2019-2020学年高中数学 第二章《平面解析几何初步》直线与方程知识点整理导学案苏教版必修2.doc
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学的重要组成部分，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法研究几何图形的性质。
下面我们来详细总结一下这部分的重要知识点。
一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)，倾斜角α的正切值叫做直线的斜率，记为 k ＝tanα。
当倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在。
2、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中(x₁, y₁)，（x₂, y₂)是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）3、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂。
（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1，即 k₁k₂＝－1（当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时也垂直）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程（1）标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
（2）一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为(D/2, E/2)，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 22、直线与圆的位置关系（1）相交：圆心到直线的距离小于半径，d ＜ r。
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.2直线的方程第三课时直线的一般式方程课件苏教版必修2
(3)经过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 x＋y
－2＝0.
( ×)
(4)过原点的直线的截距式方程不存在．
( √)
2．直线 x－3y－1＝0 在 y 轴上的截距是
()
A．－13
B．13
C．1D．ຫໍສະໝຸດ 1答案：A3．直线 x－ky－m＝0 (k>0，m<0)一定不经过第______象限． 答案：四
(4)在 x，y 轴上的截距分别是 3，－1. [解] 由截距式方程可得，所求直线方程为 x3＋－y1＝1， 化成一般式方程为 x－3y－3＝0.
(1)求直线的一般式方程，通常是根据题干条件选用点斜式、 斜截式、两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．
(2)若一般式 Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不全为 0)用待定系数 法求解并不简单，两个独立的条件，①若 A，B 均不为零时，求 出 A，B，C 之间的倍数关系，再化简方程即可，②若 A，B 恰 好一个为零，求出另外两个系数的倍数关系，再化简方程即可．
(3)经过定点(x0, y0)的直线的一般式方程可以设为 A(x－x0) ＋B(y－y0)＝0(A，B 不同时为 0).
[活学活用]
设直线 l 经过点(2,4)，且 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的一般
式方程．
解：法一：由题意直线 l 的斜率一定存在且不为 0，设其方程 为 y－4＝k(x－2)， 令 x＝0，则 y＝4－2k，令 y＝0，x＝2－4k， 因为 l 在两坐标轴上截距相等， 所以 2－4k＝4－2k，解得 k＝－1 或 2， 所以所求直线的方程为 y－4＝－1(x－2)或 y－4＝2(x－2)， 所求直线的一般式方程为 x＋y－6＝0 或 2x－y＝0.
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结高中数学中的平面解析几何是一个重要的知识板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决几何问题提供了全新的思路和方法。
下面就让我们一起来详细梳理一下平面解析几何的相关知识点。
一、直线1、直线的方程点斜式：若直线过点\（（x_0,y_0)＼），斜率为\（k\），则直线方程为\（y y_0 ＝ k(x x_0)＼）。
斜截式：若直线斜率为\（k\），在\（y\）轴上的截距为\（b\），则直线方程为\（y ＝ kx ＋ b\）。
两点式：若直线过点\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），则直线方程为\（＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＼）。
截距式：若直线在\（x\）轴、＼（y\）轴上的截距分别为\（a\）、＼（b\）（＼（a\neq 0\），＼（b\neq 0\）），则直线方程为\（＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1\）。
一般式：＼（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）（＼（A\）、＼（B\）不同时为\（0\））。
2、直线的位置关系平行：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）平行，当且仅当\（k_1 ＝ k_2\）且\（b_1 ＼neq b_2\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）平行，当且仅当\（A_1B_2 A_2B_1 ＝ 0\）且\（A_1C_2 A_2C_1 ＼neq0\）。
垂直：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）垂直，当且仅当\（k_1k_2 ＝－1\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）垂直，当且仅当\（A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0\）。
高中数学平面解析几何知识点总结
高中数学平面解析几何知识点总结归纳目录第一部分直线与方程知识点总结第二部分圆与方程知识点总结第三部分圆锥曲线知识点总结1.椭圆知识点总结2.双曲线知识点总结3.抛物线知识点总结第一部分直线与方程知识点总结一、直线的方程1、倾斜角定义：直线与x轴正方向所成的角α,α∈[0,π）。
2、倾斜角的斜率：k=tanx(x≠90°)，tan是sin比cos。
（1）过点P1（X1，Y1），和点P2（X2，Y2）的直线斜率公式：k＝（y2-y1）÷（X2-X1）。
（2）已知直线的一般方程式Ax+By+C=0,则斜率k＝-A÷B（B≠0）。
3、直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b一般方程式：Ax+By+C=0点斜式：y-y₀=k(x-x0), 不能表示平行于y轴的直线截距式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0)，不能表示过原点的直线两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)二、直线的特殊位置关系（以斜截式：y=kx+b举例）直线L1与L2垂直，k1×k2＝-1直线L1与L2平行，k1＝k2，b1≠b2（垂直和平行这两种情况重点记）直线L1与L2重合，k1＝k2，b1＝b2直线L1与L2相交，k1≠k2三、点与直线的公式1.中点公式：中点坐标的横坐标=（x1+x2）/ 2，纵坐标＝（y1+y2）/ 2。
