第5.1节 单因素方差分析

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单因素方差分析(one-wayANOVA)

单因素方差分析(one-wayANOVA)

单因素方差分析(one-wayANOVA)单因素⽅差分析(one-wayANOVA)单因素⽅差分析(⽅)单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。

这⽅,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为单因素⽅差分析。

例如,分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响,考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率,研究学历对⽅资收⽅的影响等。

这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。

(⽅)单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。

例如,上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅;控制变量分别为施肥量、地区、学历。

第⽅步是剖析观测变量的⽅差。

⽅差分析认为:观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。

据此,单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分,⽅数学形式表述为:SST=SSA+SSE。

第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例,推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

(三)单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中,如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅,则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的,可以主要由控制变量来解释,控制变量给观测变量带来了显著影响;反之,如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅,则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的,不可以主要由控制变量来解释,控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响,观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

(四)单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设:H0——⽅差异;H1——有显著差异2、选择检验统计量:⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量,即F值检验。

3、计算检验统计量的观测值和概率P值:该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

4、给定显著性⽅平,并作出决策(五)单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后,可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论,接下来还应做其他⽅个重要分析,主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。

SPSS单因素和多因素方差分析法资料

SPSS单因素和多因素方差分析法资料

4.各组均值的精细比较 多重比较检验只能分析两两均值之间的差异性,但是 有些时候需要比较多个均值之间的差异性。具体操作 是将其转化为研究这两组总的均值是否存在显著差异 。这种比较是对各均值的某一线性组合结构进行判断 ,即上述检验可以等价改写为对进行统计推断。这种 事先指定均值的线性组合,再对该线性组合进行检验 的分析方法就是各组均值的精细比较。显然,可以根 据实际问题,提出若干种检验问题。
5.1.3 方差分析的基本假设
(1)各样本的独立性。即各组观察数据,是从相互 独立的总体中抽取的。 (2)要求所有观察值都是从正态总体中抽取,且方 差相等。在实际应用中能够严格满足这些假定条件的 客观现象是很少的,在社会经济现象中更是如此。但 一般应近似地符合上述要求。 水平之间的方差(也称为组间方差)与水平内部的方 差(也称组内方差)之间的比值是一个服从F分布的 统计量 F = 水平间方差 / 水平内方差 = 组间方差 / 组内 方差
置信区间;
3. 实例结果及分析
(1)描述性统计量表SPSS的结果报告中首先输出了描述性统计量,如表56所示。首先,中等规模的资本股票基金的平均费用比率(1.440)最低, 而专项股票基金的平均费用比率(2.000)最高,但各类型基金的平均值差 距不大。其次,从标准差大小来看,中等规模的资本股票基金(0.3806) 最低,而混合型股票基金(0.7379)最高。最后,表5-6还列出了各种类型 基金的最大值、最小值及95%水平的置信区间。
Step05:单击【Post Hoc】按钮,弹出【Post Hoc(两两比较) 】对话框。由于这里已计划好对这4组均值进行两两比较,则 在其对话框中勾选【LSD】复选框。单击【Continue】按钮, 返回主对话框。
LSD(最小显著差异法):用

第5章方差分析

第5章方差分析

5.1.4 方差分析中的基本假定
(基本前提:独立、同分布、同方差)
一、因素中的k个水平相当于r个正态总体。 每个水平下的n个观察数据(试验结果)相当 于从正态总体中抽取的容量为n的随机样本。 (同分布) 二、r个正态总体的方差是相同。 即:σ12=σ22…….=σr2=σ2 (同方差) 三、从不同的正态总体中抽取的各个随机样 本是相互独立的。(独立)
SSE
j1 i1
r
nj
xijxj
(续前)
方差分析的优点之二:增加了稳定性 由于方差分析将所有的样本资料结合在一起, 故而增加了分析结论的稳定性。 例如:30个样本,每一个样本中包括10个观 察单位(n=10)。如果采用t检验法,则在两 两检验中,一次只能研究2个样本和20个观察 单位,而在方差分析中,则可以把30个样本 和300个样本观察单位同时放在一起、结合进 行研究。 所以,方差分析是一种实用、有效的分析方 法。
r
2

j1 i r
xij xj 2 x
j1 i1 2 r
nj
ij
xj
x
2
j
x
j1 i1

r
nj
x j x
2

j1 i1
nj
xij xj xj x SSE SSA
nj
j1 i1
2、随机误差项离差平方和(SSE)的计算 SSE反映的是水平内部或组内观察值的离散状 况。它实质上反映了除所考察因素以外的其 他随机因素的影响,反映样本数据( x i j ) 与水平均值 ( x j )之间的差异,故而称之 为随机误差项离差平方和或组内误差。计算 公式如下:

