八年级数学期末压轴题汇编

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八年级数学上册期末压轴20题(解析版)

八年级上册数学压轴题专题练习（解析版）一、压轴题1．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P在线段 AB上以1cm/s的速度由点 A向点 B运动，同时，点 Q在线段 BD上由点 B向点 D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2．在Rt ABC中，∠ACB=90︒，∠A=30︒，BD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）如图2，点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM为一边，在BM下方作∠BMG=60︒，MG交DE延长线于点G.求证：AD=DG+MD；（3）如图3，点N是线段AD上的点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60︒，NG交DE延长线于点G.直接写出ND，DG与AD数量之间的关系.3．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线l1，l2，l3上，∠BAC=90︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：（1）小明说：我只需要过B、C向l1作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB的长.（2）小林说：“我们可以改变ABC的形状.如图2，AB=AC，∠BAC=120︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB的长.”（3）小谢说：“我们除了改变ABC的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC三个顶点分别落在三条平行线l1，l2，l3上，且l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离为2，求AB的长、”请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB的长度.4．在ABC中，AB=AC，D是直线AB上一点，E在直线BC上，且DE=DC．（1）如图1，当D在AB上，E在CB延长线上时，求证：∠EDB=∠ACD；（2）如图2，当ABC为等边三角形时，D是BA的延长线上一点，E在BC上时，作EF//AC，求证：BE=AD；（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF交CD于点F，连AF，过A点作AH⊥CD于点H，当∠EDC=30︒，CF=6时，求DH的长度．5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．6．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC的度数；（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．7．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B 1M或B1M的延长线上，那么EMF的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线上，那么EMF的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在B1M或B1M的延长线上左侧，且EMF80，求C1MB1的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B点与M点重合，EM，FM为折痕，折叠后的C点落在A1M或A1M的延长线右侧，且EMF60，求C1MA1的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB，FB为折痕，设ABC，EBF，A1BC1，求，，之间的数量关系．8．已知ABC和ADE都是等腰三角形，AB AC，AD AE，DAE BAC．（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB__________EC．（填＞、＜或=）（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE绕点A旋转，当点D在ABC外部，点E 在ABC内部时，求证：DB EC．（深入研究）（3）如图③，ABC和ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB的度数为__________；线段CE，BD之间的数量关系为__________．（4）如图④，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，点C、D、E在同一直线上，AM为ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为__________；线段AM，BD，CD之间的数量关系为__________．（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当AB=5，AD=2时，在旋转过程中，△ABE与ADC的面积和的最大值为__________．9．直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E，ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M,N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值．10．已知：ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90︒，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC 于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC=3MC，请直接写出DB的值．BC11．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．12．已知ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．（1）如图，当点 P在ABC内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝；②探究 s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P在ABC外时，直接写出 s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．13．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2=；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．14．探索发现：11111111 =1-;=-;=-……1⨯222⨯3233⨯434根据你发现的规律，回答下列问题：（1）11＝，＝；n⨯(n+1)4⨯5111⋅+++1⨯22⨯33⨯4+1n⨯(n+1)（2）利用你发现的规律计算：（3）利用规律解方程：111112x-1 ++++=x(x+1)(x+1)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+4)(x+5)x(x+5) 15．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF⊥NF于F，点A、C分别在NF和MF上，作线段AB和CD（如图1），使∠FAB-∠MCD=90︒．求证：AB//CD”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A作AG//FM，交CD于G．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明．（2）若点E在直线CD下方，且知∠BED=30︒，直接写出∠ABE和∠CDE之间的数量关系．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在∆ABC中，∠C=90︒,若点D为AB的中点，则CD=请结合上述结论解决如下问题：1AB．2已知，点P是射线BA上一动点（不与A,B重合）分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F,其中Q为AB的中点（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系____________；QE与QF的数量关系是__________（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．18．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD =S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．19．（1）如图1，ABC和DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．（2）如图2，在BCD中，若∠BCD<120︒，分别以BC，CD和BD为边在BCD外部作等边ABC，等边△CDE，等边BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．①求证：AD=BE=CF；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．20．阅读并填空：如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上且联接DE交BC于O，如果OE OD，那么CD=BE，为什么？解：过点E作EF AC交BC于F所以∠ACB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）∠D=∠OEF（________）在OCD与△OFE中⎧∠COD=∠FOE(________)⎪⎨OD=OE⎪∠D=∠OEF⎩所以△OCD≌△OFE，（________）所以CD=FE（________）因为AB=AC（已知）所以∠ACB=∠B（________）所以∠EFB=∠B（等量代换）所以BE=FE（________）所以CD=BE【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题⎧t=2⎧t=1⎪1．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，⎨或⎨3x=1x=⎩⎪2⎩【解析】【分析】（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC和线段 PQ的位置关系;（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.【详解】(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，AP=BQ{∠A=∠BAC=BP∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.∴∠CPQ= 90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC= BP ，AP= BQ ，⎧3=4-t ⎨t =xt⎩解得⎨⎧t =1;x =1⎩②若△ACP ≌△BQP ，则AC= BQ ，AP= BP ，⎧3=xt ⎨t =4-t⎩⎧t =2⎪解得：⎨3x =⎪⎩2⎧t =2⎧t =1⎪综上所述,存在⎨或⎨3使得△ACP 与△BPQ 全等.x =1x =⎩⎪⎩2【点睛】本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD =DG -ND ，证明见解析．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠ABC =60︒，再根据角平分线的性质可得CD =ED ，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC =BE ，最后根据等边三角形的判定即可得证；（2）如图（见解析），延长ED 使得DF =MD ，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出∆MDF 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠F =∠MDB ,MF =MD ,∠FMG =∠DMB ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；（3）如图（见解析），参照题（2），先证∆HDN 是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出∠H =∠NDG ,NH =ND ,∠HNB =∠DNG ，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．【详解】（1）∠ACB =90︒,∠A =30︒∴∠ABC =90︒-∠A =60︒BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB∴CD =ED⎧CD=ED在∆BCD和∆BED中，⎨BD=BD⎩∴∆BCD≅∆BED(HL)∴BC=BE∴∆EBC是等边三角形；（2）如图，延长ED使得DF=MD，连接MF∠ACB=90︒,∠A=30︒，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB∴∠ADE=∠BDE=60︒,AD=BD∴∠MDF=∠ADE=60︒,∠MDB=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒∴∆MDF是等边三角形∴MF=DM,∠F=∠DMF=60︒∠BMG=60︒∴∠DMF+∠DMG=∠BMG+∠DMG，即∠FMG=∠DMB⎧∠F=∠MDB=60︒⎪在∆FMG和∆DMB中，⎨MF=MD⎪∠FMG=∠DMB⎩∴∆FMG≅∆DMB(ASA)∴GF=BD，即DF+DG=BD∴AD=DF+DG=MD+DG即AD=DG+MD；（3）结论：AD=DG-ND，证明过程如下：如图，延长BD使得DH=ND，连接NH由（2）可知，∠ADE=60︒,∠HDN=180︒-∠ADE-∠BDE=60︒,AD=BD ∴∆HDN是等边三角形∴NH=ND,∠H=∠HND=60︒∠BNG=60︒∴∠HND+∠BND=∠BNG+∠BND，即∠HNB=∠DNG⎧∠H=∠NDG=60︒⎪在∆HNB和∆DNG中，⎨NH=ND⎪∠HNB=∠DNG⎩∴∆HNB≅∆DNG(ASA)∴HB =DG ，即DH +BD =DG∴ND +AD =DG即AD =DG -ND ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．3．（1）5；（2）【解析】【分析】（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.【详解】解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，由题意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA ，在△ABM 和△CAN 中，221221；（3）33⎧∠AMB =∠CNA ⎪⎨∠MAB =∠NCA ，⎪AB =AC ⎩∴△ABM ≌△CAN （AAS ），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=22+12=5；（2）分别过点B，C向l1作垂线，交l1于P，Q两点，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，⎧∠AMB=∠CNA⎪⎨∠ABM=∠NAC，⎪AB=AC⎩∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=11 BM，NQ=NC，22∵PB=1，CQ=2，设PM=a，NQ=b，∴a2+12=4a2，b2+22=4b2，解得：a=323，b=，332⎛23⎫43=∴CN=AM=22+ ，⎪3⎪3⎝⎭∴AB=AP2+BP2=(AM+PM)2+BP2=221；3（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，⎧∠BNC=∠CMA⎪⎨∠NBC=∠MAC，⎪BC=AC⎩∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，BP2+NP2=BN2，即22+NP2=4NP2，解得：NP=23，3∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，AQ2+QM2=AM2，即32+QM2=4QM2，解得：QM=3，∴AM=23=CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=在△BPC中，BP2+CP2=BC2，43，3⎛43⎫221即BC=BP2+CP2=22+ ，=⎪3⎪3⎝⎭2∴AB=BC=221.3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.4．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，1CF=3．2⎧∠EDF=∠DCA⎪⎨∠DFE=∠CAD，⎪DE=CD⎩∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，⎧AB=BC⎪⎨∠ABF=∠CBF，⎪BF=BF⎩△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=11AF=CF=3，22∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎧AB＝AC⎪⎨∠BAD＝∠CAE，⎪AD＝AE⎩∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB上取一点F，使OF=OC，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF，要使OC=OE，则有OC=∵BD=CE，∴CF=OF=1 CE，21BD，2∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．6．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【解析】【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．90︒，45︒；20︒，30︒；a +γ=2β，a -γ=2β.【解析】【分析】（1）①如图①知∠EMC 1=11∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC 得22∠EMF =1(∠BMC 1+∠C 1MC )可求出解.2111∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC 得∠EBF =(∠ABC 1+∠C 1BC )可222②由图②知∠EBA 1=求出解.（2）①由图③折叠知∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，可推出(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，即可求出解.②由图④中折叠知∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，可推出290︒-60︒+∠A 1MC 1=90︒，即可求出解.（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a -β=β-γ、a -β=β+γ，即可求得()a +γ=2β、a -γ=2β.【详解】解：（1）①如图①中，11∠EMC 1=∠BMC 1，∠C 1MF =∠C 1MC ，22∴∠EMF =∠EMC 1+∠C 1MF =故答案为90︒.②如图②中，11(∠BMC 1+∠C 1MC )=⨯180︒=90︒，2211∠EBA 1=∠ABC 1,∠C 1BF =∠C 1BC ，22∴∠EBF =∠EBC 1+∠C 1BF =故答案为45︒.（2）①如图③中由折叠可知，11(∠ABC 1+∠C 1BC )=⨯90︒=45︒，22∠CMF =∠FMC 1,∠BME =∠EMB 1，∠C 1MF +∠EMB 1-∠EMF =∠C 1MB 1，∴∠CMF +∠BME -∠EMF =∠C 1MB 1，∴(∠BMC -∠EMF )-∠EMF =∠C 1MB 1，∴180︒-80︒=∠C 1MB 1=20︒；②如图④中根据折叠可知，∠CMF =∠C 1MF ,∠ABE =∠A 1BE ，︒2∠CMF +2∠ABE +∠AMC =90，11︒∴2(∠CMF +∠ABE )+∠AMC 11=90，(∴2(90∴290︒-∠EMF +∠A 1MC 1=90︒，︒)-60︒+∠A 1MC 1=90︒，)︒∴∠AMC =30；11（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a -β=β-γ，∴a +γ=2β；如图⑤-2中，由折叠可知，a -β=β+γ，∴a -γ=2β.【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.8．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7【解析】【分析】（1）由DE ∥BC ，得到DB EC =，结合AB=AC ，得到DB=EC ；AB AC（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．【详解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴DB EC=，AB AC∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为：=，（2）成立．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中⎧AD＝AE⎪⎨∠DAB＝∠EAC，⎪AB＝AC⎩∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB 和△EAC 中⎧AD ＝AE⎪⎨∠DAB ＝∠EAC，⎪AB ＝AC⎩∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，∴AM=EM=MD ，∴AM+BD=CM ；故答案为：90°，AM+BD=CM ；【拓展提升】（5）如图，由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，∴△ADC 面积最大，∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，∴要△ADC 面积最大，∴点D 到AC 的距离最大，∴DA ⊥AC ，∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+故答案为7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．9．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒1×AC×AD=5+2=7，2【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；（2）分点F 沿C→B 路径运动和点F 沿B→C 路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；【详解】解：（1）△ACD 与△CBE 全等．理由如下：∵AD ⊥直线l ，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ACD 和△CBE 中，⎧∠ADC =∠CEB⎪⎨∠DAC =∠ECB，⎪CA =CB⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，则CM=8-t ，由折叠的性质可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t ，点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，解得，t=5，综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．（1）见详解，（2）BD =2CF ，证明见详解，（3）【解析】【分析】（1）欲证明BF =AD ，只要证明∆BCF ≅∆ACD 即可；（2）结论：BD =2CF ．如图2中，作EH ⊥AC 于H ．只要证明∆ACD ≅∆EHA ，推出CD =AH ，EH =AC =BC ，由∆EHF ≅∆BCF ，推出CH 2．3=CF 即可解决问题；（3）利用（2）中结论即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90︒，∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，BC=AC，∴∆BCF≅∆ACD(AAS)，∴BF=AD．（2）结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHF=∠BCF=90︒，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴∆EHF≅∆BCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．（3）如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∠AHE=∠ACD=∠DAE=90︒，∴∠DAC+∠ADC=90︒，∠DAC+∠EAH=90︒，∴∠ADC=∠EAH，AD=AE，∴∆ACD≅∆EHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，CB=CA，∴BD=CH，∠EHM=∠BCM=90︒，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴∆EHM≅∆BCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB2a2==．BC3a3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y；如图6：s=t+x+y；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案为：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案为：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，设DP与BE的交点为F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，设PE 与AC 的交点为G ，∵∠PGD ＝∠EGC ，∴∠α＋180°－∠1＝∠C ＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．14．（1）【解析】【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和1111n -,-；（2）；（3）见解析．45n n +1n +114⨯51n ⨯(n +1)（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.【详解】111111=-=-，解：（1）；n (n +1)n n +14⨯545故答案为1111-,-45n n +111111+-+-+22334+111n -=1-= ;n n +1n +1n +1（2）原式＝1-1111-+-+（3）已知等式整理得：x x +1x +1x +2112x -1-=所以，原方程即：，x x +5x (x +5)方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，∴原方程的解为：x ＝3．【点睛】+112x -1-=x +4x +5x (x +5)本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.15．（1）见解析；（2）∠ABE -∠CDE =30︒【解析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，再证明∠MCD=∠BAG，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A作AG//FM，交CD于G，∴∠AGC=∠MCD，∠F+∠GAF=90︒，FN⊥FM，∴∠F=90︒，∴∠GAF=90︒，∠FAB-∠MCD=90︒，∴∠FAB-∠GAF=∠MCD=∠BAG，∴AB//CD；（2）解：∠ABE-∠CDE=30︒，理由如下：如图3，AB//CD，∴∠BPD=∠ABE，∠BPD=∠CDE+∠BED，∠BED=30︒，∴∠BPD-∠CDE=30︒，∴∠ABE-∠CDE=30︒．。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(乘法公式)解析版

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编乘法公式考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图正方形ABCD的边长为x其中AI＝5 JC＝3 两个阴影部分都是正方形且面积和为60 则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路引导】利用正方形和长方形的性质将ID与DJ的关系表示出来再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ从而得到长方形FJDI的长和宽即可求解．【完整解答】解：设ID＝y DJ＝z∵两个阴影部分都是正方形∴DN＝ID＝x DM＝DJ＝y∵四边形ABCD为正方形∴AD＝CD∵AD＝AI+ID CD＝CJ+DJ∴AI+ID＝CJ+DJ∵AI＝5 CJ＝3∴5+y＝3+z∴y＝z﹣2∵阴影部分面积和为60∴y2+z2＝60将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中得：（z﹣2）2+z2＝60解得：z＝1+或z＝1﹣（舍）∴y＝z﹣2＝﹣1∴ID＝﹣1 DJ＝1+∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28．故选：A．2．（2分）（2022春•埇桥区校级期中）如图两个正方形的边长分别为a b如果a+b＝5 ab＝6 则阴影部分的面积为（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．1【思路引导】用a和b表示出阴影部分面积再通过完全平方式的变换可求出阴影部分面积．【完整解答】解：S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2）﹣ab＝（a+b）2﹣ab把a+b＝5 ab＝6代入得：原式＝×25﹣×6＝3.5．故选：C．（2022春•碑林区校级期中）如图有两个正方形A B现将B放置在A的内部得到图甲将A B 3．（2分）并列放置以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和8 则正方形A B的面积之和为（）A．8 B．9 C．10 D．12【思路引导】设出大小正方形得边长a b用a和b表示出阴影部分的面积找出相应关系即可求解．【完整解答】解：设大小正方形边长分别为a bS阴1＝（a﹣b）2＝1 即a2+b2﹣2ab＝1S阴2＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝8 得：ab＝4．∴a2+b2﹣2×4＝1∴a2+b2＝9．故选：B．4．（2分）（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021 那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【思路引导】利用完全平方公式变形即可．【完整解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）＝4+2×2021＝4046．故选：A．5．（2分）（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（）①关于x y的方程2x+6y＝199存在整数解．②若两个不等实数a b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2则a b互为相反数．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0 则2b＝a+c．④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy则x＝y＝z．A．①④B．②③C．①②④D．②③④【思路引导】①对数的讨论利用小学知识可解决；②利用完全平方公式整理得到两个数的平方相等则两数相等或者互为相反数；③重新整理得到完全平方公式即得结论；④两两组合相等两数差为0 然后因式分解即得结论．【完整解答】①因为x y为整数时 2x+6y＝2（x+3y）是偶数而199是奇数它们不可能相等；故①错误．②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4a4+b4﹣2a2b2＝0（a2﹣b2）2＝0∴a2﹣b2＝0∴a2＝b2∵a≠b∴a＝﹣b即a b互为相反数；故②正确．③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0 则2b＝a+c（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0（a+c﹣2b）2＝0∴a+c﹣2b＝0∴2b＝a+c；故③正确．④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0y2﹣xz﹣z2+xy＝0∴（x+y+z）（x﹣y）＝0（x+y+z）（y﹣z）＝0．∴x+y+z＝0或x﹣y＝0 y﹣z＝0∴x＝y＝z或x+y+z＝0故④错误．综上所述四种说法中正确的有②③故选：B．6．（2分）（2022•南京模拟）如图点C是线段BG上的一点以BC CG为边向两边作正方形面积分别是S1和S2两正方形的面积和S1+S2＝40 已知BG＝8 则图中阴影部分面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路引导】设BC＝a CG＝b建立关于a b的关系最后求面积．【完整解答】解：设BC＝a CG＝b则S1＝a2S2＝b2a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64∴2ab＝64﹣40＝24∴ab＝12∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．故选：A．7．（2分）（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式那么k的值是（）A．20 B．±20 C．10 D．±10【思路引导】利用完全平方公式的特点即“首平方尾平方二倍底数乘积放中央”可知2kx为二倍底数乘积进而可得到答案．【完整解答】解：∵4x2+2kx+25＝（2x±5）2∴2kx＝±2×2x•5＝±20x∴k＝±10故选：D．8．（2分）（2021秋•凉山州期末）2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（）A．332+1 B．332﹣1 C．331D．332【思路引导】把因数2写成3﹣1后利用平方差公式依次计算即可得出结果．【完整解答】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332故选：D．9．（2分）（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差那么这个正整数就称为“智慧数”例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32 7就是一个智慧数 8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12 8也是一个智慧数则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【思路引导】根据“智慧数”的定义对每个选项进行判断即可得出答案．【完整解答】解：∵2021＝2021×1＝（1011+1010）（1011﹣1010）＝10112﹣10102∴2021是智慧数∴选项A不符合题意；∵2022不能写成两个正整数的平方差∴2022不是智慧数∴选项B符合题意；∵2023＝2023×1＝（1012+1011）（1012﹣1011）＝10122﹣10112∴2023是智慧数∴选项C不符合题意；∵2024＝1012×2＝（507+505）（507﹣505）＝5072﹣5052∴2024是智慧数∴选项D不符合题意；故选：B．10．（2分）（2021秋•井研县期末）如图所示将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形根据图形阴影部分面积的关系可以直观地得到一个关于a b的恒等式为（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）【思路引导】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积再根据图形阴影部分面积的关系即可直观地得到一个关于a b的恒等式．【完整解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab所以根据图形阴影部分面积的关系可以直观地得到一个关于a b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故选：C．二．填空题（共10小题满分20分每小题2分）11．（2分）（2022春•仪征市期末）计算20222﹣2020×2024的结果是 4 ．【思路引导】运用平方差公式进行简便运算．【完整解答】解：20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4．故答案为：4．12．（2分）（2022春•文登区期末）如图由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75 小正方形的面积为3 则矩形的宽AB为2．【思路引导】根据图形的面积设矩形的长为a宽为b得出（a+b）2＝75 （a﹣b）2＝3 进而得到a+b＝5a﹣b＝求出b即可．【完整解答】解：设矩形的长为a宽为b则有（a+b）2＝75 （a﹣b）2＝3所以a+b＝5a﹣b＝所以b＝2即矩形的AB为2故答案为：2．13．（2分）（2022春•钱塘区期末）如图边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a b（a＜6 b ＜6）的长方形若长方形的周长为16 面积为15.75 则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝12.5 ．【思路引导】由长方形的周长16 面积为15.75 确定a+b＝8 ab＝15.75 通过观察图形分别用含有a 和b的式子表示出阴影部分的面积S1S2S3然后整理化简S1+S2+S3通过完全平方公式计算出a2+b2从而求出值．【完整解答】解：由题知a+b＝16÷2＝8 ab＝15.75．∴（a+b）2＝64a2+2ab+b2＝64a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5∵S1＝（6﹣b）2S3＝（6﹣a）2S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2＝a2+b2﹣12b﹣12a+76＝a2+b2﹣12（b+a）+76＝32.5﹣12×8+76＝12.5．故答案为：12.5．14．（2分）（2022•三水区一模）现有两个正方形A B．如图所示进行两种方式摆放：方式1：将B放在A 的内部得甲图；方式2：将A B并列放置构造新正方形得乙图．若甲图和乙图阴影部分的面积分别为1和12 则正方形A B的面积之和为13 ．【思路引导】设正方形A的边长为a正方形B的边长为b由图形得出关系式求解即可．【完整解答】解：设正方形A的边长为a正方形B的边长为b由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12得：2ab＝12所以a2+b2＝13故答案为：13．15．（2分）（2022春•海安市校级月考）若（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022 则（2021﹣A）2+（A﹣2020）2＝4045 ．【思路引导】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可求出答案．【完整解答】解：设x＝2021﹣A y＝2020﹣A∴x﹣y＝2021﹣A﹣2020+A＝1∵（2021﹣A）（2020﹣A）＝2022∴xy＝2022∴原式＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2022＝4045故答案为：4045．16．（2分）（2022春•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1 ．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0 代数式x2023﹣1＝﹣2或0 ．【思路引导】（1）由规律可得（x﹣1）•（x n﹣1+…+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x n﹣1 再根据数值可得其答案；（2）可由（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0 求出x的值再代入x2023﹣1得其值．【完整解答】解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1故答案为x50﹣1；（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0 ∴x＝1或﹣1当x＝﹣1时x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0 ∴x2023﹣1＝﹣2或0故答案为﹣2或0．17．（2分）（2022春•新华区月考）有甲乙丙三种纸片若干张（数据如图a＞b）．（1）若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形则需要取甲纸片 4 张．（2）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形使其面积为a2+nab+12b2则n可能的整数值有 3 个．【思路引导】（1）通过拼成的正方形面积求解．（2）通过分解第三项求确定n．【完整解答】解：（1）大正方形的面积为；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2．∴需要甲纸片4张乙纸片4张丙1张故答案为：4．（2）∵12b2＝b•12b＝2b•6b＝3b•4b∴n＝1+12＝13或n＝2+6＝8或n＝3+4＝7．故答案为：3．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【思路引导】本题是平方差公式的应用把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+的形式然后再利用平方差公式计算（516•2﹣1）+＝．【完整解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝（532﹣1）+＝．19．（2分）（2021秋•黔江区期末）4x2+Q+1是完全平方式请你写一个满足条件的单项式Q是±4x或4x4或﹣4x2或﹣1 ．【思路引导】设这个单项式为Q如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍故Q＝±4x；如果这里首末两项是Q和1 则乘积项是4x2＝2•2x2所以Q＝4x4；如果该式只有4x2项或1 它也是完全平方式所以Q＝﹣1或﹣4x2．【完整解答】解：∵4x2+1±4x＝（2x±1）2；4x2+1+4x4＝（2x2+1）2；4x2+1﹣1＝（±2x）2；4x2+1﹣4x2＝（±1）2．∴加上的单项式可以是±4x 4x4﹣4x2﹣1中任意一个．故答案为±4x或4x4或﹣4x2或﹣1．20．（2分）（2022春•宁阳县期末）请看杨辉三角（1）并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律则（a+b）6的第三项的系数为15 ．【思路引导】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式a的次数按降幂排列b的次数按升幂排列各项系数分别为1 6 15 20 15 6 1．【完整解答】解：由题意可得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6则（a+b）6的第三项的系数为：15．故答案为：15．三．解答题（共8小题满分60分）21．（4分）（2022春•南京期中）计算：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）【思路引导】（1）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案；（2）直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．【完整解答】解：（1）（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝x2+6x+9﹣（x2﹣9）＝6x+18；（2）（x+2y﹣1）（x+2y+1）＝（x+2y）2﹣1＝x2+4y2+4xy﹣1．22．（6分）（2022春•榆阳区期末）如图某地有一块长为（a+4b）米宽为（a+3b）米的长方形地块规划部门计划将阴影部分进行绿化中间边长为（a+b）米的空白正方形地块将修建一个凉亭．（1）求绿化部分的总面积（用含有a b的代数式表示）；（2）若a＝2 b＝5 求出此时绿化部分的总面积．【思路引导】（1）求出长方形地块的面积和正方形凉亭的面积再相见得出答案；（2）把a＝2 b＝5代入（1）的式子计算即可．【完整解答】解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（a+4b）（a+3b）＝（a2+7ab+12b2）（平方米）正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米）则绿化面积S＝（a2+7ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5ab+11b2）（平方米）；（2）∵a＝2 b＝5∴绿化总面积S＝5ab+11b2＝5×2×5+11×52＝325（平方米）．23．（8分）（2022春•永丰县期末）如图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）请认真观察图形解答下列问题：（1）用图1可以验证的乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果图1中的a b（a＞b）满足a2+b2＝57 ab＝12 求（a+b）2的值；（3）如图2 点C是线段AB上的一点以AC BC为边向两边作正方形面积分别是S1和S2设AB＝8 两正方形的面积和S1+S2＝28 求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）利用面积相等求解；（2）代入完全平方公式求解；（3）代入公式整体求解．【完整解答】解：（1）正方形面积整体计算是：（a+b）2分割计算是：a2+2ab+b2；∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）（a+b）2＝a2+2ab+b2＝57+2×12＝81；（3）设AC＝m BC＝n则m+n＝8 m2+n2＝28∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝64﹣28＝36所以阴影部分得面积为：0.5mn＝9．24．（8分）（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3 ab＝1 求a2+b2的值；解：因为a+b＝3 所以（a+b）2＝9 即：a2+2ab+b2＝9 又因为ab＝1 所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若x+y＝8 x2+y2＝40 求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5 则（4﹣x）2+x2＝ 6 ；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8 则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17 ．（3）如图在长方形ABCD中AB＝25 BC＝15 点E．F是BC CD上的点且BE＝DF＝x分别以FC CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN若长方形CEPF的面积为200平方单位求图中阴影部分的面积和．【思路引导】（1）利用完全平方公式的变形求解；（2）利用完全平方公式的变形结合引入新参数简化计算；（3）理解题意转化问题再利用完全平方公式的变形求解．【完整解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x b＝x则a+b＝4 ab＝5∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\∴（4﹣x）2+x2＝6故答案为：6．②令a＝4﹣x b＝5﹣x则a﹣b＝﹣1 ab＝8∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200令a＝25﹣x b＝15﹣x则：a﹣b＝10 ab＝200∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500所以阴影部分的面积和为500平方米．25．（8分）（2022春•渠县期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3 ab＝1 求a2+b2的值．解：因为a+b＝3所以（a+b）2＝9 即：a2+2ab+b2＝9 又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若x+y＝8 x2+y2＝40 求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8 则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝17 ．（3）如图点C是线段AB上的一点以AC BC为边向两边作正方形设AB＝6 两正方形的面积和S1+S2＝18 求图中阴影部分面积．【思路引导】（1）根据完全平方公式得出2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）整体代入求值即可；（2）根据完全平方公式将（4﹣x）2+（5﹣x）2转化为[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x）再整体代入求值即可；（3）设AC＝m CF＝n可得m+n＝6 m2+n2＝18 求出0.5mn即可．【完整解答】解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24∴xy＝12（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；故答案为：17．（3）设AC＝m CF＝n∵AB＝6∴m+n＝6又∵S1+S2＝18∴m2+n2＝18由完全平方公式可得（m+n）2＝m2+2mn+n2∴62＝18+2mn∴mn＝9∴S阴影部分＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5答：阴影部分的面积为4.5．26．（8分）（2022春•郴州期末）两个边长分别为m和n的正方形如图放置（图1）其未叠合部分（阴影）面积为S1；若在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为n的小正方形（如图2）两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含m n的代数式分别表示S1S2；（2）若m﹣n＝10 mn＝20 求S1+S2的值；（3）若S1+S2＝30 求图3中阴影部分的面积S3．【思路引导】（1）S1可以看作两个正方形的面积差即S1＝m2﹣n2S2是长为2n﹣m高为n的长方形的面积即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）将S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn变形为（m﹣n）2+mn再代入计算即可；（3）由S1+S2＝30 可得到m2+n2﹣mn＝30 由图3看得出S3＝（m2+n2﹣mn）整体代入计算即可．【完整解答】解：（1）S1可以看作两个正方形的面积差即S1＝m2﹣n2S2是长为2n﹣m高为n的长方形的面积即S2＝（2n﹣m）•n＝2n2﹣mn；（2）∵m﹣n＝10 mn＝20∴S1+S2＝m2﹣n2+2n2﹣mn＝m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝100+20＝120；（3）∵S1+S2＝m2+n2﹣mn＝30∴S3＝m2+n2﹣m2﹣n（m+n）＝m2﹣mn+n2＝（m2+n2﹣mn）＝×30＝15．27．（8分）（2021秋•蒙阴县期末）图1 是一个长为2m宽为2n的长方形沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图2 三个代数式（m+n）2（m﹣n）2mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝﹣6 xy＝2.75 求x﹣y；（4）观察图3 你能得到怎样的代数恒等式呢？【思路引导】（1）表示出阴影部分的边长即可得出其面积；（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积也可得出三个代数式（m+n）2（m﹣n）2mn之间的等量关系．（3）根据（2）所得出的关系式可求出（x﹣y）2继而可得出x﹣y的值．（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．【完整解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2故答案为：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25则x﹣y＝±5；（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．28．（10分）（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时老师拿出三种型号的卡片如图1：A型卡片是边长为a的正方形B型卡片是边长为b的正方形C型卡片是长和宽分别为a b的长方形．（1）选取1张A型卡片 2张C型卡片 1张B型卡片在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形通过不同方式表示大正方形的面积可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限）在图3的虚线框中画出示意图并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片 4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变DG的长度可以变化图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1S2．若S＝S2﹣S1则当a与b满足a＝2b时S为定值且定值为a2．（用含a或b的代数式表示）【思路引导】（1）用两种方法表示图2的面积即可得出公式；（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张B型卡片6张C型卡片5张；（3）设DG长为x求出S1S2即可解决问题．【完整解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）如图（3）设DG长为x．∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab ∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2由题意得若S为定值则S将不随x的变化而变化可知当2b﹣a＝0时即a＝2b时S＝a2为定值故答案为：a＝2b a2。