2.两点之间的距离公式：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3.点到直线Ax+By+C＝0的距离d公式：4.两条平行直线间的距离公式：若两直线分别为Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，则距离为|C1-C2|/√ (A²+B²)。
第二部分圆与方程知识点总结一、圆的三种方程（1）圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=r²，圆心：（a，b)，半径：r。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系讲义苏教版必修2
2.2.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断方法直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断1.思考辨析(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．[答案](1)×(2)√(3)√2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交[由题意知点M(a，b)在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]3．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为________． 2 [由直线与圆的距离d ＝|m |2＝m ，解得m ＝2.]4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]思路探究：法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1))．[解] 法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x 2＋y 2＝4，∴5x 2＋4x －3＝0.判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 法二：∵x 2＋y 2＝4， ∴圆心为(0，0)，半径r ＝2. 又∵y ＝2x ＋1，∴圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋12＝55<2＝r . ∴直线与圆相交．法三：由题意知，直线过定点(0，1)． 而02＋12＝1<4.所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆位置关系的判定方法1．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[解] 法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时， 直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2，1)，半径r ＝2.圆心C (2，1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．数a 的值是__________．(2)已知过点(2，5)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，则直线l 的方程为__________．思路探究：(1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．(1)－4 (2)x －2＝0或4x －3y ＋7＝0 [(1)将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4. (2)当直线斜率不存在时，x －2＝0满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为y －5＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋5＝0.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，所以25－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －2－2k ＋5|k 2＋12＝4，所以k ＝43，所以直线l 的方程为4x －3y ＋7＝0. 综上所述，直线l 的方程为x －2＝0或4x －3y ＋7＝0.]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法，即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形中求解．2．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________． 22 [最短的弦为过点(3，1)且与圆心(2，2)和点(3，1)连线的垂直的弦， 弦长l ＝24－（3－2）2－（1－2）2＝2 2.]1．求过点P (3，4)的圆C ：x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵点P (3，4)在圆上，∴切点为P ，设切线斜率为k . 则k ·k PC ＝－1，∴k ＝－3－04－0＝－34.切线方程为y －4＝－34(x －3)，即3x ＋4y －25＝0.2．求过点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－5，52的圆x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵(－5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522>25，∴点Q 在圆外． 若所求直线斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y －52＝k [x －(－5)]，即kx －y ＋5k ＋52＝0.因圆心C (0，0)到切线的距离等于半径5，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋52k 2＋1＝5，∴k ＝34.故所求切线方程为34x －y ＋154＋52＝0，即3x －4y ＋25＝0. 若所求直线斜率不存在，则直线方程为x ＝－5，圆心C (0，0)到x ＝－5的距离为5，符合题意． 综上，过点Q 的切线方程为x ＋5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1. (1)过点A (3，2)，求圆的切线方程； (2)过点B (4，－3)，求圆的切线方程．思路探究：(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．[解] (1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1， ∴A 在圆上．由题意知圆心C (3，1)，直线CA 无斜率， ∴切线斜率为0， ∴所求切线方程为y ＝2.(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点B 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0；②若切线斜率不存在，圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)当点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上时，切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝13，它与斜率为－23的直线相切，求该切线的方程．