可对角化矩阵的充要条件
相似矩阵与矩阵可对角化的条件
1.1 相似矩阵及其性质
定理
定理 2 设矩阵 A～B ，则 Am～Bm ，其中 m 为正整数． 证明：由 A～B 可知，存在可逆矩阵 P ，使得 P1AP B ，于是 Bm (P1AP)m (P1AP)(P1AP) (P 1AP) P 1APP 1AP P 1AP P 1AmP ，
所以 Am～Bm ．
1
则式（5-3）可写成
A(
p1
，p
，
2
，pn
)
p(
，1 p
，
2
，p n
)
2
n
由此可得 Api i pi (i 1，2， ，n)．因为 P 可逆，P 必不含零列，即 pi 0 (i 1，2， ，n) ．
1.2 矩阵可对角化的条件
定理
充 分 性 ． 设 p1 ，p2 ， ，pn 是 A 的 n 个 线 性 无 关 向 量 ， 它 们 对 应 的 特 征 值 依 次 为
由此可得， A 可对角化时，必有 x y 0 ．
1.2 矩阵可对角化的条件
例题
1 1 1
例5
设矩阵
A
2
42Leabharlann ，判断A是否可相似于一个对角矩阵，并求
A5
．
2 2 0
解： A 的特征多项式为
1 1 1 E A 2 4 2 ( 1)( 2)2 ，
2 2
所以， A 的特征值为 1 1， 2 3 2 ． 对于 1 1，解对应的齐次线性方程组 (E A)x 0 ，可得基础解系 p1 (1，2 ，2) ． 对 于 2 3 2 ， 解 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 (2E A)x 0 ， 可 得 基 础 解 系 p2 (1，1，0) ，p3 (1，0 ，1) ．
矩阵可以相似对角化的条件
矩阵可以相似对角化的条件
两个矩阵可以相似对角化的条件如下：
1. 矩阵A和B必须是n×n维的方阵，其中n是矩阵的阶数。
2. 如果矩阵A可以与另一个矩阵P相似对角化，即A = P^(-1) * D * P，其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵（其逆矩阵存在），则这两个矩阵相似对角化。
3. 矩阵B也必须可以与相同的矩阵P相似对角化，即B = P^(-1) * E * P，其中E是对角矩阵。
4. 对角矩阵D和E必须具有相同的特征值，尽管它们的特征向量可以不同。
这意味着矩阵A和B有相同的特征值分布。
总之，两个矩阵A和B可以相似对角化的条件是它们可以通过相同的可逆矩阵P对角化，并且拥有相同的特征值。
相似对角化是一种重要的矩阵分解方法，它可以使复杂的矩阵运算变得更简单，特别是在线性代数和数学中的应用中。
第2节 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
T
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
由于 是非零复向量，必有
x1 x1 x 2 x2
故
T
x n xn 0
.
R.
注 （1）对称矩阵的特征值未必是实数．
（2）特征值皆为实数的实矩阵未必是实对称矩阵． （3）反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 一、矩阵可对角化的条件
二、实对称矩阵的对角化
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
一、矩阵可对角化的条件
即 故
(1 2 ) 0.
T 1 2
1T 2 [1 , 2 ] 0.
即1 与 2正交.
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
定理3：对n 阶实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使
T 1 AT diag(1 , 2 ,
其中 1 , 2 ,
, n )
2 2 E A 2 2 4 2 4 2
1
2 7
2
得A的特征值是2，2，-7 .
