控制系统根轨迹分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
7.3 控制系统根轨迹分析
2、绘制系统的根轨迹rlocus() 、绘制系统的根轨迹 调用的格式： 调用的格式： rlocus(num,den) %在图形窗口绘制 在图形窗口绘制SISO系统的根轨迹 在图形窗口绘制 系统的根轨迹 (num,den为系统开环传函的分子、分母多项式系数向量 为系统开环传函的分子、 为系统开环传函的分子 分母多项式系数向量) rlocus(sys) %在图形窗口绘制 在图形窗口绘制SISO系统 系统sys的根轨迹 在图形窗口绘制 系统 的根轨迹 (sys为系统的开环传函 为系统的开环传函) 为系统的开环传函 [r,k] = rlocus(sys) %得到系统的闭环极点r ,及所对应的 %得到系统的闭环极点 ,及所对应的 得到系统的闭环极点r 开环增益k 从 至 所对应的闭环极点 所对应的闭环极点) 开环增益 (k从0至∞所对应的闭环极点 rlocus(sys,k) %绘制指定开环增益 下系统的闭环极点 绘制指定开环增益k下系统的闭环极点 绘制指定开环增益 r = rlocus(sys,k) %求指定的开环增益 下系统闭环极点 求指定的开环增益k下系统闭环极点 求指定的开环增益 rlocus(sys1,sys2,...)
Matlab控制系统工具箱提供了有关根轨迹的函数 控制系统工具箱提供了有关根轨迹的函数 （p196表7-2） 表 ） 1、绘制系统的零极点图 、绘制系统的零极点图pzmap() 调用的格式： 调用的格式： pzmap(sys) %在图形窗口绘制系统 在图形窗口绘制系统sys的零极点图 的零极点图(SISO) 在图形窗口绘制系统 的零极点图 (对于 对于MIMO系统，绘制系统的极点和传递零点 系统， 对于 系统 绘制系统的极点和传递零点) pzmap(sys1,sys2,...,sysN) [p,z] = pzmap(sys) %得到零极点的列向量 得到零极点的列向量(SISO))(对于 得到零极点的列向量 对于 MIMO系统，得到极点的列向量和传递零点的列向量 系统， 系统 得到极点的列向量和传递零点的列向量)
控制系统的根轨迹分析
实验四 控制系统的根轨迹分析一. 实验目的:1. 学习利用MATLAB 语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容:1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益K 的范围。
3. 实验前利用图解法画出系统的根轨迹，算出系统稳定的增益范围，与实测值相比较。
4. 应用SIMULINK 仿真工具，建立闭环系统的实验方块图进行仿真。
观察不同增益下系统的阶跃响应，观察闭环极点全部为实数时响应曲线的形状；有共轭复数时响应曲线的形状。
（实验方法参考实验二）5. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验原理:根轨迹分析法是由系统的开环传递函数的零极点分布情况画出系统闭环根轨迹，从而确定增益K 的稳定范围等参数。
假定某闭环系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 利用MATLAB 的下列语句即可画出该系统的根轨迹。
b=[1 1]； ％确定开环传递函数的分子系数向量a1=[l 0]； ％确定开环传递函数的分母第一项的系数a2=[l -1]； ％确定开环传递函数的分母第二项的系数a3=[l 4 16]； ％确定开环传递函数的分母第三项的系数a=conv(al ，a2)； ％开环传递函数分母第一项和第二项乘积的系数 a=conv(a ，a3)； ％分母第一项、第二项和第三项乘积的系数 rlocus(b,a) ％绘制根轨迹，如图（4-l ）所示。
p=1.5i ； ％ p 为离根轨迹较近的虚轴上的一个点。
[k ，poles]=rlocfind(b ，a ，p) ％求出根轨迹上离p 点很近的一个根及所对应的增益K 和其它三个根。