压轴题05：分式与分式方程综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

压轴题05：分式与分式方程综合专练20题（解析版）一、单选题1．若关于x的方程3133x axx x++=--有正整数解，且关于y的不等式组252510ya y-⎧<⎪⎨⎪--≤⎩至少有两个奇数解，则满足条件的整数a有（）个A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出正整数方程的解，代入检验确定出a的值，再表示出不等式组的解集，由解集至少有两个奇数解确定出整数a的值，求出之和即可．【详解】解：31 33x axx x++= --解得：6 xa =∴方程有正整数解且63a≠即2a≠∴136 a=、、解不等式组252510ya y-⎧<⎪⎨⎪--≤⎩解得1521yy a⎧<⎪⎨⎪≥-⎩关于y的不等式组至少有两个奇数解∴15a-≤∴6a≤∴满足条件得整数a有3个，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x的分式方程61xx-＝3＋1axx-的解为整数，且一次函数y＝（10﹣a）x＋a的图象不经过第四象限，则符合题意的整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据题意求得满足条件的a 的值，从而可以得到满足条件的所有整数a 的个数．【详解】解：∴一次函数y ＝（10﹣a ）x ＋a 的图象不经过第四象限，∴1000a a ->⎧⎨≥⎩，解得010a ≤<，由分式方程61x x -＝3＋1ax x -得，x ＝33a -， ∴分式方程61x x -＝3＋1ax x -的解为整数，且x≠1， ∴a ＝0，2，4，∴符合题意的整数a 的个数3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质以及正确的解分式方程是解题的关键．3．若整数a 使得关于x 的不等式组341242()x x x a x +⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩的解集为2x <-，且关于y 的分式方程2311a y y y -=+++的解为负数，则所有符合条件的整数a 的和为（）A ．0B ．－3C ．－5D ．－8【答案】D【分析】先解不等式组中的两个不等式，由不等式组的解集可得5,a ≥- 再解分式方程，由分式方程的解为负数可得：a ＜5, 且3,a ≠ 结合a 为整数，从而可得答案．【详解】解：341242()x x x a x +⎧+>⎪⎨⎪-≤-⎩①②由∴得：22x +＞34+x ， x ＜2,-由∴得：324,x a ≤+24,3a x +∴≤ 又由不等式组的解集为2x <-，242,3a +∴≥- 246,a ∴+≥-5,a ∴≥-2311a y y y -=+++ 233,a y y ∴=-++5,2a y -∴= 方程2311a y y y -=+++的解为负数， 52a -∴＜0, a ∴＜5,由10,y +≠1,y ∴≠-51,2a -∴≠- 3,a ∴≠综上：5a -≤＜5且3,a ≠由a 为整数，5a ∴=-或4a =±或3a =-或2a =±或1a =±或0a =，则所有符合条件的整数a 的和为：8.-故选：.D【点睛】本题考查的是由一元一次不等式组的解集求解参数的取值范围，分式方程的负数解问题，掌握以上知识是解题的关键．4．若整数a 使得关于x 的分式方程2x x -＋12a x+-＝2的解为非负数，且一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限，则所有符合条件的a 的和为（）A ．﹣3B ．2C ．1D ．4【答案】D【分析】先求出方程的解x ＝3﹣a ≥0，求出a ≤3，根据分式方程的分母x ﹣2≠0求出a ≠1，根据一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限求出﹣（a ＋3）＜0且a ＋2＞0，求出a ＞﹣2，再求出答案即可．【详解】解：2x x -＋12a x+-＝2，方程两边乘以x ﹣2得：x ﹣a ﹣1＝2x ﹣4，解得：x ＝3﹣a ，∴关于x 的分式方程2x x -＋12a x +-＝2的解为非负数， ∴3﹣a ≥0，解得：a ≤3，∴一次函数y ＝﹣（a ＋3）x ＋a ＋2的图象经过一、二、四象限，∴﹣（a ＋3）＜0且a ＋2＞0，解得：a ＞﹣2，∴﹣2＜a ≤3，∴分式方程的分母x ﹣2≠0，∴x ＝3﹣a ≠2，即a ≠1，∴a 为整数，∴a 为﹣1，0，2，3，和为﹣1＋0＋2＋3＝4，故选：D ．【点睛】本题考查了解分式方程，一次函数的图象和性质，解一元一次不等式等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．5．在ABC 中，AE 、BF 、CP 分别在边BC 、CA 、AB 上的高线，已知AE 、BF 、CP 相交于一点D ，且2019AD BD CD DE DF DP ++=，则AD BD CD DE DF DP⋅⋅的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 【答案】C【分析】设BDC S a ，ADC S b ，ABD S c ，则AD b c DE a +=，BD a c DF b +=，cD DP C a b +=，然后对所求式子变形整理，整体代入计算即可．【详解】解：设BDC S a ，ADC S b ，ABD S c ，则ADC ABD ADC ABD BDE DEC BDE DEC S S S S S S S S AD b c DE a+====++，同理可得：BD a c DF b +=，c D DP C a b +=， ∴2019a c a b b c b c a +++++=， ∴AD BD CD DE DF DP ⋅⋅ b c a c a b a b c+++=⋅⋅ ()()()b c a c a b abc+++= 222222a b a c abc ac ab abc b c bc abc+++++++= ()()()()ac a c ab a c ab b c bc b c abc abc++++++=+ a c a c b c b c b c c a++++=+++ 2a c a b b c b c a+++=+++ 20192=+2021=，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，分式的混合运算，正确化简所求式子是解题的关键．6．若数a 使关于x 的不等式组36222()4x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩的解集为x ＜﹣2，且使关于y 的分式方1311--=-++y a y y 的解为负数，则符合条件的所有整数a 的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x ＜﹣2确定出a 的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出符合条件的a 的个数．【详解】解：解不等式组36222()4x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩，得：224x x a <-⎧⎨+⎩，由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，解得：a ≥﹣3；分式方程1311--=-++y a y y 去分母得：1﹣y ﹣a ＝﹣3（y +1），解得：y ＝42a -，由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得412402a a -⎧≠-⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得：a ＜4且a ≠2；∴﹣3≤a ＜4且a ≠2，∴a ＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，∴符合条件的所有整数a 的个数为6个；故选：C ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．7．若关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解，关于y 的分式方程13244ay y y -+=---有整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】B【分析】先解不等式组，由不等式组有解，可得a ＜4，再解分式方程，当2a ≠且1a ≠时，分式方程的解为：4,2y a =--再由,y a 为整数，分类讨论可得答案．【详解】解：()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩①② 由∴得：36x x -+＞2,-2x ∴-＞8,- x ＜4,由∴得：a x +＜2,x x ＞,a关于x 的不等式组()3222x x a x x ⎧-->-⎪⎨+<⎪⎩有解， a ∴＜4， 13244ay y y -+=---， ()1324,ay y ∴--=--24,ay y ∴-=-()24,a y ∴-=-当2a =时，方程无解，则2,a ≠44,22y a a -∴==--- 检验：40,y -≠440,2a ∴--≠- 44,2a ∴≠-- 21,a ∴-≠-1,a ∴≠,y a 为整数，21a ∴-=± 或22a -=±或24,a -=±3a ∴=或1a =或4a =或0a =或6a =或2,a =-a ∴＜4， 2,a ≠1,a ≠∴ 3a =或0a =或 2.a =-经检验：3a =或0a =或2a =-符合题意，()302 1.∴++-=故选：.B本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，分类讨论数学思想，掌握以上知识是解题的关键．8．若关于x 的不等式组52(+)11231x x a ⎧>⎪⎨⎪-<⎩无解，且关于y 的分式方程34122y a y y ++=--有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（）A ．8B ．10C ．16D ．18 【答案】C【分析】先由不等式组无解，求解8a ≤，再求解分式方程的解22a y +=，由方程的解为非负整数，求解2a ≥-且2a ≠，再逐一确定a 的值，从而可得答案．【详解】解：52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<①②由∴得：2511x +>，∴3x >，由∴得：31x a <+， ∴13x a <+， ∴关于x 的不等式组52+11{231x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭-<无解， ∴1+33a ≤， ∴19a +≤，∴8a ≤， ∴34122y a y y++=--， ∴()342y a y -+=-， ∴22a y +=， ∴20y -≠， ∴222a +≠，∴关于y 的分式方程34122y a y y++=--有非负整数解， ∴202a +≥， ∴2a ≥-， ∴22a +为整数， ∴2a =-或0a =或4a =或6a =或8a =．∴2046816-++++=．故选：C ．【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y ≠2这一隐含条件．二、填空题9．若223411a a a ++-为不超过3的整数，则整数=a ______．【答案】0或-1或-3【分析】先将223411a a a ++-整理得到4331a +≤-，根据题意即可确定a 的值．【详解】解：22341(3+1)(1)313(1)4431(1)(1)111a a a a a a a a a a a a ++++-+====+-+----，因为223411a a a ++-为不超过3的整数， ∴4331a +≤-，且431a +-为整数， ∴ 401a ≤-，因为a 为整数，所以符合条件的a=0或-1或-3，故答案为：0或-1或-3．【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是将将223411a a a ++-整理得到431a +-．10．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩，有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2222a y y+=--有非负数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是________________．【答案】1【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出−4＜a≤3，再解分式方程2222a y y+=--，根据分式方程有非负数解，得到a≥−2且a≠2，进而得到满足条件的整数a 的值之和．【详解】解不等式组2122274x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩①②，由∴得，x≤3；由∴得，x ＞47a +-； ∴不等式组有且仅有四个整数解， ∴−1≤47a +-＜0， ∴−4＜a≤3，解分式方程2222a y y+=--，可得y ＝12（a ＋2），又∴分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即12（a ＋2）≥0，12（a ＋2）≠2，解得a≥−2且a≠2，∴−2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a 的值为−2，−1，0，1，3，∴满足条件的整数a 的值之和是1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．11．2022年北京冬奥会正在火热举办中，冰雪项目中高质量的“人造雪”受到人们的广泛关注，它的生产实际上是一个科学技术难题：要首先通过过滤装置将自然水过滤成纯净的水，接着用制冰装置将纯净的水制成片状的纯冰，再通过碎冰装置把已经造好的纯冰粉碎成粉末，最后，通过把粉末状的冰晶和空气等原料混合加工成“人造雪”．现有若干千克自然水和100千克纯冰，准备将它们加工成人造雪，共8名技术人员，分为甲、乙两组同时工作，甲组负责自然水提纯后加工成纯冰，乙组负责将纯冰加工成人造雪．已知甲组人员每人每小时可将10千克自然水加工成5千克纯冰，乙组人员每人每小时可将10千克纯冰加工成20千克人造雪（不考虑冰雪融化及其他损耗）；若加工t 小时后，纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8；又加工了几个小时后，自然水全部使用完；接着继续将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了700千克人造雪；当自然水正好全部使用完，此时纯冰质量与人造雪质量之比为______．【答案】1:12##112【分析】设有x 人在甲组，则有(8-x )在乙组，根据纯冰质量与人造雪的质量之比为1：8，列出方程()():20158010018:8t tx t x ⎡⎤+=⎣⎦--，从而()4017t x t-=，根据,x t 都为正整数（＜8x ），且40不能被7整除，从而得出x =5，于是得出共加工了8小时，乙组为3人，然后根据将所有纯冰都加工成人造雪，一共加工产生了700千克人造雪，得出自然水正好全部使用完时，纯冰质量和人造雪质量，即可求出答案．【详解】解：设有x 人在甲组，则有(8-x )在乙组， t 小时后，有纯冰的质量为：()5100108tx t x +--51008010tx t tx =+-+ 1580100tx t =-+（千克）有人造雪的质量为()208t x -千克根据题意可得：()():20158010018:8t tx t x ⎡⎤+=⎣⎦-- ()()815801002108t x tx t ⎡⎤⨯=--+⨯⎣⎦12064080016020tx t t tx -+=- 140800800tx t =-()4017t x t-=,x t 都为正整数（＜8x ），且40不能被7整除，∴40能被t整除，t-1能被7整除；∴t=8，x=5．∴ 8-x =3，因此甲组有5人，乙组有3人．生产700千克人造雪需要纯冰的质量为：7002010350÷⨯= （千克），原有纯冰100千克， ∴自然水加工而成的纯冰的质量为：350100250-= （千克），∴甲组生产纯冰的总时间为：2505510÷÷=（小时），自然水用完时，乙组共生产的人造雪的质量为10320600⨯⨯=（千克），此时还剩下的纯冰的质量为：100250600201050+-÷⨯=（千克）， ∴此时纯冰与人造雪的质量比为：150:6001:1212==故答案为：1:12或112【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，根据题意找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．12．某知名服装品牌在北碚共有A 、B 、C 三个实体店．由于疫情的影响，第一季度A 、B 、C 三店的营业额之比为3:4:5，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的27，第二季度B 店的营业额占总营业额的413，为了使A 店与C 店在第二季度的营业额之比为5∴4，则第二季度A 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为______________．【答案】726【分析】设第一季度A 、B 、C 三店的营业额分别为34,5x x x ，，第二季度A 店、C 店的营业额为5y 、4y ，根据题意求得y 与x 的关系2y x =，第二季度B 店的营业额4y ，第二季度总营业额为13y ，则第二季度A 店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为5313y xy-，即可求解．【详解】解：∴第一季度A 、B 、C 三店的营业额之比为3:4:5∴设第一季度A 、B 、C 三店的营业额分别为34,5x x x ，∴第二季度A 店与C 店在第二季度的营业额之比为5∴4∴设第二季度A 店、C 店的营业额为5y 、4y ，B 店的营业额为z ∴第二季度B 店的营业额占总营业额的413， ∴45413z y y z =++，解得4z y =∴第二季度总营业额为13y∴B店增加的营业额占总增加的营业额的2 7∴44213127y xy x-=-，解得2y x=第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为537 1326 y xy-=【点睛】此题考查了分式方程的应用，理解题意设合适的未知数，弄清楚题中的等量关系是解题的关键．13．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客．3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为3:3:4．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少13．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的17，而亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3:2，则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是___________【答案】3 10【分析】设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，求出4月多彩植物园的人数，得到4月接待总人数，设4月亲子游乐园人数为m，根据4月亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3：2，得到365m a=，再根据题意求出比值．【详解】解：设3月多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量分别为3a，3a，4a，则4月多彩植物园的游客人数为3a（1-13）=2a，∴4月接待总人数为2a÷17=14a，∴4月亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量为12a，设4月亲子游乐园人数为m，则劳动体验园人数为12a-m，由题意可得：3 122ma m=-，解得：365m a =，∴4月亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比为：363514a a a-=310，故答案为：310．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，题干较长，解题时要细心认真读题，理清题中的条件，用字母表示出相关量，再进行运算．14．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。

填空题压轴题-2022-2023学年八年级数学下册期末解答压轴题必刷专题训练(华师大版)(解析版)

填空题压轴题【答案】145【详解】解：如图以DAB V 和FAQ △中：DA =∴()SAS DAB FAQ V V ≌，【答案】①②③④⑤⑥【详解】解：如图，过点∵四边形ABCD 是正方形，∴A C D ÐÐÐ==∴AEB EBC ÐÐ=∵FEB EBC ÐÐ=∴AEB BEF ÐÐ=5．如图，已知在△ABC中，AB 作平行四边形MCNB，连接MN【答案】24 5【详解】如图，设MN、BC交于点6．如图，在平面直角坐标系xoyAB AD为边作使2DP AP=，以,【答案】49【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB//CD∴∠E=∠DAE，又∵AE平分∠BAD，【答案】①④⑤【详解】解：∵四边形ABCD ∴AB CD =，AD BC =．设点P 到AB ，BC ，CD ，DA【答案】()453，【详解】解：从正方形的观点考虑，右下角对应的横坐标为1时，共有右下角对应的横坐标为2时，共有右下角对应的横坐标为3时，共有右下角对应的横坐标为4时，共有【答案】10 21【详解】解：设1A，2A，3A【答案】（10112-，10112）【详解】解：∵过点（1，0）作∴1A （1，2），把2y =代入y x =-得2x =-，即把2x =-代入2y x =得4y =-，即同理可得4A （4，4-），5A （32），…直线21y kx k =+-与直线(1)2y k x k =+++那么，COD ABDC S S =V 四边形【答案】22n+【详解】解：对于直线y=x+1∵A0B1∥x轴，∴B1的纵坐标为将y=1代入1122y x=+中得：∴A0B1=1=20，∵A1B1∥y轴，∴A1的横坐标为【答案】404432æöç÷èø【详解】解：∵直线1l ：112y x =-+与直线2l ：332y x =-+与y 轴交于点B ，∴AB 2\=，112BC AB ==，∵BC ⊥AB ，∴()1,3C -，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF，∴PA=EF，故②正确；∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD=∠BDC=∠DBC=45°，∵∠PFC=∠BCD=90°，∴PF∥BC，∴∠DPF=45°，∵∠DFP=90°，∴△FPD 是等腰直角三角形，故①正确；在△PAB 和△PCB 中，AB CB ABP CBP BP BP ìïÐÐíïî＝＝＝ , ∴△PAB≌△PCB，∴∠BAP=∠BCP，在矩形PECF 中，∠PFE=∠FPC=∠BCP，∴∠PFE=∠BAP．故④正确；∵点P 是正方形对角线BD 上任意一点，∴AD 不一定等于PD ，只有∠BAP=22.5°时，AD=PD ，故③错误，故答案为①②④．38．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，P 是矩形ABCD 内一点，沿PA 、PB 、PC 、PD 把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积为_________；这个四边形周长的最小值为________.【答案】 30 26【详解】如解图①，过点P 作PE AB ^于点E ，延长EP 交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC BCD Ð=Ð=°，5CD AB ==.∴四边形EBCF 是矩形.∴EF BC =.又∵12BC =，故答案为：30，26.39．如图，在△ABC 中，Ð，90BAC Ð=°，点A 为(3P 、A 、C 为顶点的三角形和△全等，则P 点坐标为___________【答案】(6)2-，或(81)，或则90AOB AMP Ð=Ð=°，在AOB V 和V AMP 中，AOB OAB AB ÐìïÐíïî∴(AAS)AOB AMP V V ≌，∴3AM AO ==，2MP OB == ，∴此时点P 的坐标为(6)2-，；②如图，过点C 作CP AC ^，使CP AB =，则(HL)ABC CPA V V ≌．过P 作PF x ^轴于F ，过点C 作CE x ^轴于点E ，作CD y ^轴于点D ．∵90OBA OAB Ð+Ð=°，90EAC OAB Ð+Ð=°，∴OBA EAC Ð=Ð．又∵90BOA AEC Ð=Ð=°，AB AC =，∴(AAS)BOA AEC V V ≌，∴3OD CE OA ===，2AE OB ==，∴5CD OE ==．∵CD x ∥轴，∴DCA FAC Ð=Ð．∵45BCA PAC Ð=Ð=°，∴DCA BCA FAC PAC Ð-Ð=Ð-Ð，即DCB FAP Ð=Ð．又∵90CDB AFP Ð=Ð=°，CB AP =，∴(AAS)CDB AFP V V ≌，∴321PF BD OD OB ==-=-=，5AF CD ==,∴358OF OA AF =+=+=，∴此时点P 的坐标为(81)，；③如图，作CP AC ^，使CP AB =，连接BP ，则(SAS)ABC CPA V V ≌，∵90BAC PCA Ð=Ð=°，且CP AB = ，∴四边形ABPC 是矩形，∴90AB BP ABP =Ð=°，，即90ABO PBM Ð+Ð=°，过点P 作PM y ^轴，则90BPM PBM Ð+Ð=°，∴ABO BPM Ð=Ð，在△AOB 和△BMP 中，AOB BMP ABO BPM AB BP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AOB BMP AAS V V ≌，∴3BM OA ==，2PM OB == ，∴此时点P 的坐标为(25)，；④当点P 与点B 重合时，点P 的坐标为(0)2，．综上可知，点P 的坐标为(6)2-，或(81)，或(25)，或(0)2，．。

八年级数学压轴题期末复习试卷中考真题汇编[解析版]