[解] 设切线方程为y ＝－23x ＋b ，即2x ＋3y －3b ＝0，依题意得：|2×0＋3×0－3b |22＋32＝13， 解得b ＝±133.∴切线方程为2x ＋3y ＋13＝0或2x ＋3y －13＝0.1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)直线与圆位置关系的判断方法． (2)求圆的切线的方法．(3)求直线与圆相交时弦长的方法．3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心D [圆心(1，－1)到直线的距离为|3×1－4×1＋12|5＝115<3，∴直线与圆相交．又圆心(1，－1)不在直线上，故选D.]2．由点P (1，3)引圆x 2＋y 2＝9的切线的长是________． 1 [点P 到原点O 的距离为PO ＝10，∵r ＝3， ∴切线长为10－9＝1.]3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 22 [由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径长为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.]4．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P (4，0)，问过P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？[解] 设圆心到直线的距离为d ，过P 点的直线斜率为k ，由题意， 知斜率k 存在，则其方程为y ＝k (x －4)， 则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2. (1)d ＝r ，即4|k |1＋k 2＝8，∴k 2＝1，∴k ＝±1时，直线与圆相切．(2)d <r ，即4|k |1＋k2<8，∴k 2<1，即－1<k <1时， 直线与圆相交． (3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，∴k2>1，即k<－1或k>1时，直线与圆相离．。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点讲义苏教版必修2
2.1.4 两条直线的交点1．二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线：Bx －Ay ＋m ＝0(m 为参数)． (3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.(注意：该直线不包括直线l 2)1.思考辨析(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．( )(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．( )(3)直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示经过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的所有直线． ( )(4)直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有交点的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．直线x ＋2y －1＝0与直线x ＋y －5＝0的交点坐标为________．(9，－4) [联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，所以交点坐标为(9，－4)．] 3．已知直线3x ＋5y ＋m ＝0与直线x －y ＋1＝0交点在x 轴上，则m ＝________． 3 [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)，则(－1，0)在直线3x ＋5y ＋m ＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m ＝0，∴m ＝3.]4．过点(1，1)与直线2x ＋y ＝4平行的直线方程为________． 2x ＋y －3＝0 [设所求直线方程为2x ＋y ＝m ， 将点(1，1)代入方程得m ＝3， ∴所求直线方程为2x ＋y －3＝0.](1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：2x －3y ＋5＝0，l 2：4x －6y ＋10＝0.思路探究：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断． [解] (1)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解． ∴两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋5＝0， ①4x －6y ＋10＝0， ②①×2得4x －6y ＋10＝0， ∴①和②可以化为同一方程， 即l 1与l 2是同一直线，l 1与l 2重合．判定直线的位置关系有以下两种方法 (1)利用方程组解的个数判断．(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.①当A 1B 2－A 2B 1≠0时，两直线相交；②当A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1＝0(或A 1C 2－A 2C 1＝0)时，两直线重合；③当A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)时，两直线平行；④当A 1A 2＋B 1B 2＝0时，两直线垂直．1．下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________．①y ＝x ＋2和y ＝1；②x －y ＋1＝0和y ＝x ＋5；③x ＋my －1＝0(m ≠2)和x ＋2y －1＝0；④2x ＋3y ＋1＝0和4x ＋6y －1＝0.①③ [①显然相交；②平行；③直线x ＋my －1＝0过点(1，0)，直线x ＋2y －1＝0过点(1，0)，故两直线相交；④两直线平行．]2．两条直线2x ＋3y －m ＝0和x －my ＋12＝0的交点在x 轴上，那么m 的值是________． －24 [在2x ＋3y －m ＝0中，令y ＝0，得x ＝m2；在x －my ＋12＝0中，令y ＝0，得x ＝－12.由题意知m2＝－12，故m ＝－24.]12＝0的交点P 在第一象限？思路探究：在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k 的不等式组求解．[解] 当k ＝－14时，l 1与l 2平行，不符合题意．当k ≠－14时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3k －2，x ＋4y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k 1＋4k ，y ＝7k －21＋4k ，∵点P 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－12k1＋4k >0，7k －21＋4k >0，∴27<k <1.已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围．3．如图，以Rt △ABC 的两条直角边AB ，BC 向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG .连结EC ，AF ，两直线交于点M .求证：BM ⊥AC .[证明] 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，C (b ，0)，B (0，0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．