(浙江绍兴)2020-2021学年第一学期九年级期末测试-数学试题卷(浙教版)
2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）已知二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（）A．a+c＝﹣1B．a+c＝﹣9C．a﹣c＝﹣9D．a﹣c＝﹣1 2．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式一定正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列各事件中，是随机事件的是（）A．a是实数，则|a|≥0B．某运动员跳高的最好成绩是10.1mC．从装有多个白球的箱子里取出2个红球D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品4．（4分）如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（）A．40°，9B．40°，6C．30°，9D．30°，65．（4分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°6．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（）A．x1＝﹣1，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝0 7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CAB＝36°，则∠D的度数为（）A．72°B．54°C．45°D．36°8．（4分）我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＞BC）的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于（）A．B．C．D．9．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形内部一点，连接EA，EB 满足∠EAB＝∠EBC，点P是BC边上一动点，连接PD，PE．则PD+PE长度的最小值为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且，，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分.）11．（5分）已知，则＝．12．（5分）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则结果两次摸出红球的概率为．13．（5分）在由边长为1的小正方形所组成的网格中，△ABC如图放置，则sin A＝．14．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是该三角形边上一点，且OB＝1，以O为圆心，1为半径作圆，点P是这个圆上的一动点，连接AP，则线段AP 的最大值为．15．（5分）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝4，则AC的长是．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）17．（8分）（1）计算：4sin260°+tan45°﹣8cos230°；（2）将y＝x2﹣2x+1的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式．18．（8分）如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有﹣2，，﹣，π四个实数，从中任取两张卡片．（1）用适当的方法列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）；（2）求取到卡片上的两个数都是无理数的概率．19．（8分）如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，点O到弦AB的距离为．（1）求弦AB的长；（2）若点C在⊙O上（点C不与A，B重合），求∠ACB的度数．20．（8分）如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道．经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知BC＝4km．“运动达人”小敏从景点C出发，沿着C﹣B﹣A﹣C的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C．求：（1）景点A，B间的距离；（2）小敏健步走的总路程．21．（10分）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使BC∥AD，∠C＝90°．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P 作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称点P为⊙C的“圈内整点”．（1）当⊙O的半径r＝2时，在点D（﹣2，2），E（1，0），F（0，﹣2），G（1，﹣2）中，属于⊙O“圈内整点”的是；（2）若直线y＝x+3上存在⊙O的“圈内整点”，且不超过8个，求⊙O半径r的取值范围；（3）⊙T的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝x+3上存在⊙T的“圈内整点”，求圆心T横坐标t的取值范围．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣8，0），B（2，0），以AB为直径作⊙D，交y轴的正半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是BC延长线上一点，∠ACF的平分线CE交⊙D于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AE，在⊙D上是否存在点P，使得∠PEA＝∠CAE？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2020-2021学年浙江省绍兴市上虞区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.请选出每小题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）已知二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是（）A．a+c＝﹣1B．a+c＝﹣9C．a﹣c＝﹣9D．a﹣c＝﹣1【分析】把x，y对应的值代入二次函数解析式即可．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x﹣c，当x＝1时，函数值是﹣5，∴﹣5＝a+4﹣c，即a﹣c＝﹣9，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是把x，y对应的值代入二次函数解析式中．2．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，∴，故C选项符合题意，故选：B．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质；解题的关键列出．3．（4分）下列各事件中，是随机事件的是（）A．a是实数，则|a|≥0B．某运动员跳高的最好成绩是10.1mC．从装有多个白球的箱子里取出2个红球D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件，故本选项不符合题意；B、运动员跳高的最好成绩是10.1m，是不可能事件，故本选项不符合题意；C、从装有多个白球的箱子里取出2个红球，是不可能就事件，故本选项不符合题意；D、从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品，是随机事件，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（4分）如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（）A．40°，9B．40°，6C．30°，9D．30°，6【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠α＝40°，x＝，故选：A．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．5．（4分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃，∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．6．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（）A．x1＝﹣1，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝0【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），可以求得该函数的对称轴，再根据该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），从而可以求得该函数图象与x轴的另一个交点，从而可以得到方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CAB＝36°，则∠D的度数为（）A．72°B．54°C．45°D．36°【分析】首先利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝36°，∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（4分）我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＞BC）的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于（）A．B．C．D．【分析】设AB＝a，根据黄金矩形的概念求出BC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设AB＝a，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴BC＝a，∴AE＝a﹣a＝a，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．9．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形内部一点，连接EA，EB 满足∠EAB＝∠EBC，点P是BC边上一动点，连接PD，PE．则PD+PE长度的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠AEB＝90°，得到点E在以AB为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形BCFG，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的半圆上移动，如图，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝1，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝2，∴OG＝3，∴OF＝＝，∴EF＝﹣1，∴PD+PE的长度最小值为﹣1，故选：A．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且，，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式，当三角形的高相等时，它们的面积之比等于其底边之比，从而由，得到＝，＝，＝n，＝n，解得S4＝，S1＝，∴S3＝，S2＝，结合图形根据S△ABC＝S1+S2+S3+S4+S△BCF进行求解即可．【解答】解：如图，连接AF，令△ADF、，△BDF、△AEF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，∵，，∴＝，＝，＝n，＝n，∴S2＝mS1，S3＝nS4，又△BCF的面积为1，∴＝＝，＝＝n，解得S4＝，S1＝，∴S3＝，S2＝，∴S△ABC＝S1+S2+S3+S4+S△BCF＝++++1＝，故选：D．【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据，得到＝，＝，＝n，＝n，应充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系．二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分.）11．（5分）已知，则＝．【分析】根据已知条件设a＝3k，b＝5k，再代入求出答案即可．【解答】解：设a＝3k，b＝5k，则＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．12．（5分）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则结果两次摸出红球的概率为．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况，∴两次摸出红球的概率为：．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（5分）在由边长为1的小正方形所组成的网格中，△ABC如图放置，则sin A＝．【分析】观察题目将∠A视为Rt△ACD一锐角，求出AC和CD即可求出sin A．【解答】解：如下图所示：AC＝＝2，CD＝2，在Rt△ACD中，sin A＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形知识，构造直角三角形以及能熟练掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．14．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是该三角形边上一点，且OB＝1，以O为圆心，1为半径作圆，点P是这个圆上的一动点，连接AP，则线段AP的最大值为．【分析】分两种情形：当点O在线段BC，当点O在线段AB上，分别求出P A的最大值，可得结论．【解答】解：当点O在线段BC上上，连接OP，OA．在Rt△AOC中，AC＝3，OC＝BC﹣OB＝4﹣1＝3，∴OA＝3，∵P A≤OP+OA＝3+1，∴P A的最大值为3+1．同法当点O在线段AB上时，P A的最大值为5，∵3+1＞5，∴AP的最大值为3+1，故答案为：3+1．【点评】本题考查圆中最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（5分）已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为﹣5或3．【分析】当x＝0时，y＝3，故二次函数y＝（ax+m）（x+）必经过定点（0，3），则二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，进而求解、【解答】解：∵二次函数y＝（ax+m）（x+），∴当x＝0时，y＝3，∴二次函数y＝（ax+m）（x+）必经过定点（0，3），∴二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，∴对称轴为：x＝（0+4）＝2或x＝（﹣4+0）＝﹣2，∵方程y＝（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为3或﹣5，∴故答案为3或﹣5．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．16．（5分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝4，则AC的长是．【分析】设点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆O，然后根据圆周角定理以及勾股定理即可求出答案．【解答】解：设点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆O，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴由圆周角定理可知：点D与B在圆O上，∵BD平分∠ABC，∴AD＝CD，∴∠DCA＝45°，∴∠ACB＝∠DCB﹣∠DCA＝15°，连接OB，过点E作BE⊥AC于点E，∴由圆周角定理可知：∠AOB＝2∠ACB＝30°，∴OB＝2BE，∴AC＝2OB＝4BE，设AB＝x，∴BC＝4﹣x，∵AB•BC＝BE•AC，∴4BE2＝x（4﹣x），∴AC2＝16BE2＝4x（4﹣x），由勾股定理可知：AC2＝x2+（4﹣x）2，∴4x（4﹣x）＝x2+（4﹣x）2，解得：x＝2±，当x＝2+时，∴BC＝4﹣x＝2﹣，∴AC＝，当x＝2﹣时，BC＝4﹣x＝2+时，∴AC＝，故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是作出圆O，然后熟练运用圆周角定理和勾股定理，本题综合运用所学知识，属于难题．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.）17．（8分）（1）计算：4sin260°+tan45°﹣8cos230°；（2）将y＝x2﹣2x+1的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式．【分析】（1）分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；（2）先将抛物线y＝x2﹣2x+1化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．【解答】解：（1）原式＝＝3+1﹣6＝﹣2（2）将y＝x2﹣2x+1的图象先向左平移2个单位，得到抛物线解析式为y＝（x+1）2，再向下平移1个单位，得到抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1，所以两次平移后得到的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题考查了解直角三角形，二次函数图象与几何变换以及一般式转化顶点式，正确将一般式转化为顶点式是解题关键．18．（8分）如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有﹣2，，﹣，π四个实数，从中任取两张卡片．（1）用适当的方法列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）；（2）求取到卡片上的两个数都是无理数的概率．【分析】（1）列表得出所有等可能结果；（2）根据表格得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）取到卡片上的两个数都是无理数的只有BD、DB两种，其概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（8分）如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，点O到弦AB的距离为．（1）求弦AB的长；（2）若点C在⊙O上（点C不与A，B重合），求∠ACB的度数．【分析】（1）如图，作OD⊥AB于点D，连接OA．构造直角△AOD，利用勾股定理求得AD的长度；结合垂径定理求得弦AB的长度；（2）求出∠AOB，利用圆周角定理即可解决问题，注意两种情形；【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点D，连接OA．在Rt△OAD中，OA＝2，，则由勾股定理可得，又∵AB＝2AD，∴．（2）如图，连接OB，由（1）知，OD＝AD，∠ADO＝90°，则∠OAD＝∠AOD＝45°．∴∠AOB＝90°，∴当点C在优弧AB上时，∠ACB＝45°．当点C在劣弧AB上时，∠ACB＝135°．综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意一题多解．20．（8分）如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道．经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知BC＝4km．“运动达人”小敏从景点C出发，沿着C﹣B﹣A﹣C的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C．求：（1）景点A，B间的距离；（2）小敏健步走的总路程．【分析】（1）延长AB，过点C作CH⊥AB延长线于点H，先证CH＝BH＝4，再由锐角三角函数定义求出AH的长，即可求解；（2）由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2CH＝8，求出BC+AB+AC即可．【解答】解：（1）延长AB，过点C作CH⊥AB延长线于点H，如图所示：由题意知：∠CAH＝90°﹣60°＝30°，∠CBH＝90°﹣45°＝45°，∵，∴，∵∠CBH＝∠HCB＝45°，∴CH＝BH＝4，在Rt△CAH中，CH＝4，∠CAH＝30°，∵，∴，∴，即景点A，B间的距离为；（2）在Rt△CAH中，∠CAH＝30°，∴AC＝2CH＝2×4＝8，∴BC+AB+AC＝4+4﹣4+8＝4+4+4，即小敏健步走的总路程为（4+4+4）km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握方向角的定义和等腰三角形的判定是解题的关键．21．（10分）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使BC∥AD，∠C＝90°．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，再证明△AEB是等腰直角三角形，得出DC＝AE＝BE＝xm，则AD＝CE＝（15﹣2x）m，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解；（2）根据扇形弧长公式求出AD，再根据扇形的面积求解，然后比较即可．【解答】解：（1）如图所示：过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∠DAE＝∠AEB＝90°，则∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝45°，设DC＝AE＝xm，在Rt△AEB中，又∵∠AEB＝90°，∴∠B＝45°，∴AE＝BE＝xm，∴AD＝CE＝（15﹣2x）m，∴梯形ABCD面积S＝（AD+BC）•CD＝（15﹣2x+15﹣x）•x＝﹣x2+15x＝﹣（x ﹣5）2+，∴当x＝5时，S最大＝；∴当CD长为5m时，才能使储料场的面积最大；（2）小聪建议合理．理由如下：由题意得＝15，∴，∴，∵，∴小聪的建议是合理的．【点评】此题考查二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数，进一步利用函数的性质解决问题．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P 作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．【分析】（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴，PH＝OP•cos30°＝3×＝，在Rt△OHC中，．∵CD＝2CH，∴．∴．（2）由（1）知：，P A＝5，∠P＝30°，∴，，∴．【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称点P为⊙C的“圈内整点”．（1）当⊙O的半径r＝2时，在点D（﹣2，2），E（1，0），F（0，﹣2），G（1，﹣2）中，属于⊙O“圈内整点”的是E，F；（2）若直线y＝x+3上存在⊙O的“圈内整点”，且不超过8个，求⊙O半径r的取值范围；（3）⊙T的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝x+3上存在⊙T的“圈内整点”，求圆心T横坐标t的取值范围．【分析】（1）根据“圈内整点”的定义画出图象，判断即可．（2）求出两种特殊位置，⊙O的半径，可得结论．（3）分两种情形：如图3中，当⊙T′经过M′（﹣4，﹣1）点时，当⊙T经过M（﹣2，1）点时，分别求出两种情形点T的横坐标，可得结论．【解答】解：（1）如图1中，满足条件的点是点E，点F．故答案为：E，F；（2）如图2中，由题意知：当⊙O经过A点、B点时，直线y＝x+3上存在⊙O的“圈内整点．此时．当⊙O经过C点、D点时，直线y＝x+3上存在⊙O的“圈内整点”10个．此时．由于直线y＝x+3上存在⊙O的“圈内整点”不超过8个，故．∴⊙O半径r的取值范围是；（3）如图3中，当⊙T′经过M′（﹣4，﹣1）点时，过点M′作M′E′⊥x轴于E′，此时T′M′＝2，M′E′＝1，则T′E′＝，此时点T′的横坐标为，当⊙T经过M（﹣2，1）点时，此时TM＝2，ME＝1，则TE＝，此时点T的横坐标为，∴圆心T横坐标t的取值范围是．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，“圈内整点”的定义等知识．解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣8，0），B（2，0），以AB为直径作⊙D，交y轴的正半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是BC延长线上一点，∠ACF的平分线CE交⊙D于点E，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AE，在⊙D上是否存在点P，使得∠PEA＝∠CAE？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线为y＝a（x+8）（x﹣2），求出C（0，4）代入抛物线解析式即可；（2）连接DE，所以∠ACB＝90°，再由CF平分∠ACF，可得∠ACE＝45°，则∠ADE ＝90°，即DE⊥OA，可求E（﹣3，5）；（3）①点P在AE的上方时，过E作EP∥AC交⊙D于点P，过P作PH⊥OA，连接PD 、CD，则＝，可证明△PDH≌△DCO，求得P1（﹣7，3）；②点P在AE的下方时，P1P2关于直径AB对称，求得P2（﹣7，﹣3）．【解答】解：（1）∵A（﹣8，0），B（2，0），∴D（﹣3，0），CD＝5，∴C（0，4），设抛物线为y＝a（x+8）（x﹣2），则﹣16a＝4，得，∴y＝﹣x2﹣x+4；（2）连接DE，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CF平分∠ACF，∴∠ACE＝45°，∴∠ADE＝90°，即DE⊥OA，∴E（﹣3，5）；（3）存在，理由如下：①点P在AE的上方时，过E作EP∥AC交⊙D于点P，过P作PH⊥OA，连接PD、CD，则＝，∴∠ADP＝∠CDE，∴∠PDC＝∠ADW＝90°，∴△PDH≌△DCO，∴DH＝4，PH＝3，∴P1（﹣7，3）；②点P在AE的下方时，∵∠P2EA＝∠P1EA，∴＝，∴P1P2关于直径AB对称，∴P2（﹣7，﹣3），综上所述：P点坐标为（﹣7，3）或（﹣7，﹣3）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质、圆的性质、圆周角的性质是解题的关键．。