八年级数学压轴题期末复习试卷中考真题汇编[解析版]一、压轴题1．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长．（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由． 2．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是度；（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣34x+m 分别与x 轴、y 轴交于点B 、A ．其中B点坐标为（12，0），直线y＝38x与直线AB相交于点C．（1）求点A的坐标．（2）求△BOC的面积．（3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d．①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）．②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t的取值范围．4．如图，直线11 2y x b=-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线26y kx=-交于点()C4,2．（1）b= ；k= ；点B坐标为；（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，B四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．5．问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．6．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，求∠HPQ 的度数．7．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 8．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．观察下列两个等式：5532321,44133+=⨯-+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3⎛⎫⎪⎝⎭都是“白马有理数对”．（1）数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭中是“白马有理数对”的是_________；（2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由．（4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）10．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M ，点N ，点P ，如果将线段PM 绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN ，就称点N 是点M 关于点P 的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1),(1,3),(1,3)S P Q ---，(2,4)M -．①在点P ，点Q 中，___________是点S 关于原点O 的“正矩点”； ②在S ，P ，Q ，M 这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点_________是点___________关于点___________的“正矩点”，写出一种情况即可；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点A 关于点B 的“正矩点”记为点C ，坐标为(,)C C C x y ．①当点A 在x 轴的正半轴上且OA 小于3时，求点C 的横坐标C x 的值； ②若点C 的纵坐标C y 满足12C y -<≤，直接写出相应的k 的取值范围．11．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）12．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，且AB ＝AD +BC ，E 是DC 的中点，连结BE 并延长交AD 的延长线于G ．（1）求证：DG ＝BC ；（2）F 是AB 边上的动点，当F 点在什么位置时，FD ∥BG ；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE 交FD 于H ，FH 与HD 长度关系如何？说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）5y x =+；（2）223）PB 的长为定值52【解析】【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可；（3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．【详解】（1）对于直线:5L y mx m =+．当0y =时，5x =-．当0x =时，5y m =．()5,0A ∴-，()0,5B m ．OA OB =．55m ∴=．解得1m =．∴直线L 的解析式为5y x =+．（2）5OA =，17AM =∴由勾股定理，2222OM OA AM =-=．180AOM AOB BON∠+∠+∠=︒．90AOB∠=︒．90AOM BON∴∠+∠=︒．90AOM OAM∠+∠=︒．BON OAM∴∠=∠．在AMO∆与OBN∆中，90BON OAMAMO BNOOA OB∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩．()AMO OBN AAS∴∆≅∆．22BN OM∴==．．（3）如图所示：过点E作EG y⊥轴于G点．AEB∆为等腰直角三角形，AB EB∴=90ABO EBG∠+∠=︒．EG BG⊥，90GEB EBG∴∠+∠=︒．ABO GEB∴∠=∠．AOB EBG∴∆≅∆．5BG AO∴==，OB EG=OBF∆为等腰直角三角形，OB BF∴=BF EG∴=．BFP GEP∴∆≅∆．1522BP GP BG∴===．【点睛】本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB，求OM，用勾股定理求AB，再证AMO OBN∆≅∆，构造AOB EBG∆≅∆，求BG，再证BFP GEP∆≅∆．2．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．【解析】【分析】（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【详解】（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【点睛】本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.3．（1）点A坐标为（0，9）；（2）△BOC的面积＝18；（3）①当t＜8时，d＝﹣9 8t+9，当t＞8时，d＝98t﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017．【解析】【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求直线AB解析式，即可求点A坐标；（2）联立方程组可求点C坐标，即可求解；（3）由题意列出不等式组，可求解．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣34x+m与y轴交于点B（12，0），∴0＝﹣34×12+m，∴m＝9，∴直线AB的解析式为：y＝﹣34x+9，当x＝0时，y＝9，∴点A坐标为（0，9）；（2）由题意可得：38394y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：83 xy=⎧⎨=⎩，∴点C（8，3），∴△BOC的面积＝12×12×3＝18；（3）①如图，∵点D的横坐标为t，∴点D（t，﹣34t+9），点E（t，38t），当t＜8时，d＝﹣34t+9﹣38t＝﹣98t+9，当t＞8时，d＝38t+34t﹣9＝98t﹣9；②∵以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，∴12≤t≤1或919829918t tt t⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩，∴12≤t≤1或7617≤t≤8017．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．4．（1）4；2；(0，4)；（2）125m=或285m=；（3）存在．Q点坐标为()45,4-，()4，()0,4-或()5,4．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，将点C (4，2)代入解析式可求解；（2）设点E (m ，142m +)，F (m ，2m -6)，得()154261022EF m m m =-+--=-，由平行四边形的性质可得BO =EF =4，列出方程即可求解；（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P 点坐标，再确定O 点坐标即可求解．【详解】解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)，∴2=4k -6，∴k =2， ∵直线212y x b =-+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ，∴b =4， ∴直线解析式为：212y x b =-+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8，∴点B (0，4)，点A (8，0)，故答案为：4；2；(0，4)（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，∴EF BO =， ∴51042m -=，解得：125m =或285m =时， ∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形．（3）存在．此时Q 点坐标为()-，()4，()0,4-或()5,4．理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：①以AB 为边，如图1所示．因为点()8,0A ，()0,4B ，所以45AB =．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以AP AB =或BP BA =．当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+；当BP BA =时，点()8,0P -．当()845,0P -时，()8458,04Q --+，即()45,4-；当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()45,4；当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．可得5AP =，点P 坐标为()3,0．因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，所以点Q 坐标为()5,4．综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()45,4，()0,4-或()5,4．【点睛】本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．5．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．（1）AB ∥CD ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，所以易证AB ∥CD ；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，故结合已知条件GH ⊥EG ，易证PF ∥GH ；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得90902KPG PKG HPK ︒︒∠=-∠=-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ =45°．【详解】（1）AB ∥CD ，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，又∵∠1=∠AEF ，∠2=∠CFE ，∴∠AEF +∠CFE =180°， ∴AB ∥CD ；（2）由（1）知，AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°．又∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，∴1()902FEP EFP BEF EFD ︒∠+∠=∠+∠= ∴∠EPF =90°，即EG ⊥PF ．∵GH ⊥EG ，∴PF ∥GH ；（3）∵∠PHK =∠HPK ，∴∠PKG =2∠HPK ．又∵GH ⊥EG ，∴∠KPG =90°﹣∠PKG =90°﹣2∠HPK ，∴∠EPK =180°﹣∠KPG =90°+2∠HPK ．∵PQ 平分∠EPK ， ∴1452QPK EPK HPK ︒∠=∠=+∠， ∴∠HPQ =∠QPK ﹣∠HPK =45°．答：∠HPQ 的度数为45°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．7．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．8．（1）y=43x+2；（2）（103，10）；（3）存在， P 坐标为（6，6）或（6，+2）或（6，）．【解析】【分析】（1）设直线DP 解析式为y=kx+b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；（2）当点B 的对应点B′恰好落在AC 边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵C （6，10）,D （0，2），设此时直线DP 解析式为y=kx+b ，把D （0，2），C （6，10）分别代入，得2610bk b =⎧⎨+=⎩，解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43x+2；（2）设P （m ，10），则PB=PB′=m ，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA '-=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m ，∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103 则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP 1228627-=∴AP 17P 1（6，7）；②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3228627-∴AP 3=AE+EP 37，即P 3（6，7+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，7+2）或（6，7）．【点睛】此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．9．（1）35,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2；（3）不是；（4）（6，75）【解析】【分析】（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭分别代入1a b ab+=-计算即可判断；（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．【详解】（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，∴-2+1≠-3，∴（-2，1）不是“白马有理数对”，∵5+32=132，5×32-1=132，∴5+32=5×32-1，∴35,2⎛⎫⎪⎝⎭是“白马有理数对”，故答案为：3 5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若(,3)a是“白马有理数对”，则a+3=3a-1，解得：a=2，故答案为：2；（3）若(,)m n是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，∵-mn+1≠ mn-1∴（-n，-m）不是“白马有理数对”，故答案为：不是；（4）取m=6，则6+x=6x-1，∴x=75，∴（6，75）是“白马有理数对”，故答案为：（6，75）．【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．10．（1）①点P ；②见解析；（2）①点C 的横坐标C x 的值为-3；②334k -≤<-【解析】【分析】（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ；②利用新定义得点S 是点P 关于点M 的“正矩点”（答案不唯一）；（2）①利用新定义结合题意画出符合题意的图形，利用新定义的性质证明△BCF ≌△AOB ，则FC=OB 求得点C 的横坐标；②用含k 的代数式表示点C 纵坐标，代入不等式求解即可．【详解】解：（1）①在点P ，点Q 中，点OS 绕点O 顺时针旋转90°能得到线段OP ，故S 关于点O 的“正矩点”为点P ，故答案为点P ；②因为MP 绕M 点顺时针旋转90︒得MS ，所以点S 是点P 关于点M 的“正矩点”，同理还可以得点Q 是点P 关于点S 的“正矩点”．（任写一种情况就可以）（2）①符合题意的图形如图1所示，作CE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥y 轴于点F ，可得 ∠BFC=∠AOB=90°．∵直线3(0)y kx k =+<与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为3(0,3),(,0)B A k-在x 轴的正半轴上， ∵点A 关于点B 的“正矩点”为点(,)C C C x y ，∴∠ABC=90°，BC=BA ，∴∠1＋∠2=90°，∵∠AOB=90°，∴∠2＋∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△BFC ≌△AOB ，∴3FC OB ==，可得OE ＝3．∵点A 在x 轴的正半轴上且3OA <，0C x ∴<，∴点C 的横坐标C x 的值为－3．②因为△BFC ≌△AOB ，3(,0)A k-，A 在x 轴正半轴上，所以BF＝OA，所以OF＝OB-OF＝3 3k +点3(3,3)Ck-+，如图2， -1＜Cy≤2，即：-1＜33k+≤2，则334k-≤<-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式，新定义等，此类新定义题目，通常按照题设的顺序，逐次求解．11．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH3，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.12．（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析【解析】【分析】（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，∵E是DC的中点，即DE＝CE，∴△DEG≌△CEB（AAS），∴DG＝BC；（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC，∵AB＝AD+BC，AF＝AD，∴BF＝BC＝DG，∴AB＝AG，∵∠BAG＝90°，∴∠AFD＝∠ABG＝45°，∴FD∥BG，故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，∵FD∥BG，∴AE⊥FD，∵△AFD为等腰直角三角形，∴FH＝HD，故答案为：FH＝HD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．。

初二下学期数学期末综合压轴题100题锦集

初二下学期数学期末综合压轴题100题锦集1.△ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C 不重合），△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,交射线AC于点F,连接BE．（1）如图E 13.1，当点D在线段BC上运动时．① 求证：△AEB≌△ADC；② 探究四边形BCFE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如AFDFDCE图（备用图）图13.113.2，当点D在BC的延长线上运动时，请直接写出（1）中的两个结论是否仍图然成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCFE是菱形？并说明理由．，B60°，BC2．点O是AC的2．如图，在Rt△ABC中，ACB90°中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设AOD=．（1）当等于多少度时，四边形EDBC是等腰梯形？并求此时AD的长；EDBC90°（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．-1）3.如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，，且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；．．（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，设点Q的横坐标为n，求平行四边形OPCQ周长（周长用n 的代数式表示），并写出其最小值．．．第3题图14．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是 ,FG与DC的数量关系是；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.AAF第3题图2D EG C BC B4.例：如图1，△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，∠AMN=60°，且MN交三角形外角的平分线CN于点N．求证：AM=MN．思路点拨：取的AB中点P，连结PM易证△APM ≌△MCQ从而AM=MN．问题解决： (1)如图2，四边形ABCD是正方形，点M是边BC的中点，CN是正方形ABCD的外角∠DCQ的平分线．①填空：当∠AMN = °时，AM=MN；②证明①的结论．(2)请根据例题和问题(1)的解题过程，在正五边形ABCDE中推广出一个类似的真命题．（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明．）第5题图2 第5题图3 第5题图15.如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．6．如图，正方形OABC的面积为4，点D为坐标原点，点B在函数y的图象上，点P(m，n)是函数y k(k0,x0)xk(k0,x0)的图象上异于B的任意一点，过点Px分别作x轴、)，轴的垂线，垂足分别为E、F．(1)设矩形OEPF的面积为s1，求s2；(2)从矩形DEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为．s2写出．s2与m的函数关系式，并标明m的取值范围．7.在直角坐标系xoy中,将面积为3的直角三角形AGO沿直线y=x翻折，得到三角形CHO，连接AC，已知反比例函数y k x0的图象过A、C两点，如图①. x（1）k的值是 .（2）在直线y=x图象上任取一点D，作AB⊥AD，AC⊥CB，线段OD交AC于点F，交AB于点E， P为直线OD上一动点，连接PB、PC、CE.㈠如图②，已知点A的横坐标为1，当四边形AECD为正方形时，求三角形PBC的面积. ㈡如图③，若已知四边形PEBC为菱形，求证四边形PBCD是平行四边形.㈢若D、P两点均在直线y=x上运动，当ADC=60°，且三角形PBC的周长最小时，请直接写出三角形PBC与四边形ABCD的面积之比.8．（1）如图6，点E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边上的点，若AE=BF=CM=DN，求证：四边形EFMN是平行四边形.（2）如图7，当E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点时，试判断四边形EFMN的形状，并说明理由.9、如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE。

(完整版)八年级数学期末难题压轴题

•••四边形AODE是正方形.（1分）
111
•OA=DE,•OF= — AO,：AF =—AO-DE.（1分）
222
（2）解：AF+BF=EF、AF2+EF2=2BF2等（只要其中一个，BF=（1, 3）AF、
EF=（2 ■. 3）AF、BF=（ .3 1）EF也认为正确）.（1分）
AF+BF=EF的证明方法一：
已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F,
（1）如图
（2）如图并证明.
1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明;
2,当厶EAD为等边三角形时，写出线段
AF、
BF、EF之间的一个数量关系,
图1
图2
（第26题）
1
26.（1）解：AF=—DE,（1分）
26.（本题满分10分）
已知：在矩形ABCD中，AB=10,BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.
（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（5分）
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式
平移，在平移过程中，直线I交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线I都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒（t0）.
1当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
(3)当？OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标(不要求过程，只需写出结果)
奉y
4
27.如图已知一次函数y=—x+7与正比例函数y=X的图象交于点A,且与x轴交于点B.

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)

期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为，当A F AC '⊥时，AF 的长为．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭；当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−，解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54，故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为．【答案】或【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2．【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ，由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+，解得52x =，52CD ∴=，当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。

人教版八年级数学上学期期末压轴精选30题(解析版)

人教版八年级数学上学期期末压轴精选30题考试范围：全册的内容，共30小题. 八年级期中）ABC 中，120，点D9060 90或60 D 90或120【答案】D 【分析】ADC △为直角三角形分两种情况讨论一是当AD BC ⊥时，的度数；二是D 的度数即可．时，AD C ' 为直角三角形，AB AC =120=，30C ∴∠=AD B D AC ''∴∠+∠=综上所述120=︒ 或90故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定义，直角三角形等知识，熟悉掌握有关知识是解题4得到相应的规律，根据规律再进行计算即可．1112x =-+x ，A．6B．7C．8D．9若ABC的三边则ABC．直角三角形．等腰三角形或直角三角形20=，从而可得【详解】解：ABC∆的三边22+-=b c22=，b c是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，非负数性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．90C +∠60时，AF ABC S ab =其中正确的个数是（A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个证得HBO EBO ≌，得到再证得HAO FAO ≌，得到∴BF 是ABC ∠的角平分线，和EBO 中，EBO ，∴()SAS HBO EBO ≌60BOH BOE ∠=∠=︒在HAO和FAO中，HAO FAOAO AOAOH AOF∠=∠=∠=∠，∴()ASAHAO FAO≌AF AH=，AB BH AH BE=+=故②正确；作OH AC⊥于H，OM∴BAC∠和ABC∠的平分线相交于点O，ABCS=③正确．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得HBO EBO≌，得到重庆市第七中学校八年级阶段练习）都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，以此类推．通过下列实际操作，第二次操作后整式串为：x解：第一次操作后的整式串为：x<，329x∴<，即2∴-，3(9)0x即第二次操作后，当|第三次操作后整式串为第四次操作后整式串为3，个，故③的说法错误，不符合题意；第一次操作后所有整式的和为若ABC的边∆的值，作图后由AOD形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，即可得中线长m的取值范围．20）===，DO CO ∠=∠, AO BOAOD BOC【答案】36︒##36度个1A BC 中，个12A A D ；在边2A D ，按此方法继续下去，第n 个等腰三角形的底角度数是1n -在1A BC 中，)202︒÷=1DA ，12802=⨯︒，【答案】②④##④②【详解】∠∴90BAC ︒∠=，AB AC =，∴45B C ∠==︒∠，在BED 和△BED △≌△ED FD =；②正确；BED △≌△Rt ABC 中，=90，AB =45，过点过点C 作CF 垂足是ABD ≌△10=ADE S ，=4CEF S 则=24ABC S ．【答案】①②③【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得BAD CAF ∠=∠，B ACF ∠=∠，再利用ASA 可判断①正确；再证明ADE AFE △≌△可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误．【详解】解：在Rt ABC 中，=90BAC ∠，=AB AC ，45B ACB ∴∠=∠=，90BAD DAC ∠+∠=，AF AD ⊥，90CAF DAC ∴∠+∠=︒，BAD CAF ∴∠=∠，CF BC ⊥，9045ACF ACB ∴∠=︒-∠=，则B ACF ∠=∠，在ABD △和ACF △中，BAD CAF AB ACB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD ACF ASA ∴≌，故①正确；AD AF ∴=，45DAE ∠=，AF AD ⊥，9045FAE DAE DAE ∴∠=-∠==∠，在ADE 和AFE △中，AD AF DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AFE SAS ∴≌，∴=DE EF ，故②正确；∴ADE AFE △≌△，ABD ACF ≌△△，ABD ACF SS ∴=，ADE AFE S S =，BD CF =，DE EF =， ABC ABD ADE AEC SS S S ∴=++ ACF ADE AEC S S S =++ADE AFE CEF S S S ++ADE CEF S S +104⨯+24，故③正确；CEF 中，CF CE +BD CE ∴+故④错误，综上，正确的是故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等(1)图2中的阴影部分的边长为___________；，在等腰直角ABC 中，是ABC 内一点，连接CE 交于点(1)如图1，求BFC ∠的度数；证得ABD ACE ≅，得出）设AC 交EG 于点H 45AED ACG ︒==∠，推出2BAD CGD α==∠，则BAD ，得出KAG ∠=∠证得AKG ADG ≅，得出180BKG AKG ︒+∠=，得出，得出GB GK DG ==，推出BDG EDF α=∠=，即可得出结论所示：∴AE AD ⊥，∴BAD CAE∠=∠，在ABD△和ACE△中，AB ACBAD CAEAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴(SAS)ABD ACE≅，∴ABD ACF∠=∠，∴AHB FHC∠=∠，∴90BFC BAC︒∠=∠=；（2）设AC交EG于点H，在AB上截取AK AD=，连接KG，如图2所示：∴,90AD AE DAE︒=∠=∴45,AED ACG︒∠==∠∴,AHE GHC∠=∠∴,EAC CGE∠=∠由（1）知：,BAD CAE∠=∠∴,BAD CGD∠=∠设2,BAD a CGD∠==∠∴2,EAC BAD a∠=∠=∴1802,BGD a︒∠=-∴180,BAD BGD︒∠+∠=∴180,ABG ADG︒∠+∠=∴AG平分,BAD∠∴,KAG DAG a∠=∠=在AKG△和ADG△中，,AK ADKAG DAGAG AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS),AKG ADG≅13的解为_____；_____的解为八年级期末）已知，在等边ABC中，(1)如图1，求AFD∠的度数；10AF，求BCD ，从而得到∴ABC 为等边三角形，60C ∠=︒，在ABE 和△中，AB BC ABE BCD BE CD =∠=∠=)SAS ABE △≌△，BAE CBD ∠=∠AFD ∠=∠∴AMB ABM ∠=∠，∴AB AM =，∴AH BD ⊥，∴10MH BH ==，∴51015FM FH HM =+=+=．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30︒的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．（2022·四川省内江市第二中学八年级期中）阅读材料利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式()20ax bx c a ++≠的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如245x x +-2224225x x =++--()()()()()229232351x x x x x =+-=+++-=+- 根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式（利用公式法）：228x x +-；(2)已知ABC 的三边长a ，b ，c ，且满足221012610a b a b +--+=，求ABC 的最大边c 的取值范围．(3)已知2261P x y x =-+-，22413Q x y =++，试比较P ，Q 的大小．【答案】(1)()()42x x +-(2)611c ≤<(3)P Q <【分析】（1）仿照题意进行求解即可；（2）利用完全平方公式将所给式子变形为()()22560a b -+-=进而求出a 、b 的值，再根据三角形三边的关系求解即可；（3）利用作差法求出()()2232P Q x y -=---+，据此即可得到答案．【详解】（1）解：228x x +- 2222118x x =++--()219x =+- ()()1313x x =+++-()()42x x =+-；（2）解：∴221012610a b a b +--+=，∴22221051260a a b b -++-+=，∴()()22560a b -+-=，∴()()225060a b -≥-≥，，∴()()22560a b -=-=，∴5060a b -=-=，，∴56a b ==，，∴b a c a b -<<+，∴111c <<，∴c 是最大边，∴611c ≤<；（3）解：∴2261P x y x =-+-，22413Q x y =++，∴222612413P Q x y x x y -=-+----，226414x x y y =-+---2269441x x y y =-+----- ()()22321x y =---+-， ∴()()223020x y -≥+≥，，∴()()22320x y ---+≤，()()223210x y ---+-< ∴0P Q -<，∴P Q <．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题的关键．22．（2022·福建·莆田锦江中学八年级期中）如图，AB AD ⊥，且AB AD =，AC AE ⊥，且AC AE =(1)如图1，连接DC 、BE ，求证：DC BE =；(2)如图2，求证：ABC ADE S S ∆∆=(3)如图3，GF 经过A 点与DE 交于G 点，且GF BC ⊥于F 点．求证：G 为DE 的中点．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】（1）根据垂直可得90BAE CAE ==︒∠∠，得出DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的判定证明DAC BAE ≅，可得答案；（2）作EM AD ⊥交DA 的延长线于M ，作CN AB ⊥，进而可得CAN MAE =∠∠，根据全等三角形的判定证明ACN AEM ≅，进而得出CN EM =，根据三角形的面积公式可得；（3）作DM AG ⊥交AG 的延长线于M ，作EN AG ⊥，先证明C NAE =∠∠，再证FCA NAE ≅，得出AF NE =；再证明BAF ADM ≅，得出AF DM =，进而得出DM NE =，再证明DMG ENG ≅，即可得出答案．【详解】（1）∴AB AD ⊥，AC AE ⊥，∴90BAE CAE ==︒∠∠∴BAD BAC BAC CAE +=+∠∠∠∠∴DAC BAE ∠=∠在DAC △和BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAC BAE ≅∴DC BE =（2）作EM AD ⊥交DA 的延长线于M ，作CN AB ⊥∴90EMD CNA ==︒∠∠∴90MAN CAE ==︒∠∠∴MAN CAM CAE CAM -=-∠∠∠∠∴CAN MAE =∠∠在ACN △和AEM △中，∴ACN AEM ≅CN EM =AB AD =，1122AB CN AD ⨯⨯=⨯ABC ADE S S ∆∆=（3）作DM AG ⊥交AG 的延长线于M ，作EN AG ⊥在CAF 和NEA 中，90CFA ENA C NAE AC AE ∠=∠=︒∠=∠=∴FCA NAE ≅∴AF NE =BAF B BAF +=∠∠∠B DAM ∠=∠在BAF △和ADM △90BFA DMA B DAM ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨∴BAF ADM ≅AF DM =DM NE =在DMG 和ENG △中，DMG ENG DGM NGE DM NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG ENG ≅∴DG EG =∴G 为DE 的中点．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键．23．（2022·山东淄博·八年级期中）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y -+-，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：22424x y x y -+-()()22424x y x y =-+-分组()()()2222x y x y x y =-++-组内分解因式 ()()222x y x y =-++整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：22993x x y y -+-；(2)已知ABC 的三边a b c 、、满足220a b ac bc --+=，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()x y x y -+-333(2)ABC 为等腰三角形；理由见解析【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；（2）将220a b ac bc --+=通过因式分解化为()()0a b a b c -+-=；由三角形的三边关系可知0a b c +->；所以0a b -=，即a b =，从而得出结论；【详解】（1）解：22993x x y y -+-()()22993x y x y =---()()()3333x y x y x y =-+--()()333x y x y =-+-（2）解：依据分组分解法，得()()220a b ac bc ---=()()()0a b a b c a b -+--=()()0a b a b c -+-=根据三角形三边关系，易得0a b c +->∴0a b -=∴a b =∴ABC 为等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 24．（2022·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在ABC 中，若10AB =，6AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连接BE (或将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △)，把AB ，AC ，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，140BCD ∠=︒，以C 为顶点作一个70︒角，角的两边分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，探索线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)28AD <<；(2)见解析；(3)BE DF EF +=，证明见解析【分析】（1）延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，证明SAS BDE CDA ≌（），根据三角形三边关系即可求解；（2）延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，同（1）得，(SAS)BMD CFD ∆≌，证明(SAS)EDM EDF ≌在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，即可得证；（3）延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，证明(SAS)NBC FDC ≌，(SAS)NCE FCE ≌，根据求的三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ，如图①所示：∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，在BDE △和CDA 中，BD CD BDE CDA DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴SAS BDE CDA ≌（）， ∴6BE AC ==，在ABE 中，由三角形的三边关系得：AB BE AE AB BE -<<+，∴106106AE -<<+，即416AE <<，∴28AD <<；故答案为：28AD <<；（2）证明：延长FD 至点M ，使DM DF =，连接BM ，EM ，如图所示同（1）得，(SAS)BMD CFD ∆≌，BM CF ∴=DE DF ⊥，DM DF =，DE DE =(SAS)EDM EDF ∴≌，EM EF ∴=在BME ∆中，由三角形的三边关系得BE BM EM +>，BE CF EF ∴+>（3）BE DF EF +=证明如下：延长AB 至点N ，使BN DF =，连接CN ，如图所示180ABC D ∠+∠=︒，180NBC ABC ∠+∠=︒NBC D ∴∠=∠在NBC 和FDC △中，BN DF NBC D BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)NBC FDC ∴≌CN CF ∴=，NCB FCD ∠=∠140BCD ∠=︒，70ECF ∠=︒70BCE FCD ∴∠+∠=︒，70ECN ECF ∴∠=︒=∠(SAS)NCE FCE∴≌EN EF∴=．BE BN EN+=，BE DF EF∴+=【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助对于任意2x与一个分式51x的和的形式．拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；的值为整数，直接写出满足条件的整数对于任意整数（1）（2）证明：90ABC =QEA =∠=BAP APB ∠+∠中，证明：ΔPAB ≅，ACB ∆为等腰三角形，AB CB ∴=，QE CB ∴=，在ΔQEM CBM ∆中，QME QEM QE CB ∠=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩QA AP ⊥，HA AC ⊥，AP PD ⊥，QAH ∴∠QAH ∴∠PAQ ∆为等腰直角三角形，AQ AP ∴=在AQH ∆和AQH AQ APQAH ∠⎧⎪=⎨⎪∠⎩HA AC ⊥HAF ∴∠在AHF ∆AH AD HAF AF AF =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩ΔAHF ∴≌m n 的正方形．(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．28．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级阶段练习）（1）如图1，已知，在ABC 中，10AB AC ==，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，过点D 作EF BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则图中共有________个等腰三角形：EF 与BE 、CF 之间的数量关系是________，AEF △的周长是________．（2）如图2，若将（1）中“ABC 中，10AB AC ==”改为“若ABC 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC 外，AB AC >，且BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACG ∠，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可求出AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∴AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴DB DC =，∴EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC 为不等边三角形，∴BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,BE DE CF DF ==，∴等腰三角形有,DEB DFC ，共计2个，故答案为：2；∴,BE DE CF DF ==，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+；∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+810=+18=；（3）EF 与BE 、CF 之间的数量关系为：EF BE CF =-，证明：∴BD 平分ABC ∠，CD 平分ACG ∠，∴,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，∴EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,BE DE CF DF ==，∴EF DE DF BE CF =-=-，即EF 与BE 、CF 之间的数量关系为EF BE CF =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．29．（2022·重庆市第一一〇中学校九年级开学考试）“数形结合百般好”．在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：()222+2a b a ab b +=+．请结合以上知识，解答下列问题：(1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式；(2)根据图3得到的结论，解决下列问题：若8a b c ++=，19ab ac bc ++=，求代数式222a b c ++的值；(3)小明同学用图4中x 张边长为a 的正方形纸片，y 张边长为b 的正方形纸片，z 张边长分别为a ，b 的长方形纸片拼出一个面积为()()2365a b a b ++的长方形，求代数式x y z ++的值．【答案】(1)()()22232a b a b a ab b ++=++(2)26(3)55【分析】（1）根据表示图形面积的两种方法即可得到答案；（2）由题意得到大正方形的面积＝()2a b c ++，各个小图形面积之和＝222222a b c ab ac bc +++++，利用面积相等和已知条件即可求解；（3）大长方形的面积为()()222365122815a b a b a ab b ++=++，小图形的面积分别为22,,a b ab ，进一步即可得到答案．【详解】（1）拼成的大长方形面积之和()()2a b a b =++，各个小图形面积之和2232a ab b =++，∴图2所表示的数学等式是()()22232a b a b a ab b ++=++．故答案为：()()22232a b a b a ab b ++=++．（2）图（3）中大正方形的面积＝()2a b c ++，各个小图形面积之和＝222222a b c ab ac bc +++++，∴()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++．∴8a b c ++=，19ab ac bc ++=．∴()222222228a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，即()222264a b c ab ac bc +++++=，∴()2226426421926a b c ab ac bc ++=-++=-⨯=．（3）大长方形的面积为：()()2222236512101815122815a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++， ∴小图形的面积分别为22,,a b ab ，∴12,15,28x y z ===．∴12152855x y z ++=++=．【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之间的等量关系是解决此类题型的关键．30．（2022·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：如图1，在ABC 中，O 是ABC ∠与ACB ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC ∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O 是ABC ∠与外角ACD ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC ∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由．(3)探究3：如图3中，O 是外角DBC ∠与外角ECB ∠的平分线BO 和CO 的交点，则BOC ∠与A ∠有怎样的关系？（直接写出结论）∴BO 和CO 分别是ABC ∠和ACD ∠的角平分线，是ABC 的一个外角，(12ACD A =∠是BOC 的一个外角，1212BOC =∠-∠=∠12BOC A =∠；）解：∴O 是外角1OBC CBD =∠在BOC 中，180BOC =(11802-∠︒(11801802︒-1在BOC 中，5）解：∴BCD CDE ∠+∠CP DP ,分别平分PCD PDC ∠+∠在PCD 中，()()1801801808595CPD PCD PDC PCD PDC ︒︒︒︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，利用类比思想解答是解题的关键．。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(-等腰三角形的性质)解析版

