反比例函数压轴题含答案

2009-2013年中考反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1

2

AOB AOC

S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题

例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k

y x x

=

>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交

BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为

2，则k = 2 ；

(2)如图，点A B

、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双

曲线

1

(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=

6

例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6

=的图象交

),(),,(2211y x B y x

A ，那么)

)((1212y y x

x --值为 24 .

解析：因为A ，B 在反比例函数x

y 6

=

上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此

),(),,(2211y x B y x A 中有

1

212,y y x x -=-=，所以

24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x

例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m

y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．

(1) 求反比例函数x

m

y =

和一次函数b kx y +=的表达式；

(2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数x

m

y =

的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10． ∴ 反比例函数的表达式为x

y 10

=． ∵ 点C ﹙5，n ﹚在反比例函数的图象上， ∴ 25

10

==

n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩

⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，

解得⎩⎨⎧-==.31b k ，

∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．

(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚．

∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，

∴ S △AOC = S △

AOB + S △BOC =()221

52215212-2

1=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．

例4．（2007福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q

，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 解：（1）Q 点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．

∴点A 的坐标为(42)，． Q 点A 是直线12y x =

与双曲线(0)k

y k x

=>的交点， 428k ∴=⨯=．

（2）解法一：如图1，Q 点C 在双曲线上，当8y =时，1x =

∴点C 的坐标为(18)，．

过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．

32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．

3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，

图2

过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，

Q 点C 在双曲线8

y x

=

上，当8y =时，1x =． ∴点C 的坐标为(18)，．Q 点C ，A 都在双曲线8

y x

=

上， 4COE AOF S S ∴==△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形． COA CEFA S S ∴=△梯形．

1

(28)3152

CEFA S =⨯+⨯=Q 梯形，15COA S ∴=△．

（3）Q 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，

OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．

11

24644

POA APBQ S S ∴=

=⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8

()P m m

，．

过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，

Q 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△．

若04m <<，如图3，

POE POA AOF PEFA S S S S +=+Q △△△梯形，

6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

∴·．

解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，

． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+Q △△△梯形，

6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫

∴+-= ⎪⎝⎭

g ，

解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．

例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1

y x b 2

=-+过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；

（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．

图

O A y

B

F Q

E P x 图4

O x

A

y B

F E Q

P