高中数学(人教A版)必修一课后习题：对数的概念(课后习题)【含答案及解析】

对数

对数的概念

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.方程2log 3x =14的解是( )

A.19

B.√3

C.√33

D.9

2log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.

2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )

A.e 0=1与ln 1=0

B.8-13=12与log 812=-1

3

C.log 39=2与912=3

D.log 77=1与71=7

39=2应转化为32=9.

3.(多选题)(2021湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )

A.log 24=2

B .2.10.5>2.1-1.8

C .3log 32=2

D .-ln e =1

24=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-ln e =-1,故D 不正确.故选ABC .

4.(2021北京大兴高一期末)813+log 122等于( ) A.0

B .1

C .2

D .3

813+log 122=23×13-log 22=2-1=1.故选B .

5.若a>0,a 2=4

9,则lo g 23a= .

a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323

=1.

6.解答下列各题.

(1)计算:lg 0.000 1;log 2164;log 3.12(log 1515).

(2)已知log 4x=-3

2,log 3(log 2y )=1,求xy 的值.

因为10-4=0.000 1,

所以lg 0.000 1=-4.

因为2-6=164,所以log 2164=-6.

log 3.12(log 1515)=log 3.121=0.

(2)因为log 4x=-3

2,所以x=4-3

2=2-3=1

8.

因为log 3(log 2y )=1,所以log 2y=3.

所以y=23=8.所以xy=18×8=1.

7.求下列各式的值:

(1)lo g 116

2; (2)log 7√493; (3)log 2(log 93).

设lo g 116

2=x ,则(116)x =2,即2-4x =2,

∴-4x=1,x=-14,即lo g 116

2=-1

4. (2)设log 7√493=x ,则7x =√493=72

3. ∴x=23,即log 7√493=2

3.

(3)设log 93=x ,则 9x =3,即32x =3,∴x=1

2.

设log 212=y ,则2y =12=2-1,

∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.

等级考提升练

8.若log a 3=m ,log a 5=n (a>0且a ≠1),则a 2m+n 的值是

( )

A.15

B.75

C.45

D.225

log a 3=m ,得a m =3,由log a 5=n ,得a n =5, ∴a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45.

9.函数y=log (2x-1)√3x -2的定义域是( )

A.23,1∪(1,+∞)

B.12,1∪(1,+∞)

C.23

,+∞ D.12,+∞

解析要使函数有意义,则{2x -1>0,2x -1≠1,3x -2>0,

解此不等式组可得x>12且x ≠1且x>23,故函数的定义域是23,1∪(1,+∞),故选A .

10.已知f (x 6)=log 2x ,则f (8)=( )

A.43

B .8

C .18

D .12

x 6=8,则x 2=2,

因为x>0,则x=√2,故f (8)=log 2√2=12.

11.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数中,与y=x 是同一个函数的是( )

A.y=√x 33

B .y=√x 2

C .y=lg 10x

D .y=10lg x

的定义域为R ,值域为R ,函数y=√x 33=x 的定义域为R ,故是同一函数;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 解析式、值域均不同,故不是同一函数;函数y=lg 10x =x ,且定义域为R ,对应关系相同,故是同一函数;y=10lg x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一函数.故选AC .

12.已知f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,

则f (-2)+f (2)的值为( ) A.6

B .5

C .4

D .3

f (-2)+f (2)=(1+lo

g 24)+2=5,故选B .

13.已知lo g 12(log 2x )=lo g 13(log 3y )=1,则x ,y 的大小关系是( )

A.x

B.x=y

C.x>y

D.不确定

lo g 12(log 2x )=1,

所以log 2x=12.所以x=212=√2.

又因为lo g 13(log 3y )=1,所以log 3y=13.

所以y=313=√33.

因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x

2·log 25的值等于 .

√5

1+1

2log 25=2×212log 25=2×(2log 25)12=2×512=2√5.

15.已知log a b=log b a (a>0,a ≠1,b>0,b ≠1),求证:a=b 或ab=1.

log a b=log b a=k ,则b=a k ,a=b k ,

因此b=(b k )k =b k 2

.

因为b>0,b ≠1,所以k 2=1,即k=±1.

当k=1时,a=b ;当k=-1时,a=b -1=1

b ,即ab=1.综上可知a=b 或ab=1. 新情境创新练

16.已知二次函数f (x )=(lg a )x 2+2x+4lg a (a>0)的最大值是3,求a 的值.

f (x )有最大值,所以l

g a<0.

又f (x )max =16lg 2a -44lga =4lg 2a -1lga

=3, 所以4lg 2a-3lg a-1=0.

所以lg a=1或lg a=-14.

因为lg a<0,所以lg a=-14.所以a=10-14.