大学物理竞赛辅导(力学)
大学物理竞赛力学辅导2016
这样可得
maCx mg sin f r maC y N mg cos J f r r
以上三式中， aCx和 aCy是圆柱体质心在 x 轴和 y 轴方 向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时
力 学 基 本 概 念 及 补 充
力学部分主要公式：
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能 重力势能
aC R 纯滚动条件为 圆柱对质心的转动惯量为
F l f R JC
1 2 J C mR 2
aC
F
联立以上四式，解得
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
Ff 1
m2 g
FN1
l
对O点 l m2 gl cos m1 g cos 2 Ff 1l cos FN1l sin 0
m1g
FN2
O Ff 2
Ff 1 1FN1
则质心在此期间经过的距离为：
1 2 12 v s v0t aC t 2 49 g
则纯滚动时质心的速率为：
2 0
v0
Ff
5 vC v0 gt v0 7
例题 质量为m、半径为r的均质球位于倾角为θ的 斜面的底端，开始时，球的质心速度为零，球相对 于质心的转动角速度为ω0，如图所示。球与斜面之 间的摩擦系数为μ，球在摩擦力作用下沿斜面向上 运动，求解球所能上升的最大高度。 解：一开始，小球与斜面间 为滑动摩擦，有一定的质心 速度；随时间增加，质心速 度变小，当滚动角速度满足 纯滚动条件 v r ， C 即转为纯滚动。因此，整个 过程分为两步求解：
01 物理竞赛辅导资料07 力学三把“金钥匙
物理竞赛辅导资料：力学三把“金钥匙”解决动力学问题，一般有三种途径：①牛顿第二定律和运动学公式(力的观点)；②动量定理和动量守恒定律(动量观点)；③动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能的转化和守恒定律(能量观点)。
——以上这三种观点俗称求解力学问题的三把“金钥匙”。
三把“金钥匙”的合理选取：研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系(或涉及加速度)时，一般用力的观点解决问题；研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般选用动量定理；涉及功和位移时优先考虑动能定理；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律，特别是出现相对路程的则优先考虑能量守恒定律。
一般来说，用动量观点和能量观点比用力的观点解题简便，因此在解题时优先选用这两种观点；但在涉及加速度问题时就必须用力的观点。
有些问题，用到的观点不只一个，特别像高考中的一些综合题，常用动量观点和能量观点联合求解，或用动量观点与力的观点联合求解，有时甚至三种观点都采用才能求解，因此，三种观点不要绝对化。
下面通过历年高考题说明各个观点的应用。
〖典型例题透析〗力学观点与能量观点的综合〖例1〗(1991年上海高考)如图所示，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球。
将小球从O 点正下方4l 处，以一定初速度水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以O 为支点在竖直平面内摆动。
已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，求：⑴小球水平抛出时的初速度v 0；⑵在绳被拉紧的瞬间，支点O 受到的冲量I ；⑶小球摆到最低点时，绳所受的拉力T 。
〖命题意图〗考查平抛运动、运动合成、冲量、机械能守恒定律及其应用、牛顿第二定律。
〖解题思路〗⑴小球在绳拉直前做平抛运动，令做平抛运动的时间为t ，则有：水平方向：lsin 600=v 0t …………①竖直方向：0260214cos l gt l =+…………② 由①、②式解得：g l t 2=，gl v 6210= ⑵在绳拉直前瞬时，小球速度的水平分量为v o ，竖直分量为gt ，如图所示。
大学物理竞赛辅导-力学部分ppt课件
可获得的最大加速度为
，可获得的最大速度值为
。
解： ①质心 的最大加速度
N kx (m1 m2 )ac
k ac m1 m2 x
xl
kl acmax m1 m2
k m1
F m2
f m1
N
F
f
m2
18
②质心 的最大速度
m2过平衡位置时的速度
1 2
kl 2
1 2
m
v2 2 max
10
1、可变质量系统
例3、一雨滴的初始质量为 m0 ，在重力的影响下，
由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，
其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度
的乘积：
dm kmv
式中为常量。试证明dt 雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
11
解：由变质量的运动方程：
a (2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
B
vc
A 30
例、质量为m，半径为R 的均匀球体，从一倾角为的斜面上滚 下。设球体与斜面间的摩擦系数为m，求使该球体在斜面上只
滚不滑时, 角的取值范围。
解：球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2
k m1
v2max
kl m2
=0
v c max
(
m1v1 m1
m2v m2
2
)max
km2 l m1 m2
F m2
19
例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点
开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以
大学物理竞赛专题辅导之力学
dt
作用力
电 磁 相 互 作 用
, mg 运动轨道椭圆、 万有引力 GMm 2 r q1q2 1 抛物线、双曲线 库仑力
4 0 r 2
洛伦兹力 弹性力
qvB
-kx
圆周运动
x A cos( t )
动静摩擦力、安培力、核力…..