单因素方差分析

单因素方差分析
单因素方差分析
•1 问题的提出 某灯泡厂用四种不同的配料方案制成的灯丝, 生产了四批灯泡.在每批灯泡中随机抽取若干 灯泡测得其使用寿命(单位:小时) 数据如表1所示 :
灯丝类别 甲 乙 丙
表1 灯泡的使用寿命 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800
1580 1640 1640 1700 1750 1460 1550 1600 1640 1660 1740 1620 1820
由于 ( X i 1 , X i 2 , , X in ) 是来自总体
i
X
i
~ N ( i ,
2
)
的样本,故
1

2
X
j 1
ni
ij
X
i

2
~ ( n i 1)
2
( i 1, 2 , , r )

2
分布的可加性可以得到,
Se

2
2 2 ~ ( n i 1) ( n r ) i 1
其中εij 相互独立.
单因素方差分析的主要任务 检验
H 0 : 1 2 r H 1 : 1 , 2 , , r
不全相等.
或等价地检验检验
H 0 : 1 2 r 0 H 1 : 1 , 2 , , r
不全为零.
ST
r

i 1 jj x )
2
2


i 1 j 1
r
( xi x )
ni

i 1 j 1
2
r
ni
( x ij x i )
2

单因素试验方差分析(试验数据处理)

单因素试验方差分析(试验数据处理)

SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异,它是由因子A 取不同水平引起的,所以, 称SA是因子A的效应(组间)平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间(以毫秒计). 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.(从哪些值来看是否有影响呢?)
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大,所以引入一种离 差平方和的简单算法:

Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
(组内平均值)
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样,

单因素试验的方差分析

单因素试验的方差分析

其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和(系
如果H0 成立,则SSA 较小。 统离差平方和)
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得:
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
(,称记作均S S 方A 和d f)A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪,得一个月后每猪 所增体重(单位:500g)于下表,试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解:T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列,并存 到A,B,C 列;
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列

第五章方差分析

第五章方差分析

5.1.3方差分析的原理
方差分析认为,如果控制变量的不同水平对观测变量产生了显著影 响,那么它和随机变量共同作用必然使得观测变量值显著变动;反之, 如果控制变量的不同水平没有对观测变量产生显著影响,那么观测变量 值的变动就不明显,其变动可以归结为随机变量影响造成的。 建立在观测变量各总体服从正态分布和同方差的假设之上,方差 分析的问题就转化为在控制变量不同水平上的观测变量均值是否存在显 著差异的推断问题了。 综上所述,方差分析从对观测变量的方差分解入手,通过推断控 制变量各水平下各观测变量的均值是否存在显著差异,分析控制变量是 否给观测变量带来了显著影响,进而再对控制变量各个水平对观测变量 影响的程度进行剖析。 根据控制变量的个数可将方差分析分为单因素方差分析、多因素 方差分析;根据观测变量的个数可将方差分析分为一元方差分析(单因 变量方差分析)和多元方差分析(多因变量方差分析)。
从左侧的变量列表中选择观测变量“胰岛质量”到 Dependent List框中,选择控制变量“药物组”到 Factor框中。
10
选择各组间两两比较的方法,单击“One-Way ANOVA”对 话框下方的“Post Hoc…”按钮,出现上图对话框,在Equal Variances Assumed复选框中选择“LSD”。
协变量“原工资”的相伴概率Sig为0.000,即 协变量对青年教师现工资的影响显著;“教师 级别”的相伴概率为0.997,大于0.05,即对青 年教师的工资影响不显著;“政策实施”的相 伴概率0.029,小于0.05,对青年教师工资影响 显著;两因素的交互作用的相伴概率为0.551, 大于0.05,即交互作用没有对结果造成显著影 响。
5.4.2 协方差分析的基本步骤 • 提出原假设:协变量对观测变量的线性影响是不显著的 ;在扣除协变量的影响条件下,控制变量各水平下观测 变量的各总体均值无显著差异。 • 计算检验统计量和概率P值 给定显著性水平与p值做比较:如果p值小于显著性水平 ,则应该拒绝原假设,反之就不能拒绝原假设。

