143含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定 课件
而命题p∧q为假，p∨q为真，则p，q中一个为真， 一个为假．
(1)若p真，q假，则a≥4； (2)若p假，q真，则0＜a≤1. 所以a的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)． [巧妙解答] 由①得：p：a＞1，q：0＜a＜4， 所以p∧q：1＜a＜4，p∨q：a＞0. 因为p∧q为假，所以a≤1或a≥4.
[类题尝试] 已知a＞0，设p：函数y＝ax在R上单调 递增；q：不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R恒成立．若 p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．
[常规解答] 若p为真命题，则y＝ax在R上单调递 增，所以a＞1；
若q为真命题，则不等式ax2－ax＋1＞0，对∀x∈R 恒成立，
所以Δ＜0，即a2－4a＜0，所以0＜a＜4.①
归纳升华 1．特称命题的否定：分两步． (1)改变量词：把“存在量词”换为恰当的“全称量词”； (2)否定性质：把原命题中的“有”“存在”等更改为“没 有”“不存在”等． 2．常用存在量词的否定形式．
词语
存在一个
有的
词语的否定 每一个
所有的
词语
至少有n个 至多有一个
词语的否定 至多有n－1个 至少有两个
类型2 特称命题的否定 [典例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)至少有一个实数x0，使得x20＋2x0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°. 解：(1)命题的否定是：对任意x∈R，都有x2＋2x＋ 5≠0，是真命题． (2)命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对 角线都不互相垂直，是假命题． (3)命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和 小于或等于180°，是真命题．
(3)¬s：∃x0∈R，2x0＋4<0.真命题． (4)¬t：存在实数m0，使得方程x2＋2x－m0＝0没有实 数根．真命题．
143含有一个量词的命题的否定
（2）的否定：存在实数 x不是方程 5x-12=0的根. （3）的否定：存在实数 x,对所有实数 y，有 x+y≤0.
所有实数的绝对值都不是正数;
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱 形” ,也就是说 ,
每一个平行四边形都不是菱形;
命题(3)的否定是“不存在 x∈R, x2+1<0”也, 就是说 ,
? x∈R, x2+1≥0 这三个特称命题的否定都变成了全称命题.
结论
一般地，对于含有一个量词 的特称命题的否定 ,有下面的结论：
例题
例4 :写出下列命题的否定,并判断其真假： （1）p：任意两个等边三角形都是相似的; （2）p：? x0∈R, x02+2x0+2=0.
（1）? p： 存在两个等边三角形,它们不相似; 假
（2）? p： ? x∈R, x2+2x+2≠0. 真
全称命题、特称命题否定的求法
在具体操作中就是从命题 P把全称性的量词改成存 在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并 把量词作用范围进行否定 .即须遵循下面法则：
探究
写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ? x0∈R, x02+1<0.
这些命题和它们的否定在形式上 有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “? x ∈M, p(x0)”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
（2） ? q：至少存在一个正方形不是矩形;
假
例题
例2 :写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.