直线AF 的方程是y ＋b a ＋b ＝x －b0－b， 即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0. 直线EC 的方程是y －0a －0＝x －b－a －b， 即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）x ＋by －ab ＝0，ax ＋（a ＋b ）y －ab ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2b a 2＋ab ＋b 2，y ＝ab2a 2＋ab ＋b 2，即M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b a 2＋ab ＋b 2，ab 2a 2＋ab ＋b 2， 故k BM ＝b a ，又k AC ＝0－a b －0＝－a b，所以k BM ·k AC ＝－1. 因此BM ⊥AC .1．过原点(0，0)且过直线x ＋y －2＝0与直线x －y ＋3＝0的交点的直线方程怎样求？有几种方法？[提示] 有两种方法，法一，先求直线x ＋y －2＝0与直线x －y ＋3＝0的交点，再利用两点式求出方程．法二，设所求直线为x ＋y －2＋λ(x －y ＋3)＝0， 将点(0，0)代入得3λ－2＝0，∴λ＝23，所求直线为x ＋y －2＋23(x －y ＋3)＝0，即5x ＋y ＝0.2．过点M (2，0)，与直线x ＋2y －b ＝0(b ≠2)平行的直线怎样求？[提示] 设所求直线为x ＋2y ＋m ＝0，将点(2，0)代入方程，求出m 的值即可，直线为x ＋2y －2＝0.【例3】 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．思路探究：可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解．[解] 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．∵k l 3＝34，且l ⊥l 3，∴k l ＝－43. 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．4．求经过两条直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －2y ＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的方程．[解] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.由题意可知所求的直线在x 轴，y 轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为xa＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝1，12|a |·|b |＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝23.所以所求的直线的方程为x 1＋y －1＝1或x －32＋y23＝1，即x －y －1＝0或4x －9y ＋6＝0.法二：易知直线x －2y ＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×1×12≠12，所以所求的直线的方程不可能是x －2y ＋1＝0.故可设所求的直线的方程为(2x ＋y －8)＋λ(x －2y ＋1)＝0(λ为任意实数)， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋(λ－8)＝0. 由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0， 令x ＝0，得y ＝－λ－81－2λ；令y ＝0，得x ＝－λ－82＋λ.所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ－81－2λ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－λ－82＋λ＝12，所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|. 解得λ＝3或λ＝－22.当λ＝3时，所求直线的方程为x －y －1＝0；当λ＝－22时，所求直线的方程为4x －9y ＋6＝0.故所求直线的方程是x －y －1＝0或4x －9y ＋6＝0.1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法． (2)经过两直线交点的直线系方程：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C ′＝0(C ′≠C )； ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C ′＝0；③过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l 1； 当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l 2.1．直线l 1：2x －y ＝7与l 2：3x ＋2y －7＝0的交点坐标为( ) A ．(－3，1) B ．(3，－1) C ．(6，－2)D ．(4，1)B [由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，3x ＋2y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， ∴交点为(3，－1)．]2．已知直线l ：2x ＋my ＋1＝0与直线y ＝x ＋1相交，则m 的取值范围是________． (－∞，－2)∪(－2，＋∞) [若m ＝0，两直线显然相交； 若m ≠0，则－2m≠1，即m ≠－2.故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．]3．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为________．8x ＋16y ＋21＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0，x ＋y ＋1＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫58，－138，故所求直线过点⎝⎛⎭⎪⎫58，－138且与x ＋2y －5＝0平行，可设直线方程为x ＋2y ＋C ＝0，所以58＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＋C ＝0，故C ＝218，所以所求直线方程为x ＋2y ＋218＝0，即为8x ＋16y＋21＝0.]4．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求m 的取值范围．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13，∴交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋13，8m －13.∵交点M 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋13>0，8m －13<0，解得－1<m <18，∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，18.。
2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
任一直线均有倾斜角 α，α∈[0°，180°)，但并不是所有的 直线都有斜率．当 α＝90°时，斜率不存在．有关斜率的问 题要分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论．