方差分析单因素

方差分析单因素

1.引例
例1 假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分 2 布,并且原料差异只影响平均寿命,不影响方差 。 现用三种不同来源的材料 各试生产了一批电子管。 从每批中各抽取若干只做寿命实验,得数据如下表。
材料批号 1 2 3 寿命测定值(单位:小时) 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1800 1580 1640 1640 1700 1750
进行6次比较,其犯I类错误的概率是多少呢?不是 6,而是 1-(1- )6。也就是说,如果检验水准取0.05,那么连续进行 6次t 检验,犯I类错误的概率将上升为0.2649!这是一个令人 震惊的数字!
结论:多个均数比较不宜采用 t 检验作两两比较;而应该采
用方差分析!
R.A.Fisher 提出的方差分析的理论基础: 将总变异分解为由研究因素所造成的部分和由抽样误差 所造成的部分,通过比较来自于不同部分的变异,借助F 分布作出统计推断。后人又将线性模型的思想引入方差
由 2分布的可加性,有 SE = 2
j 1 s 2 ( X X ) ij . j i 1 nj

2
~ 2 ( ( n j 1))
j 1
s


SE
2
~ 2 (n s)
2
(1.4)
ES E ( n s )
E[
2
SE
2
SE
~ 2 ( n s ) ,知:S E的自由度为n s, 并且有 ] n s ,即 SE E[ ]= 2 n s
1 j X n j 1
s
1 j X ij= n j X . j , n j 1 i 1
nj
其中n n j

方差分析

方差分析
X i ~ N (i , 2 ), i 1,2,3,4
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本: X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立,则 X ij相互独立, 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设:
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
(一)假设检验 • 构造(5.4)的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni


j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号: n ni(总次数)
i 1 r
1 r ni i n i 1
(理论总均值)
i i
(因素对指标的效应)

i 之间的差异等价于 i 之间的差异,

n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000

单因素方差分析(详细版) ppt课件

单因素方差分析(详细版)  ppt课件
异常值的处理方法分为2种: (1) 保留异常值: 1)采用非参数Kruskal-Wallis H检验; 2)用非最极端的值来代替极端异常值(如用第二大的值代替); 3)因变量转换成其他形式; 4)将异常值纳入分析,并坚信其对结果不会产生实质影响。 (2) 剔除异常值: 直接删除异常值很简单,但却是没有办法的办法。当我们需要删掉异常值时,应报告异常值大小及其对结果的影响,最好分别报告删除异常值前后的 结果。而且,应该考虑有异常值的个体是否符合研究的纳入标准。如pp果t课其件不属于合格的研究对象,应将其剔除,否则会影响结果的推论。 12
本例数据箱线图无圆点或星号,因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值,其箱线图 如右:
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法, 当然同样存在一些更为复杂的方法,这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种: (1) 数据录入错误:首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是,用正确值进行替换并重新进行检验; (2) 测量误差:如果不是由于数据录入错误,接下来考虑是否因为测量误差导致(如仪器故障或超过量程); (3) 真实的异常值:如果以上两种原因都不是,那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理,但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议,尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是,如果存在多个异常值,应先把最极端的异常值去掉后,重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后,其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件,输出结果。
9
根据如下输出的箱线图,判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值,以圆点表示;

单因素方差分析 PPT课件

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解:
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据,但存在 k个约束条件,即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11,X12,..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA

《方差分析单因素》PPT课件

《方差分析单因素》PPT课件

-0.541 -5.13
刘海燕
0.0001
Pr>F
0.0001
Std Error of Estimate 0.0759 0.1033 0.1054
^
Y 4.53 0.72Z1 0.54Z2
1 线性回归与方差分析的联系 2 是否还有其他因素产生相应影响,比如Gender?
刘海燕
Party Identification
(一)从t检验到方差分析 t检验与方差分析的比 较
t检验:比较两个子总体的样本平均值
方差分析(analysis of variances ANOVA ):比较多个子总体的样本平均值
刘海燕
例:贫困程度对青少年犯罪的影响
贫困程度分为严重、中度、轻度 T检验:3个t值
t1: 严重和中度 t2: 严重和轻度 t3: 中度和轻度
Party
1
2
Sum of Squares
85.382
Mean Square
42.691
F Value 25.55
1570.837 1.671
1656.218
Estimate 4.534
T for H0: Pr>|T| Paramete r=0
59.73 0.0001
-0.717 -6.94
0.0001
Error
939
1569.525 1.671
Total
942
1656.218
Source DF
Party
2
Type III SS Mean Square
84.256 42.1258
平均值之间的差异程度,其统计量T值的计算公式为: 2)如果要评断两组样本平均数之间的差异程度,

方差分析单因素模板PPT课件

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行业
第6页/共64页
1、从散点图上可以看出 *不同行业被投诉的次数是有明显差异的 *即使是在同一个行业,不同企业被投诉的次数也明显不同 *家电制造被投诉的次数较高,航空公司被 投诉的次数较低 2、行业与被投诉次数之间有一定的关系 *如果行业与被投诉次数之间没有关系,那么 它们被投诉的次数应该差不多相同,在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近
第7页/共64页
方差分析的思想
1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明 不
同行业被投诉的次数之间有显著差异 *这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著, 也就是进行方差分析 *所以叫方差分析,因为虽然我们感兴趣的是均值, 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 *这个名字也表示:它是通过对数据误差来源的分
j1 i1
s nj
( X ij X j)(X j X ) 2
j1 i1
s nj
( X ij X j)2(X j X ) 2 2( X ij X j()X j X )
j1 i1
s nj
s nj
( X ij X j)2
(X j X ) 2
j1 i1
j1 i1
第13页/共64页
【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影响,取一片土壤肥沃程度和水利灌溉 条件差不多的土地分成16块,肥料品种A1、A2、 A3、A4,每种肥料施在四块土 地上,得亩产:
水平: 品种
因素:肥料
指标:亩产
肥料品种
A1 A2 A3 A4
四种肥料的亩产量
亩产量(观察值) 981 964 917 669 607 693 506 358 791 642 810 705 901 703 792 883

单因素方差分析方法

单因素方差分析方法

单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上,求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。

总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出,总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度,反映了抽样随机误差的大小,组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度,而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度,反映系统的误差。

在此基础上,还可以得到组间均方差和组内均方差: 组间均方差2Bs∧=1B-a v组内均方差2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下,要检验n 个总体的均值是否相等,须首先给定原假设和备择假设。

原假设 H:均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1:均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验:F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a —1,分母自由度为ab-a 的F 分布。

给定显著性水平a ,如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --,α,则说明原假设H不成立,总体均值不完全相等,差异并非仅由随机因素引起。

下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。

例1:单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果,在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验,甲农田中使用甲化肥,在乙农田使用乙化肥,在丙地使用丙化肥,得到6次试验的结果如表2所示,试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。

表2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48 乙 49 50 47 47 46 49 丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异,等同于检验三者产量的均值是否相等:给定原假设H:三者产量均值相等;备择假设H 1:三者的产量均不相等,对于影响产量的因素仅化肥种类一项,因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验. ⑴新建工作表“例1”,分别单击B3:D8单元格,输入表2的产量数值。