能够由牛顿第二定律严格求解坐标的问题并不多
力学动量、角动量、动能三大定理
ma = F dP F dt dJ d r P rF L dt dt d 1 mv 2 F dr 2
动量定理
角动量定理
动能定理 冲量定理 冲量矩定理
2 2
题目给出初始速度v0>0的限制，因此初始速度满足的 2 条件是 qRB qRB (1) 0<v Rq
0
2m
2m
(2)设质点到达最低点b处的速度大小为v,则机械能守 1 mv 2 = 1 mv 2 2mgR 恒得到 2 0 2 (2) 2
v 2 = v0 4 gR
2
2
又因为 0 q 2 ，所以上式中
qBR qBR 0 Rg cos q 2m 2m
2
因而左端
2 v1 2 Rg (1 cos q ) 0
这样得到两种夹角范围初始速度满足的条件是 2 2 ) ( 0 v v q 0 q 0 2 2 Rg (1 cos q ) 2 2
P F t J L
力学的守恒定律 动量、角动量、能量守恒
力学的物理模型 质点、质点组、刚体
物理竞赛--力学复习第1讲运动学
ax
dv x dt
0
ay
dv y dt
6m s2
a
dv dt
18t , 1 9t 2
a
ax2
a
2 y
6m s2
an
a2 a2
6 1 9t 2
或 ( x2 y2 )3/ 2 [22 (6t)2 ]3/ 2 2(1 9t 2 )3/ 2
yx yx 6 2 6t 0
dt 角加速度： d
dt
切向加速度：at
dv dt
R
法向加速度：an
v2 R
R 2
二.基本运动规律
(1)直线运动：x x(t)
v dx dt
a
dv dt
d2x dt 2
(2)匀变速直线运动：
v x
v0 x0
at v0t
1 2
at
2
v2 v02 2a( x x0 )
5
0 t
(3)匀变速圆周运动：
a
x2
y2
(d
bc2
b)2 sin3
y 0
9
例题3、细杆OL绕O以匀角速率ω转动,并推动小环C在
固图定),求的小钢环丝的A速B上度滑v动和, O加点速与度钢a丝. 间的垂直距离为d (如
L
解:这是一维问题
A o x B
x d tan
d
v
xi
d cos2
i
d2
d
x
2
i
o
C
x
ar
vr&
r &x&i
t) j
dt
质点的加速度：a加
2(a Rcos
dv dt t )i
XHY---周培源大学生力学竞赛辅导( 动力学基础)
t2 d (mv ) F mv2 mv1 F d t I 质点 t1 dt (e) d 质点系 ( m i vi ) F i dt dp x (e) Fx ( e ) p p I 2x 1x x dt dp y (e) (e) p p I Fy 2y 1y y dt (e) p2 z p1z Iz dpz (e) Fz dt
A l
O
l
C l B
F
已 知 ： OA=l ， AB=2l ， FAB 。 求 从0--90时， O 力F的功。
y
A
l
l
C
x
l B
F
• 解1：建立坐标系如图。
根据功的解析表达式，有
2 1 2 1
Fx F sin xB 3l cos dxB 3l sin d F F cos y B l sin dy B l cos d y
0
C2
• 平面运动刚体上力系的功
W12 M C d FR' d rC
1
C1
2
质点系的动能
质点系的动能
a. 平动刚体的动能
1 2 T mi vi i 2
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
则rC = 常矢量；(质心位置守恒)
动量矩定理
• 动量矩 L O
M
i 1
n
O
(mi vi )
Lz M z (mi vi )
i 1
n
LO rC mvC LC
(优选)大学物理竞赛辅导力学.