K=22.5031， poles= -1.5229+2.7454i -1.5229-2.7454i0.0229+1.5108i 0.0229-1.5108i再令p=1.5108i ，可得到下面结果:k=22.6464， poles=-1.5189+2.7382i -1.5189-2.7382i0.0189+1.5197i 0.0189-1.5197i再以此根的虚部为新的根，重复上述步骤，几步后可得到下面的结果： k=23.316， poles=-1.5000+2.7040i -1.5000-2.7040i0.0000+1.5616i 0.0000-1.5616i这就是根轨迹由右半平面穿过虚轴时的增益及四个根。
控制系统的根轨迹分析(matlab)
用户可以 通过 Control Architec ture窗口 进行系统 模型的修 改，如图 13.10。
图13.10 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过 System Data窗口 为不同环 节导入已 有模型， 如图 13.11。
图13.11 rltool工具System Data窗口
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲 线
13.2图形化根轨迹法分析与设计
图形化根轨迹法分析与设计工 具rltool
• MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool 是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析 系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便 性在于设计零极点过程中，能够不断观察系 统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求， 以此来达到提高系统控制性能的目的。
%鼠标确定文本的左下角位置
gtext('x')
Imaginary Axis
Root Locus
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
x
xx
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
(a) 直接绘制根轨迹
第四章控制系统的根轨迹分析法
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
实验二控制系统的根轨迹分析与频域分析
实验二 控制系统的根轨迹分析与频域分析 一、实验目的 1、掌握如何运用计算机的MA TLAB 软件进行根轨迹分析 1、 掌握如何用计算机MA TLAB 软件工具进行系统或环节的频率特性的测试。 二、实验类型 综合性 三、实验设备 计算机 四、实验原理 频率特性函数是静态下正弦输出信号与正弦输入信号的复数符号之比。从频率特性图象上可以很方便的得到关于系统稳定性和 动态特性的一些信息。因此，它是研究控制系统的一个重要工具。 五、实验内容和要求 （一）内容 1、 已知开环传递函数为s sssk s H 803616)(234+++=绘出闭环系统的根轨迹，并找出根轨迹与虚轴交点处的增益k 值。 2、 已知开环传递函数为)45)(23() 3()(22+++++= s s s s s k s H 绘出闭环系统的根轨迹。并分析系统 的稳定性。 3、 编程实现惯性环节005.0,11 )(=+=T Ts s G 的频率特性，编程实现幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和伯德图。 4、 编程实现振荡环节的频率特性。 8.0,4.0,2.0,002.0,121 )(22==++=ζζT Ts s T s G ，用MA TLAB 软件编程仿真出振荡环节的幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和波德图，增益相位裕度的伯德 图。并在同一极坐标图和伯德图中绘制不同ζ下的响应曲线。（要获得谐振峰值、谐振频率等关键点的值。） （二）要求 1、预习根轨迹的绘制的方法，编制相应实现的MA TLAB 程序。 2、在理论上画出实验中惯性环节、振荡环节相应的幅相频率特性，对数幅频和对数相频特性，绘制奈奎斯特图和伯德图；并 预先编制实现的MA TLAB 程序。 3、写出实验报告，对于内容（一）写出实现的MA TLAB 程序；给出给定系统)(s H 的根轨迹图，并分析系统的稳定性；进行 实验总结；对于内容（二）给出出惯性环节、振荡环节的实现程序及各实验曲线；将实验结果同理论估计的结果相比较，若不 同分析其原因；根据实验曲线能得到哪些结论（稳定性、增益方面的）。 六、注意事项 命令调用的格式不能随意改写 七、思考题 如何利用Bode 图来分析系统的增益裕度、相位裕度、及其稳定性？
