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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
定义2.2 设D是个体域，P: Dn→{ T, F }是一 个映射，其中 D n＝{(x1, x2,…,xn )| x1, x2,…,xn∈ D} 则称P是一个n元谓词(n=1,2,…),记为: P (x1 , x2 , …, xn ) 其中x1 , x2 , …, xn称为客体变量或个体变元。 谓词中的个体可以是常量，变元或函数。 如果xi (i=1,2, …,n)都是个体常量、变元或函 数，称为一阶谓词。如果xi 又是一个一阶谓 词，则称它为二阶谓词。 7
一个命题不能同时既为真又为假，可以在一种条件下为真， 另外一种条件下为假。 例：1+1=10在二进制条件下是真值为T的命题，在十进制条 件下是真值为F的命题 没有真假意义的语句（如感叹句，疑问句等）不是命题。 例：请问电影院怎么走？ 命题逻辑表示法有较大的局限性，无法把它所描述客观事 物的结构及逻辑特征反映出来，也不能把不同事物的共同 特征表述出来。 例：对于“老李是小李的父亲”这一命题，如果用英文字 母P来表示，无论如何也看不出老李和小李的父子关系，对 于“李白是诗人”、“杜甫也是诗人”这两个命题，用命 题逻辑表示时，无法把两者的共同特征（都是诗人）形式 的表示出来 4
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2.4.2谓词公式的性质（续）
(10) 量词分配率 (∀x) ( P∧Q ) ⇔ (∀x) P∧ (∀x) Q (∃x) ( P∨Q ) ⇔ (∃x) P ∨ (∃x) Q (11) 逆否律 P→Q ⇔ ￢Q→￢P
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2.4.3谓词逻辑表示方法
事实性知识：否定、析取或合取等连接的谓 词公式表示。 规则：用蕴含式表示。 方法： 定义谓词：谓语作谓词，主语作个体 用连接词或量词把谓词连结起来，形成谓词 公式。 从外到里层层细化
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
论域:
是由所讨论对象之全体构成的非 空集合。 论域中的元素称为个体，论域也常称为 个体域。 整数的个体域是由所有整数构成的集合 人的个体域是由所有的人构成的集合
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
谓词公式：带有参数的命题叫谓词（反
过来，也可以说不带参数的谓词叫命 题）。 例： 北京是一个城市：P1: CITY(北京) X是人：P2：HUMAN（X） 张三打了李四：P3：HIT(张三，李四） X和Y是同学：P4：CLASSMATE (x, y)
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
谓词逻辑真值表
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
例： 机器人不在２号房间内 ￢INROOM（ROBOT，ROOM2) 我喜爱音乐和绘画 LIKE(I, MUSIC)∧ LIKE(I, PAINTING) 李明打篮球或踢足球 PLAYS(LIMING,BASKETBALL) ∨PLAYS(LIMING,FOOTBALL) 如果刘华跑得最快，那么他取得冠军 RUNS(LIUHUA,FASTEST)→WINS(LIUHUA,CHA MPION)
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
GOTO (x, y):从x处走到y处 条件：AT (robot, x) 状态变化：删除表：AT (robot, x) 添加表：AT (robot, y) Pickup(x):在x处拿起盒子 条件：ON (box, x), TABLE (x), AT (robot, x), EMPTY(robot) 状态变化： 删除表：EMPTY (robot), ON (box, x) 添加表：HOLDS (robot, box)
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
项与合式公式 定义2.4 项满足如下规则： 1. 单独一个个体词是项； 2. 若t1,t2, …,tn是项，f 是n 元函数，则 f(t1,t2, …,tn)是项； 3. 由1,２生成的表达式是项。 ���项可以是: 个体常量、个体变量、函数表达 式.