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编等腰三角形的性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图CD是等腰三角形△ABC底边上的中线BE平分∠ABC 交CD 于点E AC＝8 DE＝2 则△ BCE的面积是（）A．4B．6C．8D．12【答案】C【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F∵AC＝BC＝8 CD是等腰三角形△ABC底边上的中线∴CD⊥AB∵BE平分∠ABC ED⊥AB EF⊥BC∴EF＝DE＝2∴△BCE的面积＝12×BC×EF＝12×8×2=8.故答案为：C.【思路引导】过点E作EF⊥BC于F 利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB 利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.2．（2分）（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在ABC 中 2A B C ∠=∠=∠ 则 ABC 为直角三角形【答案】C【完整解答】解：A 、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合即三线合一故此选项错误；B 、三角形的内角和为180° 故此选项错误；C 、有两个角是60° 则第三个角为 180606060︒-︒-︒=︒ 所以三角形是等边三角形故此选项正确；D 、设 C x ∠= 则 2A B x ∠=∠= 故 22180x x x ++=︒ 解得 36x =︒ 所以 72A B ∠=∠=︒ 36C ∠=︒ 此三角形不是直角三角形故此选项错误.故答案为：C.【思路引导】A 、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合据此判断即可； B 、三角形的内角和为180° 据此判断即可；C 、三个角是60°的三角形时等边三角形据此判断即可；D 、根据三角形内角和定理求出最大角利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可.3．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ 则它底角的度数是（） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 【答案】C【完整解答】解：当70°角为顶角时它的底角为()118070552︒-︒=︒ 当70°角为底角时它底角的度数是70°故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时利用三角形的内角和定理求出其底角的度数即可求解.4．（2分）（2021八上·凉山期末）如图 MNP 中 60P ∠=︒ MN NP = MQ PN ⊥ 垂足为Q 延长MN 至G 取 NG NQ = 若 MNP 的周长为12 MQ m = 则 MGQ 周长是（）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m【答案】C 【完整解答】解：∵60P ∠=︒ MN NP =∴△PMN 是等边三角形∵MQ PN ⊥∴QN=PQ= 12MN ∠QMN=30° ∠QNM=60°∵NG NQ =∴∠GQN=∠G=30° QN=NG=12MN ∴∠QMN=∠G=30°∴QM=QG∵MNP 的周长为12 MQ m =∴MN=4 QN=NC=2 QM=QG=m∴MGQ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形得QN=PQ=12MN ∠QMN=30° ∠QNM=60° 根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30° QN=NG=12MN 推出QM=QG 根据△MNP 的周长可得MN=4 QN=NC=2 QM=QG=m 据此求解.5．（2分）（2021八上·遵义期末）已知 ABC 的周长是16 且 AB AC = 又 AD BC ⊥ D 为垂足若 ABD 的周长是12 则AD 的长为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【完整解答】解：如图：∵AB=AC 且AD ⊥BC∴BD=DC= 12BC ∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16∴AB+BD=8∴AB+BD+AD=8+AD=12解得AD=4.故答案为：D.【思路引导】根据等腰三角形的性质可得BD=DC=12BC 结合△ABC 的周长为16可得AB+BD=8 然后根据△ABD 的周长为12就可求出AD.6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图在 ABC 中 AC BC = 30B ∠=︒ D 为 AB 的中点 P 为 CD 上一点 E 为 BC 延长线上一点且 .PA PE = 有下列结论：①30PAD PEC ∠+∠=︒ ；②PAE 为等边三角形；③PD CE CP =- ；④.ABC AECP S S =四边形其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②C ．①②④D ．③④【答案】C 【完整解答】解：如图连接BP∵AC＝BC ∠ABC＝30° 点D是AB的中点∴∠CAB＝∠ABC＝30° AD＝BD CD⊥AB ∠ACD＝∠BCD＝60°∴CD是AB的中垂线∴AP＝BP 而AP＝PE∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA ∠PEB＝∠PBE∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°故①正确；∵PA＝PE∴∠PAE＝∠PEA∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°︒-︒=︒，∴∠PAE+∠PEA＝18060120=，∴∠=︒而PA PEAPE60∴△PAE是等边三角形故②正确；='，则点P关于AB的对称点为P′ 连接P′A 如图延长PD至P'使PD P D∴AP＝AP′ ∠PAD＝∠P′AD∵△PAE 是等边三角形∴AE ＝AP∴AE ＝AP′∵∠CAD ＝∠CAP+∠PAD ＝30°∴2∠CAP+2∠PAD ＝60°∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD ＝60°﹣∠PAC60EAC PAC ∴∠=︒-∠，∴∠P′AC ＝∠EAC∵AC ＝AC∴△P′AC ≌△∠EAC （SAS ）∴CP′＝CE∴CE ＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD ∴2CE CP PD -= . 故③错误；过点A 作AF ⊥BC 在BC 上截取CG ＝CP∵CG ＝CP ∠BCD ＝60°∴△CPG 是等边三角形∴∠CGP ＝∠PCG ＝60°∴∠ECP ＝∠PGB ＝120° 且EP ＝PB ∠PEB ＝∠PBE∴△PCE ≌△PGB （AAS ）∴CE ＝GB∴AC ＝BC ＝BG+CG ＝EC+CP∵∠ABC ＝30° AF ⊥BE∴AF ＝12AB ＝AD ∵S △ACB ＝ 12 CB×AF ＝ 12 （EC+CP ）×AF ＝ 12 EC×AF+ 12 CP×AD ＝S 四边形AECP ∴S 四边形AECP ＝S △ABC .故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【思路引导】连接BP 根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB ＝∠ABC ＝30° AD ＝BD CD ⊥AB ∠ACD ＝∠BCD ＝60° 进而推出AP ＝BP ＝PE 由等腰三角形的性质可得∠PAB ＝∠PBA ∠PEB ＝∠PBE 然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA ＝120° ∠APE=60° 据此判断②；延长PD 至P′ 使PD=P′D 则点P 关于AB 的对称点为P′ 连接P′A 由等边三角形的性质可得AE ＝AP 则AE ＝AP′ 推出∠P′AC ＝∠EAC 证明△P′AC ≌△∠EAC 得到CP′＝CE=CP+2PD 据此判断③；过点A 作AF ⊥BC 在BC 上截取CG ＝CP 则△CPG 是等边三角形则∠CGP ＝∠PCG ＝60° 证明△PCE ≌△PGB 得到CE ＝GB 推出AC ＝BC ＝EC+CP 根据含30°角的直角三角形的性质可得AF ＝12AB ＝AD 据此不难判断④.7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图四边形ABCD 中 AB=AD 点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上若αBAD ∠= 则ACB ∠的度数为（）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 【答案】D 【完整解答】解：如图连接AB′ BB′ 过A 作AE ⊥CD 于E∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上∴AC 垂直平分BB′∴AB ＝AB′∴∠BAC ＝∠B′AC∵AB ＝AD∴AD ＝AB′又∵AE ⊥CD∴∠DAE ＝∠B'AE∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12α 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°∴四边形AOB′E 中 ∠EB′O ＝180°−12α ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12α ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α 故答案为：D.【思路引导】连接AB′ BB′ 过A 作AE ⊥CD 于E 利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′ ∠BAC ＝∠B′AC 利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′ 由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE 由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′ 代入计算可表示出∠ACB 的度数.8．（2分）（2021八上·江津期中）如图等腰三角形ABC 的底边BC 长为3 面积是18 腰AC 的垂直平分线EF分别交AC AB边于E F点.若点D为BC边的中点点M为线段EF上一动点则△CDM周长的最小值为（）A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5【答案】D【完整解答】解：如图连接AM、AD∵EF垂直平分线段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时CM+MD取得最小值且最小值为线段AD的长∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周长的最小值为AD+CD∵D为BC的中点AB=AC∴11.52CD BC==AD⊥BC∴13182ABCS AD=⨯⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【思路引导】连接AM、AD 由线段垂直平分线的性质可得CM=AM 当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时CM+MD取得最小值且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得1 1.52CD BC == AD ⊥BC 利用△ABC 的面积可求出AD 的长从而求出此时△CDM 的周长即可. 9．（2分）（2021八上·江阴期中）如图在△ABC 中 AB ＝AC ∠BAC ＝46° ∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O 点E 在BC 上点F 在AC 上连接EF.将∠C 沿EF 折叠点C 与点O 恰好重合时则∠OEC 的度数（）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98° 【答案】B【完整解答】解：连接BO CO∵∠BAC=46° ∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O∴∠OAB=∠OAC=23°∵OD 是AB 的垂直平分线∴OA=OB∵OA=OB ∠OAB=23°∴∠OAB=∠ABO=23°∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=67°∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=67°-23°=44°∵AB=AC ∠OAB=∠OAC AO=AO∴△ABO ≌△ACO （SAS ）∴BO=CO∴∠OBC=∠OCB=44°∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合∴EO=EC∴∠EOC=∠OCE=44°∴∠OEC=180°-∠EOC -∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO CO 由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23° 根据垂直平分线的性质可得OA=OB 结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23° ∠ABC=∠ACB=67° 然后求出∠OBC 的度数证明△ABO ≌△ACO 得到BO=CO 则∠OBC=∠OCB=44° 根据折叠的性质可得EO=EC 则∠EOC=∠OCE=44° 然后在△OEC 中应用内角和定理进行求解.10．（2分）（2021八上·广安期末）如图在 ABC 中 ABC ACB ∠∠，的平分线相交于点E AB BC ，边的垂直平分线相交于点D.若 120BEC ∠=︒ 则 BDC ∠ 的度数为（）A ．150︒B ．130︒C ．127︒D ．120︒【答案】D 【完整解答】解：∵120BEC ∠=︒∴∠EBC+∠ECB=180°- 18012060BEC ∠=︒-︒=︒∵BE CE 分别 ABC ACB ∠∠，∴22ABC EBC ACB ECB ∠=∠∠=∠，()2260120ABC ACB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴()18060BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒∵AB BC ，边的垂直平分线相交于点D.∴AD=BD=CD∴ABD BAD DAC DCA ∠=∠∠=∠，∴1801802ADB ABD BAD DAB ∠=︒-∠-∠=︒-∠1801802ADC DAC ACD DAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠∴()180218023602360120240ADB ADC DAB DAC DAB DAC ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+=︒-︒=︒ ∴()360360240120BDC ADB ADC ∠=-∠+∠=︒-︒=︒故答案为：D.【思路引导】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60° 由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC ∠ACB=2∠ECB 则∠ABC+∠ACB=120° 由内角和定理可得∠BAC=60° 根据垂直平分线的性质可得∴AD=BD=CD 由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD ∠DAC=∠DCA 则∠ADB=180°-2∠DAB ∠ADC=180°-2∠DAC 进而求出∠ADB+∠ADC=240° 接下来根据周角的概念进行计算即可.二．填空题（共10小题满分22分每小题2分）11．（2分）（2021八上·永定期末）在ABC 中 AD ⊥BC 于点D BD ＝CD 若BC ＝6 AD ＝4 则图中阴影部分的面积为 .【答案】6【完整解答】解：如图先标注字母∵在△ABC 中 AD ⊥BC BD ＝CD∴AB ＝AC ∠ADB ＝∠ADC ＝90° S △ABD ＝S △ACD∴∠BAD ＝∠CAD在△ABE 和△ACE 中AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAE AE ＝AE∴△ABE ≌△ACE （SAS ）∴S △ABE ＝S △ACE在△BDF 和△CDF 中BD ＝CD ∠BDF ＝∠CDF DF ＝DF∴△BDF ≌△CDF （SAS ）∴S △BDF ＝S △CDF∴S △BEF ＝S △CEF∵S △ABC ＝12BC•AD ＝12×4×6＝12 ∴S 阴影＝12S △ABC ＝6．故答案为：6.【思路引导】由AD ⊥BC 于D 点 BD ＝CD 得△ABC 是等腰三角形易证△ABE ≌△ACE △BDF ≌△CDF 继而可得S 阴影＝12S △ABC 则可求得答案． 12．（2分）（2021八上·句容期末）如图 35MON ∠=︒ 点P 在 MON ∠ 的边 ON 上以点P 为圆心 PO 为半径画弧交 OM 于点A 连接 AP 则 APN ∠= ︒ .【答案】70【完整解答】解：由作图可知 PO=PA∴∠PAO=∠O=35°∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA 根据等边对等角得∠PAO=∠O=35° 由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO 据此计算.13．（2分）（2021八上·句容期末）如图 AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架要使木架更加牢固需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、FG 、 GH … 且 OE EF FG GH === … 在 OA 、 OB 足够长的情况下如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根则锐角 α 的范围为 .【答案】0°＜α＜90 7⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【完整解答】解：∵OE=EF∴∠EOF=∠EFO=α∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α同理可得∠GFH=3α ∠HGB=4α ∵最多能添加这样的钢管6根∴7α＜90°∴0°＜α＜90 7⎛⎫︒ ⎪⎝⎭故答案为：0°＜α＜907⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α 由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α 同理可得∠GFH=3α ∠HGB=4α 由题意可得7α＜90° 求解即可.14．（2分）如图已知△ABC中∠B=∠ACB ∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点．∠ADC=100° 那么∠CAB是．【答案】140°【完整解答】解：设∠CAB=x∵在△ABC中∠B=∠ACB= 12（180°﹣x）∵CD是∠ACB的角平分线AD是∠BAC的角平分线∴∠ACD= 14（180°﹣x）∠DAC=12x∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°∴14（180°﹣x）+12x+100°=180°∴x=140°故答案是：140°．【思路引导】设∠CAB=x 根据已知可以分别表示出∠ACD 和∠DAC 再根据三角形内角和定理即可求得∠CAB 的度数．15．（2分）（2022八上·新昌期末）如图一块木板把ABC 遮去了一部分过点A 的木板边沿恰好把ABC 分成两个等腰三角形已知10B ∠=︒ 且∠B 是其中一个等腰三角形的底角则ABC 中最大内角的度数为 .【答案】90°或140°或150°【完整解答】解：根据题意分三种情况进行讨论：如图所示：①ABD 与ACD 为等腰三角形 10B ∠=︒ 且B ∠为底角∴10B BAD ∠=∠=︒∴160ADB ∠=︒∴20ADC ∠=︒ 20ADC C ∠=∠=︒∴140CAD ∠=︒150BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒在ABC 中 150BAC ∠=︒ 10B ∠=︒ 20C ∠=︒∴最大内角为150︒；②∵20ADC ∠=︒ 20ADC CAD ∠=∠=︒ ADC 为等腰三角形C ∠为顶角 ∴140C ∠=︒30BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒在ABC 中 140C ∠=︒ 30BAC ∠=︒ 10B ∠=︒∴最大内角为140︒；③∵20ADC ∠=︒ 80ACD CAD ∠=∠=︒ ADC 为等腰三角形ADC ∠为顶角在ABC 中 10B ∠=︒ 80C ∠=︒ 90BAC ∠=︒∴最大内角为90︒；综上可得：最大内角为150︒或140︒或90︒.故答案为：150︒或140︒或90︒.【思路引导】①△ABD 和△ACD 为等腰三角形 ∠B=10° 且∠B 为底角根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB=160° 根据邻补角的性质求出∠ADC 的度数利用内角和定理求出∠CAD 的度数根据∠BAC=∠BAD+∠CAD 求出∠BAC 的度数进而可得最大内角；②∠ADC=20° △ADC 为等腰三角形 ∠C 为顶角易得∠ABC=∠BAD+∠CAD=30° 据此得最大内角；③∠ADC=20° △ADC 为等腰三角形 ∠ADC 为顶角求出∠B 、∠C 、∠BAC 的度数进而可得最大内角.16．（2分）（2021八上·芜湖期末）一个等腰三角形的一边长为2 另一边长为9 则它的周长是．【答案】20【完整解答】解：分两种情况：当腰为2时 2＋2＜9 所以不能构成三角形；当腰为9时 2＋9＞9 所以能构成三角形周长是：2＋9＋9＝20．故答案为：20．【思路引导】利用三角形的三边关系根据等腰三角形的性质求解即可。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(最短路径问题)解析版

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编最短路径问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2021八上·花都期末）如图点E在等边△ABC的边BC上BE＝4 射线CD⊥BC 垂足为点C 点P是射线CD上一动点点F是线段AB上一动点当EP+FP的值最小时BF＝5 则AB的长为（）A．7B．8C．9D．10【答案】A【完整解答】解：作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE∴PE=PE'∴EP+FP=PE'+PF≥E'F此时EP+FP的值最小∵△ABC是正三角形∴∠B=60°∵E'F⊥AB∴∠FE'B=30°∴BE'=2BF∵BF=5 BE=4∴E'B=10∵CE=CE'∴10=2CE+BE=2CE+4∴CE=3∴BC=7故答案为：A．【思路引导】作E点关于CD的对称点E' 过E'作E'F⊥AB交于点F 交CD于点P 连接PE 此时EP+FP 的值最小由题意得出∠FE'B=30° 则BE'=2BF 再由BF=5 BE=4 得出10=2CE+BE=2CE+4 解出CE=3 即可得出BC=7。