1．直线 l 过点 M(－ 3， 2)，N(－ 2， 3)，则 l 的斜率为( )
A．
6 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．1
C．
6 3
D． 6
解析：选 B．l 的斜率为－
【答案】 (1)D (2)135°
分类讨论思想——求直线的倾斜角 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画 出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形 内角和定理及其有关推论．
一条直线 l 与 x 轴相交，其向上的方向与 y 轴
(2)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A， 直线 l1 和 l2 向上的方向所成的角为 120°，如图，则直线 l2 的倾斜角为___________．
【解析】 (1)因为 0°≤α<180°，显然 A，B，C 未分类讨 论，均不全面，不合题意，通过画图(如图所示)可知：
第二章 平面解析几何初步
2．2 直线的方程
2．2．1 直线方程的概念与直线的斜率
第二章 平面解析几何初步
1．了解直线的方程与方程的直线的概念． 2．理 解直线的倾斜角和斜率的概念． 3．掌握过两点的直线斜率 的计算公式．
1．直线的方程与方程的直线的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做 __这__条 ___直__线__的__方__程__，这条直线叫做__这__个__方__程__的__直__线___．
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.2 直线的方程(第课时)一般式讲义 2
第3课时一般式学习目标核心素养1.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点）2．根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．（易错、易混点）3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点）通过学习本节内容来提升学生的数学运算和数学建模核心素养。
1．直线与二元一次方程的关系（1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）来表示．（2）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A,B不全为0）都表示一条直线．2．直线的一般式方程(1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．（2)对于直线Ax＋By＋C＝0,当B≠0时，其斜率为－错误!,在y 轴上的截距为－错误!；当B＝0时，在x轴上的截距为－错误!；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－错误!,－错误!．(3）直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y,常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1。
思考辨析(1）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条直线．（）（2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．( ）（3）直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B 不同时为零）之间是一一对应关系．（)（4）方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线．( )[答案] (1)×（2）×（3)√(4)√2．过点（1，2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．y－2＝0 [过点(1，2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.］3．方程错误!－错误!＝1,化成一般式为________．2x－3y－6＝0 [由错误!－错误!＝1,得2x－3y－6＝0。
2019-2020学年苏教版必修2第2章 2.1 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件(43张)
2.1 直线与方程 2.1.3 两条直线的平行与垂直
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学习目标 1．理解两条直线平行与垂直的判
核心素养
断条件．(重点) 通过学习本节内容来提升学生的
2．能根据斜率判定两条直线平行 逻辑推理和数学运算核心素养.
与垂直，体会用代数方法研究几
何问题的思想．(重点、难点)
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[解]
(1)直线l1的斜率k1＝
2－（－2） 1－（－1）
＝2，直线l2的斜率k2＝
12－ －（ （－ －12） ）＝12，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．
(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝230－ －210＝110，k1k2＝
－1，故l1⊥l2. (3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． 直线l2的斜率k2＝10－4（ 0－－4100）＝0，则l2∥x轴．故l1⊥l2.
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(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则 l1与l2的位置关系是 垂直 ．
①
②
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思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1? 提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.
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1.思考辨析
(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2.
()
(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.
2
[直线x＋2y＋7＝0的斜率k＝－
1 2
，故与其垂直的一条直线的
斜率k＝2.]
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4．过点(0，1)且与直线2x－y＝0垂直的直线的一般式方程是 ________．
x＋2y－2＝0 [直线2x－y＝0的斜率是k＝2，故所求直线的方 程是y＝－12x＋1，即x＋2y－2＝0.]
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两条直线的交点课件苏教版必修2
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
方程组的解 交点个数 直线的位置关系
无解 有唯一解 有无数组解
0个 1个 无数 个
平行 相交 重合
[点睛] 过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0.l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈ R)(不包括直线 l2).
