专题四万有引力与航天
高考物理知识点专题之万有引力与航天 专题04 神州飞船(解析版)
04 神州飞船—万有引力与航天神舟飞船是中国自行研制，具有完全自主知识产权，达到或优于国际第三代载入飞船技术的飞船。
神舟号飞船是采用三舱一段，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成，由13个分系统组成。
神舟号飞船与国外第三代飞船相比，具有起点高、具备留轨利用能力等特点。
神舟系列载人飞船由专门为其研制的长征二号F火箭发射升空，发射基地是酒泉卫星发射中心，回收地点在内蒙古中部的四子王旗航天着陆场。
截至2019年4月24日，神舟飞船、天舟飞船正在进行正(试)样产品组批生产。
各型号概览1. 一质量为8.00×104 kg 的太空飞船从其飞行轨道返回地面。
飞船在离地面高度1.60×105 m 处以7.5×103 m/s 的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100 m/s 时下落到地面。
取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8 m/s 2。
（结果保留2位有效数字） （1）分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；（2）求飞船从离地面高度600 m 处至着地前瞬间的过程中克服阻力所做的功，已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。
【解析】（1）飞船着地前瞬间的机械能为20021mv E k =① 式中，m 和v 0分别是飞船的质量和着地前瞬间的速率。
由①式和题给数据得8kp 4.010J E =⨯②设地面附近的重力加速度大小为g ，飞船进入大气层时的机械能为212h h E m mgh =+③ 式中，v h 是飞船在高度1.6×105m 处的速度大小。
由③式和题给数据得122.410J h E =⨯④（2）飞船在高度h' =600 m 处的机械能为21 2.0()2100h h E m v mgh ''=+⑤由功能原理得k0h W E E '=-⑥式中，W 是飞船从高度600m 处至着地瞬间的过程中克服阻力所做的功。
高中物理知识点万有引力与航天知识点总结
《高中物理万有引力与航天知识点总结》一、引言从远古时代人类对星空的仰望与好奇，到现代航天技术的飞速发展，万有引力与航天始终是人类探索宇宙的重要基石。
在高中物理中，万有引力与航天这一章节不仅涵盖了丰富的物理知识，还能激发同学们对宇宙奥秘的探索热情。
通过对这部分知识点的学习，我们可以更好地理解天体运动的规律，感受宇宙的宏大与神秘。
二、万有引力定律1. 内容万有引力定律是由牛顿发现的，其内容为：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
用公式表示为：F = Gm₁m₂/r²，其中F 是两个物体之间的引力，m₁、m₂分别是两个物体的质量，r 是两个物体之间的距离，G 是万有引力常量。
2. 万有引力常量 GG 的值是由卡文迪许通过扭秤实验测定的，其数值为 G =6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²。
万有引力常量的测定在物理学中具有重要意义，它使万有引力定律能够进行定量计算。
3. 适用范围万有引力定律适用于质点间的相互作用。
当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
对于质量分布均匀的球体，也可以将其视为质量集中于球心的质点，此时两个球体间的万有引力可以用万有引力定律计算。
三、天体运动1. 开普勒行星运动定律（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
（2）开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
用公式表示为：a³/T² = k，其中 a 是椭圆轨道的半长轴，T 是行星绕太阳公转的周期，k 是一个与行星无关的常量，只与中心天体（太阳）的质量有关。
第4讲 万有引力与航天 课件
2019高考一轮总复习 • 物理
2．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过 南北两极 ，由于地球自转，极地卫星可 以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行 的轨道半径可近似认为等于 地球的半径 ，其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过 地球的球心 。
A．“九号行星”的公转轨道半径比地球的公转轨道半径大 B．“九号行星”的公转线速度比地球的公转线速度大 C．“九号行星”的公转角速度比地球的公转角速度小 D．“九号行星”的公转向心加速度约为地球公转向心加速度的110
2019高考一轮总复习 • 物理
解析 根据Tr32＝k，可以知道周期越大，则半径越大，故选项 A 正确；
2019高考一轮总复习 • 物理
解析 对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0g＝GmR地2m0，所以地球 质量 m 地＝gGR2，选项 A 正确；对地球绕太阳运动来说，有GmL太22m地＝ m 地4Tπ222L2，则 m 太＝4Gπ2TL2232，B 项正确；对月球绕地球运动来说，能求地球 质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量 和密度，C、D 项错误。
2019高考一轮总复习 • 物理
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力由地球给卫星的万
有引力提供。
由 GMr2m＝mvr2得vv12＝Biblioteka r2＝ r132RR＝
32，故 A 项错；
由 GMr2m＝m2Tπ2r 得TT12＝
rr3132＝23
23，故 B 项错；
课件4：4.4 万有引力与航天
为其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝G3Tπ2. 可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可
第四章 曲线运动 万有引力与航天
(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运 动的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方与它的公转周期 T 的二次方成正比，即Ta32＝k，k 是一个对所有行星都相 同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你 推导出太阳系中该常量 k 的表达式．已知引力常量为 G， 太阳的质量为 M 太． (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天 体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为 3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为 2.36×106 s，试 计算地球的质量 M 地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果 保留一位有效数字)
2－2.(单选)一宇航员在某星球上以速率 v0 竖直上抛 一物体，经 t 秒落回原处，已知该星球半径为 R，那 么该星球的第一宇宙速度是( B )
A.vR0t
B.
2v0R t
C.
v0R t
D.