质点运动学
1、描述质点运动的 基本量：
1)位置矢量 r xi yj zk
r x2 2)位移 3)速度
4)加速度
y2 z2
v
r dr
dt
a
dv
dt
cos x , cos y , cos z
r rrຫໍສະໝຸດ i yj zkvxv
i v
v
yj
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn
m1 m2 mi mn
n mi ri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
i
上式可写为
m' drc
n
dt i1
1m'rc
mi
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0
则
mivi 常矢量
i 1
i
n
如 Fix 0 i 1
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
求：v,
a
以及 轨迹方程 等。
解法：求导
若已知
r
r (t)
则
v
dr
dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
若已知 s s( t )
大学物理竞赛力学辅导2016
E p (x)
Ep
(x)
1 2
kx2
AE
B
Ek
Ep
Ep(h) mgh
Ep
o H H
重力势能
h
Ep
o
x
弹性势能
E
o Ek
Ek0
x
Ep
Ep
(r)
G
Mm r
引力势能
势能曲线的作用：
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
若：a0 a0 a0
r ，即：相对运动趋势向前， r ，即：相对运动趋势向后， r，即：无相对运动趋势，
f0 向后。
f
' 0
向前。
f0 0
2h
r 2h
r 2h
r
1 1 1
刚体平面平行运动的求解:
（1）求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，
RB
RB
A R A RG vC
G
车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系
xR
则
vc R
总结
关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。
F F ma0 a0 m
Fh I Fh
I
此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过O’ 点为瞬心轴转动。
a rβ
(9).转动惯量
N
J (ri2mi ) J
r 2dm
dmdl dmdS
i 1
dmdV
刚体的平面平行运动
一、刚体的平面平行运动
大学生物理竞赛辅导
T1
T2
mg
m1g
m2g
a1 a2 R
J 1 mR 2 2
2019/11/12
2
a m1 m2 g m1 m2 m 2
T1
2m2 m1 m2
m 2
m2
m1g
m1 m2 g
m1 m2 m 2 R
T2
2m1 m1 m2
m 2
m2
ax ay
ax ay
a
a
az az
F
ma
ma
F
25
二、爱因斯坦的基本假设
①相对性原理：所有惯性系都是等价的，所 有物理规律在惯性系中都是一样的。
②光速不变原理：在所有惯性系中测量到的 真空中的光速都是一样的。
第一条假设推广了力学的相对性原理，否定了“绝对参照 系”的存在。
第二条假设与实验事实相符，与伽利略变换不相容，表明 要用新的变换代替。
2019/11/12
26
三、洛伦兹变换（坐标变换）
Y K系
Y K 系
x
x ut
1
u2 c2
y
y
z z
t
t
ux
c2
1
u2 c2
x
x ut
dL ;
dL L(t dt) L(t) Mdt
dt
判断进动方向的方法：
1、进动方向与M的方向一致。
2. M Ω L
大学物理竞赛辅导-力学
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m 1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m 2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α.21,,a a α1a .2a 1a 1m 2mα1a .2a 1a 1m 2m 解：画隔离体图，受力分析α1a 1m TT1a .2a 2m T例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为l 2的匀质细杆AB 开始时绕着C 点旋转,C 点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B 端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同,试求μ的取值范围.Rl lABC 解:设初始时细杆的旋转角速度为0ω,转过θ角后角速度为ω.