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2.4.2谓词公式的性质（续）
例：设个体域D={1,2}，求公式A= (∀ x) (∃y) (P (x, y) 在D上 的解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。 在公式A中没有包括个体常量和函数，可直接为谓词指派真 值，设： P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=F 这就是公式A 在D上的一个解释。在此解释下，对于D中所 有x都有y=1使P (x, y) 的真值为T，所以在此解释下公式A的 真值为T。 还可以对公式A中的谓词指派另外一组真值，设为： P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F 这是对公式A的另一种解释，在此解释下，对D中的所有x （即x=1和x=2）不存在一个y，使得公式A的真值为T，所 以在此解释下公式的真值为F。 公式A在D上共有16种解释。
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2.4.4谓词逻辑表示的应用
机器人移盒子问题： 设在一房间里，c处有一个机器人，a和b处各有一 张桌子，分别称为a桌和b桌，a桌上有一盒子，如 图所示．要求机器人从c处出发把盒子从a桌上拿到 b桌上，然后再回到c处．请用谓词逻辑来描述机器 人的行动过程。
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
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2.4.3谓词逻辑表示方法（续）
例1： 所有教师都有自己的学生 定义谓词： TEACHER(x):表示x是教师 STUDENT(y):表示y是学生 TEACHES(x,y):表示x是y的老师 (∀x) (∃y) (TEACHER(x) →TEACHES(x,y)∧STUDENT(y))
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2.4.3谓词逻辑表示方法（续）
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2.4.2谓词公式的性质（续）
(3) 结合率 ( P∨Q )∨R ⇔ P∨( Q∨R ) ( P∧Q ) ∧R ⇔ P∧( Q∧R ) (4) 分配率 P∨( Q∧R ) ⇔ ( P∨Q ) ∧( P∨R ) P∧( Q∨R ) ⇔ ( P∧Q ) ∨( P∧R ) (5) 摩根定律 ￢( P∨Q ) ⇔￢P∧￢Q ￢( P∧Q ) ⇔￢P∨￢Q (6) 吸收率 P∨( P∧Q ) ⇔ P, P∧( P∨Q) ⇔ P
2知识表示方法
2.1 知识与知识表示的概念 2.2 状态空间法 2.3 问题规约法 2.4 谓词逻辑法 2.5 语义网络法
2.6 框架表示法
2.7 剧本表示法 2.8 过程表示法 2.9 小结
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2.4谓词逻辑法
2.4.1 谓词逻辑表示的逻辑基础 2.4.2 合式公式的性质 2.4.3 谓词逻辑表示方法 2.4.4Байду номын сангаас谓词逻辑表示方法的应用 2.4.5 置换与合一
连接词： 用来连接简单命题，并构成复合命题的逻辑运算符 号。 ￢(∼)：否定（非）表示对其后面的命题的否定 ∨ ：“析取”表示所连结的两个命题之间具有或 的关系。 ∧ ：“合取”表示所连结的两个命题之间具有 “与”的关系。 →(⇒) ：“条件”或“蕴含”表示“若…则…”。P ⇒ Q表示P蕴含Q，其中P成为条件的前件，Q成为 条件的后件 ↔：“双条件”表示“当且仅当”。
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
定义2.5 原子谓词公式的含义为：若t1 ,t2 , …,tn是项， Ｐ是谓词符号，则称：Ｐ(t1 ,t2 , …,tn)原子谓词公式。 定义2.6 满足如下规则的谓词演算可得到合式公式 （谓词公式）： 1. 单个原子谓词公式是合式公式； 2. 若A是合式公式，则￢A也是合式公式； 3. 若A、B都是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B， A↔B也都是合式公式； 4. 若A是合式公式，x是项，则(∀x)Ａ和(∃x)Ａ也都是 合式公式。
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础
