鞍山市第一中学2024年全国新课标II卷高考数学试题最后一模

鞍山市第一中学2024年全国新课标II 卷高考数学试题最后一模
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{
}2
560A x x x =--<，{}
20B x x =-<，则A B =( )
A ．{}
32x x -<< B ．{}
22x x -<< C ．{}62x x -<<
D ．{}
12x x -<<
2．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．16
B ．48
C ．96
D ．128
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-
D ．43n n S a =-
4．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12
-
B ．
12
C ．-8
D ．8
5．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在
20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．()2
112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭
B ．(2)0()f f t ->>
C ．(2)(1)f t f t +>+
D ．(1)()f t f t +>
6．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的
内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．
22
B ．
32
C ．
23
D ．
33
7．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i
a a 仍是该数列中的项，则（ ）
A ．593,36a S ><
B ．593,36a S >>
C ．693,36a S >>
D ．693,36a S ><
8．已知函数()2
22
ln 02x x e f x e x x e
⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）
A ．1
e
B ．1e
C ．
12e
D ．
2
1e 9．若双曲线22214x y b -=的离心率7
2
e =
，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
10．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，
则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B ．
63
C ．
33
D ．
23
11．已知函数2
()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}
|()0B x f x '=≤，则A
B =（ ）
A ．[-1,0]
B ．[-1,2]
C ．[0,1]
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞ 12．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”).
14．在如图所示的三角形数阵中，用().i j a i j ≥表示第i 行第j 个数()
*
,i j N ∈，已知()*.1i 11
12
i a i N -=-
∈，且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即(). 1.1 1.21i j i j i j a a a j i ---=+≤≤-，若.22019m a >，则正整数m 的最小值为______.
1
1
1
12
2
331
4
4
77778
4
4
8
152********
8
28
16
111122n n --⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
-
15．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412
cos ,cos 513
B C ==，1b =，则a =__________.
16．若626
0126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则012345623456a a a a a a a ++++++=________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴
为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是sin 36πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，射线:6
OM π
θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
18．（12分）已知函数()e e x
x f x ax -=++，a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()()(
)12
122e e
x
x f x f x a -<--.
19．（12分）在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，
cos ,cos ,cos A C B 成等比数列．
（1）求A 的值；
（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 20．（12分）已知数列{}n a 满足132
a =
，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .
（1）求证：数列{}
2n
n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
21．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女
50
（1）求图中a 的值；
（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
22．（10分）已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,二阶矩阵B 满足1001AB ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
. （1）求矩阵B ;
（2）求矩阵B 的特征值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【题目详解】
由题意知,集合}{
16A x x =-<<,}{
2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{
12A B x x ⋂=-<<. 故选:D 【题目点拨】
本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 2、B 【解题分析】
列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【题目详解】
第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：2
42(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3
162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 3、C 【解题分析】 在等比数列中，由11n n a a S q
q
-⋅=-即可表示之间的关系.
【题目详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n
n n a a q a a q S -⋅-===---
故选：C 【题目点拨】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 4、B 【解题分析】
先求出向量a b +,a b -的坐标，然后由||||a b a b +=-可求出参数m 的值. 【题目详解】
由向量(1,4)a =，(2,)b m =-， 则()1,4a b m +=-+，()3,4a b m -=- (2||1+a b +=(2||3+a b -=
又||||a b a b +=-，则12
m =. 故选：B
【题目点拨】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题. 5、D 【解题分析】
根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【题目详解】
由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=
∴函数()f x 关于直线1x =-对称；
()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；
又
(2)(0)f f -=
()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；
22311
2()0224t t t ++-
=++>，21t t ∴++比12
离对称轴远， ∴可得21
(1)()2
f t t f ++>，∴选项A 成立；
22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；
20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6、D 【解题分析】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，
可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得1
2
m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得
2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【题目详解】
可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==，
设1PF m =，2PF n =，则12
m n =
，且有2m n a +=，解得23a m =，43a
n =，
设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切
2QF 于点N ，则2223
a
NF MF ==，1QN QF t ==， 由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a
t =，43
a PQ m t ∴=+=，
2243a
PF QF ==，所以2PF Q ∆为等边三角形，
所以，3423a
c =
，解得3c a =因此，该椭圆的离心率为3
3
. 故选： D. 【题目点拨】
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题． 7、D 【解题分析】 由题意可得9
55
a a a =，从而得到53a =，再由53a =就可以得出其它各项的值，进而判断出9S 的范围． 【题目详解】
解：i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i
a a 仍是该数列中的项，
29a a ∴+或者29a a 或者
9
2
a a 是该数列中的项， 又
数列{}n a 是递增数列，
1239a a a a ∴<<<⋯<， 299a a a ∴+>，299a a a >，只有
9
2
a a 是该数列中的项， 同理可以得到
93a a ，94
a a ，..，98a a 也是该数列中的项，且有999
19872a a a a a a a a <<<⋯<<，
∴9
55
a a a =
，53a ∴=或53a =-（舍)，63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，
同理易得1
423a =，1
233a =，3
443a =，5
463a =，3
273a =，7
48
3a =，
9
4912914
133613
S a a a -∴=++⋯+=<-，
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 8、A 【解题分析】
画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()1222
2
2ln f x f x x x x x =
=
，构造函数()ln x
g x x
=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【题目详解】
由于22
123012x x e x e <<<<<<+，
1212ln ln 1x x x x -=⇒=,
由于
()()122
2
2
2
ln f x f x x x x x =
=
， 令()ln x
g x x
=
，()
21
x e ∈，，
()()2
1ln x
g x g x x
=
⇒'-在()1e ，↗，()
2e e ，↘ 故()1
()max g x g e e ==.