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为1J 和2J 开始时第一个圆盘以10ω的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10ω1r 2r解：受力分析：1r 2r 10ω1N gm 1ffgm 22N 1o 2o 无竖直方向上的运动g m f N 11+=gm f N 22=+以O 1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122r r g m N M +-=0)(21≠+-=r r f例9: 质量为2m,半径为R 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m 和2m 的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为μ,问μ为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解: 受力分析:mg1T mg22T m 2m2T 1Tββθ。
大学生物理竞赛1(力学)汇总
三、质心运动定律
质点系的动量为 P
P
N
pi
N
midri
N
d
i 1
mi ri
i 1
i1 dt
dt
d(mrc ) m drc
dt
dt
p mvc
N
rc
mi ri
i 1
m
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
p mvc
mvc
vc
rcw A
l 2
w
A
vc rc P
LB
1 24
m l2w0
LB IBwB
1 wB 8 w0
反向转了
Lc
③ 再次插入O孔前后
LO IOwB
w0
wB
1 8
w0
Lo Iowo
逆时针转
m,l
A
O
B
最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转角速度的大小
w0
1 8
w0
角速度的方向：垂直纸面向外。
物理竞赛辅导 力 学 (Ⅰ)
参考资料
1. 教材 2. 大学物理学 (5册) 张三慧主编
清华大学出版社 3. 历年考题
参赛组: 非物理类A 组
补充知 识 质心
质心 ( Center of Mass)
一、质心的位置
对于N个粒子组成的系统，定义系
统的质量中心，其位矢
NN
rc
mi ri
i 1 N
mi ri
NDt ·3R = I2 w2
②
I2
1 2
m2 R2
m2 (3R)2
19 2
m2 R2
物理竞赛--力学 1
vr er
横向速度 径向速度
v r vr r
a
(r
r 2
)e r
(r
2r)e
横向加速度 a r 2r
径向加速度 ar r r 2 8
力学复习
⑤平面直角坐标,自然坐标,极坐标的联系:
直角坐标系
x
力学复习
第一部分：质点运动学
一、位 位速基矢 移度本： ：：概念v(rr(四t)个rr(基dt()tr本物rt(理)t )量r()t )
加速度：a(t )
dvdt dt
v(t )
ddt2r2
r(t )
(1)在直角坐标系中的描述
位置矢量：
r
xi
yj
zk
大小:r r
x2 y2 z2 方向:用方向余弦表示. 1
力学复习
x x(t)
运动方程： y y(t)
轨道方程:z f ( x, y)
位移：r
z z(t ) xi yj
zk
大小: r x2 y2 z2
一般: r r
速度：v
dr dt
vxi vy j vzk
vx
dx ; dt
vy
dy ; dt
vz
dz dt
速率：v
vx2
v
2 y
vz2
2
力学复习
加速度：a
dv dt
ax
dv x dt
d2x dt 2
;
d 2r dt 2
物理奥赛培训讲义 力学
A
O R
θ
Q
2
物理奥赛辅导讲义
2、下面 3 个小题中，摩擦力均被略去。（1）竖直平面内有一固定的直角三角形细管道 ABC，直角边 AB 竖直向下，直角边 BC 水平
朝右。如图 l 所示，取两个小球，同时从 A 端静止释放，球 1 沿 AB 下滑，到达 B 处后速度大小不变，方向自动地改变为沿 BC 朝
物理奥赛辅导讲义
力学
一、大纲要求
1、运动学：参考系 坐标系 直角坐标系 ※平面极坐标 ※自然坐标系 矢量和标量 质点运动的位移和路程 速度 加速度 匀速及匀变速直线运动及其图像 运动的合成与分解 抛体运动 圆周运动 圆周运动中的切向加速度和法向加速度 曲率半径 角速度和※角加速度 相对运动 伽里略速度变换 2、动力学：重力 弹性力 摩擦力 惯性参考系 牛顿第一、二、三运动定律 胡克定律 万有引力定律 均匀球壳对壳内和壳 外质点的引力公式（不要求导出） ※非惯性参考系 ※平动加速参考系中的惯性力 ※匀速转动参考系惯性离心力 视重 ☆科 里奥利力 3、物体的平衡：共点力作用下物体的平衡 力矩 刚体的平衡条件 ☆虚功原理 4、动量：冲量 动量 质点与质点组的动量定理 动量守恒定律 ※质心 ※质心运动定理 ※质心参考系 反冲运动 ※变质 量体系的运动 5、机械能：功和功率 动能和动能定理 ※质心动能定理 重力势能 引力势能 质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不 要求导出） 弹簧的弹性势能 功能原理 机械能守恒定律 碰撞 弹性碰撞与非弹性碰撞 恢复系数 6、※角动量：冲量矩 角动量 质点和质点组的角动量定理和转动定理 角动量守恒定律 7、有心运动：在万有引力和库仑力作用下物体的运动 