单因素方差分析教学内容

单因素方差分析教学内容

Lower Bound Upper Bound
-6.3552
-2.8648
-2.9682
.5222
2.8648
6.3552
1.6418
5.1322
-.5222
2.9682
-5.1322
-1.6418
-6.7810
-2.4390
-3.3940
.9480
2.4390
6.7810
1.2160
5.5580
-.9480
-0.6 2.0 5.7 5.6 12.8 7.0 4.1 7.9
-1.8 4.3 -0.1 6.4
6.3 7.0 12.7 5.4 9.8 3.1 12.6
对照组
(i=3)
12.4 0.9 7.0 3.9 1.6 6.4 3.0 3.9 2.2 1.1
2.7 7.8 6.9 1.5 9.4 3.8 7.5 8.4 12.2 6.0
是一种唯一用于多个处理组和一个对照组 比较的方法。
SPSS提供的常用多重比较检验方法
SPSS统计分析-07选修
不满足方差齐性多重检验方法 1、Tambane’s T2:
基于t检验的保守的多重比较方法。
2、Dunnett’s T3: 基于学生化极大模的多重比较方法。
3、Games-Howell: 非参数多重比较方法。
LSD方法称为最小显著差别法。其特点是检验 敏感性高,即水平间的均值只要存在一定程度的 微小差异就可能被检验出来。但该方法没有控制 范第一类错误的概率。它检验的统计量为t统计量。
SPSS统计分析-07选修
SPSS提供的常用多重比较检验方法 2、 Bonferroni方法
Bonferroni方法与LSD方法基本相同。不同 的是它控制了范第一类错误的概率。在每次两两 组的检验中,它将显著水平除以两两检验的总次 数。

《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案

《应用数理统计》第五章方差分析课后作业参考答案

第五章 方差分析课后习题参考答案5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数:设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布,试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异?(01.0=α)解:(1)手工计算解答过程 提出原假设:()3,2,10:0==i H i μ记167.2081211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij T i iX n X S467.7011211211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij iA ii X n X n S7.137=-=A T e S S S当H成立时,()()()r n r F r n S r S F e A ----=,1~/1/本题中r=3经过计算,得方差分析表如下:查表得()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35,在95%的置信度下,拒绝原假设,认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。

(2)软件计算解答过程组建效应检验Dependent Var iable: 存活日数a70.429235.215 6.903.004137.73727 5.101208.16729方差来源菌型误差总和平方和自由度均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289)a.从上表可以看出,菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903,对应的检验概率p 值为0.004,小于0.05,拒绝原假设,认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。

5.2 现有某种型号的电池三批,他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的,为评论其质量,各随机抽取6只电池进行寿命试验,数据如下表所示:工厂 寿命(小时) 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙39 40 43 50 50试在显著水平0.05α=下,检验电池的平均寿命有无显著性差异?并求121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。

单因素方差分析与多因素方差分析

单因素方差分析与多因素方差分析

单因素方差分析与多因素方差分析在统计学中,方差分析是一种常用的统计方法,用于比较多个样本或组之间是否存在显著性差异。

它分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。

本文将对这两种分析方法进行详细讲解,并探讨其应用场景及步骤。

一、单因素方差分析单因素方差分析适用于只有一个自变量(或称因素)的情况。

它的目的是通过比较组间的差异,确定各组之间是否存在显著性差异。

以下是进行单因素方差分析的步骤:1. 设定假设:在进行方差分析之前,首先需要设定空假设和备择假设。

空假设(H0)通常假设各组的总体均值相等,备择假设(Ha)则假设至少有一组的总体均值与其他组不同。

2. 收集数据:收集与研究对象相关的数据,确保样本的选择具有代表性,并满足方差分析的基本要求。

3. 计算平方和:根据收集到的数据,计算总平方和(SST),组内平方和(SSW)和组间平方和(SSB)。

总平方和表示总体误差的方差,组内平方和表示各组内部误差的方差,组间平方和表示不同组之间的差异。

4. 计算均方:根据平方和计算均方,即总均方(MST),组内均方(MSW)和组间均方(MSB)。

均方是指平方和除以自由度。

5. 计算F值:通过计算方差比(F值)来检验组间差异的显著性。

F值越大,说明组间差异越显著。

6. 进行假设检验:基于计算的F值和设定的显著性水平,进行假设检验。

如果计算得到的F值大于临界值,则拒绝空假设,认为组间存在显著差异。

7. 进行事后比较:如果拒绝了空假设,需要进一步进行事后比较,确定具体哪些组之间存在显著差异。

一般常用的事后比较方法有Tukey、LSD等。

二、多因素方差分析多因素方差分析适用于有两个以上自变量的情况。

它能够同时考察多个自变量对因变量的影响,并进一步分析这些自变量之间的交互效应。

以下是进行多因素方差分析的步骤:1. 设定假设:与单因素方差分析一样,需要设定空假设和备择假设。

2. 收集数据:收集与研究对象相关的数据,确保样本的选择具有代表性,并满足方差分析的基本要求。

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58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
试验指标:射程 因素:推进器和燃料 水平:推进器有3个,燃料有4个 双因素试验 试验目的因素对火箭射程
0.257
0.253 0.255 0.254 0.261
0.258
0.264 0.259 0.267 0.262
假定除机器这一因素外,其他条件相同,属于 单因素试验.
试验目的:考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著差异.即考察机器这一因素对厚度有无 显著影响.
例2 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间(以毫秒计).
因 素—影响试验指标的条件.