2020-2021学年第一学期人教版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定2．对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．其中错误的说法是（）A．①B．①②C．②③D．①③3．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．拔苗助长B．守株待兔C．竹篮打水D．水涨船高6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（）A．（1+x）2＝242B．（2+x）2＝242C．2（1+x）2＝242D．（1+2x）2＝2427．二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝2x2﹣12x B．y＝﹣2x2+6x+12C．y＝2x2+12x+18D．y＝﹣2x2﹣6x+188．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A．32个B．36个C．40个D．42个9．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图中所示的（）A．B．C．D．10．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为．12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为．13．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm，则截面中有水部分弓形的面积为．（结果精确到1cm）14．如图，抛物线y＝ax2+c的顶点为B，A、C两点在该抛物线上，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac＝．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．解方程：x2﹣8x﹣1＝0．16．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在边长为单位1的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；（2）绕点B顺时针旋转△ABC，使得A点在x正半轴上，旋转后的三角形为△A2BC2，画出旋转后的△A2BC2，其中A，C分别和A2，C2对应；（3）填空：在（2）的条件下，点A所经过的路线长是．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．某商场购进一批运动服，销售时标价为每件100元，若按七折销售则可获利40%．为尽快减少库存，现该商场决定对这批运动服开展降价促销活动，每件在七折的基础上再降价x元后，现在每天可销售（4x+10）件．（1）运动服的进价是每件元；（2）促销期间，每天若要获得500元的利润，则x的值为多少？18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”、“龙”、“岩”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；（2）若从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．已知OA是⊙O的半径，OA＝1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．（1）如图1，若P为OA中点，则AC＝，∠ACB＝°；（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD 的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．20．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）21．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝10，求大圆与小圆围成的圆环的面积．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．若Rt△ABC和Rt △ECD是等腰直角三角形，（1）猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；（2）现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转n°，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）23．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程没有实数根，故选：B．2．解：①反例：a＝0时，只有两个交点．故说法错误；②如a＝1，对称轴x＝，当x＞1时，先减后增；故说法错误；③当a＝0时，函数无最大值、最小值；当a≠0时，y＝＝﹣（4a+），最值∴当a＞0时，有最小值，最小值为负数；当a＜0时，有最大值，最大值为正数．故说法正确．故选：B．3．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；C．属于中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．4．解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，∴∠AED＝∠ACD＝20°．故选：B．5．解：A、拔苗助长，是不可能事件；B、守株待兔，是随机事件；C、竹篮打水，是不可能事件；D、水涨船高，是必然事件；故选：B．6．解：依题意得：2（1+x）2＝242．故选：C．7．解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即y＝2x2+12x+18．故选：C．8．解：设盒子里有白球x个，根据＝得：＝解得：x＝32．经检验得x＝32是方程的解．答：盒中大约有白球32个．故选：A．9．解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；B、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，过点（0，c），由直线可知，a＜0，过点（0，c），正确．故选：D．10．解：设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，则∠AOB＝＝36°，∴＝18°，AC＝AB＝，∴OA＝＝，故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．即方程的另一个根为﹣1．故答案为﹣1．12．解：∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l＝＝10，圆锥侧面展开图的面积为：S＝×2×6π×10＝60π，侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．故答案为：60πcm2；13．解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm，∴OE＝OD﹣DE＝12﹣6＝6cm，在Rt△AOE中，OE＝OB＝6cm，∴AE＝＝＝6，∴AB＝2AE＝12∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝2∠AOE＝2×60°＝120°，∴S弓形＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×12×6＝﹣36≈×3.14﹣36×1.73≈88cm2．故答案为：88cm2．14．解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，∴∠COB＝45°，CO＝BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，∴C点坐标为（﹣，），将点C代入抛物线方程中得ac＝﹣2．故答案为：﹣2．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．解：x2﹣8x﹣1＝0，x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，x﹣4＝±，．16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2BC2即为所求；（3）根据弧长公式可知：点A所经过的路线长是：＝π．故答案为：．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．解：（1）设进价为a元，根据题意得：（1+40%）a＝100×0.7，解得：a＝50，则运动服的进价是每件50元；故答案为：50；（2）根据题意得：（70﹣x﹣50）（4x+10）＝500，（20﹣x）（2x+5）＝250，即2x2﹣35x+150＝0，分解因式得：（2x﹣15）（x﹣10）＝0，解得：x＝7.5（舍去）或x＝10，则x的值为10．18．解：（1）∵有汉字“美”、“丽”、“龙”、“岩”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，∴球上汉字是“美”的概率为P＝；（2）列举如下：美丽龙岩美/（丽，美）（龙，美）（岩，美）丽（美，丽）/（龙，丽）（岩，丽）龙（美，龙）（丽，龙）/（岩，龙）岩（美，岩）（丽，岩）（龙，岩）/画树状图如图所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的情况有4种，则取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率为．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．解：（1）∵P为OA的中点，OA⊥BC，∴AC＝OA，∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝1，∠ACO＝60°，∵PC⊥OA，∴∠ACB＝∠BCO＝∠AOC＝30°，故答案为：1；30．（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，∵BC⊥OA，∴PB＝PC，∴AB＝AC，∵OB ＝CO ，OA ＝OA ， ∴△ABO ≌△ACO （SSS ）， ∴S △ABO ＝S △ACO ＝S 1， ∴S 1+S 2＝S 3， ∵，∴，∴S 12+S 1S 2﹣S 22＝0， ∴﹣1＝0．解得：，∴，∴， ∴，∵CE 为直径， ∴∠CBE ＝90°， ∴AO ∥BE ， ∴△AOD ∽△BED ， ∴，∵OE ＝OC ， ∴OP ＝BE ， ∴， ∴+1， ∴，∴．20．解：（1）由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x＜80）；（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a＝﹣20＜0，＝8000元∴当x＝60时，P最大值即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）21．解：（1）BC所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE＝OA，∴BC所在直线是小圆的切线．（2）AC+AD＝BC．理由如下：连接OD．∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE＝CA；∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB＝AD；∵BC＝CE+EB，∴BC＝AC+AD．（3）∵∠BAC＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AC＝6cm；∵BC＝AC+AD，∴AD＝BC﹣AC＝4cm，∵圆环的面积为：S＝π（OD）2﹣π（OA）2＝π（OD2﹣OA2），又∵OD2﹣OA2＝AD2，∴S＝42π＝16π（cm2）．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．解：（1）BE＝AD，BE⊥AD；在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，∵∠EBC+∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ADC＝90°，∴BE⊥AD．（2）BE＝AD，BE⊥AD仍然成立；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE．∵∠BFC＝∠AFG，∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠AFG+∠CAD＝90°．∴∠AGF＝90°．∴BE⊥AD．八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分）23．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B、点C，∴当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3．∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x＝2，∴点A的坐标为（1，0），又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图1，过G作GH∥y轴交BC于点H，设点G（m，m2﹣4m+3 ），则点H（m，﹣m+3）（0＜m＜3），∴GH＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝m2+3m，∴＝，∵0＜m＜3，∴根据二次函数的图象及性质知，当时，△GBC的面积取最大值；（3）如图2，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得顶点P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，∴∠PBM＝45°，PB＝，由点B（3，0），C（0，3）知，OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，由勾股定理，得BC＝，假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当，∠PBQ＝∠ABC＝45°时，△PBQ∽△ABC．即，解得：BQ＝3，又∵BO＝3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）；②当，∠QBP＝∠ABC＝45°时，△QBP∽△ABC．即，解得：QB＝，∵OB＝3，∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣，∴Q2的坐标是（，0）；③当Q在B点右侧，则∠PBQ＝180°﹣45°＝135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC，则点Q不可能在B点右侧的x轴上，综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷(含答案)
2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题有12小题，每小题4分，共48分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.若，则等于（）A. B. C. D.2.如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若，则∠APB的度数为（）A. 80°B. 140°C. 20°D. 50°（第2题图）（第4题图）（第7题图）（第8题图）3.某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（）A. 抽一次不可能抽到一等奖B. 抽次也可能没有抽到一等奖C. 抽次奖必有一次抽到一等奖D. 抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖4.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（）A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝5.二次函数的图像的顶点坐标是（）A. B. C. （1,2） D.6.已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（）A. 4B. 6C. 7D. 87.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AE交BD于点O，下列说法错误的是（）A. AB：DE=2：1B. S△ODE：S△AOB=1：2C. S△ABD：S△BDC=1：1D. S△AOB=4S△ODE8.如图等腰三角形的顶角=45°，以AB为直径的半圆O与BC，AC相较于点D，E两点，则弧AE所对的圆心角的度数为（）A. 40°B. 50°C. 90°D. 100°9.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（）A. ﹣4＜x＜1B. ﹣3＜x＜1C. x＜﹣4或x＞1D. x＜﹣3或x＞110.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B.若△ACD的面积为a，则△ABD的面积为（）A. 2aB. 3aC. 4aD. 5a（第9题图）（第10题图）（第11题图）11.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，连结CD与AB相交于点P，则tan∠APD的值是( )A. 2B.C.D.12.如图，在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，且与轴，轴分别交于两点，点为的中点，点在线段上，其坐标为，连结，，若，那么的值为（）A. B. 4 C. 5 D. 6（第12题图）（第13题图）二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若，，，则________.14.已知（-10≤x≤0），则函数y的取值范围是________15.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似.16.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为________.17.如图，已知△中，，，点、分别在边、上，，，那么的长是________.18.如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最大值是________．（第15题图）（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题有8小题，共78分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.19.（6分）（1）计算：sin30°-3tan60°+cos245°。
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级上册期末数学测试卷
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级上册期末数学测试卷题号 一 二 三 四 总分 得分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 二次函数y =(x −1)2−3的最小值是( )A. 2B. 1C. −2D. −32. 如果ab =2，则a+ba−b 的值是( )A. 3B. −3C. 12D. 323. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AB =10，sinA =35，cosA =45，tanA =34，则BC 的长为( )A. 6B. 7.5C. 8D. 12.54. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠D =3∠B ，则∠B 等于( )A. 30°B. 36°C. 45°D. 60°5. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )A. 25B. 20C. 15D. 106. 一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以——根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是( )A. 30厘米、45厘米B. 40厘米、80厘米C. 80厘米、120厘米D. 90厘米、120厘米7.抛物线y=x2−2与y轴交点的坐标是()A. (0,2)B. (0,−2)C. (2,0)D. (−2,0)8.如图所示，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，位似比1：2，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0,1)，则点B′的坐标为()A. (2,2)B. (−2,2)C. (−2,−2)D. (2,2)或(−2,−2)9.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优⏜上一点，则∠APB的度数为()弧AMBA. 60°B. 30°C. 75°D. 45°10.把(+3)−(+5)−(−1)+(−7)写成省略括号的和的形式是()A. −3−5+1−7B. 3−5−1−7C. 3−5+1−7D. 3+5+1−7第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.八边形的内角和度数为________°．12.如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为______．13.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=______．14.如下框内是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段a、b，求作：Rt△ABC.使得斜边AB=b，AC=a．作法：如图．(1)作射线AP，截取线段AB=b；(2)以AB为直径，作⊙O；(3)以点A为圆心，a的长为半径作弧交⊙O于点C；(4)连接AC、CB．△ABC即为所求作的直角三角形．请您写出上述尺规作图的依据：________．15.抛物线y=x2−1与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．16.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=23，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△FEC，其中点E正好落在AB上，EF与AC相交于点D，那么AEEB =____，ADFD=____．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.计算：sin30°+tan260°−√2cos45°．四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）18.已知二次函数y=−x2+2x+3．(1)求它的顶点坐标和对称轴；(2)求它与坐标轴的交点坐标．19.已知：在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且满足∠ABD=∠ACE，求证：AD⋅CE=AE⋅BD．20.经过设有交通指示灯的路口时可能遇到红灯，也可能遇到黄灯或绿灯，假设这三种可能性相同．现小亮要连续通过前方的两个设有交通指示灯且运转正常的路口，请用列表法或画树状图法，求小亮至少遇到一次绿灯的概率．21.如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB=18°，∠CDB=45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，(结果精确到0.01米)【参考数据：sinl8°=0.309，cosl8°=0.951，tanl8°=0.325】22.问题提出(1)如图1，在△ABC中，∠A=75°，∠C=60°，AC=6√2，求△ABC的外接圆半径R的值；问题探究(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=45°，AC=8√6，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF 的最小值；问题解决(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=30°，AB=AD，BC+CD=12√3，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．23.已知在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，∠ACB=∠ADE，△AED绕点A旋转运动如图所示的位置．(Ⅰ)如图1，若∠ACB=120°，求证：△CAD∽△BAE；(Ⅱ)如图2，若∠ACB=∠ADE=2α(0°<α<90°)，探究线段CD与BE的数量关系(用含α的式子表示)，并加以证明．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(8,0)两点，与y轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为S△ABC，求m的值；m，且S△CDP=1120(3)K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.由顶点式可知当x=1时，y取得最小值−3．【解答】解：∵y=(x−1)2−3，∴当x=1时，y取得最小值−3，故选：D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积可得a=2b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵ab=2，∴a=2b，∴a+ba−b =2b+b2b−b=3．故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题．根据锐角三角函数的定义来解决，由sinA=BCAB =35，即可得BC．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，∴sinA=BCAB =35，∴BC=AB×35=10×35=6．故选：A．4.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆内接四边形对角互补，为基础题．根据圆内接四边形的对角互补求得∠B的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=3∠B，∴4∠B=180°，解得：∠B=45°，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【解答】解：设白球个数为x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴55+x =0.2， 解得：x =20，即袋中的白球大约有20个； 故选B ．6.【答案】C【解析】 【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．