开普勒定律 行星和人造天体的圆轨道和椭圆轨道运动 8、※刚体：刚体的平动 刚体的定轴转动 刚体绕轴的转动惯量 平行轴定理 正交轴定理 刚体定轴转动的角动量定理 刚体 的平面平行运动 9、流体力学：静止流体中的压强 浮力 ☆连续性方程 ☆伯努利方程 10、振动：简谐振动 振幅 频率和周期 相位 振动的图像 参考圆 简谐振动的速度 （线性）恢复力 由动力学方程确定简 谐振动的频率 简谐振动的能量 同方向同频率简谐振动的合成 阻尼振动：受迫振动和共振（定性了解） 11、波动：横波和纵波 波长 频率和波速的关系 波的图像 ※平面简谐波的表示式 波的干涉 波的衍射(定性) ※驻波 声 波 声音的响度、音调和音品 声音的共鸣、乐音和噪声（前 3 项均不要求定量计算） ※多普勒效应
大学物理竞赛辅导 力学部分
三、与碰撞1类似，2与1碰撞后，将完全交 换速度。因此2将静止，1将以速度 1 v0
继续运动。
5
例2，平直铁轨上停着一节质量为 M 20m 的车厢，车厢与铁轨之间摩擦可略。有若 干名学生列队前行，教员押后，每名学生 的质量统为 m。当学生与教员发现前面的 车厢时，都以相同的速度 v0 跑步，每名 学生在接近车厢时又以速度 2v0跑着上车坐下， 教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车。 据此可知，学生人数为多少？全过程中由教员、 学生和车厢构成的体统，其能量损失量为？
1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( L ) Mv J 5 x L n L 0 v = 0 L 2 2 2 n 4 J Mx 2 ; x L x
所以，速度大小
v v 2 v 2 n v 5 tan vn 5
O
x
采用平行轴定理计算各自的转动惯量：
I d Ic md 2
大圆,小圆，剩余部分过O的转动惯 量I0，I1，I2；则
I1 I 2 I 0
1 2 I mR 0 2 2 1 I m R m1 R 1 1 2 2 2 13 I 2 mR 2 32
2 1 2 Ek 0 20 m 2v0 2Mv0 2 碰撞以后，体系总动能：
1 2 2 Ek 20m M v0 Mv0 2
因此，能量损失量为：
2 Ek Mv0
例3、 一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落在 桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。
周聪华
物理竞赛辅导力学讲座
2vr2
（11）
重要结论：二体系统在C系中的动能，等于一个等价质点的动 能——该质点质量为折合质量，速率为二体相对速度v r 。
(11)在二体问题中应用甚广。
将（11）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：
E k,L 系 E C E k,C 系 ＝ m 1 2 m 2v C 22v r 2（12）
v1=0 m
2m
v2 球1停止时
2m m
两球碰撞
解
从题图开始到绳长为R所经过的时间为
t1
R 3 2v0
R 6v0
（7）
v1=0 m
从绳长为R到2R的过程中两球走过路程为
2m
R R2R，设这过程结束时时刻为t2，它满足
33
v2
t1t2v2dtt1t2v1dt32 R （8）
惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解
非惯性系问题
质量为m的物体在非惯性 系中受到的惯性力
Fi ma0
非惯性系相 对惯性系的
加速度
非惯性系中牛顿运动定律写成：
二体问题
两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又 分为束缚问题与散射问题两大类。这里先介绍二体散射问题， 包括碰撞、合并和分裂问题。
在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。
弹性碰撞
非弹性碰撞 ——合并
非弹性碰撞 ——分裂
处理这类问题的思路如下：
1.在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不 外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬间碰撞后合并。在所考 虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用也可忽 略，因而系统动量守恒。即系统质心的速度、动量和动能 守恒；
大学物理竞赛指导 力学选例
大学物理竞赛指导-力学选例一．质点运动学基本内容：位置矢量，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动1.运动学中的两类问题★(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。
这类问题主要是利用求导数的方法。
例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P ，另一艘船以速率v 自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为：()()ααcos :cos v v ++u u设航路均为直线，α为两直线的夹角。