v0 Rt
第四章 曲线运动 万有引力与航天
3．(单选)在日常生活中我们并没有发现物体的质量 随物体的运动的变化而变化，其原因是( B ) A．物体运动无法称质量 B．物体的速度远小于光速，质量变化极小 C．物体质量太大 D．物体的质量不随速度变化而变化
2－1.(单选)嫦娥三号的成功登月再次表明我国已具 备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫 星，其发射速度 v 应为( C ) A．7.9 km/s B．7.9 km/s＜v＜11.2 km/s C．11.2 km/s＜v＜16.7 km/s D．v≥16.7 km/s
4万有引力与航天
专题四 万有引力与航天1. （2021广州天河区二模）火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。
根据以上数据，以下说法正确的是 A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B ．火星公转的周期比地球的短 C ．火星公转的线速度比地球的大 D ．火星公转的向心加速度比地球的大2. （2021江门市一模）中国的“天问一号”火星探测器于2020年7月23日成功发射，目前已经成功环绕火星，成为我国第一颗人造火星卫星。
已知火星与地球绕太阳公转的轨道半径之比为3：2，火星与地球的质量之比为1：10，火星与地球的半径之比为1：2，则下列说法正确的是（ ） A. 火星绕太阳公转的向心加速度比地球大 B. 在火星表面以7.9km/s 发射的物体可在火星表面绕火星做匀速圆周运动 C. 火星与地球绕太阳的动能之比为1：15 D. 地球和太阳的连线与火星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等3. （2021河源市一模）假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星万有引力提供向心力： r T m mr r mv r Mm G 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛===πω 万有引力与航天追及和相遇问题低轨道到高轨道： 发动机加速，变轨后速度减小 周期黄金代换式22,Mm GM mg G g R R ==卫星运行参量的比较双星问题 仅引力做功 机械能不变 动力学 功和能 变轨 问题 万有引力等于重力： 22,Mm GM mg G g R R == 线速度 估算天体质量和密度高轨道到低轨道： 发动机减速，变轨后速度增大 发动机做功 机械能改变贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T ，引力常量为G ，那么( )A ．可以计算火星的质量B ．可以计算火星表面的引力加速度C ．可以计算火星的密度D ．可以计算火星的半径4. （2021揭阳一中模拟）2018年3月30日我国成功发射第三十颗北斗导航卫星，这颗卫星属于中圆地球轨道卫星，在轨高度约为21500km ，该高度处重力加速度为g 1，该卫星的线速度为v 1，角速度为ω1，周期为T 1．2017年9月17日天舟一号在高度约400km 的圆轨道上开始独立运行，该高度处重力加速度为g 2，天舟一号的线速度为v 2，角速度为ω2，周期为T 2．则（ ）A. g 1＞g 2B. v 1＞v 2C. ω1＜ω2D. T 1＜T 2 5. （2021韶关市一模）位于贵州的“中国天眼”是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，通过FAST 测得水星与太阳的视角为θ（水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角），如图所示，若最大视角的正弦值为k ，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则地球和水星的公转周期的比值为（ ）A.B. C. k 3D. 6. （2021广州一模）我国于2020年11月24日发射的嫦娥五号探测器成功实施无人月面取样返回。
高考物理 热点4 万有引力与航天
热点4万有引力与航天考向一星球表面重力与引力的关系【典例】(2022·山东等级考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。
如图所示,该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动①,轨道平面与赤道平面接近垂直。
卫星每天在相同时刻,沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈②。
已知地球半径为地轴R,自转周期为T,地球表面重力加速度为g③,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为()A.(gR2T22n2π2)13-R B.(gR2T22n2π2)13 C.(gR2T24n2π2)13-R D.(gR2T24n2π2)13【审题思维】题眼直击信息转化①万有引力全部提供圆周运动向心力②地球自转周期是卫星周期的n倍③黄金代换GM=gR2涉及地球自转问题的解题流程1.维度:万有引力定律的应用理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。
现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体,O 为球心,以O 为原点建立坐标轴Ox ,如图所示,一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示,则选项所示的四个F 随x 变化的关系图像中正确的是 ( )2.维度:万有引力定律在火星上的应用“祝融号”火星车搭载着陆平台着陆火星,如图所示为着陆后火星车与着陆平台分离后的“自拍”合影。
着陆火星的最后一段过程为竖直方向的减速运动,且已知火星质量约为地球质量的110,火星直径约为地球直径的12。
则 ( )A .该减速过程火星车处于失重状态B .该减速过程火星车对平台的压力大于平台对火星车的支持力C .火星车在火星表面所受重力约为在地球表面所受重力的25D .火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比约为15考向二 天体质量和密度【典例】(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置①如图所示。
第4讲 万有引力定律与航天
6.4×106
m/s
＝7.9×103 m/s。 方法二：由 mg＝mvR21得
v1＝ gR＝ 9.8×6.4×106 m/s＝7.9× 103 m/s。 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速
度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π Rg＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤ v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线
上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的 乘积成正比、与它们之间 距离 r 的 二次方 成反比。
2．表达式：F＝Gmr1m2 2，G 为引力常量，其值为 G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
3．适用条件：(1)公式适用于 质点 间的相互作用。当两个物体
解析：近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可
得 GMr2m＝mvr2，解得线速度 v＝
GrM，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大
于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项 B 错
误；由万有引力提供向心力，可得 GMr2m＝mr2Tπ2，解得周期 T＝2π GrM3 ，所
答案：D
对点清
1. 四个分析 “四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半
径的关系。
GMr2m＝mmmωvar→22→r→av＝ω＝G＝rM2
万有引力与航天专题(2024高考真题及解析)
万有引力与航天专题1.[2024·安徽卷] 2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空.当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9900 km,周期约为24 h.则鹊桥二号在捕获轨道运行时()A.周期约为144 hB.近月点的速度大于远月点的速度C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度1.B[解析] 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得T12R13=T22R23,整理得T2=T1√R23R13≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,鹊桥二号在捕获轨道运行时在近月点的速度大于在远月点的速度,B正确;在近月点从捕获轨道到冻结轨道变轨时,鹊桥二号需要减速进行近月制动,故鹊桥二号在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误.2.[2024·北京卷] 科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型:在宇宙大尺度上,所有的宇宙物质(星体等)在做彼此远离运动,且质量始终均匀分布,在宇宙中所有位置观测的结果都一样.以某一点O为观测点,以质量为m的小星体(记为P)为观测对象.当前P到O点的距离为r0,宇宙的密度为ρ0.(1)求小星体P远离到2r0处时宇宙的密度ρ;(2)以O点为球心,以小星体P到O点的距离为半径建立球面.P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力.已知质量为m1和m2、距离为R的两个质点间的引力势能E p=-G m1m2R,G为引力常量.仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动.①求小星体P从r0处远离到2r0处的过程中动能的变化量ΔE k;②宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v=Hr,其中r为星体到观测点的距离,H为哈勃系数.H与时间t有关但与r无关,分析说明H随t增大还是减小.2.(1)18ρ0 (2)①-23G πρ0m r 02 ②H 随t 增大而减小[解析] (1)在宇宙中所有位置观测的结果都一样,则小星体P 运动前后距离O 点半径为r 0和2r 0的球内质量相同,即ρ0·43πr 03=ρ·43π(2r 0)3解得小星体P 远离到2r 0处时宇宙的密度ρ=18ρ0(2)①此球内的质量M =ρ0·43πr 03 P 从r 0处远离到2r 0处,由能量守恒定律得 动能的变化量ΔE k =-G Mmr 0-(-GMm 2r 0)=-23G πρ0m r 02 ②由①知星体的速度随r 0增大而减小,星体到观测点距离越大运动时间t 越长,由v =Hr知,H 减小,故H 随t 增大而减小3.[2024·甘肃卷] 小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是 ( ) A .用弹簧测力计测出已知质量的砝码所受的重力 B .测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期 C .从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间D .测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径3.D [解析] 在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,重力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故A 、B 、C 中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度;物体所受的万有引力提供物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,有mg =G Mm r 2=m 4π2T 2r ,整理得轨道处的重力加速度为g =4π2T 2r ,故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行,D 正确.4.(多选)[2024·广东卷] 如图所示,探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞,在接近某行星表面时以60 m/s 的速度竖直匀速下落.此时启动“背罩分离”,探测器与背罩断开连接,背罩与降落伞保持连接.已知探测器质量为1000 kg,背罩质量为50 kg,该行星的质量和半径分别为地球的110和12.