课件8：1.4.3 含有一个量词的命题的否定
2．用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？ 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的 否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是 “有些菱形不是平行四边形”．
知识点二
含有一个量词的特称命题的否定 [填一填]
解：(1) ¬p：∀x<0，x＋1x＋2≥0. 由于 x<0 时，x＋1x＝－(－x－1x)≤－2， 当且仅当 x＝－1 时取等号， ∴x＋1x＋2≤0，∴¬p 为假命题． (2) ¬p：任何一个向量都不能与任意向量平行．假命题．
(3) ¬p：对任意实数 m，x2＋x＋m＝0 的两根不都是正数．
解：由于对∀x∈R，命题 p(x)：sinx＋cosx>m 是假命题，则∃x0∈R， sinx0＋cosx0≤m 是真命题， ∵sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π4)∈[－ 2， 2]， ∴m≥－ 2即可． 由于∀x∈R，q(x)：x2＋mx＋1>0 为真命题， 即对于∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成立， 有 Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2. 依题意，得－ 2≤m<2. 所以实数 m 的取值范围是{m|－ 2≤m<2}．
(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否 定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词 的命题的否定，应根据命题所叙述的对象的特征，挖掘 其中的量词．全称命题的否定与全称命题的真假性相 反；特称命题的否定与特称命题的真假性相反．
特别关注 1．对全称命题的否定以及特点的理解 (1) 全 称 命 题 的 否 定 实 际 上 是 对 量 词 “ 所 有 ” 否 定 为 “ 并 非 所 有”，所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题，将全称量 词调整为存在量词，就要对 p(x)进行否定，这是叙述命题的需要， 不能认为对全称命题进行“两次否定”，否则就是“双重否定即 肯定”，所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定． (2)对于省去了全称量词的全称命题的否定，一般要改写为含有 全称量词的命题，再写出命题的否定命题．
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。
含量词的命题的否定
1.4.3 含有一个量词的命题的否定（一）学习目标①通过教学实例，理解并掌握含有一个量词的命题的否定②能够用符号表示全称命题的否定，特称命题的否定③会判断全称命题和特称命题的否定的真假；（二）学习重点与难点重点与难点：掌握含有一个量词的命题的否定。
正确地判断含有一个量词的命题的否定的真假.（三）学习过程一、温故1.说出下列命题是全称命题还是存在命题：(1)有的命题是不能判定真假的；（）(2)所有的人都喝水（）(3)存在有理数x，使x2-2=0; （）(4)对所有实数a，都有|a|≥0. （）2.说出下列命题的否定命题:(1)有的命题是不能判定真假的；(2)所有的人都喝水；(3)存在有理数x，使x2-2=0;(4)对所有实数a，都有|a|≥0.二、知新一般地，我们有：1）全称命题P:“ x∈M,p(x)”它的否定是⌝p：“∃ x∈M,⌝p(x)”2）特称命题P: “∃x∈M,p(x)”它的否定是⌝p：：“∀x∈M,⌝p (x)”即:全称命题的否定是特称命题便; 特称命题的否定是全称命题例．试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)命题P：所有的菱形都是正方形．(2)命题q：对任何实数x，总有x2一2x+ 1≥0成立．(3)命题r：至少有一个实数x，使x2-2=0成立．（4）命题s：∃x∈R，使x2＋2x＋2≤0成立．分析：(1)、(2)是全称命题，其否定应为特称命题．(3）、（4)是特称命题，其否定应为全称命题．解：（l）¬P：∃一个菱形，它不是正方形．∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形，∴¬p是真命题．（2）q：∃x∈R．、x2-2x+1＜0．∵x2-2x+1=（x-1）2≥0对∀x∈R 都成立．∴¬q是假命题．（3）¬r：∀x∈R，x2-2≠0．±，使x2-2=0，∴¬r是假命题．∵存在x=2（4)¬S：∀x∈R，x2＋2 x＋2＞0．∵x2＋2 x＋2=（x＋1)2＋1，(x+1)2≥0，∴对∀x∈R，都有x2＋2 x ＋2=≥1＞0.可见¬S是真命题．的否定练习、写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）所有的人都晨练；（2）∀x∈R，x2+x+1>0；（3）平行四边形的对边相等；（4）∃x∈R，x2-x+1＝0；。
1.4.3含有一个量词的命题的否定
2.观察以上三个命题的否定在形式上有什么变化？这种变化是否对 任意一个全称命题都有此规律？你能概括总结出来吗？ 提示：从命题形式看，这三个命题的否定都变成了特称命题 .这种 变化对任意一个全称命题都有，即∀x∈M，p(x)其否定为∃x0∈M,﹁ p(x0).
➡根据以上探究过程，试着写出含有一个量词的全称命题的否定：
A.∀x∈R，都有f(x)=x B.不存在x∈R，使得f(x)≠x C.∀x∈R，都有f(x)≠x D.∃x0∈R，使得f(x0)≠x0
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假. ①至少有一个实数x0，使得x02+2x0+5=0. ②存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直. ③存在一个三角形，它的内角和大于180°. ④存在偶函数为单调函数. 【解题指南】根据已知特称命题，首先把存在量词改写为全称量词， 然后再把结论写成否定的形式.