2．（2分）（2022春•定海区期末）如图直线l1l2表示一条河的两岸且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直）使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQC．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【思路引导】根据两点间直线距离最短使FEPP′为平行四边形即可即PP′垂直河岸且等于河宽接连P′Q即可．【完整解答】解：作PP'垂直于河岸l2使PP′等于河宽连接QP′ 与另一条河岸相交于F作FE⊥直线l1于点E则EF∥PP′且EF＝PP′于是四边形FEPP′为平行四边形故P′F＝PE根据“两点之间线段最短” QP′最短即PE+FQ最短．故C选项符合题意故选：C．3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图在△ABC中AD是△ABC的角平分线点E、F分别是AD、AB上的动点若∠BAC＝50° 当BE+EF的值最小时∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°【思路引导】过点B作BB′⊥AD于点G交AC于点B′ 过点B′作B′F′⊥AB于点F′ 与AD交于点E′ 连接BE′ 可证得△ABG≌△AB′G（ASA）所以∠E′B′G＝∠E′BG由“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE所以∠BE′F′＝50° 由此可得结论．【完整解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G交AC于点B′ 过点B′作B′F′⊥AB于点F′ 与AD交于点E′ 连接BE′ 如图此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD＝∠B′AD＝25°∴∠AE′F′＝65°∵BB′⊥AD∴∠AGB＝∠AGB′＝90°∵AG＝AG∴△ABG≌△AB′G（ASA）∴BG＝B′G∠ABG＝∠AB′G∴AD垂直平分BB′∴BE＝BE′∴∠E′B′G＝∠E′BG∵∠BAC＝50°∴∠AB′F′＝40°∴∠ABE＝40°∴∠BE′F′＝50°∴∠AE′B＝115°．故选：B．4．（2分）（2021八上·惠民月考）如图在锐角△ABC中∠ACB＝50°；边AB上有一定点P M、N分别是AC和BC边上的动点当△PMN的周长最小时∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【完整解答】解：过点P作PD⊥AC于点E PG⊥BC于点F 连接DG交AC、BC于点M、N 连接MP、NP∵PD⊥AC PG⊥BC∴∠PEC＝∠PFC＝90°∴∠C+∠EPF＝180°∵∠C＝50°∵∠D+∠G+∠EPF＝180°∴∠D+∠G＝50°由对称可知：∠G＝∠GPN ∠D＝∠DPM∴∠GPN+∠DPM＝50°∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°故答案为：D．【思路引导】过点P作PD⊥AC于点E PG⊥BC于点F 连接DG交AC、BC于点M、N 连接MP、NP 由四边形内角和及三角形内角和求出∠C+∠EPF＝180° ∠D+∠G+∠EPF＝180° 从而求出∠D+∠G＝=∠C=50° 有轴对称的性质可得∠G＝∠GPN ∠D＝∠DPM 从而得出∠GPN+∠DPM＝50° 根据∠MPN＝∠DPG-（∠GPN+∠DPM）即可求解.5．（2分）（2022春•驻马店期末）如图四边形ABCD中∠BAD＝a∠B＝∠D＝90° 在BC、CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°【思路引导】延长AB到A′使得BA′＝AB延长AD到A″使得DA″＝AD连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N此时△AMN周长最小推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）进而得出∠MAN的度数．【完整解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB延长AD到A″使得DA″＝AD连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°∴A、A′关于BC对称A、A″关于CD对称此时△AMN的周长最小∵BA＝BA′ MB⊥AB∴MA＝MA′ 同理：NA＝NA″∴∠A′＝∠MAB∠A″＝∠NAD∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′ ∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）∵∠BAD＝a∴∠A′+∠A″＝180°﹣a∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°故选：B．6．（2分）（2022•桥西区校级模拟）如图在五边形ABCDE中∠BAE＝α（∠BAE为钝角）∠B＝∠E ＝90° 在BC DE上分别找一点M N当△AMN周长最小时∠MAN的度数为（）A．B．α﹣90°C．2α﹣180°D．α﹣45°【思路引导】作点A关于BC对称点A' 作点A关于DE对称点A'' 则A''E＝AE A'B＝AB连接A'A'' 分别交线段BC和线段DE于点M和点N连接AM AN这时候△AMN的周长取最小值．【完整解答】解：作点A关于BC对称点A' 作点A关于DE对称点A'' 则A''E＝AE A'B＝AB连接A'A'' 分别交线段BC和线段DE于点M和点N连接AM AN这时候△AMN的周长取最小值．∵∠B＝∠E＝90°∴A'M＝AM∴AN＝A''N∴∠AA'M＝∠A'AM∠AA''N＝∠A''AN∴∠AMN＝2∠A'AM∠ANM＝2∠A''AN∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α ∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°故选：C．7．（2分）（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中D为BC的中点AD＝6 BD＝2.5 AB＝6.5 点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点则PE+PB的最小值是（）A．5B．6C．D．【思路引导】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90° 得到点B点C关于直线AD对称过C作CE ⊥AB交AD于P则此时PE+PB＝CE的值最小根据三角形的面积公式即可得到结论．【完整解答】解：∵AD＝6 BD＝2.5 AB＝6.5∴AB2＝6.52＝42.25 AD2+BD2＝62+2.52＝42.25∴AB2＝AD2+BD2∴∠ADB＝90°∵D为BC的中点BD＝CD∴AD垂直平分BC∴点B点C关于直线AD对称过C作CE⊥AB交AD于P则此时PE+PB＝CE的值最小∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD∴6.5•CE＝5×6∴CE＝∴PE+PB的最小值为故选：C．8．（2分）（2022春•新郑市期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P向居民区A B提供牛奶要使点P到A B的距离之和最短则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】作A点关于直线l的对称点连接对称点和点B交l于点P进而根据轴对称性质解答即可．【完整解答】解：作A点关于直线l的对称点连接对称点和点B交l于点P P即为所求；故选：B．9．（2分）（2022春•中原区期末）如图在△ABC中AB＝AC AD BE是△ABC的两条中线AD＝5 BE ＝6 P是AD上的一个动点连接PE PC则PC+PE的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【思路引导】如图连接PB只要证明PB＝PC即可推出PC+PE＝PB+PE由PE+PB≥BE可得P、B、E共线时PB+PE的值最小最小值为BE的长度．【完整解答】解：如图连接PB∵AB＝AC BD＝CD∴AD⊥BC∴PB＝PC∴PC+PE＝PB+PE∵PE+PB≥BE∴P、B、E共线时PB+PE的值最小最小值为BE的长度∴CP+EP的最小值是6．故选：B．10．（2分）（2022•西城区校级开学）如图在Rt△ABC中∠ACB＝90° AC＝3 BC＝4 AB＝5 AD平分∠CAB交BC于D点E、F分别是AD AC上的动点则CE+EF的最小值为（）A．B．5C．3D．【思路引导】利用角平分线构造全等使两线段可以合二为一则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．【完整解答】解：在AB上取一点G使AG＝AF∵∠CAD＝∠BAD AE＝AE∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝EG∴CE+EF＝CE+EG则最小值时CG垂直AB时CG的长度CG＝．故选：D．二．填空题（共10小题满分20分每小题2分）11．（2分）（2022春•临渭区期末）如图在△ABC中AB＝AC BC＝4 △ABC的面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC AB边于E、D两点若点F为BC边的中点在线段ED上存在一点P使P、B、F三点构成的△PBF的周长最小则△PBF周长的最小值为7．【思路引导】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称连接AF交ED于点P则当A、P、F 三点共线时△PBF周长最小为AF+FB的长．【完整解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线∴A与B关于ED对称连接AF交ED于点P∵AP＝PB∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB当A、P、F三点共线时△PBF周长最小∵F为BC边的中点AB＝AC∴AF⊥BC∴S△ABC＝×BC×AF＝10∵BC＝4∴AF＝5∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7∴△PBF周长的最小值为7故答案为：7．12．（2分）（2022春•宝安区期末）如图在Rt△ABC中∠C＝90° AC＝4 AB＝12 AD平分∠BAC交BC于点D过点D作DE⊥AD交AB于点E P是DE上的动点Q是BD上的动点则BP+PQ的最小值为8．【思路引导】过点D作DH⊥AB于H并延长DH先判断出△ADH≌△ADC（AAS）再判断出∠BDE ＝∠HDE在DH上取一点Q' 时DQ'＝DQ连接PQ' BQ' 进而判断出△QDP≌△Q'DP（SAS）得出PQ＝PQ' 即可判断出垂直于DH时BP+PQ最小即可求出答案．【完整解答】解：如图过点D作DH⊥AB于H并延长DH∴∠AHD＝90°＝∠C∵AD是∠BAC的平分线∴∠DAH＝∠DAC∵AD＝AD∴△ADH≌△ADC（AAS）∴∠ADH＝∠ADC AH＝AC＝4∴BH＝AB﹣AC＝12﹣4＝8∵DE⊥AD∴∠ADE＝90°∴∠ADC+∠BDE＝90°＝∠ADH+∠EDH∴∠BDE＝∠HDE在DH上取一点Q' 时DQ'＝DQ连接PQ' BQ'∵DP＝DP∴△QDP≌△Q'DP（SAS）∴PQ＝PQ'∴BP+PQ＝BP+PQ'≥BQ'（假设点Q是定点点B P Q'共线时取最小BQ'）∵点Q是动点∴当BQ'⊥DH时即点Q'与点H重合BP+PQ的最小值为BH＝8故答案为：8．13．（2分）（2022春•青岛期末）如图在△ABC中∠A＝54° ∠C＝76° D为AB中点点P在AC上从C向A运动；同时点Q在BC上从B向C运动当∠PDQ＝28°时△PDQ的周长最小．【思路引导】根据两点之间线段最短把三角形的周长转化为一条线段的长利用三角形的内角和及平角的定义求解．【完整解答】解：过点D作DF⊥BC于N并截取NF＝DN过点D作DE⊥AC于M并截取ME＝DM连接EF则EF的长为△DPQ的最小值根据作图知：AC垂直平分DE BC垂直平分DF∴DQ＝FQ PD＝PE∴DQ+DP+PQ＝FQ+QP+PE根据两点之间线段最短所以EF的长是△DPQ的最小值此时有：∠FDQ＝∠DQP∠MDP＝∠DPQ在△ABC中有∠A＝54° ∠C＝76°∴∠B＝50°∴∠BDN＝40° ∠ADM＝36°∴∠QDP＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°﹣（∠DQP+∠DPQ）＝104°﹣（180﹣∠PDQ）＝104°﹣90°+∠QDP解得：∠QDP＝28°．故当∠PDQ＝28°时△PDQ的周长最小．14．（2分）（2022春•通川区期末）如图在四边形ABCD中AD∥BC AB＝BC＝4 AD＝DC连接BD △BCD的面积为点E是边AB边上一动点点P在线段BD上连接P A PE则P A+PE的最小值是．【思路引导】根据已知条件得到BD垂直平分AC得到点A与点C关于直线BD对称过C作CE⊥AB 于E交BD于P则此时P A+PE的值最小且P A+PE的最小值＝CE根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【完整解答】解：连接AC∵AB＝BC＝4 AD＝DC∴BD垂直平分AC∴点A与点C关于直线BD对称过C作CE⊥AB于E交BD于P则此时P A+PE的值最小且P A+PE的最小值＝CE∵AD∥BC∴S△ABC＝S△BCD∴AB•CE＝4CE＝∴CE＝故答案为：．15．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图在等边△ABC中BF是AC上中线点D在BF上连接AD 在AD的右侧作等边△ADE连接EF当△AEF的周长最小时则∠EAF＝30°．【思路引导】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）作点A关于直线CE的对称点M连接FM交CE于E′ 此时AE′+FE′的值最小．【完整解答】解：如图∵△ABC△ADE都是等边三角形∴AB＝AC AD＝AE∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°∴∠BAD＝∠CAE∴△BAD≌△CAE∴∠ABD＝∠ACE∵AF＝CF∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）作点A关于直线CE的对称点M连接FM交CE于E′ 此时AE′+FE′的值最小∵CA＝CM∠ACM＝60°∴△ACM是等边三角形∵AF＝CF∴FM⊥AC∴E′是等边三角形三条角平分线的交点∴∠E′AF＝30°即∠EAF＝30°．故答案为：30°．16．（2分）（2022•南京模拟）如图△ABC为等腰三角形其中∠ABC＝∠BAC＝30° 以AC为底边作△ACD 其中∠ACD＝∠CAD＝30° 再以AD为底边作△ADE其中∠ADE＝∠DAE＝30° △ADE两底角的角平分线交于点O点P为直线AC上的动点已知|BP﹣DP|最大值为8．则DP+OP的值为4．【思路引导】作D点关于AC的对称点D' BD'与AC的交点P为点A此时|BP﹣DP|的值最大为BD' 即BD'＝8 连接CD' 证明△ODD'≌△OAD'（SSS）求出D'O＝D'A＝4 即可求解．【完整解答】解：作D点关于AC的对称点D'∵∠DAC＝∠CAB＝30°∴D'在AB上∴BD'与AC的交点P为点A∴DP＝D'P此时|BP﹣DP|的值最大为BD'∵|BP﹣DP|最大值为8∴BD'＝8连接CD'∵∠CBA＝30° ∠ACD＝30° ∠ACD'＝∠DCA∴∠BCD'＝120°﹣30°＝90°∴AD＝AD'＝CD＝CD'＝BD'•sin30°＝4∵∠D'AD＝60°∴DD'＝4∵OA是∠DAE的角平分线DO是∠ADE的角平分线∴∠OAD＝∠ODA＝15°∴D'AO＝75°∵DO＝OA DD'＝AD'∴△ODD'≌△OAD'（SSS）∴∠AOD'＝∠DOD'＝75°∴∠D'OA＝∠D'AO＝75°∴D'O＝D'A＝4∴DP+OP的值为4故答案为：4．17．（2分）（2022春•卧龙区期末）如图已知△ABC直线a⊥AC于点D且AD＝CD点P是直线a上一动点连接PB PC若AB＝5 AC＝6 BC＝3 则△PBC周长的最小值是8．【思路引导】找出C点关于a的对称点A AB交a于P则△PBC的周长最小求出即可．【完整解答】解：设直线a与AB交于P′ 当点P与点P′重合时PB+PC最小即△PBC的周长最小∵直线a⊥AC于点D且AD＝CD∴直线a是AC的垂直平分线∴P′C＝P′A∴△PBC的周长＝PC+PB+BC＝P′A+P′B+BC＝AB+BC＝5+3＝8∴△PBC周长的最小值是8故答案为：8．18．（2分）（2021秋•西青区期末）如图在△ABC中∠B＝60° BC＝12．点M在BC边上且MC＝BC 射线CD⊥BC于点C点P是射线CD上一动点点N是线段AB上一动点．（Ⅰ）线段MP+NP是否存在最小值？是（用“是”或“否”填空）（Ⅰ）如果线段MP+NP存在最小值请直接写出BN的长；如果不存在请说明理由．【思路引导】作点M关于直线CD的对称点M' 过M作M'N⊥AB于N交CD于P此时MP+PN的值最小．则CM'＝CM＝3 所以BM'＝BC+CM'＝12+3＝15 推出BN＝BM'＝＝．【完整解答】解：如图作点M关于直线CD的对称点M' 过M作M'N⊥AB于N交CD于P此时MP+PN的值最小∵BC＝12 MC＝BC＝3∴CM'＝CM＝3∴BM'＝BC+CM'＝12+3＝15∵∠B＝60° ∠BNM'＝90°∴∠M'＝30°∴BN＝BM'＝＝．故答案为：是．19．（2分）（2022春•抚州期末）如图等腰△ABC的底边BC＝20 面积为160 点F是BC边上的一个动点EG是腰AC的垂直平分线若点D在EG上运动则CD+DF的最小值为16．【思路引导】如图作AH⊥BC于H连接AD．由EG垂直平分线段AC推出DA＝DC推出DF+DC ＝AD+DF可得当A、D、F共线时DF+DC的值最小最小值就是线段AF的长．【完整解答】解：如图作AH⊥BC于H连接AD．∵EG垂直平分线段AC∴DA＝DC∴DF+DC＝AD+DF∴当A、D、F共线时DF+DC的值最小最小值就是线段AF的长∵•BC•AH＝160∴AH＝16根据垂线段最短∴当AF＝AH时AF最小∴CD+DF的值最小为16．故答案为：16．20．（2分）（2022春•霞浦县期中）已知∠ABC＝60° 点P为平面内一点且BP为定长∠ABP＝20° Q 为射线BC上一动点连接PQ当BP+PQ的值最小时∠BPQ＝50°．【思路引导】当BP+PQ的值最小时PQ最小此时PQ⊥BC据此解答即可．【完整解答】解：∵BP为定长∴当BP+PQ的值最小时PQ最小此时PQ⊥BC∴∠PQB＝90°∵∠ABC＝60° ∠ABP＝20°∴∠PBQ＝40°∴∠BPQ＝90°﹣40°＝50°故答案为：50°．三．解答题（共8小题满分60分）21．（6分）（2020秋•饶平县校级期末）如图已知在△ABC中AB＝AC AD是BC边上的高P是AB边上的一点试在高AD上找一点E使得△PEB的周长最短．【思路引导】利用轴对称求最短路线作法得出答案．【完整解答】解：①连接PC交AD于点E．②由等腰三角形对称的性质可知BE＝CE故BE+PE＝PC③由两点之间线段最短可知△PMN的最短周长即为PC+PB．22．（6分）（2022春•二七区校级期中）在△ABC中AB＝AC D是直线BC上一点以AD为一边在AD 的右侧作△ADE使AE＝AD∠DAE＝∠BAC连接CE．设∠BAC＝α ∠BCE＝β．（1）如图（1）点D在线段BC上移动时①角α与β之间的数量关系是α+β＝180°；②若线段BC＝2 点A到直线BC的距离是3 则四边形ADCE周长的最小值是8；（2）如图（2）点D在线段BC的延长线上移动时①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是CE＝BC+CD．【思路引导】（1）①先证∠CAE＝∠BAD再证明△ABD≌△ACE得出对应角相等∠ABD＝∠ACE即可得出结论；②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2 根据等式的性质就可以得出∠CAE＝∠BAD就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；②根据全等三角形的性质即可得到结论．【完整解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°∴∠BAC+∠BCE＝180° 即α+β＝180°故答案为：α+β＝180°；②由①知△ABD≌△ACE∴BD＝CE AD＝AE∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2当AD⊥BC时AD最短即四边形ADCE周长的值最小∵点A到直线BC的距离是3∴AD＝AE＝3∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8 故答案为：8；（2）①成立理由如下：∵∠DAE＝∠BAC∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD∴∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE ∴∠BAC＝∠DCE∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180° 即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE BD＝CE∵BD＝BC+CD∴CE＝BC+CD故答案为：CE＝BC+CD．23．（6分）（2021秋•潼南区校级期末）已知四边形ABCD请在四边形ABCD内部找一点O．（1）使点O到点A、B、C、D的距离之和最小．保留作图痕迹不写作法．（请用黑色签字笔作图）（2）这样作图的理由是两边之和大于第三边．【思路引导】连接AC和BD交于点O可得点O到点A B C D的距离之和最小．【完整解答】解：（1）连接AC、BD交于点O则点O为所求的点．理由如下：如果存在不同于点O的交点P连接P A、PB、PC、PD那么P A+PC＞AC即P A+PC＞OA+OC同理PB+PD＞OB+OD∴P A+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD即点O是线段AC、BD的交点时OA+OB+OC+OD之和最小．（2）这样作图的理由是两边之和大于第三边．故答案为：两边之和大于第三边．24．（8分）（2021春•东港市月考）如图所示P为△BOA内任一点在OB上找一点M在OA上找一点N 使得△PMN的周长最短．【思路引导】作点P关于OA、OB的对称点P''、P' 连接P'P'' 分别交OA、OB于点N、M即M、N 为所求．此时△PMN的周长最短．【完整解答】解：如图．作点P关于OA、OB的对称点P''、P' 连接P'P''分别交OA、OB于点N、M即M、N为所求．此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''即最小值为P'P''的长度．25．（9分）（2021春•万州区期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点（1）如图1 若∠O＝∠OMN过M作射线MD∥OB（如图）点C是射线MD上一动点∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2 若P是线段ON上一动点Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20° 当MP+PQ+QN取得最小值时求∠OPM+∠OQN的值．【思路引导】（1）设∠O＝∠OMN＝α 由三角形外角可得∠MNB＝2α 再由MD∥OB可得∠AMD＝α 根据NE平分∠MNC得到∠MNE＝∠ENC设∠MNE＝β 可求∠CNB＝2α﹣2β ∠MCN＝2α﹣2β 再由三角形内角和定理得∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN可得∠MEN＝α﹣β 进而得到2∠MEN ＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M' N点关于OA的对称点N' 连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q连接ON'、OM' 此时MP+PQ+QN的值最小由对称性可知∠OQN'＝∠OQN∠OPM'＝∠OPM 所以∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'）代入已知∠AOB＝20° 可得∠OM'P＝200°﹣∠OQN' 所以∠OPM+∠OQN＝200°．【完整解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α∴∠MNB＝2α∵MD∥OB∴∠AMD＝α∵NE平分∠MNC∴∠MNE＝∠ENC设∠MNE＝β∴∠CNB＝2α﹣2β∵MD∥OB∴∠MCN＝2α﹣2β∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN∴∠MEN＝α﹣β∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M' N点关于OA的对称点N' 连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q连接ON'、OM'∴MP+PQ+QN＝M'N' 此时MP+PQ+QN的值最小由对称性可知∠OQN'＝∠OQN∠OPM'＝∠OPM∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'）∵∠AOB＝20°∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'∴∠OPM+∠OQN＝200°．26．（8分）（2021春•龙口市月考）如图直线a∥b点A D在直线b上射线AB交直线a于点B CD ⊥a于点C交射线AB于点E AB＝15cm BE：AE＝1：2 P为射线AB上一动点P从A点出发沿射线AB方向运动速度为1cm/s设点P运动时间为t M为直线a上一定点连接PC PD．（1）当t＝m时PC+PD有最小值求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．【思路引导】（1）根据P、C、D三点共线时即点P与点E重合时PC+PD的值最小解答即可；（2）当t＜m时点P在AE上过点P作PH∥a∥b根据平行线的性质可得结论；（3）当t＞m时点P在BE上过点P作PH∥a∥b根据平行线的性质可得结论．【完整解答】解：（1）在△PCD中PC+PD＞CD当点P与E重合时此时PC+PD＝CD最小∴AP＝AE∵BE：AE＝1：2 AB＝15cm∴AE＝AB＝10cm∴t＝m＝＝10s．故m＝10时PC+PD值最小；（2）如图当t＜m即t＜10时点P在AE上过点P作PN∥a∵a∥b∴PN∥a∥b∴∠PCM＝∠CPN∠PDA＝∠DPN∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．（3）当t＞m即t＞4时点P在BE上过点P作PH∥a如图：又∵a∥b∴PH∥a∥b∴∠PCM+∠CPH＝180° ∠PDA+∠DPH＝180°∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°即当12≥t＞4时∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．当t＞12时同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述t＞4时∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．27．（8分）（2020秋•天心区校级月考）如图把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD N是斜边AC上一动点．（1）若E、F为AC的三等分点求证：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一点且DM＝2 求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中若∠C＝90° 则AB2＝AC2+BC2）（3）若点P在射线BC上且NB＝NP求证：NP⊥ND．【思路引导】（1）用SAS证明△ADE≌△CBF从而得出∠ADE＝∠CBF；（2）由于D、B关于AC对称所以当B、N、M在一直线上时DN+MN最小．根据勾股定理可求出BM的长度从而得出DN+MN的最小值；（3）当点P在射线BC上时分三种情况进行讨论：①点P在线段BC上（P与B、C不重合）；②点P 与点C重合；③点P在BC延长线上．针对每一种情况都证明∠DNP＝90° 然后根据垂直的定义得出NP⊥ND．【完整解答】解：（1）证明：∵E、F为AC的三等分点∴AE＝AC CF＝AC∴AE＝CF．∵AB＝BC∠ABC＝90°∵∠BAC＝∠BCA＝45°同理∠DAC＝45°∴∠BCA＝∠DAC．∵△ADE≌△CBF∴CB＝AD∴在△ADE和△CBF中AE＝CF∠DAE＝∠BCF AD＝CB∴△ADE≌△CBF（SAS）∴∠ADE＝∠CBF．（2）∵D、B关于AC对称所以当B、N、M在一直线上时DN+MN最小．（4分）∵AB＝8 DM＝2 ∴CM＝6．在Rt△MCB中∠MCB＝90° CM＝6 BC＝8 根据题中定理可求出BM＝10．∴DN+MN最小值为10．（3）①当点P在线段BC上（P与B、C不重合）时∵NB＝NP∴∠NBP＝∠NPB．∵D、B关于AC对称∴∠NBP＝∠NDC∴∠NPB+∠NPC＝∠NDC+∠NPC＝180°∴∠DNP＝360°﹣（∠BCD+∠NDC+∠NPC）＝90°∴NP⊥ND．②当点P与点C重合时点N恰好在AC的中点处∵∠NDC＝∠NCD＝45° ∴∠DNC＝90°．∴NP⊥ND．③当点P在BC延长线上时∵NB＝NP∴∠NBP＝∠NPB．∴D、B关于AC对称∠NBP＝∠NDC∴∠NPC＝∠NDC又∵∠DHN＝∠CHP∴∠DNP＝∠DCP＝90°∴NP⊥ND．28．（9分）（2020八上·椒江期中）如图（1）（1分）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等如图1：OP 平分∠MON PC ⊥OM 于C PB ⊥ON 于B 则PB PC （填“ > ”“ < ”或“=”）；（2）（5分）探索：如图2 小明发现在△ABC 中 AD 是∠BAC 的平分线则 ABD ADC S AB S AC=请帮小明说明原因.（3）（5分）应用：如图3 在小区三条交叉的道路AB BC CA 上各建一个菜鸟驿站D P E 工作人员每天来回的路径为P→D→E→P①问点P 应选在BC 的何处时才能使PD+DE+PE 最小？②若∠BAC=30° S △ABC=10 BC=5 则PD+DE+PE 的最小值是多少？【答案】（1）=（2）解：理由：过点D 作DE ⊥AB 于E DF ⊥AC 于F∵AD 是∠BAC 的平分线∴DE=DF ∴ABD ADC 1AB SAB 21S AC AC 2DE DF ⋅==⋅ ；（3）解：①过点A 作AP ⊥BC 于P 分别作点P 关于AB 、AC 的对称点P 1、P 2 连接P 1P 2分别交AB 、AC 于D 、E 连接PD 、PE 、AP 1、AP 2由对称的性质可得AP 1=AP=AP 2 DP 1=DP EP 2=EP∴PD+DE+PE= DP 1+DE+ EP 2= P 1P 2 根据两点之间线段最短和垂线段最短即可得出此时PD+DE+PE 最小即P 1P 2的长即当AP ⊥BC 于P 时 PD+DE+PE 最小；②∵S △ABC =10 BC=5∴12BC·AP=10 解得：AP=4由对称的性质可得AP 1=AP=AP 2=4 DP 1=DPEP 2=EP ∠DAP 1=∠DAP ∠EAP 2=∠EAP∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°∴∠P1AP2=60°∴△P1AP2是等边三角形∴P1P2= AP1=4即PD+DE+PE的最小值是4.【完整解答】解：（1）∵OP平分∠MON PC⊥OM于C PB⊥ON于B∴PB=PC故答案为：=；【思路引导】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E DF⊥AC于F 根据角平分线的性质可得DE=DF 然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）①过点A作AP⊥BC于P 分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2连接P1P2分别交AB、AC于D、E 连接PD、PE、AP1、AP2即可；②根据三角形的面积公式即可求出AP 然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4 DP1=DP EP2=EP ∠DAP1=∠DAP ∠EAP2=∠EAP 从而证出△P1AP2是等边三角形即可得出结论.。

八年级下册数学期末压轴题(含答案)

八年级数学下册期末压轴题练习（含答案）一、填空题：1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ 的最小值为 .2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为．3.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AE PQ的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．4.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A．点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH;（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化; （3）∠PBH=450 ; （4）BP=BH.其中正确的命题是．5.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．二、综合题：6. (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.7.如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.8.已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：（2）当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm2．9.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为；（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为；（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．10.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．参考答案1.答案为：3.3.答案为：4.5．2.答案为：7；解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF 中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．4.答案为：（1）（2）（3）．5.答案为：2；解：作D 关于AE 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2，6. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)•AB=0.5×(6+12)×12=108.即梯形ABCD的面积为108.…7.解：（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E 点旋转到DA的延长线上，∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴△ABE的面积=△ADG的面积；②作GH⊥DA交DA的延长线于H，如图2，∴∠AHG=90°，∵E点旋转到CB的延长线上，∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，∴∠GAH=∠EAB，在△AHG和△AEB中，∴△AHG≌△AEB，∴GH=BE，∵△ABE的面积=0.5EB•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABE的面积=△ADG的面积；（2）结论仍然成立．理由如下：作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图3，∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，∴∠PAE=∠GAH，在△AHG和△AEP中，∴△AHG≌△AEP（AAS），∴GH=BP，∵△ABP的面积=0.5EP•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABP的面积=△ADG的面积；（3）∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm，∴△ABC的面积=0.5×3×4=6（cm2）；根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm2．故答案为相等；相等；18．8.解：（1）∵AM=MC=AC=a，则∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为0.25a2，周长为（1+）a．（2）∵重叠部分是正方形∴边长为0.5a，面积为0.25a2，周长为2a．（3）猜想：重叠部分的面积为0.25a2．理由如下：过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G 设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a∴MH=MG=0.5a又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积∵正方形CGMH的面积是MG•MH=0.5a×0.5a =0.25a2,∴阴影部分的面积是0.25a2．9.（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°，∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2。

压轴题：一元一次不等式及不等式组综合专练20题(解析版)八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