法二：因为所求直线经过直线 l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y －3＝0 的交点，故可设所求直线方程为 2x＋3y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 整理得(2＋3λ)x＋(3－2λ)y－5－3λ＝0.(*) 因为所求直线平行于直线 2x＋y－3＝0， 故2＋23λ＝3－12λ， 解得 λ＝47，代入(*)式，得276x＋173y－477＝0. 化简得 26x＋13y－47＝0.
交点的直线系方程，解出交点坐标即可．
3．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值 为________． 答案：23
4．直线 (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0(a∈R)始终经过一个定点，则 该定点的坐标为________．
答案：(1,1)
两直线的位置关系及交点问题
[典例] 分别判断下列直线 l1 与 l2 的位置关系，若相交，求 出它们的交点坐标．
直线经过定点问题的三种求法 (1)特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同 直线，联立其中两条便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定
点．(用于客观题) (2)恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，
根据恒等式的性质，由参数的系数和常数项均为零，就可以求
得该定点坐标． (3)直线系方程法：先按照参数整理，看成经过两条直线的
高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.4两
4． (2014· 曲靖高一检测)两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0
±6 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________ ．
k k 解析：在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0 得 y＝ ，将(0， )代入 x 3 3 －ky＋12＝0，解得 k＝± 6.
两条直线位置关系的判断
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解 交点 两直线 位置关系 平行 方程系数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1
无解
两直线 无 ____________ 交点
两条直线 ____________ 有一个 交点
有惟一解
相交
A1B2≠A2B1
两条直线有 无数 有无数个解 ____________ 个交点
1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系 设两条直线的方程分别是l1：A1xபைடு நூலகம்B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y
＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点 公共解 的坐标一定是这两个方程的 ______________ ；反之，如果这 一个 两个二元一次方程只有 ______________ 公共解，那么以这个 解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．
第2章
平面解析几何初步
2．1.4 两条直线的交点
第2章
平面解析几何初步
学习导航 1.了解用代数法求解两条直线的交点的思路． 2.理解两直线的位置关系与二元一次方程组的 学习 解之间的联系．(难点) 目标 3.掌握应用二元一次方程组的解讨论研究两条 直线的位置关系的方法．(重点) 通过把两直线交点坐标的问题转化为两直线对 应的二元一次方程组解的问题，加深对解析法 学法 的理解及对数形结合思想的感悟；通过对一般 指导 形式的直线方程组解的讨论，提高对分类讨论 思想的掌握.
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关于高中数学平面解析几何知识点
高中数学平面解析几何知识点
平面解析几何初步：
①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以
选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查
主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对
称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综
合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
以及圆的集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标
系下实现的。
空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空
间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离课件新人教B版必修2
解析：选 D．设与直线 2x＋y＋1＝0 平行的直线方程为 2x＋y
＋C＝0，
由两平行线间的距离公式得|C－1|＝ 5
55，
所以|C－1|＝1，
所以 C＝0 或 C＝2，故选 D．
3．直线 2x－y－1＝0 与直线 6x－3y＋10＝0 的距离是 ________．
解析：直线 2x－y－1＝0 可化为 6x－3y－3＝0， 则 d＝ |6－2＋3－(－103|)2＝3135＝13155． 答案：1315 5
2．两平行线间的距离
设直线 l1 为 Ax＋By＋C1＝0，直线 l2 为 Ax＋By＋C2＝0(A，
|C1－C2| B 不同时为 0)，则两线间的距离 d＝____A__2＋__B__2 __ ．
1．点(2，1)到直线 l：x－2y＋2＝0 的距离为( )
A．25
B．25 5
C．65 5
D．0
求平行线间的距离 (1)求两平行线 l1：3x＋4y＝10 和 l2：3x＋4y＝15 间的 距离． (2)已知直线 l1：3x－4y＋a＝0 与直线 l2：6x－8y＝0 间的距 离 d>3，求实数 a 的取值范围．
【解】 (1)法一：若在直线 l1 上任取一点 A(2，1)， 则点 A 到直线 l2 的距离， 即是所求的平行线间的距离． 所以 d＝|3×2＋342＋×412－15|＝1．
(2)法一：直线 l2 的方程可以化为 3x－4y＝0， 则由平行线之间的距离公式可得 d＝ 32＋|a(|－4)2＝|a5|， 因为 d>3， 所以|a5|>3， 所以|a|>15．
