高中数学(人教A版)必修一课后习题：对数的概念(课后习题)【含答案及解析】

对数
对数的概念
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.方程2log 3x =14的解是( )
A.19
B.√3
C.√33
D.9
2log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.
2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.e 0=1与ln 1=0
B.8-13=12与log 812=-1
3
C.log 39=2与912=3
D.log 77=1与71=7
39=2应转化为32=9.
3.(多选题)(2021湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )
A.log 24=2
B .2.10.5>2.1-1.8
C .3log 32=2
D .-ln e =1
24=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-ln e =-1,故D 不正确.故选ABC .
4.(2021北京大兴高一期末)813+log 122等于( ) A.0
B .1
C .2
D .3
813+log 122=23×13-log 22=2-1=1.故选B .
5.若a>0,a 2=4
9,则lo g 23a= .
a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323
=1.
6.解答下列各题.
(1)计算:lg 0.000 1;log 2164;log 3.12(log 1515).
(2)已知log 4x=-3
2,log 3(log 2y )=1,求xy 的值.
因为10-4=0.000 1,
所以lg 0.000 1=-4.
因为2-6=164,所以log 2164=-6.
log 3.12(log 1515)=log 3.121=0.
(2)因为log 4x=-3
2,所以x=4-3
2=2-3=1
8.
因为log 3(log 2y )=1,所以log 2y=3.
所以y=23=8.所以xy=18×8=1.
7.求下列各式的值:
(1)lo g 116
2; (2)log 7√493; (3)log 2(log 93).
设lo g 116
2=x ,则(116)x =2,即2-4x =2,
∴-4x=1,x=-14,即lo g 116
2=-1
4. (2)设log 7√493=x ,则7x =√493=72
3. ∴x=23,即log 7√493=2
3.
(3)设log 93=x ,则 9x =3,即32x =3,∴x=1
2.
设log 212=y ,则2y =12=2-1,
∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.
等级考提升练
8.若log a 3=m ,log a 5=n (a>0且a ≠1),则a 2m+n 的值是
( )
A.15
B.75
C.45
D.225
log a 3=m ,得a m =3,由log a 5=n ,得a n =5, ∴a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45.
9.函数y=log (2x-1)√3x -2的定义域是( )
A.23,1∪(1,+∞)
B.12,1∪(1,+∞)
C.23
,+∞ D.12,+∞
解析要使函数有意义,则{2x -1>0,2x -1≠1,3x -2>0,
解此不等式组可得x>12且x ≠1且x>23,故函数的定义域是23,1∪(1,+∞),故选A .
10.已知f (x 6)=log 2x ,则f (8)=( )
A.43
B .8
C .18
D .12
x 6=8,则x 2=2,
因为x>0,则x=√2,故f (8)=log 2√2=12.
11.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数中,与y=x 是同一个函数的是( )
A.y=√x 33
B .y=√x 2
C .y=lg 10x
D .y=10lg x
的定义域为R ,值域为R ,函数y=√x 33=x 的定义域为R ,故是同一函数;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 解析式、值域均不同,故不是同一函数;函数y=lg 10x =x ,且定义域为R ,对应关系相同,故是同一函数;y=10lg x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一函数.故选AC .
12.已知f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,
则f (-2)+f (2)的值为( ) A.6
B .5
C .4
D .3
f (-2)+f (2)=(1+lo
g 24)+2=5,故选B .
13.已知lo g 12(log 2x )=lo g 13(log 3y )=1,则x ,y 的大小关系是( )
A.x<y
B.x=y
C.x>y
D.不确定
lo g 12(log 2x )=1,
所以log 2x=12.所以x=212=√2.
又因为lo g 13(log 3y )=1,所以log 3y=13.
所以y=313=√33.
因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A . 14.21+1
2·log 25的值等于 .
√5
1+1
2log 25=2×212log 25=2×(2log 25)12=2×512=2√5.
15.已知log a b=log b a (a>0,a ≠1,b>0,b ≠1),求证:a=b 或ab=1.
log a b=log b a=k ,则b=a k ,a=b k ,
因此b=(b k )k =b k 2
.
因为b>0,b ≠1,所以k 2=1,即k=±1.
当k=1时,a=b ;当k=-1时,a=b -1=1
b ,即ab=1.综上可知a=b 或ab=1. 新情境创新练
16.已知二次函数f (x )=(lg a )x 2+2x+4lg a (a>0)的最大值是3,求a 的值.
f (x )有最大值,所以l
g a<0.
又f (x )max =16lg 2a -44lga =4lg 2a -1lga
=3, 所以4lg 2a-3lg a-1=0.
所以lg a=1或lg a=-14.
因为lg a<0,所以lg a=-14.所以a=10-14.。