§2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化
对于特征值2，求出齐次线性方程组
1 2 2 x1 0 2 4 4 x 2 0 2 4 4 x 0 3
二、实对称矩阵的对角化
性质1 设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数．
矩阵可对角化的条件
矩阵可对角化的条件学生：翟亚丽 指导老师：王全虎一 引言矩阵可对角化的问题是高等代数和矩阵论最基本的问题之一，也是人们一直研究的问题之一。
从矩阵对角化的判别法则到矩阵对角化的方法，从矩阵对角化的方法再到矩阵可对角化的条件，再延伸到矩阵的广义对角化，本文从矩阵可对角化的各种例子和矩阵可对角化的各种定理归纳总结出矩阵可对角化的条件。
二 矩阵可对角化的概念定义【2】 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵，如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得T -1AT具有对角形式100n a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 那么就称矩阵A 可对角化。
三 矩阵可对角化的相关定理定理1【1】 n 阶矩阵A 相似对角矩阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
定理2【3】 设i λ是线性变换A 的特征值，它的代数重数为i n ，几何重数为i m ，且1i im n ≤≤则A 可对角化的充分必要条件是：每个特征值的几何重数都等于代数重数。
定理 3【3】 A 可对角化⇔A 的最小多项式没有重根。
四 由矩阵可对角化的定理所引出的矩阵可对角化的条件及其相互之间的关系。
（一）设【12】()n M F A∈，K 重根按k 个计算，则A 可对角化⇒A 有n 个特征根，自然会问：A 有n 个特征根是否也是A 可对角化的充分条件？看例子11()01n M F ⎛⎫A =∈ ⎪⎝⎭则2()(1)A x x λ=-于是A 有2个特征值为1，但A 却不能对角化，故此例告诉我们A 有n 个特征根只是A 可对角化的必要条件，而非充要条件。
而且一般形如1,0k k F k ⎛⎫A =∈ ⎪⎝⎭的矩阵都不能对角化。
在给出A 可对角化的充要条件时需对特征根的特征向量要进一步讨论，若矩阵A 有n 个线性无关的特征向量则该矩阵可对角化，又有定理（二）设()n M F A∈，若在F 中，A 有n 个不同的特征根，则A 可对角化。
因为，不同特征根对应的特征向量必线性无关，则特征向量线性无关时可得出矩阵可对角化。
可对角化的概念
③
③式减②式得
a1 (1 k )1 a2 (2 k ) 2 ak 1 (k 1 k ) k 1 0
1 , 2 , k 1 线性无关，所以 由归纳假设，
ai (i k ) 0, i 1,2,, k 1.
但 1 , 2 ,, k 互不相同，所以 a1 a2 ak 1 0.
4. (定理9) 设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 ,k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri 是属于
特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, k , 则向量 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
0 0 A 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
于是
0 E A 0 0
1 0 1 0 0 0 0
0 0 n 1
∴ D的特征值为0（n重）.
将之代入①，得 ak k 0.
k 0,
ak 0
故 1 , 2 , , k 线性无关.
3. (推论1) 设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
2° 对每一个特征值 i ，求出齐次线性方程组
i E A X 0,
i 1.2. k
的一个基础解系（此即 的属于 i 的全部线性无关 的特征向量在基 1 , 2 , , n下的坐标）.
3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n ，则
线性代数第五章第二节 矩阵可对角化的条件(2014版)
a 3
2 3
b 3
1 1 1
此时
A
2E
0 0
0 0
0 0
则方程组 (A 2E)x 0 的基础解系为
1 1
p1
1 0
,
p2
0 1
A的另一特征值 3 1 4 5 2 2 6
5 1 1
A
6E
2 3
2 3
21
1
0
1
3
0 1 2
3
0
0
0
1
方程组(A
-
6E)
这是一个复杂的问题上面仅对有n个线性无关特征向量的n阶方阵作了回答而一般方阵问题较困难故我们不作一般讨论下面仅对实对称矩阵加以讨把一个矩阵化为对角阵不仅可以使矩阵运算简化而且在理论和应用上都有意义
§5.2 矩阵可对角化的条件
若方阵A与对角阵相似，则称A可对角化.
n阶方阵A是否与对角阵=diag(1, 2,···, n )相似,
1 1 0
0
1 0 1 0
2k 2k
1
1
3
1
1
4 1 1 3 1
1 0
0
1
2k
1
1
1
3
2k E, 当k为偶数
2k1 A,
. 当k为奇数
（4）由特征值与特征向量的性质可得，f(A)的特征值
为 f (1) f (2) (2)3 2 (2) 5 1 f (2) f (3) f (4) f (2) (2)3 2 2 5 9. 且f(A) 的与特征值 f (i ) 对应的特征向量仍然为
取 pi (i 1, 2,3, 4.)