利用分类讨论的思想解决此题． 【解答】解：①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x 厘米、y 厘米， 根据题意得：2060=30x=40y，解得x =90，y =120；②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x 厘米、60厘米、y 厘米， 根据题意得：20x =3060=40y，解得x =40，y =80；设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x 厘米、y 厘米、60厘米， 根据题意得：20x =30y=4060，解得x =30，y =45． 故选：C ．7.【答案】B【解析】解：令x =0，得y =−2，故抛物线与y 轴交于(0,−2)． 故选：B ．此题令x =0，可确定抛物线与y 轴的交点坐标．本题考查了二次函数的性质．令x =0，可确定抛物线与y 轴的交点坐标是解题关键．8.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确应用位似图形的性质是解题关键．根据题意得出B点坐标，再利用位似图形的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：B点坐标为：(1,1)，∵等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，位似比1：2，∴点B′的坐标为(2,2)或(−2,−2)．故选D．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．作OA，半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=12根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°．故选A．10.【答案】C【解析】解：(+3)−(+5)−(−1)+(−7)=3−5+1−7，故选：C．根据有理数的加减混合运算法则解答．本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．11.【答案】1080【解析】【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：八边形的内角和为：(8−2)×180°=1080°．故答案为1080．12.【答案】10【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：设较大三角形的周长为x，∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴4x =23，解得，x=6，∴这两个三角形的周长和为4+6=10，故答案为：10．13.【答案】12【解析】解：如图，在直角三角形ABＤ中，tan∠ABC=24=12，故答案为：12．根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，利用网格计算即可．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义．14.【答案】等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查尺规作图及圆周角定理，利用作图得到直径AB =b ，则根据圆周角定理可判断△ABC 为直角三角形．【解答】解：根据作图得AB 为直径，则利用圆周角定理可判断∠ACB =90°，从而得到△ABC 满足条件．故答案为等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义(答案不唯一)．15.【答案】(0,−1) ；(−1,0)，(1,0)【解析】【分析】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法，正确解一元二次方程是解题关键.利用抛物线与坐标轴交点坐标求法分别得出即可．【解答】解：令x =0，得y =−1，所以抛物线y =x 2−1与y 轴的交点坐标为(0,−1); 令y =0，得x =1或x =−1，所以抛物线y =x 2−1与x 轴的交点坐标为(−1,0)，(1,0)．16.【答案】18；√515【解析】【分析】过C 作CG ⊥AB 于G ，根据已知条件设BC =2，AB =3，由勾股定理得AC =√5，由cosB =23解直角三角形，得到BG =43，由旋转的性质得CE =BC =2，FC═AC =√5，∠F =∠A ，BE =2BG ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过C 作CG ⊥AB 于G ，∵cosB=23，设BC=2，AB=3，由勾股定理得AC=√5，∴BG=43，由旋转的性质得CE=BC=2，FC=AC=√5，∠F=∠A，∴BG=EG，∴BE=2×43=83，∴AEBE =1383=18，∵∠FDC=∠ADE，∴△ADF∽△FDC，∴ADFD=AECF=13√5=√515故答案为18；√515．17.【答案】解：原式=12+3−1=212．【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：(1)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴顶点(1,4)，对称轴直线x=1；(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)∴与x轴交点(3,0)，(−1,0)，与y轴交点(0,3)．【解析】(1)将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定对称轴，顶点；(2)要求抛物线与x轴的交点，就要把解析式化为交点式，即可得到与坐标轴交点的坐标．本题主要考查了抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为直线x=ℎ，掌握求抛物线与坐标轴交点坐标的方法．19.【答案】解：证明：∵∠ABD=∠ACE，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∴ADBD=AECE即AD⋅CE=AE⋅BD．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．根据相似三角形的判定可证明△ABD∽△ACE，然后利用相似三角形的性质即可求证答案．20.【答案】解：依题意，列表得：由表格可知：共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，至少有一次绿灯的结果数有5种，∴P(小亮至少遇到一次绿灯)=59．【解析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率，列表展示所有9种等可能的结果数，找出“小亮至少遇到一次绿灯”的结果数，然后根据概率公式求解．21.【答案】解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD=90°，∠CDB=45°，∴∠DCB=∠CDB=45°，∴BC=BD=7，在Rt△ABC中，∠BAC=18°，BC=7，tan∠BAC=BCAB，∴AB=CBtan∠BAC =70.325≈21.538，∴AD=21.538−7=14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91<3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．【解析】根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是构造出直角三角形，掌握三角函数定义．22.【答案】解：(1)如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．∵∠B=180°−∠BAC−∠ACB=180°−75°−60°=45°，又∵∠AOC=2∠B，∴∠AOC=90°，∴AC=6√2，∴OA=OC=6，∴△ABC的外接圆的R为6；(2)如图2中，作AH⊥BC于H．∵AC=8√6，∠C=45°，∴AH=AC⋅sin45°=8√6×√22=8√3，∵∠BAC=60°，∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图2−1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．∵∠EOF=2∠BAC=120°，OE=OF，OH⊥EF，∴EH=HF，∠OEF=∠OFE=30°，∴EH=OF⋅cos30°=4√3⋅√32=6，∴EF=2EH=12，∴EF的最小值为12；(3)如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB 的延长线于H，设BE=CD=x．∵∠AE=AC，∠CAE=90°，∴EC=√2AC，∠AEC=∠ACE=45°，∴EC的值最小时，AC的值最小，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠AEB=30°，∴∠∠BEC+∠BCE=60°，∴∠EBC=120°，∴∠EBH=60°，∴∠BEH=30°，∴BH=12x，EH=√32x，∵CD+BC=12√3，CD=x，∴BC=12√3−x∴EC2=EH2+CH2=(√32x)2+(12x+12√3−x)2=x2−12√3x+432，∵a=1>0，∴当x=−−12√32=6√3时，EC的长最小，此时EC=18，∴AC=√22EC=9√2，∴AC的最小值为9√2．【解析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．(1)如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC.证明∠AOC=90°即可解决问题．(2)如图2中，作AH⊥BC于H.当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短．(3)如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB 的延长线于H，设BE=CD=x.证明EC=√2AC，构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题．23.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA=12(180°−∠ACB)，在△AED中，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA=12(180°−∠ADE)，∵∠ACB=∠ADE，∴∠CAB=∠DAE，∴∠CAD =∠BAE ，如图1∵CA =CB ，∠ACB =120°∴∠CAB =∠CBA =30°，∴AB =√3AC ， 同理AE =√3AD ，∴ACAB =AD AE =√33，∠CAD =∠BAE =30°+∠BAD ，∴△CAD∽△BAE ．(Ⅱ)BE =2CD ⋅sinα．证明：如下图分别过点C ，D 作CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AE 于点N ，∵CA =CB ，DA =DE ，∠ACB =∠ADE =2α， ∴∠CAB =∠DAE ，∠ACM =∠ADN =α，AM =12AB ，AN =12AE ． ∴∠CAD =∠BAE ，Rt △ACM 和Rt △ADN 中，sin∠ACM =AM AC ，sin∠ADN =ANAD ， ∴AMAC =AN AD =sinα，∴AB AC =AE AD =2sinα，又∵∠CAD =∠BAE ，∴△BAE∽△CAD，∴BECD =ABAC=2sinα，∴BE=2DC⋅sinα．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是利用邻边及夹角的关系来求出两三角形相似．(Ⅰ)由ACAB =ADAE=√33，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，得出△CAD∽△BAE，得出BE=√3CD；(Ⅱ)分别过点C，D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，在Rt△ACM和Rt△ADN中，得出AMAC =ANAD=sinα，ABAC=AEAD=2sinα，又∠CAD=∠BAE，求出△BAE∽△CAD，得出BE CD =ABAC=2sinα，即可得出BE=2DC⋅sinα．24.【答案】解：(1)∵A(−2,0)，B(8,0)∴OA=2，OB=8，∵OC=2OA，∴OC=4，∴点C(0,4)∵设y=a(x+2)(x−8)经过点C，∴4=−16a，∴a=−14，∴抛物线解析式为：y=−14(x+2)(x−8)=−14x2+32x+4；(2)如图1，由题意：点D(3,0)，∴OD=3，设P(m,−14m2+32m+4)，(m>0,−14m2+32m+4>0)∵C(0,4)，∴直线PC的解析式可表示为：y=(−14m+32)x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E(3,−34m+172)，∴DE=−34m+172，∵S△ABC=12×AB×OC，∴S△ABC=12×10×4=20，∵S△CDP=1120S△ABC，∴12×(−34m+172)×m=1120×20，∴m1=4或m2=223；(3)若BC为边，∠CBK=90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BCˈ，∴BC=BCˈ，∠CBCˈ=90°，∴∠CBO+∠Cˈ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠OCB=∠EBCˈ，且BC=BCˈ，∠BECˈ=∠BOC=90°，∴△BCO≌△BCˈE(AAS)∴BE=OC=4，OB=ECˈ=8，∴点Cˈ(4,−8)，且B(8,0)∴直线BCˈ解析式为：y=2x−16，∴2x−16=−14x2+32x+4，∴x1=−10，x2=8，∴点K(−10,−36)，∵x C−x B=x Q−x K，∴0−8=x Q−(−10)，∴x Q=−18，∵y C−y B=y Q−y K，∴y Q=−32，∴点Q(−18,−32)，若BC为边，∠BCK=90°时，同理可求：直线CK的解析式为：y=2x+4，∴2x+4=−14x2+32x+4，∴x1=−2，x2=0，∴点K坐标(−2,0)∵x C−x B=x K−x Q，∴0−8=−2−x Q，∴x Q=−6，∵y C−y B=y K−y Q，∴y Q=−4，∴点Q(6,−4)，若BC为对角线，∵B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形，∴BC=KH，BC与KH互相平分，∵B(8,0)，C(0,4)∴BC中点坐标(4,2)，BC=√OB2+OC2=√64+16=4√5，设点K(x,−14x2+32x+4)∴(x−4)2+(−14x2+32x+4−2)2=(2√5)2，∴x(x−2)2(x−8)=0，∴x1=0，x2=2，x3=8，∴K(2,6)，且KQ的中点坐标(4,2)，∴点Q(6,−2)综上所述：点Q坐标为(6,−4)，(6,−2)，(−18,−32)．【解析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和应用，一次函数的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，中点坐标公式，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．(1)由OC=2OA，可求点C坐标，由待定系数法可求抛物线解析式；S△ABC，可得关于m的方程，即可(2)先求出PC解析式，可求DE的长，由S△CDP=1120求m的值；(3)分以BC为边，BC为对角线两种情况讨论，由矩形的性质可求解．。
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）.1．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点2．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A 固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．154．对于函数y＝﹣x2﹣2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≥0C．x≤0D．x≤﹣15．将抛物线y＝x2+4x+1通过平移得到y＝x2，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位6．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是（）A．1B．2C．0D．不能确定7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）8．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A．2米B．3米C．4米D．5米9．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD10．如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 11．已知，则＝．12．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时 公交车用时的频数线路 30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐 （填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．13．如图，A ，B ，C ，D 为⊙O 上的点，OC ⊥AB 于点E ．若∠CDB ＝30°，OA ＝2，则AB 的长为 ．14．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．15．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为cm．16．如图，直线l：经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…B n （n，y n）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，A n+1（x n+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．已知抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（1）求它的对称轴；（2）求它与x轴，y轴的交点坐标．18．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．20．如图，已知点A、B的坐标分别是（0，0）（4，0），将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′．（1）画出△A′B′C′（不要求写出作法）；（2）写出点C′的坐标；（3）求旋转过程中点B所经过的路径长．21．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h 确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米．（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x（x＞0），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W（元），并把结果填写在表格中：销售单价（元）40+x销售量y（件）销售玩具获得利润W（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得10000元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？23．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（﹣4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC ＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．（1）求证：△ABC是半直角三角形；（2）求证：∠DEC＝∠DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S；△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．试题解析一．选择题（共10小题）.1．解：二次函数y＝（x﹣1）2+5的图象开口向上，顶点坐标为（1，对称轴为直线x＝1．故选：C．2．解：∵AB＝2cm，∴圆的直径是4cm，故选：C．3．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．4．解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣7＝﹣（x+1）2﹣7，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，∴当x≤﹣6时，y随x的增大而增大，故选：D．5．解：∵抛物线y＝x2+4x+7可化为y＝（x+2）2﹣3，∴把抛物线y＝（x+2）2﹣7先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到抛物线y＝x2．故选：D．6．解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点，△＝（﹣m）2﹣3×1×（﹣5）＝m7+20，∵m2一定为非负数，∴m2+20＞7，∴二次函数y＝x2﹣mx﹣5（m为实数）的零点的个数是3．故选：B．7．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1），故选：B．8．解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣2（舍去），x2＝3．∴OB＝5米．故选：B．9．解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°；设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，则∠OCD＝∠OCM＝，∴∠MCD＝180°﹣α，又∵∠CMN＝∠CON＝α，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴7CD＞MN，故D选项错误；故选：D．10．解：把y＝2x代入y＝ax2+bx+c可得ax6+（b﹣2）x+c＝0，由图象可知方程ax4+（b﹣2）x+c＝0有两个大于2的解，故而y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象与x轴正半轴交于两点，故选：A．二．填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）11．解：∵，∴＝＝．12．解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝2.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．13．解：∵∠CDB＝30°，∴∠COA＝60°，∴A＝30°，∴OE＝OA＝2，在Rt△AEO中，AE＝，∵OC⊥AB∴AB＝2AE＝8．故答案为：214．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+6，将（﹣12，0）代入得出2+7，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）6+4．故答案为：y＝﹣（x+6）2+5．15．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF6即：（4﹣x）2+72＝x2解得：x＝2.5故答案为：2.716．解：直线l：，当x＝1时，y＝，即：B1（1，），当x＝2时，y＝，即：B2（5，），∵A1（d，0），A3（2﹣d，0），若B4为直角顶点，则A1A2的中点（8，0）到B1的距离与到A5和A2的距离相等，即：1﹣d＝，解得：d＝；同理：若B2为直角顶点，则A4A3的中点（2，4）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，即：2﹣（2﹣d）＝，解得：d＝；若B4为直角顶点，求出的d为负数3之后的B点，求出的d都为负数；所以d的值是或．故答案为：或．三.解答题（本题有8个小题，共80分）17．解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，即该抛物线的对称轴为直线x＝7；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣3x2+2x+9，∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣1或x＝7，即该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），6），9）．18．解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从3个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，6），﹣1）和C（4，∴，∴a＝，b＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣5；（2）当y＝0时，得x2﹣x﹣1＝0；解得x2＝2，x2＝﹣2，∴点D坐标为（﹣1，0）；（3）图象如图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣8＜x＜4．20．解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形；（2）点C′（﹣2，5）；（3）点B所经过的路径长＝＝2π．21．解：（1）抛物线的解析式为y＝ax2+c，又∵抛物线经过点C（0，2）和点B（16，∴0＝256a+8，a＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8（﹣16≤x≤16）；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，延长CD经过O点，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB8∴R2＝（R﹣8）8+162，解得R＝20；（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，EF＝y＝3.2米；②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，OH⊥F′E′于H，则OH＝D ，O F′＝R＝20，在Rt△OH F′中，H ，∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）∴在离桥的一端7米处，抛物线型桥墩高3.5米； ．22．解：（1）由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，销售玩具获得利润为：W＝（40+x﹣30）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000；故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000；（2）列方程得：﹣10x7+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40．∴该玩具销售单价应定为50元或80元；答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；（3）销售单价为在40元的基础上上涨x，根据题意得，解得：3≤x≤6，W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，∴当4≤x≤8时，y随x增大而增大，＝8640（元），∴当x＝6时，W最大值答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．23．（1）证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝45°，∵∠ABE＝∠ADE＝45°，∴△ABC是半直角三角形；（2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠DEB＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DEB，∵D、B、A、E四点共圆，∴∠DBA+∠DEA＝180°，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∴∠DEA＝∠DEC；（3）解：如图1，连接AM，设⊙M的半径为r，∵点D的坐标为（0，2），∴OM＝8﹣r，由OM2+OA5＝MA2得：（8﹣r）8+42＝r6，解得r＝5，∴⊙M 的半径为5，∵∠ABE＝45°，∴∠EMA＝7∠ABE＝90°，∴EA2＝MA2+ME7＝52+42＝50，∴AE＝5．24．解：（1）∵点A（﹣1，0），7），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝4，∴B（4，5），把A（﹣8，0）和B（43+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，B（8，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+6，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），t2﹣6t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t4﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），＝＝＝．∴S△ABF（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣5，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB4＝PA2，∴（4﹣5）2+（m﹣5）8+（4+1）7+52＝（8+1）2+m8，解得：m＝8，∴P（1，7）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2，∴（1+1）8+m2+（4+4）2+52＝（4﹣1）8+（m﹣5）2，解得：m＝﹣6，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB6+PA2＝BA2，∴（8+1）2+m3+（4﹣1）4+（m﹣5）2＝（5+1）2+42，解得：m＝6或﹣5，∴P（1，6）或（2；综上，点P的坐标为（1，﹣2）或（7，﹣1）．。