控制系统中的根轨迹分析与设计
控制系统中的根轨迹分析与设计控制系统是现代工程中不可或缺的一部分，它涉及到各个领域的应用，从机械工程到化学工程，从航空航天到电力系统。
控制系统的设计和分析对于系统的稳定性和性能至关重要。
在控制系统中，根轨迹分析和设计是一种常用的方法，它能够帮助工程师评估和改进系统的性能。
根轨迹是一个闭环系统的极点随着控制器增益变化而形成的运动路径。
通过根轨迹分析，我们可以得到有关系统性能和稳定性的重要信息。
根轨迹分析可以帮助我们确定控制器的增益范围，以确保系统稳定。
此外，根轨迹还可以提供关于系统的阻尼比、峰值时间和超调量等性能指标的信息。
在根轨迹分析中，我们需要首先确定系统的传递函数。
传递函数是一个数学模型，它描述了输入和输出之间的关系。
常见的传递函数形式包括一阶系统、二阶系统和高阶系统。
一阶系统的传递函数形式为G(s) = K/(sT+1)，其中K表示系统的增益，T表示系统的时间常数。
对于二阶系统，传递函数形式为G(s) = K/(s^2+2ξω_ns+ω_n^2)，其中K 表示系统的增益，ξ表示系统的阻尼比，ω_n表示系统的自然频率。
在根轨迹分析中，我们还可以利用极点和零点的特性来确定系统的性能。
极点是传递函数的根，它们决定了系统的稳定性。
当极点位于左半平面时，系统是稳定的；当极点位于右半平面时，系统是不稳定的。
零点是传递函数的分子根，它们决定了系统的频率响应。
通过分析极点和零点的位置，我们可以确定系统的性能，并设计适当的控制器。
根轨迹分析的结果可以用于系统的设计和优化。
在设计控制系统时，我们可以根据根轨迹的形状和位置来调整控制器的增益和参数。
通过改变控制器的增益，我们可以移动根轨迹，使系统的稳定性和性能得到改善。
此外，根轨迹还可以用于确定合适的控制策略，例如比例控制、积分控制和微分控制。
除了根轨迹分析，我们还可以利用根轨迹设计方法来设计控制系统。
根轨迹设计方法是一种基于根轨迹分析的控制器设计方法。
通过在根轨迹上确定一个所期望的闭环系统极点的位置，我们可以确定控制器的增益和参数。
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析简介控制系统根轨迹分析是一种经典的控制系统稳定性分析方法。
通过分析系统的特征根轨迹，可以评估系统的稳定性、阻尼比、过渡时间等性能指标，从而设计合适的控制器来实现系统的稳定和性能要求。
根轨迹的定义控制系统的根轨迹是由系统的特征根在复平面上随参数变化所形成的轨迹。
特征根是系统传递函数的零点，它们决定了系统的动态特性。
根轨迹对应于特征根的运动轨迹，可以直观地反映系统的稳定性和相应的频率响应。
根轨迹的绘制方法步骤一：计算系统的传递函数首先，需要获得系统的传递函数。
传递函数通常是通过将系统的微分方程进行拉氏变换得到的。
传递函数是 Laplace 域中的函数，它描述了输入和输出之间的关系。
步骤二：确定系统的开环极点和零点根轨迹是由系统的特征根构成的，而特征根由系统的开环极点和零点决定。
开环极点指的是系统传递函数的分母多项式的根，而开环零点指的是系统传递函数的分子多项式的根。
通过确定系统的极点和零点，可以得到系统的特征根。
步骤三：绘制根轨迹根轨迹的绘制可以通过手工计算或数值模拟方法实现。
手工计算方法需要根据系统的传递函数进行复杂的计算，而数值模拟方法可以借助计算机软件进行自动计算和绘制。
绘制根轨迹时，需要遵循以下基本规则： - 根轨迹始于系统的零点。
如果系统有多个零点，那么根轨迹将从每个零点开始。
- 根轨迹与实轴交点的个数等于零点的个数减去极点的个数，这一性质被称为根轨迹的零点和极点计数法则。
- 根轨迹在系统的极点位置是不连续的，并且与极点的关联程度取决于极点的幅度和阶数。
根轨迹的稳定性分析通过观察根轨迹图形，可以评估控制系统的稳定性。
根轨迹的稳定性分析方法主要有以下几种：1. 判据法判据法是判断根轨迹稳定性的基本方法之一。
根轨迹的稳定性与根轨迹图形与实轴的关系有关。