地球表面重力加速度大小g 取10 m/s 2.忽略大气对探测器和背罩的阻力.下列说法正确的有 ( )A .该行星表面的重力加速度大小为4 m/s 2B .该行星的第一宇宙速度为7.9 km/sC .“背罩分离”后瞬间,背罩的加速度大小为80 m/s 2D .“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为30 kW4.AC [解析] 设地球的质量为M ,半径为R ,行星的质量为M',半径为R',在星球表面可近似认为物体所受重力等于其所受万有引力,有GMm R2=mg ,可得GM =gR 2,同理,在该行星表面有GM'=g'R'2,联立得该星球表面的重力加速度g'=M 'R 2MR '2g =110×22×10 m/s 2=4 m/s 2,A 正确;地球的第一宇宙速度v =√GMR=7.9 km/s,则该行星的第一宇宙速度v'=√GM 'R '=√15×GM R =√15×7.9 km/s,B 错误;探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞,在接近某行星表面时以v =60 m/s 的速度竖直匀速下落,此时背罩受到降落伞的拉力F =(m 探+m 背)g'=4200 N,“背罩分离”后瞬间,由牛顿第二定律有F -m 背g'=m 背a ,解得背罩的加速度大小为a =80 m/s 2,C 正确;“背罩分离”后瞬间,探测器所受重力对其做功的功率为P =m 探g'v =1000×4×60 W=2.4×105 W=240 kW,D 错误.5.[2024·广西卷] 潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同.图中a 、b 和c 处单位质量的海水受月球引力大小在( )A .a 处最大B .b 处最大C .c 处最大D .a 、c 处相等,b 处最小5.A [解析] 根据万有引力公式F =G Mm R 2,可知图中a 处单位质量的海水受到月球的引力最大,故选A .6.[2024·海南卷] 神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆,在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速,返回舱速度大大减小,在减速过程中()A.返回舱处于超重状态B.返回舱处于失重状态C.主伞的拉力不做功D.重力对返回舱做负功6.A[解析] 返回舱在减速过程中,加速度竖直向上,处于超重状态,故A正确,B错误;主伞的拉力与返回舱运动方向相反,对返回舱做负功,故C错误;返回舱的重力与返回舱运动方向相同,重力对返回舱做正功,故D错误.7.[2024·海南卷] 嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为 ()A.3π(1+k)3GT2k3B.3πGT2C.π(1+k)3GT2k D.3πGT2(1+k)37.D[解析] 设月球半径为R,质量为M,对嫦娥六号,根据万有引力提供向心力得G Mm [(k+1)R]2=m4π2T2·(k+1)R,月球的体积V=43πR3,月球的平均密度ρ=MV,联立可得ρ=3πGT2(1+k)3,故选D.8.(多选)[2024·河北卷] 2024年3月20日,“鹊桥二号”中继星成功发射升空,为“嫦娥六号”在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯.“鹊桥二号”采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图所示),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD 为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是()A.“鹊桥二号”从C经B到D的运动时间为12 hB.“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1C.“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线D.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s8.BD[解析] “鹊桥二号”围绕月球沿椭圆轨道运动,根据开普勒第二定律可知,在近地点A处的速度最大,在远地点B处的速度最小,则从C→B→D的平均速率小于从D→A→C 的平均速率,所以从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于12 h,A错误;在A点,根据牛顿第二定律有G Mm(r OA)2=ma A,在B点,根据牛顿第二定律有G Mm(r OB)2=ma B,联立解得“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为a A∶a B=81∶1,B正确;物体做曲线运动时速度方向沿该点的切线方向,所以“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向不垂直于其与月心的连线,C错误;“鹊桥二号”发射后围绕月球沿椭圆轨道运动,并未脱离地球引力束缚,所以“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s,D正确.9.[2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示.为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径.则()A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大9.A[解析] 空间站在P点变轨前、后所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知F 万=ma加,则空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;空间站的圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动,因为变轨后其轨道半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知a 2T2=k,则空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点获得方向沿径向指向地球的反冲速度,与原来做圆周运动的速度合成,合速度大于原来的速度,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大,但变轨后在P点的速度比同一轨道上在近地点的速度小,所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误.10.(多选)[2024·湖南卷] 2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅.相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集,并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球.设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径.已知月球表面重力加速度约为地球表面的16,月球半径约为地球半径的14.关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是( )A .其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度B .其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度C .其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√23倍 D .其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√32倍10.BD [解析] 返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径,则由万有引力提供向心力,有GM 月m r 月2=mv 月2r 月,根据在月球表面万有引力和重力的关系有GM 月m r 月2=mg 月,联立解得v 月=√g 月r 月,由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度,同理可得v 地=√g 地r 地,则v 月v 地=√g 月g 地·r 月r 地=√16×14=√612,所以v 月<v 地,故A 错误,B 正确;根据线速度和周期的关系有T =2πv ·r ,则T 月T 地=r 月r 地·v 地v 月=14×√6=√32,故C 错误,D 正确.11.[2024·江西卷] “嫦娥六号”探测器于2024年5月8日进入环月轨道,后续经调整环月轨道高度和倾角,实施月球背面软着陆.当探测器的轨道半径从r 1调整到r 2时(两轨道均可视为圆形轨道),其动能和周期从E k1、T 1分别变为E k2、T 2.下列选项正确的是 ( )A .E k1E k2=r 2r 1,T 1T 2=√r 13√r 2B .E k1E k2=r 1r 2,T 1T 2=√r 13√r 2C .E k1E k2=r 2r 1,T 1T 2=√r 23√r 1D .E k1E k2=r 1r 2,T 1T 2=√r 23√r 1311.A [解析] 探测器环月运行,由万有引力提供向心力有G Mmr 2=m v 2r ,得v 2=GMr,其中M 为月球质量,m 为“嫦娥六号”质量,动能E k =12mv 2,则E k1E k2=r2r 1,B 、D错误;同理,由G Mm r 2=m 4π2T2r得T =√4π2r 3GM ,则T 1T 2=√r 13r 23,A 正确,C 错误.12.[2024·辽宁卷] 如图甲所示,将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点O ,竖直向上为正方向,建立x 轴.若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图乙所示(不考虑自转影响).设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2,地球半径是该天体半径的n 倍,ρ1ρ2的值为 ( )A .2nB .n 2C .2n D .12n12.C [解析] 设地球表面的重力加速度为g ,球状天体表面的重力加速度为g',弹簧的劲度系数为k ,根据简谐运动的对称性有k ·4A -mg =mg ,k ·2A -mg'=mg',解得gg '=2,设球状天体的半径为R ,则地球的半径为nR ,在地球表面有G ρ1·43π(nR )3·m(nR )2=mg ,在球状天体表面有G ρ2·43πR 3·mR 2=mg',联立解得ρ1ρ2=2n,故C 正确.13.[2024·全国甲卷] 2024年5月,“嫦娥六号”探测器发射成功,开启了人类首次从月球背面采样返回之旅.将采得的样品带回地球,飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程.月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的16.下列说法正确的是 ( )A .在环月飞行时,样品所受合力为零B .若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力等于零C .样品在不同过程中受到的引力不同,所以质量也不同D .样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小13.D [解析] 在环月飞行时,样品所受合力提供所需的向心力,不为零,故A 错误;若将样品放置在月球正面,则它处于平衡状态,它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小,由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的16,则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力,所以样品放置在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小,故B 错误,D 正确;样品在不同过程中受到的引力不同,但样品的质量不变,故C 错误.14.[2024·山东卷] “鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r ,则月球与地球质量之比可表示为 ( )A .√r 3a 3 B .√a 3r3C .r 3a3 D .a 3r314.D [解析] “鹊桥二号”中继星环绕月球运动的24小时椭圆轨道的半长轴为a ,则其24小时圆轨道的半径也为a ,由万有引力提供向心力得G M 月m 中a 2=m 中(2πT )2a ,对地球同步卫星,由万有引力提供向心力得GM 地m 同r 2=m 同(2πT )2r ,联立解得M 月M 地=a 3r 3,D 正确.15.