浙教版2020-2021学年九年级数学第一学期期末测试卷及答案
2020-2021学年九年级数学第一学期期末测试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．如果x 与y 存在3x －2y ＝0(y ≠0)的关系，那么x ∶y ＝( )A ．2∶3B ．3∶2C ．－2∶3D ．－3∶22．将抛物线y ＝2x 2先向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为( )A ．y ＝2(x ＋4)2＋5B ．y ＝2(x －4)2＋5C ．y ＝2(x ＋5)2－4D ．y ＝2(x －5)2＋43．(张家界中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5cm ，CD ＝8cm ，则AE ＝( )A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm第3题图 第4题图 4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是( )A.34B.43C.35D.455．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是( )A ．抛一枚硬币，出现正面的概率B ．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率C ．从一副扑克牌中任意抽取一张是红桃的概率D ．任意写一个正整数，它能被3整除的概率第5题图6．(贵港中考)如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AB ＝3AE ，若S 四边形BCFE ＝16，则S △ABC ＝( )A ．16B ．18C ．20D ．24第6题图 第7题图 7．(菏泽中考)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°8．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，BC ＝3，分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 右侧画弧，两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，则弧DE 和弧DF 的长度和为( )A.π2B.5π3C.7π3D ．2π第8题图 第9题图 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点O 是边BC 的中点，半圆O 与△ABC相切于点D 、E ，则阴影部分的面积等于( )A ．1－π4 B.π4 C ．1－π8 D.π8第10题图10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列五个结论：①abc >0；②b <a ＋c ；③4a ＋2b ＋c >0；④2c <3b ；⑤a ＋b >m (am ＋b )(m ≠1，m 是实数)．其中正确的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)第11题图11．如图，转动甲、乙两转盘，当转盘停止后，指针指向阴影区域的可能性的大小关系为：甲________乙(填“大于”、“小于”或“等于”)．12．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为________．第12题图第13题图13．已知⊙O直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P＝________．14．抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的是________．①抛物线与x轴的一个交点为(－2，0)；②抛物线与y轴的交点为(0，6)；③抛物线的对称轴是：直线x＝1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．15．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD 和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为________．第15题图第16题图16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C.(1)抛物线的解析式为________________；(2)若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为________．三、解答题(本大题共8小题，共80分)17．(8分)(孝感中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；第17题图(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．18．(8分)一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回．．．．(1)求第一个人．．．．摸到红球的概率；(2)请用画树状图或列表．．．摸到红球的概率．．．．．．．的方法求两人中有一人19．(8分)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC ＝63，OE＝3.求：(1)⊙O的半径；(2)阴影部分的面积．第19题图20．(8分)(杭州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．第20题图21．(10分)(绍兴中考)如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm.第21题图(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1cm)．(参考数据：3≈1.732，6≈2.449)22．(12分)(武汉中考)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．23．(12分)定义：如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”．(1)抛物线y＝x2－23x的“直观三角形”是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形(2)若抛物线y＝ax2＋2ax－3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；(3)如图，面积为123的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y＝ax2＋bx＋c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．第23题图24．(14分)如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为(6，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)连结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△P AC的面积最大？求出△P AC的最大面积．第24题图参考答案1．A 2.C 3.A 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B10．B 11.等于 12.2 13.20° 14.①②④ 15.113°或92° 16.y ＝x 2－4x ＋3 324π 17.(1)如图1； (2)AB 与⊙O 相切．证明：作OD ⊥AB 于D ，如图2.∵BO 平分∠ABC ，∠ACB ＝90°，OD ⊥AB ，∴OD ＝OC ，∴AB 与⊙O 相切．图1图2第17题图 18．(1)P(第一人摸到红球)＝13； (2)树状图或表格略，P(有一人摸到红球)＝23. 19.(1)6； (2)6π－9 3.20．(1)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠ADC ，∴△BDE ∽△CAD. (2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 中，AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12，∵12·AD ·BD ＝12·AB ·DE ，∴DE ＝6013.第21题图21．(1)∵AC ＝DE ＝20cm ，AE ＝CD ＝10cm ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴AC ∥DE ，∴∠DFB ＝∠CAB ，∵∠CAB ＝85°，∴∠DFB ＝85°； (2)作CG ⊥AB 于点G ，∵AC ＝20，∠CGA ＝90°，∠CAB ＝60°，∴CG ＝103，AG ＝10，∵BD ＝40，CD ＝10，∴CB ＝30，∴BG ＝302－（103）2＝106，∴AB ＝AG ＋BG ＝10＋106≈10＋10×2.449＝34.49≈34.5cm ，即A 、B 之间的距离为34.5cm . 22.(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000，当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12000，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x<50），－120x ＋12000（50≤x ≤90）； (2)当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为直线x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000，综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； (3)当20≤x ≤60时，即共有41天每天销售利润不低于4800元． 23.(1)B (2)与x 轴交点坐标(－3，0)，(1，0)，顶点坐标(－1，－4a)，∵直观三角形是直角三角形，∴|－4a|＝2，∴a ＝±12； (3)由题意知，三角形AEB 是等边三角形，等边三角形AEB 的面积为33，∴OE ＝EB ＝23，∴E(23，0)，B(43，0)，A(33，3)，设此抛物线的解析式为y ＝a(x －23)(x －43)，把A(33，3)代入得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x －23)(x －43)．24．(1)y ＝－14x 2＋2x －3； (2)补全图形如图1，判断：直线BD 与⊙C 相离．证明：令－14(x －4)2＋1＝0，则x 1＝2，x 2＝6.∴B 点坐标(2，0)．又∵抛物线交y 轴于点A ，∴A 点坐标为(0，－3)，∴AB ＝32＋22＝13.设⊙C 与对称轴l 相切于点F ，则⊙C 的半径CF ＝2，作CE ⊥BD 于点E ，则∠BEC ＝∠AOB ＝90°.∵∠ABD ＝90°，∴∠CBE ＝90°－∠ABO ，又∵∠BAO ＝90°－∠ABO ，∴∠BAO ＝∠CBE ，∴△AOB ∽△BEC ，∴CE OB ＝BC AB ，∴CE 2＝413，∴CE ＝813＞2，∴直线BD 与⊙C 相离；第24题图 (3)如图2，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q ，∵A(0，－3)，C(6，0)，∴直线AC 解析式为y ＝12x －3，设P 点坐标为(m ，－14m 2＋2m －3)，则Q 点的坐标为(m ，12m －3)，∴PQ ＝－14m 2＋2m －3－(12m －3)＝－14m 2＋32m ，∵S △PAC ＝S △PAQ ＋S △PCQ ＝12×(－14m 2＋32m)×6＝－34(m －3)2＋274，∴当m ＝3时，△PAC 的面积最大为274，∵当m ＝3时，－14m 2＋34，∴P点坐标为(3，34)．综上：P点的位置是(3，34)时，△PAC的最大面积是274.2m－3＝1、三人行，必有我师。
2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷及答案
2020-2021学年浙教版九年级数学第一学期期末测试卷班级___________ 姓名____________ 得分____________一、选择题（每题3分，共30分）1.抛物线y = - 1 2 x 2 + 1的顶点坐标是（ ）A .（0，1）B .（ 1 2 ，1）C .（ - 1 2 ， - 1）D .（2， - 1）2.已知在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 4，AC = 1，则∠B 的余弦值为（ ）A .415B .41C .1515 D.17174 3.下列选项中，不是如图所示的几何体的三视图之一的为（ ）4.如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C = 16°，则∠BOC 的度数为（ ）A .74°B .48°C .32°D .16°5.如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且∠AED = ∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE 和△BDF 相似的是（ ）A .BF ED BD EA =B .BD ED BF EA =C .BF AE BD AD = D .BCBA BF BD = 6.如图所示，直线PB 切⊙O 于点B ，PO 交⊙O 于点C ，若PB = 23，PC = 2，则∠BAC 的度数为（ ）A .20°B .30°C .40°D .60°7.已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列代数式:ab ，ac ，a + b + c ，a - b + c ，2a + b ，2a - b 中，值为正数的式子有（ ）A .2个B .3个C .4个D .5个8.如图所示，线段AB ，CD 相交于点E ，AD ∥EF ∥BC ，若AE :EB = 1:3，则S △ADE :S △DEF 于等于（ ）A .2B .23C .45D .349.如图所示，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD = 45°，将△CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则CD OC 的值为（ ） A .21 B .31 C .22 D .33 10.已知关于x 的二次函数y = （2sina ）x 2 - （4sina + 1 2 ）x - sina + 1 2 ，其中a 为锐角，有下列结论:①当a 为30°时，函数有最小值 - 25 16 ；②函数图象与坐标轴必有三个交点；③当a < 60°时，函数在x > 1时，y 随x 的增大而增大；④无论锐角a 怎么变化，函数图象必过定点.其中正确的有（ ）A .①③④B .①④C .②③D .①②④二、填空题（每题4分，共24分）11.已知线段a = 2，b = 4，则线段a ，b 的比例中项为 _________ .12.袋中装有6个黑球和n 个白球（球除颜色外，其余均相同），经过若干次试验，发现“若从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为 3 4 ”，则这个袋中白球大约有 _________ 个.13.如图所示，在△ABC 中，∠A = 60°，⊙O 为△ABC 的外接圆.如果BC = 23，那么⊙O 的半径为 _________ .14.中，点E 为AB 边的中点，点F 在直线AD 上，且AF = 3DF ，连结EF ，与对角线AC 相交于点M ，则ME :MF 的值为 _________ .15.二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则 b a 的值是 _________ ， c a 的取值范围是_________ .16.如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 8，AC = 6，以点C为圆心、4为半径的圆上有一动点D，连结AD，BD，CD，则 12 BD + AD的最小值是 _________ .三、解答题（共66分）17.（6分）如图所示，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD= ∠ABC，若AC= 3，AD=1，求DB的长.18.（8分）在学习圆与正多边形时，小露、小骏两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:①如图所示，作直径AD；②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；③连结AB，AC，BC，那么△ABC为所求的三角形.（1）请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC.（2）请你判断两位同学的作法是否正确.如果正确，证明△ABC是正三角形；如果不正确，请说明理由.19.（8分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数- 1，- 2，- 3，- 4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先由小强从盒子里随机取出一个小球，记下数为x，放回盒子中摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数为y.（1）用树状图或列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果.（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x ，y ）落在一次函数y = x - 1图象上的概率.20.（10分）如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为点E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE ，连结OC .（1）求证:DE 是⊙O 的切线.（2）若⊙O 的半径为4，∠D = 30°，求图中阴影部分的面积.（结果用含π和根号的式子表示）21.（10分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，横坐标x 表示科技馆从8:30开门后经过的时间（分），纵坐标y 表示到达科技馆的总人数（人），图中曲线对应的函数表达式为y= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤),9030()90(),300(22x n x b x ax 10:00之后来的游客较少可忽略不计. （1）请写出图中曲线对应的函数表达式.（2）为了保证科技馆内游客的游玩质量，规定馆内人数不超过684人，后来的人需在馆外休息区等待.从10:30开始至12:00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.馆外游客最多等待多少分钟?22.（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB = 4，AD = 2，点P 是边AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），点Q 在边AD 上，将△CBP 和△QAP 分别沿PC ，PQ 折叠，使点B 与点E 重合，点A 与点F 重合，且P ，E ，F 三点共线.（1）若点E 平分线段PF ，求此时AQ 的长.（2）若线段CE 与线段QF 所在的平行直线之间的距离为2，求此时AP 的长.（3）在“线段CE ”“线段QF ”“点A ”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况?若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说明理由.23.（12分）已知抛物线y = 3ax 2 + 2bx + c （a ≠0）.（1）若a = b = 1，c = - 1，求该抛物线与x 轴的交点坐标.（2）若a = 31，c - b = 2，且抛物线在 - 2≤x ≤2时的最小值是 - 3，求b 的值. （3）若a + b + c = 1，是否存在实数x ，使得y = 1，请说明理由.答案1、三人行，必有我师。
浙江省绍兴市柯桥区2020-2021学年九年级上学期期中学业评价调测数学试题
