计算机网络病毒随机传播的概率模型 (2)

计算机网络病毒随机传播的概率模型
刘琼荪，钟波
（重庆大学数理学院，400044）
教学目的和要求：
通过病毒在网络上的随机传播问题的分析过程，使学生：
1. 了解概率论在现实生活中的应用；
2.了解如何应用随机思想和方法分析、处理实际问题；
3.体会学好概率统计知识的重要性；
4.激发学习概率论的兴趣。

知识点：几何分布、数学期望。

计划学时：1-2学时
正文
一、问题的提出
因特网的产生与发展让人们的生活发生了革命性的改变。

计算机网络给人们的生活带来了便利的同时，计算机病毒也有了新的发展空间，计算机网络病毒应运而生。

假定计算机病毒传播的方式是随机的，即设某个时刻，有一台机器被感染上了病毒，与之相邻(连接)的多台机器在下一时刻必定有一台(等可能地)被感染。

究竟病毒随机传播的机制是什么？速度有多快？需要建立病毒在网络上的随机传播的数学模型，并分析病毒随机传播的各种特性。

二、问题的假设
1. 计算机网络可以用图来表示，对于小型网络，每台电脑作为图的节点，连接的网线可
作为图的边；对于大型网络，则图中的节点代表交换机、路由器或连接到因特网的局域网，图中的边则是连接节点的通路。

2. 将时间离散化(等间距或非等间距)，每次考虑一个单位时间内发生的事件；
3. 病毒在一个有向连通图上进行传播，图中每个节点随时都可能被感染，并且一旦感染
后短时间内不可清除；
4. 在单位时间内，一个节点假定被病毒侵蚀，一定会将病毒传给与之相邻的多个节点中
的某一个，不考虑对方是否已经被感染。

且被感染的节点不能在同一时刻向与它相连的
多个节点传播；
5. 如果已经被病毒侵蚀的节点存在多个相邻的节点，则等概率地选择其中一个节点被感染；
6．在每个单位时间内，节点与节点之间是否被感染是相互独立的；
三、问题分析及模型建立
对于一个网络，它的拓扑结构抽象成一个图(,)G V E ，假定它是一个连通无向图。

根据模型假定，如果某个节点已经被感染，由于各个节点之间是连通的，则图中的任何一个节点必然会在某个时刻被感染。

设给定0v V ∈为初始时刻被感染的节点，欲求指定节点v 被感染所花费的平均时间（时间的数学期望）。

分以下几种情况讨论：
1）直接传播（假设0v 与v 相邻，由节点0v 直接向节点v 传播，记0v v →）
首先将时间等间距地离散化，刻画时间以单位时间计。

节点v 可能在任何第i 个单位时间内被感染(i =1,2,…)，设v X 表示节点v 被病毒侵蚀的单位时间个数，它的可能取值为
i (1,2,)i =L 。

例如，假定节点v 有1
4
的概率在第1个单位时间内被感染，则顶点v 在第i 个单位时间内被感染的可能性为：131
{}()(),1,2,44
i v P X i i -===L ，即随机变量v X 服从几
何分布，由数学期望的定义知，节点v 被感染的平均时间为：
11
31
()()()444i v v i T E X i ∞
-====∑
下面需要确定节点v 被感染的概率。

设与节点0v V ∈相邻的节点数为0()d v ，由等可能性知，则在第一个单位时间里，节点v 被感染的概率为
01
()
d v ，在第二个单位时间里，节点v 被感染的概率为
000()11
()()
d v d v d v -⋅，在第三个单位时间里，节点v 被感染的概率为
2000()11(
)()()
d v d v d v -⋅，即在第i 个单位时间里，1000()11
{}(
)(),()()i v d v P X i d v d v --== (1,2,...)i =。