[2024·新课标卷] 天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c 的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 ( ) A .0.001倍 B .0.1倍 C .10倍 D .1000倍15.B [解析] 设红矮星的质量为M 1,行星GJ1002c 的质量为m 1,轨道半径为r 1,运动周期为T 1;太阳的质量为M 2,地球的质量为m 2,日地距离为r 2,地球运动的周期为T 2;根据万有引力定律提供向心力有GM 1m 1r 12=m 14π2T 12r 1,G M 2m 2r 22=m 24π2T 22r 2,联立可得M 1M 2=(r 1r 2)3·(T 2T 1)2,由于行星GJ1002c 的轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,可得M 1M 2≈0.0730.062≈0.1,选B 正确.16.[2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R ,小行星甲的远日点到太阳的距离为R 1,小行星乙的近日点到太阳的距离为 R 2,则 ( )A .小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度B .小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度C .小行星甲与乙的运行周期之比T1T 2=√R 13R 23D .甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比t 1t 2=√(R 1+R)3(R 2+R)316.D [解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,A 错误;小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等,由G Mmr 2=ma 可知,小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相等,B 错误;根据开普勒第三定律有(R 1+R 2)3T 12=(R 2+R 2)3T 22,解得T 1T 2=√(R 1+R)3(R 2+R)3,C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比t 1t 2=T 12T 22=√(R 1+R)3(R 2+R)3,D 正确.。
专题万有引力与航天
专题： 万有引力与航天1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比．2．公式：F＝ ，其中G ＝ N·m 2/kg 2，叫引力常量．3．适用条件：公式适用于 间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到 间的距离． 【例1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）A ．太阳引力远大于月球引力B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异宇宙 速度 数值(km/s)意义第一宇宙速度 7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9 km/s≤v<11.2 km/s ，物体绕 运行(环绕速度) gR R GMv1第二宇宙速度 11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s ≤v<16.7 km/s ，物体绕 运行(脱离速度) gR RGMv v 22212第三宇 宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v ≥16.7 km/s ，物体将脱离在宇宙空间运行(逃逸速度)【例2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的12，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？1．轨道平面一定：轨道平面与 共面．2．周期一定：与 周期相同，即T＝24 h.3．角速度一定：与 的角速度相同．4．高度一定：由G Mm (R ＋h)2＝m 4π2T 2(R ＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ 3GMT 24π2－R. ≈3.56×107m 5．速率一定：v＝GM R ＋h 6. 向心加速度大小一定 h R T v a n22 【例3】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ） A ．运行速度大于7.9 km/s B ．离地面高度一定，相对地面静止 C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 万有引力定律应用的基本方法：(1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．“万能”连等式：G Mm r 2＝ma n =m v 2r ＝m ω2r＝m (2πT)2r＝m (2πf )2r（2）不考虑中心天体的自转。
4.4 万有引力与航天
第4节万有引力与航天【考纲全景透析】一、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积_______，与它们之间距离r的二次方_______.2.公式：F=_______，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定.【答案】成正比成反比Gm1m2 r23.适用条件：两个_________的相互作用.(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为______________.(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为____________________.【答案】质点之间两球心间的距离质点到球心间的距离二、三种宇宙速度三、经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随_________而改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_____的.【答案】运动状态 相同 2.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而______，用公式表示为m= ______. (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是______的.【答案】增加 不同m 01－v 2c2. 【热点难点全析】考点一 万有引力定律在天体运动中的应用 1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 （1）一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2·r ＝ma mg ＝GMmR2(g 为星体表面处的重力加速度)．2.天体质量和密度的计算 (1)估算中心天体的质量.①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r ，就可以求出中心天体的质量M.②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R ，就可以求出中心天体的质量M.（2）设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GM R2(或GM ＝gR 2)若物体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝GMmR ＋h 2，即g ′＝GMR ＋h2＝R 2R ＋h2g .【例1】“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息得 ( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1∶6D ．月球与地球质量之比为1∶96 【答案】 ACD【详解】 由G Mm R 2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 月2R 地2＝196，D 正确．由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由G MmR2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝ R 月3M 地R 地3M 月＝32，A 正确．由G Mm R 2＝ma 可得：a 月a 地＝M 月R 地2M 地R 月2＝16，C 正确． 考点二 卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行G Mm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v 突然改变时，受到的万有引力G Mm r 2和需要的向心力m v 2r 不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G Mm r 2＞m v 2r 时，卫星做近心运动，其轨道半径r 变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G Mm r 2＜m v 2r时，卫星做离心运动，其轨道半径r 变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小． 3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：据卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R(为恒量).(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 4.极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.【例2】如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待神舟八号到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号” ( )．A ．应从较低轨道上加速B ．应从较高轨道上加速C ．应在从同空间站同一轨道上加速D ．无论在什么轨道上只要加速就行 【答案】 A【详解】“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接．据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A 对B 错．若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C 、D 都错． 考点三 双星模型1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星． 2．模型特点：(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在m 1、m 2两颗行星上．(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等． (3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r 1＋r 2＝L .【例3】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式．【答案】(1)见解析 (2)G m 1＋m 2L 3【详解】(1)证明 两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出Gm 1m 2L2＝m 1ω2R 1① Gm 1m 2L 2＝m 2ω2R 2② 所以R 1R 2＝m 2m 1，所以v 1v 2＝R 1ωR 2ω＝R 1R 2＝m 2m 1，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比． (2)由①②两式相加得G m 1＋m 2L 2＝ω2(R 1＋R 2)，因为R 1＋R 2＝L ，所以ω＝ G m 1＋m 2L 3.。
4-4万有引力与航天
必考内容
第4章 第4讲
高考物理总复习
4π2 an＝r 2 T r1 3 60 由以上三式，解得： ＝ r2 4802 a1 3 ＝ 60×4804 a2 所以 B 正确，ACD 错误． [答案] B
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必考内容
第4章 第4讲
高考物理总复习
[总结评述]
根据万有引力定律和牛顿第二定律列出
必考内容
人 教 实 验 版
GM r ，故 r 越大，v 越小．
第4章 第4讲
高考物理总复习
人造地球卫星的最大运行速度 vm＝ Mm (3)由 G 2 ＝mrω2 有 ω＝ r Mm 2π 2 (4)由 G 2 ＝mr( T ) 有 T＝ r 大． 人造地球卫星的最小周期 Tmin＝
GM R ＝7.9km/s.