2020学年第一学期九年级期中学业评价调测试卷（2020.11）数 学考生须知：1. 全卷分试卷和答题卷二部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分150分，考试时间120分钟.2. 试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共8页.试 卷 Ⅰ（选择题,共40分）请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满. 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1．已知b a ＝53，则b a a的值为（ ▲ ） A ．83 B ．58C ．53D ．38 2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B ＝108°，则∠D 的大小为（ ▲ ）A ．36°B ．54°C ．62°D ．72°3．函数图象y ＝x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：二次函数的对称轴是直线（ ▲ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x＝2D ．x ＝34．如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是（ ▲ ）A ．（5，2）B ．（2，3）C ．（1，4）D ．（0，0）5．如图，已知∠DAB ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ▲ ） A ．AD AB ＝AEACB ．AD AB ＝DEBCC ．∠B ＝∠D D ．∠C ＝∠AED6．如图，若△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后与△AB1C1重合，则∠AB1B＝（▲）A．50°B．55°C．60°D．65°7. 如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝8．则⊙O的半径为（▲）A．13B．17C．5 D．248．一条抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，m），m＜0，且与x轴有两个交点，其中一个交点是（5，0），则对a、b、c描述正确的是（▲）A．a＞0、b＜0、c＞0 B．a＞0、b＜0、c＜0C．a＜0、b＞0、c＞0 D．a＜0、b＞0、c＜09. 如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五等分点，连结AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN ＝NE．其中正确的结论是（▲）A．①②B．①③C．②③D．①②③第6题图第7题图第9题图第10题图10．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD 重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（▲）第2题图第4题图第5题图A ．B ．C ．D ．试 卷 Ⅱ（非选择题，共110分）二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10cm ，32==CO DO BO AO ，则容器的内径是▲． 12．如图，A 、B 、C 是半径为3的⊙O 上的三点，已知∠C ＝30°，则劣弧AB 的长为 ▲ ． 13．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 ▲ s ．第11题图 第12题图 第13题图14．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是 ▲ ．15．如图，“L ”形纸片由八个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF ，若EF下方部分的面积是纸片面积的一半，则EF 的长为 ▲ ．16．如图，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x 交于O ，A 两点，将抛物线沿射线O A 方向平移24个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线x ＝3交于点D ，则点D 经过的路程为 ▲ ．第14题图 第15题图 第16题图3AAEF三、解答题（本题有8小题，第17~20题各8分，第21题10分，第22~23题各12分，第24题14分，共80分）17．（本题8分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．第17题图18．（本题8分）如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．（1）求A，B两点的坐标．（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．第18题图19．（本题8分）如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求证：△HCD∽△HDB．（2）求DH长度．第19题图第21题图第20题图20．（本题8分）如图，点C 在以AB 为直径的半圆⊙O 上，AC ＝BC ．以B 为圆心，以BC 的长为半径画圆弧交AB 于点D ． （1）求∠ABC 的度数．（2）若AB ＝2，求阴影部分的面积．21．（本题10分）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ＝BD ，且AC ⊥BD （1）求证：AB ＝CD ．（2）若⊙O 的半径为8，弧BD 的度数为120°，求四边形ABCD 的面积．22. （本题12分）国内疫情得到控制，旅游业逐渐复苏，经市场调研发现，某旅游景点未来15天内，旅游人数y 与时间x 的关系如下表；每张门票z 与时间x 之间存在如图所示的一次函数关系．（1≤x ≤15，且x 为整数） 时间x（天） 1 4 7 10 … 人数y （人）310340370400…请结合上述信息解决下列问题：第22题图第23题图图1图2 备用图（1）直接写出：y 关于x 的函数关系式是 ．z 与时间x 函数关系式是 ． （2）请预测未来15天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？（3）为支援抗疫，该旅游景点决定从每天获得的门票收入中拿出3000元捐赠给红十字会，求捐款后共有几天每天剩余门票收入不低于12960元？23. （本题12分）将边长为4的正方形ABCD 与边长为5的正方形AEFG 按图1位置放置，AD与AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转一 周，直线EB 与直线DG 交于点P ，（1）DG 与BE 的数量关系： ；DG 与BE 的位置关系： ． （2）如图2，当点B 在线段DG 上时，求△ADG 的面积． （3）连结PF ，当PE=24时，求PF 的值．ABG FEDCPA BGFEDCGFE第24题图24. （本题14分）已知抛物线c bx x y ++-=23经过点A （2，0），B （0，32），与x 轴的另一个交点为C ．（1）求出此抛物线的表达式及点C 坐标（2）如图1，AB 的中点记为D ，∠MDN ＝30°，将∠MDN 绕点D 在AB 的左侧旋转，DM与射线BO 交于点E ，DN 与射线AO 交于点F ．设BE =m,AF =n （m ＞0，n,＞0），求m 关于n 的函数关系式．（3）当∠MDN 的边经过点C 时，求m ，n 的值（直接写出结果）．图1 图2 备用图MFE D NAC BO ABC OD ABC O2020学年第一学期九年级期中试卷参考答案一、选择题：ADCAB DCBAB二、填空题: 11.15cm 12. 13. 6 14.21-515.3716.8.5三、解答题17.解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4 ..................4分在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，..................3分∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，..................1分答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．18.解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴A（﹣1，0），B（2，0）；..................4分（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，∴m的值为0或1．..................4分19.（1）证明：∵DH∥AB，∴∠A＝∠HDC，∵∠CBD＝∠A，∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HDB；..................4分（2）∵DH∥AB，∴＝，∵AC＝3CD，∴＝，∴CH＝1，............2分∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，由（1）知△HCD∽△HDB，∴＝，∴DH2＝4×1＝4，∴DH＝2（负值舍去）．..................2分答：DH的长度为2．20.（1）∵AB为半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；..................3分（2）∵AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，BC＝，.............2分∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．..................3分21.（1）证明：∵AC＝BD，∴＝，则＝，∴AB＝CD；..................3分（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD 的度数为120°，∴∠BOD ＝120°，∴∠BOH ＝60°， ............2分 则BH ＝OB ＝4，∴BD ＝8， ..................2分则四边形ABCD 的面积＝×AC ×BD ＝96； ..................3分 22.（1）y ＝10x +300（1≤x ≤15，且x 为整数）， ..................2分 z ＝﹣x +50（1≤x ≤15，且x 为整数）； ..................2分 （2）设第x 天的门票收入为w则w ＝yz ＝（10x +300）（﹣x +50）＝﹣10（x +30）（x ﹣50）， ..................2分 ∵﹣10＜0，故w 有最大值，当x ＝（50﹣30）＝10时，w 的最大值为16000， 故未来15天中第10天的门票收入最多，最多是16000元； ..................2分 （3）由（2）知第x 天的门票收入w ＝﹣10（x +30）（x ﹣50），则w ﹣3000≥12960，...1分 解得：8≤x ≤12，故第8，9，10，11，12天，共5天，剩余门票收入不低于12960元． ..................3分23. （1）相等 垂直 ..................2分 （2）如图当B 在线段DG 上时，连结AC 交于点O ,则AO=22 OG =17)22(522=-, DG =1722+ .........2分342422)1722(21+=⨯+⨯=∆ADGS ............3分（3）连结GE ，PG=23)24()25(22=- .........1分 旋转△PGF 至△HEG ，由∠GFE=∠GPE=90°，P,E,H 在一直线上， 且△PFH 是等腰直角三角形，∴PH=27,PF=7 (4)24.(1)32332++-=x x y , ..................3分C(,-1,0) ..................2分（2）延长DA 使得AG=AF ,连结FG ，AB GFEDCO HPA B G FE DCPAB G FE DCH P∴∠DBE =∠EDF =∠FDG =30°，∴△DBE ∽△FGD , .............2分DG BE FG DB =∴∴nn m n n m 342,232+=+= ..................3分 （3）当DM 经过C ，作DH ⊥x 轴，23,21=∴==∴OE CH CO DH OE 58,233==n m ..................2分当DN 经过C ，或9310,3==m n ..................2分MFE DN ACBO GMFED NACBO H。
(浙江绍兴)2020-2021学年第一学期七年级期末测试-数学试题卷(浙教版)
1. 本试卷考核范围：浙教版七上全册。
2. 本试卷共4 页，满分100 分。
数学试题卷103301 ．－2 020 的相反数是( )A ．一B ．2 020 C．－2 020 D ．2 ．已知等式3a=2b+5，则下列等式不一定成立的是( )2 5A ．3a－5=2bB ．3a+1=2b+6C ．3ac=2bc+5D ．a= b+3 33 ．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=4，BC=3，AB=5 ，CD=2.4 ，那么点C到AB的距离是( )A ．3B ．5C ．4D ．2.4第3 题图第6 题图4 ．已知平面上有三个点A，B，C，若AB=8，AC=5 ，BC=3，则( )A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外5 ．若k为正整数，则= ( )A ．k2B ．k kC ．2kD ．2k26 ．如图，数轴上有O，A，B，C，D五个点，根据图中各点所表示的数，可判断表示的点的位置在( )A．线段OA上B．线段AB上C．线段BC上D．线段CD上7 ．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，若∠EOF=32°，则∠BOC的大小为( )A ．120°B ．122°C ．132°D ．148°8 ．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1 的是( )A ．m=1 ，n=1B ．m=1 ，n=0C ．m=1 ，n=2D ．m=2 ，n=19 ．将一列有理数－1 ，2，－3 ，4 ，－5 ，6……按如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置) 是有理数4，那么“峰6”中C的位置是有理数( )A ．28B ．－29C ．30D ．－3110．如图，将一段标有0~90 均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为a，b，c三段，若这三段的长度由短到长的比为2 ∶3 ∶4，则折痕对应的刻度不可能是( )A ．55B ．50C ．45D ．351033011 ．小明遥控一辆玩具赛车在东西方向的道路上行驶，若向东行驶5 m 记作+5 m，则向西行驶10 m 记作．12 ．计算：一12 020 + + 3一27 = ．13．写出一个只含有字母 m ，n 的单项式， 使它的系数为 4，次数为 3： ． 14．若∠α=35。
浙教版2020-2021学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷
浙教版2020-2021学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷题号一二三总分得分评卷人得分一、单选题(共30分)1．(本题3分)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，至少有一辆左转的概率是（）A．13B．12C．49D．592．(本题3分)两个相似三角形的对应边上的高之比是3 ：5 ，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为（）A．10和14 B．9和15 C．8和16 D．11和133．(本题3分)如右图，点A、B、C三点都在⊙O上，且∠AOB=120°，则∠ACB 等于（）A．100°B．60°C．80°D．120°4．(本题3分)对于二次函数2(2)3y x=-++，下列结论中，错误的是（）A．对称轴是直线x=-2；B．当x>-2时，y随x的增大而减小；C．当x=-2时，函数的最大值为3；D．开口向上；5．(本题3分)半径为6，圆心角度数为120︒的扇形的弧长为（）A．2πB．3πC．4πD．6π6．(本题3分)小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是( )A．B．C．D．7．(本题3分)如图，抛物线y=x2﹣2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（）A．（﹣l，0）B．（0，0）C．（1，0）D．（3，0）8．(本题3分)如图,在平行四边形ABCD中, F是AD延长线上一点,连接BF 交DC与点E,则图中相似三角形共有( )第1页共10页◎第2页共10页A．4对B．3对C．2对D．1对9．(本题3分)如图，若等边△ABC的内切圆⊙O的半径是2，则△ABC的面积是（）A．4B．6C．8D．1210．(本题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,对称轴为x=12,且经过点(2,0).下列结论:①ac<0;②4a+2b+c<0;③a-b+c=0;④若(-2,y1),(-3,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2.其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4 评卷人得分二、填空题(共32分) 11．(本题4分)已知3523a ba b+=-，则ab=__________.12．(本题4分)抛物线21)8y x=--+与y轴的交点坐标为__________．13．(本题4分)如图，在ABC∆中，点P为AB上一点，连接CP.若再添加一个条件，使APC ACB∆∆∽，则需添加的一个条件是______.14．(本题4分)在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个．15．(本题4分)如图，抛物线223y x x=--+与y轴交于点C，()0,1D，点P是抛物线上的动点，若PCD∆是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________第3页共10页◎第4页共10页16．(本题4分)“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全，小刚每天从陈家坪骑自行车到育才中学上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是_____．17．(本题4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AE＝CF，D为BF的中点，则AE∶AF的值为.18．(本题4分)“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为()21311121y x k=--+，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为______米．评卷人得分三、解答题(共58分)19．(本题9分)如图，Rt ABC中，AC BC⊥，CD AB⊥于D，8AC=，6BC=，求AD的长．第5页共10页◎第6页共10页20．(本题9分)如图，在O中，相等的弦AB，AC互相垂直，E是AC的中点，OE AC E⊥于，⊥OD AB于点D，求证：四边形AEOD是正方形.21．(本题9分)已知二次函数（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图像与x轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图像经过点（3,6）时，求此二次函数的解析式. 22．(本题9分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2，2)，B(﹣3，1)，C(﹣1，0)．(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△DEF，画出△DEF；(2)以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P(x，y)为△ABC中的任意一点，这次变换后的对应点P1的坐标为 .第7页共10页◎第8页共10页23．(本题10分)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？24．(本题12分)如图，四边形是平行四边形，以AB为直径的O经过点D, E是O上一点,且45AED∠=︒．(1)判断CD与O的位置关系，并说明理由;(2) 若BC=2 .求阴影部分的面积.(结果保留π 的形式)．第9页共10页◎第10页共10页参考答案1．解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，由“树形图”知，至少有一辆左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等，所以至少有一辆左转的概率是59，故选：D ． 2．∵两个相似三角形的对应边上的高之比是3 ：5，∴这两个三角形周长比为：3：5． ∵周长之和是24，∴这两个三角形周长分别为：24×=9，24×=15．故选B ．3．解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ．∵∠ADB=12∠AOB=60°， ∵∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ACB=120°，故选：D ．4．∵y =()2 23y x =-++，∴抛物线对称轴为x =−2，故A 正确；∵a =-1<0，∴抛物线开口向下，故D 错误；∴当x =−2时，函数有最大值3；∴当x <−2时，函数y 随x 的增大而增大，当x >−2时，函数y 随x 的增大而减小， 故B. D 正确；故选D.5．解：∵扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，∴扇形的弧长为：12064180ππ⨯= cm ； 故选：C ．6．设小明为A ，爸爸为B ，妈妈为C ，则所有的等可能结果是：（ABC ），（ACB ），（BAC ），（BCA ），（CAB ），（CBA ），所以他的爸爸妈妈相邻的概率是，故选D ． 7．解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′与x 轴的交点即为点P ．当y =3时代入抛物线解析式得：x 2﹣2x ﹣3=0，解得x =3或x =﹣1．则由图可知点A （﹣1，3），点B （3，3），∴B ′（3，﹣3）．设直线AB ′的解析式为：y =kx +b ．代入A ，B ′求得：33y x 22=-+，设该直线与x 轴的交点为P ．当y =0时，x =1，∴点P （1，0）．故选C ．8．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△BCE ∽△FDE ，△FDE ∽△FAB ，∴△BCE ∽△FAB ，共3对，故选：B ．9．解：连接OB ，OD ，OA ，∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆，∴∠OBD=30°，∠BDO=90°， ∴OB=2OD=4，由勾股定理得：BD==2，同理CD=2， ∴BC=BD+CD=4，∵△ABC 是等边三角形，A ，O ，D 三点共线，∴AD=6，∴S △ABC =BC•AD=12．10．①∵二次函数的图象开口向下，∴a<0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点， ∴c>0，∴ac<0．①正确；②把x=2代入y=ax 2+bx+c 得：y=4a+2b+c ，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．②错误；③∵抛物线的对称轴为x=12，且经过点(2,0), ∴抛物线与x 轴另一个交点的坐标为（-1，0），∴∴当x=-1时，y=0，即a-b+c=0． ③正确；④由图象可知点(-2,y 1),(-3,y 2)都在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，即可得则y 1＞y 2.④错误.综上所述，正确的结论是①③．故选B.11．∵3523a b a b +=-∴3（a+3b ）=5(2a-b)整理，得：7a=14b ∴=2a b. 12．当x=0时，y=-2×1+8=6，则抛物线y=-2（x-1）2+8与y 轴交点的坐标为（0，6）， 故答案为：（0，6）．13．解：①当∠ACP=∠B ，∠A=∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加∠ACP=∠B ； ②当∠APC=∠ACB ，∠A=∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加∠APC=∠ACB ；③当AP ：AC=AC ：AB ，∠A=∠A ，可得△APC ∽△ACB ，故可添加AP ：AC=AC ：AB ； 14.设袋中红球有x 个，根据题意，得：0.73x x=+，解得：x ＝7，经检验：x ＝7是分式方程的解，所以袋中红球有7个，故答案为7．15.解：∵抛物线223y x x =--+与x 轴交于点C ∴当0x =时，3y =∴()0,3C ∵PCD 是以CD 为底的等腰三角形∴PC PD =∵()0,1D ∴CD 的中点为()0,2 ∴点P 在底边CD 的垂直平分线2y =上∴点P 为直线2y =与抛物线223y x x =--+的交点∴当2y =时，2232x x -++=∴12x =±∴点P 的坐标为()12,2+，()12,2-．故答案是：()12,2+，()12,2- 16．画树状图如下：∵总共有4种情况，两个路口都是红灯的结果有1种，∴两个路口都遇到红灯的概率是，故答案为：．17．在CD 上取点H 使得DH=ED ，连接FH 是BF 的中点18．解：由题意知OA=22，抛物线经过点A(22，0)，代入解析式中：得到：2130(2211)121k ，求得13k =，∴抛物线的顶点坐标为(11，13)， ∴主桥拱最高点P 与其在水中倒影P '之间的距离为2×13=26，故答案为：26米． 19．解：∵AC ⊥BC ，AC =8，BC =6，∴AB 22AC BC +．∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC =∠ACB ．∵∠A =∠A ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ：AC =AC ：AB ，∴AC 2=AD •AB ，∴AD =2AC AB=6.4． 20．证明：在O 中，∵⊥OD AB ，∴AD DB =，∵OE AC ⊥，又∵AB AC ⊥，∴∠DAE=90°，∠ADO=∠AEO=90°，∴四边形AEOD 是矩形，∵12AE AC =，12AD AB =，∵AB=AC ，∴AE AD =，∴四边形AEOD 是正方形. 21．（1）2224(2)48(2)4m m m m m ∆=--=-+=-+∵无论m 为何值，2(2)0m -≥∴2(2)40m -+＞∴无论m 为任何实数，该二次函数的图像与x 轴都有两个交点（2）把点（3,6）代入22y x mx m =-+-可解得m=12∴21322y x x =-- 22．(1)如图所示，△DEF 即为所求；(2)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，这次变换后的对应点P 1的坐标为(﹣2x ，﹣2y )，故答案为(﹣2x ，﹣2y)．23．（1）设每件商品的售价上涨x 元，则商品的售价为(50)x +元，月销量为(21010)x -件 由题意得：(5040)(21010)y x x =+--整理得：2101102100y x x =-++由每件售价不能高于65元得：5065x +≤，即15x ≤又因x 为正整数则x 的取值范围为：115x ≤≤，且x 为正整数 综上，y 与x 的函数关系式为2101102100y x x =-++；x 的取值范围为115x ≤≤，且x 为正整数；（2）2101102100y x x =-++的对称轴为：110 5.522(10)b x a =-=-=⨯- 则当1 5.5x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当5.515x <≤时，y 随x 的增大而减小因x 为正整数，则当1 5.5x ≤≤时，5x =，y 取得最大值；当5.515x <≤时，6x =，y 取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润将5x =代入得：2105110521002400y =-⨯+⨯+=，此时售价为5055x += 将6x =代入得：2106110621002400y =-⨯+⨯+=，此时售价为5056x += 答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.24．(1)解CD 与⊙O 的位置关系是相切答案第5页，总5页理由是连接BD ，OD∵∠AED=45°∴∠ABD=∠AED=45°∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB,∴∠CDB=45°∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=45°∴∠ODC=45°+45°=90° ∵OD 为半径,∴CD 与⊙O 的位置关系是相切;(2)解AB ∥CD,∠ODC=90°∴∠DOB=90°=∠DOA, ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC=2,在△AOD 中由勾股定理得:2AO 2=22 2∴S △AOD=12 OA×OD=12×2×2=1, S 扇形BOD=(26022=3603⨯ππS 平行四边形ABCD=AB×2×2=4,∴阴影部分的面积是:4-1-23π=3-23π.。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+14．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．306．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：；②m＝（用含S1，S3的代数式表示m）．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．【分析】直接利用旋转的定义得出答案即可．【解答】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+1【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣3+4，即y＝（x+2）2+1．