阅读教材第40至44页，独立完成下列问题.知识探究一般地，如果一个非负数的平方等于a，那么这个非负数叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为a，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.自学反馈(1)25的算术平方根是5，3是9的算术平方根，16的算术平方根是2.(2)切一块面积为16 cm2的正方形钢板，它的边长是多少？解：4 cm.(3)3表示3的算术平方根；如果-x2有平方根，那么x的值为0.(4)一个数的算术平方根是a，则比这个数大8的数是(D)A.a＋8B.a-4C.a2-8D.a2＋8(5)若81=9，那么0.0081=0.09，810000=900.(6)用计算器求下列各数的算术平方根.①625; ②101.203 6; ③5(精确到0.01).对于实际问题可以转化成数学问题来解决，如题(2)，就是求平方等于16的正数.若被开方数的小数点向左或向右移2n位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动n位.活动1 学生独立完成例1求下列各式的值：(1)3·25; (2)81+36; (3)0.04-124; (4)0.36·4121.解：(1)原式=3×5=15;(2)原式=9+6=15;(3)原式=0.2-1.5=-1.3;(4)原式=35×211=655.1.求一个数a(a>0)的算术平方根就是确定一个正数x，使得x2=a.2.求一个代分数的算术平方根，应先将代分数化成假分数，再求其算术平方根.例2试比较下列各对数的大小：(1)123与112; (2)412与25.解:(1)∵112=94，而213=73>94，∴123>112.(2)∵412=814，25=20，而814>20，∴814>20，即412>25.要比较两个数的大小，可以由算术平方根的意义，去比较它们的被开方数的大小.本题就是用“转化”的数学思想，将其“转化”成比较根号下被开方数的大小.例3试估算7的取值范围是2＜7＜3.活动2 跟踪训练1.一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是(D)A.a+1B.a2+1C.a+1D.21a 注意审题，先确定这个自然数，再确定下一个自然数的算术平方根.2.估算31-2的值(C)A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间31.3.9a b，则a+b=900.000 009.活动3 课堂小结1.算术平方根的意义是求一个正数的算术平方根的基本方法.2.运用“转化”的数学思想方法，并通过恒等变形达到求解目的是对能力的一种考察.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
人教版七年级数学下册教学课件《平方根》(第1课时)
求下列各式的值：
（1）
1
；
（2）
9 25
；
（3） 42 ；
（4） 0
．
解：（1） 1 1 ；
（2）
9 25
3 5
；
（3） 42 4 ；
（4） 0 0 ．
探究新知 知识点 2 算术平方根的双重非负性
6.1 平方根
1. 负数有算术平方根吗？ 2. a 是什么数？ 3. a 中的a可以取任何数吗？
探究新知
6.1 平方根
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a ,读作
“ 根号 a” .
规定：0的算术平方根是0，即 0 0 .
探究新知
6.1 平方根
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ 平方根号
x2 a 互为 x a (x≥0) 逆运算
6.1 平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；
（2）49 ； 64
（3）0.0001．
解：（1）因为 102=100 ， 所以100的算术平方根是10 ． 即 100=10 ．
探究新知
6.1 平方根
（2） 49 ； 64
解：（2）因为 （7）2 49 ， 8 64
所以 49 的算术平方根是 7 ．
3
66
x
3
y
4z
7 3
3
7 6
4
35 6
175 6
.
课堂小结
算术平方根的概念
6.1 平方根
算术平 方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
课后作业
作业 内容
6.1平方根(第1课时) 教学设计
6.1平方根(第1课时）教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.教学重点表示正数的算数平方根教学难点√2多大探究教学过程一、情景引入讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
二、新知探究活动一：算数平方根探究：问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?说一说，你是怎样算出来的？因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.问题2：完成表1：正方形的边长/dm 1 3 9 2 3正方形的面积/dm²1 9 81 49思考：你能从表1发现什么共同点吗？已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算问题3：完成表2：正方形的面积/dm² 4 49 0.36964正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
平方根第1课时课件人教版七年级数学下册
因为1.412=1.9981,1.422=2.0164，所以1.41< 2 <1.42
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以1.414< 2 <1.415．
······
如此进行下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
三、概念剖析
思考：你能计算出 2 的值吗？
按键顺序：
正方形的面积/dm2 1 正方形的边长/dm 1
9
16 36
4
25
2
3
46
5
思考：你能从表格中发现什么共同点吗？
上面的问题，实际上是已知一个数的平方，求这个正数的问题.