故选：A 【题目点拨】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 9、C 【解题分析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】
双曲线22214x y b -=的离心率e =
则2a =，2
c e a =
=
，解得c =()
，
所以b ==
=
则双曲线渐近线方程为2
y x =±
20y ±=，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d =
=，
故选：C. 【题目点拨】
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 10、A 【解题分析】
首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【题目详解】
由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，
设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6
PO =，22CO =，
同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，
所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，
有22222
cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==
⋅， 故1
sin 1cos 3
POC POC ∠=-∠=. 故选：A. 【题目点拨】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 11、C 【解题分析】
分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【题目详解】
2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤
， ∴{|01}A
B x x =≤≤．
故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 12、D 【解题分析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【题目详解】
故选 【题目点拨】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、＞ 【解题分析】
注意到1,0a b ><，故只需比较11
a b
+与1的大小即可. 【题目详解】
由已知，1,0a b ><，故有0,ab a b <>.又由0.20.20.211
log 0.3log 2log 0.61a b
+=+=<， 故有a b ab +>. 故答案为：＞. 【题目点拨】
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 14、2022 【解题分析】
根据条件先求出数列,2{}n a 的通项，利用累加法进行求解即可． 【题目详解】
.11112n n a -=-
， 1.12
1
12
n n a --∴=-，()2n ≥， 下面求数列{}.2n a 的通项，
由题意知，.2 1.1 1.2n n n a a a --=+，()3n ≥，
.2 1.2 1.12
112
n n n n a a a ---∴-==-
，()3n ≥，
()()().2.2 1.2 1.2 2.2 3.2 2.2 2.2215
22
n n n n n n a a a a a a a a n ----∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=
+-，
数列{}.2n a 是递增数列，且2021.22022.22019a a <<，
m ∴的最小值为2022.
故答案为：2022. 【题目点拨】
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列,2{}n a 的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
15、
5639
【解题分析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值. 【题目详解】
由于412cos ,cos 513B C ==
，所以35sin ,sin 513
B C ====，所以
()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+3124556
51351365
=
⨯+⨯=.由正弦定理得56
sin 56
653sin sin sin 395
a b b A a A B B
⋅=⇒===.
故答案为：
5639
【题目点拨】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题. 16、13 【解题分析】
由导函数的应用得：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++，
所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++，又()()f x g x =，所以()()f x g x '='，即
5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++，
由二项式定理：令0x =得：12345623456a a a a a a +++++，再由(0)(0)g f =，求出0a ，从而得到012345623456a a a a a a a ++++++的值；
【题目详解】
解：设6()(21)f x x =+，260126()(1)(1)(1)g x a a x a x a x =+++++⋯++， 所以5()12(21)f x x '=+，5126()2(1)6(1)g x a a x a x '=+++⋯++， 又()()f x g x =，所以()()f x g x '='， 即5512612(21)2(1)6(1)x a a x a x +=+++⋯++， 取0x =得：1234562345612a a a a a a +++++=， 又(0)(0)g f =， 所以01a =，
故01234562345611213a a a a a a a ++++++=+=， 故答案为：13 【题目点拨】
本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）4cos ρθ=（2
）2 【解题分析】
（1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可； （2）设()11,P ρθ，()22,Q ρθ，由126
θπ
θ==，即可求出12,ρρ，则12||PQ ρρ=-计算可得；
【题目详解】
解：（1）圆C 的参数方程22cos 2sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩（α为参数）可化为22
(2)4x y -+=，
∴24cos 0ρρθ-=，即圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（2）设()11,P ρθ，由11
14cos 6ρθπθ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得116ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
.
设()22,Q ρθ
，由222
sin 66πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎪=⎪⎩
，解得2226ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩.
∵12θθ=
，∴12||2PQ ρρ=
-=.
【题目点拨】
本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18、（1）见解析；（2）见解析 【解题分析】
（1）求得()f x 的导函数()'
f
x ，对a 分成2,2a a ≤>两种情况，讨论()f x 的单调性.