所以 a>15 或 a<－15． 法二：在 l2 上取点(0，0)， 则 d＝ 32＋|a(|－4)2＝|a5|＞3． 所以 a＞15 或 a＜－15．
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2019-2020学年高中数学 第二章《平面解析几何初步》直线与方程知识点整理
导学案苏教版必修2
【考纲要求】
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
5、 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
【基础知识】
一、直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
①概念x 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
②当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
直线的倾斜角0180α≠，所以直线的倾斜角的范围为0[0,180)
③任意直线都有倾斜角。
2、直线的斜率
①两点确定一条直线，给定两点111(,)P x y 与22(,)P x y ，则过这两点的直线的斜率2121y y k x x -=-（其中12x x ≠） )90(tan 0≠=ααk
②直线斜率具有无序性，哪一个点的坐标在前，哪一个点的坐标在后，计算结果不变。
③在今后的学习中，注意看到“差之比”要联想到两点之间的斜率。
④倾斜角为90°的直线没有斜率。
3、直线的倾斜角与斜率的关系
直线的倾斜角与斜率满足正切函数tan [0,)y α
απ=∈，求它们的范围要画图观察函数的图像。
4、两条直线平行的判定
两条不重合的直线1l 和2l ，斜率都存在。
则1212l l k k ⇔=，即两直线平行是两直线的斜率相等的充要条件。
两条直线平行是两条直线斜率相等的非充分非必要条件。
即12121
2l l k k k k l l
==不能推出，不能推出 5、两条直线垂直的判定 两条直线1l 和2l 垂直是两直线的斜率乘积为-1的必要非充分条件，即1212121
11l l k k k k l l ⊥=-=-⇒⊥不能推出， 二、直线的方程
1、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
2、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件。
3、直线方程的点斜式
（1）点斜式方程 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率。
（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点11(,)P x y 的直线应设为
11()y y k x x -=-或1x x =，不能遗漏了没有斜率的那条直线1x x =。
4、直线方程的斜截式
（1）斜截式方程 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距。
（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论。
5、直线方程的两点式
（1）两点式方程 112121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). （2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标。
（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可。
（4）两点式方程的化简形式121121()()()()y y x x x x y y --=--可以表示过任意两点的直线的方程。
6、直线方程的截距式
(1)截距式方程 1x y a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距。
（3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线。
7、直线方程的一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
（1）直线方程必须知道直线的两个独立条件。
（2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式。
8、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况。
9、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解。
10、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式。
三、直线位置关系的判断
1、两条直线的位置关系的判断
方法一：代数的方法（解方程组）
联立两条直线12,l l 的方程得111222
00A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩,若方程组无解，则12l l ； 若方程组有且只有一个解，则12,l l 相交；若方程组有无数组解，则12,l l 重合。
方法二：已知1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=
若12210A B A B -=且两条直线不重合，则12l l ；
若12210A B A B -≠，则12,l l 相交；
若12120A A B B +=,则12l l ⊥；
若1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=则12,l l 重合。
2、点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离d =
3、两条平行线间的距离公式 若11:0l Ax By C ++=,22:0l Ax By C ++=，则12,l l
的距离为d =
注意：两条直线方程的,x y 的系数必须化简的要一样，才能用这个公式。
4、直线的定点问题
方法一：参数赋值法
给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立。
方法二：分离参数法
把直线的方程分离参数得到2(,)(,)0f x y g x y k λλ++=，所以(,)0(,)00f x y g x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，解之得定点的坐标。
【例题精讲】
例1 在△ABC 中，已知点A （5，－2）、B （7，3），且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上.
（1）求点C 的坐标； （2）求直线MN 的方程.
例2 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）斜率为6
1的直线；（2）过定点)4,3(-A 的直线。