故选：A．4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：【分析】设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．【解答】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．故选：C．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．30【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后把已知条件代入计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DF＝25．故选：C．6．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．【解答】解：由网格构造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sin A＝sin45°＝，cos A＝cos45°＝，tan A＝tan45°＝1，∴选项D是正确的，故选：D．7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠COB＝∠AOB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米【分析】根据坡度坡角定义即可求出结果．【解答】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，斜坡的水平宽度AB至少为AB＝≈8.5（米）．故选：A．9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，∴＝，可得3x＝2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，∴＝，推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．【解答】解：∵C（m，n）和D（m+8，n），∴CD∥x轴，且二次函数的对称轴x＝m+4，∴AB⊥CD，∵点C，D在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f （e，f为常数）的图象上，∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，y＝（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，∴A（m+4，n﹣16a），B（m+4，n﹣8），设AB与CD的交点为E，则E（m+4，n），则CE＝4，AE＝﹣16a，BE＝8；在△ABC中，∠ACB＝90°，且AB⊥CD，则CE2＝AE•BE，∴42＝﹣16a×8，解得，．故选：C．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．【分析】过点P作x轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案．【解答】解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，所以cosα＝＝，故答案为：．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000600058961162954846013601到白球的次数m0.580.640.580.590.6050.6010.600摸到白球的频率小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是②（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．【分析】根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为45°．【分析】连接OM．想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．【解答】解：连接OM．∵AB是直径，＝2，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵＝，∴∠MOB＝∠COM＝30°，∵OM＝OB，∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，∵OC∥MN，∴∠MNB＝∠COB＝60°，∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故答案为：45°．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．【分析】如图，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC＝BC•AM＝10，BC＝5，∴AM＝4．∵DE∥BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴＝，即＝，∴AN＝，∴平行四边形DEGF的高MN＝AM﹣AN＝4﹣＝，∴平行四边形纸片的面积＝2×＝．故答案为：．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：S2＝（S1+S3）；②m＝．（用含S1，S3的代数式表示m）．【分析】①由题意可得：S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，代入化简即可得到答案；②先证明△MLK∽△KEH，设AE＝x，PE＝y，结合四边形MNOP的面积为m，可得答案．【解答】解：①观察图像（2）可知，S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，∴S1＝2（S2﹣S3）+S3，∴2S2＝S1+S3，∴S2＝（S1+S3），故答案为：S2＝（S1+S3）．②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK∥EF，同理：BL∥GF，DJ∥HE，CI∥GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN∥GF∥EH，∴∠LMK＝∠EKH＝90°，∠MLK＝∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴＝＝，设AE＝x，PE＝y，则：＝＝，∴ML＝，MK＝＝LN，∴MN＝+＝，∴m＝MN2＝2＝，∵S1＝（x+y）2，S2＝x2+y2，S3＝（x﹣y）2，∴m＝＝＝．故答案为：．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．【分析】（1）直接利用一个未知数表示出a，b，进而代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：（1）∵，∴设a＝3x，则b＝4x，∴＝＝﹣；（2）原式＝2×﹣×＝1﹣＝﹣．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．【分析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．【解答】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）小丽通过A通道进入校园的概率为；（2）列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为＝．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB ＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG∥AE，∵BO＝DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，∴∠EAB＝∠BOG＝28°，在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），答：点A离地面的高度AE约为132cm；（2）∵OG∥AE，∴∠EAB＝∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF∥OG，∴∠DCF＝∠DOG，∵∠BOG＝∠DOG，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝＝100（cm），答：C点离地面的高度CF为100cm．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【分析】（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a＝15；②a＝10计算求得相应的最大值即可．（2）令S＝67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由（1）的结论可得答案．【解答】解：（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S＝x×＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣12）2+72，∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝12，∴当0＜x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a＝15时，x≤a即x≤15；∴当x＝12时，S有最大值为72平方米；②a＝10时，x≤a即x≤10，∴当x＝10时，面积的最大值为﹣×（10﹣12）2+72＝70（平方米）．（2）令S＝67.5得：﹣（x﹣12）2+72＝67.5，解得x＝9或x＝15，由x≤a可知，当x＝15时，a≥15，由（1）知，此时矩形最大值在x＝12时取得，面积最大值为72平方米，故x＝15舍去．∴a＝9．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O 于E．证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON （HL），可得结论．（2）过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R，首先证明∠AOC＝30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵＝，∴AC＝BD，∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴PM＝PN，∵AM＝BN，∴P A＝PB．（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MON＝120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM＝∠PON＝60°，∵＝3，∴∠COE＝3∠COM，∴∠COM＝15°，∴∠AOC＝2∠COM＝30°，过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R∴S△AOC＝9，∴•R••R＝9，∴R＝6，∴S阴＝S阴＝S阴﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．【分析】（1）利用待定系数可求解析式；（2）先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；（3）①由平行线的性质可得∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），∴，解得：，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，∴点C（0，2），又∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC＝＝＝，BC＝＝＝2，∵AB2＝25，AC2+BC2＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①∵∠ACB＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°＝∠ACO+∠CAO，∴∠BCO＝∠CAO，∵PQ∥AC，PM∥y轴，∴∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ＝∠BMH，∠PQM＝∠PHB＝90°，∴∠QPM＝∠CBA，∵B（4，0），点C（0，2），∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣（m﹣2）2+2，∵cos∠CBA＝cos∠QPM，∴，∴＝，∴PQ＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PQ有最大值为．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．【分析】（1）①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB＝∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG＝3，∠BOG＝∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC＝∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；（3）如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：P A•AE＝AC •AB，根据三角形面积公式得P A•AE＝S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．【解答】（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠P AF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠P AF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠P AF＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴，∴P A•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时P A•AE＝×＝80．。
浙江省绍兴市第一初级中学教育集团2020-2021学年第二学期九年级3月教学检测数学试题
绍初教育集团2020学年第二学期九年级数学教学检测（2021/03）班级_______ 姓名____________ 学号_____一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列四个数中，最小的数是 （ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．23-2．下列计算正确的是 ( ) A ．(3a )·(2a ) 6a B ．2a 2＋a 23a 4 C ．2a －a 1 D ．326()a a =3．2020年生活垃圾分类工作在我市取得了阶段性的成果，截止目前，累计推广小区667个，推广家庭户数39.75万户，其中39.75万用科学计数法表示为 （ ）A ．439.7510⨯B ．53.97510⨯C ．43.97510⨯D ．60.397510⨯ 4．二次根式2-x 中字母x 的取值范围是 ( )A. x>2B. x ≠2C. x ≥2D.x ≤25．由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的三视图中，是轴对称图形的是 （ ）A.主视图和左视图B.主视图和俯视图C.俯视图和左视图 主视方向D.三者均是 （第5题图）6．在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的白球和黄球，如果已知袋中黄球的个 数是白球的两倍，那么摸到白球的概率为 （ ） A.13 B. 23 C. 12D. 不能确定 7．已知圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则这个圆锥的侧面积为 （ ）A.30πB.24πC.15πD.12π8．已知一组数据的4，a ，7，b ，5的众数是5，则这组数据的中位数是 （ ） A.4 B.7 C. 5 D.不能确定9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点B 与原点O 重合，与反比例函数y ＝的图象交于E 、F 两点，若△DEF 的面积为，则k 的值是 （ ）OCBAED图（2）A.1B.7C. 1或7D. 不能确定10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．，图 2 为小明同学根据弦图思路设计的．在正方形 ABCD 中，以点 B 为圆心，AB 为半径作 AC ，再 以 CD 为直径作半圆交 AC 于点 E ，若边长 AB =10，则 △ CDE 的 面 积 为（ ）A.20B. 252√3 C. 24 D. 10√5二、填空题（每小题5分，共30分）11．分解因式：2()()a b a b +-+= ．12． 不等式组：，写出其整数解的和 ．13. 抛物线24y x x c =-++向右平移一个单位得到的抛物线恰好经过原点，则c .14. 如图，在△ABC 中∠A ＝60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM ＝PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC ＝45°时，BN＝PC.其中正确的是 （填序号）．15. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一动点，将AC 绕点A 逆时针旋转120°得AD ，若AB ＝2，则BD 的最大值为 ．（第9题图）（第10题图）（第14题图）（第15题图）（第16题图）16. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BD 交BC 于点E ，∠ABD ﹦2∠CBD ，若BC 72，CD √142，则COS ∠CBD= .三、解答题（共8小题，17-19题每题8分，20-22每题10分，23题12分，24题14分，共80分．） 17．（1）﹣12021+|﹣2|+2cos30°+（2﹣tan60°）0（2）先化简，再求值：，其中a 满足方程x 2+5x +6＝0．18.如图，在 6×6 的方格纸中，线段 AB 的两个端分别落在格点上，请用直尺，按要求画图： （1）在图 1 中画一个格点四边形 APBQ ，且 AB 与 PQ 垂直． （2）在图 2 中画一个以 AB 为中位线的格点△DEF ．19. 某中学为丰富学生的课余生活，开设了A ，B ，C ，D 四门不同的社团课，所有同学都可以选择其中一门，但是也只能选择一门，根据同学们的选课情况，将选课结果绘制成如下两个不完整的统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是 ，调查中选择课程C 的学生占_________%； （2）补全条形统计图；（3）若全校共有学生1200人，那么该校约有多少名学生选择了课程B ？（第18题图）（图2）（图1）销售量1030405060702020. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图， △ABC 、△FED 分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB 与地面BE 的夹角∠PBE ＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 分别为PB ，PE 与车窗底部的交点，AF ∥BE ，AC ，FD 垂直地面BE ，A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ．（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） （1）求盲区中DE 的长度；（2）点M 在ED 上，MD ＝1.8m ，在M 处有一个高度为0.3m 的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由。
浙江省绍兴市柯桥区2020届九年级上学期数学期末考试试卷及参考答案
浙江省绍兴市柯桥区2020届九年级上学期数学期末考试试卷一、单选题1. 若 ，则下列比例式中正确的是（ ）2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）3. 已知⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（ ）4. 如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC ＝75°，则∠OAC 的大小是（ ）5. 如图，线段AB 两个端点坐标分别为A （4，6），B （6，2），以原点O 为位似中心，在第三象限内将线段AB 缩小为原来的后，得到线段CD，则点C 的坐标为（ ）6. 如图，点G 是△ABC 的重心，下列结论中正确的个数有（ ）①；② ；③△EDG ∽△CBG ；④ ．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. 点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，下列说法正确的有（ ）①AC= AB ，②AC= AB ，③AB:AC=AC:BC ，④AC≈0.618ABA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. 如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF （面积记为S ）变形为以点D 为圆心，CD 为半径的扇形（面积记为S ），则S 与S 的关系为（ ）A . S ＝ SB . S ＜SC . S ＝SD . S ＞S 9. 若抛物线y ＝x +ax+b 与x 轴两个交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝2，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）10. 如图坐标系中，O （0，0），A （3，3 ），B （6，0），将△OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处，若OE ＝ ，则AC ：AD 的值是（ ）12121 2 1 2 1 2 122二、填空题11. 抛物线y ＝（x ﹣1）﹣2与y 轴的交点坐标是________.12. 计算：2sin 45°﹣tan45°＝________.13. 如图，直线l ∥l ∥l ， 直线AC 交l ， l ， l 于点A ，B ，C; 直线DF 交l ， l ， l ， 于点D ，E ，F ，已知，则 =________．14. 如图，点A ，B ，C均在的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为________.15. 如图，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，OA ＝4，点C 为弧AB 的中点，D 为半径OA 上一点，点A 关于直线CD 的对称点为E ，若点E 落在半径OA 上，则OE ＝________.16. 如图，抛物线y ＝﹣ （x+1）（x ﹣9）与坐标轴交于A 、B 、C 三点，D 为顶点，连结AC ，BC.点P 是该抛物线在第一象限内上的一点.过点P 作y 轴的平行线交BC 于点E ，连结AP 交BC 于点F ，则 的最大值为________.三、解答题17. 一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球.（1） 采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2） 求摸出的两个小球号码之和等于4的概率.18. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥.如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C 到桥塔的距离（CD 的长）约为100米，又在C 点测得A 点的仰角为30°，测得B 点的俯角22123123123为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）.（已知 ≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）19. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值.20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°.（1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长.21. 我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）22. 如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝12，BC＝8，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大.（1）请通过计算说明小明的猜想是否正确；（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值；（3）如图③，在五边形ABCDE中，AB＝16，BC＝20，AE＝10，CD＝8，∠A＝∠B＝∠C＝90°.小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.23. 如图，直线y ＝﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x +bx+c 经过B 、C 两点，与x 轴另一交点为A ，顶点为D.（1） 求抛物线的解析式；（2） 在x 轴上找一点E ，使△EDC 的周长最小，求符合条件的E 点坐标；（3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出PB 的值；若不存在，请说明理由.24.已知：在⊙O 中，弦AC ⊥弦BD ，垂足为H ，连接BC ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，DE 交AC 于点F（1） 如图1，求证：BD 平分∠ADF ；（2） 如图2，连接OC ，若AC ＝BC ，求证：OC 平分∠ACB ；（3） 如图3，在（2）的条件下，连接AB ，过点D 作DN ∥AC 交⊙O于点N ，若AB＝3，DN ＝9.求sin∠ADB 的值.参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.2213.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.。
浙江省绍兴市第一初级中学教育集团2020-2021学年第一学期九年级数学期中试题(pdf版 含答案)
给出以下四个结论：①b2＞4ac
②2a+b=0
③a+b+c=0
④若点
B（-
5 2
，y1)、C（-
1 2
，
y2)为此函数图象上的两点，则 y1＜y2，其中正确的有（
）个.