【解析】(1)选C.命题的否定为∀x∈R，都有f(x)≠x. (2)①命题的否定是：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0，是真命题. ②命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直， 是假命题. ③命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于 180°， 是真命题. ④命题的否定是：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题 .
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
【阅读教材】
根据下面的知识结构图阅读教材，掌握含有一个量词的全称命题
与特称命题的否定方法，会判断其否定的真假.
【知识链接】
1.全称命题与特称命题的一般形式：全称命题：∀x∈M，p(x)，特称
命题：∃x0∈M，p(x0).
2.命题的否命题与否定：命题若p则q的命题为：若﹁p，则﹁q；而其
【延伸探究】 1.(变换条件，改变问法)若将本例(2)①中的“至少有一个”用“至 少有两个”替换，写出它的否命题. 【解析】因为“至少有两个”的否定是“至多有一个”，所以它的否 命题是：“至多有一个实数x0，使得x02+2x0+5≠0”.
1.4.3 含有一个量词的 命题的否定 全称命题-高中数学选修2-1教案
1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。
本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。
【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。
所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。
同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。
【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。
学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。
其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。
所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。
1.4.3 含一个量词的命题的否定
(2) ¬ p：在直角坐标系中，∃ p：∀x∈{四边形}，不存在外接圆．假命 题．
(4) ¬ p：所有棱柱的侧棱都不垂直于底面．假
题目类型一、全称命题的否定
例1.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否 定：
(1)所有的矩形都是平行四边形．
1．(1)所有同学都顺利通过了考试； (2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径长． 写出以上两个全称命题的否定，从中你能发现原命题 和它的否定在形式上有什么变化吗？
2．(1)有的函数是奇函数； (2)至少有一个三角形没有外接圆． 写出以上两个特称命题的否定，从中你能发现原命题 和它的否定在形式上有什么变化吗？
假命题．
(3)命题的否定为：所有四边形都不是正方形， 假命题．
(4) 命题的否定为：每一个奇数都能被 3 整除，
1．如何对全称命题和特称命题进行否定？ (1) 确 定 命 题 类 型 ， 是 全 称 命 题 还 是 特 称 命 题．
(2) 改变量词：把全称量词换为恰当的存在量
词；把存在量词换为恰当的全称量词．
1．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的表述
全称命题p 全称命题的否定¬ p 特称命题p 特称命题的否定¬ p
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬ p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬ p(x)
2.重要结论 (1)全称命题的否定是特称命题 (2)特称命题的否定是全称命题
；
．
1．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为( A．任意四边形都没有外接圆
)
1.4.3含有一个量词的命题的否定
(3)命题的否定：“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”． ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题．
小结 特称命题的否定是全称命题， 写命题的否定时要分别 改变其中的量词和判断词．
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理论迁移
例 3 (1)已知命题 p：“对∀x∈R，∃m∈R，使 4x＋2xm＋ 1＝0”．若命题 p 是假命题，则实数 m 的取值范围是 ______________． (2)已知命题 p：关于 x 的方程 x2＋2x＋5＝k 有解， p 是真 命题，则实数 k 的取值范围是____________．
特称命题的否定
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得 2x＋y＝3.
解
(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正
数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2| ＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)， 若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴实数m的取值范围是(4，＋∞).
18
达标检测
导学案 20 页 练一练
19
归纳延伸
1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 2．写含一个量词的命题的否定时，要改变量词和判断词， 并结合命题的实际意义进行表述． 3．根据命题 p 与命题 p 的真假性相反，和方程、不等式结 合，可以解决一些参数范围问题.