1 1 1 1 1
P
(
矩阵可对角化的条件
于是有 xT Ax xT Ax xTx xT x
及 xT Ax xT AT x AxT x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xT x xi xi xi 2 0, 0,
17.解：
因为矩阵A和相似，所以它们的特征值相同，有
5 0
0
E 0 4 0
0
0 y
（5 ）（y ）(4 )
则矩阵的特征值为5，y， 4，
所以矩阵A的特征值也是5，y， 4.
于是
5 2 4 1 4 1
． 0 A 4E 2 x 4 2 2 x 4 2 4 2 5 4 2 5
P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
解由
1 1 1 1 0 A E 1 1 r1 r2 1 1
1 1
1 1
c1 c2 1
00
1 1 1
1
2
(1 )(2 2) ( 1)2( 2)
求得A的特征值为 1 2,2 3 1.
对应 λ12解方程(A+2E) x=0,由
2 A 2E 1
0 1 3
解 (1)第一步:求A的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
相似于对角矩阵的条件
相似于对角矩阵的条件对角矩阵是一种非常特殊的矩阵形式，它的特点是只有主对角线上的元素非零，而其他位置的元素均为零。
因此，对角矩阵在矩阵运算中有着非常特殊的性质，比如方便进行矩阵乘法和求逆等操作。
而相似于对角矩阵的矩阵条件则是指，一个矩阵在相似变换下可以化为对角矩阵的条件。
通俗来说，就是当一个矩阵可以通过一个相似变换变成对角矩阵时，我们就称这个矩阵是相似于对角矩阵的。
那么，什么样的矩阵可以相似于对角矩阵呢？下面我们将从不同角度来探讨这个问题。
一、对角化定理对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆阵P，使得 $P^{-1}$AP是对角矩阵，即$P^{-1}$AP=D，则称矩阵A可相似对角化，其中矩阵D为A的相似标准形。
根据这个定义，我们可以得出一个结论：一个矩阵A可以相似于对角矩阵的充要条件是存在一个可逆阵P，使得$P^{-1}$AP是对角矩阵。
这个定理也是相似对角化的基本定理，对于很多线性代数问题，我们可以通过相似对角化的方法来求解。
二、特征值与特征向量对于一个n阶方阵A，设λ是它的一个特征值，v是对应的一个特征向量，那么我们有：Av=λv。
$\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$也就是说，A相似于对角矩阵D的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，且这些特征向量可以组成一个可逆矩阵P。
在实际问题中，我们可以通过求解特征值和特征向量的方法来判断一个矩阵是否可以相似于对角矩阵。
三、可对角化的充要条件总结一下，矩阵相似于对角矩阵的条件有很多种表述方式。
矩阵可对角化的充要条件
矩阵可对角化的充要条件引言矩阵对角化是矩阵理论中的一个重要概念，它能够让我们更好地理解矩阵的性质和运算。
在实际应用中，对角化可以简化计算和分析过程，因此对于一个矩阵是否可对角化的问题，是值得我们深入研究和探讨的。
本文将探讨矩阵可对角化的充要条件，通过理论推导和实例分析，将会全面、详细、完整地讲解矩阵可对角化的各种情况及其判定条件。
I. 列举与分析矩阵的特殊情况为了更好地理解什么样的情况下一个矩阵可对角化，我们先来列举一些特殊的矩阵情况，并分析它们是否可对角化。
1. 对角矩阵对角矩阵是指主对角线以外的元素都为零的矩阵。
例如：[ A =]对于任意的对角矩阵，由于它的非零元素只存在于主对角线上，所以它必然是一个可对角化的矩阵。
2. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。
例如：[ B =]对于任意的对称矩阵，它必然是一个可对角化的矩阵。
这是因为对于对称矩阵，其特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量是相互正交的，因此可以通过特征向量的线性组合来表示整个矩阵。
3. 可逆矩阵可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵。
例如：[ C =]对于任意的可逆矩阵，它必然是一个可对角化的矩阵。
这是因为可逆矩阵的特征值都是非零的，且可逆矩阵可以表示为一个对角矩阵和一个正交矩阵的乘积，而正交矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可逆矩阵可以通过正交矩阵的逆变换为对角矩阵。