三、概念剖析
新知
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就
叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作“ a ”，读作“根号 a ”，a
【当堂检测】
3.在计算器上按键
正确的是 （ B ）
A. 3
B. －3
C. －1
，下列计算结果 D. 1
【当堂检测】
4.某地新建一个以环保为主题的公园,开辟了一块长方形的荒地,已知这 块荒地的长是宽的3倍,它的面积为600000m2,那么公园的宽约为B( )
A．320m B．447m C．685m D．320m或447m 解析：设长方形的宽为x，长则为3x， 建立方程式：x·3x＝600000，
五、课堂总结
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就
叫做 a 的算术平方根，a 的算术平方根记作“ a ”，读作“根号 a ”，a
叫做被开方数．
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 0 0 ．
平方根第1课时(精华版)
$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $sqrt{b^2 4ac}$ 为方程的根
判别式与平方根关系
判别式定义
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式与平方根关系
当 $Delta geq 0$ 时，方程有实数解；当 $Delta < 0$ 时，方程 无实数解。
估算法
对于不能直接开方的数，可以采用估算法。首先确定该数在哪两 个完全平方数之间，然后逐步逼近。
因式分解法求平方根
提取公因式
将被开方数写成几个因数的乘积 ，然后分别求出每个因数的平方 根，最后相乘得到结果。
分组分解
将被开方数进行适当的分组，使 每组都能提取公因式或应用公式 法进行因式分解，然后求出各组 的平方根并相乘。
平方根表示方法
非负平方根用符号“$sqrt{}$”表示，如$sqrt{b}$ 表示$b$的非负平方根。
平方根存在条件
只有非负数才有实数平方根，负数没有实数平方根 。
平方根性质
02
01
03
非负性
平方根的结果总是非负的。
对称性
若$a$是$b$的平方根，则$-a$也是$b$的平方根。
唯一性
对于给定的非负数，其平方根是唯一的。
平方根性质
复数中平方根具有一些独特的性质，如多值 性、周期性等。同时，平方根运算也满足一 些基本的运算法则，如乘法公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$在复数中仍然成立。
复数中平方根运算方法
直接开方法
三角形式法
指数形式法
对于形如$z = a + bi$的复数，可以 直接使用开方法求解其平方根，即 $sqrt{z} = sqrt{a+bi}$。需要注意的 是，开方时要选择合适的分支。
人教版七年级数学下册 (平方根)实数教学课件(第1课时算术平方根)
课堂小结
6.1 平方根
第六章 实 数
第2课时 用计算器求算术平方根及其大小比较
2.判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求出它们的算术平方根. -36 , 0.09 , , 0 , 2 , .
填表：
表1
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
4
0. 25
正方形的面积
1
4
0.36
49
正方形的边长
已知一个正数的平方，求这个正数.
表2
表一和表二中的两种运算有什么关系？
1
2
0.6
7
思考：你能从表2发现什么共同点吗？
小数位数无限,且小数部分不循环
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
一、无限不循环小数的概念
例1：估算 -2的值 ( ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是 . (3) 的算术平方根为 . (4) 2的算术平方根为____.
解:（1）由于102=100，
典例精析
（3）由于0.72=0.49，
不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
例2 计算：（1） ； （2） .
典例精析
B
估计一个有理数的算术平方根的近似值，必 须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间
第1课时 算术平方根
谢谢观赏！
.
18.(2023 东平月考)已知 a,b 满足 -+(b-3) =0.2来自(1)求 a,b 的值;
(2)若 a,b 为△ABC 的两边长,第三边长 c= ,求△ABC 的面积.
解:(1)根据题意,得a-2=0,b-3=0,解得a=2,b=3.
(2)因为 a +b =2 +3 =13,c =( ) =13,
A.4
B.2
C.±2
D.3
15.(2024 济宁期末) 的算术平方根的相反数是 -2
.
16.(2023 湖北)请写出一个正整数 m 的值,使得 是整数:m= 2(答案
不唯一) .
17.有这样一个探究活动:如图①所示,把两个边长为1 dm 的小正方形
分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就可以得到一个
s).若导线电阻为5 Ω,2 s时间导线产生90 J的热量,求电流I.
解:由题意可得R=5 Ω,t=2 s,Q=90 J,
所以90=I2×5×2,
所以I2=9,
所以I=3,
所以电流I是3 A.
能力提升练
14.(2024 广饶期末)若 =3,|b|=5,且 ab<0,则 a+b 的算术平方根为
(
B )
(6) .=2.5.
