第三章傅里叶变换汇总

P f 2 (t) 1 t0 T1 f 2 (t)dt
a02
12T1n1t0(an2
bn2 )
c02
1 2
n1
cn2
Fn 2
帕塞瓦尔定理
n
任意周期信号f(t)的平均功率P等于其傅里叶级数展开
式中各谐波分量有效值的平方和
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 1. 函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t) 是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其 傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的 表示式也比较简单。
）
则其可展开为指数形式的傅里叶级数
e f (t)
F (n1) jn1t
n
2 指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
e 复函数：F(n1) 记 Fn
其中
n ~
1 T1
t0 T1 f (t)
t0
jn1tdt
直流分量：F0 c0 a0
e 当n 0时，Fn Fn
jn 1 2
f (t) －f (t)
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)dt
c0
a0
0,
cn
bn ,
Fn
Fn
1 2 j bn
n 90o
例如：周期锯齿波信号是一奇函数
f (t)
E 2
T1 2
T1 0
2 E
2
其傅里叶级数三角展开式中
仅含正弦项，
其傅里叶级数指数展开式中
t
F (n1)为纯虚函数。
E 2
4E
2
cos( 1t
)
1 9
cos(
31t
)
1 25
cos( 51t
)
讨论：离散性、收敛性、谐波性
3、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 cn cosn1t n
n1
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
n ~ n1 信号的相位谱
c0
c1 c2
其中各频谱分量幅度称为
T1 2
2 傅里叶级数的另一种三角函数形式 f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) 或 n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
c0 d0 a0
其中cn dn
a2 b2
n
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n
n
arctg
bn an
,
n
arctg
an bn
说明：基波、谐波概念
n为奇，an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)dt
例子 奇谐函数
f (t) f (t)
E
波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
2. 傅里叶级数的系数求解
1)偶函数信号：an
4 T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
f (t) f (t) bn 0
cn an ,
Fn
Fn
an 2
n 0
2)奇函数信号： a0 0，an 0
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00 T1 f (t) dt
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
第三章 傅里叶变换
第二节 周期信号的傅里叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
直流分量：a0
nw1
Fn
c0
1
2
c1 1
2 c2
w1 0 w1
幅度谱与相位谱合并
n
nw1
0
nw1
w
Fn
c0
1
2
c1 1
2 c2
nw1
w1 0 w1
nw1
w
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4. 周期信号的功率特性 —时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P： 在一个周期内求平方再求积分。
t在一个周期内，n=0,1,...
由积分可知
T
2 T
cosn1t
sinm1
t
0
2
T 2 T 2
cosn1t
cosm1t
T , 2 0,
mn mn
T 2 T 2
sinn1t
sinm1t
T , 2 0,
mn mn
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅度：bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E
s in( w1t )
1 2
s in(2w1t )
1 3
s in(3w1t )
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期
并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变
化，即满足：
f (t) f (t T1 ) 2
a 0 0
n为偶，an bn 0
基波、谐波概念
通常把频率为：
f1
T1
2 1
频率为：
2 2 f1 2T1 2 1
频率为：
3
f1
3T1
3
2 1
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
说明：三角函数集是一组完备函数集。
cosn1t , sinn1t 是一个完备的正交函数集
an jbn
Fn
Fn
e jn
1 2 (an
jbn )
其中 Fn
1 2
a2 n
b2 n
1 2 cn
n n (三角函数形式）
例如：周期三角波信号
f (t)
E
T1 0
T1
t
2
2
偶函数其傅里叶级数三角展开式中仅含直流项和 余弦项，指数展开式中 F(n1) 为实函数。 其傅里叶级数表达式为：
f(t
)
c3
“谱线”；连各谱线顶点的
0 w1 3w1
nw1
n
曲线称为“包络线”
w
周期信号的主要特点：
离散性、谐波性、收敛性
0
w1 3w1
nw1
w
3. 指数形式表示的信号频谱--复数频谱
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱， n ~ n1 复函数相位谱
具有离散性、谐波性、收敛性 （负频率的结果仅是数学处理）