(2)命题 p 为假，∴方程 x2＋2x＋5＝k 无解， 又 x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，
1.4.3含有一个量词的命题的否定(李用2)
假 假
（2） ㄱq：存在一个正方形不是矩形;
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z, x² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
探究二:特称命题的否定
课本25页：写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x ∈M, p(x )”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
1.4.3-含有一个量词的命题的否定
1．4.3含有一个量词的命题的否定整体设计教材分析本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．课时分配1课时教学目标知识与技能1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程引入新课提出问题回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；(4)有些实数的绝对值是正数；(5)某些平行四边形是菱形；(6)x∈R，x2＋1＜0.活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．理解新知提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题．．．．．．及命题的否定．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．运用新知判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：(1)三角形内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口朝下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)的形式，再进一步做出否定．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．巩固练习1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．已知命题p：x∈R，sinx≤1，则()A．p：x0∈R，sinx0≥1B．p：x0∈R，sinx0≥1C．p：x0∈R，sinx0>1D．p：x∈R，sinx>1答案：1.C 2.C变练演编1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤02．x∈R，x2－x＋3≤0点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．达标检测1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是03．“奇数是质数”的否定是________．4．“任意的x∈Z，若x>2，则x2>4”的否定是________．5．“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的否定是________．答案：1.B 2.D3．存在奇数不是质数4．x0∈Z，虽然x0>2，但x20≤45．ax2＋2x＋1＝0没有负的实根课堂小结知识收获：(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念．(2)要说明一个全称命题是错误的，实际上是对这个全称命题进行否定．要说明一个特称命题是错误的，实际上是对这个特称命题进行否定．(3)全称命题与特称命题的关系：全称命题p：x∈M，p(x)的否定是p：x0∈M，p(x0)；即全称命题的否定是特称命题．特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定是p：x∈M，p(x)；即特称命题的否定是全称命题．方法收获：程序化．思维收获：由一般到特殊、转化思想．布置作业(1)教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？(2)作业：课本习题1.4A组第3题，B组(1)(2)(3)(4)．补充练习基础练习1．命题“存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m≤0”的否定命题是()A．存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>02．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使得n能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．x ∈M ，p(x)3．下列全称命题中是真命题的个数是( )①所有偶数都能被2整除；②所有奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．全称命题“a ∈Z ，a 有一个正因数”的否定是________．5．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________． 答案：1.D 2.B 3.C4．a 0∈Z ，a 0没有正因数5．每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习6．下列四个命题： p 1：x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ， p 2：x ∈(0,1), log 12x>log 13xp 3：x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ， p 4：x ∈(0，13)，(12)x <log 13x其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 47．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R, 2x 0>0B ．存在x 0∈R, 2x 0≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0 答案：6.D 7.D 设计说明通过探究数学中的一些实例，教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．这种教师有目的地进行创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律很有帮助．使学生体会到从具体到一般的认识过程，培养学生抽象概括的能力．备课资料1．下列特称命题中，假命题．．．是( ) A ．x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一条直线D ．x ∈{x 是无理数}，x 2是有理数思路分析：要判断特称命题“x ∈M ，p(x)”为真命题，只需在集合M 中找一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中找不到元素x 0，使p(x 0)成立，那么这个特称命题就为假命题．解：因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题，应选C.点评：判断特称命题的真假，要通过生活和数学中的实例、知识综合判定．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个思路分析：根据全称命题的定义，逐一进行判断即可．解：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；全称命题③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；全称命题④存在x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题，应选B.点评：分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0思路分析：要分清是全称命题还是特称命题，然后写成∈M，p(x)或∈M，p(x)的形式，再进一步作出否定．解：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称命题，它的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，应选C.点评：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)；特称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)．4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③x ∈R ，x 2－2x>0；④x ∈R,2x ＋1为奇数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．思路分析：原命题与其否定的真假性正好相反，因此只需直接判断原命题的真假即可． 解：①有理数是实数； 真命题 ②有些平行四边形不是菱形； 真命题 ③x ∈R ，x 2－2x>0； 假命题 ④x ∈R,2x ＋1为奇数； 真命题 应选③.点评：本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题，即原命题真，命题的否定假；原命题假，命题的否定真．5．设0<a ，b ，c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不同时大于14.思路分析：本题直接证明较难入手，可考虑用反证法．解：反证法：假设⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>14(1－b )c>14(1－c )a>14⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>12，(1－b )c>12，(1－c )a>12，所以32<(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32.左右矛盾，故假设不成立，原命题得证．点评：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其命题的否定为假；原命题假，其命题的否定为真．(设计者：赵传俊)。
高中数学《含有一个量词的命题的否定》课件
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(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题 解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为 真命题解决．
3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书 写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.