=- .
算术平方根的性质
6.有下列说法:①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是
正数;③a2的算术平方根是a;④(π-4)2的算术平方根是π-4;⑤算术平方
根不可能是负数.其中不正确的有(
A.2个
B.3个 C.4个
) C
D.5个
7.(2024 牟平期末)若 (-) =2 则 a 的值为(
14.1 平方根 - 第1课时课件(共20张PPT)
-
-1
0
1
3
...
x2
...
...
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.
平方根的性质：
归纳：
平方根的表示方法：正数a的正的平方根记作： 读作“根号a”.正数a的负的平方根记作： 读作“负根号a”.正数a的两个平方根记作：
2.某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是( )A．1 B．3 C．－3 D．93.7的平方根是________．
Dห้องสมุดไป่ตู้
4.求下列各数的平方根:（1）64；（2）1.21；（3）2
拓展提升
1.若一个数的平方等于5，则这个数等于________．2.
C
3.若3x-2和5x+6是一个正数a的平方根，求这个正数a的值.
新知引入
做一做
定义：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
一起探究
1.填写下表：2.观察填写后的表格，探究：（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？（3）负数有平方根吗？
x
...
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
被开方数
读作：正、负根号a
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
谈一谈
我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
对于正数来说，开平方与平方互为逆运算.
例1 求下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）0.04.
例题解析
随堂练习
算术平方根(第1课时)-【名师经典教学设计课件】
加速度教学设计加速度是力学中的重要概念，它是联系动力学和运动学的桥梁，本节课的重点是加速度的概念及其物理意义，难点是加速度和速度的区别。
加速度是用比值定义法定义的物理量，教材从加速度的定义出发，提出了变化率的概念，正确理解变化率的含义，对学习和正确理解其他用比值定义的物理量具有非常重要的意义。
以学生为主导，让学生自己定义概念。
在定义加速度的过程中，通过学生的讨论与交流，引导学生自己用△v/△t的比值来描述速度变化的快慢，把加速度看成是一个比值的符号，“加速度”只是一个符号的名称而已，实现了把抽象的概念具体化，把生硬的概念形象化的目的。
学生把加速度看作是一个新认识的朋友，对陌生的概念产生了亲切感，他们亲身经历了定义加速度概念的全过程，对概念的理解就更加深刻了。
但教后的感觉还有待于提高。
本节课有意识进行控制变量法和用比值定义物理量的方法教育，对于控制变量法的教育是在潜移默化中进行的，对于用比值定义物理量的方法，不但向学生指明是用比值来定义加速度，且和学生一起回顾了平均速度的定义及初中学习的压强、密度、电阻等物理量的定义。
其目的是让学生明白，很多物理量是为了研究或描述的方便而定义出来的，使学生消除了对物理量的神秘感和恐惧感进而产生亲切感。
本节课的教学难点是加速度的方向和加速度与速度的区别，对于加速度的方向的教学，是让学生根据位移和速度的矢量性来讨论加速度的矢量性，需选择更有效的教学方法进行授课。
加速度教学设计加速度是力学中的重要概念，它是联系动力学和运动学的桥梁，本节课的重点是加速度的概念及其物理意义，难点是加速度和速度的区别。
加速度是用比值定义法定义的物理量，教材从加速度的定义出发，提出了变化率的概念，正确理解变化率的含义，对学习和正确理解其他用比值定义的物理量具有非常重要的意义。
以学生为主导，让学生自己定义概念。
在定义加速度的过程中，通过学生的讨论与交流，引导学生自己用△v/△t的比值来描述速度变化的快慢，把加速度看成是一个比值的符号，“加速度”只是一个符号的名称而已，实现了把抽象的概念具体化，把生硬的概念形象化的目的。
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第6章 实数
6.1 平方根、立方根
第1课时 平方根
【教学目标】
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2.了解平方运算与开平方运算的互逆关系，会利用这种互逆关系求某些非负数的平方根；理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
【教学重点】
平方根的概念、求正数和零的平方根.
【教学难点】
求一个正数的平方根.
教学过程
一、组织教学，复习提问
1.计算.
22＝ (－2)2
＝ (12)2＝ (－12)2＝ 0.32＝ (－0.3)2＝ 02＝
生：22＝4、(－2)2
＝4，(12)2＝14，(－12)2＝14，0.32＝0.09，(－0.3)2＝0.09，02＝0.