压轴题02：一元一次不等式及不等式组综合专练20题（解析版）一、单选题1．已知关于x 的不等式组100x x a ->⎧⎨-≤⎩，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5；①如果它有解，那么a ≥2．其中说法正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a 的取值情况逐一判断即可．【详解】解：由x ﹣1＞0得x ＞1，由x ﹣a ≤0得x ≤a ，①如果它的解集是1＜x ≤4，那么a ＝4，此结论正确；①当a ＝1时，它无解，此结论正确；①如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a ＜5，此结论正确；①如果它有解，那么a ＞1，此结论错误；故选：C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[][]1.5122==，，则满足等式的正整数的个数为（） A ．2B ．3C ．12D ．16【答案】D【分析】利用不等式[x ]≤x 即可求出满足条件的n 的值．【详解】解：若2n ，3n ，6n 有一个不是整数，则22n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜或者33n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜或者66n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＜， ∴][][236236n n n n n n n ⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦＜， ∴2n ，3n ，6n 都是整数，即n 是2，3，6的公倍数，且n ＜100， ∴n 的值为6，12，18，24，......96，共有16个，故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x ]≤x ＜[x ]+1式子的应用，这个式子在取整中经常用到．3．定义，图象与x 轴有两个交点的函数y ＝24()24()x x m x x m -+≥⎧⎨+<⎩叫做关于直线x ＝m 的对称函数，它与x 轴负半轴交点记为A ，与x 轴正半轴交点记为B 例如：如图：直线l ：x ＝1，关于直线l 的对称函数y ＝24(1)24(1)x x x x -+≥⎧⎨+<⎩与该直线l 交于点C ，当直线y ＝x 与关于直线x ＝m 的对称函数有两个交点时，则m 的取值范围是（）A ．0≤m ≤43B ．－2＜m ≤43C ．－2＜m ≤2D ．－4＜m ＜0【答案】B【分析】根据定义x 轴上存在,A B 即可求得22m -<<，根据题意联立,24,y x y x =⎧⎨=+⎩,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩即可求得m 的范围，结合定义所求范围即可求解【详解】①一次函数图象与x 轴最多只有一个交点，且关于m 的对称函数()24,24()x x m y x x m ⎧-+≥=⎨+<⎩，与x 轴有两个交点， ①组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x 轴有交点．①240x ±+=解得2x =或2-①22m -<<．①直线y ＝x 与关于直线x ＝m 的对称函数有两个交点，①直线y =x 分别与直线24()y x x m =-+≥和24()y x x m =+<各有一个交点．对于直线y =x 与直线24()y x x m =+<，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=+⎩解得4,4x y =-⎧⎨=-⎩， ①直线y =x 与直线24()y x x m =+<必有一交点(4,4)--．对于直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩解得4,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①22m -<<， ①43x =必须在x m ≥的范围之内才能保证直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥有交点． ①43m ≤． ①423m -<≤． ①m 的取值范围是423m -<≤．故选B【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．4．如图，长方形ABKL ，延CD 第一次翻折，第二次延ED 翻折，第三次延CD 翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A 和点B 都落在①CDE ＝α内部（不包含边界），则α的取值值范围是（）A ．3645α︒<≤B ．3036α︒<≤C ．3645α︒≤<D ．3036α︒<<【答案】D【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；【详解】解：第一次翻折后2a +①BDE =180°，第二次翻折后3a +①BDC =180°，第三次翻折后4a +①BDE =180°，第四次翻折后5a +①BDC =180°，若能进行第五次翻折，则①BDC ≥0，即180°-5a ≥0，a ≤36°，若不能进行第六次翻折，则①BDC ≤a ，即180°-5a ≤a ，a ≥30°，当a =36°时，点B 落在CD 上，当a =30°时，点B 落在ED 上，①30°＜a ＜36°，故选：D ；【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键．5．关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩ 只有5个整数解，则a 的取值范围是（） A ．1162a -<<-B ．1162a -≤<-C ．1162a -<≤-D ．1162a -≤≤- 【答案】C【分析】先解x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，然后根据整数解的个数确定a 的不等式组，解出取值范围即可．【详解】解：不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩，解得：2032x x a <⎧⎨>-⎩，不等式组只有5个整数解，即解只能是15x =，16，17，18，19，a ∴的取值范围是：32143215a a -≥⎧⎨-<⎩，解得：1162a -<≤-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于a 的不等式组．6．若实数a 使得关于x 的不等式组52232x a x x x +≤-⎧⎪⎨--<⎪⎩有且只有2个整数解，且使得关于x 的一次函数()15y a x a =+-+不过第四象限，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．7B ．9C ．12D ．14【答案】C【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a 的不等式，求出此时a 的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a 的不等式组，再次求出a 的取值范围，两项综合求出a 最终的取值范围，则问题得解．【详解】 52232x a x x x +≤-⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得：24a x +≥，解不等式①得：4＜x ，不等式有解，则解为：244a x +≤＜， ①不等式组有两个整数解，则这两个整数解为3，2， ①2124a +≤＜，解得26a ≤＜； ①一次函数()15y a x a =+-+不过第四象限，①则有1050a a +⎧⎨-+≥⎩＞，解得15a -≤＜；综上：25a ≤＜①a 的整数值有：3，4，5，则其和为：3+4+5=12，故选：C ．【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a 的取值范围是解答本题的关键．7．对于实数,a b ，定义符号{},min a b 其意义为：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b <时，{},min a b a =．例如：21{},1min -=-，若关于x 的函数2{}1,3y min x x =--+，则该函数的最大值是（）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】C【分析】根据定义先列不等式：213x x --+和213x x --+，确定其{21y min x =-，3}x -+对应的函数，画图象可知其最大值．【详解】解：由题意得：213y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：4353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当213x x --+时，43x， ∴当43x 时，{21y min x =-，3}3x x -+=-+，由图象可知：此时该函数的最大值为53；当213x x --+时，43x， ∴当43x 时，{21y min x =-，3}21x x -+=-，由图象可知：此时该函数的最大值为53；综上所述，{21y min x =-，3}x -+的最大值是当43x =所对应的y 的值，如图所示，当43x =时，53y =，故选：C【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．8．已知正整数a ，b ，c ，d 满足：a <b <c <d ，a +b +c +d =2022，22222022d c b a -+-=，则这样的4元数组(a ，b ，c ，d )共有（）A ．251组B ．252组C ．502组D ．504组【答案】D【分析】根据题意得出321a b c d +≤+≤+≤，继而得出()()()()()()222220222022d c b a d c d c b a b a d c b a =-+-=-++-+≥+++=，再由已知条件构造()10102a c a a =+≥++，即可解答．【详解】因为a ，b ，c ，d 为正整数，且a b c d <<<，所以321a b c d +≤+≤+≤．所以()()()()()()222220222022d c b a d c d c b a b a d c b a =-+-=-++-+≥+++=．因此1d c -=，1b a -=，即1d c =+，1b a =+．所以()()112022a b c d a a c c +++=+++++=，因此1010a c +=．又2a c +≤，所以()10102a c a a =+≥++，因此1504a ≤≤．所以符合条件的4元数组(),,,a b c d 为(),1,1010,1011a a a a +--，其中1504a ≤≤．所以符合条件的4元数组有504组．故选：D ．【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛题．二、填空题9．重庆云阳巴阳镇精准化发展枇杷产业切实带动低收入农户增收，成为一大“亮点”——“万亩枇杷，醉美巴阳”成为了重庆云阳的一大名片.今年5月又是一个丰收季，全镇枇杷种植面积达1万余亩，种植了“普通”、“白肉”、“大五星”三个品种的枇杷，其中6000亩用于村民集体采摘，其余部分用于游客自助采摘．这6000亩中种植“白肉”枇杷的面积是“普通”枇杷面积的2倍，“大五星”枇杷面积不超过“白肉”枇杷面积的1.2倍，种植“白肉”的面积不超过2300亩，现在正值采摘季节，若干村民进行采摘，每人每天可以采摘“普通”枇杷1.8亩，或“白肉”枇杷1.2亩，或“大五星”枇杷2亩，这6000亩枇杷预计20天采摘完，则需要村民_______人参与采摘．【答案】191人【分析】设“普通”枇杷面积x 亩，则“白肉”枇杷面积为2x 亩，“大五星”枇杷面积为()60003x -亩，有m 人采摘，采摘“普通”枇杷a 天， “白肉”枇杷为b 天，“大五星”枇杷为()20a b --天，先求解x 的范围，再用含m 的代数式表示x ，再解不等式组即可得到答案．【详解】解：设“普通”枇杷面积x 亩，则“白肉”枇杷面积为2x 亩，“大五星”枇杷面积为()60003x -亩，有m 人采摘，采摘“普通”枇杷a 天， “白肉”枇杷为b 天，“大五星”枇杷为()20a b --天，根据题意得：600032 1.222300x x x -≤⨯⎧⎨≤⎩ 解得：100001150,9x ≤≤同时可得：()1.81.2222060003am x bm xm a b x ⎧=⎪=⎨⎪--=-⎩55,,93am x bm x ∴== 101040224060003,93m ma mb m x x x ∴--=--=- 整理得：36054000,13m x -=∴ 10000360540001150,913m -≤≤ 1300003605400014950,9m ∴≤-≤ 616000360689509m ∴≤≤， 1019190191,8136m ∴≤≤ m 为正整数，∴ 191.m =故答案为：191.【点睛】本题考查不等式组的实际应用，解题的关键是仔细阅读找出题中的等量关系与不等关系列方程与不等式组．10．某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是________．【答案】购买24块彩色地砖，60块单色地砖或购买27块彩色地砖，55块单色地砖【分析】设购买x 块彩色地砖，购买单色地砖y 块，进而由题意得到2x ＜y ＜3x ，再根据总费用为1500元，且x 、y 均为正整数，将y 用x 的代数式表示，然后解一元一次不等式组即可求解．【详解】解：设购买x 块彩色地砖，购买单色地砖y 块，则2x ＜y ＜3x ，25x +15y =1500， ①1500255100(1)153x y x ，又已知有：23xy x ，①510033510023x x x x ⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得3003001411x ，又x 为正整数，且30021.414，30027.311，①x =22，23，24，25，26，27；由(1)式中，x y ，均为正整数，①x 必须是3的倍数，①24x =或27x =，当24x =时，单色砖的块数为15002425=6015；当27x =时，单色砖的块数为15002725=5515；故符合要求的购买方案为：购买24块彩色地砖，60块单色地砖或购买27块彩色地砖，55块单色地砖．【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，本题的关键点是将单色砖的块数用彩色砖的块数的代数式表示，进而解不等式组，注意实际问题考虑解为正整数的情况．11．春暖花开，又到了踏青赏花的好季节，某植物园决定在今年4月份购进一批花苗：绣球花苗、蔷薇花苗、铁线莲花苗和月季花苗．已知每株绣球花苗的价格是每株蔷薇花苗价格的12，每株月季花苗的价格是每株铁线莲花苗价格的3倍．另外，购进的绣球花苗数量是铁线莲花苗数量的2倍，蔷薇花苗的数量是月季花苗数量的3倍，且铁线莲花苗和蔷薇花苗的总数量不超过600株．已知一株绣球花苗和一株铁线莲花苗的价格之和为30元，最后，购进绣球花苗和蔷薇花苗的总费用比铁线莲花苗和月季花苗的总费用多14400元，则今年4月用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为______元．【答案】7200．【分析】根据题意可设蔷薇花苗价格为x 元，每株铁线莲花苗价格为y 元，则绣球花苗价格为12x 元，月季花苗为3y 元，根据已知关系列出不等关系3600a b +，表示购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用，利用不等关系求解．【详解】解：设每株蔷薇花苗价格为x 元，每株铁线莲花苗价格为y 元，则绣球花苗价格为12x 元，月季花苗为3y 元，由题意得，1302x y +=①，设购进铁线莲花苗数量为a ，月季花苗数量为b ，则绣球花苗为2a ，蔷薇花苗为3b ，由题意可知，3600a b +，1231440032x a x b a y b y ⨯+⨯-=⋅+⨯，整理得(3)()14400a b x y +-=，3600a b +， 24x y ∴-①，由①得602x y =-代入①得，60224y y --，解得12y ，用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用为，3(3)ay by a b y +=+，3600a b +，12y ，∴用于购进铁线莲花苗和月季花苗的总费用的最大值为600127200⨯=（元)，故答案为：7200．【点睛】本题以购买的最大费用为背景考查了一元一次不等式的应用，关键根据数量关系表示未知量，然后根据不等关系求解．12．小李和小张大学毕业后准备合伙开一家工作室创业．他们在某写字楼租了一间空高为3米的房间作办公地点（如图），准备装修后开始办公．小李和小张分别提出两套装修方案（如表格）．其中，每平方米木地板的装修费用与每平方米木质吊顶的装修费用之和等于每平方米复合材料墙面的装修费用；每平方米地砖的装修费用与每平方米乳胶漆的装修费用之和等于每平方米木质墙面的装修费用，以上各项装修单价均为整数．每平方米木地板、木质墙面、木质吊顶的装修费用之和不少于600元；每平方米复合材料墙面比木质墙面的装修费用多，且差价不大于90元，不少于80元．经测算，小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元．若x ，y 均为整数，且满足y<x<2y ，则小张的方案装修总费用最少为________元．【答案】234041401260y y +- 【分析】设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元，则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意列出不等式组，得到340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，根据“小李方案的总装修费用比小张方案的总装修费用多1260元”列式即可求解．【详解】解：设每平方米木地板a 元，木制吊顶b 元，地砖m 元，乳胶漆n 元，则复合材料墙面()a b +元，木质墙面m n 元，根据题意可得6008090a b m n a b m n +++≥⎧⎨≤+--≤⎩，解得340345a b m n +≥⎧⎨+≥⎩，小李的总花费()()()()()2336xya xyb m n y x xy a b m n x y ++++=++++，小张的总花费()()()()()2336xym xyn a b y x xy m n a b x y ++++=++++， ①()()()()()()661260xy a b m n x y xy m n a b x y ++++-+-++=， ①2y x y <<，①()()()61260xy a b m n x y ++++-()23406345126034041401260y y y y y y ≥⋅⨯+⨯+-=+-，故答案为：234041401260y y +-．【点睛】本题考查不等式组的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．13．如图，设BAC θ∠=（090θ︒<<︒）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点1A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A为第一根小棒，且11223341AA A A A A A A====⋅⋅⋅=，若只能摆放4根小棒，则θ的范围为________．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根据等边对等角可得①BAC=①AA2A1，①A2A1A3=①A2A3A1，①A3A2A4=①A3A4A2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ，求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．【详解】解：如图，①小木棒长度都相等，①①BAC=①AA2A1，①A2A1A3=①A2A3A1，①A3A2A4=①A3A4A2，由三角形外角性质得，θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；①只能摆放4根小木棒，①490 590θθ︒︒⎧<⎨≥⎩，解得18°≤θ＜22.5°．故答案为：18°≤θ＜22.5°．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，也考查了一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．14．若不等式231x x x a-+++-≥对一切数x都成立，则a的取值范围是________．【答案】5a ≤ 【分析】要使不等式231x x x a -+++-≥对一切数x 都成立，则a 需小于等于231x x x -+++-的最小值，再分3x <-、31x -≤<、12x ≤<和2x ≥四种情况，分别化简绝对值求出最小值即可得．【详解】要使不等式231x x x a -+++-≥对一切数x 都成立，则a 需小于等于231x x x -+++-的最小值，由题意，分以下四种情况：（1）当3x <-时，2312313x x x x x x x -+++-=---+-=-，此时39x ->；（2）当31x -≤<时，2312316x x x x x x x -+++-=-+++-=-，此时569x <-≤；（3）当12x ≤<时，2312314x x x x x x x -+++-=-+++-=+，此时546x ≤+<；（4）当2x ≥时，2312313x x x x x x x -+++-=-+++-=，此时36x ≥；综上，231x x x -+++-的最小值为5，则5a ≤，故答案为：5a ≤．【点睛】本题考查了化简绝对值、一元一次不等式组等知识点，将问题转化为求231x x x -+++-的最小值是解题关键．15．已知非负实数x y 、、z 满足123234x y z ---==，记23M x y z =++．则M 的最大值减去最小值的差为________．【答案】283．【分析】设123234x y z k ---===，将x y 、、z 用k 表示出来，由x y 、、z 均为非负实数得关于k 的不等式组，求出k 取值范围，再将23M x y z =++转化为k 的代数式，由k 的范围即可确定M 的最大值和最小值，从而即可求差．【详解】设123234x y z k ---===， ①21x k =+，23y k =-，43z k =+， ①0x ≥，0y ≥，0z ≥，①210230430k k k +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解不等式组得1223k -≤≤，①23M x y z =++，①()()()21238142343M k k k k =+++=+-+， ①58108143k ≤+≤,即58103M ≤≤， M 的最大值为583，最小值为10， M 的最大值减去最小值的差58281033=-=，故答案为：283．【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，解题关键是设比例式值为k ，通过已知确定k 的取值范围．三、解答题16．商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为40000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元． ①求y 关于x 的函数关系式：①该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调()0100m m <<元，且限定商店最多购进A 型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）A 100元，B 150元；（2）①5015000y x =-+；①A 34台，B 66台；（3）当050m <<时，A 34台B 66台；当50m =时，A 34~70内均可；当50100m <<时，A 70台B 30台【分析】（1）设每台A 型加湿器和B 型加湿器的销售利润分别为a 元，b 元，然后根据题意列出二元一次方程组解答即可；（2）①据题意得即可确定y 关于x 的函数关系式，利用A 型利润与B 型利润即可求出总利润y 与x 的关系，并确定x 的范围即可；①根据一次函数的增减性，解答即可；（3）根据题意列出函数数关系式，分以下三种情况①0<m<50，①m=50，① 50 <m < 100时，m-50 >0结合函数的性质，进行求解即可．【详解】（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，根据题意得：1020400020103500a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得=100150a b ⎧⎨=⎩ 答：每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元；（2）①设购进A 型电脑x 台，每台A 型电脑的销售利润为100元，A 型电脑销售利润为100x 元, 每台B 型电脑的销售利润为150元，B 型电脑销售利润为()150100x -元()100150100y x x =+-，即这100台电脑的销售总利润为:5015000y x =-+；1002x x -≤，解得1333x ≥．且x 为正整数，150********y x x ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中x 为正整数，①5015000y x =-+中，k=500-<，y ∴随x 的增大而减小．x 为正整数，1333x ≥ ①当34x =时，y 取得最大值，此时10066x -=．答：商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大；（3）根据题意得()()100150100y m x x =++-，即()5015000y m x =-+，其中133703x ≤≤，且x 为正整数．①当050m <<时，k=500m -<，y ∴随x 的增大而减小，①当34x =时，y 取得最大值，即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑才能获得最大利润； ①当50m =时，k=500m -=，15000y ∴=，即商店购进A 型电脑数量满足133703x ≤≤的整数时，均获得最大利润；①当50 <m < 100时，k=500m ->，y ∴随x 的增大而增大．①当70x =时，y 取得最大值．即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性是解答本题的关键．17．某市A ，B 两个蔬菜基地得知黄岗C ，D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240t 和260t 的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A 蔬菜基地有蔬菜200t ，B 蔬菜基地有蔬菜300t ，现将这些蔬菜全部调运C ，D 两个灾区安置点，从A 地运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B 地运往C 处的蔬菜为x 吨．（1）请填写下表，用含x 的代数式填空，结果要化简：（2）设A ，B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，求出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B 地到C 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元()0m >，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．【答案】（1）()240x -，()40x -，()300x -；（2）29200w x =+；A →C ：200吨，A →D ： 0吨，B →C ：40吨，B →D ：260吨；（3）2m =时，在40240x ≤≤的前提下调运方案的总费用不变；215m <<时，240x =总费用最小，其调运方案为：A →C ：0吨，A →D ： 200吨，B →C ：240吨，B →D ：60吨；【分析】（1）根据题意，从A 处调运到C 处的数量为（240-x ）t ；从A 处调往D 处的数量为[200-（240-x ）]t ；则从B 调运到D 处的数量为（300-x ）t ；（2）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，易得w 与x 的函数关系，根据调运的数量非负即可不等式组，求得x 的范围，从而可求得总费用的最小的调运方案；（3）由题意可得w 与x 的关系式，根据x 的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0<m <2时；当m =2时；当2<m <15时，根据一次函数的性质即可解决．【详解】（1）填表如下：故答案为：()240x -，()40x -，()300x -；（2）w 与x 之间的函数关系为：()()()202402540151830029200w x x x x x =-+-++-=+ 由题意得：240040003000x x x x -≥⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪-≥⎩ ①40240x ≤≤①在29200w x =+中，20> ①w 随x 的增大而增大 ①当40x =时，总运费最小此时调运方案为：（3）由题意得()()()()2024025401518300w x x m x x =-+-+-+- 即()29200w m x =-+，其中40240x ≤≤ ①02m <<，（2）中调运方案总费用最小；2m =时，在40240x ≤≤的前提下调运方案的总费用不变；215m <<时，240x =总费用最小，其调运方案如下：【点睛】本题是一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．它考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解一元一次方程组等知识，用到分类讨论思想．18．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．P 是BC 的中点，点Q 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →D →C →B →A 的方向终点A 运动，设点Q 运动的时间为x 秒．（1）点Q 在运动的路线上和点C 之间的距离为1时，x ＝秒．（2）若①DPQ 的面积为S ，用含x 的代数式表示S （0≤x ＜7）．（3）若点Q 从A 出发3秒后，点M 以每秒3个单位长度的速度沿A →B →C →D 的方向运动，M 点运动到达D 点后立即沿着原路原速返回到A 点．当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x 的取值范围．【答案】（1）5或7；（2）42(02)11(26)2212(67)x x S x x x x -≤<⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-<<⎪⎩，（3）45x ≤≤或79x ≤≤或1012x ≤≤．【分析】（1）根据题意，点Q 与点C 的距离为1，设Q 运动的路程为a ，则61a -=，根据速度为1，进而求得时间x ；（2）分三种情况讨论，①点Q 在AD 边上运动；①点Q 在CD 边上运动；①点Q 在BC 边上运动；根据情形写出①DPQ 的面积即可；（3）分三种情形讨论，①M 点未到达D 点时，①M 点原路原速返回时，根据情形分相遇和追及问题写出路程差不超过2时，①当M 点回到点A ，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，列出不等式组求解即可，注意两点运动的总时间会影响取值范围，即M 点先停止运动．【详解】（1）4,2AB AD ==，∴246AD DC +=+=，设Q 运动的路程为a ，依题意则，61a -=，解得5a =或7a =，速度为每秒1个单位长度，515x ∴=÷=或者717x =÷=，故答案为：5或7；（2）速度为每秒1个单位长度，Q 运动的时间为x 秒． ∴点Q 的路程为1x x ，①点Q 在AD 边上运动；2,4AD CD BC ===，∴2DQ DA AQ x =-=-,11(2)422S DQ DC x ∴=⨯=⨯-⨯42x =-（02x ≤<），①点Q 在CD 边上运动；P 是BC 的中点，112PC BC ∴==，2DQ x AD x =-=-，111(2)11222S DQ CP x x =⨯=-⨯=-（26x <≤）， ①点Q 在CP 边上运动，6PQ t AD DC t =--=-，11(6)421222S PQ CD x x ∴=⨯=-⨯=-（67x <<），综合①①①得：42(02)11(26)2212(67)x x S x x x x -≤<⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-<<⎪⎩，（3）速度为每秒1个单位长度，Q 运动的时间为x秒．∴点Q 的路程为1x x ，设M 的运动时间为t ，根据题意，Q 从A 出发3秒后，M 才出发，则3t x =-，即3x t =+，M 的路程为3t ，Q 点的路程为3t +，42410DC BC AB ++=++=,∴M 点全路程所用时间为2010233⨯÷=秒，则Q 点的全路程所用时间为12112÷=秒，分三种情形讨论，①M 点未到达D 点时，Q 点出发3秒后，,M Q 共同完成的路程为39AD DC BC AB +++-=根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则，9(33)2t t -++≤，即9(33)2(33)92t t t t -++≤⎧⎨++-≤⎩，解得12t ≤≤，45x ∴≤≤，①M 点原路原速返回时，根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则，(310)2t t --≤，即(310)2(310)2t t t t --≤⎧⎨--≤⎩，解得46t ≤≤，79x ∴≤≤．①当M 点回到点A ，根据题意，当M 与Q 在运动的路线上相距不超过2时，则1012x ≤≤；综合①①①可得x 的取值范围为45x ≤≤或79x ≤≤或1012x ≤≤．【点睛】本题考查了动点问题，路程问题，一元一次不等式的应用，弄清动点运动的方向和路程是解题的关键． 19．在平面直角坐标系xOy 中，对于M 、N 两点给出如下定义：若点M 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点N 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称M 、N 两点互为“等距点”，例如：点P （2，2）与Q （-2，-1）到x 轴、y 轴的距离中的最大值都等于2，它们互为“等距点”．已知点A 的坐标为（1，3）．（1）在点B （5，3）、C （﹣3，1）、D （﹣2，﹣2）中，点与点A 互为“等距点”（2）已知直线l ：4y kx k =--① 若k =1，点E 在直线l 上，且点E 与点A 互为“等距点”，求点E 的坐标；①若直线l 上存在点F ，使得点F 与点A 互为“等距点”，求k 的取值范围（直接写出结果）．【答案】（1）C ；（2）①(2,3)E -或(3,2)-；① 12k ≥或14k ≤-．【分析】（1）根据新定义“等距点”的定义即可求解；（2）①k=1可得5y x =- 设,5E m m -（），讨论353m m =-=或即可，①设(),4F f kf k --，根据点F与点A 互为“等距点”，分两种情况讨论即可：343f kf k ⎧=⎪⎨--≤⎪⎩和343f kf k ⎧≤⎪⎨--=⎪⎩．【详解】解：（1）①点A （1，3）到x 、y 轴的距离中最大值为3，点C （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，①与A 点是“等距点”的点是C ．（2）①①直线l ：4y kx k =--当k=1时，5y x =- ，①点A （1，3）到x 、y 轴的距离中最大值为3，点E 到点A 互为“等距点”，点E 到坐标轴的最大距离为3，设,5Em m -（）， ①EM m =,5EN m =- ①353m m ⎧=⎪⎨-≤⎪⎩或35=3m m ⎧≤⎪⎨-⎪⎩解得：3m =或=2m当3m =时，52m -=-，点E （3，﹣ 2），当=2m 时，53m -=-，点E （2，﹣3），故点E （3，﹣ 2）或E （2，﹣3），① 点F 在直线l ：4y kx k =--上，设(),4F f kf k --， ①343f kf k ⎧=⎪⎨--≤⎪⎩①②或343f kf k ⎧≤⎪⎨--=⎪⎩③④ 由①得到：3f =±，当3f =时，243k -≤，解得1722k ≤≤，当3f =-时，443k --≤，解得7144k -≤≤-，由①得到：43kf k --=±，当43kf k --=，即7k f k+=时，则73k k +≤，解得72k ≥或74k ≤-，当43kf k --=-，即1k f k+=时，则13k k +≤，解得12k ≥或14k ≤-，综上所述：12k ≥或14k ≤-．【点睛】本题考查新定义的应用和点坐标到坐标轴之间的距离，涉及到一元一次不等式，解题的关键是正确理解题意，学会利用分类讨论的思想．20．在平面直角坐标系中，若P 、Q 两点的坐标分别为()11,P x y 和()22,Q x y ，则定12x x -和12y y -中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P 、Q 两点的“直角距离小分量”，记为min (,)d P Q ．例如：(2,3),(0,2)P Q -，因为12122,0,|20|2x x x x =-=-=--=；12123,2,|32|1y y y y ==-=-=，而|32||20|-<--，所以min (,)|32|1d P Q =-=．（1）请直接写出()3,2A -和()1,1B -的直角距离小分量()min ,d A B =_________；（2）点D 是坐标轴上的一点，它与点()3,1C -的直角距离小分量()min ,2d C D =，求出点D 的坐标；（3）若点(1,22)M m m +-满足以下条件：a ）点M 在第一象限；b ）点M 与点()5,0N 的直角距离小分量()min ,2d M N <c ）45MON ∠>︒，O 为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M 的坐标_______．【答案】（1）3；（2）(0,1)D 或(0,3)D -；（3）(5,6)M 或(6,8)【分析】（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出10220m m +>⎧⎨->⎩，解出m 的取值范围，再由45MON ∠>︒可推导出2211OM m K m -=>+，解出m 的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m 的值即可．【详解】解：（1）(3,2)A -，(1,1)B -，|31|4∴+=>|21|3--=，()min ,3d A B ∴=；故答案为3；（2）点D 是坐标轴上的一点，若D 在x 轴上，设(a,0)D ，由于|01|12+=<与题意矛盾，故点D 是在y 轴上的一点，|1|2b ∴+=，解得：1b =或3-，(0,1)D ∴或(0,3)D -；（3）由题意得：10220m m +>⎧⎨->⎩，解得1m ， |15||4|,|220|2|1|m m m m +-=---=-，∴[]222(4)2(1)312m m m ---=-+，当12m <<时，()min ,2|1|2d M N m =-<，解得：02m <<，当2m ≥时，()min ,|4|2d M N m =-<，解得：26m <<，m ∴的取值范围是：02m <<或26m <<，45MON ∠>︒恰好为OM l 的倾斜角，1OM K ∴>，2211OM m K m -=>+，解得：1m <-或3m >综上：m 的取值范围是：36m <<，横纵坐标都为整数，4m ∴=和5，(5,6)M ∴或(6,8)，故答案为：(5,6)M 或(6,8)．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．。

压轴题01：三角形的证明综合专练20题(解析版)- 八年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