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1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是( ) A．∀x∈R,3x≤0 B．∃x0∈R, 3x0≥0 C．∃x0∈R,3x0>0 D．∀x∈R,3x>0 答案 D
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答案
探究 2 特称命题的否定 例 2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p：有一个奇数不能被 3 整除； (2)p：有些三角形的三个内角都是 60°； (3)p：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ； (4)p：∃x0∈R，x20＋4x0＋6≤0.
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[解] (1)p 是假命题，由 x∈0，π2得 sinx∈(0,1)， sinx＋si1nx≥2 sinx·si1nx＝2，当且仅当 sinx＝1 时等号成立，故等号不 成立． 綈 p：∃x0∈0，2π，sinx0＋sin1x0<2.
课件8：1.4.3 含有一个量词的命题的否定
B．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1>0
C．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1≤0
D．以上均不正确
)
【解析】原命题为全称命题，其否定为特称命题，
故选C.
【答案】C
2．命题“存在x0∈R，20 ≤0”的否定是(
)
A．不存在x0∈R，20 >0
B．存在x0∈R，2x≥0
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解：(1)是全称命题，其否定为：存在一个素数，它
不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定
是真命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，它不是
平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b
个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是全称命题且为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数
的平方不是正数．
迁移体验1
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数．
有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，把存在量词“存
在一个”变为全称量词“对所有的”．
对省略量词的命题怎样否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全
称命题或特称命题．一般地，省略了量词的命题是
全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是
特称命题．
1．命题：“∀ x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定是(
1.4.3含有一个量词的命题的否定
广元外国语学校
高中数学组 谭勇
【课标解读】
1.能用数学符号准确表示含有一个量词的命题的否定;(重点、 难点) 2.归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形 式上的变化规律；(难点) 3.根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表 述含有一个量词的命题的否定.(易错点)
3.掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式. 正面词 等于 大于 小于 是 都是 能 语 否定词 不大于 ≤ 不小于 不能 ≥ 不是 不都是 不等于 语 正面词 任意 所有 至多一 至少一 至多有n个 至少有n个 语 的 的 个 个 否定词 某个 某些 至少有 一个也 至少有 至多有 语 n+1个 没有 两个 n-1个
【当堂检测】
【课前预习】
1．写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）有些平行四边形是菱形. 所有的矩形都不是平 行四边形
有些平行四边形不是菱 形
【课堂学习】
1.指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)任意两向量a，b，若a· b＞0，则a，b的夹角为锐角； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)实数的绝对值是正数.
【课堂练习】
1.判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； 1 1 (3)对任意实数a，b∈R，若a＞b，则 ; a b (4) 函数 y f ( x )( x M ) 是偶函数．
2.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p:不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)q:存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0； (3)r:等圆的面积相等，周长相等； (4)s:全等三角形的面积一定都相等；
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这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
全称命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命 题的否定，有下面的结论：
全称命题p:
全称命题 p:
x M , p(x) x0 M ,p(x0)
例题巩固
例1.写出下列全称命题的否定： （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点共圆；
特称命题p: x0 M , p(x0)
特称命题 p: x M ,p(x)
例题巩固
例2.写出下列特称命题的否定： （1）有的三角形是等边三角形； （2）有一个素数含三个正因数；
（3） x0 R, x02 2x0 2 0.
例题巩固
例3：写出下列命题的否定，并判断它的 真假： （1）任意两个等边三角形都是相似的；
（2）x0 R, x02 1 0;
小结
正 = > 或是都至至任所
面
是多少意有
有有的的
一一
个个
反 ≠ ≤ 且不不至没某某
面
是都少有个些
是有一
两个
个
（3）对任意实数 x, x的2 个位数字不等于3.
探究引入
思考：写出下列命题的否定： （1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形；
（3） x0 R, x02 1 0.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
特称命题的否定
一般地，对于含有一个量词的特称命 题的否定，有下面的结论：
含有一个定
否命题是用否定条件也否定结论的方式 构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于 判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。
探究引入
思考：判断下列命题是全称命题还是特称 命题？写出它们的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；