命题 定义2.1 一个陈述句称为一个断言。凡有真 假意义的断言称为命题。 命题的意义通常称为真值。如果命题是真， 则称它的真值为真。如果命题是假，则称它 的真值为假。 命题通常用大写英文字母表示。 命题的真值真与假分别用“T”与“F”表示
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
所求的问题的解是机器人的操作序列。 定义谓词来表示机器人的操作动作： GOTO (x, y):从x处走到y处 Pickup (x):在x处拿起盒子 Setdown (x):在x处放下盒子 机器人的每个操作的结果所引起的状态变化， 可用对原状态的增添表和删除表来表示
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2.4.2谓词公式的性质
谓词公式的解释 定义2.7 设D为谓词公式P的个体域，若对P中的个体 常量、函数和谓词按如下规定赋值： (1)为每个个体常量指派D中的一个元素； (2)为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射其中 D n＝{(x1, x2,…,xn )| x1, x2,…,xn∈ D} (3)为每个n元谓词指派一个从Dn到{F,T}的映射 则称这些指派为公式P在D上的一个解释。
定义谓词 状态 操作 状态 TABLE (x): x是桌子。 EMPTY (y): y手中是空的。 AT (y, z): y在z的附近。 HOLDS (y, w): y拿着w。 ON (w, x): w在x桌面上。
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
问题的初始状态： AT (robot, c) EMPTY (robot) ON (box, a) TABLE (a) TABLE (b) 问题的目标状态： AT (robot, c) EMPTY (robot) ON (box, b) TABLE (a) TABLE (b)
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
谓词与命题比较
谓词比命题有更强的表达能力。一个谓
词通过个体的变换可以表达不同命题的 意义 谓词可以代表变化着的情况，而命题只 能代表某种固定的情况。谓词的真值随 个体的变化而变化，而命题的真值是固 定的。
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
量词： ∀x（全称量词）：对于所有的x，任意的x ∃x（存在量词）：存在x 例1、 所有的机器人都是灰色的 (∀x) (ROBOT (x) →COLOR (x, GRAY)) 例2、 1号房间内有个物体 (∃x)INROOM(x, r1) 例3、 每个人都有父亲 (∀x)(∃y)( PERSON (x) →FATHER (x, y))
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2.4.2谓词公式的性质（续）
定义2.8 设Ｐ与Q是D上的两个谓词公式,若对 D上的任意解释, P与Q都有相同的真值, 则称 P与Q在D上是等价的。 如果D是任意非空个 体域, 则称P与Ｑ是等价的，记作Ｐ⇔Ｑ。 常用等价式： (1) 双重否定率： ￢￢Ｐ⇔Ｐ (2) 交换率： P∨Q⇔Q∨P, P∧Q⇔Q∧P
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2.4.2谓词公式的性质（续）
(7) 补余率 P∨￢P ⇔ T, P∧￢P ⇔ F (8) 连词化归率 P→Q ⇔ ￢P∨Q P↔Q ⇔ ( P→Q ) ∧(Ｑ→P) P↔Q ⇔ ( P∧Q)∨( ￢Q∧￢P ) (9) 量词转换率 ￢(∃x) P ⇔ (∀x) ￢P ￢(∀x) P ⇔ (∃x)￢P
例2 王宏是计算机系的一名学生。李明是王宏的同班 同学。凡是计算机系的学生都喜欢编程序。 定义谓词： COMPUTER (x):表示x是计算机系的学生． CLASSMATE (x, y):表示x是y同班同学 LIKE (x, y):表示x喜欢y。 COMPUTER (WangHong) CLASSMATE (LiMing, WangHong) (∀x) (COMPUTER (x) →LIKE (x, Programing))
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
自由变元和约束变元 辖域：位于量词后面的单个谓词或者用括号括起来 的合式公式称为该量词的辖域。 约束变元：辖域内与量词中同名的变元称为约束变 元，其它不受约束的变元称为自由变元。 例： (∃x) (P (x, y) →Q (x, y)) ∨R (x, y) 其中(P (x, y) →Q (x, y)) 是∃x辖域，辖域内的变元x 是受(∃x) 约束的变元，而R (x, y)中的x是自由变元， 公式中的所有y都是自由变元。