压轴题01：三角形的证明综合专练20题（解析版）一、单选题1．如图所示，直线l 是一条河的河岸，P ，Q 是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M 处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，作图即可.【详解】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P 关于直线l 的对称点P '，连接Q P '交直线l 于点M ，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，故选：B ．【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 2．如图，在ABC 中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，有如下五个结论：①AO BC ⊥；①OD OE =；①OEF 是等边三角形；①OEF CEF ≌；①54OEF ∠=︒．则上列说法中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】利用三线合一可判断①；由折叠的性质可判断①；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出①ACB=①EOF=63°，可判断①；证明①OAB①①OAC，得到OA=OB=OC，从而推出①OEF=54°，可判断①；而题中条件无法得出OD=OE，可判断①．【详解】解：如图，连接OB，OC，①AB=AC，OA平分①BAC，①BAC=54°，①AO①BC（三线合一），故①正确；①BAO=①CAO=12①BAC=12×54°=27°，①ABC=①ACB=12×（180°-①BAC）=12×126°=63°，①DO是AB的垂直平分线，①OA=OB，即①OAB=①OBA=27°，则①OBC=①ABC-①OBA=63°-27°=36°≠①OBA，由折叠可知：①OEF①①CEF，故①正确；即①ACB=①EOF=63°≠60°，OE=CE，①OEF=①CEF，①①OEF不是等边三角形，故①错误；在①OAB和①OAC中，AB AC OAB OAC OA OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①OAB ①①OAC （SAS ），①OB =OC ，又OB =OA ，①OA =OB =OC ，①OCB =①OBC =36°，又OE =CE ，①①OCB =①EOC =36°，①①OEC =180°-（①OCB +①EOC ）=180°-72°=108°，又①OEC =①OEF +①CEF①OEF =108°÷2=54°，故①正确；而题中条件无法得出OD =OE ，故①错误；①正确的结论为①①①共3个，故选B ．【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 3．如图，已知AOP α∠=，线段4OA =，点B 为射线OP 上一点，则下列结论正确的是（） ①当30α=︒，2AB =时，可得到形状唯一确定的AOB ；①当45α=︒，3AB =时，可得到形状唯一确定的AOB ；①当30α=︒时，在射线OP 上存在三个点B 使得AOB 为等腰三角形；①当45α=︒时，在射线OP 上存在三个点B 使得AOB 为等腰直角三角形．A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A【分析】过A 作AH ①OP 于点H ，求出AH 的长，分别根据①α的度数画出相应图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质判断各结论．【详解】解：如图①所示：过A作AH①OP于点H，①OA=4，①α=30°，①AH=12OA=12×4=2，又AH①OP，AH=AB，①B与H重合，则①AOB形状唯一确定，故①正确；如图①所示，过点A作AH①OP于点H，①OA=4，①α=45°，AH①OP，①AH=OH，222OA AH OH=+，即AH=，①AB＞AH，①当B在图①中B1，B2位置时，都能使得AB=3，则①AOB不唯一，有2个，故①错误；如图①所示，有3个B点使得①AOB为等腰三角形，即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故①正确；如图①所示，AB①OA于点A时，①AOB1为等腰直角三角形，AB2①OP于点B2时，①AOB2为等腰直角三角形，OP上有2个点B使得①AOB为等腰直角三角形，故①错误；即正确的结论为：①①，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，确定三角形的条件，解题的关键是根据各种情况画出图形，结合图形的性质解答．4．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S△ABP；①S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．①正确．证明①ABP①①FBP，推出P A=PF，再证明①APH①①FPD，推出PH=PD即可解决问题．①错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．①错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．①正确．由DH ①PE ，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在①ABC 中，A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC①①ACB =90°①①A +①B =90°又①A D 、BE 分别平分①BA C 、①ABC①①BAD +①ABE =12（①A +①B ）=45°①①APB =135°，故①正确①①BPD =45°又①PF ①AD①①FPB =90°+45°=135°①①APB =①FPB又①①ABP =①FBPBP =BP①①ABP ①①FBP （ASA ）①①BAP =①BFP ，AB =FB ，P A =PF在①APH 和①FPD 中 APH FPD PA PFPAH PFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①①APH ①①FPD （ASA ）①PH =PD①AD =AP +PD =PF +PH ．故①正确①①ABP ①①FBP ，①APH ①①FPD①S △APB =S △FPB ，S △APH =S △FPD ，PH =PD①①HPD =90°①①HDP =①DHP =45°=①BPD①HD ①EP①S △EPH =S △EPD①S △APH =S △AED ，故①正确①S 四边形ABDE =S △ABP +S △AEP +S △EPD +S △PBD=S △ABP +（S △AEP +S △EPH ）+S △PBD=S △ABP +S △APH +S △PBD=S △ABP +S △FPD +S △PBD=S △ABP +S △FBP=2S △ABP ，故①不正确若DH 平分①CDE ，则①CDH =①EDH①DH ①BE①①CDH =①CBE =①ABE①①CDE =①ABC①DE ①AB ，这个显然与条件矛盾，故①错误故选B ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在①ABC 中，点M ，N 分别是AC ，BC 上一点，AM ＝BN ，①C ＝60°，若AB ＝9，BM ＝7，则MN 的长度可以是（）A ．2B ．7C ．16D ．17【答案】B【分析】通过构造等边ABQ △和等边MBP ，得到QBP ABM ≅（SAS ），再证明QMP NMB ≅（SAS ），即可将线段AB 、BM 和MN 集中到①QMB 中，根据三角形三边关系即可判断MN 的长度取值范围．【详解】解：如图，作等边ABQ △和等边MBP ，连接QP 、QM ，在等边ABQ △和等边MBP 中，60QBA PBM ∠=∠=︒，①60QBP QBM QBM ABM ∠+∠=∠+∠=︒，①QBP ABM ∠=∠，又①9QB AB ==，7PB MB ==，①QBP ABM ≅（SAS ），①BQP BAM ∠=∠，PQ AM =，①AM ＝BN ，①PQ BN =在ABC 中，180ACB CAB CBA ∠+∠+∠=︒，60ACB ∠=︒，①18060120MBC MAB ABM MAB ABM ∠=︒-︒-∠-∠=︒-∠-∠，在QBP △中，180QPB BQP QBP ∠+∠+∠=︒，60MPB ∠=︒，①18060120MPQ BQP QBP MAB ABM ∠=︒-︒-∠-∠=︒-∠-∠，①MBN MPQ ∠=∠，在QMP △和NMB △中，PB MB MBN MPQ PQ BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①QMP NMB ≅（SAS ）①MQ MN =，在QMB 中，QB MB QM QB MB -<<+，①AB MB MN AB MB -<<+，①216MN <<，①选项B ，MN =7符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定的综合应用，解题关键是线段AB 、BM 和MN 通过旋转全等集中到同一个三角形中，再根据三角形三边关系即可判断MN 的长度取值范围．6．如图，①ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，①BAC ＝45°，过点A 作AD ①BC 于点D ，过点B 作BE ①AC 于点E ，AD ，BE 交于点F ，H 为AB 的中点，连接EH ，CH ，FH ，则下列说法正确的个数为（） ①①BAD ＝①CBE ；①EH ①AB ；①CE ＝12AF ；①AE ＝CE +CF ；①S △EFH ＝S △EHC ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质可得22.5,67.5BAD CAD ABC ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得22.5CBE ∠=︒，由此可判断①；先判断出Rt ABE △是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断①；先根据三角形全等的判定定理证出BCE AFE ≅，根据全等三角形的性质可得BC AF =，在AE 上截取GE CE =，连接BG ，从而可得BG BC =，再根据等腰三角形的性质可得67.5,45BGC CBG ∠=︒∠=︒，从而可得12<CE BC ，据此可判断①；先根据等腰三角形的三线合一可得AD 垂直平分BC ，从而可得BF CF =，再证出Rt CEF 是等腰直角三角形，从而可得CE EF =，然后根据线段和差可得AE BE CE CF ==+，即可判断①；过点H 作HM AC ⊥于点M ，作HN BE ⊥于点N ，先根据等腰三角形的三线合一可得EH 平分AEB ∠，再根据角平分线的性质可得HM HN =，然后根据三角形的面积公式即可判断①．【详解】解：,45,AB AC BAC AD BC =∠=︒⊥，122.5,67.52BAD CAD BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒∠=∠=︒， BE AC ⊥， 9022.5CBE ACB ∴∠=︒-∠=︒，BAD CBE ∴∠=∠，说法①正确；,45BE AC BAC ⊥∠=︒，Rt ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE =， H 为AB 的中点，EH AB ∴⊥（等腰三角形的三线合一），说法①正确；在BCE 和AFE △中，22.590CBE FAE BE AE CEB FEA ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()BCE AFE ASA ∴≅，BC AF ∴=，如图，在AE 上截取GE CE =，连接BG ，则BE 垂直平分CG ，BG BC ∴=，67.5,18045BGC BCG CBG BGC BCG ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒， BGC CBG ∴∠>∠，2BC CG CE ∴>=，即12<CE BC ，12CE AF ∴<，说法①错误； ,AB AC AD BC =⊥，AD ∴垂直平分BC ，BF CF ∴=，22.5BCF CBF ∴∠=∠=︒，45EFC BCF CBF ∴∠=∠+∠=︒，Rt CEF ∴是等腰直角三角形，CE EF =，BE EF BF CE CF ∴=+=+，又AE BE =，AE CE CF ∴=+，说法①正确；如图，过点H 作HM AC ⊥于点M ，作HN BE ⊥于点N ，Rt ABE 是等腰直角三角形，EH 是AB 边上的中线，EH ∴平分AEB ∠（等腰三角形的三线合一）， HM HN ∴=， 1122EFH EHC S S EF HN CE HM ∴=⋅=⋅=，说法①正确；综上，说法正确的个数为4个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键，较难的是①，通过作辅助线，利用到角平分线的性质定理．7．如图，在①ABC 中，AB ＝AC ，①BAC ＝90°，直角①EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF 交AP 于点G ，以下五个结论：①①B ＝①C ＝45°；①AP ＝EF ；①①AFP 和①AEP 互补；①①EPF 是等腰直角三角形；①四边形AEPF 的面积是①ABC 面积的34，其中正确的结论是（）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质求出①B =①C ，即可判断①；根据四边形内角和是360°可判断①，根据等腰直角三角形求出AP ①BC ，AP =12BC =PC ，①BAP =①CAP =45°=①C ，求出①FPC =①EP A ，根据ASA 推出①APE ①①CPF ，推出AE =CF ，PE =PF ，S △APE =S △CPF ，再逐个判断①①①即可．【详解】解：①AB =AC ，①BAC =90°，直角①EPF 的顶点P 是BC 的中点，①①B =①C =12×（180°-90°）=45°，AP ①BC ，AP =12BC =PC ，①BAP =①CAP =45°=①C ，①①APF +①FPC =90°，①APF +①APE =90°，①①FPC =①EP A ，在①APE 和①CPF 中， EAP C AP CPEPA FPC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①①APE ①①CPF （ASA ），①AE =CF ，EP =PF ，①①EPF 是等腰直角三角形，故①①正确；根据等腰直角三角形的性质，EF，所以，EF 随着点E 、F 的变化而变化，只有当点E 为AB 的中点时，EF=AP ，在其它位置时EF ≠AP ，故①错误；在四边形AEPF 中，①BAC =90°，①EPF =90°，①①AFP +①AEP =360°-（①BAC +①EPF ）=180°，即①AFP 和①AEP 互补，故①正确；①①APE ①①CPF ，①S △APE =S △CPF ，①BP =CP ，①S △APC =12S △ABC ，①四边形AEPF 的面积=S △APE +S △APF=S △CPF +S △APF=S △APC=12S △ABC ，故①错误，故选D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出①APE ①①CPF 是解此题的关键．8．如图，ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点D 在ABC 内部，且使得302ABD BAD α=∠-∠=︒．则ACD ∠的度数为（）A ．30α-︒B ．60α-︒C ．30D ．不能确定【答案】C【分析】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，证明ABD ACE ≅，得到ACE 为等腰三角形，再证明ADE 为等边三角形，推出DCE 为等腰三角形，由三角形外角的性质得出12ACD AED ∠=∠即可．【详解】如图，在ABC 内作CAE BAD ∠=∠，且使得AE AD =，连,DE CE ，在ABD △和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(),ABD ACE SAS ∴≅ABD BAD∠=∠，∴ABD△为等腰三角形，∴ACE为等腰三角形，CAE BAD∠=∠，BACα∠=，302BADα-∠=︒，30302260,DAE BAC BAD CAEααα∴∠=∠-∠-∠⎛⎫⎛⎫=--︒--︒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=︒ADE∴为等边三角形，,DE AE CE∴==∴DCE为等腰三角形，延长CE交AD于F点，(),,2222,116030,22AEF EAC ECADEF ECD EDCAED AEF DEFACE DCEACE DCEACDACD AED∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=⨯︒=︒故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9．如图，在AOB和COD△中，,()OA OB OC OD OA OC==<，AOB CODα∠=∠=，直线,AC BD交于点M，连接OM．以下结论：①AC BD=；①OAC OBD∠=∠；①CMDα∠=；①OM平分BOC∠．其中正确的是___________（填序号）．【答案】①①①【分析】由SAS证明①AOC①①BOD得出①OAC=①OBD，AC=BD，①①正确；由全等三角形的性质得出①OAC=①OBD，由三角形的外角性质得：①AMB+①OBD=①OAC+①AOB，得出①AMB=①AOB=α，可得①正确；作OG①AM于G，OH①DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得①AMO=①DMO，假设OM平分①BOC，则可求出①AOM=①DOM，由全等三角形的判定定理可得①AMO①①DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故①错误；即可得出结论．【详解】解：①①AOB=①COD=α，①①AOB+①BOC=①COD+①BOC，即①AOC=①BOD，在①AOC和①BOD中，OA OBAOC BOD OC OD，①①AOC①①BOD（SAS），①①OAC=①OBD，AC=BD，故①①正确；由三角形的内角和定理得：①AMB+①OBD=①OAC+①AOB，①①OAC=①OBD，①①AMB=①AOB=α，CMD，故①正确；作OG①AM于G，OH①DM于H，如图所示，①AOC①①BOD，①结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，①MO平分①AMD，①①AMO=①DMO，假设OM平分①BOC，则①BOM=①COM，①①AOB=①COD，①①AOB+①BOM=①COD+①COM，即①AOM=①DOM，在①AMO与①DMO中，AOM DOM OM OMAMO DMO，①①AMO①①DMO（ASA），①OA=OD，①OC=OD，①OA=OC，而OA＜OC，故①错误；正确的个数有3个；故答案为：①①①．【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．10．如图，①ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当①AEB＝①D时，①BCD的面积是①BCE的面积的6倍，则AE＝___，①BCD的面积为___．【答案】3【分析】过点B作BH①CA交CA的延长线于点H，过点C作CG①AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，证明①CFD①①BAE，可得FD＝AE，根据①BCD的面积是①BCE的面积的6倍，可得CG＝S△BCE，AE＝32CE，进而可得AE的长；再利用勾股定理求出CG，进而可得①BCD的面积．【详解】解：如图，过点B作BH①CA交CA的延长线于点H，过点C作CG①AD于点G，在线段DG上截取GF ＝GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，①CA＝CF，①①CAF＝①CF A，①180°﹣①CAF＝180°﹣①CF A，①①CAB＝①CFD，①AB＝AC＝5，①CF ＝AB ＝AC ＝5，在①CFD 和①BAE 中，CFD BAE FDC AEB CF BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①CFD ①①BAE （AAS ），①FD ＝AE ，①AB ＝5，AD ＝7，①BD ＝AB +AD ＝12，①S △BCD ＝12⨯BD •CG ＝12⨯12CG ＝6CG ， ①S △BCD ＝6S △BCE ，①6CG ＝6S △BCE ，①CG ＝S △BCE ，①S △ABC ＝12BA •CG ＝12⨯5CG ＝52CG ， ①S △ABC ＝52S △BCE ， ①S △ABE ＝S △ABC ﹣S △BCE ＝52S △BCE ﹣S △BCE ＝32S △BCE ， ①S △ABE ＝12⨯AE •BH ，S △BCE ＝12⨯CE •BH ， ①12⨯AE •BH ＝32×12⨯CE •BH ， ①AE ＝32CE ， ①AE CE ＝32， ①AE ＝35AC ＝35×5＝3， ①FD ＝AE ＝3，①AF ＝AD ﹣FD ＝7﹣3＝4，①AG ＝FG ＝12AF ＝2，①CG ①AG ，①①AGC ＝90°，在Rt①ACG 中，①AGC ＝90°，AC ＝5，AG ＝2，①CG=①BD ＝12，①S△BCD ＝12⨯BD •CG ＝12⨯ 综上所述：AE ＝3，①BCD 的面积为．故答案为：3；【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．11．如图，ABC 是边长为5的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒．E 、F 分别在AB 、AC 上，且60EDF ∠=︒，则三角形AEF 的周长为______．【答案】10【分析】延长AB 到N ，使BN =CF ，连接DN ，求出①FCD =①EBD =①NBD =90°，根据SAS 证①NBD ①①FCD ，推出DN =DF ，①NDB =①FDC ，求出①EDF =①EDN ，根据SAS 证①EDF ①①EDN ，推出EF =EN ，易得①AEF 的周长等于AB +AC ．【详解】解：延长AB 到N ，使BN =CF ，连接DN ，①①ABC 是等边三角形，①①ABC =①ACB =60°，①BD =CD ，①BDC =120°，①①DBC =①DCB =30°，①①ACD =①ABD =30°+60°=90°=①NBD ，①在①NBD 和①FCD 中，BD DC NBD FCD BN CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①NBD ①①FCD （SAS ），①DN =DF ，①NDB =①FDC ，①①BDC =120°，①EDF =60°，①①EDB +①FDC =60°，①①EDB +①BDN =60°，即①EDF =①EDN ，在①EDN 和①EDF 中，DE DE EDF EDN DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①EDN ①①EDF （SAS ），①EF =EN =BE +BN =BE +CF ，即BE +CF =EF ．①①ABC 是边长为5的等边三角形，①AB =AC =5，①BE +CF =EF ，①①AEF 的周长为：AE +EF +AF =AE +EB +FC +AF =AB +AC =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，点E 在线段AD 上，∠ACE ＝45°，∠ABC ＝2∠ECB ，若BD ﹣CD ＝2，AE ＝6，则AB ＝_____．【答案】8【分析】延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设①ECB＝α，则①B＝2α，根据题意可求出①DEC＝90°-α．根据作图结合线段垂直平分线的性质可证明AB＝AF，①BAD＝①F AD，①B＝①F＝2α．由三角形外角性质可求出①DAC＝45°-α．由①DAF＝90°-2α，从而得出①CAF＝45°-α，即证明①DAC＝①F AC，从而易证△GAC①①F AC（SAS），得出①G＝①F＝2α，GC＝CF＝2．再根据①GCE＝180°-①G-①DEC，即可求出①GCE=90°-α，即得出①GCE＝①GEC，从而得出GC＝GE＝2，即可求出AG＝AB ＝8．【详解】解：延长BC至F，使DF＝DB，延长AD至G，使AG＝AB，连接AF，CG．设①ECB＝α，则①B＝2α，①AD①BC，①①DEC＝90°-α，①BD＝DF，①AB＝AF，①BAD＝①F AD，①①B＝①F＝2α，①①DEC＝90°-α，①ACE＝45°，①①DAC＝90°-α-45°＝45°-α，①①DAF＝90°-①F＝90°-2α，①①CAF ＝90°-2α-(45°-α)＝45°-α，①①DAC ＝①F AC ，在△△GAC 和△F AC 中，AC AC GAC FAC AG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①GAC ①①F AC （SAS ），①①G ＝①F ＝2α，GC ＝CF ＝DF -CD ＝BD -CD ＝2，①①GCE ＝180°-①G -①DEC ＝180°-2α- (90°-α)＝90°-α，①①GCE ＝①GEC ，①GC ＝GE ＝2，①AG ＝AF=AB ＝2+6=8．故答案为：8．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形全等的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，AD ⊥BC 于D ，F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于E ，过F 作MN ⊥FB 交BA 延长线于M ，交BC 于N ，若点M 恰在BN 的垂直平分线上，且DE ：BN ＝1：7，S △ABD ＝15，则S △ABE ＝_____．【答案】252【分析】过点F 作FG ①BN 于点G ，根据已知条件证明①ABD ①①BFG ，可得BD ＝FG ，AD ＝BG ，再证明①BDE ①①FGN 可得DE ＝GN ，根据DE ：BN ＝1：7，可得GN ：BN ＝1：7，设ED ＝x ，DE ：BG ＝1：6，可得AD ＝BG ＝6x ， AE ＝5x ，然后根据S △ABD ＝15，进而可得S △ABE ．【详解】解：如图，过点F 作FG ①BN 于点G，①AD①BC，①①ADC＝90°，①①C＝45°，①①DAC＝45°，①MN①FB，①①FBN+①FNB＝90°，①点M恰在BN的垂直平分线上，①MB＝MN，①①ABN＝①FNB，①①ABN+①BAD＝90°，①①BAD＝①FBN，①①AFB＝①FBC+①C＝①BAD+①DAC＝①BAF，①BA＝BF，在①ABD和①BFG中，ADB BGFBAD FBG，AB BF①①ABD①①BFG（AAS），①BD＝FG，AD＝BG，①①BED+①EBD＝90°，①BAD+①ABD＝90°，①①BED＝①ABD＝①BFG=①FNG，在①BDE和①FGN中，BDE FGNBED FNG，BD FG①①BDE①①FGN（AAS），①DE ＝GN ，①DE ：BN ＝1：7，①GN ：BN ＝1：7，设ED ＝x ，①DE ：BG ＝1：6，①AD ＝BG ＝6x ，①AE ＝AD ﹣ED ＝6x ﹣x ＝5x ，①S △ABD ＝15，①S △ABE ＝551566ABD S =⨯△=252．故答案为：252．【点睛】本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．14．如图，ABC 中，点E 在边AC 上，EB EA =，2A CBE ∠=∠，CD 垂直于BE 的延长线于点D ，9BD =，11.5AC =，则边BC 的长为______．【答案】【分析】延长BD 到F ，使得DF ＝BD ，从而得BC ＝CF ，过点C 作CH ①AB ，交BF 于点H ，根据等腰三角形的性质与判定，可得EH ＝CE ，从而得AC ＝BH ，再证明CH =HF ，结合勾股定理即可求出答案．【详解】解：延长BD 到F ，使得DF ＝BD ，①CD ①BF ，①CD 垂直平分BF ，①BC ＝CF ，①F=①CBE ，过点C 作CH ①AB ，交BF 于点H ，①CH ①AB ，①①ABE ＝①CHE ，①BAE ＝①ECH ，①EA ＝EB ，①①ABE =①BAE ，①①CHE ＝①ECH ，①EH ＝CE ，①AC ＝BH ，①2A CBE ∠=∠，①①CHE ＝①ECH =2①CBE ，①①CHE =2①F ，①①F =①HCF ，①HC =HF ，①9BD =，11.5AC =，①DH ＝BH −BD ＝AC −BD ＝2.5，①HF ＝HC ＝9−2.5＝6.5，①在Rt ①CDH ，CD 6，①在Rt ①BCD 中，BC故答案是：【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，添加辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键，本题属于中等题型．15．如图，在锐角①ABC 中，点D 在线段CA 的延长线上，BC 边的垂直平分线分别交AB 边于点E ，交①BAC 的平分线于点M ，交①BAD 的平分线于点N ，过点C 作AM 的垂线分别交AM 于点F ，交MN 于点O ，过点O 作OG ①AB 于点G ，点G 恰为AB 边的中点，过点A 作AI ①BC 于点I ，交OC 于点H ，连接OA 、OB ，则下列结论中，（1）①MAN =90°；（2）①AOB =2①ACB ；（3）OH =2OG ；（4）①AFO ①①AFH ；（5）AE +AC =2AG ．正确的是________．（填序号）【答案】（1）（2）（4）（5）【分析】（1）使用角平分线的性质即可；（2）根据AB 和BC 的垂直平分线OG 和MN 可以得到OA =OB =OC ，进而得到三组相等的角，再进行等量代换即可；（4）在AFO 和AFH 中，易得AFO AFH ∠=∠和公共边AH ，再通过角度的计算和等量代换可以得到COM BAC AHF AOC ∠=∠=∠=∠，即可证明AFO AFH △≌△；（5）根据垂直平分线的性质和（4）中的全等三角形可得BO =AH ，通过角度的计算和等量代换可以证明EBO CAH ∠=∠和BOE AHC ∠=∠，进而可通过证明BOE AHC △≌△得到BE =AC ，再进行等量代换即可；（3）易得OH =2OF ，根据分析无法证明OF =OG ，故可判断该项不符合题意．【详解】解：（1）①AM 平分BAC ∠，AN 平分BAD ∠，①12BAM BAC ∠=∠，12BAN BAD ∠=∠． ①()111222MAN BAM BAN BAC BAD BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．又①根据图示可得180BAC BAD ∠+∠=︒， ①()111809022MAN BAC BAD ∠=∠+∠=⨯︒=︒．故（1）符合题意．（2）①G 为AB 中点，且OG AB ⊥，MN 垂直平分BC ，①OA =OB =OC ，90AOG OAB ∠+∠=︒．①OAB OBA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，AOG BOG ∠=∠．①ACB OCA OCB OAC OBC ∠=∠+∠=∠+∠，2AOB AOG ∠=∠．又①180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，①180ACB OBA OBC OAB OAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒．①()2180ACB OAC OBC OAB ∠+∠+∠+∠=︒．①22180ACB OAB ∠+∠=︒．①90ACB OAB ∠+∠=︒．①ACB AOG ∠=∠．①22AOB AOG ACB ∠=∠=∠．故（2）符合题意．（4）如图所示，延长CO 交AB 于点J ．①OB =OC ，MN 垂直平分BC ，①BOM COM ∠=∠，90OCB COM ∠+∠=︒．又①OAB OBA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，①BAC OAB OAC OBA OCA ∠=∠+∠=∠+∠．①180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，①180OCA OCB OBA OBC BAC ∠+∠+∠+∠+∠=︒．①()2180OCA OBA OCB BAC ∠+∠+∠+∠=︒．①22180OCB BAC ∠+∠=︒．①90OCB BAC ∠+∠=︒．①COM BAC ∠=∠．又①MN BC ⊥，AI BC ⊥，①//MN AI ．①COM AHF ∠=∠．①BAC AHF ∠=∠．①AM 平分BAC ∠，CO AM ⊥，①JAF CAF ∠=∠，90AFO AFH ∠=∠=︒．又①180JAF AFJ AJF ∠+∠+∠=︒，180CAF AFC ACF ∠+∠+∠=︒，①AJC ACJ ∠=∠．①1801802BAC AJC ACJ ACJ ∠=︒-∠-∠=︒-∠．又①OAC OCA ∠=∠，①1801802AOC OAC OCA OCA ∠=︒-∠-∠=︒-．①BAC AOC ∠=∠．①AOC AHF ∠=∠．在AFO 和AFH 中，①,,,AFO AFH AOF AHF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AFO AFH AAS △≌△．故（4）符合题意．（5）①22AOB AOG ACB ∠=∠=∠，AOG BOG ∠=∠，①BOG ACB ∠=∠．又①OG AB ⊥，AI BC ⊥，①90OGB ∠=︒，90AIC ∠=︒．①90BOG EBO ∠+∠=︒，90ACB CAH ∠+∠=︒．①EBO CAH ∠=∠．①AFO AFH △≌△，①OA =HA ．又①OA =OB ，①BO =AH ．①BOM COM ∠=∠，180BOE BOM ∠=︒-∠，180COE COM ∠=︒-∠，①BOE COE ∠=∠．又①//MN AI ，①AHC COE ∠=∠．①BOE AHC ∠=∠．在BOE △和AHC 中，①,,,EBO CAH BO AH BOE AHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()BOE AHC ASA △≌△．①BE =AC ．①AE +AC =AE +BE =AB ．①G 为AB 中点，①AB =2AG ．①AE +AC =2AG ．故（5）符合题意．（3）①AFO AFH △≌△，①FO =FH ．①OH =2OF ．①OG AB ⊥，CO AM ⊥，①90AGO AFO ∠=∠=︒．①无法证明AF =AG 和AOG AOF ∠=∠和OAG OAF ∠=∠，①无法证明AFO AGO △≌△．①OF 和OG 可能相等，也可能不相等．①OH 与2OG 不一定相等．故（3）不符合题意．故答案为：（1）（2）（4）（5）．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键，特别注意等量代换的使用．三、解答题16．如图（1），ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点D 是AC 的中点，点E 在CD 上（点E 不与点D 和点C 重合），AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ，连接DG ．(1)求证：ADF BDE △≌△；(2)设GF a =，GE b =，GD c =，证明：a b +=；(3)如图（2），延长AG 交BC 于点M ，若点M 是BC 中点，点N 是AB 的中点，请证明点N 、F 、C 三点共线．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到①ADF =①BDE =90°，①BAC =①BCA =45°，AD =BD ，AF ①BE 得①1+①2=90°，由①BDE =90°得①3+①2=90°，则①1=①3，根据ASA 即可得到结论；（2）过点D 作DH ①DG 交AF 点H ，证明①DHF ①①DGE (ASA )，根据全等三角形的性质得DH =DG ，GE =HF，则①DHG 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得FH +FG ，则FG +GE =DG 即a +b ；（3）连接NF ，CF ，如图，根据中点的定义得BN =12AB ，BM =12BC ，由AB =BC 得BN =BM，证明①BFN ①①BFM (SAS )，可得①BFN =①BFM ，再证①ADF ①①CDF (SSS )，可得①AFD =①CFD ，由对顶角①BFM =①AFD 得①BFM =①AFD =①CFD ，则①NFM =①AFC ，由①AFC +①CFM =180°得①NFM +①CFM =180°，即N 、F 、C 三点共线．(1)证明：如图所示：①AB BC =，点D 是AC 的中点①==90ADF BDE ∠∠︒ ，45ABD CBD ∠=∠=︒①90ABC ∠=︒，AB BC =①45BAC BCA ∠=∠=︒①BAC ABD ∠=∠①AD BD =①AF BE ⊥① 1290∠+∠=︒①90BDE ∠=︒①3290∠+∠=︒①12∠=∠又①==90ADF BDE ∠∠︒ ，AD BD =①ADF BDE △≌△．(2)证明：（法一）过点D 作DH DG ⊥交AF 点H ，如图所示：5+=90BDG ∠∠︒ ，①6+=90BDG ∠∠︒①56∠=∠①ADF BDE △≌△①42∠=∠，DF DE =①≌DHF DGE①DH DG =， GE HF =又①DH DG ⊥① DHG △是等腰直角三角形①+FH FG①+FG GE 即a b +=（法二）过点D 作DH DG ⊥交BE 的延长线于点H ，如图所示：则6+=90EDH ∠∠︒①=FDG EDH∠∠①ADF BDE△≌△①42∠=∠，DF DE=，①=DFG DEH∠∠①≌FDG EDH①DH DG=，GF EH=① DHG△是等腰直角三角形①+H GEE①GF EH=①+FG GE即a b+=(3)证明：方法一（定义法）：连接NF，CF，如图所示：①点N是AB的中点，点M是BC的中点①12BN AB=，12BM BC=①AB BC=①BN BM=①AB BC=，点D是AC的中点①ABD CBD∠=∠又①BF BF=① ≌BFN BFM①BD 垂直平分AC①AF CF =又①==AD CD ，DF DF①ADF CDF △≌△①=AFD CFD ∠∠①=BFM AFD ∠∠①===BFM AFD AFD CFD ∠∠∠∠①=NFM AFC ∠∠①+=180AFC CFM ∠∠︒①+=180NFM CFM ∠∠︒①N 、F 、C 三点共线方法二（同一法）：连接CN ，设CN 交BD 于点O ，如图所示：①点N 是AB 的中点，点M 是BC 的中点 ①12BN AB =，12BM BC = ①AB BC =①BN BM =①AB BC =，点D 是AC 的中点①ABD CBD ∠=∠①AB BC =，==90ABM CBN ∠∠︒ ， BM BN =①ABM CBN △≌△①=BMF BNO ∠∠①BM BN=，ABD CBD∠=∠①≌BMF BNO①BO BF=①点O与点F重合①N、F、C三点共线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．17．在边长为10的等边①ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．(1)如图①，当点P为AB的中点时，①求证：PD＝QD；①求CD的长；(2)如图①，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①见解析；①5 2(2)BE+CD＝5或BE﹣CD＝5，见解析【分析】（1）①如图①，过点P作PF AC交BC于点E，只要证明△PFD≌△QCF即可．②由△PFD≌△QCD，可推出DF=DC=12CF=52即可．（2）分两种情况：如图①，当点P在线段BA上时，BE+CD＝12BC＝5；如图①﹣1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE﹣CD＝12BC＝5．如图①，过点P作PF AC交BC于点E．∴∠FPD＝∠Q，∠PFB＝∠ACB＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵P、Q的运动速度相同，∴PB＝QC，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCF，∴PD＝QD．②∵P是AB中点，∴BP＝BF＝102＝5，∴CF＝10﹣BF＝5，∵△PFD≌△QCD，∴DF＝DC＝12CF＝52．(2)①如图①，当点P在线段BA上时，BE+CD＝12BC＝5，由（1）可知：△PFD≌△QCD，∴DF＝DC，∵PE⊥BF，∴BE＝EF，∵BF+CF＝BC，∴2BE+2CD＝BC，BC＝5．∴BE+CD＝12①如图①﹣1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE﹣CD＝1BC＝5．2理由：作PG AC交BC的延长线于G．同理可证：△PGD≌△QCD，BE＝EG，∴DC＝DG，∵BG﹣CG＝BC，∴2BE﹣2CD＝BC，BC＝5．即BE﹣CD＝12【点睛】本题考查三角形的综合、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．18．实践与探究：在等边①ABC的两边AB、AC所在直线上分别有M、N两点，点D为①ABC外一点，且①MDN＝60°，①BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）智慧小组的同学们按照特殊到一般的思路入手，他们先画出了如图1的特殊情况，当点M、N在边时．他们发现这两副图形虽然不同，但是线段BM、NCMN之间的数量关系始终不变，请你直接写出线段BM、NC、MN之间的数量关系_____．（2）创新小组的同学们画出了如图3的情况，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM＝2，NC＝10时，则①AMN的周长是______．【答案】（1）MN=BM+CN；（2）20【分析】（1）如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DBM①①DCE（SAS），得DM=DE，①BDM=①CDE，再证明△MDN①①EDN（SAS），得MN=NE，可得结论：MN=BM+CN；（2）如图3，作辅助线，构建三角形全等，证明△DBM①①DCF（SAS），得①BDM=①CDF，DM=DF，再证明△MDN①①FDN（SAS），得MN=NF，可得结论：CN=MN+BM；即可求出①AMN的周长．【详解】解：（1）MN=BM+CN，如图2，延长AC到E，使CE=BM，连接DE，①①ABC是等边三角形，①①ABC=①ACB=60°，①BD=CD，①BDC=120°，①①DBC=①DCB=30°，①①ABC+①DBC=①ACB+①DCB，①①DCE =180°-①ACD =180°-90°=90°，在Rt △DBM 和Rt △DCE 中，①90BD CD ABD DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①DBM ①①DCE （SAS ），①DM =DE ，①BDM =①CDE ，①①BDC =120°，①MDN =60°，①①BDM +①CDN =120°-60°=60°，即①CDE +①CDN =60°，①①NDE =60°，在△MDN 和△EDN 中，①60DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①MDN ①①EDN （SAS ），①MN =NE ，①NE =CN +CE ，CE =BM ，①MN =BM +CN ；故答案为：MN =BM +CN ；（2）CN =BM +MN ；在NC 上截取CF =BM ，连接DF ，由（1）知：①ABD =①ACD =90°，①①MBD =180°-90°=90°，在△DBM 和△DCF 中，①BD CD BDM DCF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DBM ①①DCF （SAS ），①①BDM =①CDF ，DM =DF ，①①MDN =①BDM +①BDN =①CDF +①BDN =60°①①BDC =120°，①①NDF =60°，在△MDN 和△FDN 中，①60MD FD MDN FDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①MDN ①①FDN （SAS ），①MN =NF ，①CN =NF +CF ，CF =BM ，①CN =MN +BM ；①BM ＝2，NC ＝10，①MN =8，①AB =AC ，①①AMN 的周长为：周长MN AM AN =++MN BM AB AN =+++MN BM AC AN =+++MN BM NC =++821020=++=；故答案为：20．【点睛】此题是三角形的综合题，考查了等边三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．19．已知点D 在△ABC 外，90BAC ∠=︒，AB AC =，射线BD 与△ABC 的边AC 交于点H ，AE BD ⊥，(1)如图1，求证：2DE DC BD +=；(2)如图2，已知25ABE ∠=︒，4BE =，点F 在线段BC ，且BE BF =，点M ，N 分别是射线BC 、BD 上的动点．在点M ，N 运动的过程中，请判断式子EM MN NF ++的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，最小值为4【分析】（1）在BD 上取BG =CD ，连接AG ，AD ．由题意易证()ABG ACD SAS ≅，即得出AG AD =．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出GE DE =，从而可得出结论；（2）作点E 关于BC 的对称点E '，点F 关于BD 的对称点F '．连接E F ''，交BD 于点N '，BC 于点M '，连接BF BE ''，．根据轴对称的性质即可知EM MN NF E M MN NF E F ''''++=++≥，即EM MN NF ++存在最小值，取最小值时N 与N '重合，M 与M '重合，最小值为E F ''的长．根据轴对称的性质结合题意可求出60F BE ''∠=︒，4BE BF ''==，即证明BE F ''△为边长为4的等边三角形，即可求出4E F ''=，从而即得出答案．(1)如图，在BD 上取BG =CD ，连接AG ，AD ．①在ABG 和ACD △中，AB AC ABD ACD BG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ABG ACD SAS ≅，①AG AD =．又①AE BD ⊥，①E 为DG 中点，即GE DE =，①2BD BG GE DE CD DE =++=+，①2DE DC BD +=；(2)如图，作点E 关于BC 的对称点E '，点F 关于BD 的对称点F '．连接E F ''，交BD 于点N '，BC 于点M '，连接BF BE ''，．由作图可知EM E M NF NF BE BE BF BF ''''====，，，，F BD FBD '∠=∠，EBC E BC '∠=∠． ①EM MN NF E M MN NF ''++=++，①E M MN NF E F ''''++≥，即EM MN NF ++存在最小值，即取最小值时N 与N '重合，M 与M '重合，最小值为E F ''的长．①452520F BD FBD ABC ABD '∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，①20EBC E BC '∠=∠=︒，①60F BE F BD FBD EBC E BC ''''∠=∠+∠+∠+∠=︒．①4BE BF ==，BE BE BF BF ''==，，①4BE BF ''==，①BE F ''△为边长为4的等边三角形，①4E F ''=，①EM MN NF ++的最小值为4．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．。