如果根轨迹图形位于实轴的左侧，则系统是稳定的；如果根轨迹图形经过实轴，则系统是不稳定的。
2. Astrom法Astrom法是一种根据根轨迹图形的形态特征进行稳定性判断的方法。
控制系统的根轨迹分析
控制系统的根轨迹分析引言控制系统是现代工程领域中应用广泛的一个重要概念，它用于调节和控制系统的输出，以使其达到预期的目标。
在控制系统设计中，根轨迹分析是一种重要的工具，用于评估系统的稳定性和性能。
本文将介绍控制系统的根轨迹分析方法，包括其基本原理、应用范围以及如何使用根轨迹分析改进控制系统的性能。
根轨迹分析原理根轨迹分析是一种基于系统传递函数的频域分析方法，它用于研究系统在不同参数情况下的稳定性和性能。
根轨迹是系统传递函数极点随参数变化而形成的轨迹图，通过观察根轨迹可以得到系统的稳定性、阻尼比、过渡过程和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析基于以下原理： - 控制系统的稳定性取决于系统传递函数极点的位置，当极点全在左半平面时，系统是稳定的。
- 控制系统的阻尼比可以通过观察根轨迹的形状来判断，当根轨迹越接近实轴，阻尼比越小，系统的过渡过程越激烈。
- 控制系统的稳态误差可以通过观察根轨迹的最后一段来判断，当根轨迹趋于无穷远时，稳态误差为零。
根轨迹分析步骤根轨迹分析一般需要经历以下几个步骤： 1. 给定系统的传递函数，通常是一个比例控制器和一个被控对象的组合。
2. 将传递函数的分子和分母分别表示为多项式的形式。
3. 根据系统传递函数的阶数，求解其特征方程的根。
这些根即为根轨迹的起始点。
4. 在复平面上绘制出根轨迹的起始点以及随参数变化而形成的轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和位置，判断系统的稳定性、阻尼比和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析的应用根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要有以下几个方面： 1. 系统稳定性评估：通过观察根轨迹的位置，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹全在左半平面，则系统是稳定的。
2. 控制器设计：根轨迹分析可以帮助工程师选择合适的控制器参数，以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 系统性能优化：通过分析根轨迹的形状，可以判断系统的过渡过程、阻尼比和稳态误差等性能指标，从而优化系统的性能。
第5章-控制系统根轨迹分析.
3.开环零点对根轨迹的影响
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
1.阶跃响应与开环增益的关系
例1：已知系统结构如下图，试画出K：0→∞
时闭环根轨迹，并分析K对系统动态过程的影响。
Rபைடு நூலகம் s )
K ( s 4) s ( s 2)
C (s)
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
2.开环极点对根轨迹的影响
3.系统系能指标的估算
例1：某系统的闭环传递函数为
0.59 1s 1 ( s ) (0.67 s 1)(0.01s 2 0.08s 1)
试近似计算系统的动态性能指标 %, ts .
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
1.阶跃响应与开环增益的关系 2.开环极点对根轨迹的影响
偶极子：一对靠得很近的闭环零极点
0.1
5.3 控制系统根轨迹分析
2.闭环零极点的分布与阶跃响应的定性分析
(1) 稳定性：闭环极点位于S左半平面 (2) 平稳性：最佳阻尼比 (3) 快速性：闭环极点远离虚轴 (4) 动态过程尽快消失：闭环极点之间间距大 零点与极点间间距小
5.3 控制系统根轨迹分析
例2：已知某系统开环传递函数为
K G(s) H (s) s( s 1)
增加一个开环极点：P=-2.
5.4 基于MATLAB的根轨迹分析
3.开环零点对根轨迹的影响
例2：已知某系统开环传递函数为
K G(s) H (s) s( s 1)
增加一个开环极点：Z=-2.