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第4章 第4讲
高考物理总复习
利用万有引力定律估算天体的质量或密度
命题规律 根据题目所给的物理量，利用万有引力定
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律公式，求星体的质量或密度． (2011· 安徽)(1)开普勒行星运动第三定律指出： 行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公
必考内容
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第4章 第4讲
高考物理总复习
a3 在上述情况下， 2＝k 的表达式中 a 就是圆的半径 R， T R3 利用 2＝k 的结论解决某些问题很方便． T 注意 在太阳系中，比例系数 k 是一个与行星无关的
常量，但不是恒量，在不同的星系中，k 值不相同，k 值与 中心天体有关． 该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，如对绕 地球飞行的卫星来说，它们的 k 值相同与卫星无关．
高考物理总复习
第4章 第4讲 万有引力与航天
第4讲 万有引力与航天知识一 万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．公式F ＝G m 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，叫引力常量．3．适用条件两个质点之间的相互作用．(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r 为质点到球心间的距离．(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G Mm R2计算物体间的万有引力．(×)(3)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大．(×)知识二 万有引力定律应用及三种宇宙速度1．万有引力定律基本应用(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．(2)基本公式：G Mmr 2＝mg r＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2rmr ω2mr2πT 2mv ω其中g r 为距天体中心r 处的重力加速度．(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度． (3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同．当一枚火箭受到的重力只有它在地球表面上受到的重力一半时，它飞到了多大高度？ [提示] 地面上：mg 0＝GMmR 2地. 飞行处：12mg 0＝GMmR 地＋h2解得飞行高度h ＝(2－1)R 地知识三 经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m ＝m 01－v 2c2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．3．经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．(1)经典力学的基础是牛顿运动定律．(√)(2)牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题．(×) (3)经典力学可以解决自然界中所有的问题．(×)1．关于万有引力公式F ＝Gm 1m 2r 2，以下说法中正确的是( ) A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体 B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大 C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 【解析】 万有引力公式F ＝Gm 1m 2r，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.【答案】 C2．(多选)由于万有引力定律和库仑定律都满足平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比，例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E ＝F q，在引力场中可以用一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M ，半径为R ，地球表面处重力加速度为g ，引力常量为G ，如果一个质量为m 的物体位于距离地心2R 处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )A ．GM R2B ．Gm R2C ．GMm R 2D.g4【解析】 由万有引力定律知F ＝G Mm R2，引力场的强弱F m ＝GM R2，A 对；在地球表面附近有G Mm R 2＝mg ，所以F m ＝g4，D 对．【答案】 AD3．(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的 2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )A ．太阳引力远大于月球引力B ．太阳引力与月球引力相差不大C ．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D ．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【解析】 设太阳质量为M ，月球质量为m ，海水质量为m ′，太阳到地球距离为r 1，月球到地球距离为r 2，由题意Mm＝2.7×107，r 1r 2＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F 1＝GMm ′r 21，月球对海水的引力F 2＝Gmm ′r 22，则F 1F 2＝Mr 22mr 21＝2.7×1072＝2 70016，故A 选项正确，B 选项错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C 选项错误，D 选项正确．【答案】 AD4．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解析】 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A 错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B 错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C 正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D 错误．【答案】 C5．(2013·福建高考)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r2T2C ．GM ＝4π2r 2T3D ．GM ＝4πr3T2【解析】 本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解．对行星有：GMm r 2＝m 4π2T 2r ，故GM ＝4π2r3T2，选项A 正确．【答案】 A考点一 [32] 天体质量和密度的估算一、重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .1．由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G.2．天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.二、卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T .1．由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r3GT2.2．若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3.若卫星绕中心天体表面运行时，轨道半径r ＝R ，则有ρ＝3πGT2.——————[1个示范例]——————(2013·全国大纲卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为( )A ．8.1×1010 kgB ．7.4×1013kgC ．5.4×1019 kgD ．7.4×1022kg 【解析】 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMm r 2＝4π2mr T 2，得M ＝4π2r3GT 2，其中r ＝R ＋h ，代入数据解得M＝7.4×1022kg ，选项D 正确．【答案】 D——————[1个预测例]——————一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GNB.mv 4GNC.Nv 2GmD.Nv 4Gm【审题指导】(1)明确行星表面附近的绕行卫星的轨道半径与行星半径的大小关系． (2)弹簧测力计的示数、物体的重力与其所受万有引力的大小关系．【解析】 设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R①m ′v 2R＝m ′g ②由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg ③由③得g ＝N m ，代入②得：R ＝mv 2N代入①得M ＝mv4GN，故B 项正确．【答案】 B 考点二 [33] 卫星运行参量的比较与运算一、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T2.二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律1．G Mm r 2＝m v 2r →v ＝GM r→v ∝1r.2．G Mmr2＝m ω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3. 3．G Mm r 2＝m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3. 4．G Mm r 2＝ma →a ＝GM r 2→a ∝1r 2.5．mg ＝GMm R 2地(近地时)→GM ＝gR 2地.三、极地卫星和近地卫星1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． 2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.——————[1个示范例]——————(2013·四川高考)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“Gl581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0 ℃到40 ℃之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日．