II. 可对角化的充分条件在上一节中，我们列举了一些特殊的矩阵情况，并发现它们对应的矩阵都是可对角化的。
接下来，我们将推导出可对角化的充分条件，并用定理的形式表述出来。
定理1对于一个n阶矩阵A，如果它有n个线性无关的特征向量，那么A是可对角化的。
证明：假设A有n个线性无关的特征向量，分别为v1, v2, …, vn，相应的特征值分别为λ1, λ2, …, λn。
根据特征值与特征向量的定义，我们可以得到以下等式：Av1 = λ1v1Av2 = λ2v2…Avn = λnv现在，我们将这n个特征向量构成一个矩阵V，即：V = [v1, v2, …, vn]同时，将这n个特征值构成一个对角矩阵Λ，即：Λ = []根据上述等式，我们可以得到：AV = [Av1, Av2, …, Avn] = [λ1v1, λ2v2, …, λnvn] = VΛ由于V是一个可逆矩阵（因为v1, v2, …, vn是线性无关的），所以可以将上述等式两边都左乘V的逆矩阵V^-1，得到：AVV^-1 = VΛV^-1即：A = VΛV^-1因此，我们证明了如果一个n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A是可对角化的。
相似矩阵矩阵可对角化的条件
则称A与B相似, 记作AB. 性质3.1 基本性质 1) 反身性; 2) 对称性; 3) 传递性. 定理3.5 若AB, 则 1) |A| = |B|; 2) R(A) = R(B); 3) A1 B1, A, B均可逆.
P2/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
定理3.6 若AB, 则A与B的特征多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 证明 AB 可逆阵P, 使得P1AP = B,
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
1
推论 3.2
若
A
2
,
n
则1, 2, …,n 是A的n个特征值.
(i E A)x 0, i 1, , m,
的解.
R pi1, , p1ni n R(i E A) ni n R(i E A)
P7/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
因A, 由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,
n
n R(i E A) n i 1
若 ni n R(i E A)
定理3.8 设i为An的 ni重特征值, i = 1, 2, …, m,
n1+ n2+…+ nm= n, 则
An 对角矩阵 R(iEA) = nni . 证明 “” An 可逆阵P使P 1AP = ,
P6/11
§2 相似矩阵可对角化的条件
即 A p11, , p1n1 , , pm1, , pmnm p11, , p1n1 , , pm1, , pmnm diag(1 , 1 , n1
A pi1, , pini i pi1, , i pini , i 1, , m
相似矩阵与矩阵可对角化的条件
所以，A的特征值为1 2 1, 3 1.根据定理4.10，对于 二重特征值1 2 1，矩阵A应有两个线性无关的特征向量.
故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1.
又
1 0 -1 1 0
E-A=
-x
0
-y
0
0
-1 0 1 0 0
由此可得：A可对角化时，必有x y 0.
对于相同矩阵还有下列性质： 1. 相同矩阵旳行列式相等. 2. 相同矩阵旳秩相等. 3. 相同矩阵或都可逆或都不可逆.
二.矩阵可对角化旳条件
如果n阶矩阵A可以与相似于一个n阶对角矩阵, 则称 A可对角化. 称为A的相似标准形（矩阵）.
由例1阐明，假如合适选用可逆矩阵P，就可能使P1AP 成为对角矩阵然而，并非全部旳n阶矩阵都能够对角化. 下面将讨论矩阵可对角化旳充要条件.
-1
x+y
0
相同使同阶矩阵之间旳一种主要关系，具有下述性质：
设A,B,C为n阶矩阵，则
1.反身性 A A
证明 由E1AE A,可以直接得到结论.
2.对称性 如果A B，则B A
证明 由A B可知，存在可逆矩阵P，有P-1AP B. 于是，A PBP1 (P1)1 BP1，所以B A.
3.传递性 如果A B, B C，则A C.
