高考理科数学《函数的图象》练习题

2014-2015高考理科数学《函数的图象》练习题

[A 组 基础演练·能力提升]

一、选择题

1．函数f (x )＝log 12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π

2

解析：因为f (－x )＝log 12cos(－x )＝log 1

2cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除A 、B ；

又f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3＝log 12cos π3＝log 1212＝1，故排除D ，应选C.

答案：C

2．(2014年广州模拟)函数y ＝

|x |a x

x

(a >1)的图象的大致形状是( )

解析：由题意知，y ＝|x |a x x ＝⎩⎨⎧

a x

，x >0

－a x

，x <0，又a >1，所以由y ＝a x 的图象可知，B 选项符合题意．

答案：B

3.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S ＝f (x )，那么f (x )的图象大致是( )

解析：利用函数的凹凸性可知选D. 答案：D

4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

3x

x ≤1

log 1

3x x >1

，则函数y ＝f (1－x )的图象大致是( )

解析：由f (x )＝⎩⎨⎧

3x x ≤1

log 1

3x

x >1

，得f (1－x )＝⎩⎨⎧

31－x x ≥0log 1

3

1－x

x <0

.

因此，x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.故选C.

答案：C

5．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨

⎧

a ，a －

b ≤1，

b ，a －b >1.

设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x

∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴上恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )

A ．(－1,1]∪(2，＋∞)

B ．(－2，－1]∪(1,2]

C ．(－∞，－2)∪(1,2]

D ．[－2，－1]

解析：令(x 2

－2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎨

⎧

x 2

－2－1≤x ≤2x －1x <－1或x >2

，∵y ＝f (x )

－c 与x 轴恰有两个公共点，画出函数的图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．故选B.

答案：B

6．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2

－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．c >a >b

B ．c >b >a

C ．a >c >b

D ．b >a >c

解析：由题意得f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，满足f (x )＝f (2－x )，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又由已知得f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫52>f (3)，即b >a >c . 答案：D 二、填空题

7.直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．

解析：如图，作出y ＝x 2

－|x |＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －1

4

<1

解得1

4

.

答案：⎝

⎛

⎭⎪⎫1，54

8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝

f (x )与y ＝lo

g 5x 的图象交点的个数为________．

解析：根据f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数， 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.

答案：4

9．已知函数f (x )＝⎩⎨

⎧

2x ，x ≥2，

x －13

，x <2.

若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数

k 的取值范围是________．

解析：当x <2时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞]上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0

答案：(0,1) 三、解答题

10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解析：当0

由已知得0<2a <1，∴0

2

.

当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图(2)所示． 由已知可得0<2a <1， ∴0

2

，但a >1，故a ∈∅.