“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则( )A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的223倍C ．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 13365倍 D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短【解析】 行星、地球绕其中心天体做匀速圆周运动．根据万有引力提供向心力解决问题．由题意知，行星、地球的质量之比m 1m 2＝6，半径之比R 1R 2＝1.5，公转周期之比T 1T 2＝13365，中心天体质量之比M 1M 2＝0.31.根据G mm ′R 2＝m ′v 2R ，得第一宇宙速度之比v 1v 2＝Gm 1R 1·R 2Gm 2＝m 1m 2·R 2R 1＝2，选项A 错误；根据m ′g ＝G mm ′R 2，得到人的体重之比m ′g 1m ′g 2＝m 1R 21·R 22m 2＝m 1m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 2R 12＝83，选项B 正确；根据G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得与中心天体的距离之比r 1r 2＝3M 1M 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 22＝30.31×⎝ ⎛⎭⎪⎫133652，选项C 错误；米尺在该行星上长度不一定会变短，选项D 错误．【答案】 B——————[1个预测例]——————(多选)(2011·天津高考)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A ．线速度v ＝ GM RB ．角速度ω＝ gRC ．运行周期T ＝2π R gD ．向心加速度a ＝Gm R2【解析】 对航天器：G Mm R 2＝m v 2R ，v ＝ GM R ，故A 正确．由mg ＝m ω2R 得ω＝ g R，故B 错误．由mg ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R 得T ＝2πR g ，故C 正确．由G Mm R 2＝ma 得a ＝GM R 2，故D 错误．【答案】 AC考点三 [34] 赤道上物体、近地卫星、同步卫星的区别一、区别1．同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期．2．近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星运动半径．3．三者的线速度各不相同． 二、求解此类题的关键1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a ＝ω2r 而不能运用公式a ＝GM r2.2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v ＝ωr 而不能运用公式v ＝GM /r .3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v ＝GM /r ，而不能运用公式v ＝ωr 或v ＝gr .——————[1个示范例]——————(2012·四川高考)今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×107 m ．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×107m)相比( )A ．向心力较小B ．动能较大C ．发射速度都是第一宇宙速度D ．角速度较小【解析】 由题意知，中圆轨道卫星的轨道半径r 1小于同步卫星轨道半径r 2，卫星运行时的向心力由万有引力提供，根据F 向＝G Mm r2知，两卫星的向心力F 1>F 2，选项A 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r＝m ω2r ，得环绕速度v 1>v 2，角速度ω1＞ω2，两卫星质量相等，则动能E k1>E k2，故选项B 正确，选项D 错误；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，且v 01<v 02，选项C 错误．【答案】 B同步卫星的六个“一定”——————[1个预测例]——————有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图4－4－1，则有( )图4－4－1A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．c 在4 h 内转过的圆心角是π/6C ．b 在相同时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期有可能是20 h【解析】 对于卫星a ，根据万有引力定律、牛顿第二定律可得，GMm r 2－N ＝ma 向，而GMm r 2＝mg ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，A 项错；由c 是同步卫星可知卫星c 在4 h 内转过的圆心角是π3，B 项错；由GMm r 2＝m v 2r 得，v ＝GMr，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b 的线速度大于卫星c 的线速度，卫星c 的线速度大于卫星d 的线速度，而卫星a 与同步卫星c 的周期相同，故卫星c 的线速度大于卫星a 的线速度，C 项对；由G Mm r 2＝m (2πT)2r ，得，T ＝2πr 3GM，轨道半径r 越大，周期越长，故卫星d 的周期大于同步卫星c 的周期，D 项错．【答案】 C考点四 [35] 卫星的发射与变轨一、宇宙速度1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法：(1)GMm R 2＝m v 21R ，所以v 1＝GM R.(2)mg ＝mv 21R，所以v 1＝gR .(3)第二、第三宇宙速度也都是指发射速度． 二、卫星的变轨分析卫星的变轨问题可分为两类：大气层外的发动机变轨(跃迁式)和稀薄空气作用下的摩擦(连续)变轨．1．大气层外的发动机变轨又存在从较低轨道变轨到较高轨道和从较高轨道变轨到较低轨道两种情况，这两种情况互为逆过程．较低圆轨道近地点向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气远地点向前喷气较高圆轨道2．空气阻力使速度减少，G Mm r 2>m v 2r→向心运动→引力做正功→卫星动能增大→低轨道运行v ′＝GMr ′.——————[1个示范例]——————(多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【解析】 本题虽为天体运动问题，但题中特别指出存在稀薄大气，所以应从变轨角度入手．第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝mv 2r减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．【答案】 BC——————[1个预测例]——————图4－4－2(多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接．如图4－4－2所示，M 、Q 两点在轨道1上，P 点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是( )A ．“神舟十号”必须在Q 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇B ．“神舟十号”在M 点经一次加速，即可变轨到轨道2C ．“神舟十号”变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度D ．“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期 【解析】 飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M 点加速，才能在P 点与“天宫一号”相遇，A 错；飞船在M 点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B 错；飞船在M 点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则变轨后在M 点的速度大于变轨前的速度，C 对；由T ＝2πr 3GM可知轨道半径增大，周期增大，D 项正确．【答案】 CD“双星”模型一、双星系统 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．二、双星系统的条件1．两颗星彼此相距较近．2．两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． 3．两颗星绕同一圆心做圆周运动．三、双星系统的特点1．两星的角速度、周期相等． 2．两星的向心力大小相等．3．两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .轨道半径与行星的质量成反比．——————[1个示范例]——————图4－4－32012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图4－4－3所示．此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )A ．它们做圆周运动的万有引力保持不变B ．它们做圆周运动的角速度不断变大C ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D ．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小【解析】 对双星M 1、M 2，设距离为L ，圆周运动半径分别为r 1、r 2，它们做圆周运动的万有引力为F ＝GM 1M 2L 2，距离L 不变，M 1与M 2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A 错；依题意双星系统绕两者连线上某点O 做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G M 1M 2L 2＝M 1ω2r 1，G M 1M 2L2＝M 2ω2r 2，r 1＋r 2＝L ，可解得：M 1＋M 2＝ω2L3G，M 1r 1＝M 2r 2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B 、D 错，C 对．【答案】 C , (2013·山东高考)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2kT D.n kT 【解析】 双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L ，质量分别为M 、m ，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星距离为r .