本章小结
定性分析 开环传 法则 闭环 简化 一、 T 递函数 二阶 根轨 , n 零极点 系统 迹 系统 性能 指标
5.3 控制系统根轨迹分析
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
控制系统的根轨迹分析
控制系统的根轨迹分析摘要:在控制系统的数学模型建立以后，就要进行系统性能的分析了。
通过这一环节，获得原有的系统的各方面性能定性活定量的描述。
我的报告是根轨迹分析方法。
根轨迹是指，当开环系统某一参数（一般为系统的开环系统增益K),从零变到无穷大时，四循环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。
因此,从根轨迹，可分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。
在MATLAB中，绘制根轨迹的有关函数有rlocus、r l o c f i n d、pzmap 等。
通过对根轨迹分析法的学习和运用，并根据实例，介绍根轨迹分析法的原理。
运用MATLAB软件绘制根轨迹。
理解并且根轨迹与系统性能之间的关系。
关键词：根轨迹函数、零极点图、稳定性分析、MATLAB绘图、分析仿真The control system of root locus analysisMaShuaiAbstract：After the establishment of mathematical model in control system,analysisof system performance. Through this link, all aspects of the original system performance quantitative live qualitative description. My report isrootlocusmethod.Rootlocusrefers to, when the open loop system a parameter (usually for the system of open loopgainK), from zero to infinity, the fourcirculationsystemrootofcharacteristicequationinthesplane trajectory. From the root locus, therefore,toanalyzethestabilityofsystem,thesteady-state performance and dynamic performance. In MATLAB, the drawing of root locusrlocus, rlocfind and pzmap relating to functions. Through the root locus methodoflearningand using,andaccordingtotheexample,thispaperintroducestheprincipleofrootlocusmethod.U sing theMATLABsoftwareplottherootlocus.Understandandrootlocusandtherelationship between the performance of the system.Key words:Root locus function、zero pole figure、stability analysis and MATLAB graphics、analysis、simulation一 根轨迹法的基本知识：)()(1)()()()(s H s G s G s R s C s +==Φ 特征方程为：0)()(1=+s H s G ；0)()(1=+s den s num k图1-1 单位反馈系统流程图二 根轨迹的零、极点图： )()()()()(11m n p s z s k s H s G n i imj j ≥--=∏∏== （3-16）在绘制根轨迹前，首先将系统的开环传递函数表示成上式的零、极点形式，且在s 平面上，用“o ”表示开环零点的位置；用“×”表示开环极点的位置。
控制系统的根轨迹分析(matlab)只是课件
13.1.3 MATLAB根轨迹分析实 例
例1：若单位反馈控制系统的开环传
递函数为
Gk
(s)
s(s
kg 1)(s
5)
绘制系统的根轨迹。
程序如下：
clf;
num=1;
den=conv([1 1 0],[1 5]);
振荡已经很大。
Amplitude Amplitude
Step Response 1.8
1.6 System: G0
Peak amplitude: 1.64
1.4
Overshoot (%): 64.4
At time (sec): 1.44
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (sec)
95.5190 POLES =
-7.4965 -0.0107 + 3.6353i -0.0107 - 3.6353i -0.4821
[K,POLES]= rlocfind(G,P)
sgrid
sgrid(z,wn)
交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字 光标，用此光标在根轨迹上单击一个极点 ，同时给出该增益所有对应极点值
返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的 全部极点值
在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和 等自然振荡角频率线。阻尼线间隔为0.1 ，范围从0到1，自然振荡角频率间隔 1rad/s，范围从0到10