则01
~(
)()
v X Geo d v （几何分布）。

不难解出0()()v v T E X d v ==。

由此得出结论，节点v 被感染的平均时间等于节点0v 的度数。

2）间接传播
如果节点0v 与节点v 不相邻，假设有m 条长度为2的路径0,j v v v →→
(1,2,...,)j m =，如图1所示，则定义节点v 被病毒感染的间隔时间的数学期望为：
011min{()()}min{()()}j v v v j j m
j m
T E X E X d v d v ≤≤≤≤=+=+
更一般的情况，如果这m 条路径的长度分别为j l ，将路径表示为：
120,(1
,2,...,)j
l
j j j v v v v v j m →→→→=L 则定义节点v 被病毒感染的间隔时间的数学期望为：
0111
1
min{()()}min{()()}j j
k j
l l k v v j v j m
j m
k k T E X E X d v d v ≤≤≤≤===+=+∑∑ （1）
其中，()k j d v 表示节点k
j v 的度数。

根据计算公式(1), 为了计算v T ，可将间接传播途径转化为直接传播途径，即将原来的无向图(,)G V E 转化为一个赋权有向图'(',',)G V E W ，在'
E 中，考虑两条有向边1(,)e u v ，
2(,)e v u ，,'u v V ∈，定义边权值为1()()W e d u =，2()()W e d v =，其中()d u 表示顶点u 在
图G 中的度。

由此可知，求任一个节点被感
染时间的数学期望转化为寻找赋权有向图
'(',',)G V E W 中的相应两个点之间的最短路
径的长度。

四、模型验证(一个算例
)
v 1
3v 7
v 0
v
图1
给出一个无向图(,)G V E 如图2所示。

将图2转化为赋权有向图，用边权矩阵表示如下：
121314242526343645465657672131414252624363546465757634333545444535355455455252E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
使用Dijkstra 最短距离算法，可以计算从顶点1v 到任意一个节点i v 的最短路径，也是顶点1v 到i v 被感染病毒的时间的数学期望。

用Matlab 编程，计算结果如下：
以上建立的病毒随机传播模型是简单的一种，仅考虑的是沿着一条路径传播。

事实上，在考虑0v v →的直接传播时间时，所有连接它们的路径都可能对传播时间的数学期望造成影响。

因此，需要进一步地思考如下问题。

五、进一步思考的问题（供学生思考）
1．考虑某几个节点被感染时，计算目标节点被感染的期望时间值。

设某个点集V 中的点已经被病毒感染，求目标节点u 被感染的时间的数学期望(,)T V u 。

实际上，这是马尔可夫状态转移过程。

可以定义
0,(,)[(,)1],i i i
u V T V u T V u p u V ∈⎧⎪
=⎨+∉⎪⎩∑
其中，i V 表示从点集V 开始到下一个单位时间可能形成的点集，i p 表示产生该点集的概率。

例如，假设212{,}V v v =，下一时刻有0.75的可能形成3123{,,}V v v v =，有0.25的可能保持
212{,}V v v =不变。

但这时需要假设一旦被病毒感染就不可恢复。

因此，在一个单位时间过
后，被感染的点集或者不变或者加入一个新的节点。

根据该性质，可递推地求解，关键是需要确定概率i p 。

如何确定概率i p ？
2．如果将公式(1)修改为如下形式：
111()()j
k j
l
m v v v j k T E X E X l ===+∑∑，其中1
m
j j l l ==∑，
T？
是否合理？如何计算
v
T。

3．考虑使用计算机模拟求解
v
由于网络病毒的泛滥，造成各方面的损失日益增加。

如果加强病毒开始传播过程中的控制，防患于未然，病毒的传播就能有效地得到抑制。

因此，对网络病毒传播机制的研究无疑是十分有意义的。

参考文献
[1] 陈煦，王忆等，计算机网络病毒传播的概率模型[J]，微机发展，V ol.14 No.12, Dec.2004；
[2] 孙荣恒等编著，概率论和数理统计[M]，重庆: 重庆大学出版社，2000年。