证：设任一时刻船与码头的距离为x 、y ，两船的距离为l ，则有αcos 2222xy y x l -+=对ｔ求导，得()()txyt y x t y y t x x t l ld d cos 2d d cos 2d d 2d d 2d d 2αα--+= 将v , =-=tyu t x d d d d 代入上式，并应用0d d =t l 作为求极值的条件，则得 ααcos cos 0yu x y ux +-+-=v v()()ααcos cos u y u x +++-=v v由此可求得 ααcos cos v v ++=u u y x 即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为()()ααcos cos v : v ++u u★(2)已知质点加速度函数a ＝a (x ，v ，t )以及初始条件，建立质点的运动方程。
这类问题主要用积分方法。
例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a 0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为2a 0，经过时间2τ后，加速度为3 a 0 ,…求经过时间n τ后，该质点的速度和走过的距离。
解：设质点的加速度为 a = a 0+α t ∵ t = τ 时， a =2 a 0 ∴ α = a 0 /τ即 a = a 0+ a 0 t /τ ， 由 a = d v /d t ， 得 d v = a d tt t a atd )/(d 000τ⎰⎰+=vv∴ 2002t a t a τ+=v由v = d s /d t ， d s = v d t t t a t a t s ttsd )2(d d 2000τ+==⎰⎰⎰v302062t a t a s τ+=t = n τ 时，质点的速度 ττ0)2(21a n n n +=v 质点走过的距离202)3(61ττa n n s n +=2.相对运动例3 有一宽为l 的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u 0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度为0v的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．解：以出发点为坐标原点，向东取为x 轴，向北取为y 轴，因流速为-y 方向，由题意可得 u x = 0u y = a (x -l /2)2＋b令 x = 0, x = l 处 u y = 0, x = l /2处 u y ＝－u 0，代入上式定出a ＝4u 0/l 2、ｂ＝－u 0，而得 ()x x l l uu y --=204船相对于岸的速度v(v x ，v y )明显可知是 2/0v v =xy y u +=)2/(0v v ，将上二式的第一式进行积分，有 t x 20v =还有，xy t x x y t y y d d 2d d d d d d 0v v ====()x x l l u --20042v 即()x x l l u x y--=020241d d v 因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：32020032422x l u x l u x y v v +-=到达东岸的地点(x '，y ' )为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=='='=003231v , u l y y l x l x 二．质点动力学1.牛顿运动定律基本内容：牛顿运动三定律，惯性力(1)运用微积分处理力学问题：根据力函数的形式选择运动定律的形式；正确地分离变量例4 如例4图，光滑水平面上固定一半径为r 的薄圆筒，质量为m 的物体在筒内以初速率v 0沿筒的内壁逆时针方向运动，物体与筒内壁接触处的摩擦系数为μ。
物理竞赛辅导力学
物理竞赛辅导力学力学1直线运动题型讲解：基准1：例如图1右图，地面上加一紧固的球面，球面的斜上方p处为一质点.现要确认一条从p至球面扁平斜面轨道，并使质点从恒定已经开始沿轨道转弯至球面上所经时间最长.解析：此题求解关键是：根据点从竖直圆的顶点开始，沿圆内任一弦下滑，经历的时间都相等这一结论，找到一个顶点是p且与固定球面切线的球面m，这样质点从p点与两球切点连线的弦上大幅下滑所经历的时间就最长.(质点沿其他弦大幅下滑时，经历的时间除沿弦大幅下滑的时间外，还要再加之从球面m至紧固球面的一段时间).先证明这样一个问题：设地面附近有一空心球，顶点p上有众多的光滑斜直轨道与球面上其他点相连，试证明质点从p点自静止出发经任一轨道再到达球面所需时间相同.证明：如图2所示，取任一与水平线夹角为φ的轨道pq，其长为l=2rsinφ此处r为球半径.质点沿pq轨道大幅下滑的加速度为gsinφ，因此从p至q所需时间为t==2.图2该t与轨道参量φ无关，故任一轨道对应时间相同.根据上述结论，本题只要以p点为顶点并作一球面，并使其与题中紧固球面切线，从p点至切点q的扁平横的直轨道为所求.