对质量为m 的恒星：G Mm L 2＝m (2πT )2·r 对质量为M 的恒星：G Mm L 2＝M (2πT)2(L －r )得G M ＋m L 2＝4π2T 2·L ，即T 2＝4π2L 3G M＋m则当总质量为k (M ＋m )，间距为L ′＝nL 时，T ′＝n 3kT ，选项B 正确．【答案】 B⊙卫星运行比较1．(2013·广东高考)如图4－4－4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图4－4－4A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大 【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据GMm r 2＝ma 得a ＝GMr2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mm r 2＝m (2πT )2r ，得T ＝2πr 3GM ，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mmr2＝m ω2r ，得ω＝GM r 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r ，得v ＝GM r，故甲运行的线速度小，选项D 错误．【答案】 A⊙天体质量的估算2．2013年12月2日，我国成功发射了“嫦娥三号”，实施落月探测计划，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星行程为s ，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G ，根据以上数据估算月球的质量是( )A.t 2Gs 3 B.s 3Gt 2 C.Gt 2s3 D.Gs 3t2 【解析】 由几何知识得圆心角θ＝s r，其中s 为卫星转动的弧长，即卫星的行程，r 为轨迹半径，代入数据得轨迹半径r ＝s ，卫星转动的角速度ω＝θt ＝1t，由万有引力提供向心力GMm r 2＝m ω2r ，得月球的质量M ＝ω2r 3G ＝s 3Gt2，选项B 正确．【答案】 B⊙考查万有引力与重力加速度3．(2012·新课标全国卷)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2【解析】 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′R －d 2， 则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确；选项B 、C 、D 错误．【答案】 A ⊙变轨问题4．(2013·安徽高考)质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E p ＝－GMmr，其中G 为引力常量，M 为地球质量．该卫星原来在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )A ．GMm (1R 2－1R 1)B ．GMm (1R 1－1R 2)C.GMm 2(1R 2－1R 1) D.GMm 2(1R 1－1R 2) 【解析】 人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供．根据万有引力提供向心力得G Mm r ＝m v 2r①而动能E k ＝12mv 2②由①②式得E k ＝GMm 2r③ 由题意知，引力势能E p ＝－GMm r④ 由③④式得卫星的机械能E ＝E k ＋E p ＝－GMm 2r由功能关系知，因摩擦而产生的热量Q ＝ΔE 减＝E 1－E 2＝GMm 2(1R 2－1R 1)，故选项C 正确． 【答案】 C ⊙同步卫星问题5．(多选)(2013·浙江高考)图4－4－5如图4－4－5所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M ，半径为R .下列说法正确的是( )A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm r －R2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMm r 2 C ．两颗卫星之间的引力大小为G m 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2【解析】 应用万有引力公式及力的合成规律分析．地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A 错误，B 正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r ，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm 23r2，选项C 正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D 错误．【答案】 BC。
4万有引力与航天
g火 g
＝
M火R地2 M地R火2
＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视
为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝
v0 t0
。由牛顿第二定律有F－mg火
＝ma，解得F＝m0.4g＋vt00，选项B正确。
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┃命题点二 人造卫星问题┃
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2．万有引力定律与匀变速直线运动的结合 (2020·山东卷)我国将在今年择机
执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附
近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍， 半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减
研·典例
(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前
曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。
已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速
度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( D )
RKg
RPKg
RQg
RPg
A. QP B.
Q C. KP D. QK
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解析
由题意可知“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r＝
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第一部分 专题攻略
专题一 力与运动 第4讲 万有引力与航天
微专题(四) 万有引力与航天
1．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进
行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位
置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为
1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中
心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若
认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以
kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故 C 正确。
答案：C
3．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为 ρ，引力常量为 G，则在该星
体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是
()
3π A. Gρ
4π B. Gρ
1 C. 3πGρ
1 D. 4πGρ
解析：根据万有引力定律有 GMRm2 ＝mR4Tπ22，又 M＝ρ·4π3R3，解得 T＝
3 A. 4
35 C. 2
31 B. 4
32 D. 5
[无图画图]
[析图构图·出思路]
作出圆周运动示意图，注意中心天体质量不同。
[精解详析] 1．选 B 在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力大小可认为
等于其所受到的万有引力，则 F 祝＝GMR火m火2 祝，F 玉＝GMR月m月2 玉，其中，MM火 月＝ 91，RR火 月＝21，mm祝 玉＝21，代入数据解得：F 祝∶F 玉＝9∶2, 故 B 正确，A、C、 D 错误。
推测出该黑洞质量约为
()
A．4×104M
B．4×106M
C．4×108M
D．4×1010M
解析：由万有引力提供向心力有GMR中2 m＝m4Tπ22R，整理得RT23＝G4Mπ2中，可知RT23只与中 RS23
第4讲万有引力与航天
(2)在地月系统中,
r月3 G M地 由 2 得 2 T月 4
解得M地=6×1024kg 答案：(1)k=
42 r月3 M地 , 2 GT月
G M太 (2)6×1024kg 2 4
考点 2 人造卫星的运动规律(三年17考) 深化理解
【考点解读】
1.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
)
【解题探究】(1)卫星绕行星表面做匀速圆周运动,意味着其轨 道半径与行星半径存在什么关系?
提示：两者相等。
(2)请分析卫星的受力情况,确定向心力的来源。 万有引力(或重力) 。 ①受到的力:_________________ 万有引力 。 ②向心力来源:_________
Mm v2 Mm N 【解析】选B。由N=mg，得g= ，据 G 2 m G 2 =mg和 R R R m 4 得 M mv 故选 , B。 GN
做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力,
由卡文迪许扭秤实验测定。
3.适用条件
质点之间 的相互作用。 两个_________ (1)质量分布均匀的球体间的相互作用,也可用本定律来计算,
两球心间 的距离。 其中r为_________
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力 质点到球心间 的距离。 也适用,其中r为_____________
【变式训练】(2011·安徽高考)(1)开普勒行星运动第三定律 指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的