2.平方等于16的数是多少？
生：±4，它们互为相反数.
师：通过练习，同学们发现互为相反数的两个数的平方有什么特征？任何有理数的平方都是什么数？有没有平方为负数的数？平方等于16的数有什么特征？
生：互为相反数的两个数的平方相等；任何有理数的平方都是非负数；没有平方为负数的数；平方等于16的数有两个，它们互为相反数.
二、创设情境，引入新课
1.创设情境.
多媒体展示：
问题1：装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，如图.当这种地砖一块的边长为0.5 m时，它的面积是多少？这可通过乘方求得：0.52＝0.25(m2).反之，如果问，当这块正方形地砖面积为0.25 m2时，它的边长是多少，该怎么算呢？
师：问题中，已知正方形地砖的边长为0.5 m时，每块小正方形地砖的面积是多少？如何计算？
生：每块小正方形地砖的面积是：边长×边长＝0.5×0.5＝0.25(m2).
师：问题中，已知正方形地砖的面积为0.25 m2时，它的边长是多少，该怎么算呢？
生：设这个小正方形地砖的边长为x m，由题意有x2＝0.25.
师：由以上分析可知，这个实际问题所对应的数学问题是：已知一个数的平方，求这个数.平方等于0.25的数为±5，符合实际问题的值为0.5 m.
2.引入新课.
师：(1)已知一个数的平方，求这个数.这就是本节课要学习的平方根与开平方运算.
(2)平方根的概念.
课本第2页.
一般地，如果一个数的平方等于a那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
师：将定义中的“这个数”设为x，请同学们根据定义用数学符号语言来表示平方根的定义.
生：如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根.
师：请完成填空：因为102＝________，(－10)2＝________，所以100的平方根是________.
生：因为102＝100，(－10)2＝100，所以100的平方根是±10.
3.交流.
师：从复习提问计算题1的结果看：4的平方根是多少？1
4的平
方根是多少？0.09的平方根是多少？0的平方根是多少？
生：4的平方根是±2，14的平方根是±12，0.09的平方根是±0.3，0
的平方根是0.
教师多媒体展示课本第2页，并让学生交流.
生：16的平方根是±4，它们的关系是互为相反数；0的平方根是0.
师：－9有没有平方根？为什么？
生：负数没有平方根.
教师引导学生归纳平方根的性质并给出根号的记法和读法：
(1)正数a 的平方根有两个，它们互为相反数； 用“a ”表示其中正的平方根，读作“根号a ”，另一个负的平方根记为“－a ”，其中a 叫做被开方数.
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
4.开平方.
(1)开平方运算.
师：求一个数的平方根的运算叫做开平方.
(2)平方运算与开平方运算的关系.
教师多媒体展示：
提出问题：从图中你能发现数的平方运算与开平方运算有什么关
系吗？
生：数的平方运算与开平方运算互为逆运算.
师：平方运算的结果是什么？开平方运算与平方根有什么关系？ 生：平方运算的结果是平方数，开平方运算的结果是平方根. 教师归纳：
三、例题分析
【例】 (多媒体展示课本例1)判断下列各数是否有平方根，如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.
(1)25 (2)14 (3)0.016 9 (4)－64
师：平方等于25的数是什么？25的平方根是什么？ 生：平方等于25的数是±5，所以25的平方根是±5.
师：平方等于14的数是什么？14的平方根是什么？
生：平方等于14的数是±12，14的平方根是±12.
师：平方等于0.016 9的数是什么？0.016 9的平方根是什么？ 生：平方等于0.016 9的数是±0.13，0.016 9的平方根是±0.13. 师：有没有平方等于－64的数？－64有平方根吗？
生：因为任何数的平方都是非负数，所以－64没有平方根. 教师归纳：检验一个数是不是另一个数的平方根，可用平方运算
检验所求的平方根是否正确.
四、巩固练习
求下列各数的平方根.(多媒体展示题目，学生板演)
(1)36 (2)2516 (3)179 (4)0.81 (5)(－4)2
五、提升练习(多媒体展示题目，学习板演)
依据平方根的意义，求x 的值.
1.9x 2＝25
2.(x ＋1)2－5＝4
3.x 2－16＝0
指名板演，其余学生在练习本上完成，集体反馈.
六、课堂小结
教师引导学生按下列内容进行小结：
1.平方根.
2.平方根的性质.
3.开平方运算.
4.开平方运算与平方运算互为逆运算，可以利用平方运算求出一些数的平方根.。