下面得出的就是过p且与紧固球面切线的球面的作法：图3：所示，原球面球心记为o，半径记为r.设o、p所在竖直平面即为图示的纸平面，在该竖直面上过p点作一条竖直线ab，且使pa长等于r.连结o、a两点，作直线段oa的中垂线，此中垂线与ab的交点o′即为待作新球面的球心，o′到p点的距离取为新球面的半径r′.这样作出的新球面o′与原球面o相切于q点，p到q的光滑斜直线轨道即为所求.基准2：老鼠返回洞穴沿直线行进，它的速度与至洞穴的距离成反比，当它前进至距洞穴距离为d1的甲处时速度就是v1则它前进至距洞穴距离为d2的乙处时的速度就是.从甲至乙用回去的时间就是.图3解析：由于老鼠的运动速度与至洞穴的距离成反比，故可以通过画-d图象，把反比例图象转化成线性图象，进而求出时间.本题也可以直接应用数学积分知识进行求解.设立老鼠返回洞穴的距离为d，运动的速度为v，则v=，k为反比例常数.根据题意d=d1时，v=v1，则k=d1v1.故d=d2时，v=v2满足用户v2==v1.为求老鼠从甲到乙用用时间，根据分析提出的求解思路如下：(1)图象法.创建图4，右图的-d图象，则图象上任一大的面积(图中阴图4影部分)其物理意义就是老鼠在经历任一长的距离△d时用回去的时间，因为这任意短的距离中，老鼠的速成度可视为不变，则△t==△d，这正是图象阴影面积中的短和阔的乘积.这样图象与d轴围困象与d轴围困的面积可以视作由无数个图中阴影面积所共同组成，也就是说，图在从d1至d2图象与d轴围困的梯形面积就是所求的老鼠Weinreb的时间。
物理竞赛辅导_力学解题步骤PPT
F
P
0 • 【训练９】如图，某商场内电梯与水平面成 37，当 训练９ 训练 电梯匀加速向上运动时，人对电梯的压力是其体重 的 5 倍，则人对梯面的摩擦力是其重力的多少倍？
4
FN − mg = ma sin 37
0
a
37 0
Ff = ma cos 37 0
1 0 mg = ma sin 37 4
1 1 0 ∴ Ff = mg cot 37 = mg 4 3
１．研究对象的选取： 隔离法与整体法
• 当多个物体的加速度不相同时用隔离法！ • 当涉及两个物体之间作用力时用隔离法！ • 不涉及物体之间作用力和加速度相同时也 能用隔离法！ • 若能用整体法解决问题的，隔离法也能解 决．只是步骤多了一些而已！
• 【例１】如图，在光滑水平面上，有质量为Ｍ，长 例 度为Ｌ的木板．在木板上有一个质量为m的物体， 与木板之间的动摩擦因数为µ．今用一水平力Ｆ将 物体从长木板的左端拉到右端，物体的速度多大？
FA
A B
FB
• 【训练２】如图，已知 mA = 1kg ， mB = 2kg ，ＡＢ 训练２ 训练 之间的最大静摩擦力是5N，水平面光滑．用水平力 Ｆ拉Ｂ，当Ｂ的拉力大小分别为10N和20N时，Ａ Ｂ的加速度各多大？ F = (m + m )a
mA + mB ∴ F0 = f m = 15N mA
y
FT
m
x
60
0
FT sin 600 − mg sin 300 = ma
a
FT cos 60 − mg cos 30 = 0
0 0
∴ FT = 3mg
300
mg
a=g
• 【训练８】如图，位于光滑斜面上的物体Ｐ，受到 训练８ 训练 水平向右的恒定推力Ｆ作用，物体沿斜面加速下 滑．现保持Ｆ的方向不变而使其减小，则加速度： （ ） • Ａ．一定变小； • Ｂ．一定变大； • Ｃ．一定不变； • Ｄ．可能变小，可能不变，也可能变大．
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v v v
AC
AB
BC
aAC aAB aBC
2.质点运动的几种典型形式
1) 匀变速直线运动
x
x0
v0t
1 2
at2
v v0 at v2 v02 ＋ 2a(x - x0 )
2) 抛体运动 运动方程
x
v0
cos
t
y
v0
sin
t
-
1 2
gt
2
3) 匀变速圆周运动
0
＋
w0t
1 2
t 2
w＝w0 t
(t2
t1
Fi )dt 0
n
(2) 若 Fi 0 或 ΣF外«F内，则系统无论沿那个方向的动量都守恒； i 1
n
若 Fi 0，但若某一方向的合外力零，或该方向 ΣF外«F内
i 1
则该方向上动量守恒；
(3)系统内各量必须是同一时刻，对同一惯性系的物理量 ；
(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 而运用动量守恒。
4）质心
几种系统的质心
▲ 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
m1 r1 = m2 r2
▲
连续体 z
dm
r
×C
rC
r dm
m
rc m
xC
xdm m
0
x
y
……
▲均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
▲ “小线度”物体的质心和重心是重合的。
F外
dP dt
d dt
(mv C
)
m
i 1
i 1
上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统
in=1 =F质内 心0的速度乘in1 以ddP系ti 统i的n1 质Fi外量。
即F外
m‘
dvC dt