例1
设
A
3 5
4 2
，P=
1 1
1
2
,Q
4 5
11，则矩阵P, Q都可逆，
由P
1
AP
1 1
11 3
2
5
4 1
2
1
1
2
1 2
9
矩阵可对角化的充要条件
矩阵可对角化的充要条件
曲春平
【期刊名称】《辽宁省交通高等专科学校学报》
【年(卷),期】1996(004)001
【摘要】复数域上任意ｎ阶循回阵都相似于对角阵，而一个可对角化的矩阵一定可以找到一个循回阵与它相似。
从而得到，矩阵可对角化的充分必要条件是它相似于一个循回阵。
【总页数】5页(P15-19)
【作者】曲春平
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵可对角化的充要条件及其相似变换矩阵的构造
2.关于矩阵可对角化的一个充要条件
3.矩阵可对角化的一个充要条件
4.相似族矩阵可对角化的一个充要条件
5.矩阵可对角化的充要条件
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
线性变换“可对角化”的条件及“对角化”方法
对角化方法在控制系统设计 中的应用
在机器学习中的应用
对角化矩阵可以提高机器学 习算法的收敛速度
对角化矩阵可以简化机器学 习算法的实现过程
线性变换可对角化在机器学 习算法中的优化性能
对角化矩阵可以提高机器学 习算法的稳定性
研究现状及问题
线性变换对角化的研究历史与现状 当前研究存在的问题与挑战 未来研究方向与趋势 当前研究的热点问题与争议
当前研究的挑战与困难
确定对角化方法的 有效性
确定对角化方法的 普适性
确定对角化方法在 不同领域的应用价 值
探索新的对角化方 法
解决挑战的方法与策略
发展新的数学工具：引入新的数学理论和方法，以解决线性变换对角化中遇到的问题
借鉴其他领域的经验：参考其他领域类似的案例和经验，寻找解决方案 深入研究线性变换的性质：更深入地了解线性变换的性质和特点，为对角化提供更多思路和方法 开发高效的数值计算方法：发展更高效、更精确的数值计算方法，提高对角化的效率和准确性
对未来研究的展望与预期
探索更多可对角化的线性变换类型 深入研究线性变换对角化的条件和算法 拓展线性变换对角化在各个领域的应用 加强与其他领域的交叉研究，推动线性代数的发展
对未来应用的设想与期待
线性变换对角化在科学计 算领域的应用
对量子计算领域的影响
在机器学习领域的应用前 景
对未来科技发展的推动与 影响
特征值的应用：通过特征值可以对矩阵进行分解，应用于信号处理、图像处理等领域
相似变换的应用：通过相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，应用于相似分类、机器学习等领 域
对角化方法的优缺点：对角化方法具有简单易行、直观性等优点，但也存在局限性，如不适用 于非方阵等情形
7.6 可对角化矩阵
的特征多项式是
−3
2
−3
−2
1
+2
−2 = 3 − 12 + 16 = ( − 2)2
−6
+1
特征根是 2，2，－4.
对于特征根－4，求出齐次线性方程组
−7 −2
2 −2
−3 −6
的一个基础系
1
2
, − ,1
3
1
−2
−3
1
0
2 = 0
3
0
对于特征根 2，求出齐次线性方程组
−
根据归纳法假设， 1 , 2 , ⋯ , −1 线性无关，所以
( − ) = , = , , ⋯ , − .
但 1 , 2 , ⋯ 两两不同，所以 1 = 2 = ⋯ = −1 = 0 ，再代入（3），
因为 ≠ 0, 所以 = 0. 这就证明了 , , ⋯ , 线性无关。
()
+ + ⋯ + = . ∈ ,
推论7.6.2 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换， 1 , 2 , ⋯ , 是σ的
互不相同的特征值。又设 1 , ⋯ , , = 1, ⋯ , , 是属于特征值 的线性
无关的特征向量, 那么向量 11 , ⋯ , 11 , ⋯ , 1 , ⋯ , 线性无关.
如果等式
()
+ + ⋯ + = . ∈ ,
成立，那么以 乘（3）的两端得
()
+ + ⋯ + = .
另一方面，对（3）式两端施行线性变换σ，
注意到等式（2），我们有
()
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可对角化矩阵的充要条件
一个矩阵可对角化的充分必要条件是：该矩阵的特征值均不为0，且每个特征值对应的特征向量线性无关。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
充要条件包括：
1、A有n个线性无关的特征向量。
2、A的极小多项式没有重根。
3、A的Jordan标准型是全一的对角矩阵。
4、A的Smith标准型是全一的对角矩阵。
在实际应用中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来判断矩阵是否可对角化。
如果特征值均不为0，且每个特征值对应的特征向量线性无关，则该矩阵可对角化。
如果特征值为0，或者某个特征值对应的特征向量线性相关，则该矩阵不可对角化。