人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(含解析)

人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题专题训练(1)当时，点C 的坐标为．(2)动点A 在运动的过程中，试判断发生变化，请说明理由．(3)当时，在坐标平面内是否存在一点若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)如图1，当点在边上时．①求证：；②求证：；(2)如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出2a =3a =D BC ABD ACE ≌△△BC DC CE =+D BC(1)请直接写出点A 和点B 的坐标；(2)请判断的形状并说明理由；(3)下列结论：①四边形为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．(1)求证：；(2)求的面积；(3)点M ，N 分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．DEF OEDF OEF DFE ∠+∠CD CE =CDE BC BD MN 12MN DN +(1)求出点的坐标.(2)求证：.(3)数学活动小组进行深入探究后发现变，你同意这个说法吗？请说明理由B OD BC =(1)如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由；(2)如图②，交轴于点，过点作轴于点，求证：平分；(3)如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴OAB ∠BC x M C CD x ⊥,2D AM CD =AD BAC ∠()3,0A B y OB OA >()0,3P CP x边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A 不重合），连接．(1)如图，当时，①求证：；②在点A 运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数；(2)在点A 运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系．11．在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，．(1)如图1，求证：是等边三角形；(2)如图1，若点M 为y 轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，求证：；(3)如图2，若，，点为的中点，连接、交于，请问、与之间有何数量关系，并证明你的结论．12．在平面直角坐标系中，点A 为y 轴正半轴上一点，点B 为x 轴上一动点，连接ABD C AB DC l E E EB 120BAC ∠<︒ABE ACE =∠∠DCB ∠DCB ∠EA EB ED A y B OB AB =150BOP ∠=︒OAB BM BMN NA x P 2AP AO =BC BO ⊥BC BO =D CO AC DB E AE BE CE，以为腰作等腰，．(1)如图1，点B 在x 轴负半轴上，点C 的坐标是，直接写出点A 和点B 的坐标；(2)如图2，点B 在x 轴负半轴上，交x 轴于点D ，若平分．且点C 的纵坐标是，求线段的长；(3)如图3，点B 在x 轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积．13．等腰直角中，，，，点、分别是轴，轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点.(1)如图1，已知点的横坐标为，直接写出点的坐标；(2)如图2，若点为轴上的固定点，且，当点在轴正半轴运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出的长度.14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点、分别位于轴和轴AB AB Rt ABC △90BAC ∠=︒(2,2)-AC BD ABC ∠3-BD BC BC BCE EO CO 60COE ∠=︒8CO =AOC ABC 90BAC ∠=︒AB AC =ABC C ∠=∠B A x y AC x D BC y E C 2-A A x ()6,0A -B y OB AB BOD ABC CD y P B y BP BP O ()6,0B -()0,6A x y上，连接，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)动点从出发以个单位/秒的速度沿轴向终点运动，连接，将线段绕着点逆时针旋转后得到线段，与为对应点．连接、，为的面积，用含的式子表示；(3)在（）的条件下，连接，过点作于，交轴于，交于，若，求点的坐标．15．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．(1)如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值：(2)如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度．16．如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，．AB CA AB ⊥x C C P B 2x C AP AP A 90︒AQ P Q PQ CQ S PCQ △t S 2BQ A AH BQ ⊥G x H PQ AC M :2:1APM AQM S S = H Rt ABC △90,12cm,16cm,20cm B AB BC AC ∠=︒===P A AB BC CA →→A 2cm /s t ABP ABC t D BC 4cm CD =E AC 5cm,,3cm CE ED BC ED =⊥=ABC Q P A AC CB BA →→A ,,A P Q EDC △Q ()0,9A B x 45OAB ∠=︒(1)求出点坐标；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正半轴运动，同时点从点出发，以相同速度沿轴向左运动，连接，过点作交直线于点，连接，设点的运动时间为，请用含的式子表示的面积；(3)在(2)的条件下，直线与直线交于点，当时，求点坐标．17．已知中，，过点的直线交轴于，其中是方程组的解，(1)求的值(2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动，运动时间为秒；请用含的式子表示线段的长度；并直接写出此时的取值范围；(3)在（2）的条件下，当为何值时，直线与直线互相垂直．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴的B P O 1y Q B x PQ O OG PQ ⊥AB G PG P t t OPG PQ AB H 72OPG S =△H AOB OA OB a ==A AM x (),0M b ,a b 3830a b a b +=⎧⎨+=⎩,a b P A AO t t OP t t BP AM AB(1)如图1求的长；(2)如图2动点E 在第二象限，点E 的坐标为，连接，，请写出面积s 与t 的关系；(3)在（2）的条件下，如图3点F 在第一象限，连接、、，，连接，当，求的值．OD (,)t m DE OE ODE FE FD FA 30ADF ∠=FE FA =EB 12,4EBO ODA ODA EFA EOB ∠=∠∠+∠=∠t m +参考答案：1．(1)(2)动点A 在运动的过程中，的值不变，(3)或或【分析】本题考查全等三角形判定及性质．（1）根据题意过点C 作轴于点，证明出，利用全等性质即可得到本题答案；（2）由（1）得，利用全等性质及点坐标表示线段长即可得到本题答案；（3）根据题意分3种情况讨论P 点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案．【详解】（1）解：如下图，过点C 作轴于点E ，则，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴．在和中，∴（AAS ），∵，∴，∴，∴；（2）解：动点A 在运动的过程中，的值不变．理由如下：(2,3)-+c d (4,)1-(3,2)--(2,1)-CE y ⊥E ACE BAO ≌ACE BAO ≌CE y ⊥CEA AOB ∠=∠ABC ,90AC BA BAC =∠︒＝90ACE CAE BAO CAE ∠+∠=︒=∠+∠ACE BAO ∠=∠ACE △BAO CEA AOB ACE BAOAC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE BAO ≌(0,1),(0,2)B A -12BO AE AO CE ====，123OE =+=2,3C -(）+c d由（1）知，，∵，，∴，∴，∴，又∵点C 的坐标为，∴，即的值不变；（3）解：存在一点P ，使与全等，符合条件的点P 的坐标是或或，分为三种情况讨论：①如下图，过点P 作轴于点E ，则，∴，∴，在和中，，∴（AAS ），∴，∴，即点P 的坐标是，②如下图，过点C 作轴于点M ，过点P 作轴于点E ，ACE BAO ≌(0,1)B (0,)A a -1,BO AE AO CE a ====1OE a =+(,1)C a a --(,)c d 11c d a a +=--=-+c d PAB ABC (4,)1-(3,2)--(2,1)-PE x ⊥90PBA AOB PEB ∠=∠=∠=︒90,90EPB PBE PBE ABO ∠+∠=︒∠+∠=︒EPB ABO ∠=∠PEB △BOA △EPB OBA PEB BOA PB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PEB BOA △≌△1,3PE BO EB AO ====314OE =+=(4,)1-CM x ⊥PE x ⊥则．∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（AAS ），∴．∵，∴，即点P 的坐标是；③如下图，过点P 作轴于点E ，则．∵，∴，∴，90CMB PEB ∠=∠=︒CAB PAB △≌△45,PBA CBA BC BP ∠=∠=︒=90CBP ∠=︒90,90MCB CBM CBM PBE ∠+∠=︒∠+∠=︒MCB PBE ∠=∠CMB BEP △MCB EBP CMB BEP BC PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CMB BEP △≌△,PE BM CM BE ==3,4),10C B -(（，）2,413PE OE BE BO ==-=-=(3,2)--PE x ⊥90BEP BOA ∠=∠=︒CAB PBA △≌△,90AB BP CAB ABP =∠=∠=︒90,90ABO PBE PBE BPE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴．在和中，，∴（AAS ），∴，∴，即点P 的坐标是，综上所述，符合条件的点P 的坐标是或或．2．(1)①见解析；②见解析；(2)，见解析【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．（1）①根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明三角形全等；②根据全等的性质得出，然后根据即得；（2）根据等边三角形的性质得出，，，根据得出，从而说明，根据全等的性质得出，然后根据即得．【详解】（1）证明：①∵和是等边三角形，∴，，．∴，∴．在和中，，∴；②∵，ABO BPE ∠=∠BOA △PEB △ABO BPE BOA PEB BA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BOA PEB △≌△1,3PE BO BE OA ====312OE BE BO =-=-=(2,1)-(4,)1-(3,2)--(2,1)-BC CD CE +=AB AC =AD AE =60BAC DAE ∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD EAC ∠=∠BD CE =BC BD CD =+AB AC =AD AE =60BAC DAE ∠=∠=︒BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠BAD EAC ∠=∠ABD ACE ≌△△BD CE =+=BC CD BD ABC ADE V 60BAC DAE ∠=∠=︒AB BC AC ==AD DE AE ==BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠BAD CAE ∠=∠ABD △ACE △AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABD ACE △≌△ABD ACE ≌△△∵，，∴，∴是等腰直角三角形，即∵点D 是线段中点，∴，，(0,6)A (6,0)B 6O A O B ==AOB ∠AB OD AB ⊥12OD AD AB ==∠∵，，∴在中，∵在（1）中已求出根据翻折可知：、∴N 点关于的对称点H 在根据对称性有：∴，∴是等边三角形，∵N 点关于的对称点是点H ，3BD =30CBD ∠=︒DG Rt BDG △12DG BD =CE CD =11BDC BKC △BE BK DBC KBC ∠=∠60BDK DBC KBC ∠=∠+∠=︒BDK BE NH如图，，即：，在中，PNC DNC∠=∠24PNC αβ∠==2αβ=MCN DCM DCN x β∠=∠+∠=+MCN △180MCN DCN NMC ∠+∠+∠=2180x βαα+++=︒3180x βα++=︒解得：，．II．当点在线段上时，如图，，，即：，在中，，，即：联立得：，解得：，此时：，不合题意舍去；III ．当点在线段上时，如图，，52550x βα=︒⎧⎪=︒⎨⎪=︒⎩∴5DCM ∠=︒N PD 180PNC DNC ∠+∠=︒∴24180αβ+=︒290αβ+=︒∴MCN DCM DCN x β∠=∠+∠=+ CMN PCN MCN CMN x βα∠=∠+∠=++∴4180PCN NDC x βαβ∠+∠=+++=︒5180x βα++=︒2602905180x x ααββα+=︒⎧⎪+=︒⎨⎪++=︒⎩11.2526.2537.5x βα=︒⎧⎪=︒⎨⎪=︒⎩11.2526.5PCN DCN ∠=︒<∠=︒N DM PNC DNC ∠=∠【详解】（1）解：过点B 作轴于点D ，∵，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵轴，∴，∴，∴，在和中，BD y ⊥()()6,0,0,3A C -6,3OA OC ==BD y ⊥90BCD CBD ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90BCD ACO ∠+∠=︒ACO CBD ∠=∠ACO △CBD △90AOC CDB ACO CBDAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌ACO CBD 6,3OA CD OC BD ====()0,3C ()3,3B -90ACB ∠=︒90BCF ∠=︒90CBF F ∠+∠=︒BE y ∥90AEF ∠=︒90CAD F ∠+∠=︒CAD CBF ∠=∠CAD CBF V∴，∴，∵，∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等．7．(1)(2)见解析(3)的度数总是保持不变，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，坐标与图形；（1）根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而解答即可；（3）根据全等三角形的性质得出，进而利用平角的定义解答即可．【详解】（1）解：如图所示，过作轴于，()Rt Rt HL EFO EFN ≌FN FO =(),0F t FO t=-2FG HG t +=-()2,0-COD ∠BAC OAD ∠=∠SAS BAC OAD AOD ABO ∠=∠A AE x ⊥E），点C 是的中点，，D 作轴于点F ，，，4=AB 114222AB ==⨯=DF x ⊥90DFO =︒90FDO DOF +∠=︒），的坐标为，关于x 轴的对称点，则的坐标为，交x 轴于点，则为定值，此时的周长最小．作轴于点Q ，114222AB '==⨯=M '()0,2M '''M ''M AM ''P PAM C AM AP ''=+ AM 'PAM '△()4,4A -AQ y ⊥对于（3），作轴，先证明，可得，再得出，进而得出，根据等腰直角三角形的性质和判定即可得出答案．【详解】（1）．理由：，；（2）证明：如图②中，延长交的延长线于点．．∵，，，．，即．垂直平分，平分．（3）的长度不变，．理由：如图③中，过点作轴于点．．．CH y ⊥≌CHB BOA △△,3===CH BO BH OA 3==OA OP ==OB PH CH OAB OBC ∠=∠90,90OAB OBA OBC OBA ∠+∠=∠+∠=︒︒ OAB OBC ∴∠=∠AB CD T ,90,90,AD CD ADT T BAM BCT BAM ⊥∴∠=∴∠+∠=∴∠=∠︒︒ BC BA ===90CB T A B M ∠∠︒()CBT ABM ASA ∴≌△△CT AM ∴=2,2AM CD CT CD =∴= CD DT =,AD CT AD ⊥∴ CT ,AC AT AD ∴=∴BAC ∠OQ 3OQ =C CH y ⊥H 90,90CHB BOA HBC HCB ∴∠=∠=∴∠+∠=︒︒90,90,ABC OBA HBC HCB OBA ∠=∴∠+∠=︒︒∴∠=∠．．，．．，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键．10．(1)①见解析；②不变，(2)或【分析】（1）①根据垂直平分线的性质得出，再由等边对等角及各角之间的数量关系求解即可；②设与交于点M ，根据等边三角形的性质及各角之间的关系得出，即可求解；（2）分两种情况进行分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质分析求解即可．【详解】（1）证明：①点A 、E 在线段的垂直平分线l 上，∴，∴，∴，即；②在点A 运动的过程中，的度数不变，理由如下：如图，设与交于点M ，(),CB AB CHB BOA AAS =∴ ≌△△,3∴===CH BO BH OA ()()3,0,0,3,3A P OA OP ∴== ,BH OP OB PH CH ∴=∴==90,45CHP CPH OPQ ∠=∴∠=∠=︒︒ 90,45∠=∴∠=︒=︒∠ POQ OQP OPQ 3OQ OP ∴==30DCB ∠=︒ED EB EA =+EB ED EA=+AC AB EC EB ==，AB CD 260ECB ∠=︒120BAC ∠<︒120BAC ∠>︒BC ,AC AB EC EB ==,ABC ACB EBC ECB ∠∠∠∠==ABC EBC ACB EBC ∠∠∠∠-=-ABE ACE ∠∠=DCB ∠AB CD∵是等边三角形，∴ ，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即；（2）当时，在上截取，连接，∵，∴，由(1)得直线，，∴，∴是等边三角形，∴ ，∴，即，ABD ,60AB AD BAD ∠==︒AD AC =ADC ACE ∠∠=,ABE ADC EBC ECB ∠∠∠∠==,180,180AMD EMB BED ABE EMB BAD ADC AMD ∠∠∠∠∠∠∠∠==︒--=︒--60BED BAD ∠∠==︒,EBC ECB BED EBC ECB ∠∠∠∠∠+==260ECB ∠=︒30DCB ∠=︒120BAC ∠<︒ED EF EA =AF ED DF EF =+ED DF EA =+l BC ⊥30DCB ∠=︒903060AED ∠=︒-︒=︒AEF 60,EAF BAD AE AF ∠∠==︒=–EAF BAF BAD BAF ∠∠∠∠=-BAE DAF ∠∠=∴，∴，∵，∴；当时，如图所示在上截取，连接，∵，∴，由(1)得直线，，，∴，∴F 是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；综上可得：或．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键，同时注意进行分类讨论．11．(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论；(SAS)BAE DAF ≌ EB DF =ED DF EA =+ED EB EA =+120BAC ∠>︒EB EF EA =AF EB BF EF =+EB BF EA =+l BC ⊥30DCB ∠=︒BE BC =903060AEB AEC ∠∠==︒-︒=︒AE 60,EAF BAD AE AF ∠∠==︒=–EAF DAF BAD DAF ∠∠∠∠-=EAD BAF ∠∠=(SAS)BAF DAE ≌ BF ED =EB BF EA =+EB ED EA =+ED EB EA =+EB ED EA =+AE BE CE =+60︒（2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论；（3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证．【详解】（1）解：证明：，，，，是等边三角形；（2）证明：由（1）知：是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，SAS MBO NBA ≌OMB ANB ∠∠=60FAM FBN ∠∠==︒30︒AC AG CE =60AEB ∠=︒ABO BOC ABD ∠AB BC =150ABC ∠=︒BAE ∠AEB ∠60︒AG CE =AE CG =AB CB =BAC BCA ∠=∠SAS BCG BAE BG BE =BEG BE EG =AE EG AG =+150BOP ∠=︒ 90AOP ︒=∠60AOB ∴∠=︒OB AB = OAB ∴ OAB 60ABO ∴∠=︒BMN BM BN ∴=60MBN ∠=︒MBO NBA ∴∠=∠AB OB = (SAS)MBO NBA ∴△≌△OMB ANB ∴∠=∠AFM BFN ∠=∠ 60FAM FBN ∴∠=∠=︒60OAP FAM ∠=∠=︒ 90AOP ︒=∠30APO ∴∠=︒；（3），理由如下：如图2，在上截取，连接，，即，，，，为的中点，平分，即，，，，，，，在和中，，，，为等边三角形，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，以及含角的直角三角形的性质，添加辅助线．12．(1)，2AP AO ∴=AE BE CE =+AC AG EC =BG AG EG CE EG +=+AE CG =BC BO ⊥ BC BO =90OBC ∴∠=︒D CO BD ∴OBC ∠45CBD OBD ∠=∠=︒60ABO ∠=︒ 105ABD ∴∠=︒150ABC ∠=︒AB OB BC == 15BAC BCA ∴∠=∠=︒154560AEB ∴∠=︒+︒=︒ABE CBG AB CB BAE BCG AE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABE CBG ∴△≌△BG BE ∴=BEG ∴△BE EG ∴=AE AG EG CE BE ∴=+=+30︒()02A ，()40B -，∴，∵∴，∵，∴，，90ADC BOA ∠=︒=∠90CAD BAO ABO ∠+∠=︒=∠CAD ABO ∠=∠(2,2)C -2CD =2OD =∴，，∴，；（2）解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，∴，∵平分，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴的长为6；（3）解：∵为等边三角形，∴，，如图3，在上截取，使，连接，2AO CD ==4BO AD AO OD ==+=()02A ，()40B -，CM x ⊥x N BA M 90BNM BNC ∠=︒=∠BD ABC ∠MBN CBN ∠=∠BN BN =90BNM BNC ∠=︒=∠()ASA MBN CBN ≌3MN CN ==∥CM AO ACM CAO ∠=∠90CAO BAO ABD BAO ∠+∠=︒=∠+∠CAO ABD ∠=∠ACM ABD ∠=∠AC AB =90MAC DAB ∠=︒=∠()ASA ACM ABD ≌6BD CM CN MN ==+=BD BCE BE CE =60BEC EBC ECB ∠=∠=∠=︒OC OF OF OE =EF∴是等边三角形，∴，∴∵，∴，∴，OEF OE EF =60OEF ∠=︒=∠OEF BEF BEC ∠-∠=∠-∠OE EF =BEO CEF ∠=∠()SAS BEO CEF ≌OBE FCE ∠=∠13．(1)(2)【分析】（1）如图①,过作轴于, 证明可得从而可得答案；（2）如图①,过点作轴于点.证明 ,可得 ,再证明,从而可得: .【详解】（1）解: 如图①,过作轴于，∴,∵,∴,∴,∵,∴.∴,，∴，∴，故答案为 : .（2）的长度不变,理由如下:如图②, 过点作轴于点.()0,23BP =C CF y ⊥F ,ACF BAO ≌CF AO =C CE y ⊥E CBE BAO ≌,6CE BO BE AO ===CPE DPB ≌3BP EP ==C CF y ⊥F 90,90CFA AOB ACF CAF ∠=∠=︒∠+∠=︒90BAC ∠=︒90CAF OAB ∠+∠=︒ACF OAB ∠=∠AC AB =()AAS ACF BAO ≌CF AO =2c x =- 2CF AO ==()0,2A ()0,2BP C CE y ⊥E∵ ,∴∵∴ .∵90ABC ∠=︒90CBE ABO ∠+∠=︒90BAO ABO ∠+∠=︒CBE BAO ∠=∠90CEB AOB ∠=∠=∵，∴，在和中，90BAC PAQ ∠=∠=︒BAP CAQ ∠=∠BAP △CAQ AB AQ =⎧∴四边形为正方形，∴，过作于点，∵AOCN 6OA CN OC ===T TL CN ⊥L AH BQ⊥AOH TLQ ≌∴，解得；②当点在上，点∴，解得；3AP DE cm AQ EC ===，352x =103x =cm/s P AB 5AP EC cm AQ ==，532x =65x =cm/s∴点P 的路程为∴点P 的路程为3AP ED AQ EC ===，AB +1216205AQ =++-=4543x =5AP EC cm AQ ==，AB +1216203AQ =++-=4345x =从出发，以每小时从出发，以相同速度沿，①当在线段上时，P O Q B OQ ∴=AP =t P AO，等腰，，设，，为的一个外角，RO PO ∴=∴POR 45R BAO ∴∠=∠=︒QPO α∠=45RPQ α∴∠=︒-QON BOG α∠==∠ABO ∠ OBG，，，，90HTA ∴∠=︒45HAT OAB ∠=∠=︒45HAT AHT ∴∠=∠=︒HT AT ∴=由（1）知，，则，∵直线与直线互相垂直，∴，()1.0M -1OM =BP AM 90MNB ∠=︒。

八年级下册数学期末压轴题专辑(含解析-Word版)

--八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ＯＮ为∠AOB 中的一条射线，点 P 在边 OA 上，PH⊥OB 于 H，交 ON 于点 Q,PM∥OB 交 ON 于点 M，ＭＤ⊥OB 于点 D，QR∥OB 交 MＤ于点Ｒ,连结 PR 交 QM 于点 S。

（1）求证:四边形 PQRM 为矩形;（2）若 OP= 1 PR,试探究∠ＡOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。

2(1)证明:∵PH⊥OB,MD⊥OB,∴PＨ∥MＤ， ∵PM∥OB,QＲ∥ＯB，∴PM∥QR,∴四边形 PQRM 是平行四边形，‫∵ﻫ‬PＨ⊥OB，∴∠PHO=90°, ∵ＰM∥ＯB,∴∠MPQ=∠ＰＨO=９０°，∴四边形 PＱRＭ为矩形; (２）∠AOB=3∠ＢON．理由如下:∵四边形ＰQRM 为矩形,∴PＳ＝ＳＲ=ＳQ= 1 ＰR，∴∠SQR=∠SRQ， 2又∵ＯＰ= 1 PR,∴ＯＰ＝PS,∴∠POＳ=∠PSO，‫∵ﻫ‬QＲ∥OB，∴∠SQＲ=∠BON， 2在△SQＲ中，∠PSO＝∠SQR＋∠SRQ=2∠SＱR=2∠BON，∴∠POS＝2∠BON， ∴∠AＯB＝∠POS+∠BON＝2∠BＯN+∠BＯN=3∠BＯＮ,即∠ＡOB＝3∠BON.2.如图，矩形 OAＢＣ在平面直角坐标系内(Ｏ为坐标原点),点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上,点 B 的坐标分别为（-２,2 3 ) ，点 E 是 BC 的中点，点 H 在 OA 上,且 AＨ＝ 1 ，过点 H 且平行于 y 轴的 HG 与 EB 交 2于点 G，现将矩形折叠，使顶点 C 落在ＨＧ上，并与 HG 上的点Ｄ重合，折痕为 EＦ，点 F 为折痕与 y 轴的交点。

（1)求∠ＣEF 的度数和点 D 的坐标; (2)求折痕ＥF 所在直线的函数表达式; (3）若点 P 在直线 EF 上，当△ＰFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个?请求出点Ｐ的坐标,并写出解答过程。

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