m’aC
上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量 乘以系统质心的加速度。
(2)a( x) dvx
dt
dv
(3)a(v x )
x
dt
dv
vx
x
dx
分离变量
例：一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0， 以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
a
a0
a0
t
a dv dv adt dt
v
0tadt
t( 0
a0
a0
t
)dt
v
a0t
a0
2
t2
v dx dx vdt dt
x
0tvdt
t( 0
a0t
a0
2
t2
)dt
x
a 0
t2
a 0
t3
2 6
例，一足球运动员在正对球门前25m处，以20m/s的初 速度罚任意球。已知门高3.44m，若要在垂直于球门 的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面 成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）
dt
a
dv
dt
d 2r dt 2
若已知 s s( t )
则
v
ds dt
0
v0 ,
a
dv dt
0
v2
n0
2） 已知：a 及初值条件
解法：积分
求:
v
及
r (t)
(1)a(t ) dv dt
v
v0
t
t0
a(
t
)dt
v(t ) dr dt
r-
r 0
t
t0
v(t
)dt
一维直线运动 (直线运动中可用标量代替矢量）
rc
m1r1 m2r2 miri mnrn m1 m2 mi mn
n miri
i 1 n
mi
n
i 1
若取 m' mi 为质点系内各质点的质量总和
上式可写为 i1m'rc n miri 此式对时间求导为：
m'
drc dt
n i 1
mi
dri dt
i1 即m'vc n mivi n pi
质点(系)动力学
1、牛顿三定律 适用于低速宏观惯性系
2、力的瞬时效应
F
ma
m
dv
m
d
2
r
dt 1）质点的角动量（固定点） L
dt 2
r
mv
合外力对固定点的力矩
M
r
F
2）质点（系）的角定律
若 M 0 ，则
L
r
mv
常
矢
量
同一问题中的力矩和角动量都是对于惯性系中的 同一固定点。
vz2
a
ax2
a
2 y
az2
在自然坐标系的表述:
(1) 位置
r r(s) P点起轨迹的弧长S ——弧坐标
（2） 速度
v
ds dt
0
v0 ,
(3) 加速度
a
dv
dt 0
v2
n0
矢量性： 瞬时性： 相对性：
a
a2
a2 n
dv
2
v2
2
dt
叠加性：
二、相对运动
r r r
AC
AB
BC
-
n i1
miv i1
3）质点系的动量守恒定律（惯性系）
n
如 Fi 0 i 1 n
如 Fix 0 i 1
则
mivi 常矢量
i
则
mivi x 常量
i
注意：
1、动量守恒定律
只适用于惯性系。定律中的速度应 是对同一惯性系
的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
质点（系）动力学 3、力的时间积累效应
1）冲量：
I
t
2
Fdt
t1
动量： P＝mv
2）质点的动量定理 平均冲力概念
I
t2 t1
Fdt
mv2
-
mv1
F
1
t2
Fdt
mv2
- mv1
t2 - t1 t1
t2 - t1
质点系的动量定理
t2
t1
n i1
Fi外
dt
n i1
mivi2
dvC dt
有
F外 maC
— 质心运动定理
质心的运动如同一个在质心位置处的质点的
运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受
的外力。 在质点力学中所谓“物体”的运动，
实际上是物体质心的运动。
思考
·C 纸 × 拉力
球往哪边 移动？
质心 质心运动定理
一 质心
有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定
竞赛内容
质点运动学
1、描述质点运动的基本量：
1)位置矢量
r
xi
yj
zk
r x2 2)位移
y2
z2
r
cos
xi
x , cos y , cos
r r yj zk
z r
3)速度 4)加速度
v dr dt
a dv dt
vxi vy j vzk
v
v
vx2
vy2
axi ay j azk
4) 线量和角量关系
ds Rd
an
v2 R
Rw 2
w 2w02 ＋ 2 ( - 0 )
v ds R d Rw
dt dt
a
dv dt
R dw
dt
R
v w r
3、运动学中的两类问题(按求解时所用数学方法的不同）：
1） 已知：质点的运动学方程
求：v, a 以及 轨迹方程 等。 解法：求导
若已知 r r(t) 则 v dr
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）—— —近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 定律更普遍的最基本的定律
n
(1) 守恒条件是 Fi 0 而不是 i 1