A.1
B.2
C.3
D.4
9．如图，一根长为 2 米的竹竿放在墙角，刚开始它与地平线（即直线 l ）夹角为 60°，当
它下滑一段距离后，与地平线的夹角变成 30°，则竹竿中点 M 经过的路程长为
答案 D
B
D
A
D
C
B
C
A
C
二、填空题（每题 5 分，共 30 分）
11. 2:7
12. 3 13. 240°
14. 0 或 2
15. 3 - 5 16. 32
三、解答题（第 17，18，19，20 题各 8 分，第 21 题 10 分，第 22，23 题各 12 分，第 24
题 14 分，共 80 分）
16．根据下列表格中二次函数 y＝ax2＋b x＋c 的自变量与函数值的对应值，求出代数式
(a b c)( b b2 4ac b b2 4ac ) 的值为
2a
2a
x
3
5
． 7
y＝ax2＋b x＋c
1
1
13
九年级数学共2 4 页 第 2 页
三、解答题（第 17，18，19，20 题各 8 分，第 21 题 10 分，第 22，23 题各 12 分，第 24
22.（1）（10+0.1x）元； （6000-10x）千克；
…………4 分
（2）由题意得：（10+0.1x）（6000-10x）=100000，
浙教版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题1(含答案)
浙教新版2020-2021学年九年级上册数学期末复习试题1 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（）A．2B．4C．8D．162．如图所示的是正十二角形体，因为其独特的对称美，所以2019年在英国举办的第60界国际数学奥林匹克的会标，就选用了正十二角形体，若将它绕自身中心旋转一定角度后能与原图重合，则这个角度不可能是（）A．60°B．90°C．120°D．180°3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π4．把抛物线y＝﹣x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y＝﹣（x+1）2+2B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣25．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．B．C．D．6．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1 7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④8．某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（）A．＝+1B．＝﹣1C．＝+2D．＝﹣29．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（）A．2≤k≤16B．2≤k≤8C．1≤k≤4D．8≤k≤16 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．某学校食堂为了了解服务质量，随机调查了来食堂就餐的200名学生，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这200名学生中对该食堂的服务质表示不满意的有人．12．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝50°，∠C＝110°，则∠B′的度数为．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O米以内．14．一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，若矩形的高为2m，宽为m，则要打掉墙体的面积为m2．15．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是．16．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，．以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F．若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2与，则的值为．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．（1）解方程：（x﹣2）x＝2x﹣1．（2）计算：|﹣|+×+（）﹣1﹣（﹣）0．18．如图，在▱ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：（1）AE＝CF；（2）AE∥CF．19．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度，在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2位家长来自相同班级的概率．温馨提示：初三（1）班两名家长用A1，A2表示；初三（2）班两名家长用B1，B2表示．20．如图，下列网格由小正方形组成，点A，B，C都在正方形网格的格点上．（1）在图1中画出一个以线段BC为边，且与△ABC面积相等但不全等的格点三角形；（2）在图2和图3中分别画出一个以线段AB为边，且与△ABC相似（但不全等）的格点三角形，并写出所画三角形与△ABC的相似比．（相同的相似比算一种）21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，在BC上取一点D，连结AD，作△ACD 的外接圆⊙O，交A B于点E．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）小明编制题目是：若AD＝BD，求证：AE＝BE．请你解答．（2）在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度，编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．23．阿静家在新建的楼房旁围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20米长的院墙，另三边用总长为32米的离笆恰好围成．如图，设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．24．问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，∴n＝8，故选：C．2．解：∵正十二角形体的中心角为30°，∴观察图象可知，旋转角是30°的偶数倍数时，可以与本身重合，故选：B．3．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长是＝＝，故选：D．4．解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以所得抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2﹣2．故选：B．5．解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，∴获得食物的概率是＝，故选：C．6．解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＞y3＞y2，故选：B．7．解：∵①中的三角形的三边分别是：2，，，②中的三角形的三边分别是：3，，，③中的三角形的三边分别是：2，2，2，④中的三角形的三边分别是：3，，4，∵①与③中的三角形的三边的比为：1：，∴①与③相似．故选：C．8．解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，∴一周后每周生产1.5x万个口罩，依题意，得：＝+1．故选：A．9．解：∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，∴2≤k≤16．故选：A．10．解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故选：B．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．解：因为200名学生中对该食堂的服务质量表示不满意占总体的百分比为：1﹣46%﹣38%﹣9%＝7%，所以200名学生中对该食堂的服务质量表示很满意有：200×7%＝14（人）．故答案为：14．12．解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B＝20°．故答案为20°．13．解：设OA右侧的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，∴该抛物线过点（8，0），∴0＝a（8﹣3）2+5，得a＝﹣，∴OA 右侧的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+5＝x 2++，当y ＝1.8时，1.8＝﹣（x ﹣3）2+5，得x 1＝7，x 2＝﹣1，∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，点A 的坐标为（0，），∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O 7米以内， 故答案为：7．14．解：如图，连结AD 、BC 交于O ，∵∠BDC ＝90°，∴BC 是直径，∴BC ＝＝＝， ∴OA ＝OB ＝AB ＝， ∴△AOB 是正三角形，∴∠AOB ＝60°，∠AOC ＝120°，∴S △AOB ＝，S △AOC ＝，∴S ＝2（S 扇形OAC ﹣S △AOC ）+S 扇形OAB ﹣S △AOB＝2[﹣]+[﹣]＝π﹣，∴打掉墙体面积为（π﹣）平方米， 故答案为：（π﹣）．15．解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49cm2．故答案为49cm2．16．解：设AD＝3k，AB＝2k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝60°，∴∠D＝120°，∴的长＝＝＝2πr1，可得r1＝，∴的长＝＝＝2πr2，可得r2＝，∴＝1，故答案为1．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．解：（1）（x﹣2）x＝2x﹣1x2﹣2x﹣2x＝﹣1，则x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）|﹣|+×+（）﹣1﹣（﹣）0＝+2+2﹣1＝3+1．18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠DAE＝∠DAB，∠BCF＝∠DCB，∴∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF．（2）∵△ADE≌△CBF，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．19．解：画树状图如下：共有12种等可能结果，其中2人来自相同班级的共有4种，所以2人来自相同班级的概率为＝．20．解：（1）如图所示，△BCD即为所求．（2）如图所示，△ABE和△ABF即为所求，相似比；相似比．21．（1）证明：连结DE，∵∠C＝90°，∴AD为直径，∴DE⊥AB，∵AD＝BD，∴AE＝BE；（2）答案不唯一．①第一层次：若AC＝4，求BC的长．答案：BC＝8；②第二层次：若CD＝3，求BD的长．答案：BD＝5；③第三层次：若CD＝3，求AC的长．设BD＝x，∵∠B＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，∴△ABC～△DBE，∴＝，∴＝，∴x＝5，∴AD＝BD＝5，∴AC＝＝4．22．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当A B是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．23．解：（1）由题意可得，S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，∵，解得，6≤x＜16，即S与x之间的函数关系式是S＝﹣2x2+32x（6≤x＜16）；（2）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．24．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，＝2，∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，在Rt △CFB 中，BF ＝＝＝＝CF ， ∵PB ＝PF +BF ，∴PB ＝CF +BF ，即：4＝CF +CF ，解得：CF ＝6﹣2； （3）①∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∵CA ＝CB ，∴∠ADC ＝∠BDC ，同（1）得：四边形DEPF 是正方形，∴PE ＝PF ，∠APE +∠BPF ＝90°，∠PEA ＝∠PFB ＝90°，∴将△APE 绕点P 逆时针旋转90°，得到△A ′PF ，PA ′＝PA ，如图3所示： 则A ′、F 、B 三点共线，∠APE ＝∠A ′PF ，∴∠A ′PF +∠BPF ＝90°，即∠A ′PB ＝90°，∴S △PAE +S △PBF ＝S △PA ′B ＝PA ′•PB ＝x （70﹣x ），在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝AB ＝×70＝35， ∴S △ACB ＝AC 2＝×（35）2＝1225，∴y ＝S △PA ′B +S △ACB ＝x （70﹣x ）+1225＝﹣x 2+35x +1225；②当AP ＝30时，A ′P ＝30，PB ＝AB ﹣AP ＝70﹣30＝40，在Rt △A ′PB 中，由勾股定理得：A ′B ＝＝＝50，∵S △A ′PB ＝A ′B •PF ＝PB •A ′P ，∴×50×PF ＝×40×30，解得：PF ＝24，∴S 四边形PEDF ＝PF 2＝242＝576（m 2），∴当AP ＝30m 时．室内活动区（四边形PEDF ）的面积为576m 2．。
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）抛物线y＝3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（1，5）C．（3，1）D．（﹣1，5）2．（4分）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB等于（）A．20°B．25°C．35°D．45°3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．（4分）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知：圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（）A．11πB．10πC．9πD．8π6．（4分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中的绿球数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个7．（4分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据CD＝10m，α＝45°，β＝50°设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（）A．x＝（x﹣10）tan50°B．x＝（x﹣10）cos50°C．x﹣10＝x tan50°D．x＝（x+10）sin50°8．（4分）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的个数是（）A．②③B．①③C．①②③D．③④9．（4分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜110．（4分）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（）A．3号杯子B．5号杯子C．6号杯子D．7号杯子二、填空题（本题有6小题，年小题5分，共30分）11．（5分）已知＝，则＝．12．（5分）二次函数y＝x2﹣2图象的对称轴是．13．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，点C落在点E，DE与直线BC相交于点F，若AC＝1，BC＝2．那么CF＝．14．（5分）若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为．15．（5分）如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是．16．（5分）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝45°，E是∠BAC的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F在AB上且EF⊥AB，已知AF＝1，BF＝5，那么△ABC的面积等于．三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14，共80分）17．（8分）计算cos45°﹣2sin30°+tan60°．18．（8分）已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点（0，）．（1）求二次函数的表达式；（2）判断该二次函数的图象是否经过点（﹣2，4），并解释你的判断．19．（8分）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长．小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程．在⊙O中，连接OF．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴∴∠AOF＝60°∴∠ADF＝∠AOF＝30°（填推理的依据）∵AD为⊙O直径∴∠AFD＝90°∵cos30°＝＝∴DF＝．20．（8分）在一个不透明的口袋中有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字﹣4，﹣1，2，5（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明的数是奇数的概率是多少？（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果？②求依次摸出的两个小球所标数字为横坐标，纵坐标的点位于第四象限的概率有多大？21．（10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝3﹣3，CD∥AB，并与弧AB相交于点M、N．（1）求线段OD的长；（2）若sin∠C＝，求弦MN的长；（3）在（2）的条件下，求优弧MEN的长度．22．（12分）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？23．（12分）在基础数学领域，我们把含有36°角的等腰三角形称为“黄金三角形”，如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形．BD是∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E．（1）写出图中所有“黄金三角形”，并写出你的依据；（2）求出（1）中写出的所有“黄金三角形”的腰与底边的比值；（3）求sin18°的值．24．（14分）已知点P是⊙O上一个动点，点A、B在⊙O上，且∠AOB＝90°，OA＝．（1）当点P在优弧上移动时，求∠APB的度数；（2）当点P移动到使tan∠OAP＝﹣1这个位置时，如图①，证明：∠APO＝∠BPO；（3）当点P运动到优弧的中点时，点Q在上移动（点Q不与点P、B重合），如图②，若△QPA的面积为S1，△QPB的面积为S2，直接写出S1+S2的取值范围．2020-2021学年浙江省绍兴市越城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝3（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．2．【分析】根据圆周角定理解答．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝45°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．【分析】利用锐角三角函数定义求出cos B的值即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，∴BC＝＝，则cos B＝＝，故选：A．【点评】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．4．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边分别是2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成比例，故D选项正确．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用，难度不大．5．【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．【解答】解：圆锥的侧面积＝4×4π÷2＝8π．故选：D．【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．6．