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
定义2.2 设D是个体域，P: Dn→{ T, F }是一 个映射，其中 D n＝{(x1, x2,…,xn )| x1, x2,…,xn∈ D} 则称P是一个n元谓词(n=1,2,…),记为: P (x1 , x2 , …, xn ) 其中x1 , x2 , …, xn称为客体变量或个体变元。 谓词中的个体可以是常量，变元或函数。 如果xi (i=1,2, …,n)都是个体常量、变元或函 数，称为一阶谓词。如果xi 又是一个一阶谓 词，则称它为二阶谓词。 7
一个命题不能同时既为真又为假，可以在一种条件下为真， 另外一种条件下为假。 例：1+1=10在二进制条件下是真值为T的命题，在十进制条 件下是真值为F的命题 没有真假意义的语句（如感叹句，疑问句等）不是命题。 例：请问电影院怎么走？ 命题逻辑表示法有较大的局限性，无法把它所描述客观事 物的结构及逻辑特征反映出来，也不能把不同事物的共同 特征表述出来。 例：对于“老李是小李的父亲”这一命题，如果用英文字 母P来表示，无论如何也看不出老李和小李的父子关系，对 于“李白是诗人”、“杜甫也是诗人”这两个命题，用命 题逻辑表示时，无法把两者的共同特征（都是诗人）形式 的表示出来 4
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2.4.2谓词公式的性质（续）
(10) 量词分配率 (∀x) ( P∧Q ) ⇔ (∀x) P∧ (∀x) Q (∃x) ( P∨Q ) ⇔ (∃x) P ∨ (∃x) Q (11) 逆否律 P→Q ⇔ ￢Q→￢P
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2.4.3谓词逻辑表示方法
事实性知识：否定、析取或合取等连接的谓 词公式表示。 规则：用蕴含式表示。 方法： 定义谓词：谓语作谓词，主语作个体 用连接词或量词把谓词连结起来，形成谓词 公式。 从外到里层层细化
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
论域:
是由所讨论对象之全体构成的非 空集合。 论域中的元素称为个体，论域也常称为 个体域。 整数的个体域是由所有整数构成的集合 人的个体域是由所有的人构成的集合
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础（续）
谓词公式：带有参数的命题叫谓词（反
过来，也可以说不带参数的谓词叫命 题）。 例： 北京是一个城市：P1: CITY(北京) X是人：P2：HUMAN（X） 张三打了李四：P3：HIT(张三，李四） X和Y是同学：P4：CLASSMATE (x, y)
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
谓词逻辑真值表
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
例： 机器人不在２号房间内 ￢INROOM（ROBOT，ROOM2) 我喜爱音乐和绘画 LIKE(I, MUSIC)∧ LIKE(I, PAINTING) 李明打篮球或踢足球 PLAYS(LIMING,BASKETBALL) ∨PLAYS(LIMING,FOOTBALL) 如果刘华跑得最快，那么他取得冠军 RUNS(LIUHUA,FASTEST)→WINS(LIUHUA,CHA MPION)
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
GOTO (x, y):从x处走到y处 条件：AT (robot, x) 状态变化：删除表：AT (robot, x) 添加表：AT (robot, y) Pickup(x):在x处拿起盒子 条件：ON (box, x), TABLE (x), AT (robot, x), EMPTY(robot) 状态变化： 删除表：EMPTY (robot), ON (box, x) 添加表：HOLDS (robot, box)
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
项与合式公式 定义2.4 项满足如下规则： 1. 单独一个个体词是项； 2. 若t1,t2, …,tn是项，f 是n 元函数，则 f(t1,t2, …,tn)是项； 3. 由1,２生成的表达式是项。 ���项可以是: 个体常量、个体变量、函数表达 式.