可控因素
素 不可控因素
水 平—因素所处的状态. 单因素试验—在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验—在一项试验中有多个因素在改变.
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示.
表 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
表 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ
类型Ⅳ
19
20
16
18
22
21
15
22
20
33
18
19
18
27
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
水平:四种电路类型为因素的四个不同的水平
单因素试验
试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著影响.
例3 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验. 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得 射程如下(以海里计).
(2)不同水平Ai下的样本之间相互独立.
因为Xij~N(i , 2 ), 所以Xij i~N(0, 2 ). 记X ij i ij , 表示随机误差,那么X ij可写成
X ij i ij ,


ij~N
(0,

2
),
ij
相互独立,
j 1, 2, , ni , i 1, 2, , r,
i与 2均未知
上式就是单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题
1.检验假设 H0 : 1 2 r , H1 : 1, 2 , , r不全相等.
2.估计未知参数1, 2 , , r , 2 .
3、数学模型的等价形式
r
设n ni ,
i 1



1 n
r i 1
ni i
总平均
称为水平Ai 的效应,表示 水平Ai下的 总体均值与
总平均的差异.
i i ,
且 n11 n22
i 1, 2, , r
nrr 0.
原数学模型
X ij i ij ,


ij~N
(0,
2
),
ij
相互独立,
本章主要介绍单因素试验的方差分析, 两因素的方 差分析及试验设计的基本方法.
例如
机器设备 反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品 的质量
溶液浓度 操作水平
反应温度 压力
各个因素对化工产品质量的影响是否显著.
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标—试验中要考察的指标,如产品的性能.
设总体均值分别为1 , 2 , 3 .
检验假设 H0 : 1 2 3 , H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等, 但参数均未知.
问题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等. 解决方法——方差分析法--- 一种统计方法.
的有无显著影响
回顾例1
铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.238 0.248 0.245 0.243
0.257
0.253 0.255 0.254 0.261
0.258
0.264 0.259 0.267 0.262
问题分析:在每一个水平下进行独立试验,结果是一 个随机变量. 将数据看成是来自三个总体的样本值.
0.236
0.238 0.248 0.245 0.243
0.257
0.253 0.255 0.254 0.261
0.258
0.264 0.259 0.267 0.262
试验指标:薄板的厚度
因素:机器
水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平
表 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ
0.236
0.238 0.248 0.245 0.243
第五章 方差分析与试验设计
第5.1节 单因素方差分析 第5.2节 两因素方差分析 第5.3节 正交试验设计
第5.1节 单因素方差分析
一、数学模型 二、离差平方和分解与显著性检验 三、参数估计
一、数学模型
1、问题的引入 在生产实践和科学试验中, 经常需要处理试验数据,
我们经常发现, 试验条件的不同, 得到的试验结果不 同, 有时在相同的试验条件下, 也会得到不同的试验 结果. 那么, 自然要问, 试验结果之间的差异到底是 由什么原因造成的? 是由于试验条件的不同所引起的? 还是由于试验误差所引起的? 如果是由于试验条件 的不同所引起的, 那么对试验指标最有利的试验条件 即因素的水平应该如何来取? 方差分析与试验设计是 处理这类问题的一种数学方法.
2、数学模型 设因素A有r个水平A1, A2 , , Ar , 在水平Aj ( j 1, 2, , r)下,进行ni (ni 2)次独立试验,同时假设
(1)各个水平Ai (i 1, 2, , r )下的样本Xi1, Xi2 ,
, Xini 来自具有相同方差 2 , 均值分别为i (i 1, 2, , r)的正态总体N (i , 2 ), i与 2均未知;
表 火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
A1
58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
表 火箭的射程
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