a3 公转周期T的二次方成正比,即 2 =k,k是一个对所有行星都相 T
同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出 太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为 M 太。 (2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引 力系统(如地月系统)都成立。经测定月地距离为3.84×108m, 月球绕地球运动的周期为2.36×106s,试计算地球的质量M地。
万有引力与航天知识点总结
万有引力与航天知识点总结万有引力与航天知识点总结一、引言航天科技的发展是人类探索宇宙的重要手段，而万有引力定律在其中发挥着至关重要的作用。
本篇文章将为您详细介绍万有引力与航天技术的相关知识，包括万有引力定律的基本概念、航天技术的发展历程以及二者在航天领域的应用与实践。
二、万有引力定律万有引力定律是物理学中的基本原理，它揭示了任何两个物体之间存在着相互吸引的力，这种引力的大小与两物体的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律最早由艾萨克·牛顿在1687年发现并表述。
在宇宙中，万有引力定律主导着天体的运动和轨道，是航天技术的基础。
三、航天技术的发展航天技术是人类探索宇宙的重要工具。
自20世纪初俄国科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫提出火箭运动的基本公式以来，人类逐渐掌握了卫星通信、卫星导航、深空探测等方面的技术。
这些技术的发展离不开对万有引力定律的理解和运用。
四、万有引力在航天领域的应用1、卫星轨道设计：根据万有引力定律，卫星在地球或其他天体周围的运动轨迹是一个近似的椭圆。
通过调整卫星的轨道高度、倾角和周期，可以满足各种通信、导航、气象预报等需求。
2、火箭发射：火箭发射需要克服重力加速度，进入太空。
通过运用万有引力定律，科学家可以计算出火箭所需的初速度和最佳发射角度，确保其成功进入预定轨道。
3、星际探测：星际探测器需要依靠万有引力定律来完成对遥远天体的探测。
例如，美国的“旅行者”和“探测器”系列探测器通过引力弹弓效应，借助行星的引力改变轨道，实现了对太阳系边缘天体的探测。
五、结论万有引力定律是航天技术的基础，它为我们揭示了天体运动和卫星轨道的规律。
通过对这一原理的理解和运用，人类已经实现了卫星通信、导航、深空探测等方面的突破。
在未来，随着科技的发展，我们有理由相信，人类将在探索宇宙的道路上走得更远。
总之，万有引力与航天技术的发展紧密相连。
通过了解万有引力定律，我们可以更好地理解天体的运动规律，掌握航天技术的基本原理。
专题四万有引力与航天.doc
专题四 万有引力与航天一、万有引力定律1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G 2、万有引力定律①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。
即： ②适用条件（Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。
（Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。
二、万有引力定律的运用1、万有引力与重力的关系：重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。
忽略地球自转可得：【例1】.设地球的质量为M ，赤道半径R ，自转周期T ，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为？（式中G 为万有引力恒量）2、计算重力加速度 地球表面附近（h 《R ） 方法：万有引力≈重力 地球上空距离地心r=R+h 处 方法：在质量为M ’，半径为R ’的任意天体表面的重力加速度''g方法：3、计算天体的质量和密度 利用自身表面的重力加速度： 利用环绕天体的公转： 等等 （注：结合 得到中心天体的密度）【例2】宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度V 0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V . 已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。
三、宇宙航行1、人造卫星的运行规律2Mm F G r =11226.6710/G N m kg -=⨯⋅122m m F G r =2R Mm G mg =2')(h R Mm G mg +=2''''''R m M G mg =mg R Mm G =2r T m r m r v m r Mm G 222224πω===334R M πρ⋅=2R Mm G mg =r T m r m r v m r Mm G 222224πω===332T=2.GM GM GM r M v a G r r r ωπ=== ， ， ，【例3】两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动，周期之比为T A ：T B =1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）2、宇宙速度第一宇宙速度：V 1=7.9km/s 第二宇宙速度：V 2=11.2km/s 第三宇宙速度：V 3=16.7km/s注：（1）宇宙速度均指发射速度（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度 3、地球同步卫星（通讯卫星）（1）运动周期与地球自转周期相同，且T=24h ；（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T 不变）；（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。
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二、万有引力定律的运用
1、万有引力与重力的关系：
重力是万有引力的一个分力，一般情况下，
可认为重力和万有引力相等。
忽略地球自转可得：
mg
G
Mm
R2
【例1】设地球的质量为M，赤道半径R，自转 周期T，则地球赤道上质量为m的物体所受重力 的大小为？（式中G为万有引力恒量）
2、计算重力加速度 地球表面附近（h《R） 方法：万有引力≈重力
专题四 万有引力与天体运动
地面物体运动、地球自转
万有引力与航天
一.万有引力定律
1.宇宙间的一切物体都是相互吸引的,两个物
体间的引力大小,跟它们的 质量的乘积 成正比,
跟它们的 距离的平方成反比. 2.公式: F Gm1m2 ,其中G=6.67×10-11 N·m2/kg2,
r2
3.适用条件:公式适用于质点间的相互作用,当两 物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可 视为质点,质量分布均匀的球体也可适用.r为两球 心间的距离.
“地上”：随地球自转
【例5】如图A为静止于地球赤道上的物体、B为近 地卫星、C为地球同步卫星，地球表面的重力加速 度为，关于它们运行线速度、角速度、周期和加速 度的比较正确的是
A. vA vB vC
B. ABC
C. TATCTB
D. aBgaCaA
（三）卫星变轨问题
卫星绕天体稳定运行时，F 引＝mvr2。当卫星由于某种原因
速度 v 突然改变时，F 引和 mvr2不再相等，因此不能再根
据 v＝
GrM来确定 r 的大小。当 F 引>mrv2时，卫星做近
心运动；当 F 引<mrv2时，卫星做离心运动。
【例6】嫦娥”三号探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降
落到月球表面上，其中轨道Ⅱ为圆形。下列说法正确的是 A．探测器在轨道Ⅱ上运动时不需要火箭提供动力
Mm mg G
R2
地球上空距离地心r=R+h处 方法：mg' G(RMhm)2
在质量为M’，半径为R’的任意天体表面的重力加速度
方法：
mg''
M ''m G
R'' 2
3、计算天体的质量和密度
利用自身表面的重力加速度：
G
Mm R2
mg
利用环绕天体的公转：
GM m mv2m 2rm42r
等等 r2
r
r2
r
T2
(1)由 GM 地 r2 m 卫m 卫 vr2得 :vG M r地
(2) 由 GM 地 r2 m 卫m 卫 2r得 :
G M 地 r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)由 GM 地 r2 m 卫m 卫 4 T 22r得 :T2G M r3地
【例3】两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动， 周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运 动速率之比分别为多少？
B．探测器在轨道Ⅲ经过P点时的加速度小于在轨道Ⅱ经过P时的
加速度
C．探测器在P点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ必须加速
D．轨道Ⅱ是月球卫星绕月球做匀速圆周运动的唯一轨道
Ⅱ
n Ⅰ
月球
n
Ⅲ
P
反思总结
A．P、O两点的角速度大小相等 B．P 、O 两点的线速度大小相等 C．同一物体在O 点的向心加速度比在P 点的向心加速度大 D．放在P、O 两处的物体均只受重力和支持力两个力作用
（二）地面上物体与天上物体规律比较 经验总结———“天上”：万有引力提供向心力
一 条 龙 ： F m a = G M r2 m ＝ m v r 2= m r2= m r 2 T 2
T2
（注：结合 M 4R3 得到中心天体的密度）
3
【例2】宇航员站在一星球表面上的某高处，以 初速度V0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t， 球落到星球表面，小球落地时的速度大小为V. 已 知该星球的半径为R，引力常量为G ，求该星球 的质量M。
三、宇宙航行
1、人造卫星的运行规律
GM m mv2m 2rm42r
四. 小专题
（一）地面上物体的运动规律
1、物体随着地球一起自转 2、物体圆周运动的周期为T=24h
3、圆周运动轨道平面与赤道平 面平行
4、圆周运动向心力由万有引 力的分力提供
【例4】如图所示，由于地球的自转，地球表面上P、O 两物 体均绕地球自转轴做匀速圆周运动，对于P、O 两物体的 运动，下列说法正确的是
2、宇宙速度 第一宇宙速度：V1=7.9km/s 第二宇宙速度：V2=11.2km/s 第三宇宙速度：V3=16.7km/s 注：（1）宇宙速度均指发射速度 （2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也 是环绕地球运行的最大速度
3、地球同步卫星（通讯卫星） （1）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在 赤道正上方； （2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于 地球自转的周期；T=24h； （3）同步卫星高度确定，运行速率确定。