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2.4.2谓词公式的性质（续）
例：设个体域D={1,2}，求公式A= (∀ x) (∃y) (P (x, y) 在D上 的解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。 在公式A中没有包括个体常量和函数，可直接为谓词指派真 值，设： P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=F 这就是公式A 在D上的一个解释。在此解释下，对于D中所 有x都有y=1使P (x, y) 的真值为T，所以在此解释下公式A的 真值为T。 还可以对公式A中的谓词指派另外一组真值，设为： P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F 这是对公式A的另一种解释，在此解释下，对D中的所有x （即x=1和x=2）不存在一个y，使得公式A的真值为T，所 以在此解释下公式的真值为F。 公式A在D上共有16种解释。
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2.4.4谓词逻辑表示的应用
机器人移盒子问题： 设在一房间里，c处有一个机器人，a和b处各有一 张桌子，分别称为a桌和b桌，a桌上有一盒子，如 图所示．要求机器人从c处出发把盒子从a桌上拿到 b桌上，然后再回到c处．请用谓词逻辑来描述机器 人的行动过程。
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
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2.4.3谓词逻辑表示方法（续）
例1： 所有教师都有自己的学生 定义谓词： TEACHER(x):表示x是教师 STUDENT(y):表示y是学生 TEACHES(x,y):表示x是y的老师 (∀x) (∃y) (TEACHER(x) →TEACHES(x,y)∧STUDENT(y))
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2.4.3谓词逻辑表示方法（续）
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2.4.2谓词公式的性质（续）
(3) 结合率 ( P∨Q )∨R ⇔ P∨( Q∨R ) ( P∧Q ) ∧R ⇔ P∧( Q∧R ) (4) 分配率 P∨( Q∧R ) ⇔ ( P∨Q ) ∧( P∨R ) P∧( Q∨R ) ⇔ ( P∧Q ) ∨( P∧R ) (5) 摩根定律 ￢( P∨Q ) ⇔￢P∧￢Q ￢( P∧Q ) ⇔￢P∨￢Q (6) 吸收率 P∨( P∧Q ) ⇔ P, P∧( P∨Q) ⇔ P
2知识表示方法
2.1 知识与知识表示的概念 2.2 状态空间法 2.3 问题规约法 2.4 谓词逻辑法 2.5 语义网络法
2.6 框架表示法
2.7 剧本表示法 2.8 过程表示法 2.9 小结
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2.4谓词逻辑法
2.4.1 谓词逻辑表示的逻辑基础 2.4.2 合式公式的性质 2.4.3 谓词逻辑表示方法 2.4.4Байду номын сангаас谓词逻辑表示方法的应用 2.4.5 置换与合一
连接词： 用来连接简单命题，并构成复合命题的逻辑运算符 号。 ￢(∼)：否定（非）表示对其后面的命题的否定 ∨ ：“析取”表示所连结的两个命题之间具有或 的关系。 ∧ ：“合取”表示所连结的两个命题之间具有 “与”的关系。 →(⇒) ：“条件”或“蕴含”表示“若…则…”。P ⇒ Q表示P蕴含Q，其中P成为条件的前件，Q成为 条件的后件 ↔：“双条件”表示“当且仅当”。
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
定义2.5 原子谓词公式的含义为：若t1 ,t2 , …,tn是项， Ｐ是谓词符号，则称：Ｐ(t1 ,t2 , …,tn)原子谓词公式。 定义2.6 满足如下规则的谓词演算可得到合式公式 （谓词公式）： 1. 单个原子谓词公式是合式公式； 2. 若A是合式公式，则￢A也是合式公式； 3. 若A、B都是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B， A↔B也都是合式公式； 4. 若A是合式公式，x是项，则(∀x)Ａ和(∃x)Ａ也都是 合式公式。
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础
命题 定义2.1 一个陈述句称为一个断言。凡有真 假意义的断言称为命题。 命题的意义通常称为真值。如果命题是真， 则称它的真值为真。如果命题是假，则称它 的真值为假。 命题通常用大写英文字母表示。 命题的真值真与假分别用“T”与“F”表示