【分析】设袋中绿球有x个，根据经大量实验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2估计摸到绿球的频率为0.2，据此建立关于x的方程，解之即可．【解答】解：设袋中绿球有x个，根据题意，得：＝0.2，解得x＝3，即袋中绿球数为3，故选：A．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．7．【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD ＝10，CE＝DH，求得FH＝x﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan50°，【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．8．【分析】利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．【解答】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；②位似图形一定有位似中心，故②正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故④错误．正确的选项为：②③．故选：A．【点评】此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．9．【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知Δ＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．10．【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯左侧几个杯子，再去观察3号杯的两个出口即可得出答案．【解答】解：∵1号杯左侧出口比右侧低，∴水先从左边流出，进入3号杯，∵3号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，∴水最终会先灌满3号杯，故选：A．【点评】本题主要考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可．二、填空题（本题有6小题，年小题5分，共30分）11．【分析】把要求的式子化成﹣1，再代值计算即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝﹣1＝﹣1＝；故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．【分析】根据二次函数对称轴计算公式x＝﹣计算即可．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2图象的对称轴：x＝﹣＝0，即为y轴，故答案为：y轴（直线x＝0）．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数对称轴计算公式x＝﹣是解题关键．13．【分析】由勾股定理求出AB＝，再由旋转的性质得AD＝AB＝，∠D＝∠B，则CD＝﹣1，然后由三角形内角和定理求出∠CFD＝∠CAB，由锐角三角函数定义即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∵将△ABC绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，∴AD＝AB＝，∠D＝∠B，∴CD＝AD﹣AC＝﹣1，∵∠FCD＝∠ACB＝90°，∠CFD＝180°﹣∠FCD﹣∠D，∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠B，∴∠CFD＝∠CAB，∴tan∠CFD＝tan∠CAB＝＝＝2，∵tan∠CFD＝，∴＝2，∴CF＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数定义等知识；证明∠CFD＝∠CAB是解题的关键．14．【分析】根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60°，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．【解答】解：如图边AB与半径相等时，则∠AOB＝60°，当等径角顶点为C时，∠C＝∠AOB＝30°，当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180°，∠D＝150°，故答案为：30°或150°．【点评】本题考查的是三角形的外接圆的知识，掌握圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质是解题的关键，根据等边三角形的性质求出圆心角是重点．15．【分析】由取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的有4种情况，∴使△ABC为直角三角形的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．【分析】在FB上取一点D，使得AF＝DF，过C作CH⊥AB于H，先证明∠EAD＝∠EDA，再证明∠BAC＝∠AED，从而可得，AC＝BG，∠AEG＝∠ABC，再证明∠BGE＝∠BDG，即BD＝BG，再由AF＝1，BF＝5，求出AC＝BD＝BF﹣FD＝5﹣1＝4，CH＝＝2，即可求得△ABC的面积．【解答】解：如图，在FB上取一点D，使得AF＝DF，连接ED并延长交△ABC的外接圆于G，连接BG，过C作CH⊥AB于H，∵AF＝DF且EF⊥AB，∴EF所在直线为AD的中垂线，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，在△AED中，∠AED＝180°﹣2∠EAD，∵AE平分∠DAH，∴∠EAH＝∠EAD＝∠EDA，∵∠BAC＝180°﹣2∠EAD，∴∠BAC＝∠AED，∴，∴，∴AC＝BG，∠AEG＝∠ABC，∵∠BGE＝∠BAE，∠BAE＝∠ADE，∠ADE＝∠BDG，∴∠BGE＝∠BDG，∴BD＝BG，∵AC＝BG，∴AC＝BD＝BF﹣FD＝5﹣1＝4，CH＝＝2，∵AF＝1，BF＝5，∴AB＝6，∴△ABC的面积＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了圆周角定理，在FB上截取DF＝AF证明出BD＝BG，求出AC 是解决此题的关键．三、解答题（本题有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14，共80分）17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，再把（0，）代入求出a的值，写出二次函数的表达式即可；（2）把点（﹣2，4），代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．【解答】解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x+1）2+2，把点代入，得：a（0+1）2+2＝，∴，∴函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+；．（2）二次函数的图象不经过点（﹣2，4），理由如下：∵当x＝﹣2时，，∴图象不经过点（﹣2，4）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象以及二次函数图象上点的坐标特征．19．【分析】（1）用⊙O的半径去截圆周即可解决问题；（2）连接OF，在Rt△ADF中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：（1）⊙O的内接正六边形ABCDEF如图所示；（2）在⊙O中，连接OF．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴∴∠AOF＝60°∴∠ADF ＝∠AOF＝30°（一条弧所对的圆周角是圆心角的一半）∵AD为⊙O直径∴∠AFD＝90°∵cos30°＝＝∴DF＝4故答案为：一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．【分析】（1）利用古典概率的求解方法即可求得答案，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明是奇数的概率是P ＝＝0.5；（2）①用表格表示摸出的两个小球所标数字所有可能出现的结果如下所示：第一次摸出小球的数字第二次摸出小球后所构成的坐标组合﹣4（﹣4，﹣1）（﹣4，2）（﹣4，5）﹣1（﹣1，﹣4）（﹣1，2）（﹣1，5）2（2，﹣4）（2，﹣1）（2，5）5（5，﹣4）（5，﹣1）（5，2）②位于第四象限的点有（2，﹣4）、（2，﹣1）、（5，﹣4）、（5，﹣1）这四个，依次摸出两个小球所标数字为横、纵坐标的点位于第四象限的概率有P＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）根据CD∥AB，OA＝OB，推出∠C＝∠D，根据等腰三角形的判定证得OD ＝OC即可；（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME＝MN，再根据tan∠C＝可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案；（3）由（2）可得△OMN是等边三角形，即∠MON＝60°，由弧长公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵OA＝OB∴∠OAB＝∠OBA∵CD∥AB∴∠OAB＝∠C，∠D＝∠OBA∴∠C＝∠D，∴OD＝OC＝OA+AC＝3；（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME＝MN，∵tan∠C＝，即＝，∴设OE＝x，则CE＝2x，在Rt△OEC中，OC2＝OE2+CE2，即（3）2＝x2+（2x）2，解得x＝在Rt△OME中，OM2＝OE2+ME2，即32＝（）2+ME2，解得ME＝，∴由垂径定理得MN＝3；（3）由（2）可得△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°∴优弧MEN的长度＝＝5π．【点评】本题考查的是垂径定理和弧长公式，涉及到锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．22．【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，∴y＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，∵a＝﹣x+10＞0，∴x＜40，则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；（2）∵y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．23．【分析】（1）由等腰三角形的判定与性质和黄金三角形的判定进行证明即可；（2）设BC＝a，CD＝b，则BD＝AD＝AE＝a，ED＝EB＝b，证△ABC∽△BCD，得AB：BC＝BC：CD，即（a+b）：a＝a：b，解方程，即可解决问题；（3）过A作△ABC底边上的高AH，由锐角三角函数定义结合（2）的比值进行计算即可．【解答】解：（1）图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个，理由如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠BDE＝36°，∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠ACB，∴∠A＝∠ABD，∠BDE＝∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AD＝BD，BE＝ED，AE＝AD，∴△ABD，△BDE，△AED是等腰三角形；∵∠BDC＝2∠A＝72°，∴∠BDC＝∠BCD，∴△BCD是等腰三角形，∴图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个；（2）设BC＝a，CD＝b，则BD＝AD＝AE＝a，ED＝EB＝b，∵∠ABC＝∠C，∠A＝∠CBD，∴△ABC∽△BCD，∴AB：BC＝BC：CD，即（a+b）：a＝a：b，解得：，（舍去），∴，，∴黄金三角形△ABC，△AED，△BCD的腰与底边的比值为，∴黄金三角形△ABD，△BDE的腰与底边的比值为，（3）过A作△ABC底边上的高AH，如图所示：则CH＝BH＝BC，，∴sin18°＝sin∠CAH＝＝＝×＝．【点评】本题考查的是黄金分割三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握黄金三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．24．【分析】（1）根据圆周角定理求解；（2）过点O作OC⊥PA于C，在CA上截取CD＝OC，利用tan∠OAP得到OC与AC 之间关系，进而证得AD＝OD，∠A＝∠DOA，求得，∠A＝22.5°，已知∠APB，从而得证；（3）连接AB，延长PO交AB于点E，把△PBQ沿着PQ翻折得到△PB'Q，得到S2＝S＝S△QB'P，利用S1+S2＝S△QP A+S△QB'P＝S△P AB'，得到S1+S2有最大值，求出PA2△QPB最大值便可得到取值范围．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴．（2）过点O作OC⊥PA于C，在CA上截取CD＝OC，如图，∵，∴，，∵CD＝OC，∴，∵∠OCD＝90°，OC＝CD，∴，∠CDO＝45°，∴AD＝OD，∴∠A＝∠DOA，∵∠A+∠DOA＝∠CDO，∴∠A＝22.5°，∵OP＝OA，∴∠APO＝∠A＝22.5°，∵∠AOB＝45°，∴∠BPO＝∠AOB﹣∠APO＝22.5°，∴∠APO＝∠BPO；（3）连接AB，延长PO交AB于点E，则PE⊥AB把△PBQ沿着PQ翻折得到△PB'Q，如图，则PB'＝PB＝PA，∠PQB＝∠PQB'，S2＝S△QPB＝S△QB'P，∵∠AQP＝∠ABP，∠ABP＝∠PAB，∴∠AQP＝∠PAB，∵四边形PABQ为圆内接四边形，∴∠PAB+∠PQB＝180°，∴∠AQP+∠PQB'＝180°，∴点A，Q，B'三点共线，∵S1+S2＝S△QP A+S△QB'P＝S△P AB'，∴S1+S2＞0，当且仅当PA⊥PB'时，S1+S2有最大值，在Rt△PAE中，AE＝1，PE＝+1，∴PA2＝AE2+PE2＝4+2，∴＝2+，∴．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，第二问解题关键是辅助线OC，OD的作法，第三问解题关键是将三角形的面积进行转化，变为线段PA相关，从而求解．。
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1. 本试卷考核范围：浙教版九上全册、九下第1 章。
2. 本试卷共6 页，满分150 分。
数学试题卷
10440
1 ．在同一时刻，身高1.6 m 的小强的影长是1.
2 m，旗杆的影长是15 m，则旗杆的高为
( )
A ．22 m
B ．20 m
C ．18 m
D ．16 m
2 ．如图，A，B，C都是⊙O上的点，若∠ACB=110°，则∠AOB的度数是( )
A ．70°
B ．110°
C ．140°
D ．160°
第2 题图第3 题图第4 题图
3 ．有5 张写有数字的卡片 (如图1)，它们的背面都相同，现将它们背面朝上 (如图2)，从
中翻开任意一张是数字 2 的概率是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4 ．已知y与x之间的函数关系如图所示，当－3≤x≤3 时，函数值y的取值范围是( )
A ．0≤y≤3
B ．0≤y≤2
C ．1≤y≤3
D ．－3≤y≤3
5 ．在△ABC中，若|sin A一| +(一tan B)2 = 0 ，则∠C的度数为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
6 ．如图，在平面直角坐标系中，以点P为圆心，以2 为半径
的圆弧与x轴交于A，B两点，已知点A的坐标为(2 ，0)，点
B的坐标为(6 ，0)，则圆心P的坐标为( )
A ．(4，4)
B ．(4，2)
C ．(4，)
D ．(2，2 )
7 ． 在倾斜角(∠α ， ∠β)不同的两个斜面上，物体前进的距离都是 l ，而它在水平和铅垂两个
方向上运动的距离却各不相同． 如图，已知 sin β= ，tan α= ，l =20 米，则物体在这两 个不同斜面上的高度差等于( )
A ．1 米
B ．4 米
C ．7 米
D ．10 米
第 7 题图 第 8 题图
8 ． 若将一个正方形剪成如图 1 所示的四块， 且这四块恰好能拼成如图 2 所示的矩形， 则 的值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D
．
2
一 1
9 ． 如图， ⊙O 上有两点 A 与 P ，若点P 在圆上匀速运动一周，则弦 AP 的长度 d 与时间 t
的关系可能是下列图形中的( )
A ．①
B ．③
C ．②或④
D ．①或③
第 9 题图 第 10 题图
10 ．如图， 在四边形 ABCD 中，不等长的两对角线 AC ，BD 相交于点 O ，且将四边形 ABCD
分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若 OA ∶OC =OB ∶OD =1 ∶2，则此四个三角形的关系 是( )
A ．甲与丙相似， 乙与丁相似
B ．甲与丙相似， 乙与丁不相似
C ．甲与丙不相似，乙与丁相似
D ．甲与丙不相似，乙与丁不相似
6 5 30
11 ．抛物线y =2x 2－2x 与 x 轴的交点坐标为 ．
a b
12．已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2 ，则该扇形的弧长等于cm．(结果保留π)
13．学校组织校外实践活动，给九年级安排了两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交于点D，连结DC，则∠DCB的度数为．
第14 题图第15 题图
15．如图，桌面上有一时钟，表盘中心点为O，分针OA外端点到桌面的最大距离和最小距离分别为50 和10 ，若现在的时间是9 点10 分，则点A到桌面的距离是．
16．如图①是由8 个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块 (如图②)，就可以拼成一个大正方形(如图③)．那么由 5 个同样大小的正方形组成的纸片(如图④)，最少需要剪刀，就可以拼成一个大正方形．
817~2021102223
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17 ．在平面直角坐标系中，已知点P(x，6)在第一象限，且OP与x轴的正半轴的夹角α的正
切值是．
(1)求x的值．
(2)求夹角α的正弦值和余弦值．
18 ．在一个不透明的袋子中装有1 个红球，1 个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差
别．
(1) 从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该试验，发现摸到绿球
的频率稳定于0.25，求n的值；
(2) 若该袋中有 2 个白球，在一个摸球游戏中，小明用画树状图的方法寻求他两次摸
球(摸出一球后，不放回，再摸出一球) 的所有可能结果，下图是小明所画的正确
树状图的一部分，补全小明所画的树状图，并求两次摸出的球的颜色不同的概率．
19 ．如图，已知斜坡的坡角∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．
(1)求∠ACD的度数；
(2)当AC=5 时，求AD的长．(参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91 ，tan25°≈0.47，结
果精确到0.1)
20 ．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，
CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5 ∶24．
(1)求CD的长；
(2) 现汛期来临，水面要以每小时4 m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌
满？
21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD∶AC=2 ∶3．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．求AG与GF的比．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
(2) 求证：∠1=∠2．
23 ．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的平面直角坐标系，最左
边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为0.75m，到墙边OA的距离分别为0.5 m，1.5 m．
(1)求最左边的拋物线的表达式，并求图案最高点到地面的距离；
(2) 若该墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
24．已知点P为线段AB上的动点 (与A，B两点不重合)．在同一平面内，把线段AP，BP 分别折成△CDP，△EFP，∠CDP=∠EFP=90°，且D，P，F三点共线，如图所示．
(1)若△CDP，△EFP均为等腰三角形，且DF=4，求AB的长；
(2)若AB=12 ，tan C=，且以C，D，P为顶点的三角形和以E，F，P为顶点的三角
形相似，求四边形CDFE的面积的最大值．。