2019-2020学年高中数学 第二章《平面解析几何初步》直线与方程知识点整理导学案苏教版必修2.doc

2019-2020学年高中数学 第二章《平面解析几何初步》直线与方程知识点整理

导学案苏教版必修2

【考纲要求】

1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

5、 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

【基础知识】

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

①概念x 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

②当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。直线的倾斜角0180α≠，所以直线的倾斜角的范围为0[0,180)

③任意直线都有倾斜角。

2、直线的斜率

①两点确定一条直线，给定两点111(,)P x y 与22(,)P x y ，则过这两点的直线的斜率2121y y k x x -=-（其中12x x ≠） )90(tan 0≠=ααk

②直线斜率具有无序性，哪一个点的坐标在前，哪一个点的坐标在后，计算结果不变。 ③在今后的学习中，注意看到“差之比”要联想到两点之间的斜率。

④倾斜角为90°的直线没有斜率。

3、直线的倾斜角与斜率的关系

直线的倾斜角与斜率满足正切函数tan [0,)y α

απ=∈，求它们的范围要画图观察函数的图像。 4、两条直线平行的判定

两条不重合的直线1l 和2l ，斜率都存在。则1212l l k k ⇔=，即两直线平行是两直线的斜率相等的充要条件。 两条直线平行是两条直线斜率相等的非充分非必要条件。即12121

2l l k k k k l l

==不能推出，不能推出 5、两条直线垂直的判定 两条直线1l 和2l 垂直是两直线的斜率乘积为-1的必要非充分条件，即1212121

11l l k k k k l l ⊥=-=-⇒⊥不能推出， 二、直线的方程

1、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

2、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件。

3、直线方程的点斜式

（1）点斜式方程 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率。

（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点11(,)P x y 的直线应设为

11()y y k x x -=-或1x x =，不能遗漏了没有斜率的那条直线1x x =。

4、直线方程的斜截式

（1）斜截式方程 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距。

（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论。

5、直线方程的两点式

（1）两点式方程 112121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). （2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标。

（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可。

（4）两点式方程的化简形式121121()()()()y y x x x x y y --=--可以表示过任意两点的直线的方程。

6、直线方程的截距式

(1)截距式方程 1x y a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距。

（3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线。

7、直线方程的一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

（1）直线方程必须知道直线的两个独立条件。

（2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式。

8、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况。

9、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解。

10、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式。

三、直线位置关系的判断

1、两条直线的位置关系的判断

方法一：代数的方法（解方程组）

联立两条直线12,l l 的方程得111222

00A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩,若方程组无解，则12l l ； 若方程组有且只有一个解，则12,l l 相交；若方程组有无数组解，则12,l l 重合。

方法二：已知1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=

若12210A B A B -=且两条直线不重合，则12l l ；

若12210A B A B -≠，则12,l l 相交；

若12120A A B B +=,则12l l ⊥；

若1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=则12,l l 重合。

2、点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=

的距离d =

3、两条平行线间的距离公式 若11:0l Ax By C ++=,22:0l Ax By C ++=，则12,l l

的距离为d =

注意：两条直线方程的,x y 的系数必须化简的要一样，才能用这个公式。

4、直线的定点问题

方法一：参数赋值法

给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立。

方法二：分离参数法

把直线的方程分离参数得到2(,)(,)0f x y g x y k λλ++=，所以(,)0(,)00f x y g x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩

，解之得定点的坐标。

【例题精讲】

例1 在△ABC 中，已知点A （5，－2）、B （7，3），且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上.

（1）求点C 的坐标； （2）求直线MN 的方程.

例2 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）斜率为6

1的直线；（2）过定点)4,3(-A 的直线。