（2）由（1）判断出a 的取值范围，根据韦达定理求得12,x x 的关系式，利用差比较法，计算
()()()()()
12111212e e e e 2x x x x f x f x a a x -----=-+，通过构造函数()()e e 20t t g t t t -=-+>，利用导数证得
()0g t <，由此证得()111e e 20x x a x --+<，进而证得不等式()()()()12122e e x x f x f x a -<--成立.
【题目详解】
（1）()()2
e e 1e e e
x
x x x
x
a f x a --+=--+=-
'.
当2a ≤时，()0f x '≤，此时()f x 在R 上单调递减；
当2a >时，由()0f x '=
解得ln 2a x =
或ln 2
a x +=，∵e x y =是增函数，∴此时()f x
在
,ln ⎛-∞ ⎝⎭
和⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递减，在ln ⎛ ⎝⎭
单调递增.
（2）由（1）知2a >.12e e 1x x ⋅=，120x x +=，12x x =-，
不妨设12x x >，∴1>0x ，()()()()
12122e e x x f x f x a ----
()()()()()
11221111121e e e e 2e e e e 2x x x x x x x x ax ax a a x ----=-+--+---=-+，
令()()e e 20t
t
g t t t -=-+>，
∴(
)1e e 2e 220e t t t t
g t -⎛⎫=--+=-+
+≤-= ⎪
⎝
'⎭
， ∴()g t 在()0,∞+上是减函数，()()00g t g <=， ∴(
)
1
11e
e 20x x a x --+<，即()()()()
12122e e x x f x f x a -<--.
【题目点拨】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19、（1）4
A π
＝
；（2）c .
【解题分析】
(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入
2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的
性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.
(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得3
b c ＝,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【题目详解】
解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝ 而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝
,即tan tan 2tan tan tan tan 1
A B
B A A B +-=-,展开化简得
222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①
又cosA cosB 成等比数列,
可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②
联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4
A π
＝
；
()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,
由sin 2cos B
tanB B ＝
＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,
解得sinB ,
因为sin 3cos C tanC C =＝
22,1,sin C cos C C +＝为锐角,
故可得sinC ,
由正弦定理可得sin sin 3c B b C ==＝
, 又ABC 的面积为1,
可得
21112232
bcsinA c ⋅⋅=＝,
解得c 【题目点拨】
本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题. 20、（1）证明见解析，21
2n n n a +=；（2）2552
n n
n S +=-. 【解题分析】 （1）将等式111
22
n n n a a --=
+变形为11222n n n n a a --=+，进而可证明出{}2n n a 是等差数列，确定数列{}2n n a 的首项和公差，可求得2n
n a 的表达式，进而可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n S . 【题目详解】 （1）因为()
111
2,22
n n n a a n n *--=
+≥∈N ，所以11222n n n n a a --=+，即11222n n n n a a ---=， 所以数列{}
2n
n a 是等差数列，且公差2d =，其首项123a =
所以23(1)221n
n a n n =+-⨯=+，解得21
2n n
n a +=； （2）2313572121
22222
n n n n n S --+=
+++⋅⋅⋅++，① 42313572121
222222
n n n S n n +-+=+++⋅⋅⋅++，②
①-②，得23111112131112132142212222222212
n n n n n S n n -++⎛⎫⨯⨯- ⎪
++⎛⎫⎝⎭=+⨯++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-1
52522n n ++=-， 所以25
52
n n
n S +=-
. 【题目点拨】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21、 (1) 0.005a =；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X =3 【解题分析】
（1）由频率和为1，列出方程求a 的值；
（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数， 填写22⨯列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量X 服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望. 【题目详解】
解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=， 解得0.005a =；
（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 填表如下：
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得22
100(1641349) 2.613 2.0722*******
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=， 将频率视为概率，
则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X 可视为服从二项分布，即34,
4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 4431()44k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(0,1,2,3,4)k =，
故04
4
311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 1
3
143112(1)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭， 2
2
243154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭， 3
1
34
31108(3)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
40
443181(4)44256
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：
数学期望为()434E X =⨯=.或（5410881()012343256256256256256
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）． 【题目点拨】
本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量
(),X
B n p ，则()()(),1E X np D x np p ==-.
22、（1）1101B ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
（2）特征值为1或1-．
【解题分析】
（1）先设矩阵B ,根据1001AB ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,按照运算规律,即可求出矩阵B .
（2）令矩阵B 的特征多项式等于0,即可求出矩阵B 的特征值． 【题目详解】
解：（1）设矩阵a b B c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦由题意,
因为1001AB ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,
所以11100101a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1001a c b d c d +=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪-=⎩ ,即1101
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=⎪⎪=-⎩ 所以2101B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
,
（2）矩阵B 的特征多项式()()()11f
λλλ=+-,
令()0f λ=,解得1λ=或1-, 所以矩阵B 的特征值为1或1-． 【题目点拨】
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.。