绘制指定系统的根轨迹
绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于 同一图上
绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益 向量
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
控制系统的根轨迹分析实验报告
控制系统的根轨迹分析实验报告课程名称：控制理论乙指导老师：成绩：__________________ 实验名称：控制系统的根轨迹分析实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求1．掌握用计算机辅助分析法分析控制系统的根轨迹 2．熟练掌握Simulink 仿真环境。
二、实验内容和原理（一）实验原理根轨迹是指，当开环系统某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益k）从零变到无穷大时，死循环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。
因此，从根轨迹，可分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。
同时，对于设计系统可通过修改设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，因此根轨迹对系统设计也具有指导意义。
在MATLAB中，绘制根轨迹有关的函数有：rlocus，rlocfind，pzmap等。
（二）实验内容一开环系统传递函数为G(s)?k(s?2)(s2?4s?3)2绘制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
（三）实验要求1．编制MATLAB程序，画出实验所要求根轨迹, 求出系统的临界开环增益，并用闭环系统的冲击响应证明之。
2．在Simulink仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统单位阶跃响应曲线并记录之。
三、主要仪器设备计算机一台以及matlab软件，simulink仿真环境四、操作方法与实验步骤1、程序解决方案：在MATLAB中建立文件genguiji.m，其程序如下： clear a0=[0 0 0 1 2];b0=conv([1,4,3],[1,4,3]); G=tf(a0,b0); figure; rlocus(G); syms w k;s=solve('w -22*w +9+2*k=0','(24+k)*w-8*w =0'); k0=eval(s.k); fprintf('临界开环增益\\n'); k1=k0(2) figure; impulse(tf(k1*a0,b0+k1*a0));title('临界时单位冲激响应');grid on; 1xlim([0 20]); 在MATLAB命令窗口中输入下列命令，得到结果 >> genguiji 临界开环增益 k1 = 55.4256 说明：在解出来的方程中k有五个值，这里只取符合题意的根，记为k1. 其输出的曲线如下放大根轨迹图可知，临界稳定状态k=55，这与计算出来的结果是一致的，因此当0。
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控制系统根轨迹分析
控制系统的根轨迹分析是一种常用的工程方法，用于分析系统的稳
定性和性能。
在控制系统设计中，了解根轨迹的特性对于确保系统的
稳定性和满足性能要求至关重要。
本文将介绍根轨迹分析的基本原理，以及如何应用根轨迹分析来评估和改进控制系统。
1. 根轨迹分析的基本原理
根轨迹分析是利用系统的传递函数来描述系统在复平面上的特征。
系统的传递函数可以通过拉普拉斯变换和频域分析获得。
根轨迹是描
述系统传递函数极点随控制参数变化所形成的轨迹，它反映了系统的
稳定性和性能。
2. 根轨迹的特性
根轨迹具有以下几个重要特性：
- 根轨迹始于系统的零点，终止于系统的极点。
- 根轨迹通过传递函数的极点数目与零点数目的差值确定的角度。
当角度为奇数时，根轨迹会靠近负实轴；当角度为偶数时，根轨迹会
靠近负无穷大。
- 根轨迹与实轴之间的交点表示系统的振荡频率。
3. 根轨迹分析的步骤
下面是进行根轨迹分析的基本步骤：
1) 将系统的传递函数表示为标准型。
2) 根据系统传递函数的分母和分子系数，确定系统的极点和零点。
3) 绘制根轨迹图，根据极点和零点的位置画出根轨迹的轨迹。
4) 分析根轨迹图，判断系统的稳定性和性能。
4. 根轨迹分析的应用
根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：
- 稳定性分析：通过观察根轨迹图，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹位于左半平面，即实部小于零，则系统是稳定的；否则，系统
不稳定。
- 性能评估：根轨迹的形状和位置可以提供有关系统响应速度、振荡频率和阻尼比等性能指标的信息。
例如，当根轨迹与虚轴相交时，
系统存在振荡。
- 控制器设计：通过根轨迹分析，可以确定合适的控制器增益，以实现所需的系统性能要求。
- 稳定裕度分析：通过改变根轨迹的形状和位置，可以评估系统对参数扰动的敏感性，并提供稳定性裕度的指导。
根轨迹分析作为控制系统设计和分析的重要工具，为工程师提供了
直观、可视化的方式来理解和改进系统的性能。
通过合理运用根轨迹
分析，可以帮助我们设计出更稳定、高性能的控制系统。
同时，在实
际应用中，我们还需要结合其他分析方法和工具来综合评估和改进系统的性能。