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
所求的问题的解是机器人的操作序列。 定义谓词来表示机器人的操作动作： GOTO (x, y):从x处走到y处 Pickup (x):在x处拿起盒子 Setdown (x):在x处放下盒子 机器人的每个操作的结果所引起的状态变化， 可用对原状态的增添表和删除表来表示
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2.4.2谓词公式的性质
谓词公式的解释 定义2.7 设D为谓词公式P的个体域，若对P中的个体 常量、函数和谓词按如下规定赋值： (1)为每个个体常量指派D中的一个元素； (2)为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射其中 D n＝{(x1, x2,…,xn )| x1, x2,…,xn∈ D} (3)为每个n元谓词指派一个从Dn到{F,T}的映射 则称这些指派为公式P在D上的一个解释。
定义谓词 状态 操作 状态 TABLE (x): x是桌子。 EMPTY (y): y手中是空的。 AT (y, z): y在z的附近。 HOLDS (y, w): y拿着w。 ON (w, x): w在x桌面上。
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2.4.4谓词逻辑表示的应用（续）
问题的初始状态： AT (robot, c) EMPTY (robot) ON (box, a) TABLE (a) TABLE (b) 问题的目标状态： AT (robot, c) EMPTY (robot) ON (box, b) TABLE (a) TABLE (b)
2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
谓词与命题比较
谓词比命题有更强的表达能力。一个谓
词通过个体的变换可以表达不同命题的 意义 谓词可以代表变化着的情况，而命题只 能代表某种固定的情况。谓词的真值随 个体的变化而变化，而命题的真值是固 定的。
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
量词： ∀x（全称量词）：对于所有的x，任意的x ∃x（存在量词）：存在x 例1、 所有的机器人都是灰色的 (∀x) (ROBOT (x) →COLOR (x, GRAY)) 例2、 1号房间内有个物体 (∃x)INROOM(x, r1) 例3、 每个人都有父亲 (∀x)(∃y)( PERSON (x) →FATHER (x, y))
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2.4.2谓词公式的性质（续）
定义2.8 设Ｐ与Q是D上的两个谓词公式,若对 D上的任意解释, P与Q都有相同的真值, 则称 P与Q在D上是等价的。 如果D是任意非空个 体域, 则称P与Ｑ是等价的，记作Ｐ⇔Ｑ。 常用等价式： (1) 双重否定率： ￢￢Ｐ⇔Ｐ (2) 交换率： P∨Q⇔Q∨P, P∧Q⇔Q∧P
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2.4.2谓词公式的性质（续）
(7) 补余率 P∨￢P ⇔ T, P∧￢P ⇔ F (8) 连词化归率 P→Q ⇔ ￢P∨Q P↔Q ⇔ ( P→Q ) ∧(Ｑ→P) P↔Q ⇔ ( P∧Q)∨( ￢Q∧￢P ) (9) 量词转换率 ￢(∃x) P ⇔ (∀x) ￢P ￢(∀x) P ⇔ (∃x)￢P
例2 王宏是计算机系的一名学生。李明是王宏的同班 同学。凡是计算机系的学生都喜欢编程序。 定义谓词： COMPUTER (x):表示x是计算机系的学生． CLASSMATE (x, y):表示x是y同班同学 LIKE (x, y):表示x喜欢y。 COMPUTER (WangHong) CLASSMATE (LiMing, WangHong) (∀x) (COMPUTER (x) →LIKE (x, Programing))
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2.4.1谓词逻辑表示的逻辑基础(续)
自由变元和约束变元 辖域：位于量词后面的单个谓词或者用括号括起来 的合式公式称为该量词的辖域。 约束变元：辖域内与量词中同名的变元称为约束变 元，其它不受约束的变元称为自由变元。 例： (∃x) (P (x, y) →Q (x, y)) ∨R (x, y) 其中(P (x, y) →Q (x, y)) 是∃x辖域，辖域内的变元x 是受(∃x) 约束的变元，而R (x, y)